ในเรขาคณิตแบบยุคลิดวัตถุสองชิ้นจะคล้ายกันก็ต่อเมื่อมีรูปร่าง เหมือนกัน หรือถ้าชิ้นหนึ่งมีรูปร่างเหมือนกับภาพสะท้อนในกระจกของอีกชิ้นหนึ่ง กล่าวคือ สามารถได้วัตถุชิ้นหนึ่งจากอีกชิ้นหนึ่งโดยการปรับขนาด (ขยายหรือลดขนาด) อย่างสม่ำเสมอ โดยอาจมี การเลื่อนการหมุนและการสะท้อนเพิ่มเติมนั่นหมายความว่า วัตถุแต่ละชิ้นสามารถปรับขนาด เปลี่ยนตำแหน่ง และสะท้อนได้ เพื่อให้ตรงกับวัตถุอีกชิ้นหนึ่งอย่างแม่นยำ ถ้าวัตถุสองชิ้นคล้ายกัน แต่ละชิ้นจะสมมาตรกับผลลัพธ์ของการปรับขนาดอย่างสม่ำเสมอของอีกชิ้นหนึ่ง

ตัวอย่างเช่นวงกลม ทุกวง มีความคล้ายคลึงกันสี่เหลี่ยมจัตุรัส ทุกรูป มีความคล้ายคลึงกัน และสามเหลี่ยมด้านเท่า ทุกรูป มีความคล้ายคลึงกัน ในทางกลับกันวงรีและสี่เหลี่ยมผืนผ้าไม่คล้ายคลึงกันทั้งหมด และ สามเหลี่ยมหน้าจั่วไม่คล้ายคลึงกันทั้งหมด ทั้งนี้เพราะวงรีสองวงอาจมีอัตราส่วนความกว้างต่อความสูงที่แตกต่างกัน สี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูปอาจมีอัตราส่วนความยาวต่อความกว้างที่แตกต่างกัน และสามเหลี่ยมหน้าจั่วสองรูปอาจมีมุมฐานที่แตกต่างกัน

ถ้ามุมสองมุมของสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีขนาดเท่ากับมุมสองมุมของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่ง สามเหลี่ยมทั้งสองนั้นจะเป็นรูปคล้ายกัน ด้านที่สอดคล้องกันของรูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกันจะมีสัดส่วนเท่ากัน และมุมที่สอดคล้องกันของรูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกันจะมีขนาดเท่ากัน

รูปทรง สอง รูป ที่เท่ากันทุกประการจะคล้ายกัน โดยมีอัตราส่วนการขยายเท่ากับ 1 อย่างไรก็ตาม ตำราเรียนบางเล่มได้ยกเว้นสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการออกจากคำจำกัดความของสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน โดยยืนยันว่าขนาดของสามเหลี่ยมจะต้องแตกต่างกันจึงจะถือว่าคล้ายกัน

สามเหลี่ยมสองรูป△ ABCและ△ A'B'C'จะคล้ายกันก็ต่อเมื่อมุมที่สอดคล้องกันมีขนาดเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าสามเหลี่ยมทั้งสองจะคล้ายกันก็ต่อเมื่อความยาวของด้านที่สอดคล้องกันเป็นสัดส่วนกัน [ ^{1 ] สามารถ}แสดงได้ว่าสามเหลี่ยมสองรูปที่มีมุมเท่ากัน ( สามเหลี่ยมมุมเท่า ) จะคล้ายกัน นั่นคือสามารถพิสูจน์ได้ว่าด้านที่สอดคล้องกันเป็นสัดส่วนกัน ซึ่งเรียกว่าทฤษฎีบทความคล้ายคลึง AAA ^{[ 2 ]}โปรดทราบว่า "AAA" เป็นตัวช่วยจำ: A ทั้งสามตัวหมายถึง "มุม" เนื่องจากทฤษฎีบทนี้ ผู้เขียนหลายคนจึงลดความซับซ้อนของนิยามของสามเหลี่ยมที่คล้ายกันโดยกำหนดให้มุมทั้งสามที่สอดคล้องกันมีขนาดเท่ากันเท่านั้น^{[ 3 ]}

มีเกณฑ์หลายประการ ซึ่งแต่ละข้อล้วนมีความจำเป็นและเพียงพอสำหรับการที่สามเหลี่ยมสองรูปจะคล้ายกัน:

• มุมสองคู่ใดๆ จะเท่ากัน^{[ 4 ]}ซึ่งในเรขาคณิตยุคลิดหมายความว่ามุมทั้งสามมุมจะเท่ากัน: ^{[ a ]}

ถ้า∠ BACมีขนาดเท่ากับ∠ B'A'C'และ∠ ABCมีขนาดเท่ากับ∠ A'B'C' แล้ว ∠ ACBจะมีขนาดเท่ากับ∠ A'C'B'และสามเหลี่ยมทั้งสองรูปนี้ จึงคล้ายกัน

• ด้านที่สอดคล้องกันทั้งหมดเป็นสัดส่วนกัน: ^{[ 5 ]}

$${\displaystyle {\frac {\overline {AB}}{\overline {A'B'}}}={\frac {\overline {BC}}{\overline {B'C'}}}={\frac {\overline {AC}}{\overline {A'C'}}}.}$$

นี่เทียบเท่ากับการกล่าวว่าสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง (หรือภาพสะท้อนของมัน) เป็นการขยายขนาดของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่ง

• ด้านสองคู่ใดๆ ก็ตามจะมีสัดส่วนกัน และมุมที่อยู่ระหว่างด้านทั้งสองนี้จะเท่ากัน: ^{[ 6 ]}

$${\displaystyle {\frac {\overline {AB}}{\overline {A'B'}}}={\frac {\overline {BC}}{\overline {B'C'}}},\quad \angle ABC\cong \angle A'B'C'.}$$

นี่คือสิ่งที่เรียกว่าเกณฑ์ความคล้ายคลึง SAS ^{[ 7 ]} "SAS" เป็นคำช่วยจำ: S แต่ละตัวหมายถึง "ด้าน" ส่วน A หมายถึง "มุม" ระหว่างสองด้าน

ในเชิงสัญลักษณ์ เราเขียนความคล้ายคลึงและความไม่คล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมสองรูป△ ABCและ△ A'B'C'ดังนี้: ^{[ 8 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\triangle ABC&\sim \triangle A'B'C'\\\triangle ABC&\nsim \triangle A'B'C'\end{aligned}}}$$

มีผลลัพธ์พื้นฐานหลายประการเกี่ยวกับสามเหลี่ยมที่คล้ายกันในเรขาคณิตยุคลิด: ^{[ 9 ]}

• สามเหลี่ยมด้านเท่าสองรูปใดๆ ก็จะคล้ายกัน
• รูปสามเหลี่ยมสองรูป ซึ่งต่างก็คล้ายกับรูปสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่ง ย่อมคล้ายกันเองด้วย ( สมบัติการถ่ายทอดความคล้ายคลึงของรูปสามเหลี่ยม)
• ความสูงที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมคล้ายจะมีอัตราส่วนเท่ากับด้านที่สอดคล้องกัน
• รูปสามเหลี่ยมมุมฉากสอง รูป จะคล้ายกันก็ต่อเมื่อด้านตรงข้ามมุมฉากและด้านอีกด้านมีความยาวในอัตราส่วนเดียวกัน^{[ 10 ]}ในกรณีนี้มีเงื่อนไขที่เทียบเท่ากันหลายประการ เช่น รูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีมุมแหลมที่มีขนาดเท่ากัน หรือมีด้านประกอบมุมฉากมีความยาวในสัดส่วนเดียวกัน

เมื่อกำหนดสามเหลี่ยม△ ABCและส่วนของเส้นตรงDEแล้ว เราสามารถใช้ไม้บรรทัดและวงเวียนเพื่อหาจุดFที่ทำให้△ ABC ~ △ DEFได้ ข้อความที่ระบุว่าจุดFที่ตรงตามเงื่อนไขนี้มีอยู่จริงคือสัจพจน์ของวอลลิส^{[ 11 ]}และมีความสมมูลเชิงตรรกะกับสัจพจน์เส้นขนาน ของยู คลิด^{[ 12 ]}ในเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก (ซึ่งสัจพจน์ของวอลลิสเป็นเท็จ) สามเหลี่ยมที่คล้ายกันจะเท่ากันทุกประการ

ในการพิจารณาเรขาคณิตแบบยุคลิดด้วยสัจพจน์ที่เสนอโดยGeorge David Birkhoff (ดูสัจพจน์ของ Birkhoff ) เกณฑ์ความคล้ายคลึง SAS ที่กล่าวมาข้างต้นถูกนำมาใช้แทนที่สัจพจน์เส้นขนานของยุคลิดและสัจพจน์ SAS ซึ่งทำให้สัจพจน์ของ Hilbert สั้นลงอย่าง มาก^{[ 7 ]}

สามเหลี่ยมคล้ายเป็นพื้นฐานสำหรับ การพิสูจน์ แบบสังเคราะห์ (โดยไม่ต้องใช้พิกัด) หลายอย่างในเรขาคณิตยุคลิด ผลลัพธ์พื้นฐานที่สามารถพิสูจน์ได้ด้วยวิธีนี้ ได้แก่ทฤษฎีบทการแบ่งครึ่งมุม ทฤษฎีบท ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตทฤษฎีบทของเซวา ทฤษฎีบทของเมเนเลาส์และทฤษฎีบทพีทาโกรัสสามเหลี่ยมคล้ายยังเป็นพื้นฐานสำหรับตรีโกณมิติของสามเหลี่ยมมุมฉาก อีกด้วย ^{[ 13 ]}

แนวคิดเรื่องความคล้ายคลึงกันนั้นครอบคลุมถึงรูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านมากกว่าสามด้าน สำหรับรูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายคลึงกันสองรูป ด้านที่สอดคล้องกันซึ่งเรียงลำดับเดียวกัน (แม้ว่าจะเรียงตามเข็มนาฬิกาสำหรับรูปหนึ่งและทวนเข็มนาฬิกาสำหรับอีกรูปหนึ่ง) จะมีสัดส่วนกันและมุมที่สอดคล้องกันซึ่งเรียงลำดับเดียวกันจะมีขนาดเท่ากัน อย่างไรก็ตาม สัดส่วนของด้านที่สอดคล้องกันเพียงอย่างเดียวไม่เพียงพอที่จะพิสูจน์ความคล้ายคลึงกันสำหรับรูปหลายเหลี่ยมที่นอกเหนือจากรูปสามเหลี่ยม (มิฉะนั้น ตัวอย่างเช่นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ทั้งหมด จะคล้ายคลึงกัน) เช่นเดียวกัน ความเท่ากันของมุมทั้งหมดตามลำดับก็ไม่เพียงพอที่จะรับประกันความคล้ายคลึงกัน (มิฉะนั้นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ทั้งหมด จะคล้ายคลึงกัน) เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับความคล้ายคลึงกันของรูปหลายเหลี่ยมคือ ด้านและเส้นทแยงมุมที่สอดคล้องกันมีสัดส่วนกัน

สำหรับค่าn ที่กำหนด รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าnด้านทั้งหมดจะคล้ายคลึงกัน

เส้นโค้งหลายประเภทมีคุณสมบัติที่ว่า เส้นโค้งทุกเส้นในประเภทนั้นจะมีลักษณะคล้ายคลึงกัน ซึ่งได้แก่:

• เส้นตรง (เส้นตรงสองเส้นใดๆ ก็ตามจะเท่ากันทุกประการ )
• ส่วนของเส้นตรง
• วงกลม
• พาราโบลา^{[ 14 ]}
• ไฮเปอร์โบลาของความเยื้องศูนย์ เฉพาะ ^{[ 15 ]}
• วงรีที่มีความเยื้องศูนย์เฉพาะ^{[ 15 ]}
• เส้นโค้งแคทเทนารี
• กราฟของ ฟังก์ชัน ลอการิทึมสำหรับฐานต่างๆ
• กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังสำหรับฐานต่างๆ
• เกลียวลอการิทึมมีความคล้ายคลึงในตัวเอง

ความคล้ายคลึง (หรือเรียกว่าการแปลงความคล้ายคลึงหรือความเหมือน ) ของปริภูมิยูคลิดคือฟังก์ชัน หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง fจากปริภูมิไปยังตัวมันเอง ซึ่งคูณระยะทางทั้งหมดด้วยจำนวน จริงบวกเดียวกัน rดังนั้นสำหรับจุดสองจุดใดๆxและyเราจะได้ว่า

${\displaystyle d(f(x),f(y))=r\,d(x,y),}$

โดยที่d ( x , y )คือระยะทางแบบยุคลิดจากxไปยังy [ ^{16 ] ค่า}สเกลาร์rมีชื่อเรียกมากมายในเอกสารทางวิชาการ รวมถึงอัตราส่วนความคล้ายคลึงปัจจัยการยืดและสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงเมื่อr = 1ความคล้ายคลึงจะเรียกว่าไอโซเมตรี ( การแปลงแบบแข็ง ) เซตสองเซตจะเรียกว่าคล้ายคลึงกันหากเซตหนึ่งเป็นภาพของอีกเซตหนึ่งภายใต้ความคล้ายคลึง

ใน ฐานะ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},}$แผนที่อัตราส่วนความคล้ายคลึงrจะมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle f(x)=rAx+t,}$

โดยที่⁠ ⁠${\displaystyle A\in O^{n}(\mathbb {R} )}$คือเมทริกซ์เชิงตั้งฉากขนาดn × n และ⁠ ⁠คือเวกเตอร์การเลื่อน ${\displaystyle t\in \mathbb {R} ^{n}}$

ความคล้ายคลึงกันจะรักษาระนาบ เส้น ความตั้งฉาก ความขนาน จุดกึ่งกลาง ความไม่เท่ากันระหว่างระยะทางและส่วนของเส้นตรง^{[ 17 ]}ความคล้ายคลึงกันจะรักษามุม แต่ไม่จำเป็นต้องรักษาทิศทางความคล้ายคลึงโดยตรงจะรักษาทิศทาง และความคล้ายคลึงตรงข้ามจะเปลี่ยนทิศทาง^{[ 18 ]}

ความคล้ายคลึงกันของปริภูมิยุคลิดก่อตัวเป็นกลุ่มภายใต้การดำเนินการประกอบที่เรียกว่ากลุ่มความคล้ายคลึงS ^{[ 19 ]}ความคล้ายคลึงโดยตรงก่อตัวเป็นกลุ่มย่อยปกติของSและกลุ่มยุคลิดE ( n )ของไอโซเมตรีก็ก่อตัวเป็นกลุ่มย่อยปกติเช่นกัน^{[ 20 ]}กลุ่มความคล้ายคลึงSเองก็เป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มแอฟฟินดังนั้นความคล้ายคลึงทุกอย่างจึงเป็นการแปลงแอฟฟิน

เราสามารถมองระนาบยุคลิดเป็นระนาบเชิงซ้อนได้^{[ b ]}นั่นคือเป็นปริภูมิ 2 มิติเหนือจำนวนจริงการแปลงความคล้ายคลึง 2 มิติสามารถแสดงได้ในรูปของเลขคณิตเชิงซ้อนและกำหนดโดย

• ${\displaystyle f(z)=az+b}$(ความคล้ายคลึงโดยตรง) และ
• ${\displaystyle f(z)=a{\overline {z}}+b}$(ความคล้ายคลึงที่ตรงกันข้าม)

โดยที่aและbเป็นจำนวนเชิงซ้อน และa ≠ 0เมื่อ| a | = 1ความคล้ายคลึงเหล่านี้จะเป็นไอโซเมตรี

อัตราส่วนระหว่างพื้นที่ของรูปทรงที่คล้ายกันจะเท่ากับกำลังสองของอัตราส่วนของความยาวด้านที่สอดคล้องกันของรูปทรงเหล่านั้น (ตัวอย่างเช่น เมื่อด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือรัศมีของวงกลมคูณด้วยสาม พื้นที่ของมันจะเพิ่มขึ้นเป็นเก้าเท่า — นั่นคือคูณด้วยสามกำลังสอง) ความสูงของสามเหลี่ยมที่คล้ายกันจะมีอัตราส่วนเดียวกันกับด้านที่สอดคล้องกัน ถ้าสามเหลี่ยมมีด้านยาวbและเส้นความสูงที่ลากไปยังด้านนั้นยาวhแล้วสามเหลี่ยมที่คล้ายกันซึ่งมีด้านที่สอดคล้องกันยาวkbจะมีเส้นความสูงที่ลากไปยังด้านนั้นยาวkhพื้นที่ของสามเหลี่ยมแรกคือในขณะที่พื้นที่ของสามเหลี่ยมที่คล้ายกันจะเป็น รูปทรงที่คล้ายกันซึ่งสามารถแยกออกเป็นสามเหลี่ยมที่คล้ายกันได้จะมีพื้นที่ที่สัมพันธ์กันในลักษณะเดียวกัน ความสัมพันธ์นี้ใช้ได้กับรูปทรงที่ไม่สามารถแยกออกเป็นรูปสามเหลี่ยมได้เช่นกัน ${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}bh,}$$${\displaystyle A'={\frac {1}{2}}\cdot kb\cdot kh=k^{2}A.}$$

อัตราส่วนระหว่างปริมาตรของรูปทรงที่เหมือนกันจะเท่ากับกำลังสามของอัตราส่วนของความยาวที่สอดคล้องกันของรูปทรงเหล่านั้น (ตัวอย่างเช่น เมื่อความยาวด้านของลูกบาศก์หรือรัศมีของทรงกลมคูณด้วยสาม ปริมาตรของมันจะเพิ่มขึ้นเป็น 27 เท่า หรือสามยกกำลังสาม)

^กฎกำลังสอง-กำลังสามของกาลิเลโอเกี่ยวข้องกับทรงเรขาคณิตที่คล้ายคลึงกัน ถ้าอัตราส่วนของความคล้ายคลึง (อัตราส่วนของด้านที่สอดคล้องกัน) ระหว่างทรงเรขาคณิตเหล่านั้นคือ^kแล้วอัตราส่วนของพื้นที่ผิวของทรงเรขาคณิตเหล่านั้นจะเป็นk² ในขณะ ที่ อัตราส่วนของปริมาตรจะเป็นk³

ตัวอย่างเช่น ความคล้ายคลึงแต่ละอย่างที่ประกอบขึ้นจากตัวมันเองหลายๆ ครั้งติดต่อกันจะมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดศูนย์กลางของรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าที่มันทำให้เล็กลง

ตัวอย่างของความคล้ายคลึงโดยตรงของจุดศูนย์กลางS ที่แยกออกเป็นการหมุนด้วยมุม 135° และการแปลงแบบโฮโมเทตีที่แบ่งพื้นที่ ออกเป็นครึ่ง หนึ่ง

ตัวอย่างของความคล้ายคลึงโดยตรงที่มีจุดศูนย์กลาง เหมือน กัน

ถ้าความคล้ายคลึงกันมีจุด คงที่เพียงจุดเดียว คือจุดที่ความคล้ายคลึงกันนั้นคงไว้ซึ่งความไม่เปลี่ยนแปลง จุดนั้นจะเรียกว่า " จุดศูนย์กลาง " ของความคล้ายคลึงกันนั้น

ในภาพแรกด้านล่างชื่อเรื่อง ทางด้านซ้าย ความคล้ายคลึงกันอย่างใดอย่างหนึ่งจะย่อรูปหลายเหลี่ยมปกติ ให้กลาย เป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมกันโดยที่จุดยอดแต่ละจุดจะอยู่บนด้านใดด้านหนึ่งของรูปหลายเหลี่ยมก่อนหน้า การลดขนาดด้วยการหมุนนี้จะถูกทำซ้ำดังนั้นรูปหลายเหลี่ยมเริ่มต้นจึงขยายออกเป็นเหวของรูปหลายเหลี่ยมปกติจุดศูนย์กลางของความคล้ายคลึงกันคือจุดศูนย์กลางร่วมของรูปหลายเหลี่ยมที่ต่อเนื่องกันเส้น สีแดง เชื่อมจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมเริ่มต้นกับภาพ ของมัน ภายใต้ความคล้ายคลึงกัน ตามด้วยเส้นสีแดงที่เชื่อมไปยังภาพของจุดยอดถัดไป และทำเช่นนี้ต่อไปเรื่อยๆ จนเกิดเป็นเกลียวอันที่จริงเราสามารถเห็นความคล้ายคลึงกันโดยตรงมากกว่าสามอย่างในภาพแรกนี้ เพราะรูปหลายเหลี่ยมปกติทุกรูปจะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ความคล้ายคลึงกันโดยตรงบางอย่าง โดยเฉพาะอย่างยิ่งการหมุนบางอย่างที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดศูนย์กลางของรูปหลายเหลี่ยม และการประกอบกันของความคล้ายคลึงกันโดยตรงก็คือความคล้ายคลึงกันโดยตรงเช่นกัน ตัวอย่างเช่น เราจะเห็นภาพของรูปห้าเหลี่ยมปกติเริ่มต้นภาย ใต้การแปลงแบบโฮโมเทตีที่มีอัตราส่วนลบ−kซึ่งเป็นการแปลงแบบคล้ายคลึงกันของมุม ±180° และอัตราส่วนบวกเท่ากับk

ด้านล่างชื่อเรื่องทางด้านขวา ภาพที่สองแสดงความคล้ายคลึงที่แยกออกเป็นการหมุนและการแปลงแบบโฮโมเทตี ความคล้ายคลึงและการหมุนมีมุมเดียวกันคือ +135 องศามอดูล 360 องศา ความคล้ายคลึงและการแปลงแบบโฮ โมเทตีมีอัตราส่วนเดียวกันคือส่วน${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{2}},}$กลับ ของการ คูณของอัตราส่วน ( ราก${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ที่สองของ 2 ) ของ ความคล้ายคลึง ผกผันจุดSคือจุดศูนย์กลาง ร่วม ของการแปลงทั้งสาม ได้แก่ การหมุน การแปลงแบบโฮโมเทตี และความคล้ายคลึง ตัวอย่างเช่น จุดWคือภาพของFภายใต้การหมุน และจุดTคือภาพของWภายใต้การแปลงแบบโฮโมเทตี กล่าวโดยย่อ คือR , HและDแทนการหมุน การแปลงแบบโฮโมเทตี และความคล้ายคลึงก่อนหน้านี้ โดยที่ “ D ” หมายถึง “โดยตรง” $${\displaystyle T=H(W)=(R(F))=(H\circ R)(F)=D(F),}$$

ความคล้ายคลึงโดยตรงที่แปลงรูปสามเหลี่ยม△ EFAให้เป็นรูปสามเหลี่ยม△ ATBสามารถแยกออกเป็นการหมุนและการแปลงแบบโฮโมเทตีที่มีจุดศูนย์กลางเดียวกันSได้หลายวิธี ตัวอย่างเช่นD = R ○ H = H ○ Rโดยการแยกส่วนสุดท้ายนี้แสดงอยู่ในภาพเท่านั้น เพื่อให้ได้D เรายังสามารถประกอบการหมุนด้วยมุม −45° และการแปลงแบบโฮโมเทตีที่มีอัตราส่วน ⁠ ⁠ ในลำดับใดก็ได้${\displaystyle {\tfrac {-{\sqrt {2}}}{2}}.}$

โดยที่ " M " เปรียบเสมือน "กระจก" และ " I " เปรียบเสมือน "ทางอ้อม" ถ้าMคือการสะท้อนเทียบกับเส้นCWแล้วM ○ D = Iคือ ความคล้ายคลึง ทางอ้อมที่แปลงส่วนของเส้นตรงBFเช่นDไปเป็นส่วนของเส้นตรงCTแต่แปลงจุด Eไปเป็นBและจุด Aไปเป็น Aเอง สี่เหลี่ยมจัตุรัสACBTคือภาพของABEFภายใต้ความคล้ายคลึงIที่มีอัตราส่วน⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}.}$จุด Aเป็นจุดศูนย์กลางของความคล้ายคลึงนี้ เพราะจุดK ใดๆ ที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ ความคล้ายคลึงนี้จะ เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อAK = 0เท่านั้น มิฉะนั้นจะเขียนว่า A = K${\displaystyle AK={\tfrac {AK}{\sqrt {2}}},}$

จะสร้างจุดศูนย์กลางSของความคล้ายคลึงโดยตรงDจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสABEF ได้อย่างไร และจะหาจุดSที่เป็นจุดศูนย์กลางของการหมุนด้วยมุม +135° ที่เปลี่ยนรังสี⁠ ⁠${\displaystyle {\overset {}{\overrightarrow {SE}}}}$เป็นรังสี⁠ ⁠${\displaystyle {\overset {}{\overrightarrow {SA}}}}$ ได้อย่างไร นี่เป็น ปัญหาเกี่ยวกับ มุมภายในบวกกับคำถามเกี่ยวกับการวางแนว เซตของจุดPที่เป็นส่วนโค้งของวงกลมEAที่เชื่อม Eและ Aโดยที่รัศมีสองเส้นที่นำไปสู่ ​​Eและ Aทำมุมศูนย์กลางได้2(180° − 135°) = 2 × 45° = 90°เซตของจุดเหล่านี้คือส่วนโค้งสีน้ำเงินของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางFอยู่ภายในสี่เหลี่ยมจัตุรัสABEFในทำนองเดียวกัน จุดS เป็นส่วนหนึ่งของส่วนโค้งสีน้ำเงินของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางTอยู่ภายในสี่เหลี่ยมจัตุรัสBCATดังนั้น จุดS จึง เป็น จุด ตัดของส่วนโค้งทั้งสองนี้ ${\displaystyle {\overset {}{{\overrightarrow {PE}},{\overrightarrow {PA}}=+135^{\circ }}}}$

แผนที่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง ระหว่าง ^{ปริภูมิ}เมตริกเรียกว่าความคล้ายคลึงกันถ้าสำหรับทุกโดยที่^[ 21 ^]${\displaystyle f:M\to N}$${\displaystyle d(f(x),f(y))=c\cdot d(x,y)}$${\displaystyle x,y\in M}$${\displaystyle c>0}$

ตัวอย่างเช่น รูปแบบความคล้ายคลึงที่อ่อนกว่าจะมีfเป็นฟังก์ชันไบลิปชิตซ์และสเกลาร์rเป็นลิมิต

$${\displaystyle \lim {\frac {d(f(x),f(y))}{d(x,y)}}=r.}$$

รูปแบบที่อ่อนกว่านี้ใช้ได้เมื่อเมตริกเป็นความต้านทานที่มีประสิทธิภาพบนเซตที่มีความคล้ายคลึงกันในเชิงโทโพโลยี

เซตย่อยที่คล้ายคลึงกันในตัวเองของปริภูมิเมตริก( X , d )คือเซตKซึ่งมีเซตจำกัดของความคล้ายคลึงกัน{ f _s } _{s ∈ S}ที่มีปัจจัยการหด ตัว 0 ≤ r _s < 1โดยที่Kเป็นเซตย่อยกระชับเพียงหนึ่งเดียวของXซึ่ง

$${\displaystyle \bigcup _{s\in S}f_{s}(K)=K.}$$

เซตที่คล้ายคลึงกันในตัวเองเหล่านี้มีมาตรวัด ความคล้ายคลึงกันในตัวเอง μ ^DโดยมีมิติDกำหนดโดยสูตร

$${\displaystyle \sum _{s\in S}(r_{s})^{D}=1}$$

ซึ่งมักจะ (แต่ไม่เสมอไป) เท่ากับมิติเฮาส์ดอร์ฟและมิติการบรรจุ ของเซต หากการทับซ้อนระหว่างf _s ( K )มีค่า "น้อย" เราจะมีสูตรอย่างง่ายต่อไปนี้สำหรับการวัด:

$${\displaystyle \mu ^{D}(f_{s_{1}}\circ f_{s_{2}}\circ \cdots \circ f_{s_{n}}(K))=(r_{s_{1}}\cdot r_{s_{2}}\cdots r_{s_{n}})^{D}.\,}$$

ในทางโทโพโลยี ปริภูมิเมตริกสามารถสร้างขึ้นได้โดยการกำหนดความคล้ายคลึงแทนที่จะใช้ระยะทางความคล้ายคลึงเป็นฟังก์ชันที่มีค่ามากขึ้นเมื่อจุดสองจุดอยู่ใกล้กันมากขึ้น (ตรงกันข้ามกับระยะทาง ซึ่งเป็นการวัดความไม่คล้ายคลึงกัน : ยิ่งจุดอยู่ใกล้กันมากเท่าไร ระยะทางก็ยิ่งน้อยลงเท่านั้น)

นิยามของความคล้ายคลึงอาจแตกต่างกันไปในแต่ละผู้เขียน ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติที่ต้องการ คุณสมบัติพื้นฐานที่พบได้ทั่วไป ได้แก่

1. นิยามของคำว่า "เชิงบวก":

$${\displaystyle \forall (a,b),S(a,b)\geq 0}$$

1. โดยพิจารณาจากความคล้ายคลึงกันขององค์ประกอบหนึ่งกับตัวมันเองเป็นหลัก ( ความคล้ายคลึงกันในตัวเอง ):

$${\displaystyle S(a,b)\leq S(a,a)\quad {\text{and}}\quad \forall (a,b),S(a,b)=S(a,a)\Leftrightarrow a=b}$$

สามารถเรียกใช้คุณสมบัติเพิ่มเติมได้ เช่น:

• ค่าการสะท้อนแสง : หรือ${\displaystyle \forall (a,b)\ S(a,b)=S(b,a),}$
• ความจำกัด :${\displaystyle \forall (a,b)\ S(a,b)<\infty .}$

โดยทั่วไปค่าสูงสุดมักถูกกำหนดไว้ที่ 1 (ซึ่งทำให้เกิดความเป็นไปได้ในการตีความความคล้ายคลึงกันในเชิงความน่าจะเป็น)

โปรดทราบว่า ในความหมายเชิงทอพอโลยีที่ใช้ในที่นี้ ความคล้ายคลึงกันเป็นการ วัดชนิดหนึ่งการใช้งานนี้ไม่เหมือนกับการแปลงความคล้ายคลึงกันในหัวข้อ § ในปริภูมิยุคลิดและ§ ในปริภูมิเมตริกทั่วไปของบทความนี้

สัญชาตญาณเกี่ยวกับแนวคิดเรื่องความคล้ายคลึงทางเรขาคณิตปรากฏให้เห็นแล้วในเด็กมนุษย์ ดังที่เห็นได้จากภาพวาดของพวกเขา^{[ 22 ]}แบบจำลองการจัดหมวดหมู่การรับรู้บางอย่างในทางจิตวิทยาขึ้นอยู่กับความคล้ายคลึงทางเรขาคณิต โดยสมมติว่าการเรียนรู้เกี่ยวข้องกับการจัดเก็บตัวอย่างเฉพาะ (เช่น ข้อกำหนดทั่วไปของวัตถุ) ในหน่วยความจำ การจัดหมวดหมู่ของวัตถุอื่นจะขึ้นอยู่กับความคล้ายคลึงของวัตถุกับตัวอย่างในหน่วยความจำในภายหลัง^{[ 23 ]}

• ทฤษฎีสัดส่วนพื้นฐาน
• การแปลงเฮลเมิร์ต
• ความคล้ายคลึงแบบเกลียว

• Cederberg, Judith N. (2001) [1989]. "บทที่ 3.12: การแปลงความคล้ายคลึง". หลักสูตรเรขาคณิตสมัยใหม่ . Springer. หน้า  183–189 . ISBN 0-387-98972-2.
• Coxeter, HSM (1969) [1961]. "§5 ความคล้ายคลึงในระนาบยุคลิด" หน้า 67–76. "§7 ไอโซเมตรีและความคล้ายคลึงในปริภูมิยุคลิด" หน้า 96–104. บทนำสู่เรขาคณิต . John Wiley & Sons .
• Ewald, Günter (1971). เรขาคณิต: บทนำ . สำนักพิมพ์ Wadsworth . หน้า 106, 181.
• มาร์ติน, จอร์จ อี. ( 1982). "บทที่ 13: ความคล้ายคลึงกันในระนาบ" เรขาคณิตการแปลง: บทนำสู่สมมาตรสปริงเกอร์ หน้า  136–146 ISBN 0-387-90636-3.

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับความคล้ายคลึง (ทางเรขาคณิต )

• ภาพเคลื่อนไหวสาธิตเรื่องสามเหลี่ยมคล้ายกัน
• ทฤษฎีบทพื้นฐานของความคล้ายคลึง - ภาพร่างเรขาคณิตเชิงพลวัตเพื่อประกอบการอธิบาย