ในทฤษฎีสนามควอนตัมโมเดลσแบบไม่เชิงเส้นอธิบายสนามΣที่รับค่าในแมนิโฟลด์แบบไม่เชิงเส้นที่เรียกว่าแมนิโฟลด์เป้าหมาย  T โมเดล σ แบบ ไม่เชิงเส้นได้รับการแนะนำโดยGell-Mann & Lévy (1960 , §6) ซึ่งตั้งชื่อตามสนามที่สอดคล้องกับเมซอนsp ที่เรียกว่าσในโมเดลของพวกเขา^{[ 1 ]}บทความนี้กล่าวถึงการหาปริมาณของโมเดลซิกมาแบบไม่เชิงเส้นเป็นหลัก โปรดดูบทความพื้นฐานเกี่ยวกับโมเดลซิกมาสำหรับคำจำกัดความทั่วไปและสูตรและผลลัพธ์แบบคลาสสิก (ไม่ใช่ควอนตัม)

ระนาบเป้าหมายTมีเมตริกแบบรีมันน์ g Σ คือแผนที่อนุพันธ์จากปริภูมิ Minkowski M (หรือปริภูมิอื่น ๆ) ไป  ยัง T

ความหนาแน่นของลากรางจ์ในรูปแบบไครัลร่วมสมัย^{[ 2 ]}กำหนดโดย

${\displaystyle {\mathcal {L}}={1 \over 2}g(\partial ^{\mu }\Sigma ,\partial _{\mu }\Sigma )-V(\Sigma )}$

โดยที่เราใช้ลายเซ็นเมตริก + − − − และอนุพันธ์ย่อย∂Σกำหนดโดยส่วนหนึ่งของกลุ่มเจ็ทขนาด T × M และ V คือศักยภาพ

ในสัญกรณ์พิกัด โดยใช้พิกัดΣ ^a , a  = 1, ...,  nโดยที่nคือมิติของ  T ,

${\displaystyle {\mathcal {L}}={1 \over 2}g_{ab}(\Sigma )(\partial ^{\mu }\Sigma ^{a})(\partial _{\mu }\Sigma ^{b})-V(\Sigma ).}$

ในมิติที่มากกว่าสองมิติ โมเดล σ แบบไม่เชิงเส้น จะมีค่าคงที่การเชื่อมต่อที่มีมิติ และด้วยเหตุนี้จึงไม่สามารถปรับค่าใหม่ได้ด้วยการรบกวน อย่างไรก็ตาม โมเดลเหล่านี้แสดงให้เห็นจุดคงที่อัลตราไวโอเลตที่ไม่ธรรมดาของกลุ่มการปรับค่าใหม่ ทั้งในสูตรแลตทิซ^{[ 3 ] [ 4 ]}และในการขยายคู่ที่เสนอโดยKenneth G. Wilsonใน ตอนแรก ^{[ 5 ]}

ในทั้งสองแนวทาง จุดคงที่ของกลุ่มการปรับมาตรฐานที่ไม่ธรรมดาที่พบสำหรับแบบจำลองสมมาตรO(n)นั้น อธิบายจุดวิกฤตที่แยกเฟสที่เป็นระเบียบออกจากเฟสที่ไม่เป็นระเบียบในมิติที่มากกว่าสองได้ง่ายๆ นอกจากนี้ การคาดการณ์ของทฤษฎีแลตติสหรือทฤษฎีสนามควอนตัมที่ได้รับการปรับปรุงแล้ว สามารถนำไปเปรียบเทียบกับการทดลองในห้องปฏิบัติการเกี่ยวกับปรากฏการณ์วิกฤตได้เนื่องจาก แบบจำลอง O(n)อธิบายถึงเฟอร์โรแมกเนตไฮเซนเบิร์ก ทางกายภาพ และระบบที่เกี่ยวข้อง ผลลัพธ์ข้างต้นจึงชี้ให้เห็นถึงความล้มเหลวของทฤษฎีการรบกวนแบบง่ายในการอธิบายพฤติกรรมทางกายภาพของ แบบจำลองสมมาตร O(n) ได้อย่างถูกต้อง ในมิติที่มากกว่าสองมิติ และความจำเป็นสำหรับวิธีการที่ไม่ใช่การรบกวนที่ซับซ้อนกว่า เช่น การกำหนดสูตรแลตติส

นี่หมายความว่าทฤษฎีเหล่านี้จะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อเป็นทฤษฎีสนามที่มีประสิทธิภาพ เท่านั้น จำเป็นต้องมีฟิสิกส์ใหม่ในระดับระยะทางที่ฟังก์ชันสหสัมพันธ์แบบสองจุดที่เชื่อมต่อกันมีลำดับเดียวกันกับความโค้งของแมนิโฟลด์เป้าหมาย นี่เรียกว่าการเติมเต็ม UVของทฤษฎี มีแบบจำลอง σ แบบไม่เชิงเส้นพิเศษที่มีกลุ่ม  สมมาตรภายในG  * ถ้าGเป็นกลุ่ม LieและHเป็นกลุ่มย่อย Lieแล้วปริภูมิผลหารG / Hจะเป็นแมนิโฟลด์ (ภายใต้ข้อจำกัดทางเทคนิคบางประการ เช่น H เป็นเซตย่อยปิด) และยังเป็นปริภูมิเอกพันธุ์ของGหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือการรับรู้แบบไม่เชิงเส้นของ  GในหลายกรณีG / Hสามารถติดตั้งเมตริกแบบรีมันน์ซึ่ง ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ Gได้ นี่เป็นกรณีเสมอ ตัวอย่างเช่น ถ้าGเป็นกลุ่มกระชับ แบบจำลอง σ แบบไม่เชิงเส้นที่มี G/H เป็นแมนิโฟลด์เป้าหมาย พร้อมด้วย เมตริกแบบรีมันน์ที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ G และศักยภาพเป็นศูนย์ เรียกว่า แบบ จำลอง σแบบไม่เชิงเส้นในปริภูมิผลหาร (หรือปริภูมิโคเซต)

เมื่อคำนวณอินทิกรัลเส้นทางฟังก์ชันวัดจะต้อง "ถ่วงน้ำหนัก" ด้วยรากที่สองของ ดีเทอ ร์ มิแนนต์ของ  g

${\displaystyle {\sqrt {\det g}}{\mathcal {D}}\Sigma .}$

แบบจำลองนี้พิสูจน์แล้วว่ามีความเกี่ยวข้องในทฤษฎีสตริง โดยที่แมนิโฟลด์สองมิติถูกเรียกว่าเวิลด์ชีท แดเนียล ฟรีดานได้ให้การยอมรับความสามารถในการปรับค่ามาตรฐานทั่วไป^{[ 6 ]}เขาแสดงให้เห็นว่าทฤษฎีนี้ยอมรับสมการกลุ่มการปรับค่ามาตรฐาน ในลำดับชั้นนำของทฤษฎีการรบกวน ในรูปแบบ

${\displaystyle \lambda {\frac {\partial g_{ab}}{\partial \lambda }}=\beta _{ab}(T^{-1}g)=R_{ab}+O(T^{2})~,}$

โดยที่ R _abคือเทนเซอร์ริชชีของแมนิโฟลด์เป้าหมาย

นี่แสดงถึงการไหลของริชชี (Ricci flow ) ซึ่งสอดคล้องกับสมการสนามของไอน์สไตน์สำหรับแมนิโฟลด์เป้าหมายที่เป็นจุดคงที่ การมีอยู่ของจุดคงที่ดังกล่าวมีความสำคัญ เนื่องจากในระดับทฤษฎีการรบกวน นี้ ความไม่แปรเปลี่ยนเชิงคอนฟอร์มัลจะไม่สูญหายไปเนื่องจากการแก้ไขเชิงควอนตัม ดังนั้นทฤษฎีสนามควอนตัมของแบบจำลองนี้จึงสมเหตุสมผล (สามารถปรับค่าใหม่ได้)

การเพิ่มปฏิสัมพันธ์ที่ไม่เป็นเชิงเส้นเพิ่มเติมซึ่งแสดงถึงความผิดปกติของรสชาติไครัลส่งผลให้เกิดแบบจำลอง Wess–Zumino–Witten [ ^{7 ]} ซึ่งเสริมเรขาคณิตของการไหลเพื่อรวมการบิดรักษาความสามารถในการปรับมาตรฐานและนำไปสู่ จุดคง ^ที่อินฟราเรดเช่นกันเนื่องจากเทเลพาราเลลิซึม ("geometrostasis") ^{[ 8 ]}

ตัวอย่างที่มีชื่อเสียง ซึ่งมีความน่าสนใจเป็นพิเศษเนื่องจากคุณสมบัติทางโทโพโลยี คือ แบบจำลอง σ แบบ ไม่เชิงเส้นO(3)ในมิติ 1 + 1 โดยมีความหนาแน่นของลากรางจ์

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\tfrac {1}{2}}\ \partial ^{\mu }{\hat {n}}\cdot \partial _{\mu }{\hat {n}}}$

โดยที่ n̂ =( n ₁ , n ₂ , n ₃ ) พร้อมข้อจำกัด n̂ ⋅ n̂ =1 และμ =1,2

แบบจำลองนี้อนุญาตให้มีคำตอบของการกระทำแบบจำกัดเชิงโทโพโลยีได้ เนื่องจากที่ปริภูมิ-เวลาอนันต์ ความหนาแน่นของลากรางจ์จะต้องเป็นศูนย์ ซึ่งหมายความว่า n̂ = ค่าคงที่ที่อนันต์ ดังนั้น ในกลุ่มของคำตอบของการกระทำแบบจำกัด เราอาจระบุจุดที่อนันต์ว่าเป็นจุดเดียวได้ กล่าวคือ ปริภูมิ-เวลานั้นสามารถระบุได้ว่าเป็นทรงกลมรีมันน์

เนื่องจาก ฟิลด์ n̂อาศัยอยู่บนทรงกลมเช่นกัน การแมป S ² → S ²จึงปรากฏให้เห็น ซึ่งคำตอบจะถูกจำแนกโดยกลุ่มโฮโมโท ปีที่สอง ของทรงกลม 2 มิติ: คำตอบเหล่านี้เรียกว่า O(3) อินสแตนตอน

แบบจำลองนี้สามารถพิจารณาได้ในมิติ 1+2 เช่นกัน โดยที่โทโพโลยีจะมาจากส่วนตัดเชิงพื้นที่เท่านั้น ส่วนตัดเหล่านี้ถูกจำลองเป็น R^2 ที่มีจุดอยู่ที่อนันต์ ดังนั้นจึงมีโทโพโลยีเหมือนกับอินสแตนตอน O(3) ในมิติ 1+1 เรียกว่าลัมพ์แบบจำลองซิกมา

• แบบจำลองซิกมา
• แบบจำลองไครัล
• ลิตเติลฮิกส์
• สกายร์มิออนโซลิตอนในแบบจำลองซิกมาแบบไม่เชิงเส้น
• การกระทำของโพลยาคอฟ
• รุ่น WZW
• เมตริกฟูบินี-สตูดี (Fubini–Study metric ) เป็นเมตริกที่มักใช้กับแบบจำลองซิกมาแบบไม่เชิงเส้น
• ริชชี่ โฟลว์
• ความไม่แปรผันตามมาตราส่วน

• Ketov, Sergei (2009). "แบบจำลองซิกมาไม่เชิงเส้น" . Scholarpedia . 4 (1): 8508. Bibcode : 2009SchpJ...4.8508K . doi : 10.4249/scholarpedia.8508 .
• Kulshreshtha, U.; Kulshreshtha, DS (2002). "สูตรแฮมิลโทเนียนแบบ Front-Form, ปริพันธ์เส้นทาง และ BRST ของแบบจำลองซิกมาแบบไม่เชิงเส้น" วารสารฟิสิกส์เชิงทฤษฎีระหว่างประเทศ 41 ( 10): 1941– 1956. doi : 10.1023/A:1021009008129 . S2CID  115710780 .