ในพลศาสตร์ของไหลคลื่นสโตกส์เป็นคลื่นผิวน้ำแบบไม่เชิงเส้น และ เป็นคาบ บน ชั้น ของไหลที่ไม่มีความหนืดและมีความลึกเฉลี่ยคงที่ การสร้างแบบจำลองประเภทนี้มีต้นกำเนิดมาจากช่วงกลางศตวรรษที่ 19 เมื่อเซอร์ จอร์จ สโตกส์ใช้ แนวทาง อนุกรมการรบกวนซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อการขยายสโตกส์เพื่อหาคำตอบโดยประมาณสำหรับการเคลื่อนที่ของคลื่นแบบไม่เชิงเส้น

ทฤษฎีคลื่นของ Stokesมีประโยชน์ในทางปฏิบัติโดยตรงสำหรับคลื่นในน้ำระดับกลางและน้ำลึก ใช้ในการออกแบบโครงสร้างชายฝั่งและ นอกชายฝั่ง เพื่อกำหนดจลนศาสตร์ ของคลื่น ( ระดับความสูง ของผิวน้ำและความเร็วการไหล ) จลนศาสตร์ของคลื่นมีความจำเป็นในกระบวนการออกแบบเพื่อกำหนดภาระของคลื่นบนโครงสร้าง^{[ 2 ]}สำหรับคลื่นยาว (เมื่อเทียบกับความลึก) – และใช้เพียงไม่กี่พจน์ในการขยายของ Stokes – การใช้งานจะจำกัดเฉพาะคลื่นที่มีแอมพลิจูด เล็ก ในน้ำตื้นเช่นนี้ ทฤษฎี คลื่นแบบ cnoidalมักให้การประมาณคลื่นเป็นคาบที่ดีกว่า

ในขณะที่ในความหมายที่แท้จริงคลื่นสโตกส์หมายถึงคลื่นคาบแบบก้าวหน้าที่มีรูปแบบถาวร คำนี้ยังใช้ในบริบทของคลื่นนิ่ง^{[ 3 ]}และแม้แต่คลื่นสุ่ม^{[ 4 ] [ 5 ]}

ตัวอย่างด้านล่างนี้อธิบายถึงคลื่นสโตกส์ภายใต้แรงโน้มถ่วง (โดยไม่รวม ผลกระทบ จากแรงตึงผิว ) ในกรณีของการเคลื่อนที่ของคลื่นบริสุทธิ์ กล่าวคือไม่มีกระแสน้ำเฉลี่ยโดยรอบ

ตามทฤษฎีลำดับที่สามของ Stokes ระดับความสูงของผิวน้ำอิสระη ศักยภาพความเร็ว Φ ความเร็วเฟส (หรือความเร็ว) cและเฟสคลื่นθ สำหรับคลื่นแรงโน้มถ่วงบนผิวน้ำที่เคลื่อนที่ไปข้างหน้า ในน้ำลึก – กล่าวคือชั้นของไหลมีความลึกอนันต์: ^{[ 6 ]} โดยที่ $${\displaystyle {\begin{aligned}\eta (x,t)=&a\left\{\left[1+{\tfrac {1}{8}}(ka)^{2}\right]\cos \theta +{\tfrac {1}{2}}(ka)\,\cos 2\theta +{\tfrac {3}{8}}(ka)^{2}\,\cos 3\theta \right\}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right),\\\Phi (x,z,t)=&a{\sqrt {\frac {g}{k}}}\,{\text{e}}^{kz}\,\sin \theta +{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right),\\c=&{\frac {\omega }{k}}=\left(1+{\tfrac {1}{2}}(ka)^{2}\right)\,{\sqrt {\frac {g}{k}}}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right),{\text{ และ}}\\\theta (x,t)=&kx-\omega t,\end{aligned}}}$$

• xคือพิกัดแนวนอน;
• zคือพิกัดแนวตั้ง โดยทิศทางบวกของ zชี้ขึ้นด้านบน ซึ่งตรงข้ามกับทิศทางของแรงโน้มถ่วงของโลกและz  = 0 สอดคล้องกับระดับความสูงเฉลี่ย ของพื้นผิวโลก
• tคือเวลา;
• a คือ แอมพลิจูดของคลื่นอันดับแรก;
• kคือเลขคลื่นเชิงมุมk = 2 π / λโดยที่λคือความยาวคลื่น
• ωคือความถี่เชิงมุม , ω = 2 π / τโดยที่τคือคาบและ
• gคือความแรงของแรงโน้มถ่วงของโลก ซึ่งเป็นค่าคงที่ในการประมาณนี้

พารามิเตอร์การขยายตัวkaเรียกว่าความชันของคลื่น ความเร็วเฟสจะเพิ่มขึ้นเมื่อความไม่เป็นเชิงเส้นkaของคลื่น เพิ่มขึ้น ความสูงของคลื่นHซึ่งเป็นความแตกต่างระหว่างระดับความสูงของพื้นผิวηที่ยอดคลื่นและท้องคลื่นคือ: ^{[ 7 ]}$${\displaystyle H=2a\,\left(1+{\tfrac {1}{2}}\,k^{2}a^{2}\right).}$$

โปรดทราบว่าพจน์ลำดับที่สองและสามในศักยภาพความเร็ว Φ เป็นศูนย์ เฉพาะที่ลำดับที่สี่เท่านั้นที่การมีส่วนร่วมที่เบี่ยงเบนจากทฤษฎีลำดับแรก – เช่นทฤษฎีคลื่น Airy – จะปรากฏขึ้น^{[ 6 ]}จนถึงลำดับที่สามสนาม ความเร็ววงโคจร u  =  ∇ Φ ประกอบด้วยการเคลื่อนที่แบบวงกลมของเวกเตอร์ความเร็วที่แต่ละตำแหน่ง ( x , z ) ส่งผลให้ระดับความสูงของผิวน้ำของคลื่นน้ำลึกโดยประมาณเป็นแบบโทรคอยดัลดังที่Stokes (1847) ได้กล่าวไว้ แล้ว^{[ 8 ]}

สโตกส์สังเกตเพิ่มเติมว่า แม้ว่า (ใน คำอธิบายแบบ ออยเลอร์ นี้ ) สนามความเร็ววงโคจรลำดับที่สามจะประกอบด้วยการเคลื่อนที่แบบวงกลมในแต่ละจุด แต่ เส้นทางลาก รางจ์ของอนุภาคของไหลไม่ได้เป็นวงกลมปิด เนื่องจากแอมพลิจูดความเร็วลดลงเมื่อความลึกใต้พื้นผิวเพิ่มขึ้น การเคลื่อนที่แบบลากรางจ์ของอนุภาคของไหลนี้เรียกว่าการเคลื่อนที่แบบสโตกส์^{[ 8 ]}

ระดับความสูงของพื้นผิวηและศักยภาพความเร็ว Φ ตามทฤษฎีลำดับที่สองของ Stokes เกี่ยวกับคลื่นแรงโน้มถ่วงบนพื้นผิวบนชั้นของไหลที่มีความลึกเฉลี่ยhคือ: ^{[ 6 ] [ 9 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\eta (x,t)=&a\left\{\cos \,\theta +ka\,{\frac {3-\sigma ^{2}}{4\,\sigma ^{3}}}\,\cos \,2\theta \right\}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{3}\right),\\\Phi (x,z,t)=&a\,{\frac {\omega }{k}}\,{\frac {1}{\sinh \,kh}}\\&\times \left\{\cosh \,k(z+h)\sin \,\theta +ka\,{\frac {3\cosh \,2k(z+h)}{8\,\sinh ^{3}\,kh}}\,\sin \,2\theta \right\}\\&-(กะ)^{2}\,{\frac {1}{2\,\sinh \,2kh}}\,{\frac {g\,t}{k}}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{3}\right),\\c=&{\frac {\omega }{k}}={\sqrt {{\frac {g}{k}}\,\sigma }}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{2}\right),\\\sigma =&\tanh \,kh\quad {\text{and}}\quad \theta (x,t)=kx-\omega t.\end{aligned}}}$$

สังเกตว่าสำหรับความลึกที่จำกัด ศักยภาพความเร็ว Φ ประกอบด้วยการเลื่อนเชิงเส้นตามเวลา โดยไม่ขึ้นอยู่กับตำแหน่ง ( xและz ) ทั้งการเลื่อนตามเวลาและพจน์ความถี่สองเท่า (ที่มี sin 2θ) ใน Φ จะหายไปสำหรับคลื่นในน้ำลึก

อัตราส่วนSของแอมพลิจูดพื้นผิวอิสระที่อันดับสองและอันดับแรก – ตามทฤษฎีอันดับสองของ Stokes – คือ: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle {\mathcal {S}}=ka\,{\frac {3-\tanh ^{2}\,kh}{4\,\tanh ^{3}\,kh}}.}$$

ในน้ำลึก สำหรับ ค่า kh ขนาดใหญ่ อัตราส่วนSจะมีค่าเข้าใกล้เส้นกำกับ$${\displaystyle \lim _{kh\to \infty }{\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\,ka.}$$

สำหรับคลื่นยาว กล่าวคือkh เล็ก อัตราส่วนSจะมีพฤติกรรมเป็น หรือ ในแง่ของความสูงคลื่นH = 2a และความยาวคลื่นλ = 2π / k : โดยที่$${\displaystyle \lim _{kh\to 0}{\mathcal {S}}={\frac {3}{4}}\,{\frac {ka}{(kh)^{3}}},}$$$${\displaystyle \lim _{kh\to 0}{\mathcal {S}}={\frac {3}{32\,\pi ^{2}}}\,{\frac {H\,\lambda ^{2}}{h^{3}}}={\frac {3}{32\,\pi ^{2}}}\,{\mathcal {U}},}$$$${\displaystyle {\mathcal {U}}\equiv {\frac {H\,\lambda ^{2}}{h^{3}}}.}$$

ในที่นี้Uคือพารามิเตอร์ Ursell (หรือพารามิเตอร์ Stokes) สำหรับคลื่นยาว ( λ ≫ h ) ที่มีความสูง Hน้อยกล่าวคือU ≪ 32π ^2/3 ≈ 100ทฤษฎี Stokes อันดับสองจะเหมาะสมกว่า มิฉะนั้น สำหรับคลื่นที่ค่อนข้างยาว ( λ > 7 h ) ที่มีความสูงH มากพอสมควร คำอธิบาย คลื่นcnoidalจะเหมาะสมกว่า^{[ 6 ]}ตามที่ Hedges กล่าว ทฤษฎี Stokes อันดับห้าจะเหมาะสมกว่าสำหรับU < 40และมิฉะนั้น ทฤษฎี คลื่น cnoidal อันดับห้า จะเหมาะสมกว่า^{[ 10 ] [ 11 ]}

สำหรับคลื่นสโตกส์ภายใต้แรงโน้มถ่วงความสัมพันธ์การกระจาย ลำดับที่สาม คือ – ตามคำจำกัดความแรกของความเร็วของสโตกส์ : ^{[ 9 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\omega ^{2}&=\left(gk\,\tanh \,kh\right)\;\left\{1+{\frac {9-10\,\sigma ^{2}+9\,\sigma ^{4}}{8\,\sigma ^{4}}}\,(ka)^{2}\right\}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right),\\&\qquad {\text{with}}\\\sigma &=\tanh \,kh.\end{aligned}}}$$

ความสัมพันธ์การกระจายตัวอันดับที่สามนี้เป็นผลโดยตรงจากการหลีกเลี่ยงพจน์ที่ไม่คงที่เมื่อแทรกผลเฉลยของสโตกส์อันดับที่สองลงในสมการอันดับที่สาม (ของอนุกรมการรบกวนสำหรับปัญหาคลื่นคาบ)

ในน้ำลึก (ความยาวคลื่นสั้นเมื่อเทียบกับความลึก): และในน้ำตื้น (ความยาวคลื่นยาวเมื่อเทียบกับความลึก): $${\displaystyle \lim _{kh\to \infty }\omega ^{2}=gk\,\left\{1+\left(ka\right)^{2}\right\}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right),}$$$${\displaystyle \lim _{kh\to 0}\omega ^{2}=k^{2}\,gh\,\left\{1+{\frac {9}{8}}\,{\frac {\left(ka\right)^{2}}{\left(kh\right)^{4}}}\right\}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right).}$$

ดังที่แสดงไว้ข้างต้นการขยายสโตกส์คลื่นยาวสำหรับความสัมพันธ์การกระจายตัวจะใช้ได้เฉพาะเมื่อค่าพารามิเตอร์ Ursell มีขนาดเล็กพอเท่านั้น: U ≪ 100

ปัญหาพื้นฐานในการหาคำตอบสำหรับคลื่นแรงโน้มถ่วงบนพื้นผิวคือ ต้องใช้ เงื่อนไขขอบเขตที่ตำแหน่งของพื้นผิวอิสระซึ่งไม่ทราบล่วงหน้าและเป็นส่วนหนึ่งของคำตอบที่ต้องค้นหา เซอร์ จอร์จ สโตกส์แก้ปัญหาคลื่นที่ไม่เป็นเชิงเส้นนี้ในปี พ.ศ. 2390 โดยขยาย ปริมาณ การไหลศักย์ ที่เกี่ยวข้อง ในอนุกรมเทย์เลอร์รอบระดับความสูงเฉลี่ย (หรือคงที่) ของพื้นผิว^{[ 12 ]}ส่งผลให้เงื่อนไขขอบเขตสามารถแสดงได้ในรูปของปริมาณที่ระดับความสูงเฉลี่ย (หรือคงที่) ของพื้นผิว (ซึ่งคงที่และทราบแล้ว)

ถัดไป วิธีแก้ปัญหาคลื่นที่ไม่เป็นเชิงเส้น (รวมถึงการขยายอนุกรมเทย์เลอร์รอบระดับความสูงเฉลี่ยหรือระดับผิวน้ำนิ่ง) จะถูกค้นหาโดยใช้อนุกรมการรบกวน – ซึ่งเรียกว่าการขยายสโตกส์ – ในรูปของพารามิเตอร์ขนาดเล็ก ซึ่งส่วนใหญ่มักจะเป็นความชันของคลื่น เทอมที่ไม่ทราบค่าในการขยายสามารถแก้ไขได้ตามลำดับ^{[ 6 ] [ 8 ]}บ่อยครั้งที่จำเป็นต้องใช้เพียงเทอมจำนวนเล็กน้อยเพื่อให้ได้คำตอบที่มีความแม่นยำเพียงพอสำหรับวัตถุประสงค์ทางวิศวกรรม^{[ 11 ]}การใช้งานทั่วไปคือในการออกแบบโครงสร้างชายฝั่งและ นอกชายฝั่ง และของ เรือ

คุณสมบัติอีกประการหนึ่งของคลื่นไม่เชิงเส้นคือความเร็วเฟสของคลื่นไม่เชิงเส้นขึ้นอยู่กับความสูงของคลื่นในแนวทางอนุกรมการรบกวน สิ่งนี้ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงตามกาลเวลา ที่ไม่ถูกต้อง ของคำตอบได้ง่าย ซึ่งขัดแย้งกับพฤติกรรมเป็นคาบของคลื่น Stokes แก้ปัญหานี้โดยการขยายความสัมพันธ์การกระจายตัวเป็นอนุกรมการรบกวนด้วยวิธีการที่ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อวิธี Lindstedt– Poincaré ^{[ 6 ]}

ทฤษฎีคลื่นของ Stokesเมื่อใช้การขยายการรบกวนลำดับต่ำ (เช่น ลำดับที่สอง สาม หรือห้า) จะใช้ได้กับคลื่นไม่เชิงเส้นในน้ำระดับกลางและน้ำลึก กล่าวคือ สำหรับความยาวคลื่น ( λ ) ที่ไม่มากเมื่อเทียบกับความลึกเฉลี่ย ( h ) ในน้ำตื้นการขยาย Stokes ลำดับต่ำจะใช้ไม่ได้ผล (ให้ผลลัพธ์ที่ไม่สมจริง) สำหรับแอมพลิจูดคลื่นที่มากพอสมควร (เมื่อเทียบกับความลึก) ในกรณีนั้นการประมาณค่า Boussinesq จะเหมาะสมกว่า การประมาณค่าเพิ่มเติมในสมการคลื่นประเภท Boussinesq (หลายทิศทาง) นำไปสู่ สมการ Korteweg–de Vriesหรือสมการ Benjamin–Bona–Mahonyสำหรับการแพร่กระจายคลื่นทางเดียวเช่นเดียวกับคำตอบคลื่น Stokes ที่ (เกือบ) แม่นยำ^{[ 14 ]}สมการทั้งสองนี้มี คำตอบ คลื่นเดี่ยว ( โซลิตอน ) นอกเหนือจากคำตอบคลื่นเป็นคาบที่เรียกว่าคลื่น cnoidal ^{[ 11 ]}

ตั้งแต่ปี 1914 Wilton ได้ขยายการขยาย Stokes สำหรับคลื่นแรงโน้มถ่วงผิวน้ำลึกไปถึงลำดับที่สิบ แม้ว่าจะมีการนำข้อผิดพลาดมาใช้ในลำดับที่แปดก็ตาม^{[ 15 ]}ทฤษฎีลำดับที่ห้าสำหรับความลึกจำกัดได้รับการพัฒนาโดย De ในปี 1955 ^{[ 16 ]}สำหรับการใช้งานทางวิศวกรรม สูตรลำดับที่ห้าของ Fenton นั้นสะดวกและสามารถนำไปใช้ได้กับทั้งนิยามแรกและ นิยาม ที่สองของความเร็วเฟส (ความเร็ว) ของ Stokes ^{[ 17 ]} การแบ่งแยกเมื่อทฤษฎี Stokes ลำดับที่ห้าดีกว่าทฤษฎี คลื่น cnoidalลำดับที่ห้าคือสำหรับพารามิเตอร์ Ursellที่ต่ำกว่าประมาณ 40 ^{[ 10 ] [ 11 ]}

ในแนวทางแบบสโตกส์สำหรับปัญหาคลื่นไม่เชิงเส้น สามารถเลือกกรอบอ้างอิงและพารามิเตอร์การขยายได้หลายแบบ ในปี ค.ศ. 1880 สโตกส์ได้กลับตัวแปรอิสระและตัวแปรตาม โดยใช้ศักยภาพความเร็วและฟังก์ชันกระแสเป็นตัวแปรอิสระ และพิกัด ( x , z ) เป็นตัวแปรตาม โดยที่xและzเป็นพิกัดแนวนอนและแนวตั้งตามลำดับ^{[ 18 ]}ข้อดีคือ พื้นผิวอิสระในกรอบอ้างอิงที่คลื่นคงที่ (กล่าวคือเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเฟส) จะสอดคล้องกับเส้นตรงที่ฟังก์ชันกระแสเป็นค่าคงที่ ดังนั้นตำแหน่งของพื้นผิวอิสระจึงทราบล่วงหน้า และไม่ใช่ส่วนที่ไม่ทราบของคำตอบ ข้อเสียคือรัศมีของการลู่เข้าของการขยายอนุกรมที่ปรับปรุงใหม่จะลดลง^{[ 19 ]}

แนวทางอื่นคือการใช้กรอบอ้างอิงแบบลากรางจ์โดยติดตามกลุ่มของไหลสูตรแบบลากรางจ์แสดงให้เห็นถึงการบรรจบกันที่ดีขึ้น เมื่อเปรียบเทียบกับสูตรในกรอบแบบออยเลอร์และในกรอบที่มีศักยภาพและฟังก์ชันกระแสเป็นตัวแปรอิสระ^{[ 20 ] [ 21 ]}

Crapper ได้รับคำตอบที่แม่นยำสำหรับคลื่นคาปิลลา รีบริสุทธิ์แบบไม่เชิงเส้นที่มีรูปแบบถาวรและสำหรับความลึกของของเหลวอนันต์ในปี พ.ศ. 2490 โปรดทราบว่าคลื่นคาปิลลารีเหล่านี้ – ซึ่งเป็นคลื่นสั้นที่ถูกบังคับโดย แรงตึงผิวหากผลกระทบของแรงโน้มถ่วงมีน้อยมาก – จะมีร่องที่แหลมคมและยอดที่แบนราบ ซึ่งแตกต่างจากคลื่นแรงโน้มถ่วงผิวน้ำแบบไม่เชิงเส้นที่มียอดแหลมคมและร่องที่แบนราบ^{[ 22 ]}

Schwartz (1974)ได้ดำเนินการขยายอนุกรม Stokes สำหรับคลื่นแรงโน้มถ่วงบนพื้นผิวต่อไปจนถึงลำดับสูง (ลำดับที่ 117) โดยใช้แบบจำลองคอมพิวเตอร์Schwartz พบว่าแอมพลิจูดa (หรือa _{1 ) ของคลื่น} พื้นฐานลำดับที่หนึ่งจะถึงค่าสูงสุดก่อนที่ จะถึง ความสูงคลื่น สูงสุดHดังนั้น ความชันของคลื่นkaในแง่ของแอมพลิจูดของคลื่นจึงไม่ใช่ฟังก์ชันโมโนโทนจนถึงคลื่นสูงสุด และ Schwartz จึงใช้kHเป็นพารามิเตอร์การขยายแทน ในการประมาณค่าคลื่นสูงสุดในน้ำลึก Schwartz ได้ใช้ค่าประมาณ Padéและแผนภาพ Domb–Sykesเพื่อปรับปรุงการลู่เข้าของการขยายอนุกรม Stokes ตารางขยายของคลื่น Stokes ที่ระดับความลึกต่างๆ ซึ่งคำนวณโดยวิธีที่แตกต่างกัน (แต่สอดคล้องกับผลลัพธ์ของผู้อื่น) มีอยู่ใน Williams ( 1981 , 1985 )

มีความสัมพันธ์ที่แน่นอนหลายประการระหว่างคุณสมบัติเชิงปริพันธ์ เช่นพลังงานจลน์และพลังงานศักยภาพโมเมนตัมคลื่นในแนวนอนและความเค้นจากการแผ่รังสีดังที่Longuet-Higgins (1975) ค้นพบ เขาแสดงให้เห็นว่าสำหรับคลื่นน้ำลึก คุณสมบัติเชิงปริพันธ์เหล่านี้หลายอย่างมีค่าสูงสุดก่อนที่จะถึงความสูงคลื่นสูงสุด (ซึ่งสนับสนุนการค้นพบของ Schwartz) Cokelet (1978)ใช้ระเบียบวิธีที่คล้ายกับของ Schwartz คำนวณและจัดทำตารางคุณสมบัติเชิงปริพันธ์สำหรับช่วงความลึกของน้ำที่จำกัดจำนวนมาก (ทั้งหมดถึงค่าสูงสุดต่ำกว่าความสูงคลื่นสูงสุด) นอกจากนี้ คุณสมบัติเชิงปริพันธ์เหล่านี้ยังมีบทบาทสำคัญในกฎการอนุรักษ์สำหรับคลื่นน้ำ ผ่านทฤษฎีบทของ Noether ^{[ 25 ]} harvtxt error: no target: CITEREFCokelet1978 (help)

ในปี พ.ศ. 2548 Hammack, Hendersonและ Segur ได้นำเสนอหลักฐานเชิงทดลองแรกสำหรับการมีอยู่ของคลื่นก้าวหน้าสามมิติที่มีรูปแบบถาวรในน้ำลึก ซึ่งก็คือรูปแบบคลื่นก้าวหน้าสองมิติแบบสองคาบที่มีรูปแบบถาวร^{[ 26 ]}การมีอยู่ของคลื่นน้ำลึกแบบคงที่สามมิตินี้ได้รับการเปิดเผยในปี พ.ศ. 2545 จากการศึกษาการแยกสาขาของคลื่น Stokes สองมิติโดย Craig และ Nicholls โดยใช้วิธีการเชิงตัวเลข^{[ 27 ]}

การลู่เข้าของการขยายสโตกส์ได้รับการพิสูจน์ครั้งแรกโดยLevi-Civita (1925) สำหรับกรณีของคลื่นแอมพลิจูดขนาดเล็ก – บนพื้นผิวอิสระของของเหลวที่มีความลึกอนันต์ ต่อมาไม่นาน Struik (1926)ได้ขยายผลสำหรับกรณีของความลึกจำกัดและคลื่นแอมพลิจูดขนาดเล็ก^{[ 28 ]}

ใกล้สิ้นสุดศตวรรษที่ 20 พบว่าสำหรับคลื่นแอมพลิจูดจำกัด การลู่เข้าของการขยายสโตกส์ขึ้นอยู่กับการกำหนดปัญหาคลื่นคาบอย่างมาก ตัวอย่างเช่น การกำหนดปัญหาคลื่นคาบแบบผกผันตามที่สโตกส์ใช้ – โดยใช้พิกัดเชิงพื้นที่เป็นฟังก์ชันของศักยภาพความเร็วและฟังก์ชันกระแส – ไม่ลู่เข้าสำหรับคลื่นแอมพลิจูดสูง ในขณะที่การกำหนดรูปแบบอื่น ๆ ลู่เข้าได้เร็วกว่ามาก เช่น ในกรอบอ้างอิงออยเลอร์ (โดยใช้ศักยภาพความเร็วหรือฟังก์ชันกระแสเป็นฟังก์ชันของพิกัดเชิงพื้นที่) ^{[ 19 ]}

ความชันของคลื่นสูงสุดสำหรับคลื่นน้ำลึกแบบเป็นคาบและแพร่กระจายคือH / λ = 0.1410633 ± 4 · 10 ⁻⁷ , ^{[ 29 ]}ดังนั้นความสูงของคลื่นจึงประมาณหนึ่งในเจ็ด ( ⁠1/7)ของความยาวคลื่น λ ^{[ 24 ]}และคลื่นแรงโน้มถ่วงบนพื้นผิวที่มีความสูงสูงสุดนี้มียอดคลื่นที่ แหลมคม – ด้วยมุม 120° (ในโดเมนของไหล) – สำหรับความลึกที่จำกัดเช่นกัน ดังที่ Stokes แสดงไว้ในปี 1880 ^{[ 18 ]}

การประมาณค่าความชันของคลื่นสูงสุดในน้ำลึกที่แม่นยำ ( H / λ ≈ 0.142 ) ได้รับการทำไว้แล้วในปี พ.ศ. 2436 โดยJohn Henry Michellโดยใช้วิธีการเชิงตัวเลข^{[ 30 ]}การศึกษาโดยละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับพฤติกรรมของคลื่นสูงสุดใกล้กับยอดคลื่นมุมแหลมได้รับการตีพิมพ์โดย Malcolm A. Grant ในปี พ.ศ. 2516 ^{[ 31 ]}การมีอยู่ของคลื่นสูงสุดในน้ำลึกที่มียอดคลื่นมุมแหลม 120° ได้รับการพิสูจน์โดยJohn Tolandในปี พ.ศ. 2521 ^{[ 32 ]}ความนูนของ η(x) ระหว่างค่าสูงสุดที่ต่อเนื่องกันที่มียอดคลื่นมุมแหลม 120° ได้รับการพิสูจน์อย่างอิสระโดย CJ Amick และคณะ และ Pavel I. Plotnikov ในปี พ.ศ. 2525 ^{[ 33 ] [ 34 ]}

คลื่นสโตกส์สูงสุด – ภายใต้แรงโน้มถ่วง – สามารถประมาณได้ด้วยการแสดงระดับความสูง ของ พื้นผิวอิสระη ( x , t ) ที่เรียบง่ายและแม่นยำดังต่อไปนี้: ^{[ 35 ]} โดยที่ สำหรับ$${\displaystyle {\frac {\eta }{\lambda }}=A\,\left[\cosh \,\left({\frac {x-ct}{\lambda }}\right)-1\right],}$$$${\displaystyle A={\frac {1}{{\sqrt {3}}\,\sinh \left({\frac {1}{2}}\right)}}\approx 1.108,}$$$${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}\,\lambda \leq (x-ct)\leq {\tfrac {1}{2}}\,\lambda ,}$$

และเลื่อนในแนวนอนตามจำนวนเต็มของความยาวคลื่นเพื่อแสดงคลื่นอื่น ๆ ในขบวนคลื่นปกติ การประมาณนี้มีความแม่นยำภายใน 0.7% ทุกที่ เมื่อเปรียบเทียบกับวิธีแก้ปัญหา "ที่แน่นอน" สำหรับคลื่นสูงสุด^{[ 35 ]}

การประมาณค่าที่แม่นยำอีกวิธีหนึ่ง – อย่างไรก็ตามแม่นยำน้อยกว่าวิธีแรก – ของการเคลื่อนที่ของของเหลวบนพื้นผิวของคลื่นที่ชันที่สุดคือการเปรียบเทียบกับการแกว่งของลูกตุ้มในนาฬิกาตั้งพื้น^{[ 36 ]}

ห้องสมุดขนาดใหญ่ของคลื่นสโตกส์ที่คำนวณด้วยความแม่นยำสูงสำหรับกรณีความลึกอนันต์ ซึ่งแสดงด้วยความแม่นยำสูง (อย่างน้อย 27 หลักหลังจุดทศนิยม) ในรูปแบบPadé approximantสามารถพบได้ที่ StokesWave.org ^{[ 37 ]}

ในน้ำที่ลึกกว่า คลื่นสโตกส์จะไม่เสถียร^{[ 38 ]} ซึ่งได้รับการพิสูจน์โดยT. Brooke Benjaminและ Jim E. Feir ในปี 1967 ^{[ 39 ] [ 40 ]}ความไม่เสถียรของ Benjamin–Feirเป็นความไม่เสถียรของแถบข้างหรือการปรับเปลี่ยน โดยการปรับเปลี่ยนแถบข้างจะแพร่กระจายไปในทิศทางเดียวกับคลื่นพาหะคลื่นจะไม่เสถียรในน้ำที่ลึกกว่าสำหรับความลึกสัมพัทธ์kh > 1.363 (โดยที่kคือเลขคลื่นและhคือความลึกเฉลี่ยของน้ำ) ^{[ 41 ]}ความไม่เสถียรของ Benjamin–Feir สามารถอธิบายได้ด้วยสมการ Schrödinger แบบไม่เชิงเส้นโดยการแทรกคลื่นสโตกส์ที่มีแถบข้าง^{[ 38 ]}ต่อมา ด้วยการวิเคราะห์ที่ละเอียดขึ้น ได้มีการแสดงให้เห็นแล้ว – ทั้งทางทฤษฎีและการทดลอง – ว่าคลื่นสโตกส์และแถบข้างของมันแสดงให้เห็นถึงการเกิดซ้ำแบบ Fermi–Pasta–Ulam–Tsingou : การสลับกันเป็นวัฏจักรระหว่างการมอดูเลชั่นและการดีมอดูเลชั่น^{[ 42 ]}

ในปี พ.ศ. 2521 Longuet-Higginsได้นำเสนอการวิเคราะห์โดยละเอียดเกี่ยวกับบริเวณของความไม่เสถียรในน้ำลึกโดยใช้แบบจำลองเชิงตัวเลขของคลื่นและการปรับเปลี่ยนที่ไม่เป็นเชิงเส้นอย่างสมบูรณ์ (ที่แพร่กระจายไปในทิศทางของคลื่นพาหะ) ทั้งสำหรับซูเปอร์ฮาร์มอนิก (สำหรับการรบกวนที่ระดับเชิงพื้นที่เล็กกว่าความยาวคลื่น) ^{[ 43 ]}และซับฮาร์มอนิก (สำหรับการรบกวนที่ระดับเชิงพื้นที่ใหญ่กว่า) ^{[ 44 ]} เมื่อแอมพลิจูดของคลื่นสโตกส์เพิ่มขึ้น โหมดใหม่ของความไม่เสถียรแบบซูเปอร์ฮาร์มอนิกจะปรากฏขึ้น การปรากฏของสาขาใหม่ของความไม่เสถียรเกิดขึ้นเมื่อพลังงานของคลื่นผ่านค่าสุดขีด การวิเคราะห์โดยละเอียดเกี่ยวกับกลไกการปรากฏของสาขาใหม่ของความไม่เสถียรแสดงให้เห็นว่าพฤติกรรมของพวกมันเป็นไปตามกฎง่ายๆ อย่างใกล้ชิด ซึ่งช่วยให้สามารถค้นหาอัตราการเติบโตของความไม่เสถียรสำหรับสาขาที่รู้จักและคาดการณ์ทั้งหมดได้อย่างแม่นยำ^{[ 45 ]} ในการศึกษาการเคลื่อนที่ของคลื่นสองมิติของ Longuet-Higgins รวมถึงการศึกษาการปรับเปลี่ยนสามมิติในภายหลังโดย McLean et al. พบว่ามีความไม่เสถียรประเภทใหม่ ซึ่งเกี่ยวข้องกับ ปฏิสัมพันธ์ของคลื่น เรโซแนนซ์ระหว่างส่วนประกอบของคลื่นห้า (หรือมากกว่า) ส่วน^{[ 46 ] [ 47 ] [ 48 ]}${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$

ในหลายกรณี การไหลแบบสั่นในของเหลวภายในของคลื่นผิวน้ำสามารถอธิบายได้อย่างแม่นยำโดยใช้ ทฤษฎี การไหลศักย์ยกเว้นชั้นขอบเขตใกล้ผิวน้ำและด้านล่าง (ซึ่งความหมุนมีความสำคัญเนื่องจากผลของความหนืดดูชั้นขอบเขตของสโตกส์ ) ^{[ 49 ]}จากนั้นความเร็วการไหลuสามารถอธิบายได้ว่าเป็นเกรเดียนต์ของศักย์ความเร็ว : ${\displaystyle \Phi }$

$${\displaystyle \mathbf {u} ={\boldsymbol {\nabla }}\Phi .}$$

เอ

ดังนั้น เมื่อสมมติว่าการไหลไม่สามารถอัดได้สนามความเร็วuจึงไม่มีการล divergenceและศักยภาพความเร็วเป็นไปตามสมการของ Laplace ^{[ 49 ]}${\displaystyle \Phi }$

$${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi =0}$$

บี

ภายในที่เป็นของเหลว

บริเวณของไหลถูกอธิบายโดยใช้ พิกัดคาร์ทีเซียนสามมิติ( x , y , z ) โดยที่xและyเป็นพิกัดแนวนอน และzเป็นพิกัดแนวตั้ง โดยทิศทางบวกของ zจะตรงข้ามกับทิศทางของความเร่งโน้มถ่วงเวลาแสดงด้วยtพื้นผิวอิสระอยู่ที่z = η ( x , y , t ) และก้นของ บริเวณ ของไหลอยู่ที่z = −h ( x , y )

เงื่อนไขขอบเขตพื้นผิวอิสระสำหรับคลื่นแรงโน้มถ่วงบนพื้นผิว – โดยใช้ คำอธิบาย การไหลแบบศักย์ – ประกอบด้วยเงื่อนไขขอบเขตจลนศาสตร์และพลศาสตร์^{[ 50 ]} เงื่อนไข ขอบเขต จลนศาสตร์ทำให้มั่นใจได้ว่าส่วนประกอบปกติ ของ ความเร็วการไหลของของไหลในรูปแบบเมทริกซ์ ที่พื้นผิวอิสระ เท่ากับส่วนประกอบความเร็วปกติของการเคลื่อนที่ของพื้นผิวอิสระz = η ( x , y , t ) : ${\displaystyle \mathbf {u} =[\partial \Phi /\partial x~~~\partial \Phi /\partial y~~~\partial \Phi /\partial z]^{\mathrm {T} }}$

$${\displaystyle {\frac {\partial \eta }{\partial t}}+{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}\,{\frac {\partial \eta }{\partial x}}+{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}\,{\frac {\partial \eta }{\partial y}}={\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\qquad {\text{ at }}z=\eta (x,y,t).}$$

ซี

เงื่อนไข ขอบเขต แบบไดนามิกระบุว่า หากไม่มี ผลกระทบ จากแรงตึงผิวความดันบรรยากาศเหนือผิวน้ำจะเท่ากับความดัน ของของเหลว ใต้ผิวน้ำ สำหรับการไหลแบบศักย์ที่ไม่คงที่ หมายความว่า ต้องใช้ สมการเบอร์นูลลีที่ผิวน้ำ ในกรณีที่ความดันบรรยากาศคงที่ เงื่อนไขขอบเขตแบบไดนามิกจะกลายเป็น:

$${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}\,\left|\mathbf {u} \right|^{2}+g\,\eta =0\qquad {\text{ at }}z=\eta (x,y,t),}$$

ดี

โดยกำหนดให้ความดันบรรยากาศคงที่เท่ากับศูนย์ โดยไม่เสียความเป็นทั่วไป

เงื่อนไขขอบเขตทั้งสองประกอบด้วยศักยภาพและระดับความสูงของพื้นผิวηเงื่อนไขขอบเขต (แบบไดนามิก) ในแง่ของศักยภาพเพียงอย่างเดียวสามารถสร้างได้โดยการหาอนุพันธ์ของวัสดุของเงื่อนไขขอบเขตแบบไดนามิก และใช้เงื่อนไขขอบเขตแบบจลนศาสตร์: ^{[ 49 ] [ 50 ] [ 51 ]}${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Phi }$$${\displaystyle {\color {Gray}{{\Bigl (}{\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}{\Bigr )}\,\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}\,|\mathbf {u} |^{2}+g\,\eta \right)=0}}}$$$${\displaystyle {\color {Gray}{\Rightarrow \quad {\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}+\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}\,{\frac {\partial }{\partial t}}\left(|\mathbf {u} |^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}\,\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\left(|\mathbf {u} |^{2}\right)=0}}}$$

$${\displaystyle {\color {Gray}{\Rightarrow \quad }}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}+{\frac {\partial }{\partial t}}\left(|\mathbf {u} |^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}\,\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\left(|\mathbf {u} |^{2}\right)=0\qquad {\text{ at }}z=\eta (x,y,t).}$$

อี

ที่ด้านล่างของชั้นของเหลวการซึมผ่านไม่ได้ทำให้ส่วนประกอบปกติของความเร็วการไหลหายไป: ^{[ 49 ]}

$${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial n}}={\frac {1}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial h}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial h}{\partial y}}\right)^{2}}}}\,\left\{{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}+{\frac {\partial h}{\partial x}}\,{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}+{\frac {\partial h}{\partial y}}\,{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}\right\}=0,\qquad {\text{ at }}z=-h(x,y),}$$

เอฟ

โดยที่h ( x , y ) คือความลึกของชั้นดินใต้ระดับอ้างอิงz = 0และnคือส่วนประกอบพิกัดในทิศทางตั้งฉากกับชั้นดิน

สำหรับคลื่นถาวรที่อยู่เหนือพื้นราบ ความลึกเฉลี่ยhจะคงที่ และเงื่อนไขขอบเขตที่พื้นราบจะเป็นดังนี้: $${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial z}}=0\qquad {\text{ at }}z=-h.}$$

เงื่อนไขขอบเขตพื้นผิวอิสระ(D)และ(E)ใช้ได้ที่ระดับความสูงพื้นผิวอิสระที่ยังไม่ทราบค่าz = η ( x , y , t )สามารถแปลงเป็นเงื่อนไขขอบเขตที่ระดับความสูงคงที่z = ค่าคงที่ได้โดยใช้ การขยายอนุกรม เทย์เลอร์ของสนามการไหลรอบระดับความสูงนั้น^{[ 49 ]} โดยไม่เสียความเป็นทั่วไป ระดับความสูงพื้นผิวเฉลี่ย – ซึ่งอนุกรมเทย์เลอร์ได้รับการพัฒนา – สามารถกำหนดให้เป็นz = 0ได้ ซึ่งทำให้มั่นใจได้ว่าการขยายจะอยู่รอบระดับความสูงที่ใกล้เคียงกับระดับความสูงพื้นผิวอิสระจริง การลู่เข้าของอนุกรมเทย์เลอร์สำหรับการเคลื่อนที่ของคลื่นคงที่ที่มีแอมพลิจูดขนาดเล็กได้รับการพิสูจน์โดยLevi-Civita (1925 )

มีการใช้สัญลักษณ์ต่อไปนี้: อนุกรมเทย์เลอร์ของฟิลด์f ( x , y , z , t )รอบz = 0 – และประเมินที่z = η ( x , y , t ) – คือ: ^{[ 52 ]} โดยที่ดัชนีศูนย์หมายถึงการประเมินที่z = 0เช่น: [ f ] ₀ = f ( x , y ,0, t )$${\displaystyle f(x,y,\eta ,t)=\left[f\right]_{0}+\eta \,\left[{\frac {\partial f}{\partial z}}\right]_{0}+{\frac {1}{2}}\,\eta ^{2}\,\left[{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}\right]_{0}+\cdots }$$

การใช้การขยายอนุกรมเทย์เลอร์กับเงื่อนไขขอบเขตพื้นผิวอิสระสมการ (E)ในรูปของศักยภาพ Φ ให้ผลลัพธ์ดังนี้: ^{[ 49 ] [ 52 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\left[{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right]_{0}+\eta \left[{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)\right]_{0}+\left[{\frac {\partial }{\partial t}}\left(|\mathbf {u} |^{2}\right)\right]_{0}\\&\quad +{\tfrac {1}{2}}\,\eta ^{2}\left[{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)\right]_{0}+\eta \left[{\frac {\partial ^{2}}{\partial t\,\partial z}}\left(|\mathbf {u} |^{2}\right)\right]_{0}+\left[{\tfrac {1}{2}}\,\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\left(|\mathbf {u} |^{2}\right)\right]_{0}\\&\quad +\cdots =0,\end{aligned}}}$$

จี

แสดงพจน์จนถึงผลคูณสามเท่าของη , Φและuตามที่จำเป็นสำหรับการสร้างการขยายสโตกส์จนถึงอันดับที่สามO (( ka ) ³ ) ในที่นี้kaคือความชันของคลื่น โดยที่k เป็น เลขคลื่นลักษณะเฉพาะและa เป็นแอมพลิจูดคลื่นลักษณะเฉพาะสำหรับปัญหาที่กำลังศึกษา ฟิลด์η , Φและuถือว่าอยู่ในO ( ka )

เงื่อนไขขอบเขตพื้นผิวอิสระแบบไดนามิก สมการ(D)สามารถประเมินได้ในแง่ของปริมาณที่z = 0ดังนี้: ^{[ 49 ] [ 52 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\left[{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+g\,\eta \right]_{0}+\eta \left[{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t\,\partial z}}\right]_{0}+{\biggl [}{\tfrac {1}{2}}\,\left|\mathbf {u} \right|^{2}{\biggr ]}_{0}\\&\quad +{\tfrac {1}{2}}\,\eta ^{2}\left[{\frac {\partial ^{3}\Phi }{\partial t\,\partial z^{2}}}\right]_{0}+\eta \left[{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\tfrac {1}{2}}\,\left|\mathbf {u} \right|^{2}\right)\right]_{0}+\cdots =0.\end{aligned}}}$$

ชม

ข้อดีของการขยายอนุกรมเทย์เลอร์เหล่านี้จะปรากฏให้เห็นอย่างเต็มที่เมื่อใช้ร่วมกับวิธีการอนุกรมการรบกวน สำหรับคลื่นที่ไม่เป็นเชิงเส้นอย่างอ่อน( ka ≪ 1 )

อนุกรมการรบกวนอยู่ในรูปของพารามิเตอร์การเรียงลำดับขนาดเล็กε ≪ 1ซึ่งต่อมาพบว่าเป็นสัดส่วนกับ (และอยู่ในลำดับของ) ความชันของคลื่นkaดูวิธีแก้ปัญหาอนุกรมในส่วนนี้ [ ^{53 ] ดังนั้น}ให้ε = ka : $${\displaystyle {\begin{aligned}\eta &=\varepsilon \,\eta _{1}+\varepsilon ^{2}\,\eta _{2}+\varepsilon ^{3}\,\eta _{3}+\cdots ,\\\Phi &=\varepsilon \,\Phi _{1}+\varepsilon ^{2}\,\Phi _{2}+\varepsilon ^{3}\,\Phi _{3}+\cdots \quad {\text{and}}\\\mathbf {u} &=\varepsilon \,\mathbf {u} _{1}+\varepsilon ^{2}\,\mathbf {u} _{2}+\varepsilon ^{3}\,\mathbf {u} _{3}+\cdots .\end{aligned}}}$$

เมื่อนำไปใช้ในสมการการไหล สมการเหล่านั้นควรใช้งานได้โดยไม่ขึ้นอยู่กับค่าε ที่เฉพาะเจาะจง โดยการเทียบกำลังของεแต่ละเทอมที่เป็นสัดส่วนกับεยกกำลังบางอย่างจะต้องเท่ากับศูนย์ ตัวอย่างเช่น วิธีการทำงานของแนวทางอนุกรมการรบกวน ให้พิจารณาเงื่อนไขขอบเขตที่ไม่เป็นเชิงเส้น(G)ซึ่งจะกลายเป็น: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}&\varepsilon \,\left\{{\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right\}\\&+\varepsilon ^{2}\,\left\{{\frac {\partial ^{2}\Phi _{2}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{2}}{\partial z}}+\eta _{1}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right)+{\frac {\partial }{\partial t}}\left(|\mathbf {u} _{1}|^{2}\right)\right\}\\&+\varepsilon ^{3}\,\left\{{\frac {\partial ^{2}\Phi _{3}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{3}}{\partial z}}+\eta _{1}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{2}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{2}}{\partial z}}\right)\right.\\&\qquad \quad \left.+\eta _{2}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right)+2\,{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {u} _{1}\cdot \mathbf {u} _{2}\right)\right.\\&\qquad \quad \left.+{\tfrac {1}{2}}\,\eta _{1}^{2}\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right)+\eta _{1}\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial t\,\partial z}}\left(|\mathbf {u} _{1}|^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}\,\mathbf {u} _{1}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\left(|\mathbf {u} _{1}|^{2}\right)\right\}\\&+{\mathcal {O}}\left(\varepsilon ^{4}\right)=0,\qquad {\text{at }}z=0.\end{aligned}}}$$

เงื่อนไขขอบเขตที่z = 0สำหรับลำดับที่หนึ่งถึงสามมีดังนี้:

ลำดับแรก:

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}=0,}$$

เจ1

ลำดับที่สอง:

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Phi _{2}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{2}}{\partial z}}=-\eta _{1}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right)-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(|\mathbf {u} _{1}|^{2}\right),}$$

เจ2

ลำดับที่สาม:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}\Phi _{3}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{3}}{\partial z}}=&-\eta _{1}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{2}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{2}}{\partial z}}\right)-\eta _{2}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right)\\&-2\,{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {u} _{1}\cdot \mathbf {u} _{2}\right)-{\tfrac {1}{2}}\,\eta _{1}^{2}\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right)\\&-\eta _{1}\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial t\,\partial z}}\left(|\mathbf {u} _{1}|^{2}\right)-{\tfrac {1}{2}}\,\mathbf {u} _{1}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\left(|\mathbf {u} _{1}|^{2}\right).\end{aligned}}}$$

J3

ในทำนองเดียวกัน จากเงื่อนไขขอบเขตแบบไดนามิก(H)เงื่อนไขที่z = 0ในลำดับที่ 1, 2 และ 3 จะเป็นดังนี้:

ลำดับแรก:

$${\displaystyle {\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial t}}+g\,\eta _{1}=0,}$$

เค1

ลำดับที่สอง:

$${\displaystyle {\frac {\partial \Phi _{2}}{\partial t}}+g\,\eta _{2}=-\eta _{1}\,{\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t\,\partial z}}-{\tfrac {1}{2}}\,\left|\mathbf {u} _{1}\right|^{2},}$$

เค2

ลำดับที่สาม:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \Phi _{3}}{\partial t}}+g\,\eta _{3}=&-\eta _{1}\,{\frac {\partial ^{2}\Phi _{2}}{\partial t\,\partial z}}-\eta _{2}\,{\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t\,\partial z}}-\mathbf {u} _{1}\cdot \mathbf {u} _{2}\\&-{\tfrac {1}{2}}\,\eta _{1}^{2}\,{\frac {\partial ^{3}\Phi _{1}}{\partial t\,\partial z^{2}}}-\eta _{1}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\tfrac {1}{2}}\,\left|\mathbf {u} _{1}\right|^{2}\right).\end{aligned}}}$$

เค3

สำหรับสมการเชิงเส้น(A) , (B)และ(F)เทคนิคการรบกวนส่งผลให้ได้ชุดสมการที่ไม่ขึ้นอยู่กับผลเฉลยการรบกวนในลำดับอื่น ๆ

$${\displaystyle \left.{\begin{array}{rcl}\mathbf {u} _{j}&=&{\boldsymbol {\nabla }}\Phi _{j},\\[1ex]\nabla ^{2}\Phi _{j}&=&0,\\[1ex]\displaystyle {\frac {\partial \Phi _{j}}{\partial n}}&=&0\quad {\text{ at }}z=-h,\end{array}}\right\}\qquad {\text{for all orders }}j\in \mathbb {N} ^{+}.}$$

แอล

สมการการรบกวนข้างต้นสามารถแก้ไขได้ตามลำดับ กล่าวคือ เริ่มจากอันดับแรก จากนั้นจึงดำเนินการต่อด้วยอันดับที่สอง อันดับที่สาม เป็นต้น

คลื่นที่มีรูปแบบถาวรจะแพร่กระจายด้วยความเร็วเฟส คงที่ (หรือความเร็ว ) ซึ่งแสดงด้วยcหากการเคลื่อนที่ของคลื่นคงที่อยู่ในทิศทางแนวนอนxปริมาณการไหลηและuจะไม่ขึ้นอยู่กับxและเวลาt แยกกัน แต่จะเป็นฟังก์ชันของx − ct : ^{[ 55 ]}$${\displaystyle \eta (x,t)=\eta (x-ct)\quad {\text{and}}\quad \mathbf {u} (x,z,t)=\mathbf {u} (x-ct,z).}$$

นอกจากนี้คลื่นยังเป็นคาบ – และเนื่องจากพวกมันมีรูปแบบถาวร – ทั้งในพื้นที่แนวนอนxและในเวลาtโดยมีความยาวคลื่นλและคาบτตามลำดับ โปรดทราบว่าΦ ( x , z , t ) เองไม่จำเป็นต้องเป็นคาบเนื่องจากความเป็นไปได้ของการเลื่อนคงที่ (เชิงเส้น) ในxและ/หรือt : ^{[ 56 ]} โดยที่φ ( x , z , t ) – เช่นเดียวกับอนุพันธ์ ∂ Φ /∂ tและ ∂ Φ /∂ x – เป็นคาบ ในที่นี้βคือความเร็วการไหลเฉลี่ยต่ำกว่า ระดับ ร่องและγเกี่ยวข้องกับหัวไฮดรอลิกตามที่สังเกตได้ในกรอบอ้างอิง ที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วเฟส cของคลื่น(ดังนั้นการไหลจึงคงที่ในกรอบอ้างอิงนี้) $${\displaystyle \Phi (x,z,t)=\beta x-\gamma t+\varphi (x-ct,z),}$$

เพื่อที่จะนำการขยายของ Stokes ไปใช้กับคลื่นคาบก้าวหน้า จะเป็นประโยชน์ในการอธิบายคลื่นเหล่านั้นผ่านอนุกรมฟูริเยร์เป็นฟังก์ชันของเฟสคลื่นθ ( x , t ): ^{[ 48 ] [ 56 ]}$${\displaystyle \theta =kx-\omega t=k\left(x-ct\right),}$$

โดยสมมติว่าคลื่นแพร่กระจายไปในทิศทางx ในที่นี้ k = 2 π / λคือเลขคลื่น ω = 2 π / τคือความถี่เชิงมุมและc = ω / k (= λ / τ )คือความเร็ว เฟส

ตอนนี้ ระดับความสูงของพื้นผิวอิสระη ( x , t ) ของคลื่นคาบสามารถอธิบายได้ว่าเป็นอนุกรมฟูริเยร์ : ^{[ 11 ] [ 56 ]}$${\displaystyle \eta =\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\,\cos \,(n\theta ).}$$

ในทำนองเดียวกัน นิพจน์ที่สอดคล้องกันสำหรับศักยภาพความเร็วΦ ( x , z , t ) คือ: ^{[ 56 ]}$${\displaystyle \Phi =\beta x-\gamma t+\sum _{n=1}^{\infty }B_{n}\,{\biggl [}\cosh \,\left(nk\,(z+h)\right){\biggr ]}\,\sin \,(n\theta ),}$$

โดย สอดคล้องกับทั้งสมการลาปลาส ∇ ² Φ = 0ภายในของเหลว และเงื่อนไขขอบเขต∂ Φ /∂ z = 0ที่ฐานz = − h

สำหรับค่าเลขคลื่นk ที่กำหนด พารามิเตอร์A _n , B _n (โดยที่n = 1, 2, 3, ... ), c ​​, βและγยังไม่ได้รับการกำหนด พวกมันทั้งหมดสามารถขยายได้เป็นอนุกรมการรบกวนในεเฟนตัน (1990)ให้ค่าเหล่านี้สำหรับทฤษฎีคลื่นสโตกส์ลำดับที่ห้า

สำหรับคลื่นคาบก้าวหน้า อนุพันธ์เทียบกับxและtของฟังก์ชันf ( θ , z ) ของθ ( x , t ) สามารถแสดงได้เป็นอนุพันธ์เทียบกับθดังนี้: $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=+k\,{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\qquad {\text{and}}\qquad {\frac {\partial f}{\partial t}}=-\omega \,{\frac {\partial f}{\partial \theta }}.}$$

จุดสำคัญสำหรับคลื่นที่ไม่เป็นเชิงเส้น – ตรงกันข้ามกับทฤษฎีคลื่น Airy เชิงเส้น – คือความเร็วเฟสcยังขึ้นอยู่กับแอมพลิจูดของคลื่นaด้วย นอกเหนือจากการขึ้นอยู่กับความยาวคลื่นλ = 2π / kและความลึกเฉลี่ยhการละเลยการขึ้นอยู่ของcกับแอมพลิจูดของคลื่นส่งผลให้เกิดเทอม แบบเซคิวลา ร์ขึ้น ในส่วนประกอบลำดับสูงกว่าของการแก้ปัญหาอนุกรมการรบกวนStokes (1847)ได้ใช้การแก้ไขที่ไม่เป็นเชิงเส้นที่จำเป็นกับความเร็วเฟสcเพื่อป้องกันพฤติกรรมแบบเซคิวลาร์แล้ว วิธีการทั่วไปในการทำเช่นนั้นเป็นที่รู้จักกันในชื่อวิธี Lindstedt–Poincaréเนื่องจากเลขคลื่นkถูกกำหนดและคงที่ พฤติกรรมที่ไม่เป็นเชิงเส้นของความเร็วเฟสc = ω / kจึงถูกนำมาพิจารณาโดยการขยายความถี่เชิงมุมωลงในอนุกรมการรบกวนด้วย: ^{[ 9 ]}$${\displaystyle \omega =\omega _{0}+\varepsilon \,\omega _{1}+\varepsilon ^{2}\,\omega _{2}+\cdots .}$$

ในที่นี้ω ₀จะมีความสัมพันธ์กับเลขคลื่นkผ่านความสัมพันธ์การกระจาย เชิงเส้น อย่างไรก็ตาม อนุพันธ์เทียบกับเวลา ผ่าน∂ f /∂ t = − ω ∂ f /∂ θจะให้ส่วนประกอบ – ที่มีω ₁ , ω ₂เป็นต้น – ในสมการควบคุมที่ลำดับสูงกว่าในอนุกรมการรบกวน การปรับω ₁ , ω ₂เป็นต้น สามารถป้องกันพฤติกรรมแบบเซคิวลาร์ได้ สำหรับคลื่นแรงโน้มถ่วงบนพื้นผิว พบว่าω ₁ = 0และส่วนประกอบที่ไม่เป็นศูนย์แรกของความสัมพันธ์การกระจายมาจากω ₂ (ดูตัวอย่างเช่น หัวข้อย่อย " ความสัมพันธ์การกระจายลำดับที่สาม " ด้านบน) ^{[ 9 ]}

สำหรับคลื่นผิวน้ำที่ไม่เป็นเชิงเส้น โดยทั่วไปแล้วมีความกำกวมในการแบ่งการเคลื่อนที่ทั้งหมดออกเป็นส่วนคลื่นและ ส่วน เฉลี่ยดังนั้นจึงมีความอิสระในการเลือกความเร็วเฟส (ความเร็วคลื่น) ของคลื่นStokes (1847)ได้ระบุคำจำกัดความเชิงตรรกะสองประการของความเร็วเฟส ซึ่งรู้จักกันในชื่อคำจำกัดความแรกและคำจำกัดความที่สองของความเร็วคลื่นของ Stokes: ^{[ 6 ] [ 11 ] [ 57 ]}

1. นิยามแรกของความเร็วคลื่นของสโตกส์สำหรับการเคลื่อนที่ของคลื่นบริสุทธิ์นั้นค่าเฉลี่ยของความเร็วการไหล แบบ ออยเลอร์ ในแนวนอน Ū _Eณ ตำแหน่งใดๆ ที่ต่ำกว่า ระดับ ร่องคลื่นจะมีค่าเท่ากับศูนย์ เนื่องจาก การไหลแบบศักย์ ไม่มีการหมุนประกอบกับพื้นทะเลที่เป็นแนวนอนและความเป็นคาบ ทำให้ความเร็วเฉลี่ยในแนวนอนมีค่าคงที่ระหว่างพื้นทะเลและระดับร่องคลื่น ดังนั้นในนิยามแรกของสโตกส์ คลื่นจึงถูกพิจารณาจากกรอบอ้างอิงที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วเฉลี่ยในแนวนอนŪ _Eวิธีนี้มีข้อดีเมื่อทราบความเร็วการไหลแบบออยเลอร์เฉลี่ยŪ _Eเช่น จากการวัด
2. นิยามที่สองของความเร็วคลื่นของสโตกส์นั้นใช้กับกรอบอ้างอิงที่ค่าเฉลี่ยการเคลื่อนย้ายมวล ในแนวนอน ของการเคลื่อนที่ของคลื่นเท่ากับศูนย์ ซึ่งแตกต่างจากนิยามแรกเนื่องจากการเคลื่อนย้ายมวลในเขตสาดน้ำกล่าวคือ ระหว่างระดับท้องคลื่นและยอดคลื่น ในทิศทางการแพร่กระจายของคลื่น การเคลื่อนย้ายมวลที่เกิดจากคลื่นนี้เกิดจากความสัมพันธ์ เชิงบวก ระหว่างระดับความสูงของผิวน้ำและความเร็วในแนวนอน ในกรอบอ้างอิงสำหรับนิยามที่สองของสโตกส์ การเคลื่อนย้ายมวลที่เกิดจากคลื่นจะถูกชดเชยด้วยกระแสน้ำใต้ ที่ต้าน (ดังนั้นŪ _E  < 0 สำหรับคลื่นที่แพร่กระจายในทิศทางxบวก) นี่คือนิยามที่สมเหตุสมผลสำหรับคลื่นที่สร้างขึ้นในรางคลื่นในห้องปฏิบัติการ หรือคลื่นที่เคลื่อนที่ตั้งฉากกับชายหาด

ตามที่ Michael E. McIntyreชี้ให้เห็นการขนส่งมวลในแนวนอนโดยเฉลี่ยจะเป็นศูนย์ (เกือบ) สำหรับกลุ่มคลื่นที่เข้าใกล้น้ำนิ่ง และในน้ำลึก การขนส่งมวลที่เกิดจากคลื่นจะสมดุลกับการขนส่งมวลในทิศทางตรงกันข้ามในการไหลย้อนกลับ (กระแสน้ำวน) ^{[ 58 ]}ทั้งนี้เนื่องจากมิฉะนั้นจะต้องใช้แรงเฉลี่ยจำนวนมากเพื่อเร่งความเร็วของมวลน้ำที่กลุ่มคลื่นกำลังเคลื่อนที่เข้าไป

• จุน จาง, แอปเพล็ตคลื่นสโตกส์ , มหาวิทยาลัยเท็กซัส เอแอนด์เอ็ม, สืบค้นเมื่อ 9 สิงหาคม 2555