ในทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีบทช่องว่างสามช่องทฤษฎีบทระยะทางสามระยะหรือข้อสันนิษฐานของสไตน์เฮาส์กล่าวว่า หากวางจุดบนวงกลมที่มุมจากจุดเริ่มต้น จะมีระยะทางที่แตกต่างกันอย่างมากที่สุดสามระยะระหว่างคู่ของจุดในตำแหน่งที่อยู่ติดกันรอบวงกลม เมื่อมีระยะทางสามระยะ ระยะทางที่มากที่สุดในสามระยะนั้นจะเท่ากับผลรวมของอีกสองระยะเสมอ^{[ 1 ]}เว้นแต่ว่าจะเป็นผลคูณเชิงตรรกะของจะมีระยะทางที่แตกต่างกันอย่างน้อยสองระยะด้วย ${\displaystyle n}$${\displaystyle \theta ,2\theta ,3\theta ,...}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \pi }$

ผลลัพธ์นี้ได้รับการคาดการณ์โดยHugo Steinhausและได้รับการพิสูจน์ในทศวรรษ 1950 โดยVera T. Sós , János SurányiและStanisław Świerczkowskiต่อมามีนักวิทยาศาสตร์คนอื่นๆ เพิ่มการพิสูจน์เพิ่มเติม การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทสามช่องว่าง ได้แก่ การศึกษาการเจริญเติบโตของพืชและระบบการปรับแต่งเสียงดนตรี รวมถึงทฤษฎีการสะท้อนแสงภายในกระจกสี่เหลี่ยม

ทฤษฎีบทช่องว่างสามช่องสามารถระบุได้ทางเรขาคณิตในแง่ของจุดบนวงกลม ในรูปแบบนี้ ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่า หากวางจุดบนวงกลมที่มุมจากจุดเริ่มต้น จะมีระยะห่างที่แตกต่างกันไม่เกินสามระยะระหว่างคู่ของจุดในตำแหน่งที่อยู่ติดกันรอบวงกลม รูปแบบที่เทียบเท่ากันและเป็นพีชคณิตมากกว่านั้นเกี่ยวข้องกับส่วนที่เป็นเศษส่วนของพหุคูณของจำนวนจริงโดยระบุว่า สำหรับจำนวนจริงบวกใดๆและจำนวนเต็มส่วนที่เป็นเศษส่วนของจำนวนจะแบ่งช่วงหน่วยออก เป็นช่วงย่อยที่มีความยาวแตกต่างกันไม่เกินสาม ^ระยะปัญหาทั้งสองเทียบเท่ากันภายใต้การจับคู่เชิงเส้นระหว่างช่วงหน่วยและเส้นรอบวงของวงกลม และการจับคู่ระหว่างจำนวนจริงและมุม^{[ 2 ] [ 3} ] ^{[ 4 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle \theta ,2\theta ,\dots ,n\theta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \alpha ,2\alpha ,\dots ,n\alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \theta =2\pi \alpha }$

ในการศึกษาฟิลโลแท็กซิสซึ่งเป็นการจัดเรียงใบบนลำต้นของพืช พบว่าใบแต่ละใบที่เรียงต่อกันบนลำต้นของพืชหลายชนิดจะหมุนไปจากใบก่อนหน้าด้วยมุมทองคำโดยประมาณมีการเสนอแนะว่ามุมนี้ทำให้ใบของพืชสามารถดูดซับแสงอาทิตย์ได้สูงสุด^{[ 5 ]}หากมองจากด้านปลายของลำต้นพืชที่เติบโตในลักษณะนี้ จะมีมุมที่แตกต่างกันอย่างมากที่สุดสามมุมระหว่างใบสองใบที่อยู่ติดกันในลำดับวัฏจักรตามมุมมองจากด้านปลายนี้^{[ 6 ]}${\displaystyle 137.5^{\circ }}$

ตัวอย่างเช่น ในภาพ มุมที่ใหญ่ที่สุดในสามมุมนี้เกิดขึ้นสามครั้ง ระหว่างใบหมายเลข 3 และ 6 ระหว่างใบหมายเลข 4 และ 7 และระหว่างใบหมายเลข 5 และ 8 มุมที่ใหญ่เป็นอันดับสองเกิดขึ้นห้าครั้ง ระหว่างใบหมายเลข 6 และ 1, 9 และ 4, 7 และ 2, 10 และ 5 และ 8 และ 3 และมุมที่เล็กที่สุดเกิดขึ้นเพียงสองครั้ง ระหว่างใบหมายเลข 1 และ 9 และระหว่างใบหมายเลข 2 และ 10 ปรากฏการณ์ของการมีช่องว่างที่แตกต่างกันสามประเภทขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่ารูปแบบการเจริญเติบโตใช้มุมการหมุนคงที่เท่านั้น ไม่ได้ขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์ของมุมนี้กับอัตราส่วนทองคำปรากฏการณ์เดียวกันนี้จะเกิดขึ้นกับมุมการหมุนอื่นๆ เช่นกัน ไม่ใช่เฉพาะมุมทองคำเท่านั้น อย่างไรก็ตาม คุณสมบัติอื่นๆ ของรูปแบบการเจริญเติบโตนี้ขึ้นอยู่กับอัตราส่วนทองคำ ตัวอย่างเช่น ข้อเท็จจริงที่ว่าอัตราส่วนทองคำเป็นจำนวนที่ไม่สามารถประมาณค่าได้อย่างแม่นยำหมายความว่าจุดที่เว้นระยะห่างตามมุมนี้ไปตามเกลียวแฟร์มาต์ (ดังเช่นในแบบจำลองการเจริญเติบโตของพืชบางแบบ) จะก่อตัวเป็นเซตเดโลน โดยสัญชาตญาณแล้ว หมายความว่าพวกมันมีระยะห่างเท่าๆ กัน^{[ 7 ]}

ในทฤษฎีดนตรีช่วงเสียงดนตรีอธิบายอัตราส่วนของความถี่ ระหว่าง เสียงดนตรีสอง เสียง โดยทั่วไปแล้วช่วงเสียงจะถือว่ากลมกลืนหรือเข้ากันได้ดีเมื่อมีอัตราส่วนเป็นจำนวนเต็มเล็ก ๆ สองจำนวน เช่นช่วงเสียงคู่แปดสอดคล้องกับอัตราส่วน 2:1 ในขณะที่ช่วงเสียงคู่ห้าสมบูรณ์สอดคล้องกับอัตราส่วน 3:2 ^{[ 8 ]}โดยทั่วไปแล้วเสียงสองเสียงจะถือว่าเท่ากันเมื่อแตกต่างกันด้วยจำนวนเต็มของช่วงเสียงคู่แปด ความเท่ากันนี้สามารถแสดงได้ทางเรขาคณิตด้วยวงกลมโครมาติกซึ่งจุดบนวงกลมแสดงถึงกลุ่มของเสียงที่เท่ากัน ในทางคณิตศาสตร์ วงกลมนี้สามารถอธิบายได้ว่าเป็นวงกลมหน่วยในระนาบเชิงซ้อนและจุดบนวงกลมนี้ที่แสดงถึงเสียงที่กำหนดสามารถหาได้โดยการแมปความถี่ไปยังจำนวนเชิงซ้อนช่วงเสียงที่มีอัตราส่วนสอดคล้องกับมุมระหว่างจุดบนวงกลมนี้ หมายความว่าเสียงดนตรีสองเสียงแตกต่างกันด้วยช่วงเสียงที่กำหนดเมื่อจุดสองจุดบนวงกลมแตกต่างกันด้วยมุมนี้ ตัวอย่างเช่น สูตรนี้ให้(วงกลมทั้งหมด) เป็นมุมที่สอดคล้องกับช่วงเสียงคู่แปด เนื่องจาก 3/2 ไม่ใช่กำลังของสองที่เป็นจำนวนตรรกยะ มุมบนวงกลมโครมาติกที่แสดงถึงคู่ห้าสมบูรณ์จึงไม่ใช่ตัวคูณที่เป็นจำนวนตรรกยะของและในทำนองเดียวกัน ช่วงเสียงดนตรีทั่วไปอื่นๆ นอกเหนือจากอ็อกเทฟก็ไม่สอดคล้องกับมุมที่เป็นจำนวนตรรกยะ^{[ 9 ]}${\displaystyle \nu }$${\textstyle \exp(2\pi i\log _{2}\nu )}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle 2\pi \log _{2}\rho }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle 2\pi }$

ระบบการปรับเสียงคือชุดของเสียงที่ใช้ในการประพันธ์และเล่นดนตรี ตัวอย่างเช่น ระบบการปรับ เสียงแบบเท่ากัน (equal temperament)ที่ใช้กันทั่วไปสำหรับเปียโนเป็นระบบการปรับเสียงที่ประกอบด้วยเสียง 12 เสียงซึ่งเว้นระยะห่างเท่าๆ กันรอบวงกลมโครมาติก (chromatic circle) ระบบการปรับเสียงอื่นๆ บางระบบไม่ได้เว้นระยะห่างของเสียงอย่างเท่ากัน แต่สร้างเสียงเหล่านั้นโดยใช้จำนวนทวีคูณต่อเนื่องของช่วงเสียงที่กำหนด ตัวอย่างเช่น ระบบ การปรับเสียง แบบพีทาโกเรียน (Pythagorean tuning ) ซึ่งสร้างขึ้นในลักษณะนี้จากเสียง 12 เสียงที่สร้างขึ้นจากทวีคูณต่อเนื่องของคู่ห้าสมบูรณ์ (perfect fifth) ในวงกลมของคู่ห้า มุมอตรรกยะที่เกิดขึ้นบนวงกลมโครมาติกโดยคู่ห้าสมบูรณ์นั้นใกล้เคียงกับ 7/12 ของวงกลม ดังนั้นเสียง 12 เสียงของระบบการปรับเสียงแบบพีทาโกเรียนจึงใกล้เคียงกับ แต่ไม่เหมือนกับเสียง 12 เสียงของระบบการปรับเสียงแบบเท่ากัน ซึ่งสามารถสร้างขึ้นในลักษณะเดียวกันโดยใช้มุมที่เท่ากับ 7/12 ของวงกลมพอดี^{[ 10 ]}แทนที่จะเว้นระยะห่างเป็นมุม 1/12 ของวงกลมพอดี เหมือนกับโทนเสียงของระบบปรับเสียงเท่ากัน โทนเสียงของระบบปรับเสียงแบบพีทาโกเรียนจะเว้นระยะห่างเป็นมุมสองมุมที่แตกต่างกัน ใกล้เคียงกับ 1/12 ของวงกลม แต่ไม่พอดี ซึ่งแสดงถึงเซมิโทนสอง ประเภทที่แตกต่างกัน ^{[ 11 ]}หากระบบปรับเสียงแบบพีทาโกเรียนขยายออกไปอีกหนึ่งคู่ห้าสมบูรณ์ เป็นชุดโทนเสียง 13 โทน ลำดับของช่วงห่างระหว่างโทนเสียงก็จะรวมช่วงห่างที่สามซึ่งสั้นกว่ามาก นั่นคือคอมมาพีทาโกเรียน^{[ 12 ]}

ในบริบทนี้ ทฤษฎีบทสามช่องว่างสามารถใช้เพื่ออธิบายระบบการปรับเสียงใดๆ ที่สร้างขึ้นในลักษณะนี้โดยตัวคูณต่อเนื่องของช่วงเสียงเดียว ระบบการปรับเสียงบางระบบ (เช่น การปรับเสียงเท่ากัน) อาจมีเพียงช่วงเสียงเดียวที่คั่นระหว่างคู่เสียงที่ใกล้ที่สุด และบางระบบ (เช่น การปรับเสียงแบบพีทาโกเรียน) อาจมีเพียงสองช่วงเสียงที่แตกต่างกันที่คั่นระหว่างเสียง แต่ทฤษฎีบทสามช่องว่างบ่งชี้ว่าจะมีช่วงเสียงที่แตกต่างกันไม่เกินสามช่วงเสียงที่คั่นระหว่างเสียงเสมอ^{[ 13 ] [ 14 ]}

คำสตูร์เมียน (Sturmian word)คือลำดับอนันต์ของสัญลักษณ์สองตัว (เช่น "H" และ "V") ที่อธิบายลำดับของการสะท้อนในแนวนอนและแนวตั้งของรังสีแสงภายในสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีกระจกเงา โดยเริ่มต้นจากเส้นตรงที่มีความชันเป็นจำนวนอตรรกยะ ในทำนองเดียวกัน ลำดับเดียวกันนี้ยังอธิบายลำดับของเส้นแนวนอนและแนวตั้งของตารางจำนวนเต็มที่ถูกตัดผ่านโดยเส้นเริ่มต้น คุณสมบัติหนึ่งที่ลำดับดังกล่าวทั้งหมดมีคือ สำหรับจำนวนเต็มบวกใดๆลำดับนั้นจะมีลำดับย่อยที่ต่อเนื่องกันที่แตกต่างกันอย่างแน่นอน จำนวนหนึ่ง ซึ่งมีความยาวเท่ากับ n แต่ละลำดับย่อยเกิดขึ้นอนันต์ครั้งด้วยความถี่ที่แน่นอน และทฤษฎีบทสามช่องว่างบ่งชี้ว่าลำดับย่อยเหล่านี้เกิดขึ้นด้วยความถี่ที่แตกต่างกันอย่างมากที่สุดสามความถี่ ถ้ามีสามความถี่ ความถี่ที่มากที่สุดจะต้องเท่ากับผลรวมของอีกสองความถี่ การพิสูจน์ผลลัพธ์นี้อย่างหนึ่งเกี่ยวข้องกับการแบ่งจุดตัดแกนyของเส้นเริ่มต้น (โมดูล 1) ออกเป็นช่วงย่อยๆ ซึ่งองค์ประกอบเริ่มต้นของลำดับจะเหมือนกัน และใช้ทฤษฎีบทสามช่องว่างกับส่วนแบ่งนี้^{[ 15 ] [ 16 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle n}$

ทฤษฎีบทช่องว่างสามช่องถูกตั้งสมมติฐานโดยHugo Steinhausและหลักฐานพิสูจน์แรก^{[ 17 ]} ของมัน พบในช่วงปลายทศวรรษ 1950 โดยVera T. Sós [ ^{18 ] János} Surányi [ ^{19 ] และ} Stanisław Świerczkowski [ ^{20 ] นัก}วิจัยรุ่นหลังได้ตีพิมพ์หลักฐานพิสูจน์เพิ่มเติม^{[ 21 ]}ซึ่งเป็นการขยายผลลัพธ์นี้ไปยังมิติที่สูงขึ้น^{[ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]}และเชื่อมโยงกับหัวข้อต่างๆ รวมถึงเศษส่วนต่อเนื่อง [ ^{4 ] [ 26 ]}สมมาตรและจีโอเดสิกของแมนิโฟลด์แบบรีมันน์^[ 27 ^{] ทฤษฎี}เออร์โกดิก^{[ 28 ]}และปริภูมิของแลตทิ^ซระนาบ^{[ 3 ]} Mayero (2000)จัดทำรูปแบบการพิสูจน์โดยใช้ โปรแกรม พิสูจน์ทฤษฎีบทแบบโต้ตอบRocq (ต่อมาคือCoq ) ^{[ 2 ]}

ต่อไปนี้เป็นบทพิสูจน์อย่างง่ายจากแฟรงก์ เหลียง ให้ θ เป็นมุมการหมุนที่สร้างเซตของจุดเป็นจำนวนเท่าของ θ ที่ต่อเนื่องกันบนวงกลม กำหนดให้ช่องว่างเป็นส่วนโค้งของวงกลมที่ทอดยาวระหว่างจุดสองจุดที่อยู่ติดกันในเซตที่กำหนด และกำหนดให้ช่องว่างเป็นแบบแข็ง (rigid gap ) ถ้าจุดปลายของช่องว่างนั้นปรากฏทีหลังในลำดับของจำนวนเท่าของ θ มากกว่าช่องว่างอื่น ๆ ที่มีความยาวเท่ากัน จากนิยามนี้ จะได้ว่าทุกช่องว่างมีความยาวเท่ากับช่องว่างแบบแข็ง ถ้า θ เป็นช่องว่างแบบแข็งแล้ว θ จะไม่ใช่ช่องว่าง เพราะมันมีความยาวเท่ากันและจะอยู่ถัดไปหนึ่งขั้น วิธีเดียวที่จะทำให้เกิดเหตุการณ์นี้ได้คือ จุดปลายจุดหนึ่งของ θ เป็นจุดสุดท้ายในลำดับของจำนวนเท่าของ θ (ดังนั้นจุดปลายที่สอดคล้องกันของ θ จึงหายไป) หรือจุดใดจุดหนึ่งในเซตที่กำหนดตกอยู่ภายใน θ ซึ่งทำให้มันไม่เป็นช่องว่าง จุด θ จะตกอยู่ภายใน θ ได้ก็ต่อเมื่อมันเป็นจุดแรกในลำดับของจำนวนเท่าของθ เท่านั้น เพราะมิฉะนั้นจุดก่อนหน้าในลำดับจะตกอยู่ภายในθ ซึ่งขัดแย้งกับสมมติฐานที่ว่า θ เป็นช่องว่าง ดังนั้นจะมีช่องว่างคงที่ได้มากที่สุดสามช่อง คือสองช่องที่อยู่ด้านข้างของจุดสุดท้าย และช่องที่ตัวก่อนหน้าของจุดแรก (หากเป็นส่วนหนึ่งของลำดับ) จะตกลงมา เนื่องจากมีช่องว่างคงที่ได้มากที่สุดสามช่อง จึงมีช่องว่างที่มีความยาวได้มากที่สุดสามความยาว^{[ 29 ] [ 30 ]}${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle A}$${\displaystyle A+\theta }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle A+\theta }$${\displaystyle A+\theta }$${\displaystyle A+\theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

นอกจากนี้ การพิสูจน์ของเหลียงยังแสดงให้เห็นว่า เมื่อมีช่องว่างยาวสามช่องพอดี ช่องว่างยาวที่สุดคือผลรวมของอีกสองช่อง เนื่องจากในกรณีนี้ สำเนาที่หมุน ซึ่งมีจุดแรกอยู่จะถูกแบ่งโดยจุดนั้นออกเป็นสองช่องว่างที่เล็กกว่า ซึ่งจะต้องเป็นอีกสองช่องว่าง^{[ 29 ] [ 30 ]}เหลียงยังพิสูจน์ผลลัพธ์ทั่วไปเพิ่มเติมอีก นั่นคือ " ทฤษฎีระยะทาง" ซึ่งระบุว่าการรวมกันของลำดับเลขคณิตที่แตกต่างกันบนวงกลมจะมีช่องว่างยาวไม่เกินจำนวนที่แตกต่างกัน^{[ 29 ]}ในทฤษฎีสามช่องว่าง จะมีขอบเขตคงที่สำหรับอัตราส่วนระหว่างช่องว่างทั้งสามช่อง ก็ต่อเมื่อเป็นจำนวนที่ประมาณค่าได้ไม่ดี^{[ 7 ]}${\displaystyle A+\theta }$${\displaystyle 3d}$${\displaystyle d}$${\displaystyle 3d}$${\displaystyle \theta /2\pi }$

ทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดแต่เก่ากว่า ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าทฤษฎีบทสามช่องว่าง คือ ถ้าเป็นส่วนโค้งใดๆ ของวงกลมลำดับจำนวนเต็มของผลคูณของที่อยู่บนจะมีช่องว่างระหว่างค่าลำดับไม่เกินสามความยาว อีกครั้ง ถ้ามีช่องว่างสามความยาว หนึ่งจะเป็นผลรวมของอีกสองความยาว^{[ 31 ] [ 32 ]}${\displaystyle A}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle A}$

• ทฤษฎีบทการกระจายอย่างเท่าเทียม
• การคาดเดาของนักวิ่งผู้โดดเดี่ยว