ในทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎี Kเชิงทอพอโลยีเป็นสาขาหนึ่งของทอพอโลยีเชิงพีชคณิต ทฤษฎี นี้ก่อตั้งขึ้นเพื่อศึกษาเวกเตอร์บันเดิลบน ปริภูมิ เชิงทอ พอโลยี โดยใช้แนวคิดที่ปัจจุบันได้รับการยอมรับว่าเป็นทฤษฎี K (ทั่วไป) ซึ่งนำเสนอโดยอเล็กซานเดอร์ โกรเทนดี ค งานวิจัยในช่วงแรกเกี่ยวกับทฤษฎีK เชิงทอพอโลยี เป็นผลงานของไมเคิล อาติยาห์และฟรีดริช ฮิร์เซบรุค

ให้Xเป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับ และหรือ แล้วจะถูกกำหนดให้เป็นกลุ่มโกรเทนดีคของโมโนอิดสลับที่ของชั้นไอโซมอร์ฟิซึมของบันเดิลเวกเตอร์kมิติจำกัด เหนือ Xภายใต้ ผล รวมวิทนีย์ ผลคูณเทนเซอร์ของบันเดิลทำให้ทฤษฎีK มีโครงสร้าง วงแหวนสลับที่หากไม่มีตัวห้อย โดยทั่วไปจะหมายถึงทฤษฎี Kเชิงซ้อน ในขณะที่ทฤษฎี Kจริงบางครั้งเขียนเป็น การอภิปรายที่เหลือจะมุ่งเน้นไปที่ทฤษฎี K เชิงซ้อน${\displaystyle k=\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle K_{k}(X)}$${\displaystyle K(X)}$${\displaystyle KO(X)}$

ตัวอย่างแรก โปรดสังเกตว่า ทฤษฎี Kของจุดหนึ่งคือจำนวนเต็ม นั่นเป็นเพราะว่ากลุ่มเวกเตอร์เหนือจุดนั้นเป็นแบบไม่สำคัญ จึงถูกจัดประเภทตามลำดับ และกลุ่ม Grothendieck ของจำนวนธรรมชาติก็เป็นจำนวนเต็มเช่นกัน

นอกจากนี้ยังมีทฤษฎีKเวอร์ชัน ลดรูป ซึ่งกำหนดไว้สำหรับX ซึ่งเป็น ปริภูมิจุดกระชับ(เทียบกับโฮโมโลยีแบบลดรูป ) ทฤษฎีแบบลดรูปนี้โดยสัญชาตญาณคือK ( X )มอดูโลบันเดิลแบบไม่สำคัญมันถูกกำหนดให้เป็นกลุ่มของชั้นสมมูลเสถียรของบันเดิล บันเดิลEและF สองบันเดิล กล่าวได้ว่าสมมูลกันอย่างเสถียรหากมีบันเดิลแบบไม่สำคัญและดังนั้นความสัมพันธ์สมมูลนี้ส่งผลให้เกิดกลุ่ม เนื่องจากบันเดิลเวกเตอร์ทุกตัวสามารถเติมเต็มให้เป็นบันเดิลแบบไม่สำคัญได้โดยการบวกกับส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉาก หรืออีกทางหนึ่งกำหนดได้ว่าเป็นเคอร์เนลของแผนที่ที่เกิดจากการรวมจุดฐานx0เข้าไปใน X${\displaystyle {\widetilde {K}}(X)}$${\displaystyle \varepsilon _{1}}$${\displaystyle \varepsilon _{2}}$${\displaystyle E\oplus \varepsilon _{1}\cong F\oplus \varepsilon _{2}}$${\displaystyle {\widetilde {K}}(X)}$${\displaystyle K(X)\to K(x_{0})\cong \mathbb {Z} }$

ทฤษฎี K สร้าง ทฤษฎีโคฮอโมโลยีแบบทวีคูณ (ทั่วไป) ดังต่อไปนี้ลำดับที่แน่นอนสั้น ๆของปริภูมิชี้คู่หนึ่ง( X , A )

${\displaystyle {\widetilde {K}}(X/A)\to {\widetilde {K}}(X)\to {\widetilde {K}}(A)}$

ขยายไปสู่ลำดับที่แน่นอนยาว

${\displaystyle \cdots \to {\widetilde {K}}(SX)\to {\widetilde {K}}(SA)\to {\widetilde {K}}(X/A)\to {\widetilde {K}}(X)\to {\widetilde {K}}(A)}$

ให้S ⁿเป็นการแขวนลอยแบบลดรูปที่ n ของปริภูมิ และจากนั้นกำหนด

${\displaystyle {\widetilde {K}}^{-n}(X):={\widetilde {K}}(S^{n}X),\qquad n\geq 0.}$

มีการเลือกใช้ดัชนี เชิงลบเพื่อให้แผนที่ขอบเขตมีมิติเพิ่มขึ้น

การมีกลุ่มเหล่านี้ในรูปแบบที่ไม่ลดทอนมักจะเป็นประโยชน์ โดยการกำหนดคำจำกัดความดังนี้:

${\displaystyle K^{-n}(X)={\widetilde {K}}^{-n}(X_{+}).}$

นี่คือจุดฐานที่ไม่ทับซ้อนกันซึ่งมีป้ายกำกับ '+' ต่อท้าย^{[ 1 ]}${\displaystyle X_{+}}$${\displaystyle X}$

สุดท้ายนี้ทฤษฎีบทความเป็นคาบของบอตต์ที่กำหนดไว้ด้านล่างนี้ ขยายทฤษฎีดังกล่าวไปสู่จำนวนเต็มบวก

• ${\displaystyle K^{n}}$(ตามลำดับ) คือฟังก์ชันผกผันจากหมวดหมู่โฮโมโทปีของปริภูมิ (ที่มีจุด) ไปยังหมวดหมู่ของวงแหวนสลับที่ได้ ดังนั้น ตัวอย่างเช่น ทฤษฎี Kเหนือปริภูมิที่หดตัวได้จึงเป็นเสมอ${\displaystyle {\widetilde {K}}^{n}}$${\displaystyle \mathbb {Z} .}$
• สเปกตรัมของทฤษฎีKคือ(ด้วยโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่องบน) กล่าวคือโดยที่[ , ]หมายถึงคลาสโฮโมโทปีแบบมีจุด และBUคือโคลิมิตของปริภูมิจำแนกของกลุ่มเอกภาพ : ในทำนองเดียวกัน สำหรับ ทฤษฎีKจริงให้ ใช้ BO${\displaystyle BU\times \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle K(X)\cong [X_{+},\mathbb {Z} \times BU],}$${\displaystyle BU(n)\cong \operatorname {Gr} (n,\mathbb {C} ^{\infty }).}$$${\displaystyle {\widetilde {K}}(X)\cong [X,\mathbb {Z} \times BU].}$$
• มี โฮโมมอร์ฟิซึม ของวงแหวนตามธรรมชาติ คือ อักขระเชิร์นซึ่งเป็นไอโซมอร์ฟิซึม${\displaystyle K^{0}(X)\to H^{2*}(X,\mathbb {Q} ),}$${\displaystyle K^{0}(X)\otimes \mathbb {Q} \to H^{2*}(X,\mathbb {Q} )}$
• การดำเนินการ ที่เทียบเท่ากับการดำเนินการของ SteenrodในทฤษฎีK คือ การดำเนินการของ Adamsซึ่งสามารถใช้เพื่อกำหนดชั้นลักษณะเฉพาะในทฤษฎีK เชิงทอพอโลยีได้
• หลักการแบ่งแยกของทฤษฎีKทางทอพอโลยี ช่วยให้เราสามารถลดทอนข้อความเกี่ยวกับกลุ่มเวกเตอร์ใดๆ ให้เหลือเพียงข้อความเกี่ยวกับผลรวมของกลุ่มเส้นตรงได้
• ทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมของทอมในทฤษฎีK ทางทอพอโล ยีคือโดยที่T ( E )คือปริภูมิทอมของเวกเตอร์บันเดิลEเหนือXซึ่งจะเป็นจริงเสมอเมื่อEเป็นสปินบันเดิล$${\displaystyle K(X)\cong {\widetilde {K}}(T(E)),}$$
• ลำดับสเปกตรัม Atiyah-Hirzebruchช่วยให้สามารถคำนวณ กลุ่ม Kจากกลุ่มโคฮอโมโลยีทั่วไป ได้
• ทฤษฎี Kเชิงทอพอโลยีสามารถขยายไปสู่ฟังก์ชันบนพีชคณิต C* ได้อย่างกว้างขวาง โปรดดูทฤษฎี K ตัวดำเนินการและทฤษฎีKK

ปรากฏการณ์ความเป็นคาบซึ่งตั้งชื่อตามราอูล บอตต์ (ดูทฤษฎีความเป็นคาบของบอตต์ ) สามารถกำหนดได้ดังนี้:

• ${\displaystyle K(X\times \mathbb {S} ^{2})=K(X)\otimes K(\mathbb {S} ^{2}),}$และโดยที่Hคือคลาสของกลุ่มสัจนิรันดร์บนทรงกลมรีมันน์${\displaystyle K(\mathbb {S} ^{2})=\mathbb {Z} [H]/(H-1)^{2}}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}=\mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} ),}$
• ${\displaystyle {\widetilde {K}}^{n+2}(X)={\widetilde {K}}^{n}(X).}$
• ${\displaystyle \Omega ^{2}BU\cong BU\times \mathbb {Z} .}$

ใน ทฤษฎี K ที่แท้จริง มีความเป็นคาบคล้ายกัน แต่เป็นโมดูลัส 8

ทฤษฎี Kทางทอพอโลยีถูกนำไปใช้ในการพิสูจน์ปัญหา “ หนึ่ง ที่ไม่เปลี่ยนแปลงของฮอปฟ์ ” ของจอห์น แฟรงค์ อดัมส์ผ่านการดำเนินการของอดัมส์ [ ^{2 ] อ}ดัมส์ยังพิสูจน์ขอบเขตบนสำหรับจำนวนฟิลด์เวกเตอร์ที่เป็นอิสระเชิงเส้นบนทรงกลมอีก ด้วย ^{[ 3 ]}

Michael AtiyahและFriedrich Hirzebruchได้พิสูจน์ทฤษฎีบทที่เชื่อมโยงทฤษฎี K ทางทอพอโลยีของคอมเพล็กซ์ CW จำกัดกับโคฮอโมโลยีเชิงตรรกะ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พวกเขาแสดงให้เห็นว่ามีโฮโมมอร์ฟิซึมอยู่ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle ch:K_{\text{top}}^{*}(X)\otimes \mathbb {Q} \to H^{*}(X;\mathbb {Q} )}$

โดยที่

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\text{top}}^{0}(X)\otimes \mathbb {Q} &\cong \bigoplus _{k}H^{2k}(X;\mathbb {Q} )\\K_{\text{top}}^{1}(X)\otimes \mathbb {Q} &\cong \bigoplus _{k}H^{2k+1}(X;\mathbb {Q} )\end{aligned}}}$

มีการเปรียบเทียบเชิงพีชคณิตที่เชื่อมโยงกลุ่ม Grothendieck ของชีฟที่สอดคล้องกันและวงแหวน Chow ของวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟเรียบ ${\displaystyle X}$

• ลำดับสเปกตรัม Atiyah–Hirzebruch (เครื่องมือคำนวณสำหรับค้นหากลุ่มทฤษฎี K)
• ทฤษฎี KR
• ทฤษฎีบทดัชนีอาติยาห์-ซิงเกอร์
• ทฤษฎีบทของสไนธ์
• ทฤษฎี K พีชคณิต