ในทฤษฎีความน่าจะ เป็น วิวัฒนาการ ของSchramm–Loewnerที่มีพารามิเตอร์κหรือที่รู้จักกันในชื่อวิวัฒนาการ Loewner แบบสุ่ม ( SLE ) คือตระกูลของเส้นโค้งระนาบแบบสุ่ม ซึ่งได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นขีดจำกัดการปรับขนาดของแบบจำลองโครงตาข่ายสองมิติหลากหลายรูปแบบในกลศาสตร์เชิงสถิติเมื่อกำหนดพารามิเตอร์κและโดเมนUในระนาบเชิงซ้อนแล้วจะได้ตระกูลของเส้นโค้งแบบสุ่มในUโดยที่κควบคุมว่าเส้นโค้งจะหมุนไปมากน้อยเพียงใด SLE มีสองรูปแบบหลัก คือ SLE แบบคอร์ดัลซึ่งให้ตระกูลของเส้นโค้งแบบสุ่มจากจุดขอบคงที่สองจุด และSLE แบบรัศมีซึ่งให้ตระกูลของเส้นโค้งแบบสุ่มจากจุดขอบคงที่ไปยังจุดภายในคงที่ เส้นโค้งเหล่านี้ถูกกำหนดให้สอดคล้องกับความไม่แปรเปลี่ยนแบบคอนฟอร์มอลและคุณสมบัติมาร์คอฟของ โดเมน

Oded Schramm ( 2000 )ค้นพบสิ่งนี้ในฐานะขีดจำกัดการปรับขนาดที่คาดการณ์ไว้ของต้นไม้แผ่ขยายสม่ำเสมอแบบ ระนาบ (UST) และ กระบวนการความน่าจะเป็นของ การเดินสุ่มแบบลบวงวนแบบระนาบ (LERW) และได้รับการพัฒนาโดยเขาร่วมกับGreg LawlerและWendelin Wernerในชุดเอกสารร่วมกันหลายฉบับ 

นอกจาก UST และ LERW แล้ว วิวัฒนาการของ Schramm–Loewner ยังถูกตั้งสมมติฐานหรือพิสูจน์แล้วว่าสามารถอธิบายขีดจำกัดการปรับขนาดของกระบวนการสุ่มต่างๆ ในระนาบได้ เช่นการซึมผ่านวิกฤต (critical percolation)แบบจำลอง Ising วิกฤต (critical Ising model ) แบบจำลองไดเมอร์คู่ (double -dimer model) การเดินที่หลีกเลี่ยงตัวเอง (self-avoiding walks ) และแบบจำลองกลศาสตร์สถิติวิกฤตอื่นๆ ที่แสดงความไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การแปลงเชิงคอนฟอร์มัล (conformal invariance) เส้นโค้ง SLE คือขีดจำกัดการปรับขนาดของส่วนต่อประสานและเส้นโค้งสุ่มอื่นๆ ที่ไม่ตัดกันเองในแบบจำลองเหล่านี้ แนวคิดหลักคือ ความไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การแปลงเชิงคอนฟอร์มัลและคุณสมบัติของ Markovบางอย่างที่มีอยู่ในกระบวนการสุ่มดังกล่าว ทำให้สามารถเข้ารหัสเส้นโค้งระนาบเหล่านี้ลงในการเคลื่อนที่แบบบราวน์หนึ่งมิติที่วิ่งบนขอบเขตของโดเมน (ฟังก์ชันขับเคลื่อนในสมการเชิงอนุพันธ์ของ Loewner) ด้วยวิธีนี้ คำถามสำคัญหลายข้อเกี่ยวกับแบบจำลองระนาบสามารถแปลเป็นแบบฝึกหัดในแคลคูลัสของ Itôได้ อันที่จริง การคาดการณ์ที่ไม่เข้มงวดทางคณิตศาสตร์หลายอย่างที่นักฟิสิกส์ทำโดยใช้ทฤษฎีสนามคอน ฟอร์มัล ได้รับการพิสูจน์แล้วโดยใช้กลยุทธ์นี้

ถ้าเป็นโดเมนเชิงซ้อนแบบเปิดที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายและไม่เท่ากับและเป็นเส้นโค้งแบบง่ายในที่เริ่มต้นบนขอบเขต (ฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีบนขอบเขตของและเป็นเซตย่อยของ) แล้ว สำหรับแต่ละ ส่วนเติมเต็ม ของจะเชื่อมต่อกันอย่างง่าย และดังนั้นจึง เป็นไอโซม อร์ฟิกเชิงคอนฟอร์มัลกับโดยทฤษฎีบทการแมปของรีมันน์ถ้าเป็นไอโซมอร์ฟิซึมแบบนอร์มาไลซ์ที่เหมาะสมจากไปยังแล้วมันจะสอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์ที่Loewner (1923 , หน้า 121) พบ ในงานของเขาเกี่ยวกับการคาดการณ์ของ Bieberbach บางครั้งการใช้ฟังก์ชันผกผัน ของซึ่งเป็นการแมปเชิงคอนฟอร์มัลจากไป ยัง นั้นสะดวกกว่า${\displaystyle D}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle D}$${\displaystyle \gamma (0)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \gamma ((0,\infty ))}$${\displaystyle D}$${\displaystyle t\geq 0}$${\displaystyle D_{t}=D\smallsetminus \gamma ([0,t])}$${\displaystyle \gamma ([0,t])}$${\displaystyle D}$${\displaystyle f_{t}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D_{t}}$${\displaystyle g_{t}}$${\displaystyle f_{t}}$${\displaystyle D_{t}}$${\displaystyle D}$

ในสมการของ Loewner นั้น, , และค่าขอบเขตที่เวลาคือหรือ สมการนี้ขึ้นอยู่กับฟังก์ชันขับเคลื่อนซึ่งมีค่าอยู่ที่ขอบเขตของถ้า คือวงกลมหน่วยและเส้นโค้งถูกกำหนดพารามิเตอร์ด้วย "ความจุ" แล้วสมการของ Loewner คือ${\displaystyle z\in D}$${\displaystyle t\geq 0}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle f_{0}(z)=z}$${\displaystyle g_{0}(z)=z}$${\displaystyle \zeta (t)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\frac {\บางส่วน f_{t}(z)}{\partial t}}=-zf_{t}^{\prime }(z){\frac {\zeta (t)+z}{\zeta (t)-z}}}$ หรือ ${\displaystyle {\dfrac {\partial g_{t}(z)}{\partial t}}=g_{t}(z){\dfrac {\zeta (t)+g_{t}(z)}{\zeta (t)-g_{t}(z)}}.}$

เมื่อใดที่ระนาบครึ่งบน สมการของโลว์เนอร์จะแตกต่างจากนี้โดยการเปลี่ยนตัวแปร และคือ${\displaystyle D}$

${\displaystyle {\frac {\บางส่วน f_{t}(z)}{\บางส่วน t}}={\frac {2f_{t}^{\prime }(z)}{\zeta (t)-z}}}$ หรือ ${\displaystyle {\dfrac {\partial g_{t}(z)}{\partial t}}={\dfrac {2}{g_{t}(z)-\zeta (t)}}.}$

ฟังก์ชันการขับเคลื่อนและเส้นโค้งมีความสัมพันธ์กันโดย${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle f_{t}(\zeta (t))=\gamma (t){\text{ หรือ }}\zeta (t)=g_{t}(\gamma (t))}$

โดยที่และถูกขยายออกไปโดยความต่อเนื่อง${\displaystyle f_{t}}$${\displaystyle g_{t}}$

วิวัฒนาการของ Schramm–Loewner คือเส้นโค้งสุ่มγที่กำหนดโดยสมการ Loewner ดังในส่วนก่อนหน้า สำหรับฟังก์ชันขับเคลื่อน

${\displaystyle \zeta (t)={\sqrt {\kappa }}B(t)}$

โดยที่B ( t ) คือการเคลื่อนที่แบบบราวน์บนขอบเขตของDซึ่งถูกปรับขนาดด้วยค่าจริงκ บาง ค่า กล่าวอีกนัยหนึ่ง วิวัฒนาการของ Schramm–Loewner คือการวัดความน่าจะเป็นบนเส้นโค้งระนาบ ซึ่งกำหนดให้เป็นภาพของการวัด Wiener ภายใต้แผนที่นี้

โดยทั่วไปแล้ว เส้นโค้ง γ ไม่จำเป็นต้องเป็นเส้นโค้งแบบง่าย และโดเมนD ไม่ใช่ส่วนเติมเต็มของγ ([0, t ]) ในDแต่เป็นส่วนประกอบที่ไม่จำกัดของส่วนเติมเต็มแทน

SLE มีสองเวอร์ชัน โดยใช้เส้นโค้งสองตระกูล ซึ่งแต่ละตระกูลขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์จริงที่ไม่เป็นลบκ :

• คอร์ดัล SLE ซึ่งเกี่ยวข้องกับเส้นโค้งที่เชื่อมต่อจุดสองจุดบนขอบเขตของโดเมน (โดยปกติคือระนาบครึ่งบน โดยจุดทั้งสองคือ 0 และอนันต์)
• รัศมี SLE ซึ่งเกี่ยวข้องกับเส้นโค้งที่เชื่อมจุดบนขอบของโดเมนกับจุดภายใน (มักเป็นเส้นโค้งที่เชื่อม 1 และ 0 ในวงกลมหน่วย)

SLE ขึ้นอยู่กับการเลือกการเคลื่อนที่แบบบราวน์บนขอบเขตของโดเมน และมีหลายรูปแบบขึ้นอยู่กับชนิดของการเคลื่อนที่แบบบราวน์ที่ใช้ ตัวอย่างเช่น อาจเริ่มต้นที่จุดคงที่ หรือเริ่มต้นที่จุดที่กระจายอย่างสม่ำเสมอบนวงกลมหน่วย หรืออาจมีการเคลื่อนที่แบบดริฟต์ในตัว และอื่นๆ พารามิเตอร์κควบคุมอัตราการแพร่กระจายของการเคลื่อนที่แบบบราวน์ และพฤติกรรมของ SLE ขึ้นอยู่กับค่าของมันอย่างมาก

โดเมนสองโดเมนที่ใช้กันทั่วไปในการวิวัฒนาการแบบ Schramm–Loewner คือระนาบครึ่งบนและวงกลมหน่วย แม้ว่าสมการเชิงอนุพันธ์ของ Loewner ในสองกรณีนี้จะดูแตกต่างกัน แต่ก็เทียบเท่ากันจนถึงการเปลี่ยนตัวแปร เนื่องจากวงกลมหน่วยและระนาบครึ่งบนนั้นเทียบเท่ากันในเชิงคอนฟอร์มัล อย่างไรก็ตาม ความเทียบเท่าในเชิงคอนฟอร์มัลระหว่างทั้งสองโดเมนไม่ได้รักษาการเคลื่อนที่แบบบราวน์บนขอบเขตที่ใช้ในการขับเคลื่อนการวิวัฒนาการแบบ Schramm–Loewner

De Castro et al. ^{[ 1 ]}สังเกตว่าปัญหาการซึมผ่านแบบสองมิติสามารถมองได้ว่าเกิดขึ้นในภูมิทัศน์ที่มีความสัมพันธ์ความสูงระยะไกลที่กำหนดโดยเลขชี้กำลัง Hurst H และเส้นรอบวงภายนอกของกลุ่มการซึมผ่านสำหรับพื้นผิวที่สัมพันธ์กันนั้นพบว่ามีความเทียบเท่าทางสถิติกับเส้นโค้ง SLE สำหรับ H∈[-1,0]

อย่างไรก็ตาม de Castro et al. ไม่ได้ให้การแสดงออกที่ชัดเจนสำหรับ κ ในรูปของ H ในงานของ Ivan Gordeev และ Elizabeth Sosnovskaya (Orlova) ^{[ 2 ]}แสดงให้เห็นว่าการพึ่งพาของพารามิเตอร์ SLE κ ต่อเลขชี้กำลัง Hurst H สามารถหาได้ง่าย:

${\displaystyle \kappa ={\begin{cases}4-{8 \over 3}H,&{\text{for }}H\in [-{3 \over 4},0]\\6,&{\text{for }}H\in [-1,-{3 \over 4}]\end{cases}}.}$

• สำหรับ 0  ≤ κ < 4 เส้นโค้ง γ( t ) จะเป็นเส้นโค้งแบบง่าย (ด้วยความน่าจะเป็น 1)   
• สำหรับ 4  < κ < 8 เส้นโค้ง γ( t ) จะตัดกับตัวเอง และทุกจุดจะอยู่ในวง แต่เส้นโค้งนั้นไม่ใช่เส้นโค้งที่เติมเต็มพื้นที่ (ด้วยความน่าจะเป็น 1)   
• สำหรับκ  ≥  8 เส้นโค้ง γ( t ) จะครอบคลุมพื้นที่ทั้งหมด (ด้วยความน่าจะเป็น 1)
• κ  =  2 สอดคล้องกับการเดินสุ่มแบบลบวงวนหรือเทียบเท่ากับกิ่งก้านของต้นไม้แผ่คลุมสม่ำเสมอ
• สำหรับκ  =  8/3 นั้น SLE มีคุณสมบัติการจำกัด และคาดการณ์กันว่าเป็นขีดจำกัดการปรับขนาดของการเดินสุ่มแบบหลีกเลี่ยงตัวเองรูปแบบหนึ่งของมันคือขอบเขตภายนอกของการเคลื่อนที่แบบบราวน์
• κ  =  3 คือค่าจำกัดของอินเทอร์เฟซสำหรับแบบจำลอง Ising
• κ  =  4 สอดคล้องกับเส้นทางของตัวสำรวจฮาร์มอนิกและเส้นคอนทัวร์ของสนามอิสระแบบเกาส์เซียน
• อินเทอร์เฟซการซึมผ่าน: สร้างรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่ประกอบด้วยรูปหกเหลี่ยมขนาดเท่ากันบนระนาบ ระบายสีด้านบนและด้านซ้ายด้วยสีดำ และด้านล่างและด้านขวาด้วยสีขาว จากนั้นระบายสีรูปหกเหลี่ยมที่เหลือด้วยสีขาวหรือสีดำอย่างอิสระด้วยความน่าจะเป็น 1/2 เท่ากัน มีเส้นแบ่งระหว่างสีดำและสีขาว ทอดยาวจากด้านล่างซ้ายไปยังด้านบนขวา ขีดจำกัดการปรับขนาดของเส้นแบ่งคือκ  =  6
• สำหรับκ  =  6, SLE มีคุณสมบัติความเป็นท้องถิ่น คุณสมบัตินี้เกิดขึ้นในขีดจำกัดการปรับขนาดของการซึมผ่านวิกฤตบนโครงตาข่ายสามเหลี่ยม และคาดการณ์ว่าอาจเกิดขึ้นบนโครงตาข่ายอื่นๆ ด้วย
• κ  =  8 สอดคล้องกับเส้นทางที่แยกต้นไม้แผ่คลุมสม่ำเสมอออกจากต้นไม้คู่ขนาน

เมื่อ SLE สอดคล้องกับทฤษฎีสนามคอนฟอร์มอลบางอย่าง พารามิเตอร์κจะมีความสัมพันธ์กับประจุกลางc ของทฤษฎีสนามคอนฟอร์มอลโดย

${\displaystyle c={\frac {(8-3\kappa )(\kappa -6)}{2\kappa }}.}$

แต่ละค่าของc  <  1 สอดคล้องกับค่าκ สองค่า ค่า κหนึ่งค่าอยู่ระหว่าง 0 ถึง 4 และค่า "คู่" 16/ κที่มากกว่า 4 (ดูBauer & Bernard (2002a) Bauer & Bernard (2002b) )

Beffara (2008)แสดงให้เห็นว่ามิติ Hausdorffของเส้นทาง (ที่มีความน่าจะเป็น 1) เท่ากับ min(2,  1  + κ /8) 

ความน่าจะเป็นที่คอร์ด SLE γจะอยู่ทางซ้ายของจุดคงที่นั้นคำนวณโดยSchramm (2001a) ^{[ 3 ]}${\displaystyle x_{0}+iy_{0}=z_{0}\in \mathbb {H} }$

${\displaystyle \mathbb {P} [\gamma {\text{ passes to the left }}z_{0}]={\frac {1}{2}}+{\frac {\Gamma ({\frac {4}{\kappa }})}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma ({\frac {8-\kappa }{2\kappa }})}}{\frac {x_{0}}{y_{0}}}\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {4}{\kappa }},{\frac {3}{2}},-\left({\frac {x_{0}}{y_{0}}}\right)^{2}\right)}$

โดยที่คือฟังก์ชันแกมมาและคือฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกซึ่งได้มาจากการใช้คุณสมบัติมาร์ติงเกลของ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle _{2}F_{1}(a,b,c,d)}$

${\displaystyle h(x,y):=\mathbb {P} [\gamma {\text{ passes to the left }}x+iy]}$

และใช้ทฤษฎีบทของอิโตะเพื่อให้ได้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยต่อไปนี้สำหรับ${\displaystyle w:={\tfrac {x}{y}}}$

${\displaystyle {\frac {\kappa }{2}}\partial _{ww}h(w)+{\frac {4w}{w^{2}+1}}\partial _{w}h=0.}$

สำหรับκ = 4 ด้านขวามือคือซึ่งใช้ในการสร้างตัวสำรวจฮาร์มอนิก^{[ 4 ]}และสำหรับκ = 6 เราจะได้สูตรของ Cardy ซึ่ง Smirnov ใช้เพื่อพิสูจน์ความไม่แปรผันเชิงคอนฟอร์มอลในการแพร่กระจาย^{[ 5 ]}${\displaystyle 1-{\tfrac {1}{\pi }}\arg(z_{0})}$

Lawler, Schramm & Werner (2001b)ใช้ SLE เพื่อพิสูจน์สมมติฐานของMandelbrot (1982)ที่ว่าขอบเขตของการเคลื่อนที่แบบบราวน์ในระนาบมีมิติแฟรกทัล 4/3

Stanislav Smirnovได้ พิสูจน์แล้ว ^ว่าการซึมผ่านวิกฤตบนโครงตาข่ายสามเหลี่ยมมีความเกี่ยวข้องกับ SLE ^{[ 6 ]}เมื่อรวมกับงานก่อนหน้านี้ของHarry Kesten [ ^{7 ]}ทำให้สามารถกำหนดเลขชี้กำลังวิกฤตสำหรับการซึมผ่านได้ หลายตัว ^{[ 8 ]}ความก้าวหน้านี้ทำให้สามารถวิเคราะห์แง่มุมต่างๆ ของแบบจำลองนี้เพิ่มเติมได้^{[ 9 ] [ 10 ]}

Lawler, Schramm และ Werner แสดงให้เห็นว่าการเดินสุ่มแบบลบวงวน จะลู่เข้าสู่ SLE ^{[ 11 ]}ซึ่งทำให้สามารถอนุมานคุณสมบัติเชิงปริมาณมากมายของการเดินสุ่มแบบลบวงวนได้ (ซึ่งบางส่วนได้รับการอนุมานมาก่อนหน้านี้โดย Richard Kenyon ^{[ 12 ]} ) เส้นโค้ง Peano แบบสุ่มที่เกี่ยวข้อง ซึ่งแสดงโครงร่างของต้นไม้แผ่ขยายแบบสม่ำเสมอแสดงให้เห็นว่าลู่เข้าสู่SLE ^{[ 11 ]}

โรห์เดและชแรมม์แสดงให้เห็นว่าκมีความสัมพันธ์กับมิติแฟรกทัลของเส้นโค้งโดยความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้

${\displaystyle d=1+{\frac {\kappa }{8}}.}$

โปรแกรมคอมพิวเตอร์ (Matlab) ที่นำเสนอในที่เก็บข้อมูล GitHub นี้ใช้จำลองเส้นโค้งระนาบวิวัฒนาการของ Schramm Loewner

• Lawler; Schramm; Werner (2001), บทเรียน: SLE , Lawrence Hall of Science , มหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย เบิร์กลีย์{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)(วิดีโอการบรรยายของ MSRI)
• Schramm, Oded (2001), ขีดจำกัดการปรับขนาดที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามการคอนฟอร์มอลและ SLE , MSRI(สไลด์จากงานบรรยาย)