ในทางเรขาคณิตทฤษฎีบทของราดอนเกี่ยวกับเซตแบบนูน ซึ่งโย ฮันน์ ราดอนตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1921 ระบุว่า:

เซตของจุด d  +  2 จุดใดๆ ในR ^dสามารถแบ่งออกเป็นสองเซตที่มีขอบนูนตัดกันได้

จุดตัดของส่วนนูนเหล่านี้เรียกว่าจุดเรดอนของเซต

ตัวอย่างเช่น ในกรณีที่d  =  2 เซตของจุดสี่จุดใดๆ ในระนาบยุคลิดสามารถแบ่งออกได้สองวิธี วิธีแรกคือ อาจเกิดเป็นกลุ่มสามจุดและกลุ่มจุดเดียว โดยที่ส่วนนูนของกลุ่มสามจุด (รูปสามเหลี่ยม) จะครอบคลุมกลุ่มจุดเดียวนั้น หรืออีกวิธีหนึ่งคือ อาจเกิดเป็นคู่จุดสองคู่ที่เป็นจุดปลายของส่วนของเส้นตรง สองเส้น ที่ ตัดกัน

พิจารณาชุดใด ๆ${\displaystyle X=\{x_{1},x_{2},\dots ,x_{d+2}\}\subset \mathbf {R} ^{d}}$มี จุด d  +  2 จุดใน ปริภูมิ dมิติ ดังนั้นจึงมีเซตของตัวคูณa ,  ..., a ซึ่งไม่จำเป็นต้องเป็นศูนย์ทั้งหมด ที่สามารถแก้ระบบสมการเชิงเส้น ได้ 

${\displaystyle \sum _{i=1}^{d+2}a_{i}x_{i}=0,\quad \sum _{i=1}^{d+2}a_{i}=0,}$

เนื่องจากมี ตัวแปรที่ไม่ทราบค่า d  +  2 ตัว (ตัวคูณ) แต่มีสมการที่ตัวแปรเหล่านั้นต้องสอดคล้องเพียงd  +  1 สมการ (หนึ่งสมการสำหรับแต่ละพิกัดของจุด พร้อมกับสมการสุดท้ายที่กำหนดให้ผลรวมของตัวคูณเป็นศูนย์) กำหนดให้คำตอบที่ไม่เป็นศูนย์เฉพาะค่าหนึ่งคือa ,  ..., a ให้ ${\displaystyle I\subseteq X}$ให้ เป็นเซตของจุดที่มีตัวคูณเป็นบวก และให้${\displaystyle J=X\setminus I}$ให้ เป็นเซตของจุดที่มีตัวคูณเป็นค่าลบหรือศูนย์ จากนั้น${\displaystyle I}$และ${\displaystyle J}$สร้างการแบ่งจุดตามที่ต้องการออกเป็นสองเซตย่อยที่มีส่วนนูนตัดกัน

เปลือกนูนของ${\displaystyle I}$และ${\displaystyle J}$เส้นทั้งสองต้องตัดกัน เพราะทั้งสองเส้นมีจุดนั้นอยู่

${\displaystyle p=\sum _{x_{i}\in I}{\frac {a_{i}}{A}}x_{i}=\sum _{x_{j}\in J}{\frac {-a_{j}}{A}}x_{j},}$

ที่ไหน

${\displaystyle A=\sum _{x_{i}\in I}a_{i}=-\sum _{x_{j}\in J}a_{j}.}$

ด้านซ้ายของสูตรสำหรับ${\displaystyle p}$แสดงจุดนี้ออกมาเป็นผลรวมนูนของจุดต่างๆ ใน${\displaystyle I}$และด้านขวามือแสดงออกมาในรูปของการรวมกันแบบนูนของจุดต่างๆ ใน${\displaystyle J}$. ดังนั้น,${\displaystyle p}$เป็นส่วนหนึ่งของทั้งสองส่วนนูน ซึ่งเป็นการพิสูจน์เสร็จสมบูรณ์

วิธีการพิสูจน์นี้ช่วยให้สามารถสร้างจุด Radon ได้อย่างมีประสิทธิภาพภายในระยะเวลาที่เป็นพหุนามตามมิติ โดยใช้การกำจัดแบบเกาส์เซียนหรืออัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพอื่นๆ เพื่อแก้ระบบสมการสำหรับตัวคูณ^{[ 1 ]}

รูปแบบที่เทียบเท่ากับทฤษฎีบทของราดอนคือ:

ถ้า ƒ เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นตรง ใดๆ จากซิมเพล็กซ์ Δd ^{+1 มิติ (} d  +  1) ไปยังRdแล้วจะมีหน้าสองหน้าที่แยกจากกันของ Δd ^{+1 ซึ่งภาพของหน้า ทั้ง} สอง ภายใต้ ƒ จะตัดกัน

ทั้งสองอย่างเทียบเท่ากันเพราะฟังก์ชันเชิงเส้นใดๆ บนซิมเพล็กซ์จะถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันโดยภาพของจุดยอดของมัน ในทางคณิตศาสตร์ ให้ ƒ เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นจาก Δ ^d+1ไปยังR ^dให้${\displaystyle v_{1},v_{2},\dots ,v_{d+2}}$ให้ เป็นจุดยอดของ Δ ^d+1และให้${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{d+2}}$เป็นภาพของพวกเขาภายใต้ƒตามสูตรดั้งเดิม${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{d+2}}$สามารถแบ่งออกเป็นสองเซตย่อยที่ไม่ทับซ้อนกัน เช่น ( x ) และ ( x ) โดยมีขอบนูนที่ทับซ้อนกัน เนื่องจากfเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น ขอบนูนของ ( x ) จึงเป็นภาพของหน้าที่เกิดจากจุดยอด ( v ) และในทำนองเดียวกัน ขอบนูนของ ( x )j ก็เป็นภาพของหน้าที่เกิดจากจุดยอด ( v )j หน้าทั้งสองนี้ไม่ทับซ้อนกัน และภาพของหน้าทั้งสองภายใต้fจะตัดกัน - ตามที่กล่าวอ้างโดยสูตรใหม่ทฤษฎีบท Radon ทางโทโพโลยีได้ขยายสูตรนี้ให้ทั่วไป โดยอนุญาตให้fเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องใดๆ ก็ได้ - ไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น: ^{[ 2 ]}

ถ้า ƒ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ใดๆ จาก ซิมเพ ล็กซ์มิติ ( d  +  1) Δd ⁺¹ไปยัง^Rd แล้วจะมีหน้าสองหน้าที่แยกจากกันของ Δd ⁺¹ซึ่งภาพของหน้าทั้งสองภายใต้ ƒ จะตัดกัน

โดยทั่วไปแล้ว ถ้าK เป็น เซตแบบนูนกระชับมิติ( d  + 1) ใดๆ และ ƒ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องใดๆ จาก Kไปยัง ปริภูมิ dมิติ จะมีฟังก์ชันเชิงเส้นg อยู่ ซึ่งจุดบางจุดที่gมีค่าสูงสุดและจุดอื่นๆ ที่gมีค่าต่ำสุด จะถูกแมปโดย ƒ ไปยังจุดเดียวกัน ในกรณีที่Kเป็นซิมเพล็กซ์ หน้าซิมเพล็กซ์สองหน้าที่เกิดจากจุดสูงสุดและต่ำสุดของgจะต้องเป็นหน้าสองหน้าที่แยกจากกัน ซึ่งภาพของหน้าทั้งสองจะต้องมีส่วนตัดกันที่ไม่ว่างเปล่า ข้อความทั่วไปเดียวกันนี้ เมื่อนำไปใช้กับไฮเปอร์สเฟียร์แทนซิมเพล็กซ์ จะให้ทฤษฎีบท Borsuk–Ulamที่ว่า ƒ จะต้องแมปจุดสองจุดตรงข้ามของทรงกลมไปยังจุดเดียวกัน^{[ 2 ]} 

จุด Radon ของจุดสี่จุดใดๆ บนระนาบคือค่ามัธยฐานทางเรขาคณิตซึ่งเป็นจุดที่ทำให้ผลรวมของระยะทางไปยังจุดอื่นๆ มีค่าน้อยที่สุด^{[ 5 ] [ 6 ]}

ทฤษฎีบทของ Radon เป็นขั้นตอนสำคัญของการพิสูจน์มาตรฐานของทฤษฎีบทของ Hellyเกี่ยวกับจุดตัดของเซตแบบนูน^{[ 7 ]}การพิสูจน์นี้เป็นแรงจูงใจให้ Radon ค้นพบทฤษฎีบทของ Radon ในครั้งแรก

ทฤษฎีบทของ Radon สามารถใช้คำนวณมิติ VCของ จุด dมิติโดยสัมพันธ์กับการแยกเชิงเส้นได้เช่นกัน มีเซตของจุดd  +  1 จุด (เช่น จุดของซิมเพล็กซ์ปกติ) ซึ่งเซตย่อยที่ไม่ว่างสองเซตใดๆ สามารถแยกออกจากกันได้ด้วยไฮเปอร์เพลนอย่างไรก็ตาม ไม่ว่าเซตของจุดd  +  2 จุดใดๆ ก็ตาม เซตย่อยสองเซตของพาร์ทิชัน Radon ไม่สามารถแยกออกจากกันด้วยเชิงเส้นได้ ดังนั้น มิติ VC ของระบบนี้จึงเท่ากับd  +  1 พอดี ^{[ 8 ]}

อัลกอริทึมแบบสุ่มที่แทนที่ชุดจุดd  +  2 จุดซ้ำๆ ด้วยจุด Radon ของพวกมัน สามารถใช้คำนวณค่าประมาณของจุดศูนย์กลางของชุดจุดใดๆ ได้ โดยใช้เวลาที่เป็นพหุนามทั้งในจำนวนจุดและมิติ^{[ 1 ]}

ค่ามัธยฐานเชิงเรขาคณิตจุดเรดอนของจุดสามจุดในปริภูมิหนึ่งมิติก็คือค่ามัธยฐาน ของจุดเหล่านั้น นั่นเอง ค่า มัธยฐานเชิงเรขาคณิตของเซตของจุดคือจุดที่ทำให้ผลรวมของระยะทางไปยังจุดต่างๆ ในเซตนั้นมีค่าน้อยที่สุด มันเป็นการขยายแนวคิดของค่ามัธยฐานในปริภูมิหนึ่งมิติ และได้รับการศึกษาทั้งในแง่ของการกำหนดตำแหน่งสิ่งอำนวยความสะดวกและสถิติที่แข็งแกร่งสำหรับเซตของจุดสี่จุดในระนาบ ค่ามัธยฐานเชิงเรขาคณิตจะตรงกับจุดเรดอน

ทฤษฎีบทของทเวร์เบิร์กการวางนัยทั่วไปของการแบ่งส่วนออกเป็นrเซต ได้รับการเสนอโดยเฮลเกทเวร์เบิร์ก( 1966 )และปัจจุบันรู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทของทเวร์เบิร์กทฤษฎีบทนี้กล่าวว่า สำหรับเซตใดๆ ของ ${\displaystyle (d+1)(r-1)+1\ }$สำหรับจุดในปริภูมิยูคลิดdมิติ จะมีการแบ่งเซตออกเป็นrเซตย่อย ซึ่งส่วนนูนของเซตย่อยเหล่านั้นจะตัดกันอย่างน้อยหนึ่งจุดร่วมกัน

ทฤษฎีบทของคาราเธโอโดรีกล่าวว่า จุดใดๆ ที่อยู่ในขอบเขตนูนของเซตของจุดบางเซต ก็จะอยู่ในขอบเขตนูนของเซตย่อยที่มีจุดไม่เกิน d  + 1 จุดด้วย กล่าวคือ จุดที่กำหนดนั้นเป็นส่วนหนึ่งของพาร์ทิชันของราดอนซึ่งจุดนั้นเป็นจุดเดียว การพิสูจน์ทฤษฎีบทของคาราเธโอโดรีวิธีหนึ่งใช้เทคนิคการตรวจสอบคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น คล้ายกับการพิสูจน์ทฤษฎีบทของราดอน เพื่อกำจัดจุดทีละจุดจนเหลือไม่เกิน d  + 1 จุด

เรขาคณิตนูนแนวคิดที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทของ Radon ได้รับการพิจารณาสำหรับเรขาคณิตนูน ด้วยเช่นกัน ซึ่งเป็นตระกูลของเซตจำกัดที่มีคุณสมบัติว่าจุดตัดของเซตสองเซตใดๆ ในตระกูลยังคงอยู่ในตระกูล และเซตว่างและการรวมกันของเซตทั้งหมดอยู่ในตระกูล ในบริบททั่วไปนี้ เปลือกนูนของเซตSคือจุดตัดของสมาชิกในตระกูลที่ประกอบด้วยSและจำนวน Radon ของปริภูมิคือr ที่เล็กที่สุด ที่ จุด r ใดๆ มีสองเซตย่อยที่เปลือกนูนของเซตย่อยเหล่านั้นตัดกัน ในทำนองเดียวกัน เราสามารถกำหนดจำนวน Helly hและจำนวน Carathéodory cได้โดยการเปรียบเทียบกับคำจำกัดความของจำนวนเหล่านี้สำหรับเซตนูนในปริภูมิยุคลิด และสามารถแสดงได้ว่าจำนวนเหล่านี้เป็นไปตามอสมการh  < r ≤ ch + 1 ^{[ 9 ]}     

ทฤษฎีบทของ Radon สำหรับกราฟ ใน กราฟแบบไม่มีทิศทางใดๆเราอาจกำหนดเซตแบบนูนให้เป็นเซตของจุดยอดที่รวม เส้นทาง เหนี่ยว นำทุก เส้นทางที่เชื่อมต่อจุดยอดคู่หนึ่งในเซต ด้วยคำจำกัดความนี้ เซตของจุดยอด ω  +  1 จุดในกราฟสามารถแบ่งออกเป็นสองเซตย่อยที่มีส่วนนูนตัดกัน และ ω  +  1 คือจำนวนขั้นต่ำที่ทำให้สิ่งนี้เป็นไปได้ โดยที่ ω คือจำนวนคลิกของกราฟที่กำหนด^{[ 10 ]}สำหรับผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องกับเส้นทางที่สั้นที่สุดแทนที่จะเป็นเส้นทางเหนี่ยวนำ โปรดดูChepoi (1986)และBandelt & Pesch (1989 )