เกมที่หาคำตอบได้แล้วคือเกมที่ผลลัพธ์ (ชนะ แพ้ หรือเสมอ ) สามารถทำนายได้อย่างถูกต้องจากทุกตำแหน่ง โดยสมมติว่าผู้เล่นทั้งสองเล่นได้อย่างสมบูรณ์แบบ แนวคิดนี้มักนำไปใช้กับเกมกลยุทธ์นามธรรมโดยเฉพาะอย่างยิ่งเกมที่มีข้อมูลครบถ้วนและไม่มีองค์ประกอบของโอกาส การแก้ปัญหาเกมดังกล่าวอาจใช้ทฤษฎีเกมเชิงการจัดเรียงหรือความช่วยเหลือจากคอมพิวเตอร์

เกมสองผู้เล่นสามารถแก้ไขได้หลายระดับ: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

พิสูจน์ว่าผู้เล่นคนแรกจะชนะ แพ้ หรือเสมอ จากตำแหน่งเริ่มต้น โดยสมมติว่าทั้งสองฝ่ายเล่นอย่างสมบูรณ์แบบ การพิสูจน์ นี้อาจเป็นแบบไม่สร้างสรรค์ (อาจเกี่ยวข้องกับการใช้เหตุผลแบบขโมยกลยุทธ์ ) ซึ่งไม่จำเป็นต้องระบุรายละเอียดใดๆ ของการเล่นที่สมบูรณ์แบบเลย

จัดเตรียมอัลกอริทึมหนึ่งชุดสำหรับผู้เล่นแต่ละคน โดยที่ผู้เล่นที่ใช้อัลกอริทึมนั้นสามารถบรรลุผลลัพธ์ที่ดีที่สุดได้เป็นอย่างน้อย ไม่ว่าคู่ต่อสู้จะทำการเคลื่อนไหวอย่างไรก็ตาม ตั้งแต่เริ่มเกม โดยใช้ทรัพยากรการคำนวณที่เหมาะสม

จัดทำอัลกอริทึมที่ใช้ทรัพยากรการคำนวณอย่างเหมาะสมและค้นหาการเล่นที่ดีที่สุดสำหรับผู้เล่นทั้งสองฝ่ายจากทุกตำแหน่งที่ถูกต้องตามกฎ

แม้ว่าชื่อจะบ่งบอกเช่นนั้น แต่ทฤษฎีเกมหลายคนเชื่อว่า "การพิสูจน์ที่อ่อนมาก" (ultra-weak proofs) ต่างหากที่เป็นการพิสูจน์ที่ลึกซึ้ง น่าสนใจ และมีคุณค่าที่สุด การพิสูจน์ที่อ่อนมากนั้นต้องการให้นักวิชาการใช้เหตุผลเกี่ยวกับคุณสมบัติเชิงนามธรรมของเกม และแสดงให้เห็นว่าคุณสมบัติเหล่านั้นนำไปสู่ผลลัพธ์บางอย่างได้อย่างไรหากการเล่นสมบูรณ์แบบเกิดขึ้น

ในทางตรงกันข้าม การพิสูจน์ที่ "แข็งแกร่ง" มักใช้วิธีการแบบลองผิดลองถูกโดยใช้คอมพิวเตอร์ค้นหาแผนผังเกม อย่างละเอียดถี่ถ้วน เพื่อหาว่าอะไรจะเกิดขึ้นหากการเล่นสมบูรณ์แบบ การพิสูจน์ที่ได้จะให้กลยุทธ์ที่ดีที่สุดสำหรับทุกตำแหน่งที่เป็นไปได้บนกระดาน อย่างไรก็ตาม การพิสูจน์เหล่านี้ไม่ได้ช่วยให้เข้าใจเหตุผลที่ลึกซึ้งกว่าว่าทำไมบางเกมจึงจบลงด้วยผลเสมอ และเกมอื่นๆ ที่ดูคล้ายกันมากกลับจบลงด้วยชัยชนะ

ภายใต้กฎของเกมสองคนใดๆ ที่มีตำแหน่งจำกัด เราสามารถสร้าง อัลกอริทึม minimaxที่สามารถสำรวจต้นไม้เกมได้อย่างครบถ้วนได้อย่างง่ายดายเสมอ อย่างไรก็ตาม เนื่องจากสำหรับเกมที่ไม่ซับซ้อนหลายเกม อัลกอริทึมดังกล่าวจะต้องใช้เวลามากเกินไปในการสร้างการเคลื่อนไหวในตำแหน่งที่กำหนด เกมจึงไม่ถือว่าได้รับการแก้ไขอย่างอ่อนหรืออย่างแข็งแกร่ง เว้นแต่ว่าอัลกอริทึมนั้นสามารถทำงานได้บนฮาร์ดแวร์ที่มีอยู่แล้วในเวลาที่เหมาะสม อัลกอริทึมจำนวนมากอาศัยฐานข้อมูลขนาดใหญ่ที่สร้างไว้ล่วงหน้าและแทบจะไม่มีประโยชน์อะไรเลย

ตัวอย่างง่ายๆ ของวิธีแก้ปัญหาที่มีประสิทธิภาพคือ เกม โอเอ็กซ์ ( tic-tac-toe)ซึ่งสามารถหาคำตอบได้ง่ายๆ ว่าเสมอกันสำหรับผู้เล่นทั้งสองฝ่ายหากเล่นอย่างสมบูรณ์แบบ (ซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่สามารถกำหนดได้ด้วยตนเอง) เกมอย่าง นิม ( nim)ก็สามารถวิเคราะห์ได้อย่างเข้มงวดโดยใช้ทฤษฎีเกมเชิงการจัดเรียง เช่นกัน

การที่เกมใดเกมหนึ่งได้รับการแก้ไขอย่างสมบูรณ์แล้วนั้น ไม่ได้หมายความว่าเกมนั้นจะยังคงน่าสนใจสำหรับมนุษย์ที่จะเล่นเสมอไป แม้แต่เกมที่ได้รับการแก้ไขอย่างสมบูรณ์แล้ว ก็ยังคงน่าสนใจได้หากวิธีการแก้ซับซ้อนเกินกว่าจะจำได้ ในทางกลับกัน เกมที่ได้รับการแก้ไขอย่างไม่สมบูรณ์อาจสูญเสียเสน่ห์ไปหากกลยุทธ์การชนะนั้นง่ายพอที่จะจำได้ (เช่น เกมมหาราชาและทหารซีปอย ) ส่วนวิธีการแก้ที่ง่ายมาก ๆ (เช่นเกม ChompหรือHexบนกระดานขนาดใหญ่พอสมควร) โดยทั่วไปแล้วจะไม่ส่งผลกระทบต่อความสามารถในการเล่น

ในทฤษฎีเกมการเล่นที่สมบูรณ์แบบคือพฤติกรรมหรือกลยุทธ์ของผู้เล่นที่นำไปสู่ผลลัพธ์ที่ดีที่สุดสำหรับผู้เล่นนั้นโดยไม่คำนึงถึงการตอบสนองของฝ่ายตรงข้าม การเล่นที่สมบูรณ์แบบสำหรับเกมจะทราบได้เมื่อเกมได้รับการแก้ไข^{[ 1 ]}ตามกฎของเกม ตำแหน่งสุดท้ายที่เป็นไปได้ทุกตำแหน่งสามารถประเมินได้ (เป็นการชนะ แพ้ หรือเสมอ) โดยการใช้เหตุผลย้อนกลับเราสามารถประเมินตำแหน่งที่ไม่ใช่ตำแหน่งสุดท้ายแบบเรียกซ้ำได้เหมือนกับตำแหน่งที่อยู่ห่างออกไปหนึ่งตาเดินและมีค่าดีที่สุดสำหรับผู้เล่นที่เป็นคนเดินตานั้น ดังนั้นการเปลี่ยนผ่านระหว่างตำแหน่งต่างๆ จึงไม่สามารถส่งผลให้เกิดการประเมินที่ดีกว่าสำหรับผู้เล่นที่กำลังเดินตา และการเดินที่สมบูรณ์แบบในตำแหน่งหนึ่งจะเป็นการเปลี่ยนผ่านระหว่างตำแหน่งต่างๆ ที่ได้รับการประเมินเท่ากัน ตัวอย่างเช่น ผู้เล่นที่สมบูรณ์แบบในตำแหน่งที่เสมอกันจะได้รับผลเสมอหรือชนะเสมอ ไม่ใช่แพ้ หากมีหลายตัวเลือกที่มีผลลัพธ์เดียวกัน การเล่นที่สมบูรณ์แบบบางครั้งถือเป็นวิธีที่เร็วที่สุดที่นำไปสู่ผลลัพธ์ที่ดี หรือวิธีที่ช้าที่สุดที่นำไปสู่ผลลัพธ์ที่ไม่ดี

การเล่นที่สมบูรณ์แบบสามารถนำไปใช้กับ เกม ที่มีข้อมูลไม่สมบูรณ์ได้เช่นกัน โดยหมายถึงกลยุทธ์ที่รับประกันผลลัพธ์ที่คาดหวัง ขั้นต่ำสุดที่สูงที่สุด โดยไม่คำนึงถึงกลยุทธ์ของฝ่ายตรงข้าม ตัวอย่างเช่น กลยุทธ์ที่สมบูรณ์แบบสำหรับเกมเป่ายิงฉุบคือการเลือกแต่ละตัวเลือกแบบสุ่มด้วยความน่าจะเป็นเท่ากัน (1/3) ข้อเสียในตัวอย่างนี้คือกลยุทธ์นี้จะไม่สามารถใช้ประโยชน์จากกลยุทธ์ที่ไม่ดีที่สุดของฝ่ายตรงข้ามได้ ดังนั้นผลลัพธ์ที่คาดหวังของกลยุทธ์นี้เมื่อเทียบกับกลยุทธ์ใดๆ จะเท่ากับผลลัพธ์ที่คาดหวังขั้นต่ำสุดเสมอ

แม้ว่ากลยุทธ์ที่ดีที่สุดของเกมอาจยังไม่เป็นที่รู้จัก (ในขณะนี้) แต่คอมพิวเตอร์ที่เล่นเกมอาจได้รับประโยชน์จากวิธีแก้ปัญหาของเกมจาก ตำแหน่ง ท้ายเกม บางตำแหน่ง (ในรูปแบบของตารางฐานข้อมูลท้ายเกม ) ซึ่งจะช่วยให้มันเล่นได้อย่างสมบูรณ์แบบหลังจากจุดหนึ่งในเกม โปรแกรม หมากรุกคอมพิวเตอร์เป็นที่รู้จักกันดีในเรื่องนี้

อาวารี (เกมใน ตระกูล มันคาลา )

รูปแบบหนึ่งของโอวาเระที่อนุญาตให้จบเกมด้วย "แกรนด์สแลม" ได้รับการแก้ไขอย่างสมบูรณ์โดยอองรี บาลและจอห์น โรเมนที่มหาวิทยาลัยฟรีเยในอัมสเตอร์ดัมประเทศเนเธอร์แลนด์ (2002) ผู้เล่นฝ่ายใดฝ่ายหนึ่งสามารถบังคับให้เกมจบลงด้วยผลเสมอได้

ตะเกียบ

แก้ได้อย่างสมบูรณ์แล้ว หากผู้เล่นทั้งสองเล่นได้อย่างสมบูรณ์แบบ เกมจะดำเนินต่อไปเรื่อยๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุด

คอนเน็กต์โฟร์

เจมส์ ดี. อัลเลน เป็นผู้แก้ปัญหานี้เป็นครั้งแรกเมื่อวันที่ 1 ตุลาคม พ.ศ. 2531 และวิคเตอร์ อัลลิส เป็นผู้แก้ปัญหานี้โดยอิสระ เมื่อวันที่ 16 ตุลาคม พ.ศ. 2531 ^{[ 3 ]}ผู้เล่นคนแรกสามารถบังคับให้ชนะได้ จอห์น ทรอมป์ แก้ปัญหานี้ได้อย่างแข็งแกร่งด้วยฐานข้อมูล 8 ชั้น^{[ 4 ]} (4 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2538) จอห์น ทรอมป์ แก้ปัญหานี้ได้อย่างอ่อนแอสำหรับกระดานทุกขนาดที่ความกว้าง+ความสูงไม่เกิน 15 (รวมถึง 8x8 ในช่วงปลายปี พ.ศ. 2558) ^{[ 3 ]} (18 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2549) จอห์น ทรอมป์ แก้ปัญหานี้สำหรับกระดานทุกขนาดที่ความกว้าง+ความสูงเท่ากับ 16 เมื่อวันที่ 22 พฤษภาคม พ.ศ. 2567 ^{[ 5 ]}ในปี พ.ศ. 2568 กระดาน 7x6 แบบคลาสสิกถูกแก้ปัญหานี้ได้อย่างแข็งแกร่งโดยใช้ตารางค้นหาผลชนะ-เสมอ-แพ้^{[ 6 ]}

โกโมกุฟรี

แก้ไขโดยVictor Allis (1993) ผู้เล่นคนแรกสามารถบังคับให้ชนะได้โดยไม่ต้องใช้กฎการเปิดเกม^{[ 1 ]}

ผี

แก้ไขโดย Alan Frank โดยใช้พจนานุกรมผู้เล่น Scrabble อย่างเป็นทางการในปี 1987 ^{[ 7 ]}

เฮกซาพอว์น

รูปแบบ 3×3 ได้รับการแก้ไขโดยฝ่ายดำเป็นฝ่ายชนะ นอกจากนี้ยังมีการแก้ไขรูปแบบที่ใหญ่กว่าอีกหลายรูปแบบ^{[ 8 ]}

คาลาห์

รูปแบบส่วนใหญ่ได้รับการแก้ไขโดย Geoffrey Irving, Jeroen Donkers และ Jos Uiterwijk (2000) ยกเว้น Kalah (6/6) รูปแบบ (6/6) ได้รับการแก้ไขโดย Anders Carstensen (2011) ข้อได้เปรียบของผู้เล่นคนแรกที่แข็งแกร่งได้รับการพิสูจน์แล้วในกรณีส่วนใหญ่^{[ 9 ] [ 10 ]}

เกม L

แก้ไขได้ง่าย ผู้เล่นฝ่ายใดฝ่ายหนึ่งสามารถทำให้เกมจบลงด้วยผลเสมอได้

มหาราชาและเหล่าทหารซีปอย

เกมที่ไม่สมดุลนี้เป็นเกมที่ผู้เล่นฝ่ายทหารซีปอยจะได้เปรียบหากเล่นอย่างถูกต้อง

นิม

แก้ไขอย่างชัดเจน^{[ 11 ]}

มอริสเก้าคน

แก้ไขโดย Ralph Gasser (1993) ผู้เล่นทั้งสองฝ่ายสามารถบังคับให้เกมจบลงด้วยผลเสมอได้^{[ 12 ] [ 13 ]}

ระเบียบและความวุ่นวาย

ลำดับ (ผู้เล่นคนแรก) ชนะ^{[ 14 ]}

โอห์วัลฮู

มนุษย์ยังแก้ปัญหานี้ได้ไม่ค่อยดีนัก แต่คอมพิวเตอร์พิสูจน์ได้แล้ว (อย่างไรก็ตาม Dakon ไม่เหมือนกับ Ohvalhu ซึ่งเป็นเกมที่ de Voogt เคยสังเกตการณ์จริง)

ปังกิ

แก้ปัญหาได้อย่างแข็งแกร่งโดย Jason Doucette (2001) ^{[ 15 ]} เกมจบลงด้วยผลเสมอ มีเพียงสองตาเดินแรกที่ไม่ซ้ำกันหากคุณตัดตำแหน่งที่สะท้อนออกไป ตาเดินหนึ่งบังคับให้เสมอ และอีกตาเดินหนึ่งทำให้ฝ่ายตรงข้ามชนะอย่างแน่นอนใน 15 ตาเดิน

เพนทาโก้

ปริศนานี้ได้รับการแก้ไขอย่างสมบูรณ์โดยเจฟฟรีย์ เออร์วิง โดยใช้ซูเปอร์คอมพิวเตอร์ที่NERSCผู้เล่นคนแรกที่แก้ได้เป็นผู้ชนะ

ยก

แก้ไขโดย Luc Goossens (1998) ผู้เล่นที่สมบูรณ์แบบสองคนจะเสมอกัน^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]}

เกมคล้ายเร็น จูแต่ไม่มีกฎกติกาเริ่มต้น

อ้างว่าได้รับการแก้ไขโดยJános Wagner และ István Virág (2001) ^{[ 19 ]}ชัยชนะของผู้เล่นคนแรก

ทีโก้

แก้ไขโดยGuy Steele (1998) ขึ้นอยู่กับรูปแบบ อาจเป็นการชนะของผู้เล่นคนแรกหรือเสมอกัน^{[ 20 ]}

มอริสสามหนุ่ม

แก้ได้ง่ายมาก ผู้เล่นฝ่ายใดฝ่ายหนึ่งสามารถทำให้เกมจบลงด้วยผลเสมอได้

สามทหารเสือ

โยฮันเนส แลร์ แก้ปัญหาได้อย่างแข็งแกร่งในปี 2009 และอาลี เอลาบริดี แก้ปัญหาได้อย่างอ่อนแอในปี 2017 ^{[ 21 ]}ถือเป็นชัยชนะของหมากสีน้ำเงิน (คนของพระคาร์ดินัลริเชลิเยอ หรือศัตรู) ^{[ 22 ]}

เกมโอเอ็กซ์

สามารถแก้ไขได้อย่างง่ายดายมากเนื่องจากต้นไม้เกมมีขนาดเล็ก^{[ 23 ]} เกมจะเสมอกันหากไม่มีข้อผิดพลาดเกิดขึ้น โดยไม่มีข้อผิดพลาดใดๆ ที่เป็นไปได้ในการเดินหมากเปิดเกม

เกมของไวทอฟฟ์

ได้รับการแก้ไขอย่างชัดเจนโดยWA Wythoffในปี พ.ศ. 2450 ^{[ 24 ]}

หมากรุกอังกฤษ (หมากฮอส)

รูปแบบ หมากรุก 8×8 นี้ได้รับการแก้ไขอย่างไม่สมบูรณ์เมื่อวันที่ 29 เมษายน พ.ศ. 2550 โดยทีมของJonathan Schaefferจากตำแหน่งเริ่มต้นมาตรฐาน ผู้เล่นทั้งสองสามารถรับประกันผลเสมอได้ด้วยการเล่นที่สมบูรณ์แบบ^{[ 25 ]}หมากรุกมีพื้นที่การค้นหาตำแหน่งเกมที่เป็นไปได้ 5×10 ^{20 ตำแหน่ง [ 26 ]}จำนวนการคำนวณที่เกี่ยวข้องคือ 10 ¹⁴ซึ่งดำเนินการในช่วงระยะเวลา 18 ปี กระบวนการนี้เกี่ยวข้องกับคอมพิวเตอร์ตั้งโต๊ะ ตั้งแต่ 200 เครื่อง ในช่วงสูงสุดจนถึงประมาณ 50 เครื่อง^{[ 27 ]}

ฟาโนโรนา

Maarten Schadd แก้ปัญหาได้ไม่ดีนัก เกมจึงจบลงด้วยผลเสมอ^{[ 28 ]}

การแพ้หมากรุก

แก้ไขได้ไม่ดีนักในปี 2016 โดยฝ่ายขาวชนะเมื่อเริ่มด้วย 1. e3 ^{[ 29 ]}

โอเทลโล (กลับด้าน)

ได้รับการแก้ไขอย่างอ่อนในปี 2023 โดย Hiroki Takizawa นักวิจัยจากPreferred Networks [ ^{30 ] อย่างไรก็ตาม}ข้อสรุปของเอกสารฉบับนี้เป็นที่ถกเถียงกัน^{[ 31 ]}จากตำแหน่งเริ่มต้นมาตรฐานบนกระดาน 8×8 การเล่นที่สมบูรณ์แบบโดยผู้เล่นทั้งสองจะส่งผลให้เสมอกัน Othello เป็นเกมที่มีขนาดใหญ่ที่สุดที่ได้รับการแก้ไขจนถึงปัจจุบัน โดยมีพื้นที่การค้นหาตำแหน่งเกมที่เป็นไปได้ 10 ^{28 ตำแหน่ง}

เพนโตมิโน

แก้ได้ไม่ดีนักโดย HK Orman ^{[ 32 ]}ถือเป็นชัยชนะของผู้เล่นคนแรก

คิวบิก

โอเรน ปาตาชนิก (1980) และวิคเตอร์ อัลลิสแก้ปัญหานี้ได้แบบไม่สมบูรณ์ผู้เล่นคนแรกที่หาคำตอบได้เป็นผู้ชนะ

ซิม

คำตอบแบบคร่าวๆ: ผู้เล่นคนที่สองเป็นฝ่ายชนะ

ลูกแกะและเสือ

แก้ไขได้ไม่ดีนักโดย Yew Jin Lim (2007) เกมจบลงด้วยผลเสมอ^{[ 33 ]}

หมากรุก

การแก้ปัญหาหมากรุกอย่างสมบูรณ์ยังคงเป็นเรื่องยาก และมีการคาดการณ์ว่าความซับซ้อนของเกมอาจทำให้ไม่สามารถแก้ปัญหาได้อย่างสมบูรณ์ อย่างไรก็ตาม ด้วยการวิเคราะห์ด้วยคอมพิวเตอร์แบบย้อนหลังและฐานข้อมูลตารางหมากรุกช่วงท้ายเกม ทำให้พบวิธีแก้ปัญหาที่แข็งแกร่งสำหรับ หมากรุกช่วงท้ายเกมที่มีตัวหมาก 3-7 ตัว โดยนับ ราชาทั้งสองตัวเป็นตัวหมากด้วย

มีการแก้ปริศนาหมากรุกบาง รูปแบบบนกระดานขนาดเล็กที่มีจำนวนตัวหมากน้อยลงได้แล้ว นอกจากนี้ ปริศนาหมากรุกรูปแบบยอดนิยมอื่นๆ บางรูปแบบก็ได้รับการแก้ไขแล้วเช่นกัน ตัวอย่างเช่น วิธีแก้ปัญหาแบบอ่อนๆ ของ เกมมหาราชาและทหารซีปอยคือชุดการเดินหมากที่จำได้ง่ายและรับประกันชัยชนะให้กับผู้เล่นฝ่าย "ทหารซีปอย"

ไป

กระดาน 5×5 ได้รับการแก้ไขอย่างอ่อนสำหรับการเดินเปิดทั้งหมดในปี 2545 ^{[ 34 ]}กระดาน 7×7 ได้รับการแก้ไขอย่างอ่อนในปี 2558 ^{[ 35 ]}โดยปกติมนุษย์จะเล่นบนกระดาน 19×19 ซึ่งมี ความซับซ้อนมากกว่า กระดาน 7×7 ถึง 145 เท่า ^{[ 36 ]}

เฮกซ์

การโต้แย้งแบบขโมยกลยุทธ์ (ตามที่ John Nashใช้) แสดงให้เห็นว่าขนาดกระดานสี่เหลี่ยมทั้งหมดไม่สามารถแพ้ผู้เล่นคนแรกได้ เมื่อรวมกับการพิสูจน์ความเป็นไปไม่ได้ของการเสมอ สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าเกมนี้เป็นการชนะของผู้เล่นคนแรก (ดังนั้นจึงเป็นการแก้ปัญหาที่อ่อนแอมาก) สำหรับขนาดกระดานที่เฉพาะเจาะจง มีข้อมูลเพิ่มเติม: เกมนี้ได้รับการแก้ไขอย่างแข็งแกร่งโดยคอมพิวเตอร์หลายเครื่องสำหรับขนาดกระดานสูงสุด 6×6 วิธีแก้ปัญหาที่อ่อนแอเป็นที่รู้จักสำหรับขนาดกระดาน 7×7 (โดยใช้กลยุทธ์การสลับ ) 8×8 และ 9×9 ในกรณี 8×8 วิธีแก้ปัญหาที่อ่อนแอเป็นที่รู้จักสำหรับการเดินเปิดทั้งหมด^{[ 37 ]} การแก้ปัญหา Hex อย่างแข็งแกร่งบน กระดาน N × Nนั้นไม่น่าเป็นไปได้ เนื่องจากปัญหาได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นปัญหาPSPACE-completeหากเล่น Hex บน กระดาน N ×( N + 1) ผู้เล่นที่มีระยะทางเชื่อมต่อที่สั้นกว่าสามารถชนะได้เสมอโดยใช้กลยุทธ์การจับคู่แบบง่าย แม้จะมีข้อเสียเปรียบในการเล่นเป็นคนที่สองก็ตาม

หมากรุกสากล

ตำแหน่งท้ายเกมทั้งหมดที่มีตัวหมากตั้งแต่สองถึงเจ็ดตัวได้รับการแก้ไขแล้ว รวมถึงตำแหน่งที่มีตัวหมาก 4×4 และ 5×3 ที่แต่ละฝ่ายมีราชาหนึ่งตัวหรือน้อยกว่า ตำแหน่งที่มีตัวหมากห้าตัวต่อตัวหมากสี่ตัว ตำแหน่งที่มีตัวหมากห้าตัวต่อตัวหมากสามตัวและราชาหนึ่งตัว และตำแหน่งที่มีตัวหมากสี่ตัวและราชาหนึ่งตัวต่อตัวหมากสี่ตัว ตำแหน่งท้ายเกมได้รับการแก้ไขในปี 2007 โดย Ed Gilbert จากสหรัฐอเมริกา การวิเคราะห์ด้วยคอมพิวเตอร์แสดงให้เห็นว่ามีโอกาสสูงที่จะจบลงด้วยผลเสมอหากผู้เล่นทั้งสองเล่นได้อย่างสมบูรณ์แบบ^{[ 38 ]}

โมราบาราบา

แก้ปัญหาได้อย่างมีประสิทธิภาพโดย Gábor E. Gévay (2015) ผู้เล่นคนแรกชนะในการเล่นที่เหมาะสมที่สุด^{[ 39 ]}

เกมm , n , k

การแสดงให้เห็นว่าผู้เล่นคนที่สองไม่มีทางชนะนั้นเป็นเรื่องง่ายมาก ดูได้จากข้อโต้แย้งเรื่องการขโมยกลยุทธ์เกือบทุกกรณีได้รับการแก้ไขอย่างอ่อนแล้วสำหรับk ≤ 4 ผลลัพธ์บางส่วนเป็นที่รู้จักสำหรับk = 5 เกมจบลงด้วยผลเสมอสำหรับk ≥ 8

• หมากรุกคอมพิวเตอร์
• คอมพิวเตอร์โก
• โอเทลโลคอมพิวเตอร์
• ความซับซ้อนของเกม
• อัลกอริทึมของพระเจ้า
• ทฤษฎีบทของเซอร์เมโล (ทฤษฎีเกม)

• อัลลิสเอาชนะแชมป์โลกได้หรือไม่? ความล้ำสมัยที่สุดในการเล่นเกมคอมพิวเตอร์ใน แนวทางใหม่ในการวิจัยเกมกระดาน

• ความซับซ้อนในการคำนวณของเกมและปริศนาโดย เดวิด เอปป์สไตน์
• นักเล่นเกม GamesCraftersแก้เกมสองคนด้วยข้อมูลที่สมบูรณ์แบบและไม่มีโอกาสโดยบังเอิญ