ปัญหาของไซมอน

ในทางคณิตศาสตร์ปัญหาของไซมอน ( หรือปัญหาของไซมอน ) คือชุดคำถาม 15 ข้อที่ตั้งขึ้นในปี 2000 โดยแบร์รี ไซมอนนักฟิสิกส์คณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน[ ^{1 ] [ 2 ] ปัญหา} ของ ไซมอนได้รับแรงบันดาลใจจากชุดปัญหาทางคณิตศาสตร์และการคาดการณ์ ที่ยังเปิดอยู่ชุดอื่นๆ เช่นรายการที่มีชื่อเสียงของเดวิด ฮิลเบิร์ต และเกี่ยวข้องกับ ตัวดำเนินการควอนตัม [ ^{3 ] แปด}ข้อในจำนวนนี้เกี่ยวข้องกับ พฤติกรรม สเปกตรัม ที่ผิดปกติ ของตัวดำเนินการชโรดิงเกอร์ และห้าข้อเกี่ยวข้องกับตัวดำเนินการที่รวมศักยภาพคูลอมบ์^{[ 1 ] [ 4 ]}

ในปี 2014 Artur Avilaได้รับรางวัลFields Medalจากผลงานที่รวมถึงการแก้ปัญหา Simon สามข้อ^{[ 5 ] [ 6 ]}หนึ่งในนั้นคือปัญหาการพิสูจน์ว่าเซตของระดับพลังงานของระบบควอนตัมเชิงนามธรรมเฉพาะระบบหนึ่งนั้นคือเซต Cantorซึ่งเป็นความท้าทายที่รู้จักกันในชื่อ "ปัญหา Ten Martini" ตามรางวัลที่Mark Kacเสนอให้สำหรับการแก้ปัญหานี้^{[ 6 ] [ 7 ]}

รายการ 2000 รายการเป็นการปรับปรุงชุดปัญหาที่คล้ายกันซึ่งไซมอนได้ตั้งไว้ในปี 1984 ^{[ 8 ] [ 9 ]}

คำจำกัดความเบื้องต้นสำหรับปัญหาเกี่ยวกับ "พลังงานคูลอมบ์" ( อนุภาคที่ไม่เป็นไปตามทฤษฎีสัมพัทธภาพ ( อิเล็กตรอน ) ที่มีสปินและนิวเคลียส ที่มีมวลอนันต์ พร้อมประจุและปฏิสัมพันธ์แบบคูลอมบ์): ${\displaystyle N}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle 1/2}$${\displaystyle Z}$

• ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{f}^{(N)}}$คือปริภูมิของฟังก์ชันซึ่งไม่สมมาตรภายใต้การสลับพิกัดสปินและปริภูมิ^{[ 1 ]}หรือเทียบเท่ากับปริภูมิย่อยซึ่งไม่สมมาตรภายใต้การสลับปัจจัย${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{3N};\mathbb {C} ^{2N})}$${\displaystyle N}$${\displaystyle (L^{2}(\mathbb {R} ^{3})\otimes \mathbb {C} ^{2})^{\otimes N}}$${\displaystyle N}$
• แฮมิลโทเนียนคือโดยที่คือพิกัดของ อนุภาคที่ และคือตัวดำเนินการลาปลาเซียนเทียบกับพิกัด ถึงแม้ว่าแฮมิลโทเนียนจะไม่ขึ้นอยู่กับสถานะของภาคส่วนสปินโดยตรง แต่การมีอยู่ของสปินก็มีผลเนื่องจากเงื่อนไขความไม่สมมาตรของฟังก์ชันคลื่นรวม${\displaystyle H(N,Z):=\sum _{i=1}^{N}(-\Delta _{i}-{\frac {Z}{|x_{i}|}})+\sum _{i<j}{\frac {1}{|x_{i}-x_{j}|}}}$${\displaystyle x_{i}\in \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \Delta _{i}}$${\displaystyle x_{i}}$
• เรากำหนดซึ่งก็คือ พลังงาน สถานะพื้นฐานของระบบ${\displaystyle E(N,Z):=\min _{{\mathcal {H}__{f}}H(N,Z)}$${\displaystyle (N,Z)}$
• เรากำหนดให้เป็นค่าที่เล็กที่สุดของโดยที่ สำหรับ จำนวนเต็มบวกทั้งหมด; เป็นที่ทราบกันว่าจำนวนดังกล่าวมีอยู่เสมอและอยู่ระหว่างและ เสมอ รวมทั้งสองค่าด้วย^{[ 1 ]}${\displaystyle N_{0}(Z)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle E(N+j,Z)=E(N,Z)}$${\displaystyle j}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle 2Z}$

ไซมอนได้ระบุปัญหาต่อไปนี้ในปี พ.ศ. 2527: ^{[ 8 ]}

เลขที่	ชื่อย่อ	คำแถลง	สถานะ	ปีที่แก้ไขแล้ว
อันดับ 1	(ก) อนุภาคที่มีแรงโน้มถ่วงแบบนิวตันมักมีอยู่ทั่วโลกเกือบตลอดเวลา	(a) จงพิสูจน์ว่าเซตของเงื่อนไขเริ่มต้นที่สมการของนิวตันไม่มีคำตอบทั่วโลกนั้นมีมาตรเป็นศูนย์	เปิดเมื่อปี พ.ศ. 2527 [ 8 ]ในปี พ.ศ. 2520 Saari แสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้เป็นจริงสำหรับปัญหา 4 ร่าง[ 10 ]	?
	(b) การมีอยู่ของภาวะเอกฐานที่ไม่เกิดจากการชนกันในปัญหาN -body แบบนิวตัน	จงแสดงให้เห็นว่ามีภาวะเอกฐานที่ไม่เกิดจากการชนกันใน ปัญหา N -body แบบนิวตัน สำหรับค่าN บางค่า และมวลที่เหมาะสม	ในปี พ.ศ. 2531 Xia ได้ยกตัวอย่างการกำหนดค่า 5 วัตถุซึ่งเกิดภาวะเอกฐานที่ไม่เกิดการชนกัน[ 11 ] [ 12 ] ในปี พ.ศ. 2534 Gerver แสดงให้เห็นว่า ปัญหา n -body 3 ตัวในระนาบสำหรับค่าn ที่มีขนาดใหญ่พอสมควร จะเกิดภาวะเอกฐานที่ไม่ชนกันด้วย[ 13 ]	1989
อันดับที่ 2	(ก) ความเป็นเออร์โกดิกของก๊าซที่มีแกนอ่อน	จงหาศักยภาพแบบผลักที่เรียบซึ่งทำให้พลวัตของ อนุภาค Nตัวในกล่อง (เช่น กล่องที่มีศักยภาพผนังเรียบ) เป็นแบบเออร์โกดิก	เปิดให้บริการตั้งแต่ปี 1984 ไซนายเคยพิสูจน์ว่าก๊าซทรงกลมแข็งเป็นเออร์โกดิก แต่ไม่มีการพิสูจน์ที่สมบูรณ์ใดๆ ปรากฏออกมา ยกเว้นกรณีของอนุภาคสองตัว และภาพร่างสำหรับอนุภาคสาม สี่ และห้าตัว[ 8 ]	?
	(ข) การเข้าสู่สมดุล	ใช้สถานการณ์ข้างต้นเพื่อพิสูจน์ว่าระบบขนาดใหญ่ที่มีแรงดึงดูดในระยะที่เหมาะสมจะเข้าสู่สมดุล หรือหาสถานการณ์อื่นที่ไม่ต้องอาศัยความเป็นเออร์โกดิกอย่างเคร่งครัดในปริมาตรจำกัด	เปิดให้บริการตั้งแต่ปี 1984	?
	(c) ความเป็นอาเบเลียนเชิงอะซิมโทติกสำหรับพลวัตไฮเซนเบิร์กควอนตัม	พิสูจน์หรือหักล้างว่าแบบจำลองควอนตัมไฮเซนเบิร์ก หลายมิติ เป็นแบบอะเบเลียนเชิงอะซิมโทติกหรือไม่	เปิดให้บริการตั้งแต่ปี 1984	?
อันดับ 3	ความปั่นป่วนและเรื่องอื่นๆ ทั้งหมดนั้น	พัฒนาทฤษฎีที่ครอบคลุมเกี่ยวกับพฤติกรรมระยะยาวของระบบพลวัตรวมถึงทฤษฎีเกี่ยวกับการเริ่มต้นและการพัฒนาของความปั่นป่วนอย่างสมบูรณ์	เปิดให้บริการตั้งแต่ปี 1984	?
อันดับที่ 4	(ก) กฎความร้อนของฟูริเยร์	จงหาแบบจำลองทางกลที่ระบบขนาดหนึ่งที่มีความแตกต่างของอุณหภูมิระหว่างปลายทั้งสองข้างมีอัตราการเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิที่เป็นไปตามลิ มิต${\displaystyle L}$${\displaystyle \Delta T}$${\displaystyle L^{-1}}$${\displaystyle L\to \infty }$	เปิดให้บริการตั้งแต่ปี 1984	?
	(ข) สูตรของคุโบะ	อธิบายสูตรของคุโบะในแบบจำลองควอนตัม หรือค้นหาทฤษฎีอื่นเกี่ยวกับสภาพนำไฟฟ้า	เปิดให้บริการตั้งแต่ปี 1984	?
อันดับที่ 5	(ก) การลดลงแบบเอกซ์โปเนนเชียลของความสัมพันธ์ไฮเซนเบิร์กแบบคลาสสิก ${\displaystyle v=2}$	พิจารณาแบบจำลองไฮเซนเบิร์กแบบคลาสสิกสองมิติ พิสูจน์ว่าสำหรับค่าเบตา ใดๆ ความสัมพันธ์จะลดลงแบบเอกซ์ponential เมื่อระยะทางเข้าใกล้ค่าอนันต์	เปิดให้บริการตั้งแต่ปี 1984	?
	(b) เฟสบริสุทธิ์และอุณหภูมิต่ำสำหรับแบบจำลองไฮเซนเบิร์กแบบคลาสสิก ${\displaystyle v\geq 3}$	พิสูจน์ว่า ในแบบจำลองที่ค่าเบตามากและที่มิติn สถานะสมดุลจะก่อตัวเป็นวงโคจรเดียวภายใต้ทรงกลม ${\displaystyle D=3}$${\displaystyle v\geq 3}$${\displaystyle SO(3)}$
	(c) GKS สำหรับแบบจำลองไฮเซนเบิร์กแบบคลาสสิก	ให้และเป็นผลคูณจำกัดในรูปแบบในแบบจำลอง จริงหรือไม่ที่ ? ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle (\sigma _{\alpha }\cdot \sigma _{\gamma })}$${\displaystyle D=3}$${\displaystyle <fg>_{\แลมบ์ดา ,\beta }\geq <f>_{\แลมบ์ดา ,\beta }<g>_{\แลมบ์ดา ,\beta }}$
	(d) การเปลี่ยนสถานะในแบบจำลองควอนตัมไฮเซนเบิร์ก	พิสูจน์ว่าสำหรับค่าเบต้าขนาดใหญ่ แบบจำลองควอนตัมไฮเซนเบิร์กมีระเบียบแบบระยะไกล ${\displaystyle v\geq 3}$
อันดับที่ 6	คำอธิบายเกี่ยวกับปรากฏการณ์เฟอร์โรแมกเนติซึม	ตรวจสอบภาพจำลองของไฮเซนเบิร์กเกี่ยวกับต้นกำเนิดของแม่เหล็กเฟอร์โร (หรือภาพจำลองอื่น) ในแบบจำลองที่เหมาะสมของระบบควอนตัมที่สมจริง	เปิดให้บริการตั้งแต่ปี 1984	?
อันดับที่ 7	การมีอยู่ของการเปลี่ยนเฟสแบบต่อเนื่อง	แสดงให้เห็นว่าสำหรับการเลือกศักยภาพคู่และความหนาแน่นที่เหมาะสม พลังงานอิสระจะไม่เป็นลบที่ค่าเบต้าบางค่า ${\displaystyle C^{1}}$	เปิดให้บริการตั้งแต่ปี 1984	?
อันดับที่ 8	(ก) การกำหนดกลุ่มการปรับมาตรฐานใหม่	พัฒนาการแปลงค่ามาตรฐานที่แม่นยำทางคณิตศาสตร์ สำหรับ ระบบประเภท Ising มิติ ${\displaystyle v}$	เปิดให้บริการตั้งแต่ปี 1984	?
	(ข) การพิสูจน์ความเป็นสากล	แสดงให้เห็นว่าเลขชี้กำลังวิกฤตสำหรับระบบประเภทไอซิงที่มีการเชื่อมต่อเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุด แต่มีความแข็งแรงของพันธะที่แตกต่างกันในสามทิศทางนั้น ไม่ขึ้นอยู่กับอัตราส่วนของความแข็งแรงของพันธะ
อันดับที่ 9	(ก) ความสมบูรณ์เชิงอะซิมโทติกสำหรับ ระบบควอนตัม N อนุภาค ระยะสั้น	พิสูจน์ว่า. ${\displaystyle \oplus ~{\text{Ran}}~\Omega _{a}^{+}=L^{2}(X)}$	เปิดทำการตั้งแต่ปี พ.ศ. 2527 [ 8 ]	?
	(b) ความสมบูรณ์เชิงอะซิมโทติกสำหรับศักยภาพคูลอมบ์	สมมติว่า. จงพิสูจน์ว่า. ${\displaystyle v=3,V_{ij}(x)=e_{ij}|x|^{-1}}$${\displaystyle \oplus ~{\text{Ran}}~\Omega _{a}^{D,+}=L^{2}(X)}$
อันดับที่ 10	(ก) ความเป็นเอกรูปของพลังงานไอออนไนเซชัน	(ก) พิสูจน์ว่า. ${\displaystyle (\Delta E)(N-1,Z)\geq (\Delta E)(N,Z)}$	เปิดให้บริการตั้งแต่ปี 1984	?
	(ข) การแก้ไขของสกอตต์	พิสูจน์ว่ามีอยู่จริงและเป็นค่าคงที่ที่สก็อตต์ค้นพบ ${\displaystyle \lim _{Z\to \infty }(E(Z,Z)-e_{TF}Z^{7/3})/Z^{2}}$
	(ค) การแตกตัวเป็นไอออนแบบอะซิมโทติก	จงหาค่าประมาณเชิงเส้นกำกับ ชั้นนำ ของ. ${\displaystyle (\เดลต้า อี)(Z,Z)}$
	(d) ลักษณะเชิงอนุกรมของประจุไอออนสูงสุด	พิสูจน์ว่า. ${\displaystyle \lim _{Z\to \infty }N(Z)/Z=1}$
	(e) อัตราการยุบตัวของสสารโบส	ค้นหาสิ่งที่เหมาะสมเพื่อให้... ${\displaystyle C_{1},C_{2},\alpha }$${\displaystyle -C_{1}N^{\alpha }\leq {\tilde {E}__{B}(N,N;1)\leq C_{2}N^{\alpha }}$
วันที่ 11	การมีอยู่ของผลึก	พิสูจน์รูปแบบที่เหมาะสมของการมีอยู่ของผลึก (เช่น มีทางเลือกในการลดขนาดโครงสร้างให้เหลือน้อยที่สุด ซึ่งจะลู่เข้าสู่โครงสร้างตาข่ายอนันต์บางอย่าง)	เปิดให้บริการตั้งแต่ปี 1984	?
วันที่ 12	(ก) การมีอยู่ของสถานะขยายในแบบจำลองแอนเดอร์สัน	พิสูจน์ว่าในและ สำหรับค่าเล็กๆนั้น มีบริเวณของสเปกตรัมต่อเนื่องอย่างสมบูรณ์ของแบบจำลองแอนเดอร์สัน และพิจารณาว่าข้อความนี้เป็นเท็จหรือไม่สำหรับ ${\displaystyle v\geq 3}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle v=2}$	เปิดให้บริการตั้งแต่ปี 1984	?
	(b) ขอบเขตการแพร่กระจายของการ "ขนส่ง" ในศักยภาพแบบสุ่ม	พิสูจน์ว่าสำหรับแบบจำลองแอนเดอร์สันและศักยภาพสุ่มทั่วไปอื่นๆ ${\displaystyle {\text{Exp}}(\delta _{0},(e^{itH}{\vec {N}}e^{-itH})^{2}\delta _{0})\leq c(1+|t|)}$
	(c) ความเรียบของขอบการเคลื่อนที่ในแบบจำลองแอนเดอร์สัน ${\displaystyle k(E)}$	ความหนาแน่นสถานะแบบบูรณาการ เป็นฟังก์ชันในแบบจำลองแอนเดอร์สันที่ค่าการเชื่อมต่อทั้งหมด หรือไม่ ?${\displaystyle k(E)}$${\displaystyle C^{\infty }}$
	(d) การวิเคราะห์สมการเกือบมาธิเยอ	ตรวจสอบสิ่งต่อไปนี้สำหรับสมการเกือบเหมือนของมาธิเยอ: ถ้าเป็นจำนวน Liouvilleและแล้วสเปกตรัมจะเป็นแบบต่อเนื่องเอกฐานบริสุทธิ์สำหรับเกือบทุกค่า${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \lambda \neq 0}$${\displaystyle \theta }$ ถ้าเป็นจำนวนรอธและแล้วสเปกตรัมจะเป็นแบบต่อเนื่องสัมบูรณ์อย่างแท้จริงสำหรับเกือบทุกค่า${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle |\lambda |<2}$${\displaystyle \theta }$ ถ้าเป็นจำนวนรอธ และแล้วสเปกตรัมจะเป็นจุดบริสุทธิ์หนาแน่นอย่างแท้จริง${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle |\lambda |>2}$ ถ้าเป็นจำนวนรอธ และแล้วจะมี มาตรวัด เลเบสเป็นศูนย์และสเปกตรัมจะเป็นแบบต่อเนื่องเอกฐานบริสุทธิ์${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle |\lambda |=2}$${\displaystyle \sigma (h)}$
	(e) สเปกตรัมจุดในแบบจำลองต่อเนื่องเกือบเป็นคาบ	แสดงให้เห็นว่ามีสเปกตรัมจุดบางจุดสำหรับสิ่งที่เหมาะสมและเกือบทั้งหมด ${\displaystyle -{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+\lambda \cos(2\pi x)+\mu \cos(2\pi \alpha x+\theta )}$${\displaystyle \alpha ,\lambda ,\mu }$${\displaystyle \theta }$
วันที่ 13	เลขชี้กำลังวิกฤตสำหรับการเดินที่หลีกเลี่ยงการเดินซ้ำตัวเอง	ให้เป็นการกระจัดเฉลี่ยของการเดินแบบสุ่มที่ไม่ชนกันเองที่มีความยาว จงแสดงว่ามีค่าเท่ากับ สำหรับมิติอย่างน้อยสี่ และจะมีค่ามากกว่าในกรณีอื่น ๆ ${\displaystyle D(n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle v:=\lim _{n\to \infty }n^{-1}\ln D(n)}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	เปิดให้บริการตั้งแต่ปี 1984	?
วันที่ 14	(ก) สร้างQCD	จงอธิบายโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่แม่นยำของควอนตัมโครโมไดนามิกส์	เปิดให้บริการตั้งแต่ปี 1984	?
	(b) QFT ที่ปรับค่าปกติได้	สร้างทฤษฎีสนามควอนตัมที่ไม่ธรรมดาซึ่งสามารถปรับค่าใหม่ได้ แต่ไม่สามารถปรับค่าใหม่ได้เกินระดับปกติ
	(ค) ความไม่สอดคล้องกันของQED	พิสูจน์ว่า QED ไม่ใช่ทฤษฎีที่สอดคล้องกัน
	(d) ความไม่สอดคล้องกันของ${\displaystyle \varphi _{4}^{4}}$	พิสูจน์ว่าทฤษฎีที่ไม่ใช่ทฤษฎีพื้นฐานนั้นไม่มีอยู่จริง ${\displaystyle \varphi _{4}^{4}}$
วันที่ 15	การเซ็นเซอร์ระดับจักรวาล	จงกำหนดและพิสูจน์หรือหักล้างรูปแบบที่เหมาะสมของการเซ็นเซอร์ในระดับจักรวาล	เปิดให้บริการตั้งแต่ปี 1984	?

ในปี พ.ศ. 2543 ไซมอนอ้างว่าปัญหาห้าข้อที่เขาระบุไว้ได้รับการแก้ไขแล้ว^{[ 1 ]}

ปัญหาของไซมอนตามที่ระบุไว้ในปี พ.ศ. 2543 (พร้อมการจัดหมวดหมู่เดิม) ได้แก่: ^{[ 1 ] [ 14 ]}

เลขที่	ชื่อย่อ	คำแถลง	สถานะ	ปีที่แก้ไขแล้ว
การขนส่งควอนตัมและพฤติกรรมสเปกตรัมที่ผิดปกติ
อันดับ 1	สถานะขยาย	พิสูจน์ว่าแบบจำลองแอนเดอร์สันมีสเปกตรัมต่อเนื่องอย่างสมบูรณ์สำหรับค่าที่เหมาะสมในบางช่วงพลังงาน ${\displaystyle v\geq 3}$${\displaystyle b-a}$	?	?
อันดับที่ 2	การระบุตำแหน่งใน 2 มิติ	พิสูจน์ว่าสเปกตรัมของแบบจำลองแอนเดอร์สันสำหรับจุดบริสุทธิ์ที่มีความหนาแน่นสูง ${\displaystyle v=2}$	?	?
อันดับ 3	การแพร่กระจายควอนตัม	พิสูจน์ว่า สำหรับค่า และ ของที่สเปกตรัมมีความต่อเนื่องอย่างสมบูรณ์ จะเติบโตในลักษณะเดียวกับ เมื่อ${\displaystyle v\geq 3}$${\displaystyle |b-a|}$${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} ^{\nu }}n^{2}|e^{itH}(n,0)|^{2}}$${\displaystyle ct}$${\displaystyle t\to \infty }$	?	?
อันดับที่ 4	ปัญหาของเทนมาร์ตินี่	พิสูจน์ว่าสเปกตรัมของเป็นเซตแคนเตอร์ (กล่าวคือ ไม่หนาแน่นที่ใดเลย) สำหรับทุกและ ทุกจำนวนอตรรกยะ${\displaystyle h_{\alpha ,\lambda ,\theta }}$${\displaystyle \lambda \neq 0}$${\displaystyle \alpha }$	แก้ไขโดย Puig (2003) [ 14 ] [ 15 ]	2003
อันดับที่ 5		พิสูจน์ว่าสเปกตรัมของมีค่าเป็นศูนย์สำหรับ และ จำนวนอตรรกยะ ทั้งหมด${\displaystyle h_{\alpha ,\lambda ,\theta }}$${\displaystyle \lambda =2}$${\displaystyle \alpha }$	แก้ไขโดยAvilaและKrikorian (2003) [ 14 ] [ 16 ]	2003
อันดับที่ 6		พิสูจน์ว่าสเปกตรัมของมีความต่อเนื่องสัมบูรณ์สำหรับ และ จำนวนอตรรกยะ ทั้งหมด${\displaystyle h_{\alpha ,\lambda ,\theta }}$${\displaystyle \lambda =2}$${\displaystyle \alpha }$	?	?
อันดับที่ 7		มีศักยภาพบน อยู่หรือ ไม่ ที่ทำให้สำหรับบางค่าและ ที่ทำให้มีสเปกตรัมต่อเนื่องเอกลักษณ์บางอย่าง? ${\displaystyle V(x)}$${\displaystyle [0,\infty )}$${\displaystyle |V(x)|\leq C|x|^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle -{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V}$	ปัญหาดังกล่าวได้รับการแก้ไขโดยพื้นฐานแล้วโดย Denisov (2003) โดยใช้เพียงการสลายตัว เท่านั้น${\displaystyle L^{2}}$ แก้ปัญหาทั้งหมดโดย Kiselev (2005) [ 14 ] [ 17 ] [ 18 ]	ปี 2003, 2005
อันดับที่ 8		สมมติว่าเป็นฟังก์ชัน บนโดยที่โดยที่จงพิสูจน์ว่ามีสเปกตรัมต่อเนื่องสัมบูรณ์ที่มีความซ้ำซ้อนอนันต์บน ${\displaystyle V(x)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\nu }}$${\displaystyle \int |x|^{-\nu +1}|V(x)|^{2}d^{\nu }x<\infty }$${\displaystyle \nu \geq 2}$${\displaystyle -\Delta +V}$${\displaystyle [0,\infty )}$	?	?
พลังงานคูลอมบ์
อันดับที่ 9		พิสูจน์ว่ามีค่าจำกัดสำหรับ ${\displaystyle N_{0}(Z)-Z}$${\displaystyle Z\to \infty }$	?	?
อันดับที่ 10		ลักษณะเชิงอะซิ้มโทติกของสำหรับคืออะไร? ${\displaystyle (\delta E)(Z):=E(Z,Z-1)-E(Z,Z)}$${\displaystyle Z\to \infty }$	?	?
วันที่ 11		อธิบายแบบจำลองเปลือกนิวเคลียร์ ในเชิงคณิตศาสตร์ให้เข้าใจ ได้	?	?
วันที่ 12		มีเหตุผลทางคณิตศาสตร์ใดบ้างที่สามารถใช้อธิบายเทคนิคปัจจุบันในการกำหนด โครงสร้าง โมเลกุลจากหลักการพื้นฐานได้หรือไม่?	?	?
วันที่ 13		จงพิสูจน์ว่า เมื่อจำนวนนิวเคลียสเข้าใกล้ค่าอนันต์ สถานะพื้นฐานของระบบโมเลกุลและอิเล็กตรอนที่เป็นกลางบางระบบจะเข้าใกล้ค่าจำกัดแบบคาบ (กล่าวคือผลึกมีอยู่จริงตามหลักการควอนตัม)	?	?
ปัญหาอื่นๆ
วันที่ 14		พิสูจน์ว่าความหนาแน่นสถานะแบบบูรณาการมีความต่อเนื่องในพลังงาน ${\displaystyle k(E)}$	| k(E1 + ΔE) − k(E1) | < ε	?
วันที่ 15	สมมติฐานของ Lieb-Thirring	พิสูจน์สมมติฐาน Lieb-Thirring เกี่ยวกับค่าคงที่โดย ที่${\displaystyle L_{\gamma ,\nu }}$${\displaystyle \nu =1,{\frac {1}{2}}<\gamma <{\frac {3}{2}}}$	?	?

• เกือบจะเป็นผู้ดำเนินการ Mathieu แล้ว
• อสมการ Lieb–Thirring

• "ปัญหาของไซมอน" . MathWorld . สืบค้นเมื่อ2018-06-13 .