ความเสถียรแบบ K ถูกกำหนดโดยการเปรียบเทียบกับเกณฑ์ของฮิลเบิร์ต-มัมฟอร์ดจากทฤษฎีตัวแปรทางเรขาคณิตมิติจำกัดทฤษฎีนี้อธิบายถึงความเสถียรของจุดบนวาไรตี้แบบโพลาไรซ์ ในขณะที่ความเสถียรแบบ K เกี่ยวข้องกับความเสถียรของวาไรตี้แบบโพลาไรซ์เอง

เกณฑ์ฮิลเบิร์ต-มัมฟอร์ดแสดงให้เห็นว่า ในการทดสอบเสถียรภาพของจุดในวาไรตี้พีชคณิตเชิงโปร เจกทีฟ ภายใต้การกระทำของกลุ่มพีชคณิตแบบลดรูปนั้น เพียงพอที่จะพิจารณากลุ่มย่อยพารามิเตอร์เดียว ( 1-PS ) ของวาไรตี้ดังกล่าว เพื่อดำเนินการต่อ เราเลือก 1-PS ของวาไรตี้ดังกล่าว เช่นและพิจารณาจุดลิมิต${\displaystyle x}$${\displaystyle X\subset \mathbb {CP} ^{N}}$${\displaystyle G\subset \operatorname {GL} (N+1,\mathbb {C} )}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \lambda$ :\mathbb {C} ^{*}\hookrightarrow G}

${\displaystyle x_{0}=\lim _{t\to 0}\lambda (t)\cdot x.}$

นี่คือจุดคงที่ของการกระทำของ 1-PS ดังนั้นเส้นตรงเหนือในปริภูมิเชิงเส้นจึงได้รับการรักษาไว้โดยการกระทำของกลุ่มการคูณ บน ปริภูมิเวกเตอร์หนึ่งมิติมาพร้อมกับน้ำหนักซึ่งเป็นจำนวนเต็มที่เรากำหนดให้โดยมีคุณสมบัติว่า${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{N+1}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle \mu (x,\lambda )}$

${\displaystyle \lambda (t)\cdot {\tilde {x}}=t^{\mu (x,\lambda )}{\tilde {x}}}$

สำหรับสิ่งใดก็ตามในเส้นใยนั้นเกณฑ์ของฮิลเบิร์ต-มัมฟอร์ดกล่าวว่า:${\displaystyle {\tilde {x}}}$${\displaystyle x_{0}}$

• จุดนั้นมีเสถียรภาพกึ่งเสถียรหากสำหรับ 1-PS ทั้งหมด${\displaystyle x}$${\displaystyle \mu (x,\lambda )\leq 0}$${\displaystyle \lambda <G}$
• จุดนั้นจะมีเสถียรภาพ ก็ต่อ เมื่อสำหรับ 1-PS ทั้งหมด${\displaystyle x}$${\displaystyle \mu (x,\lambda )<0}$${\displaystyle \lambda <G}$
• จุดนั้นไม่เสถียรหากเป็น 1-PS ใดๆ${\displaystyle x}$${\displaystyle \mu (x,\lambda )>0}$${\displaystyle \lambda <G}$

หากต้องการกำหนดนิยามของความเสถียรสำหรับวาไรตี้ เกณฑ์ของฮิลเบิร์ต-มัมฟอร์ดจึงเสนอว่าการพิจารณาการเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์เดียวของวาไรตี้ก็เพียงพอแล้ว ซึ่งนำไปสู่แนวคิดของโครงสร้างทดสอบ

การกำหนดค่าการทดสอบสำหรับวาไรตี้โพลาไรซ์คือคู่ที่เป็นแผนผังที่มีมอร์ฟิซึมแบบราบและเป็นบันเดิลเส้นที่ค่อนข้างกว้างขวางสำหรับมอร์ฟิซึมโดยที่:${\displaystyle (X,L)}$${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle \pi$ :{\mathcal {X}}\to \mathbb {C} } ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \pi }$

1. สำหรับทุกค่าพหุนามฮิลเบิร์ตของไฟเบอร์จะเท่ากับพหุนามฮิลเบิร์ตของนี่เป็นผลมาจากความเรียบของ${\displaystyle t\in \mathbb {C} }$${\displaystyle ({\mathcal {X}}_{t},{\mathcal {L}}_{t})}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)}$${\displaystyle (X,L)}$${\displaystyle \pi }$
2. มีการดำเนินการกับครอบครัว ซึ่งครอบคลุมการ ดำเนินการมาตรฐานของ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$
3. สำหรับใดๆ (และด้วยเหตุนี้ทุกๆ) ในฐานะพันธุ์ที่มีขั้ว โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่ออยู่ห่างจากตระกูลนี้เป็นเรื่องเล็กน้อย: โดยที่คือการฉายภาพลงบนปัจจัยแรก${\displaystyle t\in \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle ({\mathcal {X}}_{t},{\mathcal {L}}_{t})\cong (X,L)}$${\displaystyle 0\in \mathbb {C} }$${\displaystyle ({\mathcal {X}}_{t\neq 0},{\mathcal {L}}_{t\neq 0})\cong (X\times \mathbb {C} ^{*},\operatorname {pr} _{1}^{*}L)}$${\displaystyle \operatorname {pr} _{1}:X\times \mathbb {C} ^{*}\to X}$

เรากล่าวว่าการกำหนดค่าการทดสอบเป็นการกำหนดค่าผลิตภัณฑ์หากและเป็นการกำหนดค่าที่ไม่สำคัญหากการกระทำบน นั้นไม่สำคัญต่อปัจจัยแรก${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$${\displaystyle {\mathcal {X}}\cong X\times \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle {\mathcal {X}}\cong X\times \mathbb {C} }$

ในการกำหนดแนวคิดเรื่องความเสถียรที่คล้ายคลึงกับเกณฑ์ Hilbert–Mumford จำเป็นต้องมีแนวคิดเรื่องน้ำหนักบนไฟเบอร์เหนือการกำหนดค่าทดสอบสำหรับวาไรตี้โพลาไรซ์ตามคำจำกัดความ ตระกูลนี้มาพร้อมกับการกระทำที่ครอบคลุมการกระทำบนฐาน ดังนั้นไฟเบอร์ของการกำหนดค่าทดสอบเหนือจึงคงที่ นั่นคือ เรามีการกระทำบนไฟเบอร์กลางโดยทั่วไปไฟเบอร์กลางนี้ไม่เรียบ หรือแม้แต่วาไรตี้ มีหลายวิธีในการกำหนดน้ำหนักบนไฟเบอร์กลาง คำจำกัดความแรกกำหนดโดยใช้ตัวแปร Futaki ทั่วไปเวอร์ชันของ Ding-Tian ^{[ 1 ]}คำจำกัดความนี้เป็นเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และเกี่ยวข้องโดยตรงกับปัญหาการมีอยู่ของเรขาคณิต Kähler คำจำกัดความเชิงพีชคณิตกำหนดโดยใช้ตัวแปร Donaldson-Futaki และน้ำหนัก CM ที่กำหนดโดยสูตรการตัดกัน${\displaystyle \mu ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\to \mathbb {C} }$${\displaystyle (X,L)}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle 0\in \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle ({\mathcal {X}}_{0},{\mathcal {L}}_{0})}$

ตามนิยาม การกระทำของบนโครงร่างโพลาไรซ์มาพร้อมกับการกระทำของบนบันเดิลเส้นแอมเพิลและด้วยเหตุนี้จึงเหนี่ยวนำให้เกิดการกระทำบนปริภูมิเวกเตอร์สำหรับจำนวนเต็มทั้งหมดการกระทำของบนปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนเหนี่ยวนำให้เกิดการแยกส่วนผลรวมโดยตรงเป็นปริภูมิน้ำหนักโดยที่แต่ละเป็นปริภูมิย่อยหนึ่งมิติของและการกระทำของเมื่อจำกัดอยู่บน จะ มีน้ำหนักกำหนดให้น้ำหนักรวมของการกระทำเป็นจำนวนเต็มซึ่งเหมือนกับน้ำหนักของการกระทำที่เหนี่ยวนำของบนปริภูมิเวกเตอร์หนึ่งมิติโดยที่${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}}$${\displaystyle H^{0}({\mathcal {X}}_{0},{\mathcal {L}}_{0}^{k})}$${\displaystyle k\geq 0}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V=V_{1}\oplus \cdots \oplus V_{n}}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle w_{i}}$${\displaystyle w=w_{1}+\cdots +w_{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\textstyle \bigwedge ^{n}V}$${\displaystyle n=\dim V}$

กำหนดให้ฟังก์ชันน้ำหนักของการกำหนดค่าการทดสอบเป็นฟังก์ชันโดยที่คือน้ำหนักรวมของการกระทำบนปริมาณเวกเตอร์สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบแต่ละตัวแม้ว่าโดยทั่วไปแล้วฟังก์ชันจะไม่ใช่พหุนาม แต่จะกลายเป็นพหุนามดีกรีสำหรับทุกค่าสำหรับจำนวนเต็มคงที่บางตัว โดย ที่สามารถเห็นได้โดยใช้ทฤษฎีบทรีมันน์-รอชแบบสมมาตร โปรดจำไว้ว่าพหุนามฮิลเบิร์ตเป็นไปตามความเท่าเทียมกันสำหรับทุกค่าสำหรับจำนวนเต็มคงที่บางตัวและเป็นพหุนามดีกรีสำหรับค่าดังกล่าว ให้เราเขียน${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$${\displaystyle w(k)}$${\displaystyle w(k)}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle H^{0}({\mathcal {X}}_{0},{\mathcal {L}}_{0}^{k})}$${\displaystyle k\geq 0}$${\displaystyle w(k)}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle k>k_{0}\gg 0}$${\displaystyle k_{0}}$${\displaystyle n=\dim X}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)=\dim H^{0}(X,L^{k})=\dim H^{0}({\mathcal {X}}_{0},{\mathcal {L}}_{0}^{k})}$${\displaystyle k>k_{1}\gg 0}$${\displaystyle k_{1}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k\gg 0}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)=a_{0}k^{n}+a_{1}k^{n-1}+O(k^{n-2}),\quad w(k)=b_{0}k^{n+1}+b_{1}k^{n}+O(k^{n-1}).}$

ค่าคงที่ ของDonaldson-Futakiในการกำหนดค่าทดสอบคือจำนวนตรรกยะ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$

${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})={\frac {b_{0}a_{1}-b_{1}a_{0}}{a_{0}^{2}}}.}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่งพจน์อันดับแรกในการขยายนั้นอยู่ที่ใด${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})=-f_{1}}$${\displaystyle f_{1}}$

${\displaystyle {\frac {w(k)}{k{\mathcal {P}}(k)}}=f_{0}+f_{1}k^{-1}+O(k^{-2}).}$

ค่าคงที่ของ Donaldson-Futaki จะไม่เปลี่ยนแปลงหากแทนที่ด้วยกำลังบวกดังนั้นในเอกสารทางวิชาการ ความเสถียรของ K จึงมักถูกกล่าวถึงโดยใช้บันเดิลเส้นตรง${\displaystyle L}$${\displaystyle L^{r}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

เป็นไปได้ที่จะอธิบายค่าคงที่ Donaldson-Futaki ในแง่ของทฤษฎีการตัดกันและนี่คือแนวทางที่ Tian ใช้ในการกำหนดน้ำหนัก CM ^{[ 1 ]}การกำหนดค่าทดสอบใดๆยอมรับการกระชับตามธรรมชาติเหนือ(เช่น ดู^{[ 16 ] [ 17 ]} ) จากนั้นน้ำหนัก CM จะถูกกำหนดโดย${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$${\displaystyle ({\bar {\mathcal {X}}},{\bar {\mathcal {L}}})}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

${\displaystyle CM({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})={\frac {1}{2(n+1)\cdot L^{n}}}\left(\mu \cdot n{({\bar {\mathcal {L}}})}^{n+1}+(n+1){K}_{{\bar {\mathcal {X}}}/{\mathbb {P} }^{1}}\cdot {({\bar {\mathcal {L}}})}^{n}\right)}$

โดยที่. นิยามนี้โดยใช้สูตรการตัดกัน มักถูกนำมาใช้ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตในปัจจุบัน${\displaystyle \mu =-{\frac {L^{n-1}\cdot K_{X}}{L^{n}}}}$

เป็นที่ทราบกันว่าสอดคล้องกับดังนั้นเราจึงสามารถกำหนดน้ำหนักเป็นหรือ ได้น้ำหนักยังสามารถแสดงได้ในรูปของฟอร์ม Chow และไฮเปอร์ดิสคริมิแนนต์^{[ 18 ]} ในกรณีของแมนิโฟลด์ Fano มีการตีความน้ำหนักในรูปของค่าคงที่ใหม่บนการประเมินค่าที่พบโดย Chi Li ^{[ 19 ]}และ Kento Fujita ^{[ 20 ]}${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$${\displaystyle \operatorname {CM} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$${\displaystyle \mu ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$${\displaystyle \operatorname {CM} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$${\displaystyle \mu ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$${\displaystyle \beta }$

ในการกำหนด K-stability เราจำเป็นต้องยกเว้นการกำหนดค่าทดสอบบางอย่างก่อน ในตอนแรกมีการสันนิษฐานว่าควรเพิกเฉยต่อการกำหนดค่าทดสอบที่ไม่สำคัญตามที่กำหนดไว้ข้างต้น ซึ่งค่าคงที่ Donaldson-Futaki จะเป็นศูนย์เสมอ แต่ Li และ Xu พบว่าจำเป็นต้องระมัดระวังมากขึ้นในการกำหนด^{[ 21 ] [ 22 ]}วิธีที่สง่างามวิธีหนึ่งในการกำหนด K-stability คือวิธีที่Székelyhidi ใช้ โดยใช้บรรทัดฐานของการกำหนดค่าทดสอบ ซึ่งเราจะอธิบายก่อน^{[ 23 ]}

สำหรับการกำหนดค่าการทดสอบให้กำหนดนอร์มดังต่อไปนี้ ให้เป็น ตัวสร้าง อนันต์ของแอคชั่นบนปริมาณเวกเตอร์แล้ว ในทำนองเดียวกันกับพหุนามและฟังก์ชันเป็นพหุนามสำหรับจำนวนเต็มที่มากพอในกรณีนี้คือดีกรีให้เราเขียนการกระจายของมันเป็น${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$${\displaystyle A_{k}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle H^{0}(X,L^{k})}$${\displaystyle \operatorname {Tr} (A_{k})=w(k)}$${\displaystyle w(k)}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)}$${\displaystyle \operatorname {Tr} (A_{k}^{2})}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n+2}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} (A_{k}^{2})=c_{0}k^{n+2}+O(k^{n+1}).}$

มาตรฐาน ของการกำหนด ค่าการทดสอบถูกกำหนดโดยนิพจน์

${\displaystyle \|({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\|^{2}=c_{0}-{\frac {b_{0}^{2}}{a_{0}}}.}$

ตามหลักการเปรียบเทียบกับเกณฑ์ของฮิลเบิร์ต-มัมฟอร์ด เมื่อเข้าใจถึงการเสียรูป (การกำหนดค่าทดสอบ) และน้ำหนักบนเส้นใยกลาง (ค่าคงที่ของโดนัลด์สัน-ฟูทากิ) แล้ว ก็สามารถกำหนดเงื่อนไขความเสถียรที่เรียกว่าความเสถียรแบบ Kได้

ให้เป็นวาไรตี้พีชคณิตแบบโพลาไรซ์ เรากล่าวว่าคือ:${\displaystyle (X,L)}$${\displaystyle (X,L)}$

• K-semistableถ้าสำหรับการกำหนดค่าการทดสอบทั้งหมดสำหรับ.${\displaystyle \operatorname {\mu } ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\geq 0}$${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$${\displaystyle (X,L)}$
• K-stableหากสำหรับการกำหนดค่าการทดสอบทั้งหมดสำหรับและนอกจากนี้เมื่อใดก็ตามที่${\displaystyle \operatorname {\mu } ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\geq 0}$${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$${\displaystyle (X,L)}$${\displaystyle \operatorname {\mu } ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})>0}$${\displaystyle \|({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\|>0}$
• K-polystableถ้าเป็น K-semistable และนอกจากนี้ เมื่อใดก็ตามที่การกำหนดค่าการทดสอบเป็นการกำหนดค่าผลิตภัณฑ์${\displaystyle (X,L)}$${\displaystyle \operatorname {\mu } ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})=0}$${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$
• K-unstableถ้าไม่ใช่ K-semistable

คาดว่าสมมติฐานของ Yau–Tian–Donaldson จะสามารถนำไปใช้กับเมตริก cscK ทั่วไปบนวาไรตี้โพลาไรซ์เรียบใดๆ ได้ ในความเป็นจริง สมมติฐานของ Yau–Tian–Donaldson อ้างอิงถึงการตั้งค่าทั่วไปนี้ โดยกรณีของแมนิโฟลด์ Fano เป็นกรณีพิเศษ ซึ่ง Yau และ Tian ได้ตั้งสมมติฐานไว้ก่อนหน้านี้ Donaldson ได้ต่อยอดจากสมมติฐานของ Yau และ Tian จากกรณีของ Fano หลังจากที่เขาได้นำเสนอคำจำกัดความของ K-stability สำหรับวาไรตี้โพลาไรซ์ใดๆ^{[ 2 ]}

ข้อสันนิษฐานของ Yau–Tian–Donaldson สำหรับเมตริกความโค้งสเกลาร์คงที่ : วาไรตี้โพลาไรซ์เรียบยอมรับเมตริก Kähler ความโค้งสเกลาร์คงที่ในคลาสของก็ต่อเมื่อคู่เป็น K-polystable เท่านั้น${\displaystyle (X,L)}$${\displaystyle c_{1}(L)}$${\displaystyle (X,L)}$

ดังที่ได้กล่าวไว้ ข้อสันนิษฐานของ Yau–Tian–Donaldson ได้รับการแก้ไขในบริบทของ Fano แล้ว Donaldson ได้พิสูจน์ในปี 2009 ว่าข้อสันนิษฐานของ Yau–Tian–Donaldson เป็นจริงสำหรับวาไรตี้ทอริกที่มีมิติเชิงซ้อน 2 ^{[ 37 ] [ 38 ] [ 39 ]}สำหรับวาไรตี้โพลาไรซ์ใดๆ Stoppa ได้พิสูจน์โดยใช้ผลงานของ Arezzo และ Pacard เช่นกันว่าการมีอยู่ของเมตริก cscK บ่งบอกถึง K-polystability ^{[ 40 ] [ 41 ]}ในแง่หนึ่ง นี่คือทิศทางที่ง่ายของข้อสันนิษฐาน เนื่องจากสมมติว่ามีคำตอบสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่ยาก และได้ผลลัพธ์ทางพีชคณิตที่ค่อนข้างง่าย ความท้าทายที่สำคัญคือการพิสูจน์ทิศทางตรงกันข้าม นั่นคือเงื่อนไขทางพีชคณิตล้วนๆ บ่งบอกถึงการมีอยู่ของคำตอบสำหรับ PDE

เป็นที่ทราบกันมาตั้งแต่ผลงานดั้งเดิมของPierre DeligneและDavid Mumfordว่าเส้นโค้งพีชคณิต เรียบ มีเสถียรภาพเชิงอะซิมโทติกในแง่ของทฤษฎีตัวแปรทางเรขาคณิต และโดยเฉพาะอย่างยิ่งว่ามีเสถียรภาพแบบ K ^{[ 42 ]}ในบริบทนี้ ข้อสันนิษฐานของ Yau–Tian–Donaldson เทียบเท่ากับทฤษฎีบทการทำให้เป็นเอกรูปกล่าวคือ เส้นโค้งเรียบทุกเส้นยอมรับเมตริก Kähler–Einstein ที่มีความโค้งสเกลาร์คงที่ ไม่ว่าจะเป็นในกรณีของเส้นตรงเชิงโปรเจกทีฟในกรณีของเส้นโค้งวงรีหรือในกรณีของพื้นผิว Riemann ขนาดกะทัดรัดที่มีจีนัส${\displaystyle +1}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle g>1}$

บริบทที่กว้างขวางซึ่งทำให้เป็นแมนิโฟลด์ฟาโนนั้นมีความสำคัญเป็นพิเศษ และในบริบทนั้นมีเครื่องมือมากมายที่รู้จักกันดีในการตรวจสอบเสถียรภาพ K ของวาไรตี้ฟาโน ตัวอย่างเช่น การใช้เทคนิคทางพีชคณิตล้วนๆ สามารถพิสูจน์ได้ว่าไฮเปอร์เซอร์เฟซของเฟอร์มาต์ทั้งหมด${\displaystyle L=-K_{X}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle F_{n,d}=\{z\in \mathbb {CP} ^{n+1}\mid z_{0}^{d}+\cdots z_{n+1}^{d}=0\}\subset \mathbb {CP} ^{n+1}}$

เป็นพันธุ์ Fano ที่เสถียร K สำหรับ^{[ 43 ] [ 44 ] [ 45 ]}${\displaystyle 3\leq d\leq n+1}$

ความเสถียรของ K ได้รับการแนะนำครั้งแรกโดย Donaldson ในบริบทของวาไรตี้ทอริก [ ^{2 ] ใน}การตั้งค่าทอริก คำจำกัดความที่ซับซ้อนมากมายของความเสถียรของ K จะถูกทำให้ง่ายขึ้นโดยให้ข้อมูลเกี่ยวกับโพลีโทปโมเมนต์ของวาไรตี้ทอริกแบบโพลาไรซ์ก่อนอื่นเป็นที่ทราบกันว่าในการทดสอบความเสถียรของ K นั้น เพียงพอที่จะพิจารณาการกำหนดค่าทดสอบทอริกซึ่งปริภูมิทั้งหมดของการกำหนดค่าทดสอบก็เป็นวาไรตี้ทอริกเช่นกัน การกำหนดค่าทดสอบทอริกดังกล่าวสามารถอธิบายได้อย่างสง่างามโดยฟังก์ชันนูนบนโพลีโทปโมเมนต์ และ Donaldson ได้กำหนดความเสถียรของ K สำหรับฟังก์ชันนูนดังกล่าวไว้แต่เดิม หากการกำหนดค่าทดสอบทอริกสำหรับถูกกำหนดโดยฟังก์ชันนูนบนแล้วค่าคงที่ Donaldson-Futaki สามารถเขียนได้เป็น${\displaystyle P}$${\displaystyle (X_{P},L_{P})}$${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$${\displaystyle (X_{P},L_{P})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})={\frac {1}{2}}{\mathcal {L}}(f)={\frac {1}{2}}\left(\int _{\partial P}f\,d\sigma -a\int _{P}f\,d\mu \right),}$

โดยที่คือมาตรวัดเลเบสบน, คือมาตรวัดแคนอนิกบนขอบของ ที่เกิดขึ้นจากคำอธิบายของมันในฐานะโพลีโทปโมเมนต์ (ถ้าขอบของกำหนดโดยอสมการเชิงเส้นสำหรับฟังก์ชันเชิงเส้นแอฟฟิน h บางตัวบนที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม แล้ว) และนอกจากนี้ นอร์มของการกำหนดค่าทดสอบสามารถกำหนดได้โดย${\displaystyle d\mu }$${\displaystyle P}$${\displaystyle d\sigma }$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle h(x)\leq a}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle d\mu =\pm dh\wedge d\sigma }$${\displaystyle a=\operatorname {Vol} (\partial P,d\sigma )/\operatorname {Vol} (P,d\mu )}$

${\displaystyle \left\|({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\right\|=\left\|f-{\bar {f}}\right\|_{L^{2}},}$

โดยที่ค่าเฉลี่ยของบนเทียบกับคือ${\displaystyle {\bar {f}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle P}$${\displaystyle d\mu }$

โดนัลด์สันแสดงให้เห็นว่าสำหรับพื้นผิวทอริก การทดสอบฟังก์ชันนูนที่มีรูปแบบที่เรียบง่ายเป็นพิเศษก็เพียงพอแล้ว เรากล่าวว่าฟังก์ชันนูนบนพื้นผิวทอริกเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นแบบแบ่งส่วนหากสามารถเขียนได้เป็นค่าสูงสุดสำหรับฟังก์ชันเชิงเส้นแบบแอฟฟินบางตัวโปรดสังเกตว่าตามนิยามของค่าคงที่ตัวแปรโดนัลด์สัน-ฟูทากิจะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การบวกฟังก์ชันเชิงเส้นแบบแอฟฟิน ดังนั้นเราจึงสามารถเลือกหนึ่งในฟังก์ชันให้เป็นฟังก์ชันคงที่ได้ เสมอ เรากล่าวว่าฟังก์ชันนูนเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นแบบแบ่งส่วนที่เรียบง่ายหากเป็นค่าสูงสุดของฟังก์ชันสองฟังก์ชัน และกำหนดโดยสำหรับฟังก์ชันเชิงเส้นแบบแอฟฟินบางตัวและ เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น แบบแบ่งส่วนเชิงตรรกะที่เรียบง่ายหากมีสัมประสิทธิ์เชิงตรรกะ โดนัลด์สันแสดงให้เห็นว่าสำหรับพื้นผิวทอริก การทดสอบความเสถียรของ K เฉพาะกับฟังก์ชันเชิงเส้นแบบแบ่งส่วนเชิงตรรกะที่เรียบง่ายก็เพียงพอแล้ว ผลลัพธ์ดังกล่าวมีประสิทธิภาพอย่างมาก เนื่องจากสามารถคำนวณค่าคงที่ของ Donaldson-Futaki สำหรับการกำหนดค่าทดสอบที่เรียบง่ายดังกล่าวได้อย่างง่ายดาย และด้วยเหตุนี้จึงสามารถกำหนดได้ด้วยวิธีการคำนวณว่าพื้นผิวทอริกที่กำหนดนั้นมีเสถียรภาพแบบ K หรือไม่${\displaystyle P}$${\displaystyle f=\max(h_{1},\dots ,h_{n})}$${\displaystyle h_{1},\dots ,h_{n}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle {\mathcal {L}}(f)}$${\displaystyle h_{i}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle f=\max(0,h)}$${\displaystyle h}$${\displaystyle h}$

ตัวอย่างหนึ่งของแมนิโฟลด์ที่ไม่เสถียร K คือพื้นผิวทอริก ซึ่งเป็น พื้นผิว Hirzebruchแรกซึ่งเป็นการระเบิดของระนาบเชิงซ้อนแบบโปรเจคทีฟที่จุดหนึ่ง โดยสัมพันธ์กับโพลาไรเซชันที่กำหนดโดย โดยที่คือการระเบิด และคือตัวหารพิเศษ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}=\operatorname {Bl} _{0}\mathbb {CP} ^{2}}$${\textstyle L={\frac {1}{2}}(\pi ^{*}{\mathcal {O}}(2)-E)}$${\displaystyle \pi$ :\mathbb {F} _{1}\to \mathbb {CP} ^{2}} ${\displaystyle E}$

ขนาดบนหน้าตัดแนวนอนและแนวตั้งของรูปทรงหลายเหลี่ยมคือและ ตามลำดับ ส่วนขนาด บนหน้าตัดแนวทแยงกำหนดโดยพิจารณาฟังก์ชันนูนบนรูปทรงหลายเหลี่ยมนี้ แล้ว${\displaystyle d\sigma }$${\displaystyle dx}$${\displaystyle dy}$${\displaystyle x+y=2}$${\displaystyle (dx-dy)/2}$${\displaystyle f(x,y)=x+y}$

${\displaystyle \int _{P}f\,d\mu ={\frac {11}{6}},\qquad \int _{\partial P}f\,d\sigma =6,}$

และ

${\displaystyle \operatorname {Vol} (P,d\mu )={\frac {3}{2}},\qquad \operatorname {Vol} (\partial P,d\sigma )=5,}$

ดังนั้น

${\displaystyle {\mathcal {L}}(f)=6-{\frac {55}{9}}=-{\frac {1}{9}}<0,}$

ดังนั้น พื้นผิว Hirzebruch แรกจึงไม่เสถียรแบบ K${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$

เสถียรภาพ K เกิดขึ้นจากความคล้ายคลึงกับเกณฑ์ของฮิลเบิร์ต-มัมฟอร์ดสำหรับทฤษฎีตัวแปรทางเรขาคณิตในมิติจำกัด เป็นไปได้ที่จะใช้ทฤษฎีตัวแปรทางเรขาคณิตโดยตรงเพื่อหาแนวคิดอื่นๆ เกี่ยวกับเสถียรภาพสำหรับวาไรตี้ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับเสถียรภาพ K

พิจารณาวาไรตี้โพลาไรซ์ที่มีพหุนามฮิลเบิร์ตและกำหนดค่าคงที่ ที่ทำให้ มีพื้นที่กว้างขวางมากและมีโคฮอโมโลยีระดับสูงเป็นศูนย์ จากนั้นคู่สามารถระบุได้กับจุด ในแผนผังฮิลเบิร์ตของแผนผังย่อยของ ที่มีพหุนามฮิลเบิร์ต${\displaystyle (X,L)}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle L^{r}}$${\displaystyle (X,L^{r})}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{{\mathcal {P}}(r)-1}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}'(K)={\mathcal {P}}(Kr)}$

โครงร่างฮิลเบิร์ตนี้สามารถฝังลงในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟได้ในฐานะโครงร่างย่อยของกราสส์มันน์ (ซึ่งเป็นเชิงโปรเจกทีฟผ่านการฝังแบบพลึกเกอร์ ) กลุ่มเชิงเส้นทั่วไปกระทำต่อโครงร่างฮิลเบิร์ตนี้ และจุดสองจุดในโครงร่างฮิลเบิร์ตจะสมมูลกันก็ต่อเมื่อวาไรตีโพลาไรซ์ที่สอดคล้องกันเป็นไอโซมอร์ฟิก ดังนั้นจึงสามารถใช้ทฤษฎีตัวแปรทางเรขาคณิตสำหรับการกระทำของกลุ่มนี้เพื่อให้ได้แนวคิดเรื่องความเสถียร การสร้างนี้ขึ้นอยู่กับการเลือกค่าดังนั้นจึงกล่าวได้ว่าวาไรตีโพลาไรซ์มีความเสถียรแบบฮิลเบิร์ตเชิงอะซิมโทติกหากมีความเสถียรเมื่อเทียบกับการฝังนี้สำหรับค่า ที่มากพอทั้งหมด สำหรับค่าคงที่บางค่า${\displaystyle \operatorname {GL} ({\mathcal {P}}(r),\mathbb {C} )}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle r>r_{0}\gg 0}$${\displaystyle r_{0}}$

มีการฝังตัวเชิงโปรเจคทีฟอีกแบบหนึ่งของฮิลเบิร์ตสกีมที่เรียกว่าการฝังตัวแบบโชว์ ซึ่งให้การแปลงเชิงเส้นที่แตกต่างกันของฮิลเบิร์ตสกีม และด้วยเหตุนี้จึงมีเงื่อนไขเสถียรภาพที่แตกต่างกัน ดังนั้นจึงสามารถกำหนดเสถียรภาพแบบโชว์เชิงอะซิมโทติก ได้ในทำนองเดียวกัน กล่าว คือ น้ำหนักแบบโชว์สำหรับค่าคงที่สามารถคำนวณได้ดังนี้${\displaystyle r>0}$

${\displaystyle \operatorname {Chow} _{r}({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})={\frac {rb_{0}}{a_{0}}}-{\frac {w(r)}{{\mathcal {P}}(r)}}}$

สำหรับขนาดใหญ่พอสมควร^{[ 46 ]}ต่างจากค่าคงที่ Donaldson-Futaki น้ำหนัก Chow จะเปลี่ยนแปลงหากมัดเส้นถูกแทนที่ด้วยกำลังบางอย่างอย่างไรก็ตาม จากนิพจน์${\displaystyle r}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L^{k}}$

${\displaystyle \operatorname {Chow} _{rk}({\mathcal {X}},{\mathcal {L^{k}}})={\frac {krb_{0}}{a_{0}}}-{\frac {w(kr)}{{\mathcal {P}}(kr)}}}$

สังเกตได้ว่า

${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})=\lim _{k\to \infty }\operatorname {Chow} _{rk}({\mathcal {X}},{\mathcal {L^{k}}}),}$

ดังนั้น เสถียรภาพ K จึงเป็นขีดจำกัดของเสถียรภาพ Chow ในแง่หนึ่ง เมื่อมิติของปริภูมิเชิงฉายเข้าใกล้ค่าอนันต์${\displaystyle X}$

เราอาจกำหนดนิยามของภาวะกึ่งเสถียรแบบ Chow เชิงอะซิมโทติกและภาวะกึ่งเสถียรแบบ Hilbert เชิงอะซิมโทติกได้ในทำนองเดียวกัน และแนวคิดต่างๆ เกี่ยวกับความเสถียรมีความสัมพันธ์กันดังนี้:

เสถียรแบบชอว์เชิงอะซิมโทติก เสถียรแบบฮิลเบิร์ตเชิงอะซิมโทติกกึ่งเสถียรแบบฮิลเบิร์ตเชิงอะซิมโทติก กึ่งเสถียรแบบชอว์เชิงอะซิมโทติก กึ่งเสถียรแบบเค${\displaystyle \implies }$${\displaystyle \implies }$${\displaystyle \implies }$${\displaystyle \implies }$

อย่างไรก็ตาม ยังไม่เป็นที่ทราบแน่ชัดว่าเสถียรภาพ K หมายถึงเสถียรภาพ Chow แบบเชิงเส้นกำกับหรือไม่^{[ 47 ]}

เดิมที Yau ทำนายว่าแนวคิดที่ถูกต้องของเสถียรภาพสำหรับวาไรตี้ควรจะคล้ายคลึงกับเสถียรภาพความชันสำหรับเวกเตอร์บันเดิล Julius Ross และRichard Thomasได้พัฒนาทฤษฎีเสถียรภาพความชันสำหรับวาไรตี้ ซึ่งรู้จักกันในชื่อเสถียรภาพความชัน K Ross และ Thomas ได้แสดงให้เห็นว่าการกำหนดค่าทดสอบใด ๆ นั้นได้มาจากการเป่าวาไรตี้ตามลำดับของอุดมคติที่ไม่เปลี่ยนแปลงซึ่งรองรับบนไฟเบอร์กลาง^{[ 47 ]}ผลลัพธ์นี้เป็นผลมาจาก David Mumford เป็นหลัก^{[ 48 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การกำหนดค่าทดสอบทุกแบบจะถูกครอบงำโดยการเป่าตามอุดมคติของรูปแบบ${\displaystyle X\times \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle X\times \mathbb {C} }$

${\displaystyle I=I_{0}+tI_{1}+t^{2}I_{2}+\cdots +t^{r-1}I_{r-1}+(t^{r})\subset {\mathcal {O}}_{X}\otimes \mathbb {C} [t],}$

พิกัดบน อยู่ที่ไหนโดยการใช้ส่วนรองรับของอุดมคติ สิ่งนี้สอดคล้องกับการพองตัวตามธงของสับสกีม${\displaystyle t}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle Z_{r-1}\subset \cdots \subset Z_{2}\subset Z_{1}\subset Z_{0}\subset X}$

ภายในสำเนาของ. การแยกส่วนนี้ได้มาจากการแยกส่วนพื้นที่น้ำหนักของอุดมคติไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การกระทำเป็นหลัก${\displaystyle X\times \{0\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$

ในกรณีพิเศษที่แฟล็กของซับสกีมนี้มีความยาวหนึ่ง ค่าคงที่ของโดนัลด์สัน-ฟุตากิสามารถคำนวณได้ง่าย และจะได้ความเสถียรแบบ K-stability เมื่อกำหนดซับสกีมที่นิยามโดยชีฟในอุดมคติการกำหนดค่าทดสอบจะกำหนดโดย${\displaystyle Z\subset X}$${\displaystyle I_{Z}}$

${\displaystyle {\mathcal {X}}=\operatorname {Bl} _{Z\times \{0\}}(X\times \mathbb {C} ),}$

ซึ่งเป็นการเสียรูปของกรวยปกติของการฝังตัว${\displaystyle Z\hookrightarrow X}$

ถ้าความหลากหลายมีพหุนามฮิลเบิร์ตให้กำหนดความชันของ พหุนามฮิลเบิร์ ตเป็น${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)=a_{0}k^{n}+a_{1}k^{n-1}+O(k^{n-2})}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mu (X)={\frac {a_{1}}{a_{0}}}.}$

ในการกำหนดความชันของซับสกีมให้พิจารณาพหุนามฮิลเบิร์ต-ซามูเอลของซับสกีม${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z}$

${\displaystyle \chi (L^{r}\otimes I_{Z}^{xr})=a_{0}(x)r^{n}+a_{1}(x)r^{n-1}+O(r^{n-2}),}$

สำหรับและจำนวนตรรกยะ โดยที่สัมประสิทธิ์เป็นพหุนามในที่มีดีกรีและความชัน K ของเทียบกับถูกกำหนดโดย${\displaystyle r\gg 0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle xr\in \mathbb {N} }$${\displaystyle a_{i}(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n-i}$${\displaystyle I_{Z}}$${\displaystyle c}$

${\displaystyle \mu _{c}(I_{Z})={\frac {\int _{0}^{c}{\big (}a_{1}(x)+{\frac {a_{0}'(x)}{2}}{\big )}\,dx}{\int _{0}^{c}a_{0}(x)\,dx}}.}$

นิยามนี้สมเหตุสมผลสำหรับการเลือกจำนวนจริงใดๆโดยที่คือค่าคงที่ Seshadriของสังเกตว่าเมื่อใช้เราจะได้ความชันของคู่มีเสถียรภาพกึ่ง K ที่มีความชันถ้าสำหรับสับสคีมที่เหมาะสมทั้งหมดสำหรับทุก(เราสามารถกำหนดเสถียรภาพ K ที่มีความชันและเสถียรภาพหลาย K ที่มีความชันได้โดยการกำหนดให้ความไม่เท่าเทียมกันนี้เป็นแบบเข้มงวด พร้อมเงื่อนไขทางเทคนิคเพิ่มเติมบางประการ)${\displaystyle c\in (0,\epsilon (Z)]}$${\displaystyle \epsilon (Z)}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z=\emptyset }$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,L)}$${\displaystyle Z\subset X}$${\displaystyle \mu _{c}(I_{Z})\leq \mu (X)}$${\displaystyle c\in (0,\epsilon (Z)]}$

Ross และ Thomas ได้แสดงให้เห็นว่า K-semistability หมายถึง slope K-semistability ^{[ 49 ]}อย่างไรก็ตาม ต่างจากกรณีของเวกเตอร์บันเดิล ความชัน K-stability ไม่ได้หมายถึง K-stability เสมอไป ในกรณีของเวกเตอร์บันเดิล การพิจารณาเพียงซับชีฟเดี่ยวก็เพียงพอแล้ว แต่สำหรับวาไรตี้ จำเป็นต้องพิจารณาแฟล็กที่มีความยาวมากกว่าหนึ่งด้วย ถึงกระนั้น ความชัน K-stability ก็ยังสามารถใช้เพื่อระบุวาไรตี้ K-unstable ได้ และด้วยเหตุนี้ จากผลลัพธ์ของ Stoppa จึงทำให้เกิดอุปสรรคต่อการมีอยู่ของเมตริก cscK ตัวอย่างเช่น Ross และ Thomas ใช้ความชัน K-stability เพื่อแสดงว่าการสร้างโปรเจคทีฟของเวกเตอร์บันเดิลที่ไม่เสถียรเหนือฐาน K-stable นั้น K-unstable และดังนั้นจึงไม่มีเมตริก cscK นี่เป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับผลลัพธ์ของ Hong ซึ่งแสดงให้เห็นว่าการสร้างโปรเจคทีฟของบันเดิลที่เสถียรเหนือฐานที่มีเมตริก cscK นั้นก็มีเมตริก cscK เช่นกัน และดังนั้นจึงเป็น K-stable ^{[ 50 ]}

งานของ Apostolov–Calderbank–Gauduchon–Tønnesen-Friedman แสดงให้เห็นถึงการมีอยู่ของแมนิโฟลด์ที่ไม่ยอมรับเมตริกสุดขั้วใดๆ แต่ดูเหมือนว่าจะไม่เกิดความไม่เสถียรจากการกำหนดค่าทดสอบใดๆ^{[ 51 ]}สิ่งนี้ชี้ให้เห็นว่าคำจำกัดความของ K-stability ตามที่ระบุไว้ที่นี่อาจไม่แม่นยำเพียงพอที่จะบ่งชี้ถึงสมมติฐาน Yau–Tian–Donaldson โดยทั่วไป อย่างไรก็ตาม ตัวอย่างนี้ไม่เสถียรจากขีดจำกัดของการกำหนดค่าทดสอบ สิ่งนี้ได้รับการทำให้แม่นยำยิ่งขึ้นโดยSzékelyhidiผู้ซึ่งแนะนำfiltration K-stability [ ^{46 ] [ 23 ] การ}กรองในที่นี้คือการกรองของวงแหวนพิกัด

${\displaystyle R=\bigoplus _{k\geq 0}H^{0}(X,L^{k})}$

ของชนิดโพลาไรซ์การกรองที่พิจารณาจะต้องเข้ากันได้กับการจัดลำดับบนวงแหวนพิกัดในความหมายต่อไปนี้: การกรองของคือ โซ่ของปริภูมิย่อยมิติจำกัด${\displaystyle (X,L)}$${\displaystyle \chi }$${\displaystyle R}$

${\displaystyle \mathbb {C} =F_{0}R\subset F_{1}R\subset F_{2}R\subset \dots \subset R}$

โดยที่เงื่อนไขต่อไปนี้ต้องเป็นจริง:

1. การกรองเป็นการคูณนั่นคือสำหรับทุกๆ${\displaystyle (F_{i}R)(F_{j}R)\subset F_{i+j}R}$${\displaystyle i,j\geq 0}$
2. การกรอง นั้นสอดคล้องกับการจัดระดับที่มาจากชิ้นส่วนที่มีการจัดระดับกล่าวคือ ถ้าแล้วชิ้นส่วนที่เป็นเนื้อเดียวกันแต่ละชิ้นของจะอยู่ใน${\displaystyle R}$${\displaystyle R_{k}=H^{0}(X,L^{k})}$${\displaystyle f\in F_{i}R}$${\displaystyle f}$${\displaystyle F_{i}R}$
3. ระบบกรองไอเสียนั่นหมายความว่าเรามี...${\displaystyle R}$${\displaystyle \bigcup _{i\geq 0}F_{i}R=R}$

เมื่อกำหนดฟิลเทรชันแล้วพีชคณิตรีส์ของฟิลเทรชันนั้นจะถูกกำหนดโดย${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \operatorname {Rees} (\chi )=\bigoplus _{i\geq 0}(F_{i}R)t^{i}\subset R[t].}$

เรากล่าวว่าการกรองถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัดหากพีชคณิตรีสของมันถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัด เดวิด วิทท์ นีสตรอม ได้พิสูจน์แล้วว่าการกรองถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัดก็ต่อเมื่อมันเกิดขึ้นจากการกำหนดค่าทดสอบ และเซเกลีฮิดีได้พิสูจน์แล้วว่าการกรองใดๆ ก็ตามเป็นลิมิตของการกรองที่ถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัด^{[ 52 ]}เมื่อรวมผลลัพธ์เหล่านี้ เซเกลีฮิดีสังเกตว่าตัวอย่างของอโพสโตลอฟ-คาลเดอร์แบงก์-เกาดูชง-ทอนเนเซน-ฟรีดแมนจะไม่ละเมิดสมมติฐานของเยา-เทียน-โดนัลด์สัน หากความเสถียร K ถูกแทนที่ด้วยความเสถียร K ของการกรอง สิ่งนี้ชี้ให้เห็นว่าคำจำกัดความของความเสถียร K อาจจำเป็นต้องได้รับการแก้ไขเพื่อพิจารณาตัวอย่างจำกัดเหล่านี้