การแสดงแทนการกระเจิงของ Mie

การกระเจิงแบบมี (Mie scattering) เกิดขึ้นเมื่อเส้นผ่านศูนย์กลางของอนุภาคเปลี่ยนจาก 0.1 เป็น 1 ความยาวคลื่น ดัชนีหักเหของทรงกลมคือ 1.5

การกระเจิงของ Mie ในมุมมองเชิงศิลปะ: คลื่นระนาบตกกระทบแบบโพลาไรซ์เชิงเส้นกระเจิงโดยเรโซแนนซ์แบบอ็อกทูโพลาร์

ความสัมพันธ์ระหว่างเรโซแนนซ์ของ Mie กับรัศมี

ค่าพื้นที่หน้าตัดเรดาร์ (RCS) แบบโมโนสแตติกของทรงกลมโลหะตัวนำสมบูรณ์แบบเป็นฟังก์ชันของความถี่ (คำนวณโดยทฤษฎีของ Mie) ใน ขีดจำกัด การกระเจิงแบบ Rayleigh ที่ ความถี่ต่ำ ซึ่งเส้นรอบวงน้อยกว่าความยาวคลื่น ค่า RCS ที่เป็นมาตรฐานคือในขีดจำกัดทางแสงที่ความถี่สูงคือ${\displaystyle {\tfrac {\sigma }{\pi R^{2}}}\sim 9(kR)^{4}}$${\displaystyle {\tfrac {\sigma }{\pi R^{2}}}\sim 1}$

ในแม่เหล็กไฟฟ้าคำตอบของสมการแม็กซ์เวลล์ที่ เรียกว่าคำตอบของมี (หรือที่รู้จักกันใน ชื่อ คำตอบของลอเรนซ์-มี คำตอบ ของลอเรนซ์-มี-เดบายหรือการกระเจิงของมี ) อธิบายถึงการกระเจิงของคลื่นระนาบ แม่เหล็กไฟฟ้า โดยทรงกลม เนื้อเดียวกัน คำตอบนี้อยู่ในรูปของอนุกรมอนันต์ของคลื่นย่อยหลายขั้วทรงกลม ชื่อของคำตอบนี้ตั้งตามชื่อของ กุสตาฟมี นักฟิสิกส์ชาวเยอรมัน

คำว่า " วิธีแก้ปัญหาของ Mie"ยังใช้สำหรับวิธีแก้ปัญหาของสมการของ Maxwell สำหรับการกระเจิงโดยทรงกลมแบบแบ่งชั้นหรือทรงกระบอกอนันต์ หรือรูปทรงเรขาคณิตอื่นๆ ที่สามารถเขียนสมการแยกต่างหากสำหรับการพึ่งพาเชิงรัศมีและเชิงมุมของวิธีแก้ปัญหาได้ บางครั้งคำว่า " ทฤษฎีของ Mie"ก็ใช้สำหรับชุดของวิธีแก้ปัญหาและวิธีการเหล่านี้ แต่ไม่ได้หมายถึงทฤษฎีหรือกฎทางฟิสิกส์ที่เป็นอิสระ โดยทั่วไปแล้ว สูตร "การกระเจิงของ Mie" มีประโยชน์มากที่สุดในสถานการณ์ที่ขนาดของอนุภาคที่กระเจิงมีขนาดใกล้เคียงกับความยาวคลื่นของแสง มากกว่าที่จะมีขนาดเล็กกว่าหรือใหญ่กว่ามาก

การกระเจิงแบบ Mie (บางครั้งเรียกว่าการกระเจิงที่ไม่ใช่โมเลกุลหรือการกระเจิงของอนุภาคละอองลอย ) เกิดขึ้นในชั้นบรรยากาศ ระดับล่าง 4,500 เมตร (15,000 ฟุต) ซึ่งอาจมีอนุภาคทรงกลมจำนวนมากที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางประมาณเท่ากับความยาวคลื่นของรังสีตกกระทบ ทฤษฎีการกระเจิงแบบ Mie ไม่มีข้อจำกัดขนาดสูงสุด และลู่เข้าสู่ขีดจำกัดของทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิตสำหรับอนุภาคขนาดใหญ่^{[ 1 ]}

การกำหนดสูตรสมัยใหม่ของวิธีแก้ปัญหา Mie สำหรับปัญหาการกระเจิงบนทรงกลมสามารถพบได้ในหนังสือหลายเล่ม เช่นทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าของJA Stratton ^{[ 2 ]}ในการกำหนดสูตรนี้ คลื่นระนาบตกกระทบ เช่นเดียวกับสนามกระเจิง จะถูกขยายออกเป็นฮาร์มอนิกทรงกลมเวกเตอร์แบบ แผ่รังสี สนามภายในจะถูกขยายออกเป็นฮาร์มอนิกทรงกลมเวกเตอร์ปกติ โดยการบังคับใช้เงื่อนไขขอบเขตบนพื้นผิวทรงกลม สัมประสิทธิ์การขยายของสนามกระเจิงสามารถคำนวณได้

สำหรับอนุภาคที่มีขนาดใหญ่กว่าหรือเล็กกว่าความยาวคลื่นของแสงที่กระเจิงมาก จะมีวิธีการประมาณค่าที่ง่ายและแม่นยำเพียงพอที่จะอธิบายพฤติกรรมของระบบได้ แต่สำหรับวัตถุที่มีขนาดอยู่ในช่วงไม่กี่อันดับของความยาวคลื่น เช่น หยดน้ำในบรรยากาศ อนุภาคลาเท็กซ์ในสี หยดในอิมัลชัน รวมถึงนม และเซลล์ชีวภาพและส่วนประกอบของเซลล์ จำเป็นต้องใช้วิธีการที่ละเอียดกว่านี้^{[ 3 ]}

โซลูชัน Mie ^{[ 4 ]}ได้รับการตั้งชื่อตามผู้พัฒนาคือGustav Mie นักฟิสิกส์ชาวเยอรมัน Ludvig Lorenzนักฟิสิกส์ชาวเดนมาร์กและคนอื่นๆ ได้พัฒนาทฤษฎีการกระเจิงของคลื่นระนาบแม่เหล็กไฟฟ้าโดยทรงกลม ได อิเล็กทริก โดยอิสระ

รูปแบบดังกล่าวอนุญาตให้คำนวณสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กภายในและภายนอกวัตถุทรงกลม และโดยทั่วไปจะใช้ในการคำนวณปริมาณแสงที่กระเจิง (พื้นที่หน้าตัด แสงทั้งหมด ) หรือตำแหน่งที่แสงไป (ฟอร์มแฟคเตอร์) คุณสมบัติที่โดดเด่นของผลลัพธ์เหล่านี้คือเรโซแนนซ์ของ Mie ซึ่งเป็นขนาดที่กระเจิงอย่างรุนแรงหรืออ่อนเป็นพิเศษ^{[ 5 ]}ซึ่งแตกต่างจากการกระเจิงของ Rayleighสำหรับอนุภาคขนาดเล็กและการกระเจิงของ Rayleigh–Gans–Debye (ตั้งชื่อตามLord Rayleigh , Richard GansและPeter Debye ) สำหรับอนุภาคขนาดใหญ่ การมีอยู่ของเรโซแนนซ์และคุณสมบัติอื่นๆ ของการกระเจิงของ Mie ทำให้เป็นรูปแบบที่มีประโยชน์อย่างยิ่งเมื่อใช้แสงที่กระเจิงเพื่อวัดขนาดอนุภาค

การกระเจิงแบบเรย์ลีอธิบายถึงการกระเจิงแบบยืดหยุ่นของแสงโดยทรงกลมที่มีขนาดเล็กกว่าความยาวคลื่นของแสงมาก ความเข้มIของรังสีที่กระเจิงออกมานั้นกำหนดโดย

${\displaystyle I=I_{0}\left({\frac {1+\cos ^{2}\theta }{2R^{2}}}\right)\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)^{4}\left({\frac {n^{2}-1}{n^{2}+2}}\right)^{2}\left({\frac {d}{2}}\right)^{6},}$

โดยที่I ₀คือความเข้มแสงก่อนการปฏิสัมพันธ์กับอนุภาค, Rคือระยะห่างระหว่างอนุภาคกับผู้สังเกต, θคือมุมการกระเจิง, λคือความยาวคลื่นของแสงที่พิจารณา, nคือดัชนีหักเหของอนุภาค และdคือเส้นผ่านศูนย์กลางของอนุภาค

จากสมการข้างต้น จะเห็นได้ว่าการกระเจิงแบบเรย์ลีขึ้นอยู่กับขนาดของอนุภาคและความยาวคลื่นอย่างมาก ความเข้มของรังสีที่กระเจิงแบบเรย์ลีจะเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วเมื่ออัตราส่วนของขนาดอนุภาคต่อความยาวคลื่นเพิ่มขึ้น นอกจากนี้ ความเข้มของรังสีที่กระเจิงแบบเรย์ลีจะมีค่าเท่ากันทั้งในทิศทางไปข้างหน้าและทิศทางย้อนกลับ

แบบจำลองการกระเจิงของเรย์ลีห์ใช้ไม่ได้ผลเมื่อขนาดอนุภาคใหญ่กว่าประมาณ 10% ของความยาวคลื่นของรังสีตกกระทบ ในกรณีของอนุภาคที่มีขนาดใหญ่กว่านี้ แบบจำลองการกระเจิงของมี (Mie) สามารถนำมาใช้หาความเข้มของรังสีที่กระเจิงได้ ความเข้มของรังสีที่กระเจิงแบบมีนั้นได้มาจากการรวมอนุกรมอนันต์ของพจน์ต่างๆ แทนที่จะเป็นนิพจน์ทางคณิตศาสตร์อย่างง่าย อย่างไรก็ตาม สามารถแสดงได้ว่าการกระเจิงในช่วงขนาดอนุภาคนี้แตกต่างจากการกระเจิงของเรย์ลีห์ในหลายๆ ด้าน คือ มันแทบจะไม่ขึ้นอยู่กับความยาวคลื่น และมีค่ามากกว่าในทิศทางไปข้างหน้ามากกว่าในทิศทางย้อนกลับ ยิ่งขนาดอนุภาคใหญ่ขึ้นเท่าใด แสงก็จะยิ่งกระเจิงไปในทิศทางไปข้างหน้ามากขึ้นเท่านั้น

สีฟ้าของท้องฟ้าเกิดจากการกระเจิงแบบเรย์ลี เนื่องจากขนาดของอนุภาคก๊าซในชั้นบรรยากาศมีขนาดเล็กกว่าความยาวคลื่นของแสงที่มองเห็นได้มาก การกระเจิงแบบเรย์ลีจะรุนแรงกว่าสำหรับแสงสีฟ้ามากกว่าสีอื่นๆ เนื่องจากความยาวคลื่นที่สั้นกว่า เมื่อแสงอาทิตย์ผ่านชั้นบรรยากาศ ส่วนประกอบสีฟ้าจะถูกกระเจิงแบบเรย์ลีอย่างรุนแรงโดยก๊าซในชั้นบรรยากาศ แต่ส่วนประกอบที่มีความยาวคลื่นยาวกว่า (เช่น สีแดง/สีเหลือง) จะไม่ถูกกระเจิง ดังนั้นแสงอาทิตย์ที่ส่องมาจากดวงอาทิตย์โดยตรงจึงปรากฏเป็นสีเหลืองเล็กน้อย ในขณะที่แสงที่กระเจิงผ่านส่วนอื่นๆ ของท้องฟ้าปรากฏเป็นสีฟ้า ในช่วงพระอาทิตย์ขึ้นและพระอาทิตย์ตก ผลของการกระเจิงแบบเรย์ลีต่อสเปกตรัมของแสงที่ส่งผ่านจะรุนแรงกว่ามาก เนื่องจากระยะทางที่รังสีแสงต้องเดินทางผ่านอากาศที่มีความหนาแน่นสูงใกล้พื้นผิวโลกนั้นไกลกว่า

ในทางตรงกันข้าม ละอองน้ำที่ประกอบเป็นเมฆมีขนาดใกล้เคียงกับความยาวคลื่นของแสงที่มองเห็นได้ และการกระเจิงนั้นอธิบายได้ด้วยแบบจำลองของ Mie แทนที่จะเป็นแบบจำลองของ Rayleigh ในกรณีนี้ ความยาวคลื่นทั้งหมดของแสงที่มองเห็นได้จะถูกกระเจิงในลักษณะที่ใกล้เคียงกัน ดังนั้นเมฆจึงปรากฏเป็นสีขาวหรือสีเทา

การประมาณค่า Rayleigh–Gansเป็นวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณสำหรับการกระเจิงของแสงเมื่อดัชนีหักเหสัมพัทธ์ของอนุภาคใกล้เคียงกับดัชนีหักเหของสิ่งแวดล้อม และขนาดของอนุภาคมีขนาดเล็กกว่ามากเมื่อเทียบกับความยาวคลื่นของแสงหารด้วย | n  − 1| โดยที่nคือดัชนีหักเห : ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}|n-1|&\ll 1\\kd|n-1|&\ll 1\end{aligned}}}$

โดยที่เวกเตอร์คลื่นของแสง ( ) และหมายถึงมิติเชิงเส้นของอนุภาค เงื่อนไขก่อนหน้านี้มักเรียกว่าอ่อนทางแสงและการประมาณนี้ใช้ได้กับอนุภาคที่มีรูปร่างใดๆ ก็ได้^{[ 3 ]}${\textstyle k}$${\textstyle k={\frac {2\pi }{\แลมบ์ดา }}}$${\displaystyle d}$

การประมาณการเลี้ยวเบนแบบผิดปกติใช้ได้กับทรงกลมขนาดใหญ่ (เมื่อเทียบกับความยาวคลื่น) และทรงกลมที่อ่อนตัวทางแสง คำว่าอ่อนตัวในบริบทของทัศนศาสตร์หมายความว่าดัชนีหักเหของอนุภาค (m) แตกต่างจากดัชนีหักเหของสิ่งแวดล้อมเพียงเล็กน้อย และอนุภาคทำให้คลื่นเกิดการเปลี่ยนแปลงเฟสเพียงเล็กน้อย ประสิทธิภาพการลดทอนในประมาณการนี้กำหนดโดย

${\displaystyle Q=2-{\frac {4}{p}}\sin p+{\frac {4}{p^{2}}}(1-\cos p),}$

โดยที่Qคือปัจจัยประสิทธิภาพของการกระเจิง ซึ่งกำหนดเป็นอัตราส่วนของพื้นที่หน้าตัดการกระเจิงและพื้นที่หน้าตัดทางเรขาคณิตπ a ²

เทอมp = 4πa( n − 1)/λ มีความหมายทางกายภาพคือ การหน่วงเฟสของคลื่นที่ผ่านศูนย์กลางของทรงกลม โดยที่aคือรัศมีของทรงกลมnคืออัตราส่วนของดัชนีหักเหภายในและภายนอกทรงกลม และλคือความยาวคลื่นของแสง

ชุดสมการนี้ได้รับการอธิบายครั้งแรกโดยvan de Hulstในปี (1957) ^{[ 5 ]}

การกระเจิงโดยอนุภาคนาโน ทรงกลม สามารถหาคำตอบได้อย่างแม่นยำโดยไม่ขึ้นอยู่กับขนาดของอนุภาค เราพิจารณาการกระเจิงโดยคลื่นระนาบที่แพร่กระจายไปตามแกนz โดยมีทิศทางการโพลาไรซ์ไปตามแกน xค่าสภาพซึมผ่านทางไฟฟ้าและแม่เหล็กของอนุภาคคือ และ และสำหรับสิ่งแวดล้อม คือ และ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$${\displaystyle \mu _{1}}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \mu }$

เพื่อแก้ปัญหาการกระเจิง^{[ 3 ]}เราเขียนคำตอบของสมการเวกเตอร์เฮล์มโฮลทซ์ในพิกัดทรงกลมก่อน เนื่องจากสนามภายในและภายนอกอนุภาคต้องเป็นไปตามสมการนี้ สมการเฮล์มโฮลทซ์:

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} +{k}^{2}\mathbf {E} =0,\quad \nabla ^{2}\mathbf {H} +{k}^{2}\mathbf {H} =0.}$

นอกเหนือจากสมการเฮล์มโฮลทซ์แล้ว ฟิลด์ต่างๆ ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขและ, . ฮาร์ มอนิกทรงกลมเวกเตอร์มีคุณสมบัติที่จำเป็นทั้งหมด ซึ่งจะกล่าวถึงต่อไปนี้: ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\nabla \cdot \mathbf {H} =0}$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =i\omega \mu \mathbf {H} }$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =-i\omega \varepsilon \mathbf {E} }$

${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e__{o}mn}=\nabla \times \left(\mathbf {r} \psi _{^{e__{o}mn}\right)}$ — ฮาร์โมนิกแม่เหล็ก (TE)

${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e__{o}mn}={\frac {\nabla \times \mathbf {M} _{^{e__{o}mn}}{k}}}$ — ฮาร์โมนิกไฟฟ้า (TM)

ที่ไหน

${\displaystyle {\psi _{emn}=\cos m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r),}}$

${\displaystyle {\psi _{omn}=\sin m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r),}}$

และ — พหุ นาม เลอจองเดอร์ที่เกี่ยวข้องและ — ฟังก์ชันเบสเซลทรงกลม  ใดๆ ก็ได้ ${\displaystyle P_{n}^{m}(\cos \theta )}$${\displaystyle z_{n}({k}r)}$

ต่อไป เราจะขยายคลื่นระนาบตกกระทบออกเป็นฮาร์มอนิกทรงกลมเวกเตอร์:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} _{\text{inc}}&=E_{0}e^{ikr\cos \theta }\mathbf {e} _{x}=E_{0}\sum _{n=1}^{\infty }i^{n}{\frac {2n+1}{n(n+1)}}\left(\mathbf {M} _{o1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )-i\mathbf {N} _{e1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )\right),\\\mathbf {H} _{\text{inc}}&={\frac {-k}{\omega \mu }}E_{0}\sum _{n=1}^{\infty }i^{n}{\frac {2n+1}{n(n+1)}}\left(\mathbf {M} _{e1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )+i\mathbf {N} _{o1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )\right).\end{aligned}}}$

ในที่นี้ ตัวยกหมายความว่าในส่วนรัศมีของฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันเบสเซลทรงกลมชนิดที่หนึ่ง สัมประสิทธิ์การขยายได้มาจากการหาปริพันธ์ในรูปแบบ ${\displaystyle (1)}$${\displaystyle \psi _{^{e}_{o}mn}}$

${\displaystyle {\frac {\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {E} _{\text{inc}}\cdot \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(1)}\sin \theta {\text{d}}\theta {\text{d}}\varphi }{\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\left|\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(1)}\right|^{2}\sin \theta {\text{d}}\theta {\text{d}}\varphi }}.}$

ในกรณีนี้ สัมประสิทธิ์ทั้งหมดของ at จะเป็นศูนย์ เนื่องจากปริพันธ์เหนือมุมในตัวเศษเป็นศูนย์ ${\displaystyle m\neq 1}$${\displaystyle \varphi }$

จากนั้นจึงมีการกำหนดเงื่อนไขดังต่อไปนี้:

1. เงื่อนไขของส่วนต่อประสานบนขอบเขตระหว่างทรงกลมกับสิ่งแวดล้อม (ซึ่งทำให้เราสามารถเชื่อมโยงสัมประสิทธิ์การขยายตัวของสนามตกกระทบ สนามภายใน และสนามกระเจิงได้)
2. เงื่อนไขที่ว่าคำตอบมีขอบเขตที่จุดกำเนิด (ดังนั้น ในส่วนรัศมีของฟังก์ชันก่อกำเนิดจึงเลือกฟังก์ชันเบสเซลทรงกลมชนิดแรกสำหรับฟิลด์ภายใน)${\displaystyle \psi _{^{e}_{o}mn}}$
3. สำหรับสนามที่กระจัดกระจาย ลักษณะเชิงอะซิมโทติกที่ระยะอนันต์จะสอดคล้องกับคลื่นทรงกลมที่ลู่เข้า (ในส่วนที่เกี่ยวข้องกับเรื่องนี้ สำหรับสนามที่กระจัดกระจายในส่วนรัศมีของฟังก์ชันก่อกำเนิดจะเลือกใช้ฟังก์ชันแฮงเคลทรงกลมชนิดแรก)${\displaystyle \psi _{^{e}_{o}mn}}$

สนามกระจัดกระจายเขียนได้ในรูปของการขยายอนุกรมฮาร์มอนิกเวกเตอร์ดังนี้

${\displaystyle \mathbf {E} _{s}=\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(ia_{n}\mathbf {N} _{e1n}^{(3)}(k,\mathbf {r} )-b_{n}\mathbf {M} _{o1n}^{(3)}(k,\mathbf {r} )\right),}$

${\displaystyle \mathbf {H} _{s}={\frac {k}{\omega \mu }}\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(a_{n}\mathbf {M} _{e1n}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+ib_{n}\mathbf {N} _{o1n}^{(3)}(k,\mathbf {r} )\right).}$

ในที่นี้ ตัวยก หมายความว่า ในส่วนรัศมีของฟังก์ชันนั้น เป็นฟังก์ชันแฮงเคลทรงกลมชนิดที่หนึ่ง (ส่วนชนิดที่สองจะมี) และ , ${\displaystyle (3)}$${\displaystyle \psi _{^{e}_{o}mn}}$${\displaystyle (4)}$${\displaystyle E_{n}={\frac {i^{n}E_{0}(2n+1)}{n(n+1)}}}$

ฟิลด์ภายใน:

${\displaystyle \mathbf {E} _{1}=\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(-id_{n}\mathbf {N} _{e1n}^{(1)}(k_{1},\mathbf {r} )+c_{n}\mathbf {M} _{o1n}^{(1)}(k_{1},\mathbf {r} )\right),}$

${\displaystyle \mathbf {H} _{1}={\frac {-k_{1}}{\omega \mu _{1}}}\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(d_{n}\mathbf {M} _{e1n}^{(1)}(k_{1},\mathbf {r} )+ic_{n}\mathbf {N} _{o1n}^{(1)}(k_{1},\mathbf {r} )\right).}$

${\textstyle k={\frac {\omega }{c}}n}$คือเวกเตอร์คลื่นภายนอกอนุภาค คือเวกเตอร์คลื่นในตัวกลางจากวัสดุของอนุภาคและคือดัชนีหักเหของตัวกลางและอนุภาค ${\textstyle k_{1}={\frac {\omega }{c}}{n_{1}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n_{1}}$

หลังจากใช้เงื่อนไขของอินเทอร์เฟซแล้ว เราจะได้นิพจน์สำหรับสัมประสิทธิ์ดังนี้:

${\displaystyle c_{n}(\omega )={\frac {\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho )-\mu _{1}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},}$

${\displaystyle d_{n}(\omega )={\frac {\mu _{1}n_{1}n\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho )-\mu _{1}n_{1}n\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{\mu n_{1}^{2}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu _{1}n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},}$

${\displaystyle b_{n}(\omega )={\frac {\mu _{1}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )}{\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},}$

${\displaystyle a_{n}(\omega )={\frac {\mu n_{1}^{2}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu _{1}n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )}{\mu n_{1}^{2}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu _{1}n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},}$

ที่ไหน

${\displaystyle \rho =ka,}$

${\displaystyle \rho _{1}=k_{1}a}$โดยที่คือรัศมีของทรงกลม${\displaystyle a}$

${\displaystyle j_{n}}$และ แสดงถึงฟังก์ชันทรงกลมของเบสเซลและแฮงเคลชนิดแรก ตามลำดับ ${\displaystyle h_{n}}$

สเปกตรัมการแยกส่วนหลายขั้วของภาคตัดขวางการกระเจิง

โดยใช้อนุภาคนาโนทรงกลมทองคำรัศมี 100 นาโนเมตร

โดยอนุภาคนาโนทรงกลม รัศมี 100 นาโนเมตร ดัชนีหักเห n=4

ทำจาก นาโนสเฟียร์ ซิลิคอนรัศมี 100 นาโนเมตร

ค่าที่คำนวณโดยทั่วไปโดยใช้ทฤษฎี Mie ได้แก่ สัมประสิทธิ์ประสิทธิภาพสำหรับการสูญ เสียการกระเจิงและการดูดซับ^{[ 6 ] [ 7 ]}สัมประสิทธิ์ประสิทธิภาพเหล่านี้เป็นอัตราส่วนของพื้นที่หน้าตัดของกระบวนการที่เกี่ยวข้องต่อพื้นที่ป้องกันอนุภาคโดยที่aคือรัศมีของอนุภาค ตามคำจำกัดความของการสูญเสีย ${\displaystyle Q_{e}}$${\displaystyle Q_{s}}$${\displaystyle Q_{a}}$${\displaystyle \sigma _{i}}$${\displaystyle Q_{i}={\frac {\sigma _{i}}{\pi a^{2}}}}$

${\displaystyle \sigma _{e}=\sigma _{s}+\sigma _{a}}$และ.${\displaystyle Q_{e}=Q_{s}+Q_{a}}$

สัมประสิทธิ์การกระเจิงและการดูดกลืนสามารถแสดงได้ในรูปอนุกรมอนันต์:

${\displaystyle Q_{s}={\frac {2}{k^{2}a^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)\left(|a_{n}|^{2}+|b_{n}|^{2}\right)}$

${\displaystyle Q_{e}={\frac {2}{k^{2}a^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)\Re (a_{n}+b_{n})}$

ค่าต่างๆ ในผลรวมเหล่านี้ ซึ่งมีดัชนีเป็นnสอดคล้องกับลำดับของการขยายแบบมัลติโพลโดยที่n = 1คือพจน์ไดโพลn = 2คือพจน์ควอดรูโพล และอื่นๆ ต่อไป

ถ้าขนาดของอนุภาคเท่ากับหลายความยาวคลื่นในวัสดุนั้น สนามที่กระเจิงจะมีลักษณะเฉพาะบางประการ นอกจากนี้ รูปแบบของสนามไฟฟ้าก็มีความสำคัญ เนื่องจากสนามแม่เหล็กได้มาจากการหาค่าเคิร์ลของ สนามไฟฟ้า

สัมประสิทธิ์ Mie ทั้งหมดขึ้นอยู่กับความถี่และจะมีค่าสูงสุดเมื่อตัวส่วนใกล้เคียงกับศูนย์ (ค่าที่เท่ากับศูนย์อย่างแท้จริงจะเกิดขึ้นสำหรับความถี่เชิงซ้อน) ในกรณีนี้ เป็นไปได้ที่การมีส่วนร่วมของฮาร์มอนิกเฉพาะตัวใดตัวหนึ่งจะมีอิทธิพลเหนือกว่าในการกระเจิง จากนั้นที่ระยะห่างมากจากอนุภาครูปแบบการแผ่รังสีของสนามที่กระเจิงจะคล้ายกับรูปแบบการแผ่รังสีที่สอดคล้องกันของส่วนเชิงมุมของฮาร์มอนิกทรงกลมเวกเตอร์ ฮาร์มอนิกเหล่านี้สอดคล้องกับไดโพลไฟฟ้า (หากการมีส่วนร่วมของฮาร์มอนิกนี้มีอิทธิพลเหนือกว่าในการขยายสนามไฟฟ้า สนามนั้นจะคล้ายกับสนามไดโพลไฟฟ้า) สอดคล้องกับสนามไฟฟ้าของไดโพลแม่เหล็กและ สอดคล้อง กับควอดรูโพลไฟฟ้าและแม่เหล็กและสอดคล้องกับอ็อกทูโพล เป็นต้น ค่าสูงสุดของสัมประสิทธิ์การกระเจิง (รวมถึงการเปลี่ยนแปลงเฟสของพวกมันด้วย) เรียกว่าเรโซแนนซ์มัลติโพล และค่าศูนย์เรียกว่าอนาโพล ${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}m1}}$${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}m1}}$${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}m2}}$${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}m2}}$${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}m3}}$${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}m3}}$${\displaystyle \pi }$

การพึ่งพาของพื้นที่หน้าตัดการกระเจิงต่อความยาวคลื่นและการมีส่วนร่วมของเรโซแนนซ์เฉพาะนั้นขึ้นอยู่กับวัสดุของอนุภาคอย่างมาก ตัวอย่างเช่น สำหรับอนุภาคทองคำที่มีรัศมี 100 นาโนเมตร การมีส่วนร่วมของไดโพลไฟฟ้าต่อการกระเจิงจะเด่นชัดในช่วงคลื่นแสง ในขณะที่สำหรับ อนุภาค ซิลิคอนจะมีเรโซแนนซ์ไดโพลแม่เหล็กและควอดรูโพลที่เด่นชัด สำหรับอนุภาคโลหะ ยอดที่มองเห็นได้ในพื้นที่หน้าตัดการกระเจิงเรียกว่าเรโซแนนซ์พลาสมอนเฉพาะ ที่

ในกรณีที่อนุภาคมีขนาดเล็กมากหรือคลื่นมีความยาวคลื่นมากการมีส่วนร่วมของไดโพลไฟฟ้าจะมีบทบาทสำคัญในภาคตัดขวางการกระเจิง

ในกรณีของ คลื่นระนาบโพลาไรซ์ xที่ตกกระทบตาม แกน zการแยกส่วนของฟิลด์ทั้งหมดจะมีเฉพาะฮาร์มอนิกที่มีm = 1 เท่านั้น แต่สำหรับคลื่นตกกระทบใดๆ จะไม่เป็นเช่นนั้น^{[ 8 ]}สำหรับคลื่นระนาบที่หมุน สัมประสิทธิ์การขยายสามารถหาได้ ตัวอย่างเช่น โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าในระหว่างการหมุน ฮาร์มอนิกทรงกลมเวกเตอร์จะถูกแปลงผ่านกันและกันโดย เมทริกซ์ D ของวิกเนอร์

ในกรณีนี้ สนามที่กระจัดกระจายจะถูกแยกย่อยออกเป็นฮาร์มอนิกที่เป็นไปได้ทั้งหมด:

${\displaystyle \mathbf {E} _{s}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}E_{0}(D_{Memn}\mathbf {M} _{emn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+D_{Momn}\mathbf {M} _{omn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+D_{Nemn}\mathbf {N} _{emn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+D_{Nomn}\mathbf {N} _{omn}^{(3)}(k,\mathbf {r} ))}$

จากนั้นภาคตัดขวางการกระเจิงจะถูกแสดงในแง่ของสัมประสิทธิ์ดังต่อไปนี้: ^{[ 9 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{\text{sca}}={\frac {2\pi }{\pi a^{2}k^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n(n+1)}{(2n+1)}}&\times \left[\sum _{m=1}^{n}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}\left(|D_{Memn}|^{2}+|D_{Momn}|^{2}+|D_{Nemn}|^{2}+|D_{Nomn}|^{2}\right)\right.\\&+\left.{\vphantom {\sum _{}}}2|D_{Me0n}|^{2}+2|D_{Ne0n}|^{2}\right].\end{aligned}}}$

ปรากฏการณ์เคอร์เกอร์ (Kerker effect)เป็นปรากฏการณ์ในทิศทางการกระเจิง ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อมีการตอบสนองแบบมัลติโพลที่แตกต่างกัน และไม่สามารถละเลยได้

ในปี พ.ศ. 2526 ในงานของKerker , Wang และGiles [ ^{10 ]} ได้มีการตรวจสอบ ทิศทางการกระเจิงของอนุภาคที่มีโดยเฉพาะอย่างยิ่ง พบว่าสำหรับอนุภาคสมมุติที่มี การกระเจิงย้อนกลับ ^นั้นถูกระงับอย่างสมบูรณ์ ซึ่งสามารถมองได้ว่าเป็นการขยายผลลัพธ์ของ Giles และ Wild สำหรับการสะท้อนที่พื้นผิวระนาบที่มีดัชนีหักเหเท่ากันไปยังพื้นผิวทรงกลม โดยที่การสะท้อนและการส่งผ่านมีค่าคงที่และไม่ขึ้นอยู่กับมุมตกกระทบ^{[ 11 ]}${\displaystyle \mu \neq 1}$${\displaystyle \mu =\varepsilon }$

นอกจากนี้ พื้นที่หน้าตัดการกระเจิงในทิศทางไปข้างหน้าและย้อนกลับจะแสดงออกมาอย่างง่าย ๆ ในรูปของสัมประสิทธิ์ Mie: ^{[ 12 ] [ 13 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{\text{sca}}^{\text{backward}}&={\frac {1}{a^{2}k^{2}}}\left|\sum _{n=1}^{\infty }{(2n+1)}(-1)^{n}(a_{n}-b_{n})\right|^{2}\\C_{\text{sca}}^{\text{forward}}&={\frac {1}{a^{2}k^{2}}}\left|\sum _{n=1}^{\infty }{(2n+1)}(a_{n}+b_{n})\right|^{2}\end{aligned}}}$

สำหรับค่าสัมประสิทธิ์บางค่า สามารถลดค่าของนิพจน์ข้างต้นให้เหลือน้อยที่สุดได้

ดังนั้น ตัวอย่างเช่น เมื่อสามารถละเลยเงื่อนไขที่มี ( การประมาณไดโพล ) ได้ จะสอดคล้องกับค่าต่ำสุดในการกระเจิงย้อนกลับ (ไดโพลแม่เหล็กและไดโพลไฟฟ้ามีขนาดเท่ากันและอยู่ในเฟสเดียวกัน ซึ่งเรียกอีกอย่างว่า เงื่อนไข Kerker แรกหรือเงื่อนไขความเข้มย้อนกลับเป็นศูนย์^{[ 14 ]} ) และ สอดคล้องกับค่าต่ำสุดในการกระเจิงไปข้างหน้า ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าเงื่อนไข Kerker ที่สอง (หรือเงื่อนไขความเข้มไปข้างหน้าใกล้ศูนย์ ) จากทฤษฎีทางแสง แสดงให้เห็นว่าสำหรับอนุภาคแบบพาสซีฟนั้นเป็นไปไม่ได้^{[ 15 ]} สำหรับการแก้ปัญหาอย่างแม่นยำ จำเป็นต้องคำนึงถึงการมีส่วนร่วมของมัลติโพลทั้งหมด ผลรวมของไดโพลไฟฟ้าและไดโพลแม่เหล็กก่อให้เกิดแหล่งกำเนิด Huygens ^{[ 16 ]}${\displaystyle n>1}$${\displaystyle (a_{1}-b_{1})=0}$${\displaystyle (a_{1}+b_{1})=0}$${\displaystyle (a_{1}=-b_{1})}$

สำหรับอนุภาคไดอิเล็กทริก การกระเจิงไปข้างหน้าสูงสุดจะสังเกตได้ที่ความยาวคลื่นที่ยาวกว่าความยาวคลื่นของการสั่นพ้องไดโพลแม่เหล็ก และการกระเจิงย้อนกลับสูงสุดจะสังเกตได้ที่ความยาวคลื่นที่สั้นกว่า^{[ 17 ]}

ต่อมามีการค้นพบรูปแบบอื่นๆ ของผลกระทบดังกล่าว ตัวอย่างเช่น ผลกระทบ Kerker ตามแนวขวาง ซึ่งมีการระงับสนามกระเจิงไปข้างหน้าและข้างหลังพร้อมกันเกือบสมบูรณ์ (รูปแบบการกระเจิงด้านข้าง) ^{[ 18 ]}ผลกระทบ Kerker ทางออปโตเมคานิกส์^{[ 19 ]}ในการกระเจิงของเสียง^{[ 20 ]}และยังพบในพืชอีกด้วย^{[ 21 ]}

นอกจากนี้ยังมีวิดีโอ สั้นๆ บนYouTubeที่อธิบายถึงผลกระทบดังกล่าว ด้วย

ฟังก์ชันของกรีนเป็นคำตอบของสมการต่อไปนี้:

${\displaystyle \nabla \times \nabla \times {\bf {\hat {G}}}(\omega ,\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}\varepsilon (\mathbf {r} ,\omega ){\bf {\hat {G}}}(\omega ,\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')+{\bf {\hat {1}}}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} '),}$

โดยที่ — เมทริกซ์เอกลักษณ์สำหรับและสำหรับเนื่องจากฟิลด์ทั้งหมดเป็นเวกเตอร์ ฟังก์ชันกรีนจึงเป็นเมทริกซ์ 3x3 และเรียกว่าเมทริกซ์ไดอะดิก หากมีการเหนี่ยวนำโพลาไรเซชันในระบบ เมื่อเขียนฟิลด์เป็น ${\displaystyle {\hat {\bf {1}}}}$${\displaystyle \varepsilon (\mathbf {r} ,\omega )=\varepsilon _{1}(\omega )}$${\displaystyle r<a}$${\displaystyle \varepsilon (\mathbf {r} ,\omega )=\varepsilon }$${\displaystyle r>a}$${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \mathbf {E} ^{\omega }({\mathbf {r} })=\omega ^{2}\mu \int \limits _{V}{\text{d}}V'{\hat {\bf {G}}}({\bf {r,r'}},k)\mathbf {P} ^{\omega }(\mathbf {r} ')}$

ในทำนองเดียวกันกับฟิลด์ ฟังก์ชันของกรีนสามารถแยกออกเป็นฮาร์มอนิกทรงกลมเวกเตอร์ได้^{[ 22 ]} ฟังก์ชันของกรีนแบบไดอะดิกของพื้นที่ว่าง a: ^{[ 23 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {\bf {G}}}^{0}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k})\\{}={}&{\frac {\mathbf {e_{r}} \otimes \mathbf {e_{r}} }{k^{2}}}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')+{\frac {ik}{4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)}}{\frac {(n-m)!}{(n+m)!}}\cdot {}\\&\quad {\begin{cases}{\begin{aligned}\left(\left(\mathbf {M} _{emn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{emn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']\right.\right.&+\left.\left.\mathbf {M} _{omn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{omn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']\right)\right.\\&+\left.\left({\mathbf {N} }_{emn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{emn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {N} _{omn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{omn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']\right)\right)\end{aligned}}&{\text{if }}r<r'\\{\begin{aligned}\left(\left(\mathbf {M} _{emn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{emn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ']\right.\right.&+\left.\left.\mathbf {M} _{omn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{omn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ']\right)\right.\\&+\left.\left({\mathbf {N} }_{emn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{emn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {N} _{omn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{omn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ']\right)\right)\end{aligned}}&{\text{if }}r>r'\end{cases}}\end{aligned}}}$

ในกรณีที่มีทรงกลม ฟังก์ชันของกรีนจะถูกแยกออกเป็นฮาร์มอนิกทรงกลมเวกเตอร์ด้วย ลักษณะที่ปรากฏขึ้นอยู่กับสภาพแวดล้อมที่จุดและตั้งอยู่^{[ 24 ]}${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {r} '}$

เมื่อจุดทั้งสองอยู่นอกทรงกลม ( ): ${\displaystyle r>a,r'>a}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {\bf {G}}}^{00}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1}})\\{}={}&{\hat {\bf {G}}}^{0}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k})+{\frac {ik}{4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)}}{\frac {(n-m)!}{(n+m)!}}\cdot {}\\&\quad \left(a_{n}^{(0)}(\omega )\left(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']\right)+b_{n}^{(0)}(\omega )\left({\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']\right)\right)\end{aligned}}}$

โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์คือ :

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}^{(0)}(\omega )&={\frac {\mu /\mu _{1}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )-\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}{\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu /\mu _{1}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},\\b_{n}^{(0)}(\omega )&={\frac {n^{2}\mu _{1}/\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )-n_{1}^{2}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}{n_{1}^{2}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-n^{2}\mu _{1}/\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}}.\end{aligned}}}$

เมื่อจุดทั้งสองอยู่ภายในทรงกลม ( ) : ${\displaystyle r<a,r'<a}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {\bf {G}}}^{11}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1}})\\{}={}&{\hat {\bf {G}}}^{0}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k_{1}})+{\frac {ik_{1}}{4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)}}{\frac {(n-m)!}{(n+m)!}}\cdot {}\\&\quad \left(c_{n}^{(1)}(\omega )\left(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ']\right)+d_{n}^{(1)}(\omega )\left({\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ']\right)\right),\end{aligned}}}$

สัมประสิทธิ์:

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}^{(1)}(\omega )&={\frac {\mu _{1}/\mu \left[\rho h_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho _{1})-\left[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}{\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )-\mu _{1}/\mu \left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}},\\d_{n}^{(1)}(\omega )&={\frac {n_{1}^{2}\mu /\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho _{1})-n^{2}\left[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}{n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )-n_{1}^{2}\mu /\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}}.\end{aligned}}}$

แหล่งกำเนิดอยู่ภายในทรงกลมและจุดสังเกตอยู่ภายนอก ( ): ${\displaystyle r>a,r'<a}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {\bf {G}}}^{01}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1}})\\{}={}&{\frac {ik_{1}}{4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)}}{\frac {(n-m)!}{(n+m)!}}\cdot {}\\&\quad \left(a_{n}^{(1)}(\omega )(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} '])+b_{n}^{(1)}(\omega )\left(\mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ']\right)\right)\end{aligned}}}$

สัมประสิทธิ์:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}^{(1)}(\omega )&={\frac {\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho _{1})-\left[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho _{1})}{\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )-\mu _{1}/\mu \left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}},\\b_{n}^{(1)}(\omega )&={\frac {nn_{1}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho _{1})-nn_{1}\left[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho _{1})}{n^{2}\mu _{1}/\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )-n_{1}^{2}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}}.\end{aligned}}}$

แหล่งกำเนิดอยู่นอกทรงกลมและจุดสังเกตอยู่ภายใน ( ) : ${\displaystyle r<a,r'>a}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {\bf {G}}}^{10}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1}})\\{}={}&{\frac {ik}{4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)}}{\frac {(n-m)!}{(n+m)!}}\cdot {}\\&\quad \left(c_{n}^{(0)}(\omega )(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k_{1},\mathbf {r} '])+d_{n}^{(0)}(\omega )({\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k_{1},\mathbf {r} '])\right)\end{aligned}}}$

สัมประสิทธิ์:

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}^{(0)}(\omega )&={\frac {\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho )-\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu /\mu _{1}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},\\d_{n}^{(0)}(\omega )&={\frac {nn_{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho )-nn_{1}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{n_{1}^{2}\mu /\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )}}.\end{aligned}}}$

วิธีการแก้ปัญหาแบบ Mie ถูกนำไปใช้ในโปรแกรมจำนวนมากที่เขียนด้วยภาษาคอมพิวเตอร์ต่างๆ เช่นFortran , MATLABและMathematicaวิธีการแก้ปัญหาเหล่านี้เป็นการประมาณค่าอนุกรมอนันต์ และให้ผลลัพธ์เป็นการคำนวณฟังก์ชันเฟสการกระเจิง ประสิทธิภาพการลดทอน การกระเจิง และการดูดกลืน รวมถึงพารามิเตอร์อื่นๆ เช่น พารามิเตอร์ความไม่สมมาตร หรือแรงบิดการแผ่รังสี ปัจจุบัน คำว่า "วิธีการแก้ปัญหาแบบ Mie" หมายถึงการประมาณค่าอนุกรมของคำตอบของสมการของแม็กซ์เวลล์ มีวัตถุหลายอย่างที่ทราบกันว่าสามารถใช้กับวิธีการแก้ปัญหานี้ได้ ได้แก่ ทรงกลม ทรงกลมศูนย์กลางร่วม ทรงกระบอกอนันต์ กลุ่มทรงกลม และกลุ่มทรงกระบอก นอกจากนี้ยังมีวิธีการแก้ปัญหาแบบอนุกรมสำหรับการกระเจิงโดยอนุภาคทรงรี รายการโค้ดที่ใช้การแก้ปัญหาเฉพาะทางเหล่านี้มีดังต่อไปนี้:

• รหัสสำหรับการกระเจิงของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าโดยทรงกลม – วิธีแก้ปัญหาสำหรับทรงกลมเดี่ยว ทรงกลมเคลือบ ทรงกลมหลายชั้น และกลุ่มทรงกลม
• รหัสสำหรับการกระเจิงของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าโดยทรงกระบอก – วิธีแก้ปัญหาสำหรับทรงกระบอกเดี่ยว ทรงกระบอกหลายชั้น และกลุ่มทรงกระบอก

วิธีการทั่วไปที่ช่วยให้สามารถจัดการกับอนุภาคที่มีรูปร่างทั่วไปได้มากขึ้นคือวิธีเมทริกซ์ Tซึ่งอาศัยการประมาณค่าอนุกรมของคำตอบของสมการของแม็กซ์เวลล์เช่นกัน

ดูลิงก์ภายนอก เพิ่มเติม สำหรับรหัสและเครื่องคำนวณอื่นๆ

ทฤษฎีของ Mie มีความสำคัญมากในด้านทัศนศาสตร์ทางอุตุนิยมวิทยา โดยที่อัตราส่วนเส้นผ่านศูนย์กลางต่อความยาวคลื่นที่มีค่าประมาณหนึ่งหรือมากกว่านั้นเป็นลักษณะเฉพาะของปัญหาหลายประการเกี่ยวกับการกระเจิงของหมอกและเมฆ การประยุกต์ ใช้เพิ่มเติมคือการจำแนกลักษณะของอนุภาค โดยการวัดการกระเจิงทางแสง วิธีแก้ปัญหาของ Mie ยังมี ความสำคัญต่อการทำความเข้าใจลักษณะของวัสดุทั่วไป เช่นนมเนื้อเยื่อทางชีวภาพและสี ลาเท็กซ์

การกระเจิงแบบมี (Mie scattering) เกิดขึ้นเมื่อขนาดเส้นผ่านศูนย์กลางของอนุภาค ในชั้นบรรยากาศ มีขนาดใกล้เคียงหรือใหญ่กว่าความยาวคลื่นของแสง ฝุ่นละอองละอองเกสรค วัน และหยดน้ำขนาดเล็กที่ก่อตัวเป็นเมฆเป็นสาเหตุทั่วไปของการกระเจิงแบบมี การกระเจิงแบบมีเกิดขึ้นส่วนใหญ่ในชั้นบรรยากาศส่วนล่าง ซึ่งมีอนุภาคขนาดใหญ่มากกว่า และจะเด่นชัดในสภาวะที่มีเมฆมาก

ทฤษฎีของ Mie ถูกนำมาใช้เพื่อตรวจสอบว่าแสงที่กระเจิงจากเนื้อเยื่อสอดคล้องกับนิวเคลียสของเซลล์ปกติหรือเซลล์มะเร็ง โดยใช้วิธีการแทรกสอดแบบความสอดคล้องต่ำที่แยกตามมุม

ทฤษฎีของ Mie เป็นหลักการสำคัญในการประยุกต์ใช้ การวิเคราะห์แบบ เนเฟโลเมตริกซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายในทางการแพทย์เพื่อวัดโปรตีนในพลาสมา หลายชนิด โปรตีนในพลาสมาหลากหลายชนิดสามารถตรวจจับและหาปริมาณได้ด้วยวิธีเนเฟโลเมตริก

ปรากฏการณ์การกระเจิงของแม่เหล็กไฟฟ้าที่ผิดปกติหลายอย่างเกิดขึ้นกับทรงกลมแม่เหล็ก เมื่อค่าสภาพยอมทางไฟฟ้าสัมพัทธ์เท่ากับค่าสภาพซึมผ่านได้อัตราการกระเจิงย้อนกลับจะเป็นศูนย์ นอกจากนี้ รังสีที่กระเจิงจะถูกโพลาไรซ์ไปในทิศทางเดียวกับรังสีที่ตกกระทบ ในขีดจำกัดของอนุภาคขนาดเล็ก (หรือความยาวคลื่นยาว) เงื่อนไขต่างๆ สามารถเกิดขึ้นได้สำหรับการกระเจิงไปข้างหน้า เป็น ศูนย์ สำหรับการโพลาไรซ์ที่สมบูรณ์ของรังสีที่กระเจิงไปในทิศทางอื่น และสำหรับความไม่สมมาตรของการกระเจิงไปข้างหน้าต่อการกระเจิงย้อนกลับ กรณีพิเศษในขีดจำกัดของอนุภาคขนาดเล็กให้กรณีพิเศษที่น่าสนใจของการโพลาไรซ์ที่สมบูรณ์และความไม่สมมาตรของการกระเจิงไปข้างหน้าต่อการกระเจิงย้อนกลับ^{[ 10 ]}

ทฤษฎีของ Mie ถูกนำมาใช้ในการออกแบบเมตาวัสดุ โดยทั่วไปแล้วเมตาวัสดุจะประกอบด้วยวัสดุผสมสามมิติของโลหะหรืออโลหะที่ฝังตัวเป็นระยะหรือแบบสุ่มในเมทริกซ์ที่มีค่าสภาพยอมทางไฟฟ้าต่ำ ในรูปแบบดังกล่าว พารามิเตอร์เชิงโครงสร้างที่เป็นลบจะถูกออกแบบให้ปรากฏรอบๆ เรโซแนนซ์ของ Mie ของส่วนประกอบต่างๆ: ค่าสภาพยอม ทางไฟฟ้าที่มีประสิทธิภาพที่เป็นลบ จะถูกออกแบบให้ปรากฏรอบๆ เรโซแนนซ์ของสัมประสิทธิ์การกระเจิงไดโพลไฟฟ้าของ Mie ในขณะที่ค่าสภาพซึม ผ่านทางแม่เหล็กที่มีประสิทธิภาพที่เป็นลบ จะถูกออกแบบให้ปรากฏรอบๆ เรโซแนนซ์ของสัมประสิทธิ์การกระเจิงไดโพลแม่เหล็กของ Mie และวัสดุที่เป็นลบสองเท่า (DNG) จะถูกออกแบบให้ปรากฏรอบๆ การทับซ้อนกันของเรโซแนนซ์ของสัมประสิทธิ์การกระเจิงไดโพลไฟฟ้าและแม่เหล็กของ Mie โดยทั่วไปอนุภาคจะมีส่วนประกอบดังต่อไปนี้:

1. กลุ่มอนุภาคแม่เหล็กไฟฟ้ากลุ่มหนึ่งที่มีค่าสภาพยอมทางไฟฟ้าและสภาพซึมผ่านทางแม่เหล็กสัมพัทธ์มากกว่าหนึ่งมากและอยู่ใกล้เคียงกัน
2. อนุภาคไดอิเล็กทริกสองชนิดที่แตกต่างกัน มีค่าสภาพยอมทางไฟฟ้าเท่ากัน แต่มีขนาดต่างกัน
3. อนุภาคไดอิเล็กทริกสองชนิดที่แตกต่างกัน มีขนาดเท่ากัน แต่มีค่าสภาพยอมทางไฟฟ้าต่างกัน

ตามทฤษฎี อนุภาคที่วิเคราะห์โดยทฤษฎี Mie มักจะมีรูปทรงกลม แต่ในทางปฏิบัติ อนุภาคมักจะถูกสร้างเป็นรูปทรงลูกบาศก์หรือทรงกระบอกเพื่อความสะดวกในการผลิต เพื่อให้เป็นไปตามเกณฑ์ของการทำให้เป็นเนื้อเดียวกัน ซึ่งอาจระบุได้ในรูปแบบที่ว่าค่าคงที่ของแลตติสมีค่าน้อยกว่าความยาวคลื่นที่ใช้งานมาก ค่าสภาพยอมทางไฟฟ้าสัมพัทธ์ของอนุภาคไดอิเล็กทริกควรมีค่ามากกว่า 1 มาก เช่นเพื่อให้ได้ค่าสภาพยอมทางไฟฟ้าที่มีประสิทธิภาพเป็นลบ (ค่าสภาพซึมผ่าน) ^{[ 25 ] [ 26 ] [ 27 ]}${\displaystyle \varepsilon _{\text{r}}>78(38)}$

ทฤษฎี Mie มักถูกนำมาใช้ในการวิเคราะห์การเลี้ยวเบนของเลเซอร์เพื่อตรวจสอบผลกระทบของขนาดอนุภาค^{[ 28 ]}ในขณะที่คอมพิวเตอร์รุ่นแรกๆ ในช่วงทศวรรษ 1970 สามารถคำนวณข้อมูลการเลี้ยวเบนได้ด้วยการประมาณค่า Fraunhofer ที่ง่ายกว่าเท่านั้น แต่ทฤษฎี Mie ได้ถูกนำมาใช้อย่างแพร่หลายตั้งแต่ทศวรรษ 1990 และได้รับการแนะนำอย่างเป็นทางการสำหรับอนุภาคที่มีขนาดต่ำกว่า 50 ไมโครเมตรในแนวทาง ISO 13320:2009 ^{[ 29 ]}

ทฤษฎี Mie ถูกนำมาใช้ในการตรวจวัดความเข้มข้นของน้ำมันในน้ำเสีย^{[ 30 ] [ 31 ]}

การกระเจิงของ Mie เป็นวิธีการหลักในการวัดขนาดฟองอากาศที่เปล่งแสงโซโนลูมิเนสเซนซ์เดี่ยวในน้ำ^{[ 32 ] [ 33 ] [ 34 ]}และใช้ได้กับโพรงในวัสดุ เช่นเดียวกับอนุภาคในวัสดุ ตราบใดที่วัสดุโดยรอบไม่มีการดูดซับโดยพื้นฐาน

นอกจากนี้ยังใช้ในการศึกษาโครงสร้างของPlasmodium falciparumซึ่งเป็นเชื้อมาลาเรียที่มีอันตราย^เป็นพิเศษ [ ^{35 ]}

ในปี พ.ศ. 2529 PA Bobbert และ J. Vlieger ได้ขยายแบบจำลอง Mie เพื่อคำนวณการกระเจิงโดยทรงกลมในตัวกลางที่เป็นเนื้อเดียวกันที่วางอยู่บนพื้นผิวเรียบ: แบบจำลอง Bobbert–Vlieger (BV) เช่นเดียวกับแบบจำลอง Mie แบบจำลองที่ขยายนี้สามารถนำไปใช้กับทรงกลมที่มีรัศมีใกล้เคียงกับความยาวคลื่นของแสงตกกระทบได้^{[ 36 ] แบบจำลองนี้ได้รับการนำไปใช้ในซอร์สโค้ด C++ [ 37 ] การพัฒนาล่าสุด}เกี่ยวข้องกับการ^{กระเจิงโดย}ทรง รี^{[ 38 ] [ 39 ] [ 40 ]} การศึกษาในปัจจุบันอ้างอิงถึงงานวิจัยที่มีชื่อเสียงของ Rayleigh ^{[ 41 ]}

• รหัสสำหรับการกระเจิงของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าโดยทรงกลม
• แม่เหล็กไฟฟ้าเชิงคำนวณ
• การกระเจิงของแสงโดยอนุภาค
• รายชื่อรหัสการถ่ายเทรังสีในชั้นบรรยากาศ
• คุณสมบัติทางแสงของน้ำและน้ำแข็ง

• Kerker, M. (1969). การกระเจิงของแสงและรังสีแม่เหล็กไฟฟ้าอื่นๆนิวยอร์ก: Academic.
• Barber, PW; Hill, SS (1990). การกระเจิงของแสงโดยอนุภาค: วิธีการคำนวณ . สิงคโปร์: World Scientific. ISBN 978-9971-5-0813-5.
• Mishchenko, M.; Travis, L.; Lacis, A. (2002). การกระเจิง การดูดกลืน และการปล่อยแสงโดยอนุภาคขนาดเล็ก . นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. ISBN 978-0-521-78252-4.
• Frisvad, J.; Christensen, N.; Jensen, H. (2007). "การคำนวณคุณสมบัติการกระเจิงของสื่อที่มีส่วนร่วมโดยใช้ทฤษฎี Lorenz-Mie" (PDF) . ACM Transactions on Graphics . 26 (3): 60. doi : 10.1145/1276377.1276452 .
• Wriedt, Thomas (2008). "ทฤษฎี Mie 1908 บนโทรศัพท์มือถือ 2008". Journal of Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer . 109 (8): 1543– 1548. Bibcode : 2008JQSRT.109.1543W . doi : 10.1016/j.jqsrt.2008.01.009 .
• ลอเรนซ์, ลุดวิก (1890) "Lysbevægelsen i og uden สำหรับเครื่องบิน Lysbølger belyst Kugle" เดช คองเกลิจ ดานสเก้ วิเดนสคาเบอร์เนส เซลสกาก สกริฟเตอร์6 (6): 1– 62.

• SCATTERLIBและscattport.orgเป็นแหล่งรวบรวมโค้ดการกระเจิงแสง พร้อมด้วยการใช้งานโซลูชัน Mie ในภาษา Fortran , C++ , IDL , Pascal , MathematicaและMathcad
• JMIE ( โค้ด C++ 2 มิติ สำหรับคำนวณสนามเชิงวิเคราะห์รอบทรงกระบอกอนันต์ พัฒนาโดย Jeffrey M. McMahon)
• ScatLabซอฟต์แวร์การกระเจิงของแสงแบบ Mie สำหรับ Windows
• โค้ด MATLAB ของ STRATIFYสำหรับการจำลองการกระเจิงจากทรงกลมหลายชั้นในกรณีที่แหล่งกำเนิดเป็นไดโพลจุดและคลื่นระนาบ รายละเอียดอยู่ใน arXiv:2006.06512
• Scattnlay เป็น แพ็กเกจโซลูชัน Mie แบบโอเพนซอร์สที่เขียน ด้วยภาษา C++ พร้อมด้วยส่วนเชื่อมต่อ PythonและJavaScriptให้ผลลัพธ์การจำลองสนามไกลและสนามใกล้สำหรับทรงกลมหลายชั้น
• โปรแกรมคำนวณการกระเจิงแบบ Mie ออนไลน์นี้ให้การจำลองคุณสมบัติการกระเจิง (รวมถึงการแยกองค์ประกอบแบบหลายขั้ว) และแผนที่สนามใกล้สำหรับทรงกลมแบบเนื้อเดียว แบบแกนเปลือก และแบบหลายชั้น พารามิเตอร์ของวัสดุประกอบด้วยไฟล์ข้อมูล nk ทั้งหมดจาก เว็บไซต์ refractiveindex.infoโค้ดต้นฉบับเป็นส่วนหนึ่งของโครงการScattnlay
• มีเครื่องคำนวณหาค่า Mie ออนไลน์ พร้อมเอกสารประกอบเป็นภาษาเยอรมันและภาษาอังกฤษ
• เครื่องคำนวณการกระเจิงของ Mie ออนไลน์สร้างกราฟที่สวยงามสำหรับพารามิเตอร์หลากหลายช่วง
• phpMieเครื่องคำนวณการกระจายตัวของ Mie ออนไลน์ที่เขียนด้วยภาษาPHP
• การแพร่กระจายแสงและการเกิดเลเซอร์แบบสุ่มโดยอาศัยเรโซแนนซ์ของ Mie
• วิธีแก้ปัญหาของ Mie สำหรับอนุภาคทรงกลม
• PyMieScattคือแพ็กเกจโซลูชัน Mie ที่เขียนด้วยภาษา Python
• pyMieForAll คือ แพ็กเกจโซลูชัน Mie แบบโอเพนซอร์สที่เขียน ด้วยภาษา C++ พร้อม ตัวเชื่อมต่อPython