การทดสอบ t ของนักเรียน (Student's t -test) เป็นการทดสอบทางสถิติที่ใช้ทดสอบว่าความแตกต่างระหว่างการตอบสนองของสองกลุ่มนั้นมีนัยสำคัญทางสถิติหรือไม่ เป็นการทดสอบสมมติฐานทางสถิติ ใดๆ ที่ค่าสถิติการทดสอบเป็นไปตามการแจกแจงtของนักเรียนภายใต้สมมติฐานว่างโดยทั่วไปแล้วจะใช้เมื่อค่าสถิติการทดสอบจะมีการแจกแจงแบบปกติ หาก ทราบค่าของพารามิเตอร์ปรับขนาด ในค่าสถิติการทดสอบ (โดยปกติแล้ว พารามิเตอร์ปรับขนาดจะไม่ทราบค่าและจึงเป็น พารามิเตอร์รบกวน ) เมื่อประมาณค่าพารามิเตอร์ปรับขนาดจากข้อมูล ค่าสถิติการทดสอบ—ภายใต้เงื่อนไขบางประการ—จะมี การแจกแจงtของนักเรียน การประยุกต์ใช้การทดสอบ tที่พบบ่อยที่สุดคือการทดสอบว่าค่าเฉลี่ยของประชากรสองกลุ่มแตกต่างกันอย่างมีนัยสำคัญหรือไม่ ในหลายกรณีการทดสอบZ จะให้ผลลัพธ์ที่คล้ายคลึงกับการทดสอบ tมากเนื่องจากค่าหลังจะลู่เข้าสู่ค่าแรกเมื่อขนาดของชุดข้อมูลเพิ่มขึ้น

คำว่า " t -statistic" ย่อมาจาก "hypothesis test statistic" ^{[ 1 ]}ในทางสถิติ การ แจกแจง tได้รับการอนุมานเป็นครั้งแรกในฐานะการแจกแจงแบบโพสทีเรียร์ในปี พ.ศ. 2429 โดยHelmert ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}และLüroth ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}การ แจกแจง tยังปรากฏในรูปแบบทั่วไปมากขึ้นในฐานะการแจกแจงแบบ Pearson ประเภท  IV ในบทความของKarl Pearson ในปี พ.ศ. 2438 ^{[ 8 ]}อย่างไรก็ตาม การ แจกแจง tหรือที่รู้จักกันในชื่อการแจกแจงtของ Studentได้รับชื่อมาจากWilliam Sealy Gossetผู้ซึ่งตีพิมพ์เป็นภาษาอังกฤษเป็นครั้งแรกในปี พ.ศ. 2451 ในวารสารวิทยาศาสตร์Biometrikaโดยใช้นามแฝง "Student" ^{[ 9 ]}เนื่องจากนายจ้างของเขาต้องการให้พนักงานใช้นามแฝงเมื่อตีพิมพ์บทความทางวิทยาศาสตร์^{[ 10 ]} Gosset ทำงานที่โรงเบียร์ Guinnessในดับลินประเทศไอร์แลนด์และสนใจปัญหาของตัวอย่างขนาดเล็ก เช่น คุณสมบัติทางเคมีของข้าวบาร์เลย์ที่มีขนาดตัวอย่างเล็ก ดังนั้น ที่มาของคำว่า Student ในอีกรูปแบบหนึ่งก็คือ Guinness ไม่ต้องการให้คู่แข่งรู้ว่าพวกเขากำลังใช้t -test เพื่อกำหนดคุณภาพของวัตถุดิบ แม้ว่าจะเป็น William Gosset ที่ได้รับการตั้งชื่อตามคำว่า "Student" แต่จริงๆ แล้วเป็นผลงานของRonald Fisherที่ทำให้การแจกแจงนี้เป็นที่รู้จักกันดีในชื่อ "การแจกแจงของ Student" ^{[ 11 ]}และ " การทดสอบ t ของ Student "

Gosset คิดค้น การทดสอบ t ขึ้น มา เพื่อใช้เป็นวิธีประหยัดในการตรวจสอบคุณภาพของเบียร์สเตาต์ งาน ทดสอบtได้รับการส่งและได้รับการยอมรับในวารสารBiometrikaและตีพิมพ์ในปี พ.ศ. 2451 ^{[ 9 ]}

Guinness มีนโยบายอนุญาตให้เจ้าหน้าที่ด้านเทคนิคลาเพื่อศึกษาต่อ (เรียกว่า "การลาเพื่อการศึกษา") ซึ่ง Gosset ได้ใช้สิทธิ์นี้ในช่วงสองภาคการศึกษาแรกของปีการศึกษา 1906–1907 ในห้องปฏิบัติการไบโอเมตริกของ ศาสตราจารย์ Karl Pearsonที่University College London ^{[ 12 ]}ในเวลานั้น ตัวตนของ Gosset เป็นที่รู้จักของนักสถิติคนอื่นๆ และบรรณาธิการบริหาร Karl Pearson ^{[ 13 ]}

การทดสอบtของนักเรียนแบบหนึ่งตัวอย่างเป็นการทดสอบตำแหน่งว่าค่าเฉลี่ยของประชากรมีค่าตามที่ระบุไว้ในสมมติฐานว่างหรือในการทดสอบสมมติฐานว่างที่ว่าค่าเฉลี่ยของประชากรเท่ากับค่าที่กำหนดμ₀นั้น จะใช้สถิติ

${\displaystyle t={\frac {{\bar {x}}-\mu _{0}}{s/{\sqrt {n}}}},}$

โดยที่คือค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง, sคือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่างและnคือขนาดของตัวอย่างระดับความเป็นอิสระที่ใช้ในการทดสอบนี้คือn  − 1 ถึงแม้ว่าประชากรหลักไม่จำเป็นต้องมีการกระจายแบบปกติ แต่ สมมติว่า การกระจายของค่าเฉลี่ยตัวอย่างในประชากร มีการกระจายแบบปกติ${\displaystyle {\bar {x}}}$${\displaystyle {\bar {x}}}$

ตามทฤษฎีบทลิมิตกลางถ้าการสังเกตการณ์เป็นอิสระต่อกันและโมเมนต์ที่สองมีอยู่จริง ค่า t จะมีลักษณะใกล้เคียงกับการแจกแจงปกตินี่เป็นเพียงการประมาณเท่านั้น เพราะทฤษฎีบทลิมิตกลางจะใช้ได้กับt ก็ต่อเมื่อsคือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่แท้จริงของxในขณะที่ s คือ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ของตัวอย่างเนื่องจากโดยทั่วไปแล้วค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่แท้จริงไม่เป็นที่ทราบ ดังนั้นtจึงมีลักษณะใกล้เคียงกับการแจกแจงแบบ t ของ Student ในเชิงอะซิปโทติก ${\displaystyle t}$${\textstyle {\คณิตศาสตร์ {N}}(0,1)}$

การทดสอบตำแหน่งสองตัวอย่างของสมมติฐานว่างที่ว่าค่าเฉลี่ยของประชากรสองกลุ่มเท่ากัน การทดสอบดังกล่าวทั้งหมดมักเรียกว่าการทดสอบtของนักเรียนแม้ว่าในทางเทคนิคแล้วชื่อนั้นควรใช้เฉพาะในกรณีที่ ถือว่า ความแปรปรวนของประชากรทั้งสองกลุ่มเท่ากันด้วย รูปแบบของการทดสอบที่ใช้เมื่อไม่ยึดถือสมมติฐานนี้บางครั้งเรียกว่าการทดสอบtของเวลช์การทดสอบเหล่านี้มักถูกเรียกว่า การทดสอบ t ตัวอย่าง ที่ไม่จับคู่หรือตัวอย่างอิสระ เนื่องจากโดยทั่วไปจะใช้เมื่อหน่วยทางสถิติที่อยู่เบื้องหลังตัวอย่างสองตัวอย่างที่กำลังเปรียบเทียบกันนั้นไม่ทับซ้อนกัน^{[ 14 ]}

การทดสอบ tสองกลุ่มตัวอย่างสำหรับความแตกต่างของค่าเฉลี่ยเกี่ยวข้องกับกลุ่มตัวอย่างอิสระ (กลุ่มตัวอย่างที่ไม่จับคู่) หรือกลุ่มตัวอย่างที่จับคู่ การทดสอบ tแบบจับคู่เป็นรูปแบบหนึ่งของการแบ่งกลุ่มและมีกำลัง (ความน่าจะเป็นในการหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดประเภทที่ 2 หรือที่เรียกว่าผลลบเท็จ) มากกว่าการทดสอบที่ไม่จับคู่เมื่อหน่วยที่จับคู่มีความคล้ายคลึงกันในแง่ของ "ปัจจัยรบกวน" (ดูตัวแปรแทรกซ้อน ) ที่เป็นอิสระจากการเป็นสมาชิกในสองกลุ่มที่กำลังเปรียบเทียบ^{[ 15 ]}ในบริบทที่แตกต่างกัน การทดสอบ t แบบจับคู่ สามารถใช้เพื่อลดผลกระทบของปัจจัยแทรกซ้อนในการศึกษาเชิงสังเกตได้

การทดสอบ tสำหรับกลุ่มตัวอย่างอิสระใช้เมื่อ เราได้กลุ่มตัวอย่าง อิสระสองกลุ่มที่แยกจากกันและมีการแจกแจงเหมือนกันและเราต้องการเปรียบเทียบตัวแปรหนึ่งตัวจากแต่ละประชากร ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเรากำลังประเมินผลของการรักษาทางการแพทย์ และเราได้คัดเลือกผู้เข้าร่วมการศึกษา 100 คน จากนั้นสุ่มจัดผู้เข้าร่วม 50 คนให้อยู่ในกลุ่มรักษาและ 50 คนให้อยู่ในกลุ่มควบคุม ในกรณีนี้ เรามีกลุ่มตัวอย่างอิสระสองกลุ่มและจะใช้การทดสอบ t แบบไม่จับคู่

โดยทั่วไป การทดสอบ t แบบจับคู่ตัวอย่างจะประกอบด้วยตัวอย่างของหน่วย ที่จับคู่กันเป็นคู่ๆ ที่คล้ายคลึงกัน หรือกลุ่มของหน่วยกลุ่มหนึ่งที่ได้รับการทดสอบสองครั้ง ( การทดสอบ t แบบ "วัดซ้ำ" )

ตัวอย่างทั่วไปของการ ทดสอบ t แบบวัดซ้ำ คือ การตรวจผู้ป่วยก่อนรับการรักษา เช่น การรักษาความดันโลหิตสูง และตรวจผู้ป่วยกลุ่มเดียวกันอีกครั้งหลังจากได้รับการรักษาด้วยยาลดความดันโลหิต การเปรียบเทียบตัวเลขของผู้ป่วยคนเดียวกันก่อนและหลังการรักษา ทำให้เราสามารถใช้ผู้ป่วยแต่ละคนเป็นตัวควบคุมของตนเองได้ ด้วยวิธีนี้ การปฏิเสธสมมติฐานว่าง (ในที่นี้คือ การรักษาไม่ทำให้เกิดความแตกต่าง) จึงมีความเป็นไปได้มากขึ้น และพลังทางสถิติก็จะเพิ่มขึ้นเนื่องจากความแปรปรวนแบบสุ่มระหว่างผู้ป่วยถูกกำจัดไปแล้ว อย่างไรก็ตาม การเพิ่มขึ้นของพลังทางสถิติก็มาพร้อมกับต้นทุน คือ ต้องมีการตรวจมากขึ้น และผู้ป่วยแต่ละคนต้องได้รับการตรวจสองครั้ง

เนื่องจากครึ่งหนึ่งของกลุ่มตัวอย่างขึ้นอยู่กับอีกครึ่งหนึ่ง การทดสอบ tของ Student แบบจับคู่จึงมีเพียง⁠n/2⁠ − 1องศาอิสระ (โดยที่ nคือจำนวนการสังเกตทั้งหมด) คู่ต่างๆ จะกลายเป็นหน่วยทดสอบแต่ละหน่วย และตัวอย่างจะต้องเพิ่มเป็นสองเท่าเพื่อให้ได้จำนวนองศาอิสระเท่าเดิม โดยปกติจะมี n − 1องศาอิสระ (โดยที่ nคือจำนวนการสังเกตทั้งหมด) ^{[ 16 ]}

การทดสอบ tแบบจับคู่ตัวอย่างโดยอิงจาก "ตัวอย่างจับคู่" เกิดจากตัวอย่างที่ไม่จับคู่ซึ่งต่อมาใช้เพื่อสร้างตัวอย่างจับคู่โดยใช้ตัวแปรเพิ่มเติมที่วัดพร้อมกับตัวแปรที่สนใจ^{[ 17 ]}การจับคู่ดำเนินการโดยการระบุคู่ของค่าที่ประกอบด้วยการสังเกตหนึ่งครั้งจากแต่ละตัวอย่างทั้งสอง โดยที่คู่นั้นมีความคล้ายคลึงกันในแง่ของตัวแปรที่วัดได้อื่นๆ วิธีการนี้บางครั้งใช้ในการศึกษาเชิงสังเกตเพื่อลดหรือขจัดผลกระทบของปัจจัยรบกวน

การทดสอบ tแบบจับคู่มักถูกเรียกว่า " การทดสอบ t แบบตัวอย่างที่ขึ้นอยู่กัน "

สถิติการทดสอบส่วนใหญ่มีรูปแบบt = Z / sโดยที่Zและsเป็นฟังก์ชันของข้อมูล

Zอาจมีความไวต่อสมมติฐานทางเลือก (กล่าวคือ ขนาดของมันมักจะใหญ่ขึ้นเมื่อสมมติฐานทางเลือกเป็นจริง) ในขณะที่ sเป็นพารามิเตอร์การปรับขนาด ที่ช่วยให้สามารถ กำหนดการ กระจายของ t ได้

ตัวอย่างเช่น ในการทดสอบ t แบบหนึ่งตัวอย่าง

${\displaystyle t={\frac {Z}{s}}={\frac {{\bar {X}}-\mu }{{\hat {\sigma }}/{\sqrt {n}}}},}$

โดยที่คือค่าเฉลี่ยของตัวอย่างจากตัวอย่างX , X , …, X ที่มีขนาดn , sคือค่าความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของค่าเฉลี่ย , คือค่าประมาณของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร และμคือ ค่าเฉลี่ย ของ ประชากร${\displaystyle {\bar {X}}}$${\displaystyle {\hat {\sigma }}={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}}}}$

ข้อสมมติฐานพื้นฐานของ การทดสอบ tในรูปแบบที่ง่ายที่สุดข้างต้นมีดังนี้:

• Xมีการกระจายแบบปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยμและความแปรปรวน σ² ^/ n
• s ² ( n  − 1)/ σ ²เป็นไปตามการแจกแจงχ ²ที่มีองศาอิสระn  − 1 ข้อสมมตินี้เป็นจริงเมื่อข้อมูลที่ใช้ในการประมาณค่า s ²มาจากการแจกแจงปกติ (และ เป็นอิสระและ มีการกระจายเหมือนกันสำหรับแต่ละกลุ่ม)
• Zและ sเป็นอิสระต่อกัน

ใน การทดสอบ tเพื่อเปรียบเทียบค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างอิสระสองกลุ่ม ต้องเป็นไปตามข้อสมมติฐานต่อไปนี้:

• ค่าเฉลี่ยของประชากรทั้งสองกลุ่มที่นำมาเปรียบเทียบกันควรเป็นไปตามการแจกแจงแบบปกติ ภายใต้สมมติฐานที่ไม่เข้มงวด สิ่งนี้จะเป็นไปตาม ทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางในตัวอย่างขนาดใหญ่แม้ว่าการแจกแจงของการสังเกตในแต่ละกลุ่มจะไม่เป็นแบบปกติก็ตาม^{[ 18 ]}
• หากใช้คำจำกัดความดั้งเดิมของการทดสอบ tของ Student ประชากรทั้งสองกลุ่มที่นำมาเปรียบเทียบควรมีความแปรปรวนเท่ากัน (สามารถทดสอบได้โดยใช้การทดสอบF , การทดสอบของ Levene , การทดสอบของ Bartlettหรือการทดสอบ Brown–Forsytheหรือสามารถประเมินได้ด้วยกราฟโดยใช้แผนภูมิ Q–Q ) หากขนาดตัวอย่างในสองกลุ่มที่นำมาเปรียบเทียบเท่ากัน การทดสอบ t ดั้งเดิมของ Student จะมีความแข็งแกร่งมากต่อการมีอยู่ของความแปรปรวนที่ไม่เท่ากัน^{[ 19 ]}การทดสอบtของ Welchไม่ไวต่อความเท่าเทียมกันของความแปรปรวนไม่ว่าขนาดตัวอย่างจะคล้ายกันหรือไม่ก็ตาม
• ข้อมูลที่ใช้ในการทดสอบควรสุ่มตัวอย่างอย่างอิสระจากประชากรสองกลุ่มที่กำลังเปรียบเทียบกัน หรือจับคู่กันอย่างสมบูรณ์ โดยทั่วไปแล้วการทดสอบแบบนี้ไม่สามารถทำได้จากข้อมูล แต่หากทราบว่าข้อมูลมีความสัมพันธ์กัน (เช่น จับคู่กันตามการออกแบบการทดสอบ) จะต้องใช้การทดสอบแบบมีความสัมพันธ์กัน สำหรับข้อมูลที่จับคู่กันบางส่วน การ ทดสอบ t แบบอิสระแบบคลาสสิก อาจให้ผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้อง เนื่องจากสถิติการทดสอบอาจไม่เป็นไปตาม การแจกแจงแบบ tในขณะที่ การทดสอบ t แบบมีความสัมพันธ์กันนั้น ไม่เหมาะสม เนื่องจากจะละทิ้งข้อมูลที่ไม่จับคู่กัน^{[ 20 ]}

การทดสอบ tสองกลุ่มตัวอย่างส่วนใหญ่มีความแข็งแกร่งต่อข้อสมมติฐานทั้งหมด ยกเว้นการเบี่ยงเบนขนาดใหญ่^{[ 21 ]}

เพื่อความแม่นยำการ ทดสอบ tและ การทดสอบ Zจำเป็นต้องมีความปกติของค่าเฉลี่ยตัวอย่าง และ การทดสอบ tยังต้องการเพิ่มเติมว่าความแปรปรวนของตัวอย่างเป็นไปตามการแจกแจงχ² ที่ปรับขนาดแล้ว และค่าเฉลี่ยตัวอย่างและความแปรปรวนของตัวอย่างต้อง^เป็นอิสระทางสถิติความปกติของค่าข้อมูลแต่ละค่าไม่จำเป็นหากตรงตามเงื่อนไขเหล่านี้ ตามทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางค่าเฉลี่ยตัวอย่างของตัวอย่างขนาดปานกลางมักจะประมาณได้ดีด้วยการแจกแจงแบบปกติ แม้ว่าข้อมูลจะไม่ได้แจกแจงแบบปกติก็ตาม อย่างไรก็ตาม ขนาดตัวอย่างที่จำเป็นเพื่อให้ค่าเฉลี่ยตัวอย่างลู่เข้าสู่ความปกติขึ้นอยู่กับความเบ้ของการแจกแจงของข้อมูลดั้งเดิม ตัวอย่างอาจแตกต่างกันไปตั้งแต่ 30 ถึง 100 หรือค่าที่สูงกว่านั้นขึ้นอยู่กับความเบ้^{[ 22 ] [ 23 ]}

สำหรับข้อมูลที่ไม่เป็นไปตามการแจกแจงแบบปกติ การแจกแจงของความแปรปรวนของตัวอย่างอาจเบี่ยงเบนไปจากการแจกแจง ^แบบ χ² อย่างมาก

อย่างไรก็ตาม หากขนาดตัวอย่างมีขนาดใหญ่ทฤษฎีบทของสลุตสกีบ่งชี้ว่าการกระจายตัวของความแปรปรวนของตัวอย่างจะมีผลกระทบต่อการกระจายตัวของค่าสถิติการทดสอบน้อยมาก กล่าวคือ เมื่อขนาดตัวอย่างเพิ่มขึ้น: ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\sqrt {n}}({\bar {X}}-\mu )\xrightarrow {d} N(0,\sigma ^{2})}$ตามทฤษฎีบทลิมิตกลาง

${\displaystyle s^{2}\xrightarrow {p} \sigma ^{2}}$ตามกฎของจำนวนมาก

${\displaystyle \therefore {\frac {{\sqrt {n}}({\bar {X}}-\mu )}{s}}\xrightarrow {d} N(0,1)}$.

ด้านล่างนี้คือ สูตรที่ใช้ในการทดสอบt แบบต่างๆ อย่างชัดเจน ในแต่ละกรณี จะมีสูตรสำหรับค่าสถิติการทดสอบที่สอดคล้องกับหรือใกล้เคียงกับการ แจกแจง tภายใต้สมมติฐานว่าง นอกจากนี้ ยังมี การระบุ ระดับความเป็นอิสระ ที่เหมาะสม ในแต่ละกรณีด้วย ค่าสถิติเหล่านี้สามารถใช้ในการทดสอบแบบด้านเดียวหรือสองด้านก็ได้

เมื่อกำหนดค่าt และระดับความเป็นอิสระแล้ว สามารถหาค่าp ได้โดยใช้ ตารางค่าจากการแจกแจงt ของนักเรียน หาก ค่า p ที่คำนวณได้ ต่ำกว่าเกณฑ์ที่เลือกไว้สำหรับนัยสำคัญทางสถิติ (โดยปกติคือระดับ 0.10, 0.05 หรือ 0.01) แสดงว่าสมมติฐานหลักถูกปฏิเสธและยอมรับสมมติฐานทางเลือก

สมมติว่าเรากำลังทำการปรับแบบจำลองให้เหมาะสม

${\displaystyle Y=\alpha +\beta x+\varepsilon ,}$

โดยที่xทราบค่าแล้วαและβไม่ทราบค่าεเป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบปกติ มีค่าเฉลี่ย 0 และความแปรปรวนσ² ที่ไม่ทราบค่า และYคือผลลัพธ์ที่สนใจ เราต้องการทดสอบสมมติฐานว่างที่ว่าค่าความชันβเท่ากับค่าที่กำหนดβ₀ ⁰ซึ่งในกรณีนี้สมมติฐานว่างคือxและyไม่มีความสัมพันธ์กัน)

อนุญาต

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\alpha }},{\hat {\beta }}&={\text{ตัวประมาณค่ากำลังสองน้อยที่สุด}},\\SE_{\hat {\alpha }},SE_{\hat {\beta }}&={\text{ค่าความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของตัวประมาณค่ากำลังสองน้อยที่สุด}}.\end{aligned}}}$

แล้ว

${\displaystyle t_{\text{score}}={\frac {{\hat {\beta }}-\beta _{0}}{SE_{\hat {\beta }}}}\sim {\mathcal {T}}_{n-2}}$

มี การแจกแจง แบบ tโดยมี องศาอิสระ n − 2ถ้าสมมติฐานว่างเป็นจริง ค่าความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของสัมประสิทธิ์ความชันคือ:

${\displaystyle SE_{\hat {\beta }}={\frac {\sqrt {\displaystyle {\frac {1}{n-2}}\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\hat {y}}_{i})^{2}}}{\sqrt {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}}$

สามารถเขียนได้ในรูปของค่าตกค้าง ให้

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\varepsilon }}_{i}&=y_{i}-{\hat {y}}_{i}=y_{i}-({\hat {\alpha }}+{\hat {\beta }}x_{i})={\text{residuals}}={\text{estimated errors}},\\{\text{SSR}}&=\sum _{i=1}^{n}{{\hat {\varepsilon }}_{i}}^{2}={\text{sum of squares of residuals}}.\end{aligned}}}$

จากนั้นtจะคำนวณได้จาก

${\displaystyle t_{\text{score}}={\frac {({\hat {\beta }}-\beta _{0}){\sqrt {n-2}}}{\sqrt {\frac {SSR}{\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}}.}$

อีกวิธีหนึ่งในการหาtคือ

${\displaystyle t_{\text{score}}={\frac {r{\sqrt {n-2}}}{\sqrt {1-r^{2}}}},}$

โดยที่rคือค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน

ค่าtสามารถหาได้จาก ค่า t :

${\displaystyle t_{\text{score,intercept}}={\frac {\alpha }{\beta }}{\frac {t_{\text{score,slope}}}{\sqrt {s_{\text{x}}^{2}+{\bar {x}}^{2}}}},}$

โดยที่s ²คือค่าความแปรปรวนของตัวอย่าง

เมื่อกำหนดกลุ่มสองกลุ่ม (1, 2) การทดสอบนี้จะใช้ได้เฉพาะเมื่อ:

• ขนาดตัวอย่างทั้งสองเท่ากัน
• สามารถสันนิษฐานได้ว่าการแจกแจงทั้งสองมีค่าความแปรปรวนเท่ากัน

การละเมิดข้อสมมติฐานเหล่านี้จะกล่าวถึงในหัวข้อถัดไป

สามารถคำนวณ ค่า สถิติ tเพื่อทดสอบว่าค่าเฉลี่ยแตกต่างกันหรือไม่ ดังนี้:

${\displaystyle t={\frac {{\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2}}{s_{p}{\sqrt {\frac {2}{n}}}}},}$

ที่ไหน

${\displaystyle s_{p}={\sqrt {\frac {s_{X_{1}}^{2}+s_{X_{2}}^{2}}{2}}}.}$

ในที่นี้s คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานรวมสำหรับn = n = n และs ² และส ² เป็นตัวประมาณค่าที่ไม่เอนเอียงของความแปรปรวนของประชากร ตัวส่วนของtคือค่าความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยสองค่า

สำหรับการทดสอบนัยสำคัญระดับความเป็นอิสระสำหรับการทดสอบนี้คือ2 n − 2โดยที่nคือขนาดของกลุ่มตัวอย่าง

การทดสอบนี้ใช้ได้เฉพาะเมื่อสามารถสันนิษฐานได้ว่าการแจกแจงทั้งสองมีค่าความแปรปรวนเท่ากัน (หากข้อสันนิษฐานนี้ไม่เป็นจริง โปรดดูด้านล่าง) สูตรก่อนหน้านี้เป็นกรณีพิเศษของสูตรด้านล่าง ซึ่งจะกลับมาใช้ได้อีกครั้งเมื่อตัวอย่างทั้งสองมีขนาดเท่ากัน: n = n = n

สามารถคำนวณ ค่า สถิติ tเพื่อทดสอบว่าค่าเฉลี่ยแตกต่างกันหรือไม่ ดังนี้:

${\displaystyle t={\frac {{\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2}}{s_{p}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{n_{1}}}+{\frac {1}{n_{2}}}}}}},}$

ที่ไหน

${\displaystyle s_{p}={\sqrt {\frac {(n_{1}-1)s_{X_{1}}^{2}+(n_{2}-1)s_{X_{2}}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}}}$

คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานรวมของตัวอย่างทั้งสอง: นิยามไว้เช่นนี้เพื่อให้ค่ากำลังสองของมันเป็นค่าประมาณที่ไม่เอนเอียงของความแปรปรวนร่วม ไม่ว่าค่าเฉลี่ยของประชากรจะเท่ากันหรือไม่ก็ตาม ในสูตรเหล่านี้n  − 1คือจำนวนองศาอิสระสำหรับแต่ละกลุ่ม และขนาดตัวอย่างทั้งหมดลบสอง (นั่นคือn  +  n  − 2 ) คือจำนวนองศาอิสระทั้งหมด ซึ่งใช้ในการทดสอบนัยสำคัญ

ผลกระทบที่ตรวจจับได้ขั้นต่ำ (MDE) คือ: ^{[ 24 ]}

${\displaystyle \delta \geq {\sqrt {\frac {2S_{p}^{2}}{n}}}(t_{1-\alpha ,\nu }+t_{1-\beta ,\nu })}$

การทดสอบนี้ หรือที่รู้จักกันในชื่อการทดสอบ t ของเวลช์ (Welch's t -test) ใช้เฉพาะในกรณีที่ความแปรปรวนของประชากรทั้งสองไม่เท่ากัน (ขนาดตัวอย่างทั้งสองอาจเท่ากันหรือไม่เท่ากันก็ได้) และดังนั้นจึงต้องประมาณค่าแยกกัน ค่าสถิติ tที่ใช้ทดสอบว่าค่าเฉลี่ยของประชากรแตกต่างกันหรือไม่นั้นคำนวณได้ดังนี้

${\displaystyle t={\frac {{\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2}}{s_{\bar {\Delta }}}},}$

ที่ไหน

${\displaystyle s_{\bar {\Delta }}={\sqrt {{\frac {s_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {s_{2}^{2}}{n_{2}}}}}.}$

ในที่นี้s ²คือ ตัวประมาณ ค่าความแปรปรวนที่ไม่เอนเอียงของแต่ละตัวอย่างทั้งสองตัวอย่าง โดยที่n = จำนวนผู้เข้าร่วมในกลุ่มi ( i = 1 หรือ 2) ในกรณีนี้ ไม่ใช่ความแปรปรวนแบบรวม สำหรับการใช้ในการทดสอบนัยสำคัญ การแจกแจงของสถิติทดสอบจะถูกประมาณเป็นแบบ การแจกแจง t ของนักเรียนทั่วไป โดยคำนวณองศาอิสระโดยใช้ ${\displaystyle (s_{\bar {\Delta }})^{2}}$

${\displaystyle {\text{d.f.}}={\frac {\left({\frac {s_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {s_{2}^{2}}{n_{2}}}\right)^{2}}{{\frac {(s_{1}^{2}/n_{1})^{2}}{n_{1}-1}}+{\frac {(s_{2}^{2}/n_{2})^{2}}{n_{2}-1}}}}.}$

นี่คือสมการที่เรียกว่าสมการเวลช์-แซตเตอร์เวท (Welch–Satterthwaite equation ) การกระจายตัวที่แท้จริงของค่าสถิติการทดสอบนั้นขึ้นอยู่กับ (เล็กน้อย) ค่าความแปรปรวนของประชากรที่ไม่ทราบค่าสองค่า (ดูปัญหาเบห์เรนส์-ฟิชเชอร์ (Behrens–Fisher problem ))

การทดสอบ^{[ 25 ]}เกี่ยวข้องกับปัญหา Behrens–Fisher ที่มีชื่อเสียง กล่าวคือ การเปรียบเทียบความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยของประชากรสองกลุ่มที่มีการแจกแจงแบบปกติ เมื่อไม่ถือว่าความแปรปรวนของประชากรทั้งสองกลุ่มเท่ากัน โดยอาศัยตัวอย่างอิสระสองตัวอย่าง

การทดสอบนี้ได้รับการพัฒนาขึ้นเพื่อเป็นการทดสอบที่แม่นยำซึ่งอนุญาตให้ขนาดตัวอย่างไม่เท่ากันและความแปรปรวนของประชากรสองกลุ่มไม่เท่ากัน คุณสมบัติความแม่นยำยังคงใช้ได้แม้กับขนาดตัวอย่างที่เล็กมากและ ไม่สมดุล (เช่นเทียบกับ) ${\displaystyle \ m\equiv n_{\mathsf {X}}=50\ }$${\displaystyle \ n\equiv n_{\mathsf {Y}}=5\ }$

สามารถคำนวณค่าสถิติเพื่อทดสอบว่าค่าเฉลี่ยแตกต่างกันหรือไม่ ดังนี้:

ให้และเป็นเวกเตอร์ตัวอย่างแบบอิสระและมีแจกแจงเหมือนกัน (สำหรับ) จากและตามลำดับ ${\displaystyle \ X=\left[\ X_{1},X_{2},\ldots ,X_{m}\ \right]^{\top }\ }$${\displaystyle \ Y=\left[\ Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{n}\ \right]^{\top }\ }$${\displaystyle \ m\geq n\ }$${\displaystyle \ {\mathsf {Norm}}\left(\ \mu _{\mathsf {X}},\ \sigma _{\mathsf {X}}^{2}\ \right)\ }$${\displaystyle \ {\mathsf {Norm}}\left(\ \mu _{\mathsf {Y}},\ \sigma _{\mathsf {Y}}^{2}\ \right)\ }$

ให้เป็นเมทริกซ์เชิงตั้งฉากที่มีองค์ประกอบในแถวแรกทั้งหมดเหมือนกัน และให้เป็นแถวแรก ๆของเมทริกซ์เชิงตั้งฉาก (ที่มีองค์ประกอบในแถวแรกทั้งหมดเหมือนกัน) ${\displaystyle \ (P^{\top })_{n\times n}\ }$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \ {\tfrac {1}{\sqrt {n\ }}}\ ,}$${\displaystyle \ (Q^{\top })_{n\times m}\ }$${\displaystyle \ n\ }$${\displaystyle \ m\times m\ }$${\displaystyle \ {\tfrac {1}{\sqrt {m\ }}}\ }$

ดังนั้น จึงเป็น เวกเตอร์สุ่มปกติ nมิติ: ${\displaystyle \ Z\equiv {\frac {\ \left(Q^{\top }\right)_{n\times m}\ X\ }{\sqrt {m\ }}}\ -\ {\frac {\ \left(P^{\top }\right)_{n\times n}\ Y\ }{\sqrt {n\ }}}\ }$

${\displaystyle Z~\sim ~{\mathsf {Norm}}\left(\ \left[\ \mu _{\mathsf {X}}-\mu _{\mathsf {Y}},\ 0,\ 0,\ \ldots ,\ 0\ \right]^{\top }\ ,\ \left({\frac {\ \sigma _{\mathsf {X}}^{2}\ }{m}}+{\frac {\ \sigma _{\mathsf {Y}}^{2}\ }{n}}\right)\ I_{n}\ \right)~.}$

จากข้อมูลการกระจายข้างต้น เราจะเห็นว่าองค์ประกอบแรกของเวกเตอร์Zคือ

${\displaystyle Z_{1}={\bar {X}}-{\bar {Y}}={\frac {1}{\ m\ }}\sum _{i=1}^{m}\ X_{i}-{\frac {1}{\ n\ }}\sum _{j=1}^{n}\ Y_{j}\ ,}$

ดังนั้นองค์ประกอบแรกจึงถูกกระจายดังนี้

${\displaystyle Z_{1}-\left(\mu _{\mathsf {X}}-\mu _{\mathsf {Y}}\right)~\sim ~{\mathsf {Norm}}\left(\ 0,\ {\frac {\ \sigma _{\mathsf {X}}^{2}\ }{m}}+{\frac {\ \sigma _{\mathsf {Y}}^{2}\ }{n}}\ \right)\ ,}$

และกำลังสองขององค์ประกอบที่เหลือของZ มีการกระจาย แบบไคกำลังสอง

${\displaystyle {\frac {\ \sum _{i=2}^{n}Z_{i}^{2}\ }{\ n-1\ }}~\sim ~{\frac {\ \chi _{n-1}^{2}\ }{\ n-1\ }}\times \left({\frac {\ \sigma _{\mathsf {X}}^{2}\ }{m}}+{\frac {\ \sigma _{\mathsf {Y}}^{2}\ }{n}}\right)}$

และโดยการสร้างเมทริกซ์เชิงตั้งฉากPและQเราจะได้ว่า

${\displaystyle Z_{1}-\left(\mu _{\mathsf {X}}-\mu _{\mathsf {Y}}\right)\quad \perp \quad \sum _{i=2}^{n}Z_{i}^{2}\ ,}$

ดังนั้นZ ซึ่งเป็นองค์ประกอบแรกของZจึงเป็นอิสระทางสถิติจากองค์ประกอบที่เหลือโดยอาศัยความเป็นตั้งฉาก สุดท้าย ให้ใช้ค่าสถิติการทดสอบเป็น

${\displaystyle T_{\mathsf {e}}~\equiv ~{\frac {\ Z_{1}-\left(\mu _{\mathsf {X}}-\mu _{\mathsf {Y}}\right)\ }{\ {\sqrt {\left(\sum _{i=2}^{n}Z_{i}^{2}\right)/\left(n-1\right)\ }}\ }}~\sim ~t_{n-1}~.}$

การทดสอบนี้ใช้เมื่อตัวอย่างมีความสัมพันธ์กัน กล่าวคือ เมื่อมีตัวอย่างเพียงหนึ่งเดียวที่ได้รับการทดสอบสองครั้ง (การวัดซ้ำ) หรือเมื่อมีตัวอย่างสองตัวอย่างที่จับคู่กัน นี่คือตัวอย่างของการทดสอบความแตกต่างแบบจับคู่ ค่า สถิติtคำนวณได้ดังนี้

${\displaystyle t={\frac {{\bar {X}}_{D}-\mu _{0}}{s_{D}/{\sqrt {n}}}},}$

โดยที่และคือค่าเฉลี่ยและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของความแตกต่างระหว่างคู่ทั้งหมด คู่เหล่านี้อาจเป็นคะแนนก่อนและหลังการทดสอบของบุคคลคนเดียว หรือคู่ของบุคคลที่จับคู่กันเป็นกลุ่มที่มีความหมาย (ตัวอย่างเช่น มาจากครอบครัวเดียวกันหรือกลุ่มอายุเดียวกัน ดูตาราง) ค่าคงที่จะเป็นศูนย์หากเราต้องการทดสอบว่าค่าเฉลี่ยของความแตกต่างนั้นแตกต่างกันอย่างมีนัยสำคัญหรือไม่ ระดับความเป็นอิสระที่ใช้คือn − 1โดยที่nแทนจำนวนคู่ ${\displaystyle {\bar {X}}_{D}}$${\displaystyle s_{D}}$

ตัวอย่างของคู่ที่ตรงกัน คู่ ชื่อ อายุ ทดสอบ 1 จอห์น 35 250 1 เจน 36 340 2 จิมมี่ 22 460 2 เจสซี่ 21 200

ตัวอย่างของการวัดซ้ำ ตัวเลข ชื่อ การทดสอบที่ 1 การทดสอบที่ 2 1 ไมค์ 35% 67% 2 เมลานี 50% 46% 3 เมลิสสา 90% 86% 4 มิทเชลล์ 78% 91%

ตัวอย่างการใช้งาน

ให้A แทนเซตที่ได้จากการสุ่มตัวอย่างการวัดหกครั้ง:

${\displaystyle A_{1}=\{30.02,\ 29.99,\ 30.11,\ 29.97,\ 30.01,\ 29.99\}}$

และให้A แทนเซตที่สองที่ได้มาในทำนองเดียวกัน:

${\displaystyle A_{2}=\{29.89,\ 29.93,\ 29.72,\ 29.98,\ 30.02,\ 29.98\}}$

ตัวอย่างเช่น น้ำหนักของสกรูที่ผลิตจากเครื่องจักรสองเครื่องที่แตกต่างกัน

เราจะทำการทดสอบสมมติฐานว่างที่ว่าค่าเฉลี่ยของประชากรที่สุ่มตัวอย่างมาทั้งสองกลุ่มนั้นเท่ากัน

ผลต่างระหว่างค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างทั้งสองกลุ่ม ซึ่งแต่ละกลุ่มแทนด้วยX และปรากฏอยู่ในตัวเศษสำหรับวิธีการทดสอบสองกลุ่มตัวอย่างทั้งหมดที่กล่าวถึงข้างต้น คือ

${\displaystyle {\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2}=0.095.}$

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ของ ตัวอย่างทั้งสองมีค่าประมาณ 0.05 และ 0.11 ตามลำดับ สำหรับตัวอย่างขนาดเล็กเช่นนี้ การทดสอบความเท่าเทียมกันระหว่างความแปรปรวนของประชากรทั้งสองจะไม่ค่อยมีประสิทธิภาพมากนัก เนื่องจากขนาดตัวอย่างเท่ากัน การทดสอบ t สองตัวอย่างทั้งสองรูปแบบ จึงให้ผลลัพธ์ที่คล้ายคลึงกันในตัวอย่างนี้

ความแปรปรวนที่ไม่เท่ากัน

หากใช้วิธีการคำนวณสำหรับความแปรปรวนที่ไม่เท่ากัน (ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น) ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นดังนี้

${\displaystyle {\sqrt {{\frac {s_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {s_{2}^{2}}{n_{2}}}}}\approx 0.04849}$

และระดับความเป็นอิสระ

${\displaystyle {\text{d.f.}}\approx 7.031.}$

ค่าสถิติการทดสอบอยู่ที่ประมาณ 1.959 ซึ่งให้ ค่า p -value ของการทดสอบแบบสองด้านเท่ากับ 0.09077

ความแปรปรวนที่เท่ากัน

หากใช้วิธีการสำหรับความแปรปรวนที่เท่ากัน (ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น) ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นดังนี้

${\displaystyle s_{p}\approx 0.08399}$

และระดับความเป็นอิสระ

${\displaystyle {\text{d.f.}}=10.}$

ค่าสถิติการทดสอบมีค่าประมาณ 1.959 ซึ่งให้ ค่า p แบบสองด้าน เท่ากับ 0.07857

การทดสอบทางสถิติที่เกี่ยวข้อง

ทางเลือกอื่นนอกเหนือจากt -test สำหรับปัญหาเกี่ยวกับตำแหน่งที่ตั้ง

การ ทดสอบ tให้การทดสอบที่แม่นยำสำหรับความเท่าเทียมกันของค่าเฉลี่ยของประชากรปกติอิสระและกระจายเหมือนกันสองกลุ่มที่มีความแปรปรวนที่ไม่ทราบค่าแต่เท่ากัน ( การทดสอบtของ Welchเป็นการทดสอบที่แม่นยำเกือบสมบูรณ์สำหรับกรณีที่ข้อมูลมีการกระจายแบบปกติ แต่ความแปรปรวนอาจแตกต่างกัน) สำหรับตัวอย่างที่มีขนาดปานกลางและการทดสอบแบบหางเดียว การ ทดสอบ tมีความทนทานต่อการละเมิดสมมติฐานเรื่องการกระจายแบบปกติในระดับ ปานกลาง ^{[ 26 ]}ในตัวอย่างที่มีขนาดใหญ่พอ การทดสอบ t จะเข้าใกล้ การทดสอบzในเชิงอะ ซิมโทติก และมีความทนทานแม้กระทั่งต่อการเบี่ยงเบนจากการกระจายแบบปกติในระดับมาก^{[ 18 ]}

หากข้อมูลมีการกระจายตัวที่ไม่เป็นไปตามการแจกแจงแบบปกติอย่างมาก และขนาดของกลุ่มตัวอย่างมีขนาดเล็ก การทดสอบ tอาจให้ผลลัพธ์ที่คลาดเคลื่อนได้ โปรดดูการทดสอบตำแหน่งสำหรับการแจกแจงแบบผสมมาตราส่วนเกาส์เซียนสำหรับทฤษฎีบางส่วนที่เกี่ยวข้องกับตระกูลการแจกแจงที่ไม่เป็นไปตามการแจกแจงแบบปกติโดยเฉพาะ

เมื่อสมมติฐานเรื่องความปกติไม่เป็นจริง ทางเลือก ที่ไม่ใช้พารามิเตอร์แทน การทดสอบ tอาจมีพลังทางสถิติ ที่ดีกว่า อย่างไรก็ตาม เมื่อข้อมูลไม่เป็นไปตามปกติและมีความแปรปรวนที่แตกต่างกันระหว่างกลุ่ม การทดสอบ tอาจมีการควบคุมข้อผิดพลาดประเภทที่ 1 ได้ดีกว่าทางเลือกที่ไม่ใช้พารามิเตอร์บางอย่าง ^{[ 27 ]}นอกจากนี้ วิธีการที่ไม่ใช้พารามิเตอร์ เช่นการทดสอบ Mann-Whitney Uที่กล่าวถึงด้านล่าง โดยทั่วไปจะไม่ทดสอบความแตกต่างของค่าเฉลี่ย ดังนั้นจึงควรใช้อย่างระมัดระวังหากความแตกต่างของค่าเฉลี่ยเป็นสิ่งที่น่าสนใจทางวิทยาศาสตร์เป็นหลัก^{[ 18 ]}ตัวอย่างเช่น การทดสอบ Mann-Whitney U จะรักษาระดับข้อผิดพลาดประเภทที่ 1 ไว้ที่ระดับอัลฟาที่ต้องการ หากทั้งสองกลุ่มมีการกระจายตัวเหมือนกัน นอกจากนี้ยังมีพลังในการตรวจจับทางเลือกที่กลุ่ม B มีการกระจายตัวเหมือนกับกลุ่ม A แต่หลังจากมีการเปลี่ยนแปลงบางอย่างด้วยค่าคงที่ (ในกรณีนี้จะมีค่าเฉลี่ยที่แตกต่างกันระหว่างสองกลุ่ม) อย่างไรก็ตาม อาจมีกรณีที่กลุ่ม A และ B มีการกระจายตัวที่แตกต่างกัน แต่มีค่าเฉลี่ยเท่ากัน (เช่น การกระจายตัวสองแบบ แบบหนึ่งมีความเบ้เป็นบวก และอีกแบบมีความเบ้เป็นลบ แต่มีการเลื่อนเพื่อให้มีค่าเฉลี่ยเท่ากัน) ในกรณีเช่นนี้ MW อาจมีอำนาจในการปฏิเสธสมมติฐานว่างมากกว่าระดับอัลฟา แต่การตีความว่าความแตกต่างของค่าเฉลี่ยเป็นผลมาจากผลลัพธ์ดังกล่าวจะไม่ถูกต้อง

ในกรณีที่มีค่าผิดปกติการ ทดสอบ tจะไม่แข็งแกร่ง ตัวอย่างเช่น สำหรับตัวอย่างอิสระสองตัวอย่าง เมื่อการกระจายข้อมูลไม่สมมาตร (นั่นคือ การกระจายเบี่ยงเบน)หรือการกระจายมีหางขนาดใหญ่ การทดสอบ Wilcoxon rank-sum (หรือที่รู้จักกันในชื่อการทดสอบMann–Whitney U ) สามารถมีกำลังการทดสอบสูงกว่าการทดสอบt ถึงสามถึงสี่เท่า ^{[ 26 ] [ 28 ] [ 29 ]}การทดสอบWilcoxon signed-rank สำหรับตัวอย่างจับคู่ เป็นการ ทดสอบ แบบไม่ใช้พารามิเตอร์ สำหรับการ อภิปรายเกี่ยวกับการเลือกใช้ระหว่าง การทดสอบ tและทางเลือกแบบไม่ใช้พารามิเตอร์ โปรดดู Lumley และคณะ (2002) ^{[ 18 ]}

การวิเคราะห์ความแปรปรวนแบบทางเดียว (ANOVA) เป็นการขยายผลของการทดสอบ tสองกลุ่มตัวอย่างเมื่อข้อมูลมีมากกว่าสองกลุ่ม

การออกแบบที่รวมทั้งการสังเกตแบบจับคู่และการสังเกตแบบอิสระ

เมื่อมีทั้งการสังเกตแบบจับคู่และการสังเกตแบบอิสระในแบบแผนตัวอย่างสองตัวอย่าง โดยสมมติว่าข้อมูลขาดหายไปโดยสมบูรณ์แบบสุ่ม (MCAR) การสังเกตแบบจับคู่หรือการสังเกตแบบอิสระอาจถูกละทิ้งเพื่อดำเนินการทดสอบมาตรฐานข้างต้นต่อไป หรืออีกทางหนึ่ง การใช้ข้อมูลที่มีอยู่ทั้งหมด โดยสมมติว่าเป็นแบบปกติและ MCAR สามารถใช้การทดสอบt แบบตัวอย่างที่ทับซ้อนกันบางส่วนแบบทั่วไปได้ ^{[ 30 ]}

การทดสอบแบบหลายตัวแปร

สถิติ t -squared ของ Hotellingซึ่งเป็นการขยายผลของ สถิติ t ของ Student ช่วยให้สามารถทดสอบสมมติฐานกับตัวแปรหลายตัว (ซึ่งมักมีความสัมพันธ์กัน) ภายในกลุ่มตัวอย่างเดียวกันได้ ตัวอย่างเช่น นักวิจัยอาจทำการทดสอบบุคลิกภาพกับกลุ่มตัวอย่างจำนวนหนึ่ง ซึ่งประกอบด้วยมาตรวัดบุคลิกภาพหลายมาตรวัด (เช่น แบบทดสอบบุคลิกภาพMinnesota Multiphasic Personality Inventory ) เนื่องจากตัวแปรประเภทนี้มักมีความสัมพันธ์เชิงบวก จึงไม่ควรทำการทดสอบt แบบตัวแปรเดียวแยกกัน เพื่อทดสอบสมมติฐาน เพราะจะละเลยความแปรปรวนร่วมระหว่างตัวแปรและเพิ่มโอกาสที่จะปฏิเสธสมมติฐานอย่างน้อยหนึ่งข้ออย่างผิดพลาด ( ข้อผิดพลาดประเภทที่ 1 ) ในกรณีนี้ การทดสอบแบบหลายตัวแปรเพียงครั้งเดียวจึงเหมาะสมกว่าสำหรับการทดสอบสมมติฐานวิธีของ Fisherสำหรับการรวมการทดสอบหลายครั้งโดย ลด ค่าอัลฟา ลงสำหรับความสัมพันธ์เชิงบวกระหว่างการทดสอบเป็นหนึ่งในนั้น อีกวิธีหนึ่งคือ สถิติT2ของ Hotelling ซึ่งมีการแจกแจง ^แบบ T2อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ การแจกแจงนี้ไม่ค่อยได้ใช้ เนื่องจากหาค่า^T2ในตาราง^ได้ ยาก โดยปกติแล้ว^ค่า T2จะถูกแปลงเป็นค่าสถิติ F แทน

สำหรับการทดสอบหลายตัวแปรแบบตัวอย่างเดียว สมมติฐานคือเวกเตอร์ค่าเฉลี่ย ( μ ) เท่ากับเวกเตอร์ที่กำหนด ( )สถิติการทดสอบคือHotelling 's t² ^:

${\displaystyle t^{2}=n({\bar {\mathbf {x} }}-{{\boldsymbol {\mu }}_{0}})'{\mathbf {S} }^{-1}({\bar {\mathbf {x} }}-{{\boldsymbol {\mu }}_{0}})}$

โดยที่nคือขนาดของกลุ่มตัวอย่างxคือเวกเตอร์ของค่าเฉลี่ยคอลัมน์ และSคือ เมท ริก ซ์ความแปรปรวนร่วมของกลุ่มตัวอย่างขนาดm × m

สำหรับการทดสอบหลายตัวแปรแบบสองกลุ่มตัวอย่าง สมมติฐานคือเวกเตอร์ค่าเฉลี่ย ( μ , μ ) ของสองกลุ่มตัวอย่างเท่ากัน สถิติการทดสอบคือt ²แบบสองกลุ่มตัวอย่างของ Hotelling :

${\displaystyle t^{2}={\frac {n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}\left({\bar {\mathbf {x} }}_{1}-{\bar {\mathbf {x} }}_{2}\right)'{\mathbf {S} _{\text{pooled}}}^{-1}\left({\bar {\mathbf {x} }}_{1}-{\bar {\mathbf {x} }}_{2}\right).}$

การทดสอบ tสองกลุ่มตัวอย่างเป็นกรณีพิเศษของการถดถอยเชิงเส้นอย่างง่าย

การทดสอบ tสองกลุ่มตัวอย่างเป็นกรณีพิเศษของการถดถอยเชิงเส้น แบบง่าย ^{[ 31 ] [ 32 ] [ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ]}ความสัมพันธ์นี้แสดงให้เห็นได้จากตัวอย่างต่อไปนี้

การทดลองทางคลินิกตรวจสอบผู้ป่วย 6 รายที่ได้รับยาหรือยาหลอก ผู้ป่วย 3 รายได้รับยา 0 หน่วย (กลุ่มยาหลอก) ผู้ป่วย 3 รายได้รับยา 1 หน่วย (กลุ่มรักษาจริง) เมื่อสิ้นสุดการรักษา นักวิจัยจะวัดการเปลี่ยนแปลงจากค่าพื้นฐานในจำนวนคำที่ผู้ป่วยแต่ละรายสามารถจำได้ในการทดสอบความจำ

ตารางแสดงค่าการจดจำคำศัพท์และขนาดยาของผู้ป่วยแสดงอยู่ด้านล่าง

อดทน	ขนาดยา	เรียกคืนคำ
1	0	1
2	0	2
3	0	3
4	1	5
5	1	6
6	1	7

มีการให้ข้อมูลและโค้ดสำหรับการวิเคราะห์โดยใช้ภาษาโปรแกรม Rพร้อมt.testฟังก์ชันlmสำหรับการทดสอบ t และการถดถอยเชิงเส้น ต่อไปนี้คือข้อมูล (สมมติ) ชุดเดียวกันข้างต้นที่สร้างขึ้นใน R

> word.recall.data = data.frame ( drug.dose = c ( 0 , 0 , 0 , 1 , 1 , 1 ), word.recall = c ( 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 7 ))

ทำการทดสอบt -test โปรดสังเกตว่าจำเป็นต้องมีสมมติฐานเรื่องความแปรปรวนเท่ากัน (σ²/σ²) var.equal=Tเพื่อให้การวิเคราะห์เทียบเท่ากับการถดถอยเชิงเส้นอย่างง่ายอย่างแท้จริง

> ด้วย( ข้อมูลการเรียกคืนคำ, การทดสอบ t ( ข้อมูลการเรียกคืนคำ~ ปริมาณยา, ตัวแปรเท่ากับT ))

เมื่อรันโค้ด R จะได้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้

• ค่าเฉลี่ยการจำคำศัพท์ในกลุ่มที่ไม่ได้รับยาขนาด 0 คือ 2
• ค่าเฉลี่ยการจำคำศัพท์ในกลุ่มที่ได้รับยาขนาดเดียวคือ 6
• ความแตกต่างระหว่างกลุ่มทดลองในค่าเฉลี่ยการจำคำศัพท์คือ 6 – 2 = 4
• ความแตกต่างของการจดจำคำศัพท์ระหว่างขนาดยาต่างๆ มีนัยสำคัญทางสถิติ (p=0.00805)

ทำการวิเคราะห์การถดถอยเชิงเส้นกับข้อมูลชุดเดียวกัน การคำนวณสามารถทำได้โดยใช้ฟังก์ชันlm()สำหรับแบบจำลองเชิงเส้นในโปรแกรม R

> word.recall.data.lm = lm ( word.recall ~ drug.dose , data = word.recall.data ) > summary ( word.recall.data.lm )

การวิเคราะห์การถดถอยเชิงเส้นจะให้ตารางแสดงค่าสัมประสิทธิ์และค่า p-value

สัมประสิทธิ์	ประมาณการ	ข้อผิดพลาดมาตรฐาน	ค่า t	ค่า P
สกัดกั้น	2	0.5774	3.464	0.02572
ขนาดยา	4	0.8165	4.899	0.000805

ตารางสัมประสิทธิ์ให้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้

• ค่าประมาณของจุดตัดแกน y ที่ได้คือ 2 ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยของการจำคำศัพท์เมื่อปริมาณยาเป็น 0
• ค่าประมาณ 4 สำหรับขนาดยาบ่งชี้ว่า การเปลี่ยนแปลงขนาดยา 1 หน่วย (จาก 0 เป็น 1) จะทำให้ค่าเฉลี่ยการจำคำศัพท์เปลี่ยนแปลงไป 4 หน่วย (จาก 2 เป็น 6) ซึ่งนี่คือความชันของเส้นตรงที่เชื่อมค่าเฉลี่ยของทั้งสองกลุ่ม
• ค่า p ที่แสดงว่าความชันของ 4 แตกต่างจาก 0 คือ p = 0.00805

สัมประสิทธิ์ของการถดถอยเชิงเส้นระบุค่าความชันและค่าจุดตัดแกน y ของเส้นที่เชื่อมค่าเฉลี่ยของทั้งสองกลุ่ม ดังแสดงในกราฟ ค่าจุดตัดแกน y คือ 2 และค่าความชันคือ 4

เปรียบเทียบผลลัพธ์จากการวิเคราะห์การถดถอยเชิงเส้นกับผลลัพธ์จากการทดสอบ t

• จากการ ทดสอบ t -test พบว่าความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยของกลุ่มคือ 6-2=4
• จากสมการถดถอย ค่าความชันก็คือ 4 เช่นกัน ซึ่งบ่งชี้ว่าการเปลี่ยนแปลงขนาดยา 1 หน่วย (จาก 0 เป็น 1) จะทำให้ค่าเฉลี่ยการจำคำศัพท์เปลี่ยนแปลงไป 4 หน่วย (จาก 2 เป็น 6)
• ค่าpของการทดสอบtสำหรับความแตกต่างของค่าเฉลี่ย และค่า p ของการถดถอยสำหรับความชัน มีค่าเท่ากับ 0.00805 ทั้งคู่ ซึ่งแสดงให้เห็นว่าทั้งสองวิธีให้ผลลัพธ์ที่เหมือนกัน

ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่า ในกรณีพิเศษของการถดถอยเชิงเส้นอย่างง่ายที่มีตัวแปร x เพียงตัวเดียวซึ่งมีค่าเป็น 0 และ 1 การทดสอบ tจะให้ผลลัพธ์เช่นเดียวกับการถดถอยเชิงเส้น ความสัมพันธ์นี้สามารถแสดงได้ด้วยวิธีทางพีชคณิตเช่นกัน

การรับรู้ถึงความสัมพันธ์ระหว่าง การทดสอบ tและการถดถอยเชิงเส้นนี้ทำให้สามารถใช้การถดถอยเชิงเส้นหลายตัวแปรและการวิเคราะห์ความแปรปรวน แบบหลายทางได้ง่ายขึ้น ทางเลือกเหล่านี้แทน การทดสอบ tช่วยให้สามารถรวมตัวแปรอธิบาย เพิ่มเติมที่เกี่ยวข้องกับการตอบสนองได้ การรวมตัวแปรอธิบายเพิ่มเติมดังกล่าวโดยใช้การถดถอยหรือ ANOVA จะช่วยลด ความแปรปรวน ที่ไม่สามารถอธิบายได้และโดยทั่วไปจะให้พลัง ในการตรวจจับความแตกต่างได้มากกว่า การทดสอบtสองกลุ่มตัวอย่าง^{[ 37 ]}

กำลังการทดสอบและขนาดตัวอย่างสำหรับการทดสอบ t

กำลังของการทดสอบ คือ ความน่าจะเป็นที่การทดสอบจะปฏิเสธสมมติฐานว่างเมื่อสมมติฐานทางเลือกเป็นจริง

การคำนวณกำลังสำหรับการทดสอบ t สองกลุ่มตัวอย่างต้องใช้ข้อมูลต่อไปนี้^{[ 38 ]}

• ความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยของทั้งสองกลุ่ม
• ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานภายในกลุ่ม (หากทั้งสองกลุ่มมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากัน)
• ขนาดตัวอย่าง (จำนวนผู้เข้าร่วมการทดลอง) ในแต่ละกลุ่ม
• ค่า p-value (อัลฟา) ที่ต้องการสำหรับการพิจารณาความสำคัญทางสถิติ

ในการคำนวณกำลังการทดสอบ อาจเป็นประโยชน์ที่จะคำนวณขนาดผลกระทบมาตรฐาน ซึ่งคือผลต่างระหว่างค่าเฉลี่ยทั้งสองหารด้วยส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานภายในกลุ่ม ตัวอย่างเช่น สมมติว่าค่าเฉลี่ยของกลุ่ม A คือ 14 และค่าเฉลี่ยของกลุ่ม B คือ 10 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานภายในกลุ่มคือ 8 หน่วย (โดยสมมติว่าทั้งสองกลุ่มมีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากัน) ดังนั้นผลต่างระหว่างค่าเฉลี่ยของกลุ่มคือ 14-10 = 4 หน่วย และขนาดผลกระทบมาตรฐานคือ (14-10)/8 = 4/8 = 0.5

กราฟด้านล่างแสดงค่ากำลังการทดสอบ (power) สำหรับขนาดผลกระทบมาตรฐานตั้งแต่ 0.1 ถึง 1 สำหรับขนาดตัวอย่างต่อกลุ่มตั้งแต่ 10 ถึง 50 โดยสมมติว่ามีจำนวนผู้เข้าร่วมในแต่ละกลุ่มเท่ากัน N ต่อกลุ่มคือจำนวนการสังเกตในแต่ละกลุ่ม ตัวอย่างเช่น สำหรับขนาดผลกระทบมาตรฐาน 0.5 ขนาดตัวอย่าง N = 10 ต่อกลุ่มจะให้ค่ากำลังการทดสอบน้อยกว่า 0.2 เล็กน้อย ในขณะที่ขนาดตัวอย่าง N = 50 ต่อกลุ่มจะให้ค่ากำลังการทดสอบประมาณ 0.7

มีเครื่องคำนวณกำลังการทดสอบและขนาดตัวอย่างให้บริการอยู่บนเว็บไซต์หลายแห่ง เช่น เว็บไซต์ต่อไปนี้

เครื่องคำนวณขนาดตัวอย่าง

เครื่องคำนวณขนาดตัวอย่างสำหรับการเปรียบเทียบค่าเฉลี่ยอิสระสองค่า

เว็บไซต์เหล่านี้อธิบายถึงแพ็กเกจซอฟต์แวร์ฟรีสำหรับคำนวณกำลังไฟฟ้าและขนาดตัวอย่าง

การวิเคราะห์กำลังการทดสอบสำหรับ t-test แบบสองกลุ่มอิสระ | ตัวอย่างการวิเคราะห์ข้อมูลด้วย R

จี*พาวเวอร์

ป.ล.

โปรแกรมซอฟต์แวร์เชิงพาณิชย์ เช่น โปรแกรมต่อไปนี้ มีฟังก์ชันในการคำนวณกำลังการทดสอบและขนาดตัวอย่างสำหรับการทดสอบ t และการทดสอบทางสถิติอื่นๆ อีกมากมาย

ซอฟต์แวร์คำนวณขนาดตัวอย่าง | ซอฟต์แวร์วิเคราะห์กำลังการทดสอบ | PASS | NCSS.com

เพิ่มประสิทธิภาพการออกแบบการทดลองทางคลินิกด้วย nQuery

[1]

สถิติ IBM SPSS

คุณสมบัติของกำลังการทดสอบและขนาดตัวอย่างใน Stata

โปรแกรม Minitab มีการวิเคราะห์กำลังการทดสอบและขนาดตัวอย่างแบบใดบ้าง?

การนำซอฟต์แวร์ไปใช้งาน

โปรแกรม สเปรดชีต และแพ็กเกจทางสถิติ หลายโปรแกรม เช่นQtiPlot , LibreOffice Calc , Microsoft Excel , SAS , SPSS , Stata , DAP , gretl , R , Python , PSPP , Wolfram Mathematica , MATLABและMinitabมีการใช้งานการทดสอบ t ของนักเรียน (Student's t -test) ไว้ด้วย

ภาษา/โปรแกรม	การทำงาน	หมายเหตุ
Microsoft Excel เวอร์ชันก่อนปี 2010	TTEST(array1, array2, tails, type)	[2]
Microsoft Excel 2010 และเวอร์ชันที่ใหม่กว่า	T.TEST(array1, array2, tails, type)	[3]
แอปเปิล นัมเบอร์ส	TTEST(sample-1-values, sample-2-values, tails, test-type)	[4]
ลิเบรออฟฟิศ แคลอรี	TTEST(Data1; Data2; Mode; Type)	[5]
Google Sheets	TTEST(range1, range2, tails, type)	[6]
เพิร์ล	t_test( $arr1, $arr2, var_equal => 1)	[7]
ไพธอน	scipy.stats.ttest_ind(a, b, equal_var=True)	[8]
MATLAB	ttest(data1, data2)	[9]
มาเทมาติกา	TTest[{data1,data2}]	[10]
อาร์	t.test(data1, data2, var.equal=TRUE)	[11]
เอสเอเอส	PROC TTEST	[12]
ชวา	tTest(sample1, sample2)	[13]
จูเลีย	EqualVarianceTTest(sample1, sample2)	[14]
สเตต้า	ttest data1 == data2	[15]

ดูเพิ่มเติม

• แบบจำลองการเปลี่ยนแปลงแบบมีเงื่อนไข
• การทดสอบความเท่าเทียมกัน  – เครื่องมือที่ใช้ในการสรุปผลทางสถิติจากข้อมูลที่สังเกตได้
• การทดสอบF  – การทดสอบสมมติฐานทางสถิติ
• การแจกแจงแบบ tที่ไม่เป็นศูนย์กลางในการวิเคราะห์กำลัง  – การแจกแจงความน่าจะเป็น
• สถิติtของนักเรียน  – อัตราส่วนในทางสถิติPages displaying short descriptions of redirect targets
• การทดสอบZ  – การทดสอบทางสถิติ
• การทดสอบMann–Whitney U  – การทดสอบแบบไม่ใช้พารามิเตอร์ของสมมติฐานว่าง
• การแก้ไขของ Šidák สำหรับการทดสอบt  – วิธีการทางสถิติ
• การทดสอบtของเวลช์  – การทดสอบทางสถิติเพื่อตรวจสอบว่าประชากรสองกลุ่มมีค่าเฉลี่ยเท่ากันหรือไม่
• การวิเคราะห์ความแปรปรวน  – การรวบรวมแบบจำลองทางสถิติ (ANOVA)
• การแจกแจงแบบ t  – การแจกแจงความน่าจะเป็น
• ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับค่าเฉลี่ยของการแจกแจงแบบปกติ (ดูที่นี่ ด้วย )

แหล่งที่มา

• โอมาโฮนี, ไมเคิล (1986). การประเมินทางประสาทสัมผัสของอาหาร: วิธีการและขั้นตอนทางสถิติ . สำนักพิมพ์ CRC . หน้า 487. ISBN 0-82477337-3.
• Press, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T.; Flannery, Brian P. (1992). Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing . Cambridge University Press . หน้า  616. ISBN 0-521-43108-5.

อ่านเพิ่มเติม

• Boneau, C. Alan (1960). "ผลกระทบของการละเมิดข้อสมมติฐานพื้นฐานของ การทดสอบ t " Psychological Bulletin . 57 (1): 49– 64. doi : 10.1037/h0041412 . PMID  13802482 .
• Edgell, Stephen E.; Noon, Sheila M. (1984). "ผลของการละเมิดภาวะปกติในการ ทดสอบ tของสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์" Psychological Bulletin . 95 (3): 576– 583. doi : 10.1037/0033-2909.95.3.576 .
• Chicco D.; Sichenze A.; Jurman G. (2025). "คู่มือฉบับย่อสำหรับการใช้การทดสอบ t ของนักเรียน การทดสอบ Mann-Whitney U การทดสอบไคสแควร์ และการทดสอบ Kruskal-Wallis ในสถิติชีวภาพ" BioData Mining . 18 ( 56) 56: 1– 51. doi : 10.1186/s13040-025-00465-6 . PMC  12366075 . PMID  40835959 .

ลิงก์ภายนอก

Wikiversity มีแหล่งข้อมูลการเรียนรู้เกี่ยวกับการทดสอบ t

Wikisourceภาษาอังกฤษมีข้อความต้นฉบับที่เกี่ยวข้องกับบทความนี้:

ความคลาดเคลื่อนที่น่าจะเป็นไปได้ของค่าเฉลี่ย

• "แบบทดสอบนักเรียน"สารานุกรมคณิตศาสตร์สำนักพิมพ์ EMS 2001 [1994]
• Trochim, William MK " การทดสอบ T " ฐานความรู้เกี่ยวกับวิธีการวิจัย conjoint.ly
• วิดีโอการบรรยายวิชาเศรษฐศาสตร์เชิงปริมาณ (หัวข้อ: การทดสอบสมมติฐาน)บน YouTubeโดย Mark Thoma