ทฤษฎีการแก้ไขเป็นสาขาย่อยของตรรกศาสตร์เชิงปรัชญาประกอบด้วยทฤษฎีทั่วไปของนิยามซึ่งรวมถึง (แต่ไม่จำกัดเพียง) แนวคิด แบบวนซ้ำและแบบพึ่งพาซึ่งกันและกัน นิยามแบบ วนซ้ำคือนิยามที่แนวคิดที่กำลังถูกนิยามปรากฏอยู่ในประโยคที่นิยามมันเอง ตัวอย่างเช่น การนิยามว่า G เป็นสีน้ำเงินและอยู่ทางซ้ายของ G อีกตัวหนึ่ง ทฤษฎีการแก้ไขให้ความหมายเชิงรูปธรรมสำหรับนิพจน์ที่นิยามไว้ และระบบการพิสูจน์เชิงรูปธรรมศึกษาตรรกศาสตร์ของนิพจน์แบบวนซ้ำ

นิยามมีความสำคัญในปรัชญาและตรรกศาสตร์ แม้ว่านิยามแบบวนซ้ำจะถูกมองว่าไม่ถูกต้องตามหลักตรรกศาสตร์หรือไม่สอดคล้องกัน แต่ทฤษฎีการแก้ไขแสดงให้เห็นว่านิยามเหล่านั้นมีความหมายและสามารถศึกษาได้ด้วย ตรรกศาสตร์ ทางคณิตศาสตร์และปรัชญา ทฤษฎีนี้ถูกนำมาใช้เพื่อวิเคราะห์แนวคิดทางปรัชญาและตรรกศาสตร์แบบวนซ้ำ

ทฤษฎีการแก้ไขเป็นการสรุปทั่วไปของทฤษฎีการแก้ไขความจริงที่พัฒนาโดยAnil Gupta , Hans Herzberger และNuel Belnap [ ^{1 ] ใน}ทฤษฎีการแก้ไขของ Gupta และ Herzberger การแก้ไขควรสะท้อนการประเมินเชิงสัญชาตญาณของประโยคที่ใช้ภาคแสดงความจริง ประโยคบางประโยคมีความเสถียรในการประเมิน เช่น ประโยคที่บอกความจริง

ผู้ที่พูดความจริงนั้นพูดความจริง

สมมติว่าผู้พูดความจริงพูดจริง ก็จะเป็นความจริง และสมมติว่าผู้พูดความจริงพูดเท็จ ก็จะเป็นเท็จ สถานะใดสถานะหนึ่งจะไม่เปลี่ยนแปลง ในทางกลับกัน บางประโยคอาจผันผวนได้ เช่น ประโยคที่ว่า "คนโกหก "

ประโยคที่บอกว่าคนโกหกนั้นไม่เป็นความจริง

หากสมมติว่าสิ่งที่คนโกหกพูดจริง เราก็สามารถพิสูจน์ได้ว่ามันเป็นเท็จ และหากสมมติว่ามันเป็นเท็จ เราก็สามารถพิสูจน์ได้ว่ามันเป็นจริง ความไม่เสถียรนี้สะท้อนให้เห็นในลำดับการแก้ไขของคนโกหก

แนวคิดเรื่องนิยามแบบวงกลมได้รับการพัฒนาโดยกุปตะร่วมกับเบลแนป หนังสือของพวกเขาเรื่อง " ทฤษฎีการแก้ไขความจริง"นำเสนอการพัฒนาเชิงลึกของทฤษฎีนิยามแบบวงกลม รวมถึงภาพรวมและการวิเคราะห์วิจารณ์มุมมองทางปรัชญาเกี่ยวกับความจริงและความสัมพันธ์ระหว่างความจริงกับนิยาม

พื้นฐานทางปรัชญาของทฤษฎีการแก้ไขได้รับการพัฒนาโดย Gupta และ Belnap ^{[ 2 ]} นักปรัชญาคนอื่นๆ เช่น Aladdin Yaqūb ได้พัฒนาการตีความทางปรัชญาของทฤษฎีการแก้ไขในบริบทของทฤษฎีความจริง แต่ไม่ใช่ในบริบททั่วไปของคำจำกัดความแบบวงกลม^{[ 3 ]}

Gupta และ Belnap ยืนยันว่าแนวคิดแบบวงกลมมีความหมายและยอมรับได้ตามหลักตรรกะ คำจำกัดความแบบวงกลมสามารถจัดการได้อย่างเป็นทางการ ดังที่แสดงให้เห็นโดยความหมายเชิงรูปธรรมของทฤษฎีการแก้ไข ดังที่ Gupta และ Belnap กล่าวไว้ว่า "บทเรียนที่เราได้จากความขัดแย้งคือขอบเขตของความหมายนั้นกว้างขวางกว่าที่ปรากฏ และแนวคิดบางอย่างที่ดูเหมือนไม่มีความหมายนั้นแท้จริงแล้วมีความหมาย" ^{[ 4 ]}

ความหมายของภาคแสดงแบบวงกลมไม่ใช่การขยาย ดังที่มักกำหนดให้กับภาคแสดงที่ไม่ใช่แบบวงกลม ความหมายของมันคือ กฎการแก้ไขที่กำหนดวิธีการสร้างส่วนขยายสมมติฐานใหม่โดยพิจารณาจากส่วนขยายเริ่มต้น ส่วนขยายใหม่เหล่านี้อย่างน้อยก็ดีเท่ากับของเดิม ในแง่ที่ว่า เมื่อกำหนดส่วนขยายหนึ่งแล้ว ส่วนขยายใหม่จะมีสิ่งต่างๆ ที่ตรงตามคำจำกัดความสำหรับภาคแสดงแบบวงกลมโดยเฉพาะ โดยทั่วไปแล้ว ไม่มีส่วนขยายที่ไม่ซ้ำกันซึ่งการแก้ไขจะกำหนด^{[ 5 ]}

ทฤษฎีการแก้ไขเสนอทางเลือกอื่นนอกเหนือจากทฤษฎีนิยามมาตรฐานทฤษฎีมาตรฐานกล่าวว่านิยามที่ดีมีคุณสมบัติสองประการ ประการแรก สัญลักษณ์ที่กำหนดไว้แล้วสามารถกำจัดและแทนที่ด้วยสิ่งที่กำหนดความหมายของมันได้เสมอ ประการที่สอง นิยามควรมีความอนุรักษ์นิยมในแง่ที่ว่าการเพิ่มนิยามไม่ควรส่งผลให้เกิดผลลัพธ์ใหม่ในภาษาเดิม ทฤษฎีการแก้ไขปฏิเสธประการแรก แต่ยังคงรักษาประการที่สองไว้ ดังที่แสดงให้เห็นในความหมายที่เข้มงวดทั้งสองประการของความถูกต้องที่นำเสนอไว้ด้านล่าง

นักตรรกศาสตร์Alfred Tarskiได้นำเสนอเกณฑ์สองประการสำหรับการประเมินคำจำกัดความในฐานะการวิเคราะห์แนวคิด ได้แก่ ความถูกต้องเชิงรูปแบบและความเพียงพอเชิงเนื้อหา เกณฑ์ความถูกต้องเชิงรูปแบบระบุว่าในคำจำกัดความสิ่งที่ถูกนิยามต้องไม่ปรากฏในสิ่งที่ถูกนิยามเกณฑ์ความเพียงพอเชิงเนื้อหากล่าวว่าคำจำกัดความต้องสอดคล้องกับแนวคิดที่กำลังวิเคราะห์ Gupta และ Belnap แนะนำให้ยึดหลักความเพียงพอเชิงเนื้อหาในกรณีที่เกณฑ์ทั้งสองขัดแย้งกัน^{[ 6 ]}การพิจารณาว่าคำจำกัดความแบบวนซ้ำให้การวิเคราะห์แนวคิดที่ดีหรือไม่นั้น จำเป็นต้องประเมินความเพียงพอเชิงเนื้อหาของคำจำกัดความ คำจำกัดความแบบวนซ้ำบางอย่างจะเป็นการวิเคราะห์ที่ดี ในขณะที่บางอย่างจะไม่ใช่ ไม่ว่าในกรณีใด ความถูกต้องเชิงรูปแบบในความหมายของ Tarski จะถูกละเมิด

แนวคิด หลักทางความหมายของทฤษฎีการแก้ไขคือ นิยาม เช่น นิยามของการเป็น นั้นให้ กฎการแก้ไขที่บอกว่าส่วนขยาย ใหม่ สำหรับสิ่งที่ต้องการนิยามควรเป็นอย่างไร โดยพิจารณาจากส่วนขยายสมมุติของสิ่งที่ต้องการนิยามและข้อมูลเกี่ยวกับนิพจน์ที่ยังไม่ได้นิยาม การประยุกต์ใช้กฎการแก้ไขซ้ำๆ จะสร้างลำดับของสมมติฐาน ซึ่งสามารถนำมาใช้กำหนดตรรกะของแนวคิดแบบวงกลมได้ ในงานเกี่ยวกับทฤษฎีการแก้ไข มักใช้สัญลักษณ์เพื่อระบุนิยาม โดยด้านซ้ายเป็นสิ่งที่ต้องการนิยามและด้านขวาเป็นสิ่งที่ถูกนิยามตัวอย่างเช่น ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle =_{df}}$

การเป็น a หมายถึงการเป็นทั้งสีน้ำเงินและอยู่ทางซ้ายของ a${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

จากนั้นสามารถเขียนได้ดังนี้

การเป็นสิ่งมีชีวิตที่มีทั้งสีฟ้าและอยู่ทางซ้ายของ.${\displaystyle G=_{df}}$${\displaystyle G}$

เมื่อกำหนดสมมติฐานเกี่ยวกับการขยายของ แล้วเราสามารถได้ส่วนขยายใหม่สำหรับการอ้างอิงถึงความหมายของนิพจน์ที่ไม่ได้กำหนดไว้ในคำนิยาม นั่นคือสีน้ำเงินและทางซ้ายของ ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

เราเริ่มต้นด้วยภาษาพื้นฐานซึ่งถูกตีความผ่านแบบจำลอง พื้นฐานแบบคลาสสิก ซึ่งเป็นคู่ของโดเมนและฟังก์ชันการตีความ [ ^{7 ] สมมติ}ว่าเซตของคำจำกัดความมีดังต่อไปนี้ ${\displaystyle L}$${\displaystyle M}$${\displaystyle D}$${\displaystyle I}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{1}{\overline {x}}&=_{Df}A_{G_{1}}({\overline {x}})\\&{}\,\,\,\vdots \\G_{n}{\overline {x}}&=_{Df}A_{G_{n}}({\overline {x}})\\&{}\,\,\,\vdots \end{aligned}}}$

โดยแต่ละสูตรอาจประกอบด้วยคำจำกัดความ ใดๆ ก็ได้ รวมถึงตัวมันเองด้วย จำเป็นต้องมีเงื่อนไขว่าในคำจำกัดความ เฉพาะตัวแปรที่แสดงเท่านั้นที่เป็นอิสระในคำจำกัดความ (สูตร) ​​ภาษาจะถูกขยายด้วย述语ใหม่เหล่านี้เพื่อสร้าง⁺เมื่อเซตมี述语ที่กำหนดไว้น้อย มักใช้สัญลักษณ์เพื่อเน้นว่าอาจ มี${\displaystyle A_{G_{i}}}$${\displaystyle G_{j}}$${\displaystyle G_{i}}$${\displaystyle {\overline {x}}}$${\displaystyle A_{G_{i}}}$${\displaystyle G_{1},\ldots ,G_{n},\ldots }$${\displaystyle L}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle G{\overline {x}}=_{Df}A({\overline {x}},G)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle G}$

สมมติฐานคือฟังก์ชันจากนิยามของ ไปยังทูเปิลของ แบบ จำลองนี้ เหมือนกับแบบจำลองยกเว้นว่าแบบ จำลองนี้ ตีความนิยามแต่ละข้อตามเงื่อนไขสองทางต่อไปนี้ ซึ่งด้านซ้ายมืออ่านว่า “ เป็นจริงใน” ${\displaystyle h}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle M+h}$${\displaystyle M}$${\displaystyle h}$${\displaystyle G_{i}({\overline {t}})}$${\displaystyle M+h}$

${\displaystyle M+h\models G_{i}({\overline {t}}){\text{ iff }}I({\overline {t}})\in h(G_{i})}$

ชุด คำจำกัดความก่อให้เกิดกฎการแก้ไข หรือตัวดำเนินการแก้ไข ตัวดำเนินการแก้ไขเป็นไปตามความเท่าเทียมกันต่อไปนี้สำหรับแต่ละคำนิยาม , , ใน${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle \delta _{M,{\mathcal {D}}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle M+\delta _{M,{\mathcal {D}}}(h)\models G({\overline {t}}){\text{ iff }}M+h\models A_{G}({\overline {t}})}$

ทูเพิลจะตรงตามคำจำกัดความ หลังจากการแก้ไขก็ต่อเมื่อมันตรงตามคำจำกัดความสำหรับ นั่น คือก่อนการแก้ไข กล่าวคือ ทูเพิลที่ตรงตามข้อกำหนดตามสมมติฐานหนึ่ง จะเป็นทูเพิลที่ตรงตามข้อกำหนดตามการแก้ไขสมมติฐานนั้น อย่างแน่นอน${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle A_{G}}$${\displaystyle A_{G}}$${\displaystyle G}$

ตัวเชื่อมทางไวยากรณ์แบบคลาสสิกจะถูกประเมินด้วยวิธีแบบเรียกซ้ำตามปกติเฉพาะการประเมินภาคแสดงที่กำหนดไว้เท่านั้นที่จะอ้างอิงถึงสมมติฐาน ${\displaystyle M+h}$

ลำดับการแก้ไขคือลำดับของสมมติฐานที่ตรงตามเงื่อนไขเพิ่มเติม^{[ 8 ]}ในที่นี้เราจะเน้นที่ลำดับที่มีความยาว - เนื่องจากลำดับการแก้ไขอนันต์ต้องมีการระบุเพิ่มเติมว่าต้องทำอะไรในขั้นตอนจำกัด ${\displaystyle \omega }$

ให้เป็นลำดับของสมมติฐาน และให้เป็นสมมติฐานลำดับที่ ในลำดับของสมมติฐานที่มีความยาวเรียกว่า ลำดับการแก้ไข ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุก, ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{\alpha }}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n+1}=\delta _{M,{\mathcal {D}}}({\mathcal {S}}_{n}).}$

กำหนดการวนซ้ำแบบเรียกซ้ำดังนี้

• ${\displaystyle \delta _{M,{\mathcal {D}}}^{0}(h)=h}$และ
• ${\displaystyle \delta _{M,{\mathcal {D}}}^{n+1}(h)=\delta _{M,{\mathcal {D}}}^{n}(\delta _{M,{\mathcal {D}}}(h)).}$

ลำดับการแก้ไขที่ยาวตั้งแต่เริ่มต้นสามารถเขียนได้ดังนี้ ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle h}$

${\displaystyle h,\delta _{M,{\mathcal {D}}}(h),\delta _{M,{\mathcal {D}}}^{2}(h),\ldots }$

ความหมายหนึ่งของความถูกต้องสามารถนิยามได้ดังนี้ ประโยคหนึ่งจะมีความถูกต้องในก็ต่อเมื่อ มีอยู่จริงที่ทำให้ สำหรับทุกและ สำหรับทุกประโยคหนึ่งจะมีความถูกต้องในก็ต่อเมื่อมันมีความถูกต้องในทุก ${\displaystyle S_{0}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle S_{0}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {D}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle h}$${\displaystyle m\geq n}$${\displaystyle M+\delta _{M,{\mathcal {D}}}^{m}(h)\models A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle D}$${\displaystyle M}$

ความถูกต้องสามารถตีความใหม่ได้ในแง่ของความเสถียรในลำดับที่มีความยาว n ประโยคหนึ่งจะเป็นจริงอย่างเสถียรในลำดับการแก้ไขก็ต่อเมื่อมีค่าเช่นนั้น สำหรับทุกค่าและประโยคหนึ่งจะเป็นเท็จอย่างเสถียรในลำดับการแก้ไขก็ต่อเมื่อมีค่าเช่นนั้น สำหรับทุกค่าและในแง่นี้ ประโยคหนึ่งจะถูกต้องในบนก็ต่อเมื่อเป็นจริงอย่างเสถียรในลำดับการแก้ไขที่มีความยาว n ทั้งหมด บน ${\displaystyle S_{0}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\alpha }}$${\displaystyle \beta \geq \alpha }$${\displaystyle M+{{\mathcal {S}}_{\beta }}\models A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\alpha }}$${\displaystyle \beta \geq \alpha }$${\displaystyle M+{{\mathcal {S}}_{\beta }}\not \models A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle S_{0}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle M}$

สำหรับตัวอย่างแรก ให้โดเมนของแบบจำลองพื้นฐานเป็น{a, b}และให้และดังนั้นจะมีสมมติฐานที่เป็นไปได้สี่ข้อสำหรับ: , {a} , {b} , {a, b}ขั้นตอนแรกๆ ของลำดับการแก้ไขที่เริ่มต้นจากสมมติฐานเหล่านั้นแสดงไว้ในตารางต่อไปนี้ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{1}}$${\displaystyle Gx=_{Df}(x=a\ \&\ \sim Gx)\lor (x=b\ \&\ Gb).}$${\displaystyle M}$${\displaystyle I(a)=a}$${\displaystyle I(b)=b}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \emptyset }$

ตัวอย่างการแก้ไขสำหรับ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{1}}$

ขั้นตอนที่ 0	ขั้นตอนที่ 1	ขั้นตอนที่ 2	ขั้นตอนที่ 3
${\displaystyle \emptyset }$	{a}	${\displaystyle \emptyset }$	{a}
{a}	${\displaystyle \emptyset }$	{a}	${\displaystyle \emptyset }$
{b}	{a, b}	{b}	{a, b}
{a, b}	{b}	{a, b}	{b}

ดังที่เห็นได้ในตาราง ค่าจะเข้าและออกจากส่วนขยายของมันไม่เคยมีเสถียรภาพ ในทางกลับกันค่าจะคงอยู่ใน หรือคงอยู่นอก มันมีเสถียรภาพ แต่ว่าจะเป็นจริงอย่างมีเสถียรภาพหรือเท็จอย่างมีเสถียรภาพนั้นขึ้นอยู่กับสมมติฐานเริ่มต้น ${\displaystyle a}$${\displaystyle G}$${\displaystyle b}$

ต่อไป ให้เป็นไปตามตารางต่อไปนี้ สมมติฐานทั้งหมดสำหรับแบบจำลองพื้นฐานของตัวอย่างก่อนหน้านี้จะถูกแก้ไขเป็นเซต{a, b } ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{2}}$${\displaystyle Hx=_{Df}Hx\lor \sim Hx.}$

ตัวอย่างการแก้ไขสำหรับ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{2}}$

ขั้นตอนที่ 0	ขั้นตอนที่ 1	ขั้นตอนที่ 2	ขั้นตอนที่ 3
${\displaystyle \emptyset }$	{a, b}	{a, b}	{a, b}
{a}	{a, b}	{a, b}	{a, b}
{b}	{a, b}	{a, b}	{a, b}
{a, b}	{a, b}	{a, b}	{a, b}

สำหรับรูปแบบการแก้ไขที่ซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย ให้ประกอบด้วยตัวเลขทั้งหมดและให้แบบจำลองพื้นฐานเป็นซึ่งโดเมนคือจำนวนธรรมชาติโดยมีการตีความว่าสำหรับตัวเลขทั้งหมด และคือลำดับปกติบนจำนวนธรรมชาติ ให้เป็นให้สมมติฐานเริ่มต้นเป็นในกรณีนี้ ลำดับของการขยายจะสร้างขึ้นทีละขั้นตอน ${\displaystyle {L}}$${\displaystyle <}$${\displaystyle {\overline {k}}}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle I}$${\displaystyle I({\overline {k}})=k}$${\displaystyle I(<)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{3}}$${\displaystyle Jx=_{Df}\forall y(y<x\supset Jy).}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \emptyset }$

${\displaystyle \varnothing ,\ \{0\},\ \{0,1\},\ \{0,1,2,\},\ \ldots }$

แม้ว่าสำหรับทุกๆจะใช้ได้ในกรณีหนึ่งแต่จะไม่ถูกต้องในกรณีอื่น ${\displaystyle n}$${\displaystyle J{\overline {n}}}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \forall xJx}$${\displaystyle \mathbb {N} }$

สมมติว่าสมมติฐานเริ่มต้นประกอบด้วย 0, 2 และจำนวนคี่ทั้งหมด หลังจากการแก้ไขครั้งหนึ่ง ส่วนขยายของสมมติฐานจะเป็น{0, 1, 2, 3, 4}การแก้ไขครั้งต่อๆ ไปจะสร้างส่วนขยายขึ้นเช่นเดียวกับตัวอย่างก่อนหน้านี้ โดยทั่วไปแล้ว หากส่วนขยายของสมมติฐานไม่ใช่ทั้งหมดของสมมติฐาน การแก้ไขครั้งหนึ่งจะตัดส่วนขยายของสมมติฐานลงเหลือเพียงส่วนเริ่มต้นที่อาจว่างเปล่าของจำนวนธรรมชาติ และการแก้ไขครั้งต่อๆ ไปจะสร้างส่วนขยายขึ้นใหม่ ${\displaystyle J}$${\displaystyle J}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle J}$

มีระบบการพิสูจน์การหักล้างตามธรรมชาติแบบ Fitchสำหรับคำจำกัดความแบบวงกลม^{[ 9 ]}ระบบนี้ใช้สูตรดัชนีโดยที่สามารถเป็นจำนวนเต็มใดๆ ก็ได้ เราสามารถคิดว่าดัชนีแสดงถึงตำแหน่งสัมพัทธ์ในลำดับการแก้ไข ข้อสมมติและข้อสรุปของกฎสำหรับตัวเชื่อมแบบคลาสสิกทั้งหมดมีดัชนีเดียวกัน ตัวอย่างเช่น นี่คือกฎ การแนะนำการเชื่อมโยงและการปฏิเสธ${\displaystyle C_{0}}$${\displaystyle {A}^{i}}$${\displaystyle i}$

| | | ใน ${\displaystyle B^{i}}$${\displaystyle C^{i}}$${\displaystyle (B\&C)^{i}}$${\displaystyle \&}$

| |__ | | | | | ใน ${\displaystyle B^{i}}$${\displaystyle \vdots }$${\displaystyle \bot ^{i}}$${\displaystyle \sim B^{i}}$${\displaystyle \sim }$

สำหรับแต่ละนิยามในนั้นจะมีกฎอยู่คู่หนึ่ง ${\displaystyle G{\overline {x}}=_{Df}A_{G}({\overline {x}})}$${\displaystyle D}$

| | ดีเอฟอิน ${\displaystyle A_{G}({\overline {t}})^{i}}$${\displaystyle G({\overline {t}})^{i+1}}$

| | DfElim ${\displaystyle G({\overline {t}})^{i+1}}$${\displaystyle A_{G}({\overline {t}})^{i}}$

ในกฎเหล่านี้ ถือว่ามี อิสระสำหรับใน${\displaystyle {\overline {t}}}$${\displaystyle {\overline {x}}}$${\displaystyle A_{G}}$

สุดท้ายนี้ สำหรับสูตรของยังมีกฎอีกข้อหนึ่ง คือ กฎการเลื่อนดัชนี ${\displaystyle B}$${\displaystyle {L}}$

| | IS ${\displaystyle B^{i}}$${\displaystyle B^{j}}$

ในกฎนี้และสามารถเป็นดัชนีที่แตกต่างกันใดๆ ก็ได้ กฎนี้สะท้อนให้เห็นว่าสูตรจากภาษาต้นฉบับจะไม่เปลี่ยนแปลงความหมายตลอดกระบวนการแก้ไข ${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

ระบบมีความถูกต้องสมบูรณ์ในแง่ของความถูกต้อง หมายความว่าประโยคจะถูกต้องก็ต่อเมื่อสามารถอนุมานได้ในระบบอื่น ${\displaystyle C_{0}}$${\displaystyle S_{0}}$${\displaystyle S_{0}}$${\displaystyle C_{0}}$

เมื่อเร็วๆ นี้ Riccardo Bruni ได้พัฒนาระบบสัจพจน์แบบ Hilbertและระบบลำดับที่ทั้งถูกต้องและสมบูรณ์เมื่อพิจารณาจาก^{[ 10 ]}${\displaystyle S_{0}}$

สำหรับคำจำกัดความบางอย่างความถูกต้องไม่แข็งแกร่งพอ^{[ 11 ]}ตัวอย่างเช่น ในคำจำกัดความแม้ว่าทุกจำนวนจะมีเสถียรภาพในส่วนขยายของ ในที่สุดประโยคที่มีปริมาณสากลก็ไม่ถูกต้อง เหตุผลก็คือ เพื่อให้ประโยคใด ๆ ถูกต้อง ประโยคนั้นจะต้องมีเสถียรภาพเป็นจริงหลังจากมีการแก้ไขจำนวนจำกัด ในทางกลับกันต้องมีการแก้ไขจำนวนอนันต์ เว้นแต่สมมติฐานเริ่มต้นจะกำหนดจำนวนธรรมชาติทั้งหมดเป็นส่วนขยายของแล้ว ${\displaystyle S_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{3}}$${\displaystyle J}$${\displaystyle \forall xJx}$${\displaystyle \forall xJx}$${\displaystyle J}$

การเสริมความแข็งแกร่งตามธรรมชาติของความถูกต้อง และทางเลือกอื่น ๆ แทนความถูกต้องนั้น ใช้ลำดับการแก้ไขที่ยาวเป็นอนันต์ ให้เป็นกลุ่มของลำดับ ทั้งหมด คำจำกัดความจะเน้นที่ลำดับของสมมติฐานที่มีความยาว n ${\displaystyle S_{0}}$${\displaystyle On}$${\displaystyle On}$

สมมติว่าเป็นลำดับของสมมติฐานที่มีความยาว ทูเพิลจะอยู่ในส่วนขยายของเพรดิเคตที่กำหนดไว้ณลำดับลิมิตในลำดับอย่างเสถียรก็ต่อเมื่อมีเช่นนั้น สำหรับทุก โดยที่ และใน ทำนอง เดียวกัน ทูเพิลจะอยู่นอกส่วนขยายของ อย่างเสถียรณ ลำดับลิมิตก็ต่อเมื่อมีขั้นเช่นนั้น สำหรับทุกโดยที่ และมิฉะนั้นจะไม่เสถียร ณ ในโดยทั่วไปแล้ว ทูเพิลจะอยู่ในส่วนขยาย ณ ลิมิตอย่างเสถียรก็ต่อเมื่อมีขั้น หลังจากนั้นทูเพิลจะอยู่ในส่วนขยายจนถึงลิมิต และทูเพิลจะอยู่นอกส่วนขยายอย่างเสถียรก็ต่อเมื่อมีขั้น หลังจากนั้นทูเพิลจะยังคงอยู่นอกส่วนขยายไปจนถึงขั้นลิมิต ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle On}$${\displaystyle {\overline {d}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \alpha \leq \beta }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \alpha \leq \gamma <\beta }$${\displaystyle {\overline {d}}\in {\mathcal {S}}_{\gamma }}$${\displaystyle {\overline {d}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \alpha \leq \gamma <\beta }$${\displaystyle {\overline {d}}\not \in {\mathcal {S}}_{\gamma }}$${\displaystyle {\overline {d}}}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

สมมติฐานจะสอดคล้องกับลำดับลิมิตก็ต่อเมื่อสำหรับทูเปิลทั้งหมดถ้ามีเสถียรภาพใน [มีเสถียรภาพนอก] ส่วนขยายของ ที่ในแล้ว${\displaystyle h}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle {\overline {d}}}$${\displaystyle {\overline {d}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\overline {d}}\in [\not \in ]h(G)}$

ลำดับ สมมติฐาน ที่มีความยาว - จะเป็นลำดับการแก้ไขก็ต่อเมื่อ สำหรับทุก, ${\displaystyle On}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \alpha }$

• ถ้าเช่นนั้นและ${\displaystyle \alpha =\beta +1}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{\alpha }=\delta _{M,{\mathcal {D}}}({\mathcal {S}}_{\beta })}$
• ถ้าเป็นลิมิต ก็จะสอดคล้องกับที่${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{\alpha }}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \alpha }$

เช่นเดียวกับลำดับต่างๆขั้นตอนต่อๆ ไปของลำดับจะถูกสร้างขึ้นโดยตัวดำเนินการแก้ไข อย่างไรก็ตาม ในขั้นตอนขีดจำกัด ข้อจำกัดเพียงอย่างเดียวคือสมมติฐานขีดจำกัดต้องสอดคล้องกับสิ่งที่เกิดขึ้นก่อนหน้า องค์ประกอบที่ไม่เสถียรจะถูกกำหนดตามกฎขีดจำกัด ซึ่งรายละเอียดของกฎนั้นยังคงเปิดกว้างโดยชุดคำจำกัดความ ${\displaystyle \omega }$

กฎลิมิตสามารถแบ่งออกได้เป็นสองประเภท คือ กฎลิมิตคงที่และกฎลิมิตไม่คงที่ ขึ้นอยู่กับว่ากฎเหล่านั้นดำเนินการแตกต่างกันอย่างไรในแต่ละขั้นของลิมิต กฎลิมิตคงที่แบบหนึ่งจะดำเนินการเหมือนกันกับองค์ประกอบที่ไม่เสถียรในแต่ละลิมิต กฎลิมิตคงที่แบบหนึ่งโดยเฉพาะ คือ กฎของเฮิร์ซเบอร์เกอร์ จะไม่รวมองค์ประกอบที่ไม่เสถียรทั้งหมดไว้ในส่วนขยาย ตามกฎคงที่อีกแบบหนึ่ง คือ กฎของกุปตะ องค์ประกอบที่ไม่เสถียรจะถูกรวมอยู่ในส่วนขยายก็ต่อเมื่อมันอยู่ในลิมิตก่อนหน้าเท่านั้นกฎลิมิตไม่คงที่จะมีวิธีการจัดการกับองค์ประกอบที่ไม่เสถียรในลิมิตที่แตกต่างกันไป ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}}$

สามารถกำหนดความหมายของความถูกต้องได้สองแบบโดยใช้ ลำดับที่มีความยาว n ความหมาย ความหมายแรก คือความถูกต้อง ซึ่งกำหนดในแง่ของความเสถียร ประโยคหนึ่ง ถูกต้องในในบน ก็ ต่อเมื่อ สำหรับ ลำดับการแก้ไขที่มีความยาว n ทั้งหมดจะมีขั้นตอนหนึ่งที่ทำให้ เป็นจริงอย่างเสถียรในหลังจากขั้นตอนนั้นประโยค หนึ่งถูกต้องบนก็ต่อเมื่อ สำหรับแบบจำลองพื้นฐานแบบคลาสสิกทั้งหมดถูกต้องในบน${\displaystyle On}$${\displaystyle S^{*}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle S^{*}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle On}$${\displaystyle {S}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle A}$${\displaystyle S^{*}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$${\displaystyle S^{*}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

ความหมายที่สองของความถูกต้อง คือ ความถูกต้อง ซึ่งใช้ คำว่า "เกือบเสถียร"แทน "เสถียร" ประโยค หนึ่งจะ "เกือบเสถียร" เป็นจริงในลำดับก็ต่อเมื่อมีค่า n ที่ทำให้สำหรับทุก ค่า n จะมีจำนวนธรรมชาติ n ที่ทำให้สำหรับทุกค่าn ประโยคหนึ่งจะ "เกือบเสถียร" เป็นเท็จในลำดับก็ต่อเมื่อมี ค่า n ที่ทำให้สำหรับทุกค่า n จะมีจำนวนธรรมชาติn ที่ทำให้สำหรับทุกค่าn ประโยคที่เกือบเสถียรอาจมีช่วงเวลาที่ไม่เสถียรเป็นระยะเวลาจำกัดหลังจากขีดจำกัดหนึ่งๆ หลังจากนั้นก็จะเข้าสู่สภาวะเสถียรจนกว่าจะถึงขีดจำกัดถัดไป ${\displaystyle S^{\#}}$${\displaystyle {A}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta \geq \alpha }$${\displaystyle n}$${\displaystyle m\geq n}$${\displaystyle M+\delta _{M,{\mathcal {D}}}^{m}({\mathcal {S}}_{\beta })\models A.}$${\displaystyle {A}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta \geq \alpha }$${\displaystyle n}$${\displaystyle m\geq n}$${\displaystyle M+\delta _{M,{\mathcal {D}}}^{m}({\mathcal {S}}_{\beta })\not \models A.}$

ประโยคหนึ่งจะถูกต้องในก็ต่อเมื่อ สำหรับลำดับการแก้ไขที่ยาว ทั้งหมด จะมีขั้นตอนหนึ่งที่ทำให้ประโยคนั้นเป็นจริงอย่างเสถียรเกือบจะในหลังจากขั้นตอนนั้นประโยคหนึ่งจะถูกต้องในก็ต่อเมื่อมันถูกต้องในในแบบจำลองพื้นฐานทั้งหมด ${\displaystyle A}$${\displaystyle S^{\#}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle On}$${\displaystyle {S}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle A}$${\displaystyle S^{\#}}$${\displaystyle S^{\#}}$

ถ้าประโยคหนึ่งถูกต้องในก็จะถูกต้องในแต่ในทางกลับกันนั้นไม่เป็นเช่นนั้น ตัวอย่างที่ใช้แสดงให้เห็นถึงความถูกต้องในแบบจำลอง ประโยคนี้ไม่ถูกต้องในในแต่ถูกต้องใน ${\displaystyle S^{*}}$${\displaystyle S^{\#}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{3}}$${\displaystyle \forall xJx}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle S_{0}}$${\displaystyle S^{\#}}$

ข้อดีอย่างหนึ่งของความถูกต้องคือมันสร้างตรรกะที่เรียบง่ายกว่าระบบการพิสูจน์นั้นถูกต้องสำหรับแต่โดยทั่วไปแล้วมันไม่สมบูรณ์ เมื่อพิจารณาถึงความสมบูรณ์ของถ้าประโยคหนึ่งถูกต้องในแล้วมันก็ถูกต้องในแต่ในทางกลับกันนั้นไม่เป็นจริงโดยทั่วไป ความถูกต้องในและในโดยทั่วไปแล้วเปรียบเทียบกันไม่ได้ ดังนั้น จึงไม่ถูกต้องสำหรับ ${\displaystyle S^{\#}}$${\displaystyle S^{*}}$${\displaystyle C_{0}}$${\displaystyle S^{\#}}$${\displaystyle C_{0}}$${\displaystyle S_{0}}$${\displaystyle S^{\#}}$${\displaystyle S_{0}}$${\displaystyle S^{*}}$${\displaystyle C_{0}}$${\displaystyle S^{*}}$

แม้ว่าความถูกต้องจะเหนือกว่าความถูกต้องโดยทั่วไป แต่ก็มีกรณีพิเศษที่ทั้งสองตรงกัน นั่นคือนิยามที่จำกัดกล่าวโดยคร่าว ๆ นิยามจะจำกัดก็ต่อเมื่อลำดับการแก้ไขทั้งหมดหยุดสร้างสมมติฐานใหม่หลังจากการแก้ไขจำนวนจำกัด กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น เรากำหนดสมมติฐานว่าเป็น แบบ สะท้อนกลับ ก็ ต่อเมื่อมี จำนวนธรรมชาติ ที่ทำให้ นิยามจะจำกัดก็ต่อเมื่อสำหรับแบบจำลองทั้งหมดสำหรับสมมติฐานทั้งหมดมีจำนวนธรรมชาติที่ทำให้เป็นแบบสะท้อนกลับ กุปตะแสดงให้เห็นว่าถ้าจำกัดแล้วความถูกต้องและความถูกต้องจะตรงกัน ${\displaystyle S^{\#}}$${\displaystyle S_{0}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle h=\delta _{M,{\mathcal {D}}}^{n}(h)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle h}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \delta _{M,{\mathcal {D}}}^{n}(h)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle S^{\#}}$${\displaystyle S_{0}}$

ไม่มีลักษณะเฉพาะทางไวยากรณ์ที่รู้จักของเซตของคำจำกัดความจำกัด และคำจำกัดความจำกัดไม่ได้ปิดภายใต้การดำเนินการทางตรรกะมาตรฐาน เช่น การเชื่อมและการแยก Maricarmen Martinez ได้ระบุคุณลักษณะทางไวยากรณ์บางประการที่เซตของคำจำกัดความจำกัดปิด^{[ 12 ]}เธอได้แสดงให้เห็นว่าถ้าประกอบด้วยเฉพาะภาคแสดงเอกภาค นอกเหนือจากเอกลักษณ์ ไม่มีสัญลักษณ์ฟังก์ชัน และคำจำกัดความของเป็นเอกภาคทั้งหมด แล้วจะเป็นเซตจำกัด ${\displaystyle {L}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

แม้ว่าการดำเนินการทางตรรกะมาตรฐานหลายอย่างจะไม่รักษาความเป็นจำนวนจำกัด แต่การดำเนินการประกอบตัวเอง จะรักษาความเป็นจำนวน จำกัด ไว้ ^{[ 13 ]}สำหรับคำจำกัดความให้กำหนดการประกอบตัวเองแบบเรียกซ้ำดังต่อไปนี้ ${\displaystyle G{\overline {x}}=_{Df}A({\overline {x}},G)}$

• ${\displaystyle A^{0}({\overline {x}},G)=G{\overline {x}}}$และ
• ${\displaystyle A^{n+1}({\overline {x}},G)=A^{n}({\overline {x}},G)[A({\overline {t}},G)/G{\overline {t}}]}$.

ข้อความหลังกล่าวว่าได้มาจากการแทนที่ทุกกรณีของในด้วยถ้าเป็นนิยามจำกัด และเป็นผลลัพธ์ของการแทนที่นิยาม แต่ละตัว ในด้วยแล้ว ก็เป็นนิยามจำกัดเช่นกัน ${\displaystyle A^{n+1}}$${\displaystyle G{\overline {t}}}$${\displaystyle A^{n}}$${\displaystyle A({\overline {t}},G)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{n}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle B^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{n}}$

ทฤษฎีการแก้ไขแยกแยะความเท่าเทียมกันของเนื้อหาออกจากความเท่าเทียมกันของคำจำกัดความ^{[ 14 ]}ชุดของคำจำกัดความใช้แบบหลัง โดยทั่วไปแล้ว ความเท่าเทียมกันของคำจำกัดความไม่เหมือนกับความเท่าเทียมกันของเนื้อหา เมื่อกำหนดคำจำกัดความแล้ว

${\displaystyle Gx=_{Df}A(x,G),}$

สิ่งที่เทียบเท่าทางวัตถุของมัน

${\displaystyle \forall x(Gx\equiv A(x,G)),}$

โดยทั่วไปจะไม่ถูกต้อง^{[ 15 ]} คำจำกัดความ

${\displaystyle Gx=_{Df}\sim Gx}$

แสดงให้เห็นถึงความไม่ถูกต้องคำนิยามและสิ่งที่ถูกนิยามจะไม่ค่าความจริง เดียวกัน หลังจากการแก้ไขใดๆ ดังนั้นเงื่อนไขสองทางเชิงเนื้อหาจึงไม่ถูกต้อง สำหรับคำนิยามบางคำ ส่วนที่เป็นเนื้อหาที่เทียบเท่ากับประโยคนิยามนั้นถูกต้อง ตัวอย่างเช่น ถ้าคำนิยามของประกอบด้วยสัญลักษณ์จากภาษาพื้นฐานเท่านั้น ส่วนที่เป็นเนื้อหาที่เทียบเท่ากันก็จะถูกต้อง

คำจำกัดความที่ให้ไว้ข้างต้นใช้สำหรับแผนผังแบบคลาสสิก คำจำกัดความเหล่านี้สามารถปรับให้ใช้งานได้กับแผนผังความหมายใดๆ ก็ได้^{[ 16 ]}ซึ่งรวมถึงแผนผังสามค่า เช่นStrong Kleeneที่มีการปฏิเสธการยกเว้นซึ่งตารางความจริงมีดังต่อไปนี้

การปฏิเสธการยกเว้น

${\displaystyle \lnot }$
${\displaystyle {\textbf {t}}}$	${\displaystyle {\textbf {f}}}$
${\displaystyle {\textbf {n}}}$	${\displaystyle {\textbf {f}}}$
${\displaystyle {\textbf {f}}}$	${\displaystyle {\textbf {t}}}$

ที่น่าสังเกตคือ แนวทางหลายอย่างในการค้นหาความจริง เช่น ทฤษฎี Strong Kleene ของ Saul Kripkeไม่สามารถนำมาใช้กับการปฏิเสธแบบกีดกันในภาษาได้

ทฤษฎีการแก้ไข แม้จะคล้ายคลึงกับทฤษฎีนิยามแบบอุปนัยในบางแง่มุม แต่ก็แตกต่างกันในหลายด้าน^{[ 17 ]}ที่สำคัญที่สุด การแก้ไขไม่จำเป็นต้องเป็นแบบโมโนโทนิก กล่าวคือ ส่วนขยายในขั้นตอนต่อมาไม่จำเป็นต้องเป็นซูเปอร์เซตของส่วนขยายในขั้นตอนก่อนหน้า ดังที่แสดงในตัวอย่างแรกข้างต้น ในทำนองเดียวกัน ทฤษฎีการแก้ไขไม่ได้ตั้งสมมติฐานข้อจำกัดใดๆ เกี่ยวกับรูปแบบทางไวยากรณ์ของนิยาม นิยามแบบอุปนัยต้องการให้definientiaเป็นบวกในแง่ที่ว่าdefiniendaสามารถปรากฏในdefinientia ได้ ภายใต้การปฏิเสธจำนวนคู่เท่านั้น (สมมติว่าการปฏิเสธ การเชื่อม การแยก และตัวบ่งปริมาณสากลเป็นตัวเชื่อมตรรกะดั้งเดิม และตัวเชื่อมคลาสสิกที่เหลือเป็นเพียงสัญลักษณ์ที่กำหนดไว้) นิยาม

${\displaystyle Gx=_{Df}(x{\text{ is even }}\&\ Gx)\vee (x{\text{ is odd }}\&\ \sim Gx)}$

เป็นที่ยอมรับได้ในทฤษฎีการแก้ไข แต่ไม่เป็นที่ยอมรับในทฤษฎีนิยามแบบอุปนัย

นิยามเชิงอุปนัยจะถูกตีความทางความหมายผ่านจุดคงที่ ซึ่งเป็นสมมติฐานที่โดยทั่วไปแล้ว ลำดับการแก้ไขจะไม่ไปถึงจุดคงที่ หากนิยามของทั้งหมดเป็นบวก ลำดับการแก้ไขจะไปถึงจุดคงที่ ตราบใดที่สมมติฐานเริ่มต้นมีคุณลักษณะที่ว่าสำหรับแต่ละโดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อกำหนด เช่นนั้น หากสมมติฐานเริ่มต้นกำหนดส่วนขยายที่ว่างเปล่าให้กับ นิยามทั้งหมดลำดับการแก้ไขจะไปถึงจุดคงที่ขั้นต่ำ ${\displaystyle h}$${\displaystyle h=\delta _{M,{\mathcal {D}}}(h)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle h(G)\subseteq \delta _{M,{\mathcal {D}}}(h)(G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

ชุดของประโยคที่ถูกต้องตามคำจำกัดความบางอย่างอาจมีความซับซ้อนมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งฟิลิป เครเมอร์และอัลโด อันโตเนลลีได้แสดงให้เห็นเรื่องนี้^{[ 18 ]}ดังนั้นจึงไม่มีระบบพิสูจน์ความถูกต้อง ${\displaystyle \Pi _{2}^{1}}$${\displaystyle S^{\#}}$

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีการแก้ไขที่โด่งดังที่สุดคือทฤษฎีความจริง ดังที่พัฒนาขึ้นในงานของ Gupta และ Belnap (1993) เป็นต้น นิยามแบบวงกลมของความจริงคือเซตของเงื่อนไขสองทางของ Tarski ทั้งหมด ' ' เป็นจริงก็ต่อเมื่อโดยที่ 'ก็ต่อเมื่อ' นั้นเข้าใจว่าเป็นความเท่าเทียมกันเชิงนิยามมากกว่าความเท่าเทียมกันเชิงเนื้อหา เงื่อนไขสองทางของ Tarski แต่ละตัวให้นิยามบางส่วนของแนวคิดเรื่องความจริง แนวคิดเรื่องความจริงเป็นแบบวงกลมเพราะเงื่อนไขสองทางของ Tarski บางตัวใช้ 'เป็นจริง' ที่ไม่สามารถกำจัดได้ในนิยาม ของมัน ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเป็นชื่อของประโยคที่บอกความจริงเป็นจริง ประโยคนี้มีเงื่อนไขสองทางของ Tarski คือ เป็นจริงก็ต่อเมื่อเป็นจริง ตัวบ่งชี้ความจริงทางด้านขวาไม่สามารถกำจัดได้ ตัวอย่างนี้ขึ้นอยู่กับการมีประโยคที่บอกความจริงในภาษา ตัวอย่างนี้และตัวอย่างอื่นๆ แสดงให้เห็นว่าความจริงที่นิยามโดยเงื่อนไขสองทางของ Tarski เป็นแนวคิดแบบวงกลม ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle =_{Df}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$

บางภาษา เช่น ภาษาของเลขคณิต จะมีการอ้างอิงตนเองที่ร้ายกาจ ประโยคโกหกและประโยคผิดปกติอื่นๆ รับประกันว่าจะอยู่ในภาษาที่มีความจริง ภาษาอื่นๆ ที่มีความจริงสามารถกำหนดได้โดยปราศจากการอ้างอิงตนเองที่ร้ายกาจ^{[ 19 ]}ในภาษาดังกล่าว ลำดับการแก้ไขใดๆสำหรับความจริงจะต้องไปถึงขั้นที่ดังนั้นภาคแสดงความจริงจึงมีพฤติกรรมเหมือนภาคแสดงที่ไม่เป็นวงกลม^{[ 20 ]}ผลก็คือ ในภาษาดังกล่าว ความจริงมีการขยายที่เสถียรซึ่งกำหนดไว้เหนือประโยคทั้งหมดของภาษา ซึ่งแตกต่างจากทฤษฎีความจริงอื่นๆ มากมาย เช่น ทฤษฎี Strong Kleene ขั้นต่ำและ ทฤษฎี supervaluational ขั้นต่ำ การขยายและการต่อต้านการขยายของภาคแสดงความจริงในทฤษฎีเหล่านี้จะไม่ครอบคลุมชุดประโยคทั้งหมดของภาษา ${\displaystyle {S}}$${\displaystyle {S}_{\alpha }={S}_{\alpha +1}}$

ความแตกต่างระหว่างและมีความสำคัญเมื่อพิจารณาทฤษฎีการแก้ไขความจริง ส่วนหนึ่งของความแตกต่างปรากฏให้เห็นในกฎความหมาย ซึ่งเป็นความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้ โดยที่Tเป็นตัวบ่งชี้ความจริง^{[ 21 ]}${\displaystyle S^{\#}}$${\displaystyle S^{*}}$

• ${\displaystyle \forall A(T(\ulcorner \sim A\urcorner )\equiv \sim T(\ulcorner A\urcorner ))}$
• ${\displaystyle \forall A,B(T(\ulcorner {A\&B}\urcorner )\equiv T(\ulcorner {A}\urcorner )\&T(\ulcorner {B}\urcorner ))}$
• ${\displaystyle \forall A,B(T(\ulcorner {A\lor B}\urcorner )\equiv T(\ulcorner {A}\urcorner )\lor T(\ulcorner {B}\urcorner ))}$
• ${\displaystyle \forall A(T(\ulcorner \forall xA\urcorner )\equiv \forall tT(\ulcorner A[x/t]\urcorner ))}$

ทั้งหมดนี้ใช้ได้ในถึงแม้ว่าอันสุดท้ายจะใช้ได้เฉพาะเมื่อโดเมนสามารถนับได้และทุกองค์ประกอบมีชื่อ ในอย่างไรก็ตาม ไม่มีอันไหนใช้ได้ เราสามารถเห็นได้ว่าเหตุใดกฎการปฏิเสธจึงล้มเหลวโดยพิจารณาจากผู้โกหกผู้โกหกและการวนซ้ำแบบจำกัดทั้งหมดของตัวบ่งชี้ความจริงต่อมันไม่เสถียร ดังนั้นจึงสามารถกำหนดให้และมีค่าความจริงเดียวกันที่ขีดจำกัดบางอย่าง ซึ่งส่งผลให้และมีค่าความจริงที่แตกต่างกัน สิ่งนี้ได้รับการแก้ไขหลังจากการแก้ไข แต่กฎการปฏิเสธจะไม่เป็นจริงอย่างเสถียร เป็นผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีบทของ Vann McGee ที่ว่าทฤษฎีความจริงของการแก้ไขใน นั้น ไม่สอดคล้องกัน^{[ 22 ]} ทฤษฎี นี้ ไม่สอดคล้องกัน ${\displaystyle S^{\#}}$${\displaystyle S^{*}}$${\displaystyle a=\ulcorner {\sim Ta}\urcorner }$${\displaystyle T\ulcorner {Ta}\urcorner }$${\displaystyle T\ulcorner {\sim Ta}\urcorner }$${\displaystyle \sim T\ulcorner {Ta}\urcorner }$${\displaystyle T\ulcorner {\sim Ta}\urcorner }$${\displaystyle S^{\#}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle S^{*}}$${\displaystyle \omega }$

มีทฤษฎีสัจพจน์เกี่ยวกับความจริงที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีในภาษาเลขคณิตที่มีความจริง ทฤษฎีฟรีดแมน-เชียร์ด (FS) ได้มาจากการเพิ่มสัจพจน์ปกติของเลขคณิตพีอาโนเข้าไป${\displaystyle S^{\#}}$

• สัจพจน์​${\displaystyle \forall s,t(T(\ulcorner {s=t}\urcorner )\equiv s=t)}$
• กฎทางความหมาย
• สัจพจน์การเหนี่ยวนำที่มีภาคแสดงความจริง และ
• กฎสองข้อ
  • ถ้าเช่นนั้นและ${\displaystyle \vdash A}$${\displaystyle \vdash T(\ulcorner A\urcorner )}$
  • ถ้าเช่นนั้น^{[ 23 ]}${\displaystyle \vdash T(\ulcorner A\urcorner )}$${\displaystyle \vdash A}$

ตามทฤษฎีบทของ McGee ทฤษฎีนี้ไม่สอดคล้องกันอย่างไรก็ตาม FS ไม่มีทฤษฎีบทที่เป็นประโยคทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ ที่เป็นเท็จ^{[ 24 ]} FS มีทฤษฎีบทการสะท้อนทั่วโลกสำหรับเลขคณิตของ Peano ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \forall x((\mathrm {Sent} (x)\ \&\ \mathrm {Bew} _{PA}(x))\supset Tx),}$

โดยที่เป็นตัวบ่งชี้ความน่าจะเป็นของการพิสูจน์สำหรับเลขคณิตของพีอาโน และเป็นตัวบ่งชี้ที่เป็นจริงสำหรับประโยคทั้งหมดและเฉพาะประโยคในภาษาที่มีความจริงเท่านั้น ดังนั้น จึงเป็นทฤษฎีบทของ FS ที่ว่าเลขคณิตของพีอาโนมีความสอดคล้องกัน ${\displaystyle \mathrm {Bew} _{PA}}$${\displaystyle \mathrm {Sent} }$

FS เป็นทฤษฎีย่อยของทฤษฎีความจริงสำหรับเลขคณิต ซึ่งเป็นเซตของประโยคที่ถูกต้องในวิธีมาตรฐานในการแสดงว่า FS มีความสอดคล้องคือการใช้ลำดับการแก้ไขที่ยาว^{[ 25 ]}มีงานบางส่วนที่ทำเกี่ยวกับการกำหนดสัจพจน์ของทฤษฎีความจริงสำหรับเลขคณิต^{[ 26 ]}${\displaystyle S^{\#}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle S^{*}}$

ทฤษฎีการแก้ไขถูกนำมาใช้เพื่อศึกษาแนวคิดแบบวงกลมที่นอกเหนือจากความจริง และเพื่อเสนอการวิเคราะห์ทางเลือกอื่นสำหรับแนวคิดต่างๆ เช่น ความมีเหตุผล

ทฤษฎีเซตที่ไม่มั่นคง (Non-well-founded set theory ) คือทฤษฎีเซตที่ตั้งสมมติฐานว่ามีเซตที่ไม่มั่นคงอยู่จริง ซึ่งเป็นเซตที่มีสายโซ่ลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุดตามความสัมพันธ์ของการเป็นสมาชิก ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \cdots x_{n+1}\in x_{n}\in \cdots \in x_{1}\in x.}$

Antonelli ได้ใช้ทฤษฎีการแก้ไขเพื่อสร้างแบบจำลองของทฤษฎีเซตที่ไม่มั่นคง^{[ 27 ]}ตัวอย่างหนึ่งคือทฤษฎีเซตที่กำหนดเซตที่มีสมาชิกเพียงตัวเดียวคือตัวมันเอง ${\displaystyle x=\{x\}}$

เครื่องจักรทัวริงแบบเวลาอนันต์เป็นแบบจำลองการคำนวณที่อนุญาตให้การคำนวณดำเนินต่อไปได้เป็นจำนวนขั้นตอนอนันต์ พวกมันเป็นการขยายเครื่องจักรทัวริงมาตรฐานที่ใช้ในทฤษฎีความสามารถในการคำนวณ เบเนดิกต์ โลเว ได้แสดงให้เห็นว่ามีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดระหว่างการคำนวณของเครื่องจักรทัวริงแบบเวลาอนันต์และกระบวนการแก้ไข^{[ 28 ]}

การเลือกอย่างมีเหตุผลในทฤษฎีเกมได้รับการวิเคราะห์ว่าเป็นแนวคิดแบบวงกลม André Chapuis ได้โต้แย้งว่าเหตุผลที่ตัวแทนใช้ในการเลือกอย่างมีเหตุผลแสดงให้เห็นถึงความสัมพันธ์ระหว่างกันซึ่งเป็นลักษณะเฉพาะของแนวคิดแบบวงกลม^{[ 29 ]}

ทฤษฎีการแก้ไขสามารถปรับใช้เพื่อจำลองปรากฏการณ์ประเภทอื่นได้ ตัวอย่างเช่นความคลุมเครือได้รับการวิเคราะห์ในแง่ของทฤษฎีการแก้ไขโดย Conrad Asmus ^{[ 30 ]}ในการจำลองภาคแสดงที่คลุมเครือในแนวทางนี้ จะต้องระบุคู่ของวัตถุที่คล้ายกันและวัตถุใดที่ไม่ใช่กรณีขอบเขต ดังนั้นจึงไม่สามารถแก้ไขได้ วัตถุขอบเขตจะเปลี่ยนสถานะของตนเมื่อเทียบกับภาคแสดงขึ้นอยู่กับสถานะของวัตถุที่คล้ายคลึงกัน

ทฤษฎีการแก้ไขได้รับการใช้โดย Gupta เพื่ออธิบายการมีส่วนร่วมเชิงตรรกะของประสบการณ์ต่อความเชื่อของบุคคล^{[ 31 ]}ตามมุมมองนี้ การมีส่วนร่วมของประสบการณ์แสดงโดยกฎการแก้ไขที่รับมุมมองหรือแนวคิดและความเชื่อของตัวแทนเป็นอินพุต และให้ผลลัพธ์เป็นการตัดสินการรับรู้ การตัดสินเหล่านี้สามารถใช้เพื่อปรับปรุงมุมมองของตัวแทนได้

• อนิล กุปตา
• นิยามแบบวงกลม
• คำนิยาม
• ความขัดแย้ง
• ตรรกศาสตร์เชิงปรัชญา
• ความจริง

• Kremer, P. (2014). ทฤษฎีการแก้ไขความจริงใน Zalta, EN, บรรณาธิการ, สารานุกรมปรัชญาแห่งสแตนฟอร์ด ฉบับฤดูร้อน 2014