ในคณิตศาสตร์และการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ลำดับการดำเนินการคือชุดของข้อตกลงเกี่ยวกับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่จะต้องดำเนินการก่อนเพื่อให้ได้ค่าของนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ ที่กำหนด ให้

ข้อตกลงเหล่านี้ได้รับการกำหนดอย่างเป็นทางการด้วยการจัดลำดับการดำเนินการ ลำดับของการดำเนินการเรียกว่าลำดับความสำคัญและการดำเนินการที่มี ลำดับความสำคัญ สูงกว่าจะดำเนินการก่อนการดำเนินการที่มีลำดับความสำคัญต่ำกว่า โดยทั่วไป เครื่องคิดเลขจะดำเนินการที่มีลำดับความสำคัญเท่ากันจากซ้ายไปขวา^{[ 1 ]}แต่บางภาษาการเขียนโปรแกรมและเครื่องคิดเลขใช้ข้อตกลงที่แตกต่างกัน

ตัวอย่างเช่น การคูณจะได้รับความสำคัญมากกว่าการบวก และเป็นเช่นนี้มาตั้งแต่มีการนำสัญลักษณ์พีชคณิต สมัยใหม่มา ใช้^{[ 2 ] [ 3 ]}ดังนั้น ในนิพจน์1 + 2 × 3การคูณจะดำเนินการก่อนการบวก และนิพจน์จะมีค่าเป็น1 + (2 × 3) = 7ไม่ใช่(1 + 2) × 3 = 9เมื่อ มี การนำเลขยกกำลังมาใช้ในศตวรรษที่ 16 และ 17 เลขยกกำลังจะได้รับความสำคัญมากกว่าทั้งการบวกและการคูณ และวางไว้เป็นตัวยกทางด้านขวาของฐาน^{[ 2 ]}ดังนั้น3 + 5 ² = 28และ3 × 5 ² = 75

ข้อกำหนดเหล่านี้มีอยู่เพื่อหลีกเลี่ยงความกำกวม ในการเขียน สัญลักษณ์ในขณะที่ยังคงรักษาความกระชับของสัญลักษณ์ไว้^{[ 4 ]}ในกรณีที่ต้องการยกเลิกข้อกำหนดลำดับความสำคัญ หรือแม้กระทั่งเน้นย้ำข้อกำหนดเหล่านั้น สามารถใช้ วงเล็บ ( ) ได้ ตัวอย่างเช่น(2 + 3) × 4 = 20บังคับให้การบวกมาก่อนการคูณ ในขณะที่(3 + 5) ² = 64บังคับให้การบวกมาก่อนการยกกำลังหากจำเป็นต้องใช้วงเล็บหลายคู่ในนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ (เช่นในกรณีของวงเล็บซ้อนกัน) วงเล็บอาจถูกแทนที่ด้วยวงเล็บ ประเภทอื่น เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสน เช่น[2 × (3 + 4)] − 5 = 9

ข้อกำหนดเหล่านี้จะมีความหมายก็ต่อเมื่อ ใช้สัญลักษณ์แบบปกติ (เรียกว่าสัญลักษณ์อินฟิกซ์ ) เท่านั้น เมื่อใช้สัญลักษณ์ เชิงฟังก์ชันหรือสัญลักษณ์แบบโปแลนด์สำหรับทุกการดำเนินการ ลำดับของการดำเนินการจะมาจากสัญลักษณ์นั้นเอง

ลำดับการดำเนินการ กล่าวคือ ลำดับการดำเนินการในนิพจน์มักจะดำเนินการตามข้อตกลงที่นำมาใช้ทั่วทั้งคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ เทคโนโลยี และภาษาการเขียนโปรแกรม คอมพิวเตอร์หลายภาษา โดยสรุปได้ดังนี้: ^{[ 2 ] [ 5 ]}

1. วงเล็บ
2. การยกกำลัง
3. การคูณและการหาร
4. การบวกและการลบ

นั่นหมายความว่า ในการประเมินนิพจน์ใดๆ จะต้องประเมินนิพจน์ย่อยที่อยู่ภายในวงเล็บก่อน โดยเริ่มจากภายในสู่ภายนอกหากมีวงเล็บมากกว่าหนึ่งชุด ไม่ว่าจะอยู่ภายในวงเล็บหรือไม่ก็ตาม การดำเนินการที่มีลำดับความสำคัญสูงกว่าในรายการข้างต้นควรถูกนำมาใช้ก่อน การดำเนินการที่มีลำดับความสำคัญเท่ากันโดยทั่วไปจะถูกประเมินจากซ้ายไปขวา

หากแทนที่การหารแต่ละครั้งด้วยการคูณด้วยส่วนกลับ (ตัวผกผันการคูณ) กฎ การสลับที่และการจัดกลุ่มของการคูณจะอนุญาตให้คูณตัวประกอบในแต่ละพจน์เข้าด้วยกันได้ในลำดับใดก็ได้ บางครั้งการคูณและการหารมีลำดับความสำคัญเท่ากัน หรือบางครั้งการคูณมีลำดับความสำคัญสูงกว่าการหาร โปรดดูหัวข้อ§ การหารและการคูณแบบผสมด้านล่าง หากแทนที่การลบแต่ละครั้งด้วยการบวกด้วยจำนวนตรงข้าม (ตัวผกผันการบวก) กฎการสลับที่และการจัดกลุ่มของการบวกจะอนุญาตให้บวกพจน์ได้ในลำดับใดก็ได้

สัญลักษณ์รากที่สองซึ่ง${\displaystyle \surd }$หมายถึงรากที่สองตามธรรมเนียมแล้วจะถูกขยายด้วยเส้นขีด ( vinculum ) เหนือตัวเลขใต้ราก เพื่อหลีกเลี่ยงความจำเป็นในการใช้วงเล็บรอบตัวเลขใต้ราก ฟังก์ชันอื่นๆ ใช้วงเล็บรอบอินพุตเพื่อหลีกเลี่ยงความกำกวม^{[ 6 ] [ 7 ] [ a ]} ​​สามารถละเว้นวงเล็บได้หากอินพุตเป็นตัวแปรตัวเลขหรือค่าคงที่ตัวเดียว^{[ 2 ]}เช่นในกรณีของsin x = sin( x )และsin π = sin( π ) ^{[ a} ] ​​ตาม ^{ธรรมเนียม} แล้ว ธรรมเนียมนี้จะขยายไปถึงเอกนามด้วยดังนั้นsin 3 x = sin(3 x )และแม้แต่sin ⁠1/2⁠ xy = sin( ⁠1/2⁠ xy )แต่ sin x + y = sin( x ) + yเพราะ x + yไม่ใช่เอกนาม อย่างไรก็ตาม ธรรมเนียมนี้ไม่ได้เข้าใจกันโดยทั่วไป และผู้เขียนบางคนชอบใช้วงเล็บอย่างชัดเจน ^{[ b ]}เครื่องคิดเลขและภาษาโปรแกรมบางภาษาต้องการวงเล็บรอบอินพุตของฟังก์ชัน ในขณะที่บางภาษาไม่ต้องการ

วงเล็บและสัญลักษณ์การจัดกลุ่มอื่น ๆ สามารถใช้เพื่อแทนที่ลำดับการดำเนินการตามปกติหรือเพื่อให้ลำดับที่ตั้งใจไว้ชัดเจน สัญลักษณ์ที่จัดกลุ่มสามารถถือเป็นนิพจน์เดียวได้^{[ 2 ]}

การคูณก่อนการบวก:

${\displaystyle 1+2\times 3=1+6=7.}$

นิพจน์ย่อยในวงเล็บจะถูกประเมินก่อน:

${\displaystyle (1+2)\times 3=3\times 3=9.}$

การยกกำลังก่อนการคูณ การคูณก่อนการลบ:

${\displaystyle 1-2\times 3^{4}=1-2\times 81=1-162=-161.}$

เมื่อเขียนนิพจน์เป็นตัวยก ตัวยกนั้นจะถูกจัดกลุ่มตามตำแหน่งเหนือตัวอักษรพื้นฐาน:

${\displaystyle 1+2^{3+4}=1+2^{7}=1+128=129.}$

ตัวถูกดำเนินการของสัญลักษณ์รากจะถูกกำหนดโดยเครื่องหมายขีดบน:

${\displaystyle {\sqrt {1+3}}+5={\sqrt {4}}+5=2+5=7.}$

เส้นเศษส่วนแนวนอนก่อให้เกิดนิพจน์ย่อยสองกลุ่ม โดยกลุ่มหนึ่งอยู่ด้านบนและอีกกลุ่มหนึ่งอยู่ด้านล่าง:

${\displaystyle {\frac {1+2}{3+4}}+5={\frac {3}{7}}+5.}$

วงเล็บสามารถซ้อนกันได้ และควรพิจารณาจากด้านในออกไปด้านนอก เพื่อความชัดเจน วงเล็บด้านนอกอาจมีขนาดใหญ่กว่าวงเล็บด้านใน หรืออาจใช้ สัญลักษณ์จัดกลุ่มอื่นๆ เช่น วงเล็บปีกกา { } หรือวงเล็บเหลี่ยม[ ] ร่วมกับวงเล็บ ( )ก็ได้ ตัวอย่างเช่น:

${\displaystyle {\bigl [}(1+2)\div (3+4){\bigr ]}+5=(3\div 7)+5}$

มีธรรมเนียมปฏิบัติที่แตกต่างกันเกี่ยวกับการดำเนินการเอกภาค '−' (โดยปกติจะออกเสียงว่า "ลบ") ในคณิตศาสตร์ที่เขียนหรือพิมพ์ นิพจน์ −3 ²จะถูกตีความว่าหมายถึง−(3 ² ) = −9 ^{[ 2 ] [ 8 ]}

ในบางแอปพลิเคชันและภาษาการเขียนโปรแกรม โดยเฉพาะMicrosoft Excel (และแอปพลิเคชันสเปรดชีตอื่นๆ) การดำเนินการเอกภาคจะมีลำดับความสำคัญสูงกว่าการดำเนินการทวิภาค กล่าวคือ การลบเอกภาคจะมีลำดับความสำคัญสูงกว่าการยกกำลัง ดังนั้นในภาษาเหล่านั้น −3 ²จะถูกตีความว่าเป็น(−3) ² = 9 [ ^{9 ] [ 10 ] สิ่ง}นี้ไม่ใช้กับการดำเนินการลบทวิภาค '−'ตัวอย่างเช่น ใน Microsoft Excel สูตร=-2^2, =(-2)^2, และ=0+-2^2จะคืนค่า 4 แต่สูตร=0-2^2และ=-(2^2)จะคืนค่า −4

ไม่มีข้อตกลงสากลสำหรับการตีความนิพจน์ที่มีทั้งการหารซึ่งแทนด้วย '÷' และการคูณซึ่งแทนด้วย '×' ข้อตกลงที่เสนอ ได้แก่ การกำหนดลำดับความสำคัญเท่ากันให้กับการดำเนินการและประเมินจากซ้ายไปขวา หรือเทียบเท่ากับการปฏิบัติต่อการหารเป็นการคูณด้วยส่วนกลับแล้วประเมินในลำดับใดก็ได้^{[ 11 ]}การประเมินการคูณทั้งหมดก่อนแล้วตามด้วยการหารจากซ้ายไปขวา หรือการละเว้นนิพจน์ดังกล่าวและแยกความหมายโดยวงเล็บอย่างชัดเจนเสมอ^{[ 12 ]}

นอกเหนือจากการศึกษาขั้นพื้นฐานแล้ว สัญลักษณ์ '÷' สำหรับการหารแทบจะไม่ถูกใช้ แต่จะถูกแทนที่ด้วยการใช้เศษส่วนพีชคณิต [ ^{13 ] เศษส่วน}เหล่านี้มักเขียน "แนวตั้ง" อย่างชัดเจนและไม่คลุมเครือ โดยวางตัวเศษไว้เหนือตัวส่วนคั่นด้วยเส้นแบ่งเศษส่วน แต่ก็สามารถเขียน "แนวนอน" ได้เช่นกัน โดยคั่นตัวเศษและตัวส่วนด้วย เครื่องหมาย ทับ '/' ^{[ 14 ]}กล่าวคือ การแสดงออกเช่นa ÷ bจะถูกหลีกเลี่ยงและแทนที่ด้วย⁠เอ/ขหรือก / ข​​

การคูณที่แสดงโดยการวางติดกัน (หรือที่เรียกว่าการคูณโดยนัย ) สร้างหน่วยภาพและมักได้รับความสำคัญมากกว่าการดำเนินการอื่นๆ ส่วนใหญ่ ในเอกสารทางวิชาการ เมื่อเศษส่วนในบรรทัดรวมกับการคูณโดยนัยโดยไม่มีวงเล็บที่ชัดเจน การคูณจะถูกตีความตามธรรมเนียมว่ามีความสำคัญมากกว่าการหาร เช่น1 / 2 nจะถูกตีความว่าหมายถึง1 / (2 · n )แทนที่จะเป็น(1 / 2) · ^{n [} 2 ^{] [ 11} ] ^{[ 15 ] [ 16 ]ตัวอย่างเช่น}คำแนะนำในการส่งต้นฉบับสำหรับ วารสาร Physical Reviewระบุโดยตรงว่าการคูณมีความสำคัญมากกว่าการหาร^{[ 17 ]}และนี่ก็เป็นธรรมเนียมที่พบในตำราฟิสิกส์ เช่น Course of Theoretical PhysicsโดยLandauและLifshitz ^{[ c ]}และตำราคณิตศาสตร์ เช่นConcrete MathematicsโดยGraham , KnuthและPatashnik ^{[ 18 ]}อย่างไรก็ตาม ผู้เขียนบางคนแนะนำไม่ให้ใช้การแสดงออกเช่นa / bcโดยแนะนำให้ใช้วงเล็บอย่างชัดเจนa / ( bc )แทน^{[ 3 ]}

กรณีที่ซับซ้อนกว่าจะมีความกำกวมมากกว่า ตัวอย่างเช่น สัญลักษณ์1 / 2 π ( a + b )อาจหมายถึง 1 / [2 π · ( a + b )]หรือ[1 / (2 π )] · ( a + b )ก็ได้^{[ 19 ]}บางครั้งการตีความขึ้นอยู่กับบริบท คำแนะนำในการส่ง Physical Reviewแนะนำไม่ให้ใช้รูปแบบa / b / c ; นิพจน์ที่ชัดเจนกว่า เช่น( a / b ) / cหรือa / ( b / c )จะไม่กำกวม^{[ 17 ]}

ความกำกวมนี้เป็นหัวข้อของมีมบนอินเทอร์เน็ตเช่น " 8 ÷ 2(2 + 2) " ซึ่งมีการตีความที่ขัดแย้งกันสองแบบ คือ 8 ÷ [2 · (2 ​​+ 2)] = 1 และ (8 ÷ 2) · (2 ​​+ 2) = 16 ^{[ 16 ] [ 20 ]}นักวิจัยด้านการศึกษาคณิตศาสตร์ Hung-Hsi Wu ชี้ให้เห็นว่า "เราไม่เคยได้รับการคำนวณประเภทนี้ในชีวิตจริง" และเรียกตัวอย่างที่สร้างขึ้นเช่นนี้ว่า "เกม Gotcha! ชนิดหนึ่งที่ออกแบบมาเพื่อดักจับคนที่ไม่ทันระวังตัวโดยการกำหนดกฎเกณฑ์ที่ซับซ้อนอย่างไม่สมเหตุสมผล" ^{[ 13 ]}

หาก มีการระบุ การยกกำลังด้วยสัญลักษณ์ที่เรียงซ้อนกันโดยใช้สัญกรณ์ตัวยก กฎทั่วไปคือการทำงานจากบนลงล่าง: ^{[ 2 ] [ 7 ]}

a ^{b c} = a ^{( b c )} ,

ซึ่งโดยทั่วไปจะไม่เท่ากับ ( a ^b ) ^cข้อตกลงนี้มีประโยชน์เพราะมีคุณสมบัติของการยกกำลังที่ว่า ( a ^b ) ^c = a ^bcดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องใช้การยกกำลังแบบอนุกรมสำหรับกรณีนี้

อย่างไรก็ตาม เมื่อการยกกำลังถูกแทนด้วยสัญลักษณ์ที่ชัดเจน เช่น เครื่องหมายแคเร็ต (^) หรือลูกศร (↑) จะไม่มีมาตรฐานทั่วไป ตัวอย่างเช่นMicrosoft ExcelและภาษาโปรแกรมคำนวณMATLABประเมินค่าเป็น ( a ^b ) ^cแต่Google SearchและWolfram Alphaประเมินค่าเป็นa ^{( b c )}ดังนั้น จึงมีค่าเป็น 4,096 ในกรณีแรก และเป็น 262,144 ในกรณีที่สอง a^b^c4^3^2

คำย่อช่วยจำมักถูกสอนในโรงเรียนประถมเพื่อช่วยให้นักเรียนจำลำดับการดำเนินการได้^{[ 21 ] [ 22 ]}คำย่อPEMDASซึ่งย่อมาจากParentheses , Exponents , Multiplication / Divination , Addition / Subtraction [ ^{23 ]}เป็นที่นิยมใช้ในสหรัฐอเมริกา^{[ 24 ]}และฝรั่งเศส^{[ 25 ]}บางครั้งตัวอักษรจะถูกขยายเป็นคำในประโยคช่วยจำ เช่น "Please Excuse My Dear Aunt Sally" ^{[ 26 ] สห}ราชอาณาจักรและ ประเทศ ในเครือจักรภพ อื่นๆ อาจใช้BODMAS (หรือบางครั้งBOMDAS ) ซึ่งย่อมาจากBrackets , Of , Division / Multiplication , Addition / Subtractionโดย "of" หมายถึงการคูณเศษส่วน^{[ 27 ] [ 28 ]}บางครั้งOจะถูกขยายเป็นOrderซึ่งหมายถึงเลขชี้กำลังหรือราก^{[ 28 ] [ 29 ]}หรือแทนที่ด้วยIสำหรับดัชนีในตัวช่วยจำทางเลือกBIDMAS ^{[ 28 ] [ 30 ]}ในแคนาดาและนิวซีแลนด์BEDMAS เป็นที่นิยม^{[ 31 ]}

ตัวช่วยจำเหล่านี้อาจทำให้เข้าใจผิดได้เมื่อเขียนในลักษณะนี้^{[ 26 ]}ตัวอย่างเช่น การตีความกฎข้างต้นผิดไปว่าหมายถึง "บวกก่อน ลบทีหลัง" จะทำให้ประเมินนิพจน์^{[ 26 ]} ผิดพลาด เป็นในขณะที่การประเมินที่ถูกต้องคือค่าเหล่านี้จะแตกต่างกันเมื่อ ${\displaystyle a-b+c}$${\displaystyle a-(b+c)}$${\displaystyle (ab)+c}$${\displaystyle c\neq 0}$

ในประเทศเยอรมนี หลักการคำนวณจะสอนง่ายๆ ว่าPunktrechnung vor Strichrechnungซึ่งแปลว่า "การดำเนินการจุดก่อนการดำเนินการเส้น" โดยอ้างอิงถึงรูปทรงกราฟิกของสัญลักษณ์·  (การคูณ), ∶  (การหาร), +  (การบวก) และ−  (การลบ) วิธีนี้ช่วยหลีกเลี่ยงความเข้าใจผิดที่อาจเกิดขึ้นดังที่กล่าวมาข้างต้น

ตัวย่อช่วยจำถูกวิพากษ์วิจารณ์ว่าไม่ได้พัฒนาความเข้าใจเชิงแนวคิดเกี่ยวกับลำดับการดำเนินการและไม่ได้ตอบคำถามของนักเรียนเกี่ยวกับจุดประสงค์หรือความยืดหยุ่น^{[ 32 ] [ 33 ]}นักเรียนที่เรียนรู้ลำดับการดำเนินการผ่านตัวย่อช่วยจำมักจะทำผิดพลาด^{[ 34 ]}เช่นเดียวกับครูฝึกหัดบางคน^{[ 35 ]}แม้ว่านักเรียนจะเรียนรู้ตัวย่อได้อย่างถูกต้อง แต่การมุ่งเน้นไปที่การท่องจำเกร็ดความรู้มากเกินไปกลับบดบังเนื้อหาทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญ^{[ 13 ]}การประยุกต์ใช้ขั้นตอนของตัวย่อไม่ตรงกับความเข้าใจโดยสัญชาตญาณของผู้เชี่ยวชาญเกี่ยวกับสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์: สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ระบุการจัดกลุ่มในรูปแบบอื่นนอกเหนือจากวงเล็บหรือวงเล็บเหลี่ยม และนิพจน์ทางคณิตศาสตร์เป็นลำดับชั้นแบบต้นไม้มากกว่าโครงสร้างที่มี "ลำดับ" เชิงเส้น ยิ่งไปกว่านั้น ไม่มีลำดับเดียวที่ต้องใช้ในการทำให้การแสดงออกทางคณิตศาสตร์ง่ายขึ้นหรือประเมินค่า และไม่มีการทำให้ง่ายขึ้นตามหลักการสากลสำหรับการแสดงออกใดๆ โดยเฉพาะ และผู้เชี่ยวชาญสามารถใช้การแปลงและการแทนที่ที่ถูกต้องได้อย่างคล่องแคล่วในลำดับใดก็ได้ที่สะดวก ดังนั้นการเรียนรู้ขั้นตอนที่เข้มงวดอาจทำให้ผู้เรียนเข้าใจสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ผิดและจำกัด^{[ 36 ]}

เครื่องคิดเลขแต่ละเครื่องมีลำดับการดำเนินการที่แตกต่างกัน^{[ 2 ]}เครื่องคิดเลขแบบง่ายหลายเครื่องที่ไม่มีสแต็กจะ ใช้ การป้อนข้อมูลแบบลูกโซ่โดยทำงานตามลำดับการกดปุ่มโดยไม่มีการกำหนดลำดับความสำคัญให้กับการดำเนินการต่างๆ ทำให้ได้ผลลัพธ์ที่แตกต่างจากเครื่องคิดเลขที่ซับซ้อนกว่า ตัวอย่างเช่น ในเครื่องคิดเลขแบบง่าย การพิมพ์1 + 2 × 3 =จะได้ผลลัพธ์เป็น 9 ในขณะที่เครื่องคิดเลขที่ซับซ้อนกว่าจะใช้ลำดับความสำคัญมาตรฐาน ดังนั้นการพิมพ์1 + 2 × 3 =จะได้ผลลัพธ์เป็น 7

เครื่องคิดเลขบางรุ่นอาจจัดวางเลขยกกำลังไว้ทางซ้ายหรือทางขวา ตัวอย่างเช่น นิพจน์จะถูกตีความว่าเป็นa ^{( b c )}บน เครื่องคิด เลข TI-92และTI-30XS MultiViewใน "โหมด Mathprint" ในขณะที่จะถูกตีความว่าเป็น ( a ^b ) ^cบน เครื่องคิด เลข TI-30XIIและ TI-30XS MultiView ใน "โหมด Classic" a^b^c

นิพจน์เช่นนี้จะถูกตีความว่าเป็น 1/(2 x ) โดยTI-82 [ ^{3 ]}เช่นเดียวกับเครื่องคิดเลขCasio รุ่นใหม่หลายรุ่น ^{[ 37 ]} (สามารถกำหนดค่าได้ในบางรุ่น เช่นfx-9750GIII ) แต่จะถูกตีความว่าเป็น (1/2) ^xโดย TI -83และเครื่องคิดเลข TI รุ่นอื่นๆ ทุกรุ่นที่วางจำหน่ายตั้งแต่ปี 1996 ^{[ 38 ] [ 3 ]}เช่นเดียวกับ เครื่องคิดเลข Hewlett-Packard ทุกรุ่น ที่มีสัญลักษณ์พีชคณิต ในขณะที่การตีความแบบแรกอาจเป็นที่คาดหวังของผู้ใช้บางรายเนื่องจากลักษณะของการคูณโดยนัย [ ^{39 ] การ ตีความ}แบบหลังนั้นสอดคล้องกับกฎที่ว่าการคูณและการหารมีลำดับความสำคัญเท่ากันมากกว่า^{[ 3 ]}1/2x

เมื่อผู้ใช้ไม่แน่ใจว่าเครื่องคิดเลขจะตีความนิพจน์อย่างไร สามารถใช้วงเล็บเพื่อขจัดความกำกวมได้^{[ 3 ]}

ลำดับการดำเนินการเกิดขึ้นเนื่องจากการปรับใช้สัญกรณ์อินฟิกซ์ในสัญกรณ์คณิตศาสตร์มาตรฐานซึ่งอาจกำกวมในเชิงสัญกรณ์หากไม่มีข้อตกลงดังกล่าว ตรงกันข้ามกับสัญกรณ์โพสต์ฟิกซ์หรือสัญกรณ์พรีฟิกซ์ซึ่งไม่จำเป็นต้องมีลำดับการดำเนินการ^{[ 40 ] [ 41 ]}ดังนั้น เครื่องคิดเลขที่ใช้สัญกรณ์โปแลนด์แบบย้อนกลับ (RPN) โดยใช้สแต็กเพื่อป้อนนิพจน์ตามลำดับความสำคัญที่ถูกต้อง จึงไม่จำเป็นต้องมีวงเล็บหรือลำดับการดำเนินการเฉพาะรุ่นใดๆ^{[ 26 ] [ 23 ]}

ภาษาโปรแกรมส่วนใหญ่ใช้ระดับความสำคัญที่สอดคล้องกับลำดับที่ใช้กันทั่วไปในคณิตศาสตร์^{[ 42 ]}แม้ว่าภาษาอื่นๆ เช่นAPLและSmalltalkจะไม่มี กฎลำดับความสำคัญ ของตัวดำเนินการ (ใน APL การประเมินค่าจะเป็นไปจากขวาไปซ้ายอย่างเคร่งครัด ใน Smalltalk จะเป็นไปจากซ้ายไปขวาอย่างเคร่งครัด)

นอกจากนี้ เนื่องจากตัวดำเนินการหลายตัวไม่มีคุณสมบัติการสลับที่ ลำดับภายในระดับใดระดับหนึ่งจึงมักถูกกำหนดโดยการจัดกลุ่มจากซ้ายไปขวา16/4/4เช่น(16/4)/4 = 1แทนที่จะเป็น16/(4/4) = 16 ตัวดำเนินการดังกล่าวเรียกว่า "ตัวดำเนินการสลับที่ซ้าย" อย่างไรก็ตาม มีข้อยกเว้น เช่น ภาษาที่มีตัวดำเนินการที่สอดคล้องกับ การดำเนินการ consบนลิสต์ มักจะจัดกลุ่มจากขวาไปซ้าย ("ตัวดำเนินการสลับที่ขวา") เช่น ในภาษาHaskell1:2:3:4:[] == 1:(2:(3:(4:[]))) == [1,2,3,4]

เดนนิส ริตชีผู้สร้างภาษา Cกล่าวถึงลำดับความสำคัญในภาษา C (ซึ่งภาษาโปรแกรมที่ยืมกฎเหล่านั้นมาจาก C เช่นC++ , PerlและPHP ใช้ร่วมกัน ) ว่าจะเป็นที่ต้องการมากกว่าหากย้ายตัวดำเนินการบิตไวส์ไปอยู่เหนือตัวดำเนินการเปรียบเทียบ^{[ 43 ]}โปรแกรมเมอร์หลายคนคุ้นเคยกับลำดับนี้ แต่ภาษาที่ได้รับความนิยมในปัจจุบัน เช่นPython ^{[ 44 ]}และRuby ^{[ 45 ]}กลับมีลำดับนี้กลับกัน ระดับความสำคัญสัมพัทธ์ของตัวดำเนินการที่พบในภาษาสไตล์ C หลายภาษามีดังนี้:

ตัวอย่าง:

• !A + !Bถูกตีความว่า(!A) + (!B)
• ++A + !Bถูกตีความว่า(++A) + (!B)
• A + B * Cถูกตีความว่าA + (B * C)
• A || B && Cถูกตีความว่าA || (B && C)
• A && B == Cถูกตีความว่าA && (B == C)
• A & B == Cถูกตีความว่าA & (B == C)

(ใน Python และ Ruby A & B == Cจะถูกตีความว่าเป็น(A & B) == C.)

คอมไพเลอร์ที่แปลงโค้ดต้นฉบับเป็นหลายภาษาจำเป็นต้องจัดการกับปัญหาลำดับการดำเนินการที่แตกต่างกันในแต่ละภาษาอย่างชัดเจน ตัวอย่างเช่น Haxeจะกำหนดมาตรฐานลำดับการดำเนินการและบังคับใช้โดยการแทรกวงเล็บในตำแหน่งที่เหมาะสม

พบว่าความแม่นยำของความรู้ของนักพัฒนาซอฟต์แวร์เกี่ยวกับลำดับความสำคัญของตัวดำเนินการไบนารีนั้นสอดคล้องกับความถี่ในการปรากฏในซอร์สโค้ดอย่างใกล้ชิด^{[ 47 ]}

ลำดับการดำเนินการเกิดขึ้นอย่างค่อยเป็นค่อยไปตลอดหลายศตวรรษ กฎที่ว่าการคูณมีลำดับความสำคัญเหนือกว่าการบวกถูกนำมาใช้ในการพัฒนาสัญลักษณ์พีชคณิตในช่วงทศวรรษที่ 1600 เนื่องจากคุณสมบัติการกระจายบ่งชี้ถึงลำดับชั้นตามธรรมชาติเช่นนี้ เมื่อไม่นานมานี้ในช่วงทศวรรษที่ 1920 นักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์Florian Cajoriได้ระบุถึงความไม่เห็นด้วยเกี่ยวกับว่าการคูณควรมีลำดับความสำคัญเหนือกว่าการหาร หรือควรได้รับการปฏิบัติอย่างเท่าเทียมกัน คำว่า "ลำดับการดำเนินการ" และตัวย่อ "PEMDAS/BEDMAS" ได้รับการกำหนดเป็นทางการเฉพาะในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 หรือต้นศตวรรษที่ 20 เท่านั้น เนื่องจากความต้องการตำราเรียนมาตรฐานเพิ่มขึ้น ความคลุมเครือเกี่ยวกับประเด็นต่างๆ เช่น การคูณโดยนัยมีลำดับความสำคัญเหนือกว่าการคูณและการหารโดยชัดแจ้งในนิพจน์เช่นa /2 bซึ่งสามารถตีความได้ว่าเป็นa /(2 b ) หรือ ( a /2) ×  bบ่งชี้ว่าข้อตกลงยังไม่มั่นคงอย่างสมบูรณ์^{[ 48 ] [ 49 ]}

• สัญกรณ์ตัวดำเนินการทั่วไป (สำหรับคำอธิบายที่เป็นทางการมากขึ้น)
• การผ่าตัดเกินขนาด
• ตัวเชื่อมตรรกะ #ลำดับความสำคัญ
• ความสัมพันธ์ของตัวดำเนินการ
• การโอเวอร์โหลดผู้ปฏิบัติงาน
• ลำดับความสำคัญของตัวดำเนินการในภาษา C และ C++
• สัญกรณ์โปแลนด์
• สัญกรณ์โปแลนด์กลับด้าน

• โฟธ, ไมเคิล; วิลค์, โธมัส, สหพันธ์. (2558) Keller , Stack und automatisches Gedächtnis – eine Struktur mit Potenzial [ Cellar , stack and automatic memory – a Structure with Potential ] (PDF ) Kolloquium 14 พฤศจิกายน 2014 ในเมืองเยนา ประเทศเยอรมนี (เป็นภาษาเยอรมัน) บอนน์: Gesellschaft für Informatik. ไอเอสบีเอ็น 978-3-88579-426-4.

• เบิร์กแมน, จอร์จ มาร์ค (2013). "ลำดับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งคำถาม 48/2(9+3)"ภาควิชาคณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนียสืบค้นเมื่อ2020-07-22
• Zachary, Joseph L. (1997) "ลำดับความสำคัญของตัวดำเนินการ" ภาคผนวกของหนังสือIntroduction to Scientific Programmingมหาวิทยาลัยยูทาห์แผ่นงาน Maple สมุด บันทึกMathematica