การพิสูจน์ทางสถิติคือการแสดงให้เห็นอย่างมีเหตุผลถึงระดับความแน่นอนของข้อเสนอสมมติฐานหรือทฤษฎีที่ใช้ในการโน้มน้าวผู้อื่นหลังจากการทดสอบทางสถิติ ของ หลักฐานสนับสนุนและประเภทของการอนุมานที่สามารถดึงได้จากคะแนนการทดสอบ วิธีการทางสถิติใช้เพื่อเพิ่มความเข้าใจในข้อเท็จจริง และการพิสูจน์แสดงให้เห็นถึงความถูกต้องและตรรกะของการอนุมานโดยอ้างอิงอย่างชัดเจนถึงสมมติฐานข้อมูลการทดลองข้อเท็จจริง การทดสอบ และอัตราต่อรองการพิสูจน์มีเป้าหมายที่สำคัญสองประการ ประการแรกคือการโน้มน้าว และประการที่สองคือการอธิบายข้อเสนอผ่านการตรวจสอบโดยผู้เชี่ยวชาญและสาธารณชน^{[ 1 ]}

ภาระการพิสูจน์ขึ้นอยู่กับการประยุกต์ใช้วิธีการทางสถิติที่แสดงให้เห็นได้ การเปิดเผยสมมติฐาน และความเกี่ยวข้องของการทดสอบกับความเข้าใจที่แท้จริงของข้อมูลที่เกี่ยวข้องกับโลกภายนอก มีผู้สนับสนุนปรัชญาการอนุมานทางสถิติที่แตกต่างกันหลายแบบ เช่นทฤษฎีบทของเบย์สเทียบกับฟังก์ชันความน่าจะเป็นหรือลัทธิปฏิ ฐานนิยม เทียบกับลัทธิเหตุผลนิยมเชิงวิพากษ์วิธีการให้เหตุผลเหล่านี้มีผลโดยตรงต่อการพิสูจน์ทางสถิติและการตีความในปรัชญาวิทยาศาสตร์ที่กว้างขึ้น^{[ 1 ] [ 2 ]}

การแบ่งแยกทั่วไประหว่างวิทยาศาสตร์และไม่ใช่วิทยาศาสตร์คือการ พิสูจน์ความเท็จ แบบสมมติฐาน-อนุมานที่พัฒนาโดยKarl Popperซึ่งเป็นแนวปฏิบัติที่ได้รับการยอมรับอย่างดีในประเพณีของสถิติ อย่างไรก็ตาม โหมดการอนุมานอื่นๆ อาจรวมถึงโหมดการพิสูจน์แบบอุปมานและ อนุมานแบบ อนุมาน^{[ 3 ]}นักวิทยาศาสตร์ไม่ได้ใช้การพิสูจน์ทางสถิติเป็นวิธีการเพื่อให้ได้มาซึ่งความแน่นอน แต่เพื่อพิสูจน์ความเท็จของข้ออ้างและอธิบายทฤษฎี วิทยาศาสตร์ไม่สามารถบรรลุความแน่นอนอย่างสมบูรณ์ได้ และไม่ใช่การก้าวไปสู่ความจริงที่เป็นกลางอย่างต่อเนื่อง ดังที่ความหมายทั่วไปของคำว่า "การพิสูจน์" เมื่อเทียบกับความหมายทางวิทยาศาสตร์อาจบ่งบอก การพิสูจน์ทางสถิติเสนอการพิสูจน์ความเท็จของทฤษฎีชนิดหนึ่ง และเป็นวิธีการเรียนรู้แบบฮิวริสติกผ่านการทดลองทางสถิติซ้ำๆ และข้อผิดพลาดในการทดลอง^{[ 2 ]}การพิสูจน์ทางสถิติยังมีการประยุกต์ใช้ในเรื่องทางกฎหมายซึ่งมีผลต่อภาระการพิสูจน์ทางกฎหมาย^{[ 4 ​​]}

มีสัจพจน์ สองประเภท 1) ข้อตกลงที่ถือว่าเป็นจริงซึ่งควรหลีกเลี่ยงเพราะไม่สามารถทดสอบได้ และ 2) สมมติฐาน^{[ 5 ]}การพิสูจน์ในทฤษฎีความน่าจะเป็นสร้างขึ้นจากสัจพจน์สี่ข้อที่พัฒนาขึ้นในช่วงปลายศตวรรษที่ 17:

1. ความน่าจะเป็นของสมมติฐานคือจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ:${\displaystyle {\bigg \{}\Pr(h)\geqq 0{\bigg \}}}$;
2. ความน่าจะเป็นของความจริงที่จำเป็นเท่ากับหนึ่ง:${\displaystyle {\bigg \{}\Pr(t)=1{\bigg \}}}$;
3. ถ้าสมมติฐาน h และ h เป็นสมมติฐานที่ไม่เกิดขึ้นพร้อมกัน ผลรวมของความน่าจะเป็นของสมมติฐานทั้งสองจะเท่ากับความน่าจะเป็นของการเกิดสมมติฐาน ทั้งสอง นั้น${\displaystyle {\bigg \{}\Pr \left(h_{1}\right)+\Pr \left(h_{2}\right)=\Pr \left(h_{1}orh_{2}\right){\bigg \}}}$;
4. ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของ h เมื่อกำหนดให้ h ${\displaystyle {\Bigg \{}\Pr(h_{1}|h_{2}){\Bigg \}}}$เท่ากับความน่าจะเป็นแบบไม่มีเงื่อนไข${\displaystyle {\bigg \{}\Pr(h_{1}\And h_{2}){\bigg \}}}$ของการเชื่อมโยง h และ h หารด้วยความน่าจะเป็นแบบไม่มีเงื่อนไข${\displaystyle {\bigg \{}\Pr(h_{2}){\bigg \}}}$ของ h ซึ่งความน่าจะเป็นนั้นเป็นบวก${\displaystyle {\bigg \{}\Pr(h_{1}|h_{2})={\frac {\Pr(h_{1}\And h_{2})}{\Pr(h_{2})}}{\bigg \}}}$, ที่ไหน${\displaystyle {\bigg \{}\Pr(h_{2})>0{\bigg \}}}$.

สัจพจน์ข้างต้นให้การพิสูจน์ทางสถิติและพื้นฐานสำหรับกฎแห่งความสุ่ม หรือโอกาสเชิงวัตถุวิสัย ซึ่งเป็นจุดเริ่มต้นของทฤษฎีทางสถิติสมัยใหม่ อย่างไรก็ตาม ข้อมูลจากการทดลองไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าสมมติฐาน (h) เป็นจริง แต่ต้องอาศัยการอนุมานแบบอุปนัยโดยการวัดความน่าจะเป็นของสมมติฐานเทียบกับข้อมูลเชิงประจักษ์ การพิสูจน์อยู่ที่การสาธิตอย่างมีเหตุผลโดยใช้ตรรกะของการอนุมานคณิตศาสตร์การทดสอบและการให้เหตุผลแบบนิรนัย ของความสำคัญ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 6 ]}

คำว่าproofสืบเนื่องมาจากรากศัพท์ภาษาละติน (provable, probable, probare L.) ซึ่งหมายถึงการทดสอบ [ ^{7 ] [ 8 ] ดังนั้น} proof จึงเป็นรูปแบบหนึ่งของการอนุมานโดยใช้การทดสอบทางสถิติ การทดสอบทางสถิติถูกกำหนดขึ้นจากแบบจำลองที่สร้างการแจกแจงความน่าจะเป็น ตัวอย่างของการแจกแจงความน่าจะเป็นอาจรวมถึง การแจกแจง แบบไบนารีแบบปกติหรือแบบปัวซงซึ่งให้คำอธิบายที่แม่นยำของตัวแปรที่ประพฤติตามกฎธรรมชาติของโอกาสแบบสุ่มเมื่อ ใช้ การทดสอบทางสถิติกับตัวอย่างของประชากร การทดสอบจะกำหนดว่าสถิติของตัวอย่างแตกต่างจากแบบจำลองว่าง ที่สมมติไว้อย่างมี นัยสำคัญหรือไม่ ค่าที่แท้จริงของประชากร ซึ่งไม่สามารถทราบได้ในทางปฏิบัติ เรียกว่าพารามิเตอร์ของประชากร นักวิจัยสุ่มตัวอย่างจากประชากร ซึ่งให้ค่าประมาณของพารามิเตอร์ เพื่อคำนวณค่าเฉลี่ยหรือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน หากสุ่มตัวอย่างประชากรทั้งหมด ค่าเฉลี่ยและค่าการแจกแจงของสถิติตัวอย่างจะบรรจบกับการแจกแจงแบบพารามิเตอร์^{[ 9 ]}

การใช้วิธีการทางวิทยาศาสตร์ของการพิสูจน์ความเท็จ ค่าความน่าจะเป็นที่สถิติของตัวอย่างแตกต่างจากแบบจำลองว่างมากเกินกว่าที่จะอธิบายได้ด้วยโอกาสเพียงอย่างเดียวจะถูกกำหนดไว้ก่อนการทดสอบ นักสถิติส่วนใหญ่กำหนดค่าความน่าจะเป็นล่วงหน้าไว้ที่ 0.05 หรือ 0.1 ซึ่งหมายความว่าหากสถิติของตัวอย่างเบี่ยงเบนจากแบบจำลองพาราเมตริกมากกว่า 5 (หรือ 10) ครั้งจาก 100 ครั้ง ความคลาดเคลื่อนนั้นไม่น่าจะอธิบายได้ด้วยโอกาสเพียงอย่างเดียว และสมมติฐานว่างจะถูกปฏิเสธ แบบจำลองทางสถิติให้ผลลัพธ์ที่แน่นอนของพาราเมตริกและการประมาณค่าสถิติของตัวอย่าง ดังนั้นภาระการพิสูจน์จึงตกอยู่กับสถิติของตัวอย่างที่ให้การประมาณค่าของแบบจำลองทางสถิติ แบบจำลองทางสถิติประกอบด้วยการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ของค่าพาราเมตริกและการแจกแจงความน่าจะเป็น^{[ 10 ] [ 11 ]}

สถิติแบบเบย์เซียนนั้นอิงอยู่บนแนวคิดเชิงปรัชญาที่แตกต่างออกไปสำหรับการพิสูจน์การอนุมานสูตรทางคณิตศาสตร์สำหรับทฤษฎีบทของเบย์เซียนคือ:

${\displaystyle Pr[Parameter|Data]={\frac {Pr[Data|Parameter]\times Pr[Parameter]}{Pr[Data]}}}$

สูตรนี้อ่านได้ว่า ความน่าจะเป็นของพารามิเตอร์ (หรือสมมติฐาน= hตามที่ใช้ในสัญลักษณ์ของสัจพจน์ ) “เมื่อกำหนด” ข้อมูล (หรือการสังเกตเชิงประจักษ์) โดยที่เส้นแนวนอนหมายถึง “เมื่อกำหนด” ด้านขวามือของสูตรคำนวณความน่าจะเป็นก่อนหน้าของแบบจำลองทางสถิติ (Pr [พารามิเตอร์]) ด้วยความน่าจะเป็น (Pr [ข้อมูล | พารามิเตอร์]) เพื่อสร้างการแจกแจงความน่าจะเป็นภายหลังของพารามิเตอร์ (Pr [พารามิเตอร์ | ข้อมูล]) ความน่าจะเป็นภายหลังคือความน่าจะเป็นที่พารามิเตอร์ถูกต้องเมื่อกำหนดจากข้อมูลที่สังเกตได้หรือสถิติของตัวอย่าง^{[ 12 ]}สามารถเปรียบเทียบสมมติฐานได้โดยใช้การอนุมานแบบเบย์เซียนโดยใช้ปัจจัยเบย์ ซึ่งเป็นอัตราส่วนของอัตราต่อรองภายหลังต่ออัตราต่อรองก่อนหน้า มันให้การวัดข้อมูลและว่ามันเพิ่มหรือลดความน่าจะเป็นของสมมติฐานหนึ่งเมื่อเทียบกับอีกสมมติฐานหนึ่งหรือไม่^{[ 13 ]}

การพิสูจน์ทางสถิติคือการสาธิตแบบเบย์เซียนที่แสดงให้เห็นว่าสมมติฐานหนึ่งมีโอกาสเกิดขึ้นสูงกว่า (อ่อน แข็งแกร่ง เป็นบวก) ^{[ 13 ]}มีการถกเถียงกันอย่างมากว่าวิธีการแบบเบย์เซียนสอดคล้องกับวิธีการพิสูจน์ความเท็จของ Karl Popper หรือไม่ โดยบางคนเสนอว่า "...ไม่มีสิ่งใดที่เรียกว่า 'การยอมรับ' สมมติฐานเลย สิ่งที่เราทำในวิทยาศาสตร์คือการกำหนดระดับความเชื่อ..." ^{[ 14 ] : 180}ตามที่ Popper กล่าว สมมติฐานที่ผ่านการทดสอบและยังไม่ถูกพิสูจน์ว่าเท็จนั้นไม่ได้ถูกตรวจสอบ แต่ได้รับการยืนยันนักวิจัยบางคนเสนอว่าการแสวงหาการยืนยันของ Popper บนพื้นฐานของความน่าจะเป็นทำให้ปรัชญาของเขาสอดคล้องกับแนวทางแบบเบย์เซียน ในบริบทนี้ ความน่าจะเป็นของสมมติฐานหนึ่งเมื่อเทียบกับอีกสมมติฐานหนึ่งอาจเป็นดัชนีของการยืนยัน ไม่ใช่การยืนยัน และได้รับการพิสูจน์ทางสถิติผ่านมาตรฐานที่เป็นกลางอย่างเข้มงวด^{[ 6 ] [ 15 ]}

หลักฐานทางสถิติในกระบวนการทางกฎหมายสามารถแบ่งออกเป็น 3 ประเภท ดังนี้:

1. การเกิดขึ้นของเหตุการณ์ การกระทำ หรือพฤติกรรมประเภทใดประเภทหนึ่ง
2. ระบุตัวตนของบุคคลที่รับผิดชอบ
3. เจตนาหรือความรับผิดชอบทางจิตวิทยา^{[ 16 ]}

หลักฐานทางสถิติไม่ได้ถูกนำมาใช้ในการตัดสินใจเกี่ยวกับกระบวนการทางกฎหมายของสหรัฐอเมริกาอย่างสม่ำเสมอจนกระทั่งช่วงกลางทศวรรษ 1970 หลังจากคดีสำคัญเกี่ยวกับการเลือกปฏิบัติโดยคณะลูกขุนในคดีCastaneda v. Partidaศาลฎีกาสหรัฐฯ ตัดสินว่าความแตกต่างทางสถิติที่ร้ายแรงถือเป็น " หลักฐาน เบื้องต้น " ของการเลือกปฏิบัติ ส่งผลให้ภาระการพิสูจน์เปลี่ยนจากโจทก์ไปเป็นจำเลย นับตั้งแต่คำตัดสินนั้น หลักฐานทางสถิติได้ถูกนำมาใช้ในคดีอื่นๆ อีกมากมายเกี่ยวกับความไม่เท่าเทียม การเลือกปฏิบัติ และหลักฐานดีเอ็นเอ^{[ 4 ] [ 17 ] [ 18 ]}อย่างไรก็ตาม ไม่มีความสอดคล้องกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างหลักฐานทางสถิติและภาระการพิสูจน์ทางกฎหมาย "ศาลฎีกาได้ระบุว่าระดับความเข้มงวดที่จำเป็นในกระบวนการค้นหาข้อเท็จจริงของกฎหมายและวิทยาศาสตร์ไม่จำเป็นต้องสอดคล้องกัน" ^{[ 18 ] : 1533}

ในตัวอย่างคำพิพากษาประหารชีวิต ( McCleskey v. Kemp ^{[ nb 2 ]} ) ที่เกี่ยวข้องกับการเลือกปฏิบัติทางเชื้อชาติ ผู้ร้องซึ่งเป็นชายผิวดำชื่อ McCleskey ถูกตั้งข้อหาฆาตกรรมเจ้าหน้าที่ตำรวจผิวขาวระหว่างการปล้น พยานผู้เชี่ยวชาญของ McCleskey ได้นำเสนอหลักฐานทางสถิติที่แสดงให้เห็นว่า "จำเลยที่ถูกตั้งข้อหาฆ่าเหยื่อผิวขาวมีโอกาสได้รับโทษประหารชีวิตมากกว่าจำเลยที่ถูกตั้งข้อหาฆ่าคนผิวดำถึง 4.3 เท่า" ^{[ 19 ] : 595}อย่างไรก็ตาม สถิติดังกล่าวไม่เพียงพอ "ที่จะพิสูจน์ว่าผู้มีอำนาจตัดสินใจในคดีของเขาได้กระทำการโดยมีเจตนาเลือกปฏิบัติ" ^{[ 19 ] : 596}นอกจากนี้ยังมีการโต้แย้งว่ามี "ข้อจำกัดโดยธรรมชาติของหลักฐานทางสถิติ" ^{[ 19 ] : 596}เนื่องจากไม่ได้อ้างอิงถึงรายละเอียดเฉพาะของแต่ละบุคคล แม้ว่าจะมีการแสดงให้เห็นทางสถิติว่ามีโอกาสเกิดการเลือกปฏิบัติเพิ่มขึ้น แต่ภาระการพิสูจน์ทางกฎหมาย (มีการโต้แย้ง) จะต้องได้รับการตรวจสอบเป็นรายกรณี^{[ 19 ]}

• การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์
• การวิเคราะห์ข้อมูล