ในทางคณิตศาสตร์และโดยเฉพาะอย่างยิ่งเรขาคณิต เชิงซ้อน ฟังก์ชันMabuchiหรือฟังก์ชันพลังงาน Kเป็นฟังก์ชันบนพื้นที่ของศักยภาพ Kählerของแมนิโฟลด์ Kähler ขนาดกะทัดรัด ซึ่งจุดวิกฤตเป็นเมตริก Kähler ที่มีความโค้งสเกลาร์คงที่ ฟังก์ชัน Mabuchi ได้รับการแนะนำโดยToshiki Mabuchiในปี 1985 ในฐานะฟังก์ชันที่รวมอินวาเรียนต์ Futakiซึ่งเป็นอุปสรรคต่อการมีอยู่ของเมตริก Kähler–Einsteinบนแมนิโฟลด์ Fano ^{[ 1 ]}

ฟังก์ชัน Mabuchi เป็นการเปรียบเทียบของฟังก์ชัน log-norm ของแผนที่โมเมนต์ในทฤษฎีตัวแปรทางเรขาคณิตและการลดรูปเชิงซิมเพล็กติก [ ^{2 ] ฟังก์ชัน} Mabuchi ปรากฏในทฤษฎีK-stability ในฐานะฟังก์ชันเชิงวิเคราะห์ซึ่งแสดงลักษณะการมีอยู่ของเมตริก Kähler ที่มีความโค้งสเกลาร์คงที่ ความชันที่อนันต์ของฟังก์ชัน Mabuchi ตามรังสี จีโอเดสิกใดๆในปริภูมิของศักยภาพ Kähler จะได้รับจากตัวแปร Donaldson–Futakiของการกำหนดค่าทดสอบ ที่สอดคล้อง กัน

เนื่องจากเทคนิคแปรผันของ Berman–Boucksom–Jonsson ^{[ 3 ]}ในการศึกษาเมตริก Kähler–Einstein บนวาไรตี้ Fano ฟังก์ชัน Mabuchi และการวางนัยทั่วไปต่างๆ ของมันจึงมีความสำคัญอย่างยิ่งในการศึกษาเสถียรภาพ K ของวาไรตี้ Fanoโดยเฉพาะอย่างยิ่งในการตั้งค่าที่มีความผิดปกติ

ฟังก์ชัน Mabuchi ถูกกำหนดไว้บนพื้นที่ของศักยภาพ Kähler ภายในคลาสโคฮอโมโลยี Kähler ที่กำหนด ไว้บนแมนิโฟลด์เชิงซ้อนขนาด กะทัดรัด ^{[ 4 ]}ให้${\displaystyle (M,\omega )}$เป็นแมนิโฟลด์คาห์เลอร์ขนาดกะทัดรัดที่มีเมตริกคาห์เลอร์คงที่${\displaystyle \omega }$จากนั้นโดย${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-lemmaเมตริก Kähler อื่นๆ ในกลุ่ม${\displaystyle [\omega ]\in H_{\text{dR}}^{2}(M)}$ในโคฮอโมโลยีของเดอแรมอาจเกี่ยวข้องกับ${\displaystyle \omega }$โดยฟังก์ชันเรียบ${\displaystyle \varphi \in C^{\infty }(X)}$ศักยภาพของ Kähler:

${\displaystyle \omega _{\varphi }=\omega +i\partial {\bar {\partial }}\varphi .}$

เพื่อให้แน่ใจว่ารูปแบบสองมิติใหม่นี้เป็นเมตริกของ Kähler จะต้องเป็นรูปแบบบวก :

${\displaystyle \omega _{\varphi }>0.}$

เงื่อนไขทั้งสองนี้เป็นตัวกำหนดขอบเขตของศักยภาพคาห์เลอร์

${\displaystyle {\mathcal {K}}=\{\varphi :M\to \mathbb {R} \mid \varphi \in C^{\infty }(X),\quad \omega +i\partial {\bar {\partial }}\varphi >0\}.}$

เนื่องจากศักยภาพคาห์เลอร์สองตัวใดๆ ที่แตกต่างกันด้วยฟังก์ชันคงที่ กำหนดเมตริกคาห์เลอร์เดียวกัน ดังนั้นปริภูมิของเมตริกคาห์เลอร์ในคลาสนี้${\displaystyle [\omega ]}$สามารถระบุได้ด้วย${\displaystyle {\mathcal {K}}/\mathbb {R} }$ศักยภาพของ Kähler มอดูลฟังก์ชันคงที่ เราสามารถจำกัดเฉพาะศักยภาพของ Kähler ที่ทำให้เป็นมาตรฐานเพื่อให้ปริพันธ์ของพวกมันเหนือ${\displaystyle M}$หายไป

พื้นที่สัมผัสไปยัง${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {K}}}$สามารถระบุได้ว่าเป็นปริภูมิของฟังก์ชันค่าจริงเรียบบน${\displaystyle M}$. อนุญาต${\displaystyle S_{\varphi }}$แทนความโค้งสเกลาร์ของเมตริกแบบรีมันน์ที่สอดคล้องกับ${\displaystyle \omega _{\varphi }}$และปล่อยให้${\displaystyle {\hat {S}}}$แสดงถึงค่าเฉลี่ยของความโค้งสเกลาร์นี้ในช่วงเวลา${\displaystyle M}$ซึ่งไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกของ${\displaystyle \varphi }$โดยทฤษฎีบทของสโตกส์นิยามรูปแบบหนึ่ง เชิงอนุพันธ์ บนปริภูมิของศักยภาพคาห์เลอร์โดย

${\displaystyle \alpha _{\varphi }(\psi )=\int _{M}\psi ({\hat {S}}-S_{\varphi })\omega _{\varphi }^{n}.}$

รูปแบบเดียวนี้ปิดแล้ว^{[ 4 ]}เนื่องจาก${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {K}}}$เป็นพื้นที่ที่หดตัวได้รูปแบบเดียวนี้แม่นยำและมีฟังก์ชันอยู่${\displaystyle {\mathcal {M}}:{\mathcal {K}}\to \mathbb {R} }$ทำให้เป็นมาตรฐานเพื่อให้${\displaystyle {\mathcal {M}}(0)=0}$โดยที่${\displaystyle d{\mathcal {M}}=\alpha }$ฟังก์ชันมาบุจิหรือพลังงาน K

ฟังก์ชันมาบุจิมีคำอธิบายที่ชัดเจนซึ่งได้มาจากการรวมรูปแบบหนึ่งเข้าด้วยกัน${\displaystyle \alpha }$ตามเส้นทางนั้น ปล่อยให้${\displaystyle \varphi _{0}}$เป็นศักยภาพคาห์เลอร์คงที่ ซึ่งอาจถือได้ว่าเป็น${\displaystyle \varphi _{0}=0}$และปล่อยให้${\displaystyle \varphi _{1}=\varphi }$, และ${\displaystyle \varphi _{t}}$เป็นเส้นทางใน${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {K}}}$จาก${\displaystyle \varphi _{0}}$ถึง${\displaystyle \varphi _{1}}$. แล้ว

${\displaystyle {\mathcal {M}}(\varphi )=\int _{0}^{1}\int _{M}{\dot {\varphi }__{t}({\hat {S}}-S_{\varphi _{t}})\omega _{\varphi _{t}}^{n}dt.}$

สามารถแสดงให้เห็นได้ว่าปริพันธ์นี้ไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกเส้นทาง${\displaystyle \varphi _{t}}$.

จากนิยามของฟังก์ชันมาบุจิในแง่ของรูปแบบเดียว${\displaystyle \alpha }$จะเห็นได้ว่าสำหรับศักยภาพของ Kähler${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {K}}}$การเปลี่ยนแปลง

${\displaystyle \left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}{\mathcal {M}}(\varphi +t\psi )=\int _{M}\psi ({\hat {S}}-S_{\varphi })\omega _{\varphi }^{n}}$

หายไปสำหรับเวกเตอร์สัมผัสทั้งหมด${\displaystyle \psi \in C^{\infty }(M)}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle {\hat {S}}=S_{\varphi }}$นั่นคือ จุดวิกฤตของฟังก์ชัน Mabuchi คือศักยภาพ Kähler ที่มีความโค้งสเกลาร์คงที่^{[ 4 ]}