ในทางคณิตศาสตร์สูตรร่องรอยของอาร์เธอร์-เซลเบิร์ก (Arthur–Selberg trace formula)เป็นการขยายความของสูตรร่องรอยของเซลเบิร์ก (Selberg trace formula)จากกลุ่ม SL _{2 ไปยัง} กลุ่มลดรูปใดๆบนฟิลด์ทั่วโลก (global fields ) ซึ่งพัฒนาโดยเจมส์ อาร์เธอร์ (James Arthur ) ในชุดบทความจำนวนมากตั้งแต่ปี 1974 ถึง 2003 สูตรนี้อธิบายลักษณะของการแทนของG ( A )บนส่วนไม่ต่อเนื่องL² ₀( G ( F )\ G ( A ))ของL ² ( G ( F )\ G ( A ))ในแง่ของข้อมูลทางเรขาคณิต โดยที่Gเป็นกลุ่มพีชคณิตแบบลดรูปที่กำหนดไว้เหนือฟิลด์ทั่วโลกFและAเป็นวงแหวนของอะเดล ของF

สูตรร่องรอย (trace formula) มีหลายเวอร์ชัน เวอร์ชันแรกคือสูตรร่องรอยที่ไม่ได้รับการปรับปรุง (unrefined trace formula ) ซึ่งพจน์ต่างๆ ขึ้นอยู่กับตัวดำเนินการตัดทอน และมีข้อเสียคือไม่คงที่ ต่อมาอาร์เธอร์ได้ค้นพบสูตรร่องรอยที่คงที่ (invariant trace formula ) และสูตรร่องรอยที่เสถียร (stable trace formula) ซึ่งเหมาะสมกับการใช้งานมากกว่าสูตรร่องรอยแบบง่าย ( Flicker & Kazhdan 1988 ) นั้นไม่ทั่วไปนัก แต่พิสูจน์ได้ง่ายกว่าสูตรร่องรอยเฉพาะที่ (local trace formula)เป็นอนาล็อกบนฟิลด์เฉพาะที่ (local fields) สูตรร่องรอยสัมพัทธ์ของจาเกต์ (Jacquet's relative trace formula)เป็นการวางนัยทั่วไปโดยการอินทิเกรตฟังก์ชันเคอร์เนลบนกลุ่มย่อยที่ไม่ใช่แนวทแยง

• Fคือฟิลด์ทั่วโลกเช่น ฟิลด์ของจำนวนตรรกยะ
• AคือวงแหวนของอะเดลของF
• Gเป็นกลุ่มพีชคณิตแบบลดรูป (reductive algebraic group) ที่นิยามไว้เหนือF

ในกรณีที่G ( F )\ G ( A )เป็นกลุ่มกระชับ การแทนจะแยกออกเป็นผลรวมโดยตรงของการแทนแบบลดทอนไม่ได้ และสูตรร่องรอยจะคล้ายกับสูตร Frobeniusสำหรับลักษณะเฉพาะของการแทนที่เกิดจากแทนแบบไม่สำคัญของกลุ่มย่อยที่มีดัชนีจำกัด

ในกรณีกระชับ ซึ่งเป็นผลมาจาก Selberg เป็นหลัก กลุ่มG ( F ) และG ( A ) สามารถแทนที่ด้วยกลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่องΓ ใดๆ ของกลุ่มกระชับเฉพาะที่Gโดยที่Γ\ Gกระชับ กลุ่มGกระทำต่อปริภูมิของฟังก์ชันบน Γ\ GโดยการแสดงแทนแบบปกติทางขวาRและสิ่งนี้ขยายไปสู่การกระทำของวงแหวนกลุ่มของGซึ่งถือว่าเป็นวงแหวนของฟังก์ชันfบนGลักษณะของการแสดงแทนนี้กำหนดโดยการวางนัยทั่วไปของสูตร Frobenius ดังต่อไปนี้ การกระทำของฟังก์ชันfบนฟังก์ชันφบนΓ\ Gกำหนดโดย

${\displaystyle \displaystyle R(f)(\phi )(x)=\int _{G}f(y)\phi (xy)\,dy=\int _{\Gamma \backslash G}\sum _{\gamma \in \Gamma }f(x^{-1}\gamma y)\phi (y)\,dy.}$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง R ( f )คือตัวดำเนินการอินทิกรัลบน^L2 ( Γ\ G ) (ปริภูมิของฟังก์ชันบนΓ\ G ) ที่มีเคอร์เนล

${\displaystyle \displaystyle K_{f}(x,y)=\sum _{\gamma \in \Gamma }f(x^{-1}\gamma y).}$

ดังนั้นร่องรอยของR ( f )จึงกำหนดโดย

${\displaystyle \displaystyle \operatorname {Tr} (R(f))=\int _{\Gamma \backslash G}K_{f}(x,x)\,dx.}$

เคอร์เนลKสามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle K_{f}(x,y)=\sum _{o\in O}K_{o}(x,y)}$

โดยที่Oคือเซตของชั้นสมมูลในΓและ

${\displaystyle K_{o}(x,y)=\sum _{\gamma \in o}f(x^{-1}\gamma y)=\sum _{\delta \in \Gamma _{\gamma }\backslash \Gamma }f(x^{-1}\delta ^{-1}\gamma \delta y)}$

โดยที่เป็นสมาชิกของกลุ่มการผันคำและเป็นตัวทำให้เป็นศูนย์กลางในกลุ่มนั้น ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle o}$${\displaystyle \Gamma _{\gamma }}$${\displaystyle \Gamma }$

ในทางกลับกัน ร่องรอยยังถูกกำหนดโดย

${\displaystyle \displaystyle \operatorname {Tr} (R(f))=\sum _{\pi }m(\pi )\operatorname {Tr} (f(\pi ))}$

โดยที่คือความซ้ำซ้อนของการแสดงแทนเอกภาพ ที่ลดทอนไม่ได้ ของในและคือตัวดำเนินการบนปริภูมิของที่กำหนดโดย ${\displaystyle m(\pi )}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle G}$${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash G)}$${\displaystyle f(\pi )}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \int _{G}f(y)\pi (y)dy}$

• ถ้าΓและGต่างก็เป็นเซตจำกัด สูตรร่องรอยจะเทียบเท่ากับสูตร Frobenius สำหรับลักษณะเฉพาะของ การแสดงแทนแบบ เหนี่ยวนำ
• ถ้าGคือกลุ่มRของจำนวนจริง และΓคือกลุ่มย่อยZของจำนวนเต็ม สูตรร่องรอยจะกลายเป็นสูตรผลรวมปัวซง

ในกรณีส่วนใหญ่ของสูตรร่องรอยของอาร์เธอร์-เซลเบิร์ก ผลหาร G ( F )\ G ( A )ไม่กระชับ ซึ่งก่อให้เกิดปัญหาต่อไปนี้ (ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิด):

• การแสดงผลบนL ² ( G ( F )\ G ( A ))ประกอบด้วยไม่เพียงแต่ส่วนประกอบแบบไม่ต่อเนื่องเท่านั้น แต่ยังรวมถึงส่วนประกอบแบบต่อเนื่องด้วย
• เคอร์เนลไม่สามารถหาปริพันธ์ได้บนแนวทแยงอีกต่อไป และตัวดำเนินการR ( f )ไม่ได้อยู่ในคลาสร่องรอยอีกต่อไป

อาร์เธอร์แก้ปัญหาเหล่านี้โดยการตัดส่วนแกนกลางที่จุดยอดแหลมในลักษณะที่ส่วนแกนกลางที่ถูกตัดนั้นสามารถหาปริพันธ์ได้เหนือเส้นทแยงมุม กระบวนการตัดนี้ก่อให้เกิดปัญหามากมาย ตัวอย่างเช่น พจน์ที่ถูกตัดจะไม่คงรูปภายใต้การผันกลับอีกต่อไป โดยการจัดการพจน์เพิ่มเติม อาร์เธอร์สามารถสร้างสูตรร่องรอยที่คงรูปซึ่งมีพจน์ที่คงรูปได้

สูตรร่องรอยของเซลเบิร์กดั้งเดิมศึกษาเฉพาะกลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่องΓของกลุ่มลี จริง G ( R ) (โดยปกติคือ_SL2 ( R ) )ในระดับที่สูงขึ้น การแทนที่กลุ่มลีด้วยกลุ่มอะเดลิกG ( A ) จะสะดวกกว่า เหตุผลหนึ่งก็คือ กลุ่มแบบไม่ต่อเนื่องสามารถถือได้ว่าเป็นกลุ่มของจุดG ( F )สำหรับFซึ่งเป็นฟิลด์ (ทั่วโลก) ซึ่งง่ายต่อการจัดการมากกว่ากลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่องของกลุ่มลี นอกจากนี้ยังทำให้ การใช้ งานตัวดำเนินการเฮคเค่ทำได้ง่ายขึ้น ด้วย

สูตรร่องรอยเวอร์ชันหนึ่ง ( Arthur 1983 ) ยืนยันความเท่าเทียมกันของการกระจายสองแบบบนG ( A ) :

${\displaystyle \sum _{o\in O}J_{o}^{T}=\sum _{\chi \in X}J_{\chi }^{T}.}$

ด้านซ้ายมือคือด้านเรขาคณิตของสูตรร่องรอย และเป็นผลรวมเหนือชั้นสมมูลในกลุ่มจุดตรรกยะG ( F )ของGในขณะที่ด้านขวามือคือด้านสเปกตรัมของสูตรร่องรอยและเป็นผลรวมเหนือการแสดงแทนบางส่วนของกลุ่มย่อยของ G ( A )

สูตรร่องรอยข้างต้นนั้นใช้งานได้ค่อนข้างยากในทางปฏิบัติ ปัญหาอย่างหนึ่งคือพจน์ในสูตรนั้นไม่คงที่ภายใต้การผันแปรอาร์เธอร์ (1981)ได้ค้นพบการปรับเปลี่ยนที่ทำให้พจน์เหล่านั้นคงที่

สูตรร่องรอยที่ไม่เปลี่ยนแปลงระบุว่า

${\displaystyle \sum _{M}{\frac {|W_{0}^{M}|}{|W_{0}^{G}|}}\sum _{\gamma \in (M(Q))}a^{M}(\gamma )I_{M}(\gamma ,f)=\sum _{M}{\frac {|W_{0}^{M}|}{|W_{0}^{G}|}}\int _{\Pi (M)}a^{M}(\pi )I_{M}(\pi ,f)\,d\pi }$

ที่ไหน

• fเป็นฟังก์ชันทดสอบบน G ( A )
• Mครอบคลุมเซตจำกัดของกลุ่มย่อย Levi เชิงตรรกะของ G
• ( M ( Q ))คือเซตของคลาสการสมมูลของM ( Q )
• Π( M )คือเซตของการแสดงแทนเอกภาพที่ไม่สามารถลดทอนได้ของM ( A )
• M (γ) เกี่ยวข้องกับปริมาตรของ M ( Q ,γ)\ M ( A , ^γ )
• M (π) เกี่ยวข้องกับความหลากหลายของการแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้ ^πใน L 2 ⁽ M ( Q ) \ M ( A ))
• ${\displaystyle \displaystyle I_{M}(\gamma ,f)}$ เกี่ยวข้องกับ${\displaystyle \displaystyle \int _{M(A,\gamma )\backslash M(A)}f(x^{-1}\gamma x)\,dx}$
• ${\displaystyle \displaystyle I_{M}(\pi ,f)}$เกี่ยวข้องกับร่องรอย${\displaystyle \displaystyle \int _{M(A)}f(x)\pi (x)\,dx}$
• W ₀ ( M )คือกลุ่ม Weylของ M

Langlands (1983)เสนอความเป็นไปได้ในการปรับปรุงสูตรร่องรอยให้มีเสถียรภาพ ซึ่งสามารถใช้เปรียบเทียบสูตรร่องรอยสำหรับสองกลุ่มที่แตกต่างกันได้ สูตรร่องรอยที่มีเสถียรภาพดังกล่าวได้รับการค้นพบและพิสูจน์โดยArthur (2002 )

สมาชิกสองตัวของกลุ่มG ( F )เรียกว่าเป็นคู่สมเสถียร (stablely conjugate)ถ้าสมาชิกทั้งสองเป็นคู่สมเสถียรบนการปิดเชิงพีชคณิตของฟิลด์Fประเด็นก็คือ เมื่อเปรียบเทียบสมาชิกในสองกลุ่มที่แตกต่างกัน ซึ่งมีความสัมพันธ์กัน เช่น โดยการบิดภายใน (inner twisting) โดยปกติแล้วจะไม่พบความสอดคล้องที่ดีระหว่างชั้นสมสมเสถียร (conjugacy classes) แต่จะพบเฉพาะระหว่างชั้นสมสมเสถียรเท่านั้น ดังนั้น เพื่อเปรียบเทียบพจน์ทางเรขาคณิตในสูตรร่องรอย (trace formulas) สำหรับสองกลุ่มที่แตกต่างกัน เราจึงต้องการให้พจน์เหล่านั้นไม่เพียงแต่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้สมสมเสถียรเท่านั้น แต่ยังต้องมีพฤติกรรมที่ดีบนชั้นสมสมเสถียรด้วย ซึ่งเรียกว่า การกระจายเสถียร (stable distributions )

สูตรร่องรอยเสถียรเขียนพจน์ในสูตรร่องรอยของกลุ่มGในรูปของการกระจายเสถียร อย่างไรก็ตาม การกระจายเสถียรเหล่านี้ไม่ใช่การกระจายบนกลุ่มGแต่เป็นการกระจายบนตระกูลของกลุ่มกึ่งแยกส่วนที่เรียกว่ากลุ่มเอนโดสโคปิกของG อินทิ กรัลวงโคจรที่ไม่เสถียรบนกลุ่มG สอดคล้องกับอินทิกรัลวงโคจรเสถียรบนกลุ่ม เอน โดสโคปิกH ของกลุ่มนั้น

สูตรร่องรอยมีหลายรูปแบบง่ายๆ ซึ่งจำกัดฟังก์ชันทดสอบf ที่มีขอบเขตจำกัด ในบางลักษณะ ( Flicker & Kazhdan 1988 ) ข้อดีของวิธีนี้คือสูตรร่องรอยและการพิสูจน์จะง่ายขึ้นมาก แต่ข้อเสียคือสูตรที่ได้จะมีประสิทธิภาพน้อยลง

ตัวอย่างเช่น ถ้าฟังก์ชันfเป็นฟังก์ชันปลายแหลม ซึ่งหมายความว่า

${\displaystyle \int _{n\in N(A)}f(xny)\,dn=0}$

สำหรับรากที่มีอำนาจเดียว N ใดๆ ของกลุ่มย่อยพาราโบลิกที่เหมาะสม (กำหนดไว้เหนือF ) และx , y ใดๆ ในG ( A )แล้ว ตัวดำเนินการR ( f )มีภาพในปริภูมิของรูปแบบคัสป์ ดังนั้นจึงกะทัดรัด

Jacquet & Langlands (1970)ใช้สูตรร่องรอยของ Selberg เพื่อพิสูจน์ความสัมพันธ์ Jacquet–Langlandsระหว่างรูปแบบอัตโนมัติบนGL ₂และรูปแบบบิดเบี้ยวของมัน สูตรร่องรอยของ Arthur–Selberg สามารถนำมาใช้ศึกษาความสัมพันธ์ที่คล้ายกันบนกลุ่มที่มีอันดับสูงกว่าได้ นอกจากนี้ยังสามารถใช้เพื่อพิสูจน์กรณีพิเศษอื่นๆ ของความเป็นฟังก์ชันของ Langlands เช่น การเปลี่ยนฐาน สำหรับบางกลุ่มได้อีกด้วย

Kottwitz (1988)ใช้สูตรร่องรอยของ Arthur–Selberg เพื่อพิสูจน์สมมติฐานของ Weil เกี่ยวกับจำนวน Tamagawa

Lafforgue (2002)อธิบายวิธีการใช้สูตรร่องรอยในการพิสูจน์ข้อสันนิษฐานของ Langlands สำหรับกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปเหนือฟิลด์ฟังก์ชัน

• รูปแบบคลื่นมาสส์
• รูปแบบฮาร์มอนิกมาสส์
• ข้อสันนิษฐานของอาร์เธอร์

• ผลงานของเจมส์ อาร์เธอร์ถูกเก็บถาวรเมื่อวันที่ 16 พฤษภาคม 2021 ที่Wayback Machineณสถาบันเคลย์
• หอจดหมายเหตุผลงานรวมของเจมส์ อาร์เธอร์ณภาควิชาคณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัยโทรอนโต