กฎของไซน์

รูปที่ 1 พร้อมวงกลมล้อมรอบ

รูปที่ 2 โดยไม่มีวงกลมล้อมรอบ

รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีส่วนประกอบของกฎไซน์กำกับอยู่ มุมα , βและγสัมพันธ์กับจุดยอดA , BและC ตามลำดับ ส่วนด้านที่มีความยาวa , bและcจะอยู่ตรงข้ามกับจุดยอดเหล่านี้ (เช่น ด้านaอยู่ตรงข้ามกับจุดยอดAโดยมีมุมα )

ในตรีโกณมิติกฎของไซน์ (บางครั้งเรียกว่าสูตรไซน์หรือกฎของไซน์ ) เป็นสมการ ทางคณิตศาสตร์ ที่เชื่อมโยงความยาวด้านของสามเหลี่ยม ใดๆ กับค่าไซน์ของมุมต่างๆตามกฎนี้ $${\displaystyle {\frac {a}{\sin {\alpha }}}\,=\,{\frac {b}{\sin {\beta }}}\,=\,{\frac {c}{\sin {\gamma }}}\,=\,2R,}$$ โดยที่a , bและcคือความยาวด้านของสามเหลี่ยม และα , βและγคือมุมตรงข้าม (ดูรูปที่ 2) ในขณะที่Rคือรัศมีของวงกลมล้อมรอบ สามเหลี่ยม เมื่อไม่ได้ใช้ส่วนสุดท้ายของสมการ บางครั้งกฎนี้จะถูกกล่าวถึงโดยใช้ส่วน กลับ$${\displaystyle {\frac {\sin {\alpha }}{a}}\,=\,{\frac {\sin {\beta }}{b}}\,=\,{\frac {\sin {\gamma }}{c}}.}$$ กฎของไซน์สามารถใช้คำนวณด้านที่เหลือของสามเหลี่ยมได้เมื่อทราบมุมสองมุมและด้านหนึ่งด้าน ซึ่งเป็นเทคนิคที่เรียกว่าการหาสามเหลี่ยม (triangulation ) นอกจากนี้ยังสามารถใช้ได้เมื่อทราบด้านสองด้านและมุมหนึ่งมุมที่ไม่ติดล้อม ในบางกรณี สามเหลี่ยมจะไม่สามารถระบุได้อย่างเฉพาะเจาะจงจากข้อมูลนี้ (เรียกว่ากรณีกำกวม ) และเทคนิคนี้จะให้ค่าที่เป็นไปได้สองค่าสำหรับมุมที่ติดล้อม

กฎของไซน์เป็นหนึ่งในสองสมการตรีโกณมิติที่นิยมใช้ในการหาความยาวและมุมในสามเหลี่ยมด้านไม่เท่าโดยอีกสมการหนึ่งคือกฎของโคไซน์

กฎของไซน์สามารถขยายไปสู่มิติที่สูงขึ้นบนพื้นผิวที่มีความโค้งคงที่ได้^{[ 1 ]}

โดยใช้ด้านยาวaเป็นฐานความสูง ของสามเหลี่ยม สามารถคำนวณได้จากb sin γหรือจากc sin βเมื่อเทียบสองนิพจน์นี้จะได้ $${\displaystyle {\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}\,,}$$ และสมการที่คล้ายกันนี้เกิดขึ้นจากการเลือกด้านที่มีความยาวbหรือด้านที่มีความยาวcเป็นฐานของสามเหลี่ยม สำหรับการพิสูจน์ว่านิพจน์เหล่านี้เท่ากับ${\displaystyle 2R}$ดูความสัมพันธ์กับวงกลมล้อมรอบ

เมื่อใช้กฎของไซน์เพื่อหาความยาวด้านของสามเหลี่ยม กรณีที่กำกวมจะเกิดขึ้นเมื่อสามารถสร้างสามเหลี่ยมได้สองแบบที่แตกต่างกันจากข้อมูลที่ให้มา (กล่าวคือ มีคำตอบที่เป็นไปได้สองแบบที่แตกต่างกันสำหรับสามเหลี่ยมนั้น) ในกรณีที่แสดงด้านล่างนี้คือสามเหลี่ยมABCและABC ′

เมื่อกำหนดรูปสามเหลี่ยมทั่วไปแล้ว เงื่อนไขต่อไปนี้จะต้องเป็นไปตามที่กำหนดเพื่อให้กรณีนั้นกำกวม:

• ข้อมูลเดียว ที่ทราบเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมนี้คือ มุมαและด้านaและc
• มุมαเป็นมุมแหลม (กล่าวคือα < 90°)
• ด้านaสั้นกว่าด้านc (กล่าวคือa < c )
• ด้านaยาวกว่าความสูงhจากมุมβโดยที่h = c sin α (กล่าวคือa > h )

ถ้าเงื่อนไขข้างต้นทั้งหมดเป็นจริง มุม βและβ′แต่ละมุมจะสร้างสามเหลี่ยมที่ถูกต้อง ซึ่งหมายความว่าข้อต่อไปนี้เป็นจริงทั้งสองข้อ: $${\displaystyle {\gamma }'=\arcsin {\frac {c\sin {\alpha }}{a}}\quad {\text{หรือ}}\quad {\gamma }=\pi -\arcsin {\frac {c\sin {\alpha }}{a}}.}$$

จากนั้นเราสามารถหาค่าβและbหรือβ′และb′ ที่สอดคล้องกันได้ หากจำเป็น โดยที่bคือด้านที่ล้อมรอบด้วยจุดยอดAและCและb′คือด้านที่ล้อมรอบด้วยAและC ′

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างวิธีการแก้ปัญหาโดยใช้กฎของไซน์

ตัวอย่างที่ 1

กำหนดให้: ด้านa = 20 , ด้านc = 24 , และมุมγ = 40°ต้องการหามุมα

โดยใช้กฎของไซน์ เราสรุปได้ว่า $${\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{20}}={\frac {\sin(40^{\circ })}{24}}.}$$$${\displaystyle \alpha =\arcsin \left({\frac {20\sin(40^{\circ })}{24}}\right)\approx 32.39^{\circ }.}$$

โปรดทราบว่าคำตอบที่เป็นไปได้α = 147.61°ถูกตัดออกไป เนื่องจากจะทำให้α + β + γ > 180° อย่าง แน่นอน

ตัวอย่างที่ 2

ถ้าด้านสองด้านของสามเหลี่ยมaและbเท่ากับxด้านที่สามมีความยาวcและมุมตรงข้ามด้านที่มีความยาวa , bและcคือα , βและγตามลำดับแล้ว $${\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha =\beta ={\frac {180^{\circ }-\gamma }{2}}=90^{\circ }-{\frac {\gamma }{2}}\\[6pt]&\sin \alpha =\sin \beta =\sin \left(90^{\circ }-{\frac {\gamma }{2}}\right)=\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\[6pt]&{\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {x}{\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}}\\[6pt]&{\frac {c\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}{\sin \gamma }}=x\end{aligned}}}$$

ในอัตลักษณ์ $${\displaystyle {\frac {a}{\sin {\alpha }}}={\frac {b}{\sin {\beta }}}={\frac {c}{\sin {\gamma }}},}$$ ค่าร่วมของเศษส่วนทั้งสามคือเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมล้อมรอบ สามเหลี่ยม ผลลัพธ์นี้มาจากปโตเลมี^{[ 2 ] [ 3 ]}

การพิสูจน์

ดังแสดงในรูป สมมติว่ามีวงกลมที่มีเส้นประอยู่ภายใน${\displaystyle \triangle ABC}$และจารึกอีกอันหนึ่ง${\displaystyle \triangle ADB}$ซึ่งผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมO${\displaystyle \angle AOD}$มีมุมศูนย์กลางเท่ากับ${\displaystyle 180^{\circ }}$และด้วยเหตุนี้${\displaystyle \angle ABD=90^{\circ }}$ตามทฤษฎีบทของทาเลสเนื่องจาก${\displaystyle \triangle ABD}$เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก $${\displaystyle \sin {\delta }={\frac {\text{ด้านตรงข้าม}}{\text{ด้านตรงข้ามมุมฉาก}}}={\frac {c}{2R}},}$$ ที่ไหน${\textstyle R={\frac {d}{2}}}$คือรัศมีของวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม^{[ 3 ]}มุม${\displaystyle {\gamma }}$และ${\displaystyle {\delta }}$มุมทั้งสองอยู่บนวงกลมเดียวกันและรองรับคอร์ด เดียวกันคือ คอร์ด cดังนั้น ตามทฤษฎีบทมุมภายในวงกลม${\displaystyle {\gamma }={\เดลต้า }}$.ดังนั้น, $${\displaystyle \sin {\delta }=\sin {\gamma }={\frac {c}{2R}}.}$$

การจัดเรียงใหม่ให้ผลผลิต $${\displaystyle 2R={\frac {c}{\sin {\gamma }}}.}$$

ทำซ้ำกระบวนการสร้าง${\displaystyle \triangle ADB}$เมื่อรวมกับประเด็นอื่นๆ จะให้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle {\frac {a}{\sin {\alpha }}}={\frac {b}{\sin {\beta }}}={\frac {c}{\sin {\gamma }}}=2R.}$

กฎไซน์ทรงกลมเกี่ยวข้องกับรูปสามเหลี่ยมบนทรงกลม ซึ่งด้านของรูปสามเหลี่ยมเป็นส่วนโค้งของวงกลมใหญ่

สมมติว่ารัศมีของทรงกลมคือ 1 ให้a , bและcเป็นความยาวของส่วนโค้งใหญ่ที่เป็นด้านของสามเหลี่ยม เนื่องจากเป็นทรงกลมหน่วยa , bและcจึงเป็นมุมที่จุดศูนย์กลางของทรงกลมซึ่งรองรับโดยส่วนโค้งเหล่านั้น ในหน่วยเรเดียน ให้A , BและCเป็นมุมตรงข้ามกับด้านเหล่านั้นตามลำดับ มุมเหล่านี้เป็นมุมไดเฮดรัลระหว่างระนาบของวงกลมใหญ่ทั้งสามวง

จากนั้นกฎไซน์ทรงกลมกล่าวว่า: $${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}.}$$

หลักฐานเวกเตอร์

พิจารณาทรงกลมหน่วยที่มีเวกเตอร์หน่วยสามตัวOA , OBและOCลากจากจุดกำเนิดไปยังจุดยอดของสามเหลี่ยม ดังนั้นมุมα , βและγคือมุมa , bและcตามลำดับ ส่วนโค้งBCรองรับมุมที่มีขนาดaที่จุดศูนย์กลาง แนะนำฐานคาร์ทีเซียนโดยให้OAอยู่ตาม แกน zและOBอยู่ใน ระนาบ xzทำมุมcกับ แกน zเวกเตอร์OCฉายไปยังONใน ระนาบ xyและมุมระหว่างONกับ แกน xคือAดังนั้นเวกเตอร์ทั้งสามมีส่วนประกอบดังนี้: $${\displaystyle \mathbf {OA} ={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}},\quad \mathbf {OB} ={\begin{pmatrix}\sin c\\0\\\cos c\end{pmatrix}},\quad \mathbf {OC} ={\begin{pmatrix}\sin b\cos A\\\sin b\sin A\\\cos b\end{pmatrix}}.}$$

ผลคูณเชิงสเกลาร์สามตัวOA ⋅ ( OB × OC )คือปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากเวกเตอร์ตำแหน่งของจุดยอดของสามเหลี่ยมทรงกลมOA , OBและOCปริมาตรนี้ไม่เปลี่ยนแปลงไปตามระบบพิกัดเฉพาะที่ใช้แทนOA , OBและOCค่าของผลคูณเชิงสเกลาร์สามตัวOA ⋅ ( OB × OC )คือ ดีเทอร์มิแนนต์ 3 × 3โดยมีOA , OBและOCเป็นแถว เมื่อ แกน zอยู่ตาม แนว OAกำลังสองของดีเทอร์มิแนนต์นี้คือ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl (}\mathbf {OA} \cdot (\mathbf {OB} \times \mathbf {OC} ){\bigr )}^{2}&=\left(\det {\begin{pmatrix}\mathbf {OA} &\mathbf {OB} &\mathbf {OC} \end{pmatrix}}\right)^{2}\\[4pt]&={\begin{vmatrix}0&0&1\\\sin c&0&\cos c\\\sin b\cos A&\sin b\sin A&\cos b\end{vmatrix}}^{2}=\left(\sin b\sin c\sin A\right)^{2}.\end{aligned}}}$$ เมื่อทำการคำนวณซ้ำโดยให้แกนz อยู่ตามแนว OBจะได้(sin c sin a sin B ) ²ในขณะที่เมื่อให้ แกน zอยู่ตามแนวOCจะได้(sin a sin b sin C ) ²เมื่อเทียบค่าทั้งสองและหารด้วย(sin a sin b sin c ) ²จะได้ $${\displaystyle {\frac {\sin ^{2}A}{\sin ^{2}a}}={\frac {\sin ^{2}B}{\sin ^{2}b}}={\frac {\sin ^{2}C}{\sin ^{2}c}}={\frac {V^{2}}{\sin ^{2}(a)\sin ^{2}(b)\sin ^{2}(c)}},}$$ โดยที่Vคือปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากเวกเตอร์ตำแหน่งของจุดยอดของสามเหลี่ยมทรงกลม ดังนั้นจึงได้ผลลัพธ์ดังกล่าว

จะเห็นได้ง่ายว่าสำหรับรูปสามเหลี่ยมทรงกลมขนาดเล็ก เมื่อรัศมีของทรงกลมมีขนาดใหญ่กว่าด้านของสามเหลี่ยมมาก สูตรนี้จะกลายเป็นสูตรระนาบในที่สุด เนื่องจาก $${\displaystyle \lim _{a\to 0}{\frac {\sin a}{a}}=1}$$และ เช่นเดียวกันสำหรับsin bและsin c

ในเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกเมื่อความโค้งเป็น −1 กฎของไซน์จะกลายเป็น $${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sinh a}}={\frac {\sin B}{\sinh b}}={\frac {\sin C}{\sinh c}}\,.}$$

ในกรณีพิเศษที่Bเป็นมุมฉาก จะได้ว่า $${\displaystyle \sin C={\frac {\sinh c}{\sinh b}}}$$

ซึ่งเป็นสิ่งที่คล้ายคลึงกับสูตรในเรขาคณิตแบบยุคลิดที่แสดงค่าไซน์ของมุมเป็นด้านตรงข้ามหารด้วยด้านตรงข้ามมุมฉาก

กำหนดฟังก์ชันไซน์ทั่วไป โดยขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์จริงด้วย${\displaystyle \kappa }$: $${\displaystyle \sin _{\kappa }(x)=x-{\frac {\kappa }{3!}}x^{3}+{\frac {\kappa ^{2}}{5!}}x^{5}-{\frac {\kappa ^{3}}{7!}}x^{7}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\kappa ^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}.}$$

กฎของไซน์ในความโค้งคงที่${\displaystyle \kappa }$อ่านว่า^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin _{\kappa }a}}={\frac {\sin B}{\sin _{\kappa }b}}={\frac {\sin C}{\sin _{\kappa }c}}\,.}$$

โดยการแทนที่${\displaystyle \kappa =0}$,${\displaystyle \kappa =1}$, และ${\displaystyle \kappa =-1}$ซึ่งจะได้รับตามลำดับ${\displaystyle \sin _{0}(x)=x}$,${\displaystyle \sin _{1}(x)=\sin x}$, และ${\displaystyle \sin _{-1}(x)=\sinh x}$นั่นคือ กรณีของกฎไซน์แบบยุคลิด ทรงกลม และไฮเปอร์โบลิกที่อธิบายไว้ข้างต้น^{[ 1 ]}

อนุญาต${\displaystyle p_{\kappa }(r)}$ระบุเส้นรอบวงของวงกลมที่มีรัศมี${\displaystyle r}$ในพื้นที่ที่มีความโค้งคงที่${\displaystyle \kappa }$. แล้ว${\displaystyle p_{\kappa }(r)=2\pi \sin _{\kappa }(r)}$ดังนั้น กฎของไซน์จึงสามารถแสดงได้ดังนี้: $${\displaystyle {\frac {\sin A}{p_{\kappa }(a)}}={\frac {\sin B}{p_{\kappa }(b)}}={\frac {\sin C}{p_{\kappa }(c)}}\,.}$$

สูตรนี้ถูกค้นพบโดยJános Bolyai ^{[ 7 ]}

ทรงสี่หน้า มี ด้านสามเหลี่ยมสี่ด้านค่าสัมบูรณ์ของไซน์เชิงขั้ว ( psin ) ของเวกเตอร์ปกติไปยังด้านทั้งสามที่ใช้จุดยอด ร่วมกัน ของทรงสี่หน้า หารด้วยพื้นที่ของด้านที่สี่จะไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกจุดยอด: ^{[ 8 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {b} ,\mathbf {c} ,\mathbf {d} )\right|}{\mathrm {Area} _{a}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {c} ,\mathbf {d} )\right|}{\mathrm {Area} _{b}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {d} )\right|}{\mathrm {Area} _{c}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )\right|}{\mathrm {Area} _{d}}}\\[4pt]={}&{\frac {(3~\mathrm {Volume} _{\mathrm {tetrahedron} })^{2}}{2~\mathrm {Area} _{a}\mathrm {Area} _{b}\mathrm {Area} _{c}\mathrm {Area} _{d}}}\,.\end{aligned}}}$$

โดยทั่วไปแล้ว สำหรับซิมเพล็กซ์nมิติ(เช่นสามเหลี่ยม ( n = 2 ), ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า ( n = 3 ), ทรงห้าเหลี่ยม ( n = 4 ) เป็นต้น) ในปริภูมิยูคลิดnมิติค่าสัมบูรณ์ของไซน์เชิงขั้วของเวกเตอร์ตั้งฉากของหน้าตัดที่มาบรรจบกันที่จุดยอด หารด้วยไฮเปอร์แอเรียของหน้าตัดตรงข้ามจุดยอด จะไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกจุดยอด โดยเขียนVแทนไฮเปอร์โวลุ่มของ ซิมเพล็กซ์ nมิติ และP แทนผลคูณของไฮเปอร์แอเรี ยของ หน้าตัด n มิติอัตราส่วนร่วมคือ $${\displaystyle {\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {b} ,\ldots ,\mathbf {z} )\right|}{\mathrm {Area} _{a}}}=\cdots ={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\ldots ,\mathbf {y} )\right|}{\mathrm {Area} _{z}}}={\frac {(nV)^{n-1}}{(n-1)!P}}.}$$

โปรดทราบว่า เมื่อเวกเตอร์v , ..., v จากจุดยอดที่เลือกไปยังจุดยอดอื่นๆ แต่ละจุด เป็นคอลัมน์ของเมทริกซ์Vแล้ว คอลัมน์ของเมทริกซ์ V จะเป็นดังนี้${\displaystyle N=-V(V^{T}V)^{-1}{\sqrt {\det {V^{T}V}}}/(n-1)!}$เวกเตอร์ปกติที่ชี้ออกด้านนอกของระนาบเหล่านั้นที่มาบรรจบกันที่จุดยอดที่เลือกไว้ สูตรนี้ยังใช้ได้เมื่อเวกเตอร์อยู่ใน ปริภูมิ mมิติ โดยที่m > nในกรณีที่m = n และ Vเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส สูตรจะลดรูปเหลือเพียง${\displaystyle N=-(V^{T})^{-1}|\det {V}|/(n-1)!\,.}$

กฎของไซน์ที่เทียบเท่ากัน ซึ่งระบุว่าด้านของสามเหลี่ยมเป็นสัดส่วนกับคอร์ดของมุมตรงข้ามสองเท่า เป็นที่รู้จักของปโตเล มี นักดาราศาสตร์ชาวเฮลเลนิสติกในศตวรรษที่ 2 และถูกนำมาใช้เป็นครั้งคราวในAlmagestของ เขา ^{[ 9 ]}

ข้อความที่เกี่ยวข้องกับกฎของไซน์ปรากฏในงานดาราศาสตร์และตรีโกณมิติของบราห์มาคุปตะ นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียในศตวรรษที่ 7 ใน Brāhmasphuṭasiddhāntaของเขาบราห์มาคุปตะแสดงรัศมีวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยมเป็นผลคูณของด้านสองด้านหารด้วยสองเท่าของความสูงกฎของไซน์สามารถหาได้โดยการแสดงความสูงสลับกันเป็นไซน์ของมุมฐานด้านใดด้านหนึ่งคูณด้วยด้านตรงข้าม จากนั้นจึงเทียบค่าที่ได้ทั้งสองแบบ^{[ 10 ]}สมการที่ใกล้เคียงกับกฎของไซน์สมัยใหม่ยิ่งกว่าปรากฏในKhaṇḍakhādyaka ของบราห์มาคุปตะ ในวิธีการหาระยะทางระหว่างโลกกับดาวเคราะห์ที่โคจรตามวงโคจรย่อยอย่างไรก็ตาม บราห์มาคุปตะไม่เคยถือว่ากฎของไซน์เป็นวิชาอิสระหรือใช้มันอย่างเป็นระบบในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับสามเหลี่ยม^{[ 11 ]}

กฎไซน์ทรงกลมบางครั้งได้รับการยกย่องว่าเป็นผลงานของนักวิชาการในศตวรรษที่ 10 อย่างAbu -Mahmud KhujandiหรือAbū al-Wafāʾ (ปรากฏในAlmagest ของเขา ) แต่กฎนี้ได้รับการกล่าวถึงอย่างเด่นชัดใน Treatise on the Determination of Spherical Arcs ของAbū Naṣr Manṣūrและได้รับการยกย่องว่าเป็นผลงานของ Abū Naṣr Manṣūr โดยal-Bīrūnī ศิษย์ ของเขาในKeys to Astronomy [ ^{12 ] หนังสือ} Book of Unknown Arcs of a Sphere ของ Ibn Muʿādh al-Jayyānīในศตวรรษที่ 11 ก็มีกฎไซน์ทรงกลมอยู่ด้วย^{[ 13 ]}

นักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซียในศตวรรษที่ 13 Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsīได้กล่าวและพิสูจน์กฎระนาบของไซน์ไว้ดังนี้: ^{[ 14 ]}

ในสามเหลี่ยมระนาบใดๆ อัตราส่วนของด้านจะเท่ากับอัตราส่วนของไซน์ของมุมตรงข้ามด้านเหล่านั้น กล่าวคือ ในสามเหลี่ยม ABC เราจะได้ AB  : AC = Sin(∠ACB)  : Sin(∠ABC)

โดยการใช้กฎของไซน์ อัล-ตูซีสามารถแก้ปัญหาเกี่ยวกับสามเหลี่ยมที่ทราบมุมสองมุมและด้านหนึ่งด้าน หรือทราบด้านสองด้านและมุมตรงข้ามด้านใดด้านหนึ่ง สำหรับสามเหลี่ยมที่มีสองด้านและมุมที่อยู่ระหว่างด้านทั้งสอง เขาจะแบ่งสามเหลี่ยมเหล่านั้นออกเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่เขาสามารถแก้ปัญหาได้ เมื่อทราบด้านสามด้าน เขาจะลากเส้นตั้งฉากแล้วใช้ทฤษฎีบทที่ II-13 ของElements ของยูคลิด (ซึ่งเป็นเวอร์ชันทางเรขาคณิตของกฎของโคไซน์ ) อัล-ตูซีได้สร้างผลลัพธ์ที่สำคัญว่า หากทราบผลรวมหรือผลต่างของส่วนโค้งสองส่วนพร้อมกับอัตราส่วนของไซน์ ส่วนโค้งเหล่านั้นสามารถคำนวณได้^{[ 15 ]}

ตามที่Glen Van Brummelen กล่าวไว้ว่า "กฎของไซน์เป็นพื้นฐานที่แท้จริง สำหรับวิธีแก้ปัญหาของ Regiomontanusเกี่ยวกับสามเหลี่ยมมุมฉากในหนังสือเล่มที่ 4 และวิธีแก้ปัญหาเหล่านี้ก็เป็นพื้นฐานสำหรับวิธีแก้ปัญหาของสามเหลี่ยมทั่วไปของเขา" ^{[ 16 ]} Regiomontanus เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันในศตวรรษที่ 15

• เกอร์โซไนเดส– นักปรัชญาชาวยิวในยุคกลาง 
• สูตรครึ่งด้าน–สำหรับการแก้ปัญหาเกี่ยวกับสามเหลี่ยมทรงกลม 
• กฎของโคไซน์
• กฎของเส้นสัมผัส
• กฎของโคแทนเจนต์
• สูตรของ Mollweide –สำหรับตรวจสอบคำตอบของรูปสามเหลี่ยม 
• วิธีแก้ปัญหาของรูปสามเหลี่ยม
• การสำรวจ

• "ทฤษฎีบทไซน์" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• กฎของไซน์ที่cut-the-knot
• ระดับความโค้ง
• การหาค่าไซน์ของ 1 องศา
• กฎทั่วไปของไซน์ในมิติที่สูงขึ้น