ในสาขาคณิตศาสตร์เรขาคณิต เชิงพีชคณิต จุดเอกฐานของวาไรตีเชิงพีชคณิตVคือจุดPที่ "พิเศษ" (ดังนั้นจึงเป็นเอกฐาน) ในความหมายทางเรขาคณิตที่ว่า ณ จุดนี้ปริภูมิสัมผัสที่วาไรตีอาจไม่ได้นิยามอย่างสม่ำเสมอ ในกรณีของวาไรตีที่นิยามบนจำนวนจริงแนวคิดนี้เป็นการขยายแนวคิดของความไม่เรียบเฉพาะที่ จุดของวาไรตีเชิงพีชคณิตที่ไม่ใช่จุดเอกฐานเรียกว่า จุด ปกติวาไรตีเชิงพีชคณิตที่ไม่มีจุดเอกฐานเรียกว่าวาไรตีไม่เอกฐานหรือเรียบแนวคิดนี้ได้รับการขยายไปสู่สกีมเรียบในภาษาปัจจุบันของทฤษฎีสกีม

เส้นโค้งระนาบที่กำหนดโดยสมการโดยปริยาย

${\displaystyle F(x,y)=0,}$

โดยที่Fเป็นฟังก์ชันเรียบจะกล่าวได้ว่ามีจุดเอกฐานที่จุดหนึ่ง หากอนุกรมเทย์เลอร์ของFมีอันดับอย่างน้อย2ที่จุดนั้น

สาเหตุที่เป็นเช่นนั้นก็เพราะว่า ในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์เส้นสัมผัสที่จุด( x₀ y₀ ของเส้นโค้งดัง กล่าว ถูก กำหนดโดยสมการ

${\displaystyle (x-x_{0})F'_{x}(x_{0},y_{0})+(y-y_{0})F'_{y}(x_{0},y_{0})=0,}$

ซึ่งด้านซ้ายมือเป็นพจน์ดีกรีหนึ่งของการกระจายเทย์เลอร์ ดังนั้น หากพจน์นี้เป็นศูนย์ ค่าแทนเจนต์อาจไม่สามารถนิยามได้ด้วยวิธีมาตรฐาน ไม่ว่าจะเป็นเพราะมันไม่มีอยู่จริง หรือต้องมีการนิยามพิเศษขึ้นมา

โดยทั่วไปสำหรับพื้นผิวไฮเปอร์เซอร์เฟซ

${\displaystyle F(x,y,z,\ldots )=0}$

จุดเอกฐานคือจุดที่อนุพันธ์ย่อย ทั้งหมดมีค่าเป็นศูนย์พร้อมกัน โดยกำหนดให้วาไรตีพีชคณิต ทั่วไปV คือจุดศูนย์ร่วมของ พหุนาม หลายตัว เงื่อนไขที่จุดPในVจะเป็นจุดเอกฐานคือเมทริกซ์จาโคเบียนของอนุพันธ์ย่อยอันดับแรกของพหุนามต้องมีอันดับที่ จุด Pต่ำกว่าอันดับที่จุดอื่น ๆ ในวาไรตีนั้น

จุดของVที่ไม่ใช่จุดเอกฐานเรียกว่าจุดที่ไม่ใช่เอกฐานหรือจุดปกติความจริงก็คือเกือบทุกจุดไม่ใช่จุดเอกฐาน ในแง่ที่ว่าจุดที่ไม่ใช่เอกฐานก่อตัวเป็นเซตที่ทั้งเปิดและหนาแน่นในวาไรตี้ (สำหรับโทโพโลยี Zariskiเช่นเดียวกับโทโพโลยีปกติ ในกรณีของวาไรตี้ที่กำหนดเหนือจำนวนเชิงซ้อน ) ^{[ 1 ]}

ในกรณีของวาไรตี้จริง (นั่นคือเซตของจุดที่มีพิกัดจริงของวาไรตี้ที่กำหนดโดยพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์จริง) วาไรตี้จะเป็นแมนิโฟลด์ ใกล้กับจุดปกติทุกจุด แต่วาไรตี้จริงอาจเป็นแมนิโฟลด์และ ^มีจุดเอกฐานได้ ตัวอย่างเช่น สมการy³ + 2x²y − x⁴ ⁼ 0กำหนดแมนิโฟลด์วิเคราะห์ จริง แต่มีจุดเอกฐานที่จุดกำเนิด^{[ 2 ]}สิ่ง^นี้อาจอธิบายได้โดยกล่าวว่าเส้นโค้งมีกิ่งคู่เชิงซ้อน สองกิ่ง ที่ตัดกับกิ่งจริงที่จุดกำเนิด

เนื่องจากแนวคิดเรื่องจุดเอกฐานเป็นคุณสมบัติเฉพาะที่ในระดับท้องถิ่นเท่านั้น นิยามข้างต้นจึงสามารถขยายให้ครอบคลุมกลุ่ม ฟังก์ชัน เรียบ ที่กว้างขึ้น (ฟังก์ชันจากMไปยังR ⁿที่อนุพันธ์ทั้งหมดมีอยู่) การวิเคราะห์จุดเอกฐานเหล่านี้สามารถลดทอนลงเหลือกรณีของวาไรตี้เชิงพีชคณิตได้โดยการพิจารณาเจ็ตของฟังก์ชัน เจ็ต ที่ kคืออนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชันที่ถูกตัดทอนที่ระดับkและลบพจน์คงที่ออก

ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตแบบคลาสสิกจุดเอกฐานพิเศษบางจุดถูกเรียกว่าโหนดโหนดคือจุดเอกฐานที่เมทริกซ์เฮสเซียนไม่เป็นเมทริกซ์เอกฐาน ซึ่งหมายความว่าจุดเอกฐานนั้นมีจำนวนเท่าของสอง และกรวยสัมผัสไม่เป็นเอกฐานนอกจุดยอดของจุดเอกฐานนั้น

• แผนที่มิลนอร์
• การแก้ไขภาวะเอกฐาน
• ทฤษฎีเอกภาวะ
• พื้นที่สัมผัสของซาริสกี