การประมาณซองจดหมายที่เปลี่ยนแปลงอย่างช้าๆ

Q: ตัวอย่าง

ตัวอย่างเช่น พิจารณา สมการคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า :

ในฟิสิกส์การประมาณซองคลื่นที่เปลี่ยนแปลงช้าๆ^{[ 1 ]} ( SVEAบางครั้งเรียกว่าการประมาณแบบไม่สมมาตรที่เปลี่ยนแปลงช้าๆหรือSVAA ) คือสมมติฐานที่ว่าซองคลื่น ของพัลส์ คลื่นที่เดินทางไปข้างหน้าจะเปลี่ยนแปลงช้าๆ ในเวลาและพื้นที่เมื่อเทียบกับคาบหรือความยาวคลื่นซึ่งต้องใช้สเปกตรัมของสัญญาณแบบแถบแคบ—ดังนั้นจึงเรียกอีกอย่างว่า การประมาณ แบบแถบแคบ

การประมาณค่าซองสัญญาณที่เปลี่ยนแปลงอย่างช้าๆ มักถูกนำมาใช้ เนื่องจากสมการที่ได้นั้นในหลายกรณีแก้ได้ง่ายกว่าสมการดั้งเดิม ลดลำดับของ อนุพันธ์ย่อยอันดับสูงสุดทั้งหมดหรือบางส่วนแต่ความถูกต้องของสมมติฐานที่ใช้จำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์

ตัวอย่าง

ตัวอย่างเช่น พิจารณาสมการคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า :

$\nabla ^{2}E-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial t^{2}}}=0\,,$

ที่ไหน $c={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}~.$

ถ้า $k$ และ $ω$ คือเลขคลื่นและความถี่เชิงมุมของคลื่นพาหะ (ลักษณะเฉพาะ) สำหรับสัญญาณ $E (r, t)$ การแสดงผลต่อไปนี้จะมีประโยชน์:

$E(\mathbf {r} ,t)=\operatorname {\operatorname {Re} } \left[E_{0}(\mathbf {r} ,t)\,e^{i(\mathbf {k} _{0}\cdot \mathbf {r} -\omega _{0}t)}\right],$

ที่ไหน $\operatorname {Re} [\,\cdot \,]$ หมายถึงส่วนจริงของปริมาณที่อยู่ระหว่างวงเล็บ และ $i^{2}\equiv -1.$

ในการประมาณซองคลื่นที่เปลี่ยนแปลงช้า (SVEA) ถือว่าแอมพลิจูดเชิงซ้อน $E (r, t)$ เปลี่ยนแปลงช้าๆ ตาม $r$ และ $t$ เท่านั้น ซึ่งหมายความว่า $E (r, t)$ แสดงถึงคลื่นที่แพร่กระจายไปข้างหน้า โดยส่วนใหญ่อยู่ใน ทิศทาง $k$ เป็นผลจากการเปลี่ยนแปลงช้าๆ ของ $E (r, t)$ เมื่อทำการหาอนุพันธ์ อนุพันธ์อันดับสูงสุดอาจถูกละเลยได้: ^{[ 2 ]}

\left|\nabla ^{2}E_{0}\right|\ll \left|\mathbf {k} _{0}\cdot \nabla E_{0}\right|

และ

\left|{\frac {\partial ^{2}E_{0}}{\partial t^{2}}}\right|\ll \left|\omega _{0}\,{\frac {\partial E_{0}}{\partial t}}\right|,

กับ

k_{0}\equiv \left|\mathbf {k} _{0}\right|.

การประมาณค่าแบบเต็ม

ดังนั้น สมการคลื่นจึงถูกประมาณใน SVEA ดังนี้:

$2i\mathbf {k} _{0}\cdot \nabla E_{0}+{\frac {2i\omega _{0}}{c^{2}}}{\frac {\partial E_{0}}{\partial t}}-\left(k_{0}^{2}-{\frac {\omega _{0}^{2}}{c^{2}}}\right)E_{0}=0~.$

เป็นการสะดวกที่จะเลือก $k$ และ $ω$ ให้เป็นไปตามความสัมพันธ์การกระจายตัว ดังนี้ :

$k_{0}^{2}-{\frac {\omega _{0}^{2}}{c^{2}}}=0~.$

ซึ่งให้ค่าประมาณของสมการคลื่นดังต่อไปนี้ อันเป็นผลมาจากการประมาณซองคลื่นที่เปลี่ยนแปลงอย่างช้าๆ:

$\mathbf {k} _{0}\cdot \nabla E_{0}+{\frac {\omega _{0}}{c^{2}}}\,{\frac {\partial E_{0}}{\partial t}}=0~.$

นี่คือสมการอนุพันธ์ย่อยไฮเปอร์โบลิกเหมือนกับสมการคลื่นดั้งเดิม แต่คราวนี้เป็นอันดับหนึ่งแทนที่จะเป็นอันดับสอง สมการนี้ใช้ได้กับคลื่นที่เคลื่อนที่ไปข้างหน้าอย่างสอดคล้องกันในทิศทางใกล้ $k₀$ โดยทั่วไปแล้ว ขนาดของพื้นที่และเวลาที่ $E₀ เปลี่ยนแปลงนั้นยาวกว่าความยาวคลื่นเชิงพื้นที่และคาบเวลาของคลื่นพาหะมาก ดังนั้น การแก้สมการซองคลื่นด้วยวิธีเชิงตัวเลขจึงสามารถใช้ขั้นตอน$ พื้นที่และเวลาที่ใหญ่กว่ามาก ส่งผลให้ใช้ความพยายามในการคำนวณน้อยลงอย่างเห็นได้ชัด

การประมาณแบบพาราโบลา

สมมติว่าการแพร่กระจายของคลื่นส่วนใหญ่อยู่ใน ทิศทาง $z$ และ $k$ ถูกกำหนดในทิศทางนี้ SVEA จะถูกนำมาใช้เฉพาะกับอนุพันธ์เชิงพื้นที่อันดับสองใน ทิศทาง $z$ และเวลาเท่านั้น ถ้า $\Delta _{\perp }\equiv \partial ^{2}/\partial x^{2}+\partial ^{2}/\partial y^{2}$ หากเป็นตัวดำเนินการลาปลาสใน ระนาบ $x$ × $y$ ผลลัพธ์คือ: ^{[ 3 ]}

$k_{0}{\frac {\partial E_{0}}{\partial z}}+{\frac {\omega _{0}}{c^{2}}}{\frac {\partial E_{0}}{\partial t}}-{\frac {1}{2}}\,i\,\Delta _{\perp }E_{0}=0~.$

นี่คือสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบพาราโบลาสมการนี้มีความถูกต้องแม่นยำมากขึ้นเมื่อเทียบกับ SVEA แบบเต็ม: มันแสดงถึงคลื่นที่แพร่กระจายในทิศทางที่แตกต่างจากทิศทาง $z อย่างมีนัยสำคัญ$

ขีดจำกัดความถูกต้องทางเลือก

ในกรณีหนึ่งมิติ เงื่อนไขเพียงพออีกประการหนึ่งสำหรับความถูกต้องของ SVEA คือ

\ell _{\mathsf {g}}\gg \lambda

และ

\ell _{\mathsf {p}}\gg \lambda \left(1-{\frac {v}{c}}\right)\,,

กับ

\lambda ={\frac {2\pi }{k_{0}}}\,,

ที่ไหน $\ell _{\mathsf {g}}$ คือความยาวที่คลื่นรังสีถูกขยายให้ใหญ่ขึ้น $\ell _{\mathsf {p}}$ คือความกว้างของพัลส์และ $v$ คือความเร็วกลุ่มของระบบการแผ่รังสี^{[ 4 ]}

เงื่อนไขเหล่านี้มีความเข้มงวดน้อยกว่ามากในขอบเขตสัมพัทธภาพซึ่ง ${\frac {v}{c}}$ มีค่าใกล้เคียงกับ 1 เช่นเดียวกับในเลเซอร์อิเล็กตรอนอิสระเมื่อเปรียบเทียบกับเงื่อนไขปกติที่จำเป็นสำหรับความถูกต้องของ SVEA

ดูเพิ่มเติม

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]