เสถียรภาพ (เรขาคณิตเชิงพีชคณิต)
ในคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งเรขาคณิตเชิงพีชคณิตความเสถียรเป็นแนวคิดที่บ่งบอกว่าวัตถุทางเรขาคณิตเช่นจุด วาไรตี้เชิงพีชคณิตบันเดิลเวกเตอร์หรือชีฟมีคุณสมบัติที่พึงประสงค์บางประการเพื่อวัตถุประสงค์ในการจำแนกประเภทหรือไม่ ลักษณะที่แน่นอนของความเสถียรขึ้นอยู่กับประเภทของวัตถุทางเรขาคณิต แต่ตัวอย่างทั้งหมดเหล่านี้มีคุณสมบัติร่วมกันคือมีสมมาตรภายใน น้อยที่สุด กล่าวคือ วัตถุที่เสถียรดังกล่าวมี ออโตมอร์ฟิซึมน้อยสิ่งนี้เกี่ยวข้องกับแนวคิดเรื่องความเรียบง่ายในคณิตศาสตร์ ซึ่งวัดว่าวัตถุทางคณิตศาสตร์บางอย่างมีวัตถุย่อยภายในน้อยหรือไม่ (ดูตัวอย่างเช่นกลุ่มเรียบง่ายซึ่งไม่มีกลุ่มย่อยปกติที่ไม่ใช่กลุ่มย่อยที่ไม่สำคัญ) นอกเหนือจากความเสถียรแล้ว วัตถุบางอย่างอาจถูกอธิบายด้วยคำต่างๆ เช่นกึ่งเสถียร (มีสมมาตรน้อยแต่ไม่ใช่น้อยที่สุด) หลายเสถียร (ประกอบด้วยวัตถุที่เสถียร) หรือไม่เสถียร (มีสมมาตรมากเกินไป ซึ่งตรงข้ามกับเสถียร)
พื้นหลัง
ในหลายสาขาของคณิตศาสตร์ และโดยเฉพาะอย่างยิ่งในเรขาคณิตเอง การมีวัตถุที่มีสมมาตรสูงนั้นเป็นสิ่งที่พึงปรารถนา และมักถูกมองว่ามีความสวยงามอย่างไรก็ตาม สมมาตรในระดับสูงนั้นไม่เป็นที่พึงปรารถนาเมื่อพยายามจำแนกวัตถุทางเรขาคณิตโดยการสร้างปริภูมิโมดูลัสของวัตถุเหล่านั้น เพราะสมมาตรของวัตถุเหล่านี้ทำให้เกิดจุดเอกฐาน และ ขัดขวาง การมีอยู่ของกลุ่มสากล
แนวคิดเรื่องเสถียรภาพได้รับการนำเสนอในรูปแบบสมัยใหม่เป็นครั้งแรกโดยDavid Mumfordในปี 1965 ในบริบทของทฤษฎีตัวแปรทางเรขาคณิตซึ่งเป็นทฤษฎีที่อธิบายวิธีการหาผลหารของวาไรตี้พีชคณิตโดยการกระทำของกลุ่ม และได้ปริภูมิผลหาร ที่ยังคงเป็นวาไร ตี้พีชคณิต ซึ่งเรียกว่าผลหารเชิงหมวดหมู่[ 1 ]อย่างไรก็ตาม แนวคิดเบื้องหลังงานของ Mumford ย้อนกลับไปถึงทฤษฎีตัวแปรของDavid Hilbertในปี 1893 และแนวคิดพื้นฐานที่เกี่ยวข้องย้อนกลับไปถึงงานของBernhard Riemannในการสร้างปริภูมิโมดูลัสของพื้นผิว Riemann [ 2 ] นับตั้งแต่งานของ Mumford เสถียรภาพได้ปรากฏในหลายรูปแบบทั่วเรขาคณิตพีชคณิต โดยมักจะมีแนวคิดเรื่องเสถียรภาพต่างๆ ที่ได้มาจากทฤษฎีตัวแปรทางเรขาคณิต หรือได้รับแรงบันดาลใจจากทฤษฎีดังกล่าว ทฤษฎีเสถียรภาพที่เป็นสากลอย่างสมบูรณ์นั้นไม่มีอยู่จริง (แม้ว่าจะมีความพยายามหนึ่งในการสร้างทฤษฎีดังกล่าว นั่นคือทฤษฎีเสถียรภาพของบริดจ์แลนด์ ) และบทความนี้มีจุดประสงค์เพื่อสรุปและเปรียบเทียบปรากฏการณ์ต่างๆ ของเสถียรภาพในเรขาคณิตและความสัมพันธ์ระหว่างกัน
นอกจากจะใช้ในการจำแนกและสร้างผลหารในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตแล้ว ความเสถียรยังมีประโยชน์อย่างมากในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และการวิเคราะห์เชิงเรขาคณิตเนื่องจากหลักการทั่วไปที่ระบุว่าวัตถุทางเรขาคณิตเชิงพีชคณิตที่เสถียรจะสอดคล้องกับวัตถุทางเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์สุดขั้วในที่นี้ คำว่าสุดขั้วโดยทั่วไปหมายถึงในแง่ของแคลคูลัสของการแปรผันกล่าวคือ วัตถุดังกล่าวจะทำให้ฟังก์ชัน บางอย่างมีค่าน้อยที่สุด ตัวอย่างต้นแบบของหลักการนี้คือทฤษฎีบท Kempf–Nessซึ่งเชื่อมโยงผลหาร GIT กับผลหารเชิงซิมเพล็กติกโดยแสดงให้เห็นว่าจุดที่เสถียรจะทำให้ฟังก์ชันพลังงานของแผนที่โมเมนต์ มีค่าน้อยที่สุด เนื่องจากหลักการทั่วไปนี้ ความเสถียรจึงถูกนำมาใช้เป็นเครื่องมือสำคัญในการสร้างการมีอยู่ของคำตอบสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่ สำคัญหลายสมการ ในเรขาคณิต เช่นสมการ Yang–Millsและสมการ Kähler– Einstein ตัวอย่างเพิ่มเติมของการนำความสัมพันธ์นี้ไปใช้ ได้แก่ความสัมพันธ์โคบายาชิ-ฮิตชิน ความสัมพันธ์ฮอดจ์ แบบไม่เชิงอะเบเลียน ข้อสันนิษฐาน ของ เหยา -เทียน-โดนัลด์สันสำหรับแมนิโฟลด์คาห์เลอร์-ไอน์สไตน์ และแม้แต่ทฤษฎีบท การทำให้เป็นเอกภาพ