วิทยาศาสตร์ที่ปราศจากตัวเลข

ปกหนังสือฉบับพิมพ์ครั้งแรก จัดพิมพ์โดยสำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน
ผู้เขียน	สนามฮาร์ทรี
ภาษา	ภาษาอังกฤษ
วิชา	ปรัชญาคณิตศาสตร์
สำนักพิมพ์	สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน (ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 1), สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด (ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 2)
วันที่เผยแพร่	1980
สถานที่ตีพิมพ์	สหรัฐอเมริกา
หน้า	130
รางวัล	รางวัลลากาตอส
ISBN	978-0-631-12672-0
โอซีแอลซี	967261539
ระบบดิวอี้	501
คลาส LC	Q175.F477
เว็บไซต์	อ็อกซ์ฟอร์ด อคาเดมี

"Science Without Numbers: A Defence of Nominalism"เป็นหนังสือเกี่ยวกับปรัชญาคณิตศาสตร์ที่เขียนโดยฮาร์ทรี ฟิลด์ ในปี 1980 ในหนังสือเล่มนี้ ฟิลด์ได้ปกป้องลัทธินามนิยม (nominalism)ซึ่งเป็นมุมมองที่ว่าวัตถุทางคณิตศาสตร์เช่นตัวเลขไม่มีอยู่จริง หนังสือเล่มนี้เขียนขึ้นเพื่อตอบโต้ข้อโต้แย้งเกี่ยวกับการมีอยู่ของวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าข้อโต้แย้งเรื่องความจำเป็น (indispensability argument ) ตามข้อโต้แย้งนี้ ความเชื่อในวัตถุทางคณิตศาสตร์นั้นสมเหตุสมผลเพราะคณิตศาสตร์มีความจำเป็นต่อวิทยาศาสตร์ โครงการหลักของหนังสือเล่มนี้คือการสร้างแบบจำลองทางเทคนิคของวิทยาศาสตร์ที่ตัดการอ้างอิงถึงสิ่งต่างๆ ทางคณิตศาสตร์ออกไป จึงแสดงให้เห็นว่าคณิตศาสตร์ไม่ได้มีความจำเป็นต่อวิทยาศาสตร์

โดยอิงจากระบบสัจพจน์ของเรขาคณิตของฮิลเบิร์ตซึ่งละทิ้งระยะทางเชิงตัวเลขและหันมาใช้ความสัมพันธ์ทางเรขาคณิตแบบดั้งเดิม ฟิลด์ได้แสดงให้เห็นถึงแนวทางในการปรับปรุงทฤษฎีแรงโน้มถ่วงของนิวตันโดยไม่จำเป็นต้องอ้างอิงถึงตัวเลข ตามแนวคิดเชิงปรัชญาของฟิลด์ คณิตศาสตร์ถูกนำมาใช้ในวิทยาศาสตร์เพราะมันมีประโยชน์ ไม่ใช่เพราะมันเป็นความจริง เขาให้เหตุผลสนับสนุนมุมมองนี้ด้วยแนวคิดที่ว่าคณิตศาสตร์นั้นอนุรักษ์นิยมกล่าวคือ คณิตศาสตร์ไม่สามารถนำมาใช้เพื่อพิสูจน์ข้อเท็จจริงทางกายภาพใดๆ นอกเหนือจากที่ได้บ่งบอกไว้แล้วจากแง่มุมทางกายภาพของทฤษฎี เขายังพิสูจน์เพิ่มเติมว่าข้อความในทฤษฎีการเรียบเรียงแบบนามนิยมของเขาสามารถเชื่อมโยงกับข้อความทางคณิตศาสตร์ได้อย่างเป็นระบบ ซึ่งเขาเชื่อว่าเป็นการอธิบายว่าคณิตศาสตร์สามารถนำมาใช้เพื่อพิสูจน์ข้อเท็จจริงทางกายภาพจากทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์ได้อย่างถูกต้องอย่างไร

หนังสือ Science Without Numbers ของฟิลด์ได้รับอิทธิพลอย่างมากทันทีที่วางจำหน่าย และก่อให้เกิดการถกเถียงอย่างกว้างขวางในปรัชญาคณิตศาสตร์ ประเด็นถกเถียงรวมถึงขอบเขตที่การปรับปรุงทฤษฎีแรงโน้มถ่วงของนิวตันโดยฟิลด์นั้นเป็นทางเลือกที่น่าสนใจกว่าทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ดั้งเดิมหรือไม่ และการพึ่งพาวัตถุทางเรขาคณิต เช่น จุด ในปริภูมิเวลาเป็นสิ่งที่ยอมรับได้หรือไม่ นอกจากนี้ยังมีการหยิบยกประเด็นทางเทคนิคเกี่ยวกับนิยามของความอนุรักษ์ และการใช้เมตาตรรกะและตรรกะลำดับที่สอง ของฟิลด์ หลังจากหนังสือเล่มนี้วางจำหน่าย นักปรัชญาคนอื่นๆ ได้พยายามขยายแนวคิดของฟิลด์ไปยังสาขาต่างๆ เช่นกลศาสตร์ควอนตัมและ ทฤษฎีสั ม พัทธภาพทั่วไป

หนังสือ Science Without Numbersเกิดขึ้นในช่วงที่มีความสนใจในปรัชญาคณิตศาสตร์ เพิ่มขึ้นอีกครั้ง หลังจากบทความที่มีอิทธิพลหลายฉบับของPaul Benacerrafโดยเฉพาะอย่างยิ่งบทความ "Mathematical Truth" ในปี 1973 ในบทความนั้น Benacerraf ได้โต้แย้งว่ายังไม่ชัดเจนว่าการมีอยู่ของวัตถุทางคณิตศาสตร์ ที่ไม่ใช่ทางกายภาพ เช่นตัวเลขและเซตจะสามารถสอดคล้องกับญาณวิทยา ที่ยอมรับได้ทางวิทยาศาสตร์ได้ อย่างไร^{[ 1 ]}ข้อโต้แย้งนี้เป็นหนึ่งในแรงจูงใจของ Field ในการเขียนScience Without Numbersโดยเขามุ่งหวังที่จะนำเสนอคำอธิบายเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ที่เข้ากันได้กับ มุมมอง แบบธรรมชาติของโลก^{[ 2 ]}

เป้าหมายหลักของหนังสือเล่มนี้คือการปกป้องลัทธินามนิยมซึ่งเป็นมุมมองที่ว่าวัตถุทางคณิตศาสตร์ไม่มีอยู่จริง และเพื่อบั่นทอนแรงจูงใจของลัทธิเพลโตซึ่งเป็นมุมมองที่ว่าวัตถุทางคณิตศาสตร์มีอยู่จริง ฟิลด์เชื่อว่าข้อโต้แย้งที่ดีเพียงอย่างเดียวสำหรับลัทธิเพลโตคือข้อโต้แย้งเรื่องความขาดไม่ได้ของไควน์-พัตนัมซึ่งโต้แย้งถึงความเชื่อในวัตถุทางคณิตศาสตร์เพราะคณิตศาสตร์ขาดไม่ได้สำหรับวิทยาศาสตร์ แรงจูงใจสำคัญของหนังสือเล่มนี้คือการบั่นทอนข้อโต้แย้งนี้โดยแสดงให้เห็นว่าคณิตศาสตร์นั้นขาดไม่ได้สำหรับวิทยาศาสตร์^{[ 3 ] [ a ]}

นอกเหนือจากเสน่ห์ของนามนิยมแล้ว ฟิลด์ยังมีแรงจูงใจจากความปรารถนาที่จะกำหนดคำอธิบายทางวิทยาศาสตร์ "ในแง่ของคุณสมบัติที่แท้จริงของระบบ โดยไม่ต้องอ้างถึงสิ่งที่เป็นภายนอก" ^{[ 4 ]}สำหรับฟิลด์ ตัวเลขเป็นสิ่งที่เป็นภายนอกของฟิสิกส์ เนื่องจากไม่มีความเกี่ยวข้องเชิงสาเหตุกับพฤติกรรมของระบบทางกายภาพ เขาโต้แย้งว่าสิ่งที่เป็นพื้นฐานของทฤษฎีทางฟิสิกส์ เช่นวัตถุทางกายภาพและกาลอวกาศควรได้รับการพิจารณาเมื่อสร้างคำอธิบายในวิทยาศาสตร์^{[ 5 ]}

ตามที่ฟิลด์กล่าว เขาเริ่มเขียนหนังสือเล่มนี้ในช่วงฤดูหนาวปี 1978/79 โดยตั้งใจจะเขียนเป็นบทความวารสารขนาดยาว อย่างไรก็ตาม ในระหว่างกระบวนการเขียน หนังสือเล่มนี้กลับยาวเกินกว่าที่จะตีพิมพ์ในรูปแบบวารสารได้^{[ 6 ]}หนังสือเล่มนี้ได้รับการตีพิมพ์ครั้งแรกในปี 1980 โดยสำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตันและฉบับพิมพ์ครั้งที่สองได้รับการตีพิมพ์ในปี 2016 โดยสำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอ ร์ด โดยมีการเปลี่ยนแปลงเนื้อหาหลักเพียงเล็กน้อยและมีคำนำใหม่^{[ 7 ]}

หนังสือ Science Without Numbersเริ่มต้นด้วยข้อสังเกตเบื้องต้นบางประการ ซึ่งฟิลด์ได้ชี้แจงเป้าหมายของหนังสือเล่มนี้^{[ 8 ]}เขาอธิบายว่าเขาสนใจหลักๆ ในการปกป้องลัทธินามนิยมจากข้อโต้แย้งที่แข็งแกร่งที่สุดสำหรับลัทธิเพลโตนิยม โดยเฉพาะอย่างยิ่งข้อโต้แย้งเรื่องความจำเป็น และไม่ได้มุ่งเน้นที่จะนำเสนอข้อโต้แย้งเชิงบวกสำหรับมุมมองของเขาเอง^{[ 9 ]}เขาแยกแยะรูปแบบของลัทธินามนิยมที่เขาตั้งเป้าหมายที่จะปกป้อง คือลัทธิสมมตินิยม ออกจากลัทธินามนิยมประเภทอื่นๆ ที่ได้รับความนิยมในปรัชญาคณิตศาสตร์ในขณะนั้น รูปแบบของลัทธินามนิยมที่ได้รับความนิยมในขณะนั้นเป็นลัทธิแก้ไขใหม่ กล่าวคือ มีเป้าหมายที่จะตีความประโยคทางคณิตศาสตร์ใหม่ เพื่อไม่ให้เกี่ยวกับวัตถุทางคณิตศาสตร์ ในทางตรงกันข้าม ลัทธิสมมตินิยมของฟิลด์ยอมรับว่าคณิตศาสตร์มุ่งมั่นที่จะดำรงอยู่ของวัตถุทางคณิตศาสตร์ แต่โต้แย้งว่าคณิตศาสตร์นั้นไม่เป็นความจริง^{[ 10 ]}

ฟิลด์ใช้ แนวคิด เชิงเครื่องมือของคณิตศาสตร์ โดยโต้แย้งว่าคณิตศาสตร์ไม่จำเป็นต้องเป็นจริงจึงจะมีประโยชน์ ฟิลด์กล่าวว่า ต่างจากสิ่งที่เป็นทฤษฎี เช่นอิเล็กตรอนและควาร์กวัตถุทางคณิตศาสตร์ไม่อนุญาตให้ทฤษฎีทำนายสิ่งใหม่ใด ๆ บทบาทของคณิตศาสตร์ในวิทยาศาสตร์คือการช่วยในการอนุมานข้อสรุปเชิงประจักษ์จากข้ออ้างเชิงประจักษ์อื่น ๆ ซึ่งในทางทฤษฎีอาจเกิดขึ้นได้โดยไม่ต้องใช้คณิตศาสตร์เลย^{[ 11 ]}ฟิลด์พัฒนาแนวคิดเชิงเครื่องมือนี้ในรายละเอียดทางเทคนิคมากขึ้นโดยใช้แนวคิดที่ว่าคณิตศาสตร์เป็นแบบอนุรักษ์นิยม [ ^{12 ] ซึ่ง}หมายความว่าหากข้อความเชิงนามนิยมสามารถอนุมานได้จากทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์โดยใช้คณิตศาสตร์แล้ว ก็สามารถอนุมานได้โดยไม่ต้องใช้คณิตศาสตร์เช่นกัน^{[ 13 ]}ดังนั้น ความสำเร็จในการทำนายของทฤษฎีสามารถอธิบายได้อย่างสมบูรณ์โดยความจริงของส่วนที่เป็นนามนิยมของวิทยาศาสตร์ โดยไม่รวมคณิตศาสตร์ใด ๆ^{[ 14 ]}

ฟิลด์ใช้หลักการอนุรักษ์นิยมของคณิตศาสตร์เพื่ออธิบายว่าเหตุใดจึงยอมรับได้ที่จะใช้คณิตศาสตร์ในวิทยาศาสตร์ เขายังโต้แย้งเพิ่มเติมว่าประโยชน์ของมันเกิดจากการที่มันทำให้การอนุมานข้อสรุปเชิงประจักษ์ง่ายขึ้น^{[ 15 ]}ตัวอย่างเช่น แม้ว่าเลขคณิต พื้นฐาน จะสามารถสร้างขึ้นใหม่ได้โดยไม่แสดงตัวเลขในตรรกะลำดับที่หนึ่งแต่การอนุมานที่ได้นั้นยุ่งยากกว่ามาก^{[ b ]}ฟิลด์แสดงให้เห็นว่าคณิตศาสตร์สามารถข้ามการอนุมานเหล่านี้ได้โดยใช้กฎเชื่อมโยง ซึ่งสามารถเชื่อมโยงข้อความนามนิยมกับข้อความทางคณิตศาสตร์ ทำให้การอนุมานดำเนินไปได้อย่างมีประสิทธิภาพภายในคณิตศาสตร์ก่อนที่จะกลับไปยังทฤษฎีนามนิยม^{[ 16 ]}

การปรับปรุงฟิสิกส์ของฟิลด์นั้นอิงตามสัจพจน์ของเรขาคณิตของฮิลเบิร์ตซึ่งระยะทางเชิงตัวเลขจะถูกแทนที่ด้วยความสัมพันธ์ระหว่างจุดในปริภูมิเวลา เช่นความอยู่ระหว่างกลางและความสอดคล้องฮิลเบิร์ตพิสูจน์ทฤษฎีบทการแทนซึ่งแสดงให้เห็นว่าความสัมพันธ์ระหว่างจุดในปริภูมิเวลาเหล่านี้เป็นโฮโมมอร์ฟิกกับความสัมพันธ์ระยะทางเชิงตัวเลข^{[ 17 ]}แนวคิดของทฤษฎีบทการแทนนี้ทำหน้าที่เป็นกฎเชื่อมโยงในแนวทางของฟิลด์ ทำให้การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์สามารถเชื่อมโยงกับคู่เทียบเชิงนามในลักษณะที่รักษาโครงสร้างไว้อย่างเคร่งครัด^{[ 18 ]}

นอกเหนือจากการจัดการเรขาคณิตของฮิลเบิร์ตแล้ว การปรับปรุงใหม่ของฟิลด์ยังนำแนวคิดที่คล้ายกันจากทฤษฎีการวัดมาใช้เพื่อสร้างนามให้กับปริมาณทางกายภาพแบบสเกลาร์เช่นอุณหภูมิและศักยภาพโน้มถ่วงฟิลด์ใช้แนวคิดเชิงสัมพันธ์ (เช่น อุณหภูมิ-ความอยู่ระหว่างกลาง และความสอดคล้องของอุณหภูมิ) อีกครั้งเพื่อกู้คืนคุณสมบัติต่างๆ ของสนามสเกลาร์ในฟิสิกส์^{[ 19 ]}ฟิลด์ขยายแนวคิดจากส่วนก่อนหน้าของหนังสือ โดยสร้างเวอร์ชันนามนิยมของแนวคิดเรื่องความต่อเนื่องผลคูณ อนุพันธ์ เก รเดียนต์ลาปลาเซียนและแคลคูลัสเวกเตอร์ [ ^{20 ] โดย}ใช้การสร้างนามนิยมเหล่านี้ ฟิลด์แสดงวิธีการปรับปรุงสมการสนามของแรงโน้มถ่วงแบบนิวตัน ( สมการของปัวซง ) และสมการการเคลื่อนที่ [ ^{21 ] นอกจาก}เนื้อหาทางเทคนิคของหนังสือแล้วScience Without Numbersยังรวมถึงการอภิปรายเกี่ยวกับความเป็นไปได้ทางปรัชญาของแนวทางของฟิลด์ รวมถึงประโยชน์ของคำอธิบายที่แท้จริงและความท้าทายของการใช้จุดกาลอวกาศและตรรกะลำดับที่สองอย่างแพร่หลาย^{[ 22 ]}

วิทยาศาสตร์ที่ปราศจากตัวเลขพยายามแสดงให้เห็นถึงความไม่จำเป็นของคณิตศาสตร์ต่อวิทยาศาสตร์ อย่างไรก็ตาม ฟิลด์ไม่ได้เข้าใจความไม่จำเป็นเพียงแค่ความสามารถในการกำจัดคณิตศาสตร์ออกจากวิทยาศาสตร์เท่านั้น เขายังต้องการเพิ่มเติมว่าการกำจัดนั้นจะต้องส่งผลให้เกิดทฤษฎีที่ "น่าสนใจ" ด้วย ในทางเทคนิคแล้ว กลุ่มของเอนทิตีใดๆ ก็สามารถกำจัดออกจากทฤษฎีได้ตราบใดที่สามารถแยกออกจากส่วนที่เหลือของทฤษฎีได้ ตามทฤษฎีบทของเครกอย่างไรก็ตาม ฟิลด์ปฏิเสธแนวทางนี้ในการกำจัดเอนทิตีเนื่องจากไม่ให้ข้อมูล เพราะมันไม่ได้ส่งผลให้เกิดทฤษฎีที่อิงจาก "หลักการพื้นฐานจำนวนน้อย" ^{[ 23 ]}

ในหนังสือ Science Without Numbersฟิลด์ได้โต้แย้งว่าทฤษฎีนามนิยมของเขาน่าสนใจเพราะมันเสนอ คำอธิบาย ที่แท้จริงของข้อเท็จจริงทางกายภาพ^{[ 24 ]}ฟิลด์ไม่ได้ให้คำจำกัดความของความเป็นภายในอย่างแม่นยำ^{[ 25 ]}แต่เขากล่าวว่าเอนทิตีภายนอกคือเอนทิตีเหล่านั้น "ซึ่งคุณสมบัติไม่เกี่ยวข้องกับพฤติกรรมของระบบที่กำลังถูกอธิบาย" ^{[ 4 ]}เขายังระบุด้วยว่าคำอธิบายภายนอกมักจะเป็นไปตามอำเภอใจเพราะมันอาศัยการเลือกหน่วยวัด ตามอำเภอใจ เช่น นิ้วหรือเมตร^{[ 25 ]}เขาโต้แย้งว่าทฤษฎีที่แท้จริงสามารถขจัดความไม่แน่นอนตามอำเภอใจและอธิบายความไม่แน่นอนตามอำเภอใจที่พบในสูตรอื่นๆ ได้ ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทเอกลักษณ์สำหรับสัจพจน์ของฮิลเบิร์ตแสดงให้เห็นว่ากฎของเรขาคณิตไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ตัวคูณระยะทาง สำหรับฟิลด์ สิ่งนี้อธิบายว่าทำไมหน่วยวัดที่แตกต่างกันจึงถูกต้องเท่าเทียมกัน และทำเช่นนั้นในแง่ของโครงสร้างที่แท้จริงของกาลอวกาศ^{[ 26 ]}

ข้อวิจารณ์หนึ่งเกี่ยวกับแนวทางของฟิลด์กล่าวว่าฟิลด์ได้ละเลยคุณธรรมเชิงทฤษฎีที่นอกเหนือจากความเป็นแก่นแท้ เช่นการรวมเป็นหนึ่งเดียวและความเรียบง่ายตามแนวคิดนี้ ทฤษฎีวิทยาศาสตร์ทางคณิตศาสตร์จึงน่าสนใจกว่าทฤษฎีนามนิยม เนื่องจากคณิตศาสตร์รวมเป็นหนึ่งเดียวและทำให้ทฤษฎีง่ายขึ้น ในทางตรงกันข้าม วิธีการของฟิลด์ในการทำให้วิทยาศาสตร์เป็นนามนิยมนั้นจำเป็นต้องเป็นแนวทางแบบทีละส่วน กล่าวคือต้องดำเนินการไปทีละทฤษฎีและจะไม่ให้กรอบการทำงานที่ครอบคลุมเหมือนกับที่คณิตศาสตร์ทำ^{[ 27 ]}

ความอนุรักษ์นิยมของคณิตศาสตร์อ้างว่าสำหรับทฤษฎีนามนิยมNและทฤษฎีทางคณิตศาสตร์M ใดๆ ทุกสิ่งที่เป็นผลสืบเนื่องเชิงตรรกะของN + Mจะต้องเป็นผลสืบเนื่องเชิงตรรกะของN เพียงอย่างเดียว ด้วย^{[ c ]}อย่างไรก็ตาม แนวคิดของผลสืบเนื่องเชิงตรรกะนั้นคลุมเครือ สามารถคิดได้ในเชิงความหมายซึ่งในกรณีนี้ จะถูกกำหนดในแง่ของความเป็นไปไม่ได้เชิงตรรกะที่ทฤษฎีจะเป็นจริงและข้อความที่อนุมานได้จะเป็นเท็จ หรือสามารถคิดได้ในเชิงไวยากรณ์ นั่นคือ ถูกกำหนดในแง่ของความสามารถในการอนุมานข้อความที่อนุมานได้จากทฤษฎี^{[ 29 ]}ในScience Without Numbersฟิลด์ได้รวมการพิสูจน์ในตรรกะลำดับที่หนึ่งว่าคณิตศาสตร์มีความอนุรักษ์นิยมทั้งในเชิงไวยากรณ์และเชิงความหมาย อย่างไรก็ตาม สำหรับการทำให้ทฤษฎีแรงโน้มถ่วงของนิวตันเป็นนามนิยมอย่างสมบูรณ์ ซึ่งอาศัยตรรกะลำดับที่สองเขาแสดงให้เห็นเพียงว่าคณิตศาสตร์มีความอนุรักษ์นิยมเชิงความหมายเท่านั้น^{[ 30 ]}

ประเด็นสำคัญในการอภิปรายเกี่ยวกับScience Without Numbersคือปัญหาที่เกิดขึ้นจากแนวคิดสองประการของผลลัพธ์เชิงตรรกะนี้^{[ 31 ]}ตามที่Stewart Shapiro กล่าว โครงการภายในScience Without Numbersจะเข้าใจได้ดีที่สุดเมื่อสมมติว่ามีการอนุรักษ์นิยมในรูปแบบไวยากรณ์ ตลอดทั้งScience Without Numbersการอนุรักษ์นิยมจะถูกอธิบายในแง่ของความสามารถในการอนุมาน และการตีความเชิงความหมายอาจเป็นปัญหาสำหรับนามนิยม เนื่องจากขึ้นอยู่กับการมีอยู่ของสิ่งต่างๆ เช่นแบบจำลองหรือความเป็นไปได้^{[ 32 ]}ในทางกลับกันทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของ Gödel เวอร์ชันหนึ่ง ใช้ได้กับการทำให้เป็นนามนิยมของ Field ซึ่งหมายความว่ามีข้อเท็จจริงบางอย่างเกี่ยวกับกาลอวกาศที่ไม่สามารถอนุมานได้จากทฤษฎีนามนิยมของ Field และด้วยเหตุนี้ ผลลัพธ์การอนุรักษ์นิยมเชิงไวยากรณ์จึงไม่ใช้ได้กับทฤษฎีลำดับที่สองที่สมบูรณ์ของ Field ^{[ 33 ]}

ประเด็นที่เกี่ยวข้องอีกประการหนึ่งคือการใช้เม ตาตรรกะของฟิลด์ หลักฐาน การอนุรักษ์ความหมายของเขาเป็นการพิสูจน์เชิงแบบจำลอง โดยใช้ ทฤษฎีเซตและหลักฐานการอนุรักษ์ไวยากรณ์ของเขาเป็นการพิสูจน์เชิงทฤษฎีโดยใช้ทฤษฎีการพิสูจน์มาตรฐาน หลักฐานเหล่านี้เป็นเมตาตรรกะเพราะเกี่ยวข้องกับคุณสมบัติของระบบตรรกะและกำหนดคำศัพท์ทางตรรกะ เช่น ผลลัพธ์เชิงตรรกะ^{[ 34 ]}ข้อโต้แย้งหนึ่งต่อฟิลด์คือการใช้เมตาตรรกะของเขาไม่เป็นที่ยอมรับ เพราะหลักฐานของเขารวมถึงวัตถุทางคณิตศาสตร์ เช่นแบบจำลองและการพิสูจน์ แต่เขาไม่ได้ให้การกำหนดนามของเมตาตรรกะ^{[ 35 ]}

ในScience Without Numbersฟิลด์ระบุว่าการใช้วัตถุทางคณิตศาสตร์ของเขานั้นถูกต้อง เพราะข้อโต้แย้งของเขาเป็นเพียงการพิสูจน์โดยการหักล้าง (reductio ad absurdum ) ซึ่งเป็นข้อโต้แย้งที่ว่าการสมมติว่าคณิตศาสตร์เป็นจริงจะทำให้คณิตศาสตร์อยู่ใน "สถานะที่ไม่มั่นคง: มันนำไปสู่ความไม่สามารถพิสูจน์ได้ของตัวมันเอง" ^{[ 36 ]}อย่างไรก็ตาม การวิเคราะห์งานบางส่วนวิพากษ์วิจารณ์เหตุผลนี้ โดยอ้างว่าฟิลด์ใช้หลักการอนุรักษ์นิยมเพื่ออธิบายว่าทำไมการใช้คณิตศาสตร์ในวิทยาศาสตร์จึงเป็นที่ยอมรับ ซึ่งเกินกว่าข้อโต้แย้งโดยการหักล้าง^{[ 37 ]}ในเอกสารที่เผยแพร่หลังจากScience Without Numbersเพื่อตอบโต้ข้อโต้แย้งเหล่านี้ ฟิลด์พยายามตีความอภิปรัชญาเชิงนามนิยมโดยการใช้ตัวดำเนินการเชิงโมดอลเป็นพื้นฐานและใช้สิ่งเหล่านี้เพื่อกำหนดผลลัพธ์เชิงความหมายของตรรกะ^{[ 38 ] [ d ]}

ในหนังสือ Science Without Numbersการกำหนดนามของ Field เกี่ยวกับแรงโน้มถ่วงแบบนิวตันได้แทนที่การอ้างอิงถึงตัวเลขด้วยจุดในปริภูมิเวลา ในการทำเช่นนั้น Field ถือว่าจุดในปริภูมิเวลาเป็นวัตถุทางกายภาพที่เป็นรูปธรรม ซึ่งเป็นมุมมองเกี่ยวกับปริภูมิเวลาที่เรียกว่า^{substantivalism [} 40 ] ^{ซึ่งตรง}ข้ามกับrelationalismที่อ้างว่าปริภูมิเวลาไม่มีอยู่จริงนอกเหนือจากชุดของความสัมพันธ์ระหว่างวัตถุทางกายภาพ^{[ 41 ]}คำวิจารณ์บางส่วนเกี่ยวกับScience Without Numbersมุ่งเน้นไปที่การยอมรับ substantivalism ของ Field และความคิดที่ว่าจุดในปริภูมิเวลานั้นมีปัญหาพอๆ กับตัวเลข ในScience Without Numbers Field ให้เหตุผลในการยอมรับ substantivalism ของเขาโดยอ้างว่าปริภูมิเวลาสามารถเข้าถึงได้ทั้งในเชิงสาเหตุและเชิงพื้นที่และเวลา ซึ่งแตกต่างจากตัวเลข^{[ 42 ]}

อีกประเด็นถกเถียงหนึ่งเกี่ยวข้องกับความสมบูรณ์เชิงโครงสร้างของกาลอวกาศ ในการทำให้เป็นนามของฟิลด์ กาลอวกาศได้รับอนุญาตให้มีโครงสร้างที่สมบูรณ์ด้วยจุดและบริเวณกาลอวกาศจำนวนอนันต์ ด้วยวิธีนี้ ฟิลด์ได้สร้างโครงสร้างเกือบทั้งหมดของจำนวนจริง เข้าไปในกาลอวกาศ ซึ่งนำไปสู่การวิจารณ์ว่าการทำให้เป็นนามของฟิลด์นั้นมีความเกินความจำเป็นในเชิงออนโทโลยีพอๆ กับการยอมรับทฤษฎีจำนวน^{[ 43 ]}ยิ่งไปกว่านั้น ภายใต้การทำให้เป็นนามของฟิลด์ ข้อความที่ไม่สามารถตัดสินได้ในทฤษฎีเซตมาตรฐาน เช่นสมมติฐานความต่อเนื่องจะกลายเป็นข้อความที่สามารถระบุได้เกี่ยวกับกาลอวกาศ กล่าวอีกนัยหนึ่ง การทำให้เป็นนามของฟิลด์สร้างข้อเท็จจริงเกี่ยวกับโครงสร้างของกาลอวกาศที่อาจไม่สามารถรู้ได้หรือไม่สามารถกำหนดได้ทางกายภาพ^{[ 44 ]}ฟิลด์โต้แย้งในScience Without Numbersว่าการทำให้เป็นนามของเขานั้นไม่สมบูรณ์เท่ากับจำนวนจริง เนื่องจากไม่มีเมตริกหรือกรอบอ้างอิง ที่ต้องการ เพื่อกำหนดเส้นจำนวนที่เป็นกลางหรือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์^{[ 45 ]}และเขาโต้แย้งว่าข้อความที่ไม่สามารถตัดสินได้ในทฤษฎีของเขาเป็น " recherché " และไม่น่าจะส่งผลกระทบต่อฟิสิกส์เชิงปฏิบัติ^{[ 46 ]}

การกำหนดนามอย่างสมบูรณ์ของฟิลด์ในScience Without Numbers นั้นไม่ได้กำหนดปริมาณเฉพาะจุดในอวกาศและเวลาเท่านั้น แต่ยังรวมถึงบริเวณของจุดด้วย ในทางเทคนิคแล้ว สิ่งนี้ต้องการตรรกะลำดับที่สองบางรูปแบบเพื่อกำหนดปริมาณเหนือเซตหรือผลรวมของจุด^{[ 47 ]}เพื่อหลีกเลี่ยงการตีความที่จะผูกมัดการกำหนดรูปแบบใหม่ของเขากับการมีอยู่ของเซต ฟิลด์แนะนำว่าการใช้ตรรกะลำดับที่สองของเขาสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นตรรกะของเมเรโอ โลยี ซึ่งเขาเรียกว่า "ตรรกะที่สมบูรณ์ของผล รวมกูด แมน " ^{[ 48 ]}อย่างไรก็ตาม การกำหนดนามของฟิลด์ยังคงมีข้อเสียทางเทคนิคบางประการจากการใช้ตรรกะลำดับที่สอง โดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีนี้ไม่สามารถแจงนับแบบเวียนซ้ำได้และทำให้ข้ออ้างเชิงการมีอยู่บางประการกลายเป็นความจริงเชิงตรรกะ^{[ 49 ]}

ในScience Without Numbersฟิลด์ได้พิจารณาแนวทางที่อิงตามตรรกะลำดับที่หนึ่งอย่างสมบูรณ์ แนวทางนี้แทนที่จะถือว่าจุดเป็นพื้นฐานและตีความภูมิภาคเป็นผลรวมของจุด กลับถือว่าภูมิภาคเป็นพื้นฐานและมองจุดเป็นเพียงภูมิภาคขั้นต่ำ อย่างไรก็ตาม ได้มีการแสดงให้เห็นแล้วว่าภายในระบบลำดับที่หนึ่งดังกล่าว ทฤษฎีบทการแสดงแทนของฟิลด์ขัดแย้งกับการพิสูจน์ความอนุรักษ์นิยมของเขา^{[ 50 ]}

เริ่มต้นด้วยการวิจารณ์หนังสือScience Without NumbersของDavid Malamentหลายคนตั้งคำถามว่าแนวทางของ Field สามารถขยายไปสู่สาขาฟิสิกส์สมัยใหม่เช่นกลศาสตร์ควอนตัมได้หรือไม่ Malament โต้แย้งว่าทฤษฎีแรงโน้มถ่วงของนิวตันนั้นมีความอ่อนไหวต่อแนวทางของ Field เป็นพิเศษ เพราะเป็นทฤษฎีเกี่ยวกับกาลอวกาศ อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีเกี่ยวกับปริภูมิ เฟสเช่นกลศาสตร์แฮมิลตันและกลศาสตร์ควอนตัมนั้นก่อให้เกิดความท้าทายที่ยิ่งใหญ่กว่าสำหรับการปรับปรุงใหม่ในเชิงนามนิยม เพราะเป็นทฤษฎีเกี่ยวกับสถานะทางกายภาพที่เป็นไปได้ของระบบ ซึ่งมีแนวโน้มที่จะไม่เป็นที่ยอมรับในเชิงนามนิยม^{[ 51 ]}ข้อโต้แย้งที่คล้ายกันจากAlasdair UrquhartและMichael Resnikได้กล่าวอ้างว่าแนวทางของ Field จะไม่สามารถขยายไปสู่ ทฤษฎีสั มพัทธภาพทั่วไปของไอน์สไตน์หรือฟิสิกส์เชิงสถิติ ได้ ^{[ 52 ]}

หลังจากการตีพิมพ์หนังสือScience Without Numbersนักทฤษฎีคนอื่นๆ ได้พยายามขยายแนวคิดการกำหนดชื่อตามแนวคิดของ Field ไปยังสาขาอื่นๆ ของฟิสิกส์ ตัวอย่างเช่น Mark Balaguer ได้โต้แย้งว่ากลศาสตร์ควอนตัมสามารถกำหนดรูปแบบใหม่ได้ตราบใดที่ตีความความน่าจะเป็นที่มีอยู่ในทฤษฎีควอนตัมว่าเป็นแนวโน้ม ทางกายภาพที่แท้จริง ของระบบ^{[ 53 ]}อีกแนวทางหนึ่งเสนอโดย Eddy Keming Chen ซึ่งมีเป้าหมายที่จะกำหนดชื่อตามกลศาสตร์ควอนตัมในแง่ของเฟสและแอมพลิจูดเฉพาะ ที่ ของฟังก์ชันคลื่น สากล ^{[ 54 ]} Frank Arntzenius และ Cian Dorr ได้พยายามกำหนดรูปแบบใหม่ของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปโดยใช้แนวคิดนามนิยม^{[ 55 ]} ในขณะที่งานที่ ทำโดย Glen Meyer เกี่ยวกับฟิสิกส์เชิงสถิตินั้นมองโลกในแง่ร้ายน้อยกว่า^{[ 56 ]}

การปรับปรุงกลศาสตร์ควอนตัมโดย Balaguer และ Chen เป็นการกำหนดนามเฉพาะส่วนของปริภูมิเฟสที่สอดคล้องกับสถานะจริงของระบบทางกายภาพเท่านั้น อย่างไรก็ตามGeoffrey HellmanและMary Lengตั้งข้อสังเกตว่า เว้นแต่ปริภูมิเฟสทั้งหมดจะถูกกำหนดนาม การปรับปรุงแบบนามนิยมจะขาดเหตุผลเชิงสาเหตุและคำอธิบาย ที่สมบูรณ์ ของทฤษฎีเวอร์ชันคณิตศาสตร์ เนื่องจากปัญหาเฉพาะในการกำหนดนามของปริภูมิเฟส เมื่อถึงเวลาที่ออกฉบับที่สองในปี 2016 Field ได้แสดงความมองโลกในแง่ร้ายว่าโครงการของเขาจะสามารถดำเนินการได้อย่างสมบูรณ์สำหรับกลศาสตร์ควอนตัม^{[ 57 ]}

ในบทวิจารณ์ช่วงแรกๆ ระบุว่าScience Without Numbers เป็นผลงานสำคัญและแปลกใหม่ในปรัชญาคณิตศาสตร์ ^{[ 58 ]}การมุ่งเน้นไปที่คณิตศาสตร์ประยุกต์ได้รับการต้อนรับในฐานะพัฒนาการที่สำคัญ^{[ 59 ]}และผลลัพธ์ทางเทคนิคของหนังสือเล่มนี้ถือเป็นความสำเร็จที่น่าประทับใจซึ่งมีความน่าสนใจทางปรัชญาอย่างมาก^{[ 60 ]}อย่างไรก็ตาม บทวิจารณ์ระบุว่างานของฟิลด์เป็นเพียงก้าวแรกสู่การทำให้วิทยาศาสตร์เป็นไปตามหลักการนามนิยมอย่างสมบูรณ์ และจะต้องมีการทำงานเพิ่มเติม ซึ่งรวมถึงการขยายไปสู่ทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์อื่นๆ และการให้ความสำคัญกับประเด็นทางปรัชญาที่เกี่ยวข้องมากขึ้น^{[ 61 ]}ผู้วิจารณ์บางคนพบว่าถึงแม้หนังสือเล่มนี้จะมีความน่าประทับใจในเชิงเทคนิค แต่ก็ไม่ได้ให้แรงจูงใจทางปรัชญาที่เพียงพอในการดำเนินการตามหลักการนามนิยมตั้งแต่แรก^{[ 62 ]}

โดยทั่วไปแล้ว การโต้แย้งของฟิลด์ได้รับการยกย่องว่ามีรายละเอียดและน่าเชื่อถือ^{[ 63 ]}และเดวิด มาลาเมนท์ได้ชมเชย "สำนวนที่กระชับและชัดเจน" ^{[ 64 ]}บางคนพบว่ารูปแบบการนำเสนอมีความซับซ้อนทางเทคนิคในบางจุดและเข้าถึงได้ยากสำหรับผู้ที่ไม่มีความเชี่ยวชาญในแนวทางที่ใช้^{[ 65 ]}แต่เบอร์นาร์ด ลินสกีกล่าวว่าสามารถเข้าถึงได้ง่ายสำหรับผู้ที่สนใจในปรัชญาคณิตศาสตร์^{[ 66 ]}เคนเนธ แมนเดอร์สพบว่าการเปลี่ยนอย่างกะทันหันจากตรรกะลำดับที่หนึ่งที่ใช้ในส่วนต้นของหนังสือไปเป็นตรรกะลำดับที่สองภายในการกำหนดนามอย่างสมบูรณ์นั้นทำให้รู้สึกไม่ราบรื่น^{[ 67 ]}ฟิลด์อธิบายในฉบับพิมพ์ครั้งที่สองว่าเป็นเพราะเขาไม่ได้ "ตระหนักถึงแรงกดดันในการก้าวข้ามตรรกะลำดับที่หนึ่ง" อย่างเต็มที่เมื่อเขียนบทแรกๆ^{[ 68 ]}

หนังสือ Science Without Numbersได้รับรางวัล Lakatos Prize ประจำปี 1986 ร่วม กับหนังสือThe Scientific ImageของBas van Fraassenซึ่งเป็นรางวัลที่มอบให้แก่ "ผลงานที่โดดเด่นในปรัชญาวิทยาศาสตร์ " โดยLondon School of Economics ^{[ 69 ]}สิ่งพิมพ์ทั้งสองเล่มนี้ได้รับการยกย่องว่าทำให้แนวคิดเรื่องนิยายเป็นแนวคิดทางปรัชญาที่ใช้ได้จริงในปรัชญาร่วมสมัยซึ่งก่อนหน้านี้เป็นมุมมองที่ไม่เป็นที่นิยม^{[ 70 ]} Science Without Numbersมีบทบาทสำคัญในการอภิปรายเกี่ยวกับนามนิยมตลอดช่วงทศวรรษ 1980 และ 1990 ^{[ 71 ]}ตามที่John P. BurgessและGideon Rosenกล่าวไว้ งานของ Field มีอิทธิพลมากจน "ในการให้เครดิต (หรือตำหนิ) สำหรับความโดดเด่นของประเด็นนามนิยมในปัจจุบัน Field จะต้องถูกกล่าวถึงทันทีหลังจากQuine , Goodman , BenacerrafและPutnam " ^{[ 72 ]}

เมื่อสำนักพิมพ์ Oxford University Pressออกฉบับพิมพ์ครั้งที่สองในปี 2016 Stefan Buijsman เรียกหนังสือScience Without Numbers ว่า "เป็นผลงานคลาสสิกอย่างไม่ต้องสงสัย" ซึ่ง "ก่อให้เกิดความฮือฮาในวงการปรัชญา ซึ่งในบางแง่มุมยังคงไม่จางหายไป" ^{[ 73 ]} Buijsman ชื่นชมฉบับพิมพ์ครั้งที่สองสำหรับคำนำใหม่ที่ให้ความกระจ่างเกี่ยวกับแรงจูงใจของ Field เมื่อเขียนหนังสือเล่มนี้ในครั้งแรก และมุมมองของเขาที่พัฒนาขึ้นนับตั้งแต่ตีพิมพ์^{[ 8 ]} ซึ่ง เป็นความคิดเห็นที่Geoffrey HellmanและMary Lengเห็น พ้องด้วย ^{[ 56 ]}ในฉบับพิมพ์ครั้งที่สองมีจดหมายที่ WV Quine ผู้ริเริ่มข้อโต้แย้งเรื่องความจำเป็น ส่งถึง Field ในปี 1980 ซึ่งเรียกหนังสือเล่มนี้ว่า "เป็นผลงานที่น่าประทับใจ: สมเหตุสมผล ชาญฉลาด รอบรู้ และมีความสำคัญทางปรัชญามากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้" ^{[ 74 ]}

การประชุมเชิงปฏิบัติการชื่อScience Without Numbers, 40 Years Later —ซึ่งเดิมทีมีกำหนดจัดขึ้นเป็นการประชุมสัมมนาสำหรับสมาคมปรัชญาอเมริกัน —ได้จัดขึ้นทางไกลในเดือนพฤศจิกายน 2020 เนื่องจากการระบาดของโรคโควิด-19เว็บไซต์ของการประชุมเชิงปฏิบัติการระบุว่าหนังสือเล่มนี้ "กลายเป็นหนึ่งในผลงานที่มีอิทธิพลมากที่สุดในปรัชญาคณิตศาสตร์" และผลกระทบของมันได้ขยายไปสู่ปรัชญาสาขาอื่น ๆ อีกหลายสาขา^{[ 75 ]}ผลลัพธ์ทางเทคนิคของฟิลด์ เช่น การกำหนดชื่อทฤษฎีแรงโน้มถ่วงของนิวตันและทฤษฎีบทการแทนที่สอดคล้องกัน ยังคงถูกมองว่าเป็นความสำเร็จที่สำคัญ แต่ในศตวรรษที่ 21 มีฉันทามติเกิดขึ้นว่าโครงการของฟิลด์ไม่ได้ดำเนินการอย่างประสบความสำเร็จ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเนื่องจากปัญหาเกี่ยวกับการขยายแนวทางของเขาไปยังทฤษฎีฟิสิกส์สมัยใหม่^{[ 76 ]}ในฐานะการตอบสนองต่อข้อโต้แย้งเรื่องความจำเป็น ประสิทธิภาพของมันยังคงเป็นที่ถกเถียงกันอยู่^{[ 77 ]}

• หนังสือ Science Without Numbers (ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 1) สามารถดูได้ที่ Internet Archive
• วิทยาศาสตร์ไร้ตัวเลข (ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 2) ที่สำนักพิมพ์ Oxford Academic