พื้นผิวการเลื่อน คือ พื้นที่ที่ได้จากการจับคู่ด้านของรูปหลายเหลี่ยมระนาบกลุ่มหนึ่งโดยการเลื่อน

ต่อไปนี้เป็นคำจำกัดความที่เป็นทางการมากขึ้น ให้${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{m}}$เป็นกลุ่มของรูปหลายเหลี่ยม (ไม่จำเป็นต้องเป็นรูปหลายเหลี่ยมนูน) ในระนาบยุคลิด และสมมติว่าสำหรับทุกด้าน${\displaystyle s_{i}}$ของใดๆ${\displaystyle P_{k}}$มีด้านหนึ่ง${\displaystyle s_{j}}$ของบางส่วน${\displaystyle P_{l}}$กับ${\displaystyle j\not =i}$และ${\displaystyle s_{j}=s_{i}+{\vec {v}}_{i}}$สำหรับเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์บางตัว${\displaystyle {\vec {v}__{i}}$(และเพื่อให้${\displaystyle {\vec {v}__{j}=-{\vec {v}__{i}}$พิจารณาพื้นที่ที่ได้จากการระบุทั้งหมด${\displaystyle s_{i}}$พร้อมด้วยสิ่งที่เกี่ยวข้อง${\displaystyle s_{j}}$ผ่านแผนที่${\displaystyle x\mapsto x+{\vec {v}__{i}}$.

วิธีการมาตรฐานในการสร้างพื้นผิวดังกล่าวมีดังนี้: เริ่มต้นด้วยเวกเตอร์${\displaystyle {\vec {w}__{1},\ldots ,{\vec {w}__{n}}$และการเรียงสับเปลี่ยน${\displaystyle \sigma }$บน${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$และสร้างเส้นประ${\displaystyle L=x,x+{\vec {w}}_{1},\ldots ,x+{\vec {w}}_{1}+\cdots +{\vec {w}}_{n}}$และ${\displaystyle L'=x,x+{\vec {w}}_{\sigma (1)},\ldots ,x+{\vec {w}}_{\sigma (1)}+\cdots +{\vec {w}}_{\sigma (n)}}$โดยเริ่มจากจุดที่เลือกไว้โดยพลการ ในกรณีที่เส้นทั้งสองนี้ประกอบกันเป็นรูปหลายเหลี่ยม (กล่าวคือ เส้นทั้งสองไม่ตัดกันนอกเหนือจากจุดปลาย) จะมีการจับคู่ด้านตามธรรมชาติ

ปริภูมิผลหารเป็นพื้นผิวปิด มีเมตริกแบนราบอยู่นอกเซต${\displaystyle \Sigma }$ภาพของจุดยอด ณ จุดหนึ่งใน${\displaystyle \Sigma }$ผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยมรอบจุดยอดที่แมปไปยังรูปหลายเหลี่ยมนั้น เป็นผลคูณบวกของ${\displaystyle 2\pi }$และเมตริกจะเป็นเอกฐาน เว้นแต่ว่ามุมจะมีค่าพอดี${\displaystyle 2\pi }$.

อนุญาต${\displaystyle S}$เป็นพื้นผิวการแปลตามที่กำหนดไว้ข้างต้น และ${\displaystyle \Sigma }$เซตของจุดเอกฐาน การระบุระนาบยุคลิดกับระนาบเชิงซ้อนทำให้ได้แผนภูมิพิกัดบน${\displaystyle S\setminus \Sigma }$โดยมีค่าอยู่ใน${\displaystyle \mathbb {C} }$นอกจากนี้ การเปลี่ยนแปลงของแผนภูมิเป็นแผนที่โฮโลมอร์ฟิก หรือกล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นคือ แผนที่ในรูปแบบ${\displaystyle z\mapsto z+w}$สำหรับบางคน${\displaystyle w\in \mathbb {C} }$ซึ่งทำให้ได้ผลลัพธ์ดังนี้${\displaystyle S\setminus \Sigma }$โครงสร้างของพื้นผิวรีมันน์ ซึ่งขยายไปทั่วทั้งพื้นผิว${\displaystyle S}$โดยทฤษฎีบทของรีมันน์เกี่ยวกับเอกภาวะที่กำจัดได้นอกจากนี้ อนุพันธ์${\displaystyle dz}$, ที่ไหน${\displaystyle z:U\to \mathbb {C} }$แผนภูมิใดๆ ที่กำหนดไว้ข้างต้น ไม่ได้ขึ้นอยู่กับแผนภูมิ ดังนั้นค่าความแตกต่างเหล่านี้ที่กำหนดไว้บนโดเมนของแผนภูมิจะเชื่อมต่อกันเพื่อให้ได้รูปแบบ 1-ฟอร์มโฮโลมอร์ฟิกที่กำหนดไว้อย่างดี${\displaystyle \omega }$บน${\displaystyle S}$กล่าวอีกนัยหนึ่ง พื้นผิวการแปลอาจอธิบายได้อย่างเทียบเท่ากับพื้นผิวรีมันน์แบบกระชับพร้อมกับฟอร์มโฮโลมอร์ฟิก 1 ที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าอนุพันธ์อาเบเลียนจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมที่มุมกรวยไม่เท่ากับ${\displaystyle 2\pi }$เป็นศูนย์ของ${\displaystyle \omega }$(มุมกรวยของ${\displaystyle 2k\pi }$สอดคล้องกับศูนย์ลำดับ${\displaystyle (k-1)}$)

ในทางกลับกัน เมื่อกำหนดคู่หนึ่งมาให้${\displaystyle (X,\omega )}$ที่ไหน${\displaystyle X}$เป็นพื้นผิวรีมันน์ขนาดกะทัดรัดและ${\displaystyle \omega }$เนื่องจากเป็นโฮโลมอร์ฟิก 1-ฟอร์ม จึงสามารถสร้างรูปหลายเหลี่ยมได้โดยใช้จำนวนเชิงซ้อน${\textstyle \int _{\gamma _{j}}\โอเมก้า }$ที่ไหน${\displaystyle \gamma _{j}}$เป็นเส้นทางที่ไม่ทับซ้อนกันระหว่างศูนย์ของ${\displaystyle \omega }$ซึ่งเป็นพื้นฐานสำคัญสำหรับโคฮอโมโลยีเชิงสัมพัทธ์

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของพื้นผิวการเลื่อนคือ การนำด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน มาติดเข้าด้วยกัน มันคือทรงโดนัทแบนราบที่ไม่มีจุดเอกฐาน

ถ้า${\displaystyle P}$เป็นปกติ${\displaystyle 4g}$-กอน ดังนั้นพื้นผิวการแปลที่ได้จากการเชื่อมด้านตรงข้ามเข้าด้วยกันจะมีจีนัส${\displaystyle g}$โดยมีจุดเอกพจน์เพียงจุดเดียว พร้อมมุม${\displaystyle (2g-1)2\pi }$.

ถ้า${\displaystyle P}$ได้มาจากการนำสำเนาของสี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วย มาวางเรียงกัน จาก นั้นจึงนำพื้นผิวการเลื่อนใดๆ ที่ได้จาก${\displaystyle P}$เรียกว่าพื้นผิวที่ปูด้วยกระเบื้องสี่เหลี่ยมจัตุรัสแผนที่จากพื้นผิวไปยังทอรัสแบนที่ได้จากการระบุสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมด คือการปกคลุมแบบแตกแขนงโดยมีจุดแตกแขนงเป็นจุดเอกฐาน (มุมกรวยที่จุดเอกฐานเป็นสัดส่วนกับระดับการแตกแขนง)

สมมติว่าพื้นผิว${\displaystyle X}$เป็นพื้นผิวรีมันน์ปิดที่มีจีนัส${\displaystyle g}$และนั่น${\displaystyle \omega }$เป็นรูปแบบ 1-ฟอร์มโฮโลมอร์ฟิกที่ไม่เป็นศูนย์บน${\displaystyle X}$โดยมีศูนย์ลำดับ${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{m}}$จากนั้นทฤษฎีบทรีมันน์-รอคจะบ่งชี้ว่า

${\displaystyle \sum _{j=1}^{m}d_{j}=2g-2.}$

หากพื้นผิวการแปล${\displaystyle (X,\omega )}$แสดงด้วยรูปหลายเหลี่ยม${\displaystyle P}$จากนั้นการสร้างสามเหลี่ยมและการรวมมุมเหนือจุดยอดทั้งหมดจะช่วยให้ได้สูตรข้างต้นกลับคืนมา (โดยใช้ความสัมพันธ์ระหว่างมุมกรวยและลำดับของศูนย์) ในลักษณะเดียวกับการพิสูจน์สูตร Gauss–Bonnetสำหรับพื้นผิวไฮเปอร์โบลิก หรือการพิสูจน์สูตรของออยเลอร์จากทฤษฎีบทของ Girard

ถ้า${\displaystyle (X,\omega )}$เป็นพื้นผิวการแปลที่มีการเรียงตัวของชั้นตามธรรมชาติที่วัดได้บน${\displaystyle X}$ถ้าได้มาจากรูปหลายเหลี่ยม มันก็คือภาพของเส้นแนวตั้ง และขนาดของส่วนโค้งก็คือความยาวแบบยุคลิดของส่วนแนวนอนที่สมมูลกับส่วนโค้งนั้น การแบ่งชั้นยังได้มาจากเส้นระดับของส่วนจินตนาการของรูปทรงดั้งเดิม (เฉพาะที่) ด้วย${\displaystyle \omega }$และค่าที่ได้มาจากการอินทิเกรตส่วนจริง

อนุญาต${\displaystyle {\mathcal {H}}}$เป็นเซตของพื้นผิวการแปลที่มีจีนัส${\displaystyle g}$(โดยที่มีลักษณะดังกล่าวสองอย่าง)${\displaystyle (X,\omega ),(X',\omega ')}$ถือว่าเหมือนกันหากมีการแปลงแบบโฮโลมอร์ฟิกดิฟฟีโอเมอร์ฟิซึมอยู่${\displaystyle \phi :X\to X'}$โดยที่${\displaystyle \phi ^{*}\omega '=\omega }$). อนุญาต${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {M}__{g}}$เป็นปริภูมิโมดูลัสของพื้นผิวรีมันน์ที่มีจีนัส${\displaystyle g}$มีแผนที่ธรรมชาติอยู่${\displaystyle {\mathcal {H}}\to {\mathcal {M}}_{g}}$การแมปพื้นผิวการแปลไปยังพื้นผิวรีมันน์ที่อยู่ด้านล่าง ซึ่งทำให้${\displaystyle {\mathcal {H}}}$กลายเป็น กลุ่มเส้นใยที่ไม่สำคัญในระดับท้องถิ่นเหนือพื้นที่โมดูลัส

ไปยังพื้นผิวการแปลขนาดกะทัดรัด${\displaystyle (X,\omega )}$มีข้อมูลที่เกี่ยวข้อง${\displaystyle (k_{1},\ldots ,k_{m})}$ที่ไหน${\displaystyle k_{1}\leq k_{2}\leq \cdots }$คือลำดับของศูนย์ของ${\displaystyle \omega }$. ถ้า${\displaystyle \alpha =(k_{1},\ldots ,k_{m})}$คือการแบ่งจำนวนเต็ม ใดๆ ของ${\displaystyle 2g-2}$จากนั้นชั้นดิน${\displaystyle {\mathcal {H}}(\alpha )}$เป็นเซตย่อยของ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ของพื้นผิวการแปลที่มีรูปแบบโฮโลมอร์ฟิกซึ่งศูนย์ตรงกับพาร์ทิชัน

ชั้นดิน${\displaystyle {\mathcal {H}}(\alpha )}$โดยธรรมชาติแล้วเป็นออร์บิโฟลด์เชิงซ้อนที่มีมิติเชิงซ้อน${\displaystyle 2g+m-1}$(โปรดทราบว่า)${\displaystyle {\mathcal {H}}(0)}$คือปริภูมิโมดูลัสของทอรัส ซึ่งเป็นที่ทราบกันดีว่าเป็นออร์บิโฟลด์ (ในจีนัสที่สูงกว่า การที่ไม่เป็นแมนิโฟลด์นั้นยิ่งรุนแรงมากขึ้น) พิกัดท้องถิ่นกำหนดโดย

${\displaystyle (X,\omega )\mapsto \left(\int _{\gamma _{1}}\omega ,\ldots ,\int _{\gamma _{n}}\omega \right)}$

ที่ไหน${\displaystyle n=\dim(H_{1}(S,\{x_{1},\ldots ,x_{m}\}))=2g+m-1}$และ${\displaystyle \gamma _{1},\ldots ,\gamma _{k}}$ดังที่กล่าวมาข้างต้น คือฐานเชิงซิมเพล็กติกของปริภูมินี้

ชั้นดิน${\displaystyle {\mathcal {H}}(\alpha )}$ยอมรับว่า${\displaystyle {\mathbb {C} }^{*}}$-การกระทำ และด้วยเหตุนี้จึงเป็นการฉายภาพที่แท้จริงและซับซ้อน${\displaystyle {{\mathcal {H}}(\alpha )}\to {\mathcal {H}}_{1}(\alpha )\to {\mathcal {H}}_{2}(\alpha )}$การแปลงเป็นโปรเจคทีฟที่แท้จริงนั้นยอมรับส่วนตัดตามธรรมชาติ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}(\alpha )\to {\mathcal {H}}(\alpha )}$ถ้าเรากำหนดให้เป็นปริภูมิของพื้นผิวการแปลที่มีพื้นที่ 1

การมีอยู่ของพิกัดช่วงเวลาดังกล่าวทำให้สามารถกำหนดชั้นหินได้${\displaystyle {\mathcal {H}}(\alpha )}$ด้วยโครงสร้างเชิงเส้นตรงแบบบูรณาการและด้วยเหตุนี้จึงมีรูปทรงปริมาตร ที่เป็นธรรมชาติ${\displaystyle \nu }$นอกจากนี้เรายังได้รับแบบฟอร์มปริมาตรด้วย${\displaystyle \nu _{1}(\alpha )}$บน${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}(\alpha )}$โดยการแตกสลายของ${\displaystyle \nu }$เล่ม Masur-Veech${\displaystyle Vol(\alpha )}$คือปริมาตรทั้งหมดของ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}(\alpha )}$สำหรับ${\displaystyle \nu _{1}(\alpha )}$ปริมาตรนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วว่ามีค่าจำกัดโดยอิสระโดยWilliam A. Veech ^{[ 1 ]}และHoward Masur ^{[ 2 ]}

ในช่วงทศวรรษ 1990 แม็กซิม คอนต์เซวิชและแอนตัน โซริชได้ประเมินปริมาตรเหล่านี้ในเชิงตัวเลขโดยการนับจุดแลตติสของ${\displaystyle {\mathcal {H}}(\alpha )}$พวกเขาได้สังเกตว่า${\displaystyle Vol(\alpha )}$ควรอยู่ในรูปแบบ${\displaystyle \pi ^{2g}}$คูณด้วยจำนวนตรรกยะจากการสังเกตนี้ พวกเขาคาดหวังว่าจะมีสูตรที่แสดงปริมาตรในรูปของจำนวนจุดตัดบนปริภูมิโมดูลัสของเส้นโค้ง

Alex EskinและAndrei Okounkovได้นำเสนออัลกอริทึมแรกในการคำนวณปริมาตรเหล่านี้ พวกเขาแสดงให้เห็นว่าอนุกรมการสร้างของตัวเลขเหล่านี้คือการขยาย q ของรูปแบบกึ่งโมดูลาร์ที่คำนวณได้ การใช้อัลกอริทึมนี้ พวกเขาสามารถยืนยันการสังเกตเชิงตัวเลขของ Kontsevich และ Zorich ได้^{[ 3 ]}

เมื่อไม่นานมานี้ Chen, Möller, Sauvaget และdon Zagierได้แสดงให้เห็นว่าปริมาตรสามารถคำนวณได้โดยใช้จำนวนจุดตัดบนการทำให้เป็นกระชับเชิงพีชคณิตของ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}(\alpha )}$ปัจจุบันปัญหายังคงเปิดอยู่เพื่อขยายสูตรนี้ไปยังชั้นของพื้นผิวการแปลครึ่งหนึ่ง^{[ 4 ]}

ถ้า${\displaystyle (X,\omega )}$คือพื้นผิวการเลื่อนที่ได้จากการระบุหน้าของรูปหลายเหลี่ยม${\displaystyle P}$และ${\displaystyle g\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$จากนั้นพื้นผิวการแปล${\displaystyle g\cdot (X,\omega )}$คือสิ่งที่เกี่ยวข้องกับรูปหลายเหลี่ยม${\displaystyle g(P)}$สิ่งนี้ได้กำหนดการกระทำอย่างต่อเนื่องของ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$บนพื้นที่โมดูลัส${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ซึ่งช่วยรักษาชั้นหินเอาไว้${\displaystyle {\mathcal {H}}(\alpha )}$การกระทำนี้ส่งผลต่อการกระทำบน${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}(\alpha )}$ซึ่งเป็นเออร์โกดิกเมื่อเทียบกับ${\displaystyle \nu _{1}}$.

พื้นผิวการเลื่อนครึ่งรอบถูกกำหนดในลักษณะเดียวกับพื้นผิวการเลื่อน แต่ยอมให้แผนที่การเชื่อมต่อมีส่วนเชิงเส้นที่ไม่ธรรมดา ซึ่งก็คือการหมุนครึ่งรอบ ในทางทฤษฎี พื้นผิวการเลื่อนถูกกำหนดทางเรขาคณิตโดยการนำกลุ่มของรูปหลายเหลี่ยมในระนาบยุคลิดมา และระบุหน้าต่างๆ ด้วยแผนที่ในรูปแบบ${\displaystyle z\mapsto \pm z+w}$(การแปลแบบ "ครึ่งทาง") โปรดทราบว่าสามารถระบุหน้าหนึ่งกับตัวมันเองได้ โครงสร้างทางเรขาคณิตที่ได้มาด้วยวิธีนี้คือเมตริกแบบแบนที่อยู่นอกจุดเอกฐานจำนวนจำกัดที่มีมุมกรวยเป็นผลคูณบวกของ${\displaystyle \pi }$.

เช่นเดียวกับกรณีของพื้นผิวการแปล มีการตีความเชิงวิเคราะห์: พื้นผิวการแปลครึ่งหนึ่งสามารถตีความได้ว่าเป็นคู่${\displaystyle (X,\phi )}$ที่ไหน${\displaystyle X}$เป็นพื้นผิวรีมันน์และ${\displaystyle \phi }$อนุพันธ์กำลังสองบน${\displaystyle X}$ในการเปลี่ยนจากภาพทางเรขาคณิตไปสู่ภาพเชิงวิเคราะห์นั้น ทำได้ง่ายๆ โดยการใช้ดิฟเฟอเรนเชียลกำลังสองที่กำหนดไว้เฉพาะที่โดย${\displaystyle (dz)^{2}}$(ซึ่งไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเลื่อนครึ่งทาง) และสำหรับทิศทางอื่นจะใช้เมตริกแบบรีมันน์ที่เหนี่ยวนำโดย${\displaystyle \phi }$ซึ่งเรียบและแบนนอกเหนือจากค่าศูนย์ของ${\displaystyle \phi }$.

ถ้า${\displaystyle X}$ถ้าเป็นพื้นผิวรีมันน์แล้วปริภูมิเวกเตอร์ของอนุพันธ์กำลังสองบน${\displaystyle X}$โดยธรรมชาติแล้วจะถูกระบุว่าเป็นปริภูมิสัมผัสกับปริภูมิ Teichmüller ณ จุดใดๆ ด้านบน${\displaystyle X}$สิ่งนี้สามารถพิสูจน์ได้ด้วยวิธีการวิเคราะห์โดยใช้การฝังตัวของเบอร์สพื้นผิวการแปลครึ่งทางสามารถใช้เพื่อให้การตีความทางเรขาคณิตที่ชัดเจนยิ่งขึ้นได้: ถ้า${\displaystyle (X,g),(Y,h)}$ถ้าจุดสองจุดอยู่ในปริภูมิ Teichmüller แล้วโดยทฤษฎีบทการแมปของ Teichmüller จะมีรูปหลายเหลี่ยมสองรูป${\displaystyle P,Q}$ซึ่งสามารถระบุหน้าต่างๆ ได้โดยการเลื่อนครึ่งทางเพื่อให้ได้พื้นผิวเรียบที่มีพื้นผิวรีมันน์พื้นฐานที่สมมาตรกับ${\displaystyle X,Y}$ตามลำดับ และแผนที่เชิงเส้นตรง${\displaystyle f}$ของเครื่องบินที่ส่งมา${\displaystyle P}$ถึง${\displaystyle Q}$ซึ่งมีการบิดเบือนน้อยที่สุดในบรรดาการแมปแบบกึ่งคอนฟอร์มอลในกลุ่มไอโซโทปีเดียวกัน และเป็นไอโซโทปีกับ${\displaystyle h\circ g^{-1}}$.

ทุกสิ่งทุกอย่างถูกกำหนดอย่างเป็นเอกลักษณ์โดยขึ้นอยู่กับขนาด หากเราตั้งคำถามนั้น${\displaystyle f}$อยู่ในรูปแบบ${\displaystyle f_{s}}$, ที่ไหน${\displaystyle f_{t}:(x,y)\mapsto (e^{t}x,e^{-t}y)}$สำหรับบางคน${\displaystyle s>0}$; เราใช้สัญลักษณ์ แทน${\displaystyle X_{t}}$พื้นผิวรีมันน์ที่ได้จากรูปหลายเหลี่ยม${\displaystyle f_{t}(P)}$ตอนนี้เส้นทาง${\displaystyle t\mapsto (X_{t},f_{t}\circ g)}$ในพื้นที่ Teichmüller มีการเชื่อมต่อกัน${\displaystyle (X,g)}$ถึง${\displaystyle (Y,h)}$และแยกความแตกต่างที่${\displaystyle t=0}$ให้เวกเตอร์ในปริภูมิสัมผัส เนื่องจาก${\displaystyle (Y,g)}$หากเป็นค่าที่กำหนดโดยพลการ เราจะได้การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง

ในความเป็นจริง เส้นทางที่ใช้ในการสร้างนี้คือเส้นจีโอเดสิกของ Teichmüller ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจคือ ในขณะที่รังสีจีโอเดสิกที่เกี่ยวข้องกับพื้นผิวเรียบสอดคล้องกับการแบ่งชั้นที่วัดได้ และดังนั้นทิศทางในปริภูมิสัมผัสจึงถูกระบุด้วยขอบเขต Thurstonรังสีจีโอเดสิกของ Teichmüller ที่เกี่ยวข้องกับพื้นผิวเรียบไม่ได้บรรจบกันที่จุดที่สอดคล้องกันบนขอบเขตเสมอไป^{[ 5 ]}แม้ว่ารังสีดังกล่าวเกือบทั้งหมดจะทำเช่นนั้นก็ตาม^{[ 6 ]}

ถ้า${\displaystyle (X,\omega )}$เป็นพื้นผิวการแปลกลุ่มวีช ของมัน คือกลุ่มฟุคเซียนซึ่งเป็นภาพใน${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$ของกลุ่มย่อย${\displaystyle \mathrm {SL} (X,\omega )\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ของการเปลี่ยนแปลง${\displaystyle g}$โดยที่${\displaystyle g\cdot (X,\omega )}$มีโครงสร้างเหมือนกัน (ในฐานะพื้นผิวการเลื่อน) กับ${\displaystyle (X,\omega )}$ในทำนองเดียวกัน${\displaystyle \mathrm {SL} (X,\omega )}$คือกลุ่มของอนุพันธ์ของการแปลงแบบแอฟฟินดิฟฟีโอเมอร์ฟิซึม${\displaystyle (X,\omega )\to (X,\omega )}$(โดยที่แอฟฟินถูกกำหนดไว้ในระดับท้องถิ่นภายนอกจุดเอกฐาน โดยสัมพันธ์กับโครงสร้างแอฟฟินที่เหนี่ยวนำโดยโครงสร้างการแปล) กลุ่มวีชมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ^{[ 7 ]}

• พวกมันเป็นกลุ่มย่อยที่แยกจากกันใน${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$;
• พวกมันไม่เคยรวมตัวกันอย่างแน่นแฟ้น

กลุ่ม Veech สามารถสร้างขึ้นอย่างจำกัดหรือไม่ก็ได้^{[ 8 ]}

ตามนิยามแล้ว พื้นผิววีช (Veech surface) คือพื้นผิวการเลื่อน (translation surface) ที่กลุ่มวีช (Veech group) เป็นแลตทิซใน${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$กล่าวอีกนัยหนึ่ง การกระทำของมันบนระนาบไฮเปอร์โบลิกยอมรับโดเมนพื้นฐานที่มีปริมาตรจำกัด เนื่องจากมันไม่เป็นโคคอมแพ็กต์ ดังนั้นมันจึงต้องมีองค์ประกอบพาราโบลิกอยู่ภายใน

ตัวอย่างของพื้นผิว Veech ได้แก่ พื้นผิวที่ปูด้วยกระเบื้องสี่เหลี่ยม ซึ่งกลุ่ม Veech ของพื้นผิวเหล่านี้สามารถเทียบเคียงได้กับกลุ่มโมดูลาร์${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )}$[ ^{9 ] [ 10 ]}สี่เหลี่ยมจัตุรัสสามารถแทนที่ด้วยสี่เหลี่ยมด้านขนานใดๆ ก็ได้ (พื้นผิวการแปลที่ได้นั้นตรงกับพื้นผิวที่ได้จากการปกคลุมแบบแตกแขนงของทอรัสแบน) ในความเป็นจริง กลุ่ม Veech เป็นกลุ่มเลขคณิต (ซึ่งหมายความว่ามันเทียบเท่ากับกลุ่มมอดูลาร์) ^ก็ต่อเมื่อพื้นผิวถูกปูด้วยสี่เหลี่ยมด้านขนาน^{[ 10 ]}

มีพื้นผิว Veech บางพื้นผิวที่กลุ่ม Veech ไม่ใช่กลุ่มเลขคณิต เช่น พื้นผิวที่ได้จากรูปห้าเหลี่ยมปกติสองรูปที่ติดกันตามขอบ ในกรณีนี้ กลุ่ม Veech จะเป็นกลุ่มสามเหลี่ยม Hecke ที่ไม่ใช่กลุ่มเลขคณิต^{[ 9 ]}ในทางกลับกัน ยังคงมีข้อจำกัดทางเลขคณิตบางประการเกี่ยวกับกลุ่ม Veech ของพื้นผิว Veech เช่นฟิลด์ร่องรอย ของมัน คือฟิลด์จำนวน^{[ 10 ]}ที่เป็นจำนวนจริงทั้งหมด^{[ 11 ]}

เส้นทางจีโอเดสิกในระนาบการเลื่อน (หรือระนาบการเลื่อนครึ่งหนึ่ง) คือเส้นโค้งที่กำหนดโดยพารามิเตอร์ ซึ่งนอกเหนือจากจุดเอกฐานแล้ว ในบริเวณเฉพาะที่นั้นจะเป็นภาพของเส้นตรงในปริภูมิยุคลิดที่กำหนดโดยความยาวส่วนโค้ง หากเส้นทางจีโอเดสิกมาถึงจุดเอกฐาน จะต้องหยุดที่นั่น ดังนั้น เส้นทางจีโอเดสิกสูงสุดคือเส้นโค้งที่กำหนดบนช่วงปิด ซึ่งก็คือเส้นจำนวนจริงทั้งหมดหากไม่ผ่านจุดเอกฐานใดๆ เส้นทางจีโอเดสิกจะเป็นเส้นทางปิดหรือคาบหากภาพของมันเป็นเส้นโค้งกระชับ ในกรณีนี้มันจะเป็นวงกลมหากไม่ผ่านจุดเอกฐานใดๆ หรือเป็นส่วนโค้งระหว่างจุดเอกฐานสองจุด (ซึ่งอาจเท่ากัน) ในกรณีหลัง เส้นทางจีโอเดสิกเรียกว่าการเชื่อมต่อแบบอานม้า

ถ้า${\displaystyle (X,\omega )}$${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$(หรือ${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} /\pi \mathbb {Z} }$ในกรณีของพื้นผิวการเลื่อนครึ่งทาง) เส้นทางจีโอเดสิกที่มีทิศทางทีตาจะถูกกำหนดไว้อย่างดีบน${\displaystyle X}$: พวกมันคือเส้นโค้งเหล่านั้น${\displaystyle c}$ซึ่งเป็นที่น่าพอใจ${\displaystyle \omega ({\overset {\cdot }{c}})=e^{i\theta }}$(หรือ${\displaystyle \phi ({\overset {\cdot }{c}})=e^{i\theta }}$ในกรณีของพื้นผิวการแปลครึ่งทาง${\displaystyle (X,\phi )}$การไหลตามเส้นจีโอเดสิกบน${\displaystyle (X,\omega )}$ด้วยทิศทาง${\displaystyle \theta }$คือการไหล${\displaystyle \phi _{t}}$บน${\displaystyle X}$ที่ไหน ${\displaystyle t\mapsto \phi _{t}(p)}$เส้นทางจีโอเดสิกเริ่มต้นที่${\displaystyle p}$ด้วยทิศทาง${\displaystyle \theta }$ถ้า${\displaystyle p}$ไม่ใช่เอกพจน์

บนทอรัสแบนราบ การไหลของจีโอเดสิกในทิศทางที่กำหนดมีคุณสมบัติเป็นคาบหรือเออร์โกดิกโดยทั่วไปแล้วสิ่งนี้ไม่เป็นความจริง: อาจมีทิศทางที่การไหลน้อยที่สุด (หมายความว่าทุกวงโคจรมีความหนาแน่นบนพื้นผิว) แต่ไม่ใช่เออร์โกดิก^{[ 12 ]}ในทางกลับกัน บนพื้นผิวการแปลแบบกะทัดรัด การไหลยังคงรักษาคุณสมบัติที่เป็นเออร์โกดิกในเกือบทุกทิศทางจากกรณีที่ง่ายที่สุดของทอรัสแบนราบ^{[ 13 ]}

อีกคำถามหนึ่งที่น่าสนใจคือ การหาค่าประมาณเชิงอะซิมโทติกสำหรับจำนวนของเส้นโค้งปิดหรือการเชื่อมต่อแบบอานม้าที่มีความยาวที่กำหนด บนทอรัสแบนราบ${\displaystyle T}$ไม่มีการเชื่อมต่อแบบอานม้า และจำนวนเส้นโค้งปิดที่มีความยาว${\displaystyle \leq L}$เทียบเท่ากับ${\displaystyle L^{2}/\operatorname {volume} (T)}$โดยทั่วไปแล้ว เราจะได้ขอบเขตก็ต่อเมื่อ:${\displaystyle (X,\omega )}$เป็นพื้นผิวการแปลขนาดกะทัดรัดของสกุล${\displaystyle g}$ ดังนั้นจึงมีค่าคงที่อยู่ (ซึ่งขึ้นอยู่กับสกุลเท่านั้น)${\displaystyle c_{1},c_{2}}$โดยที่ทั้งสอง${\displaystyle N_{cg}(L)}$ของเส้นโค้งปิดและ${\displaystyle N_{sc}(L)}$ของการเชื่อมต่ออานม้าที่มีความยาว${\displaystyle \leq L}$ทำให้พึงพอใจ

${\displaystyle {\frac {c_{1}L^{2}}{\operatorname {volume} (X,\omega )}}\leq N_{\mathrm {cg} }(L),N_{\mathrm {sc} }(L)\leq {\frac {c_{2}L^{2}}{\operatorname {volume} (X,\omega )}}.}$

การจำกัดผลลัพธ์ให้อยู่ในขอบเขตของความน่าจะเป็นจะช่วยให้ได้ค่าประมาณที่ดีขึ้น: เมื่อกำหนดจีนัสแล้ว${\displaystyle g}$พาร์ติชั่น${\displaystyle \alpha }$ของ${\displaystyle g}$และส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกัน${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ของชั้น${\displaystyle {\mathcal {H}}(\alpha )}$มีค่าคงที่อยู่${\displaystyle c_{\mathrm {cg} }c_{\mathrm {sc} }}$โดยที่สำหรับเกือบทุกอย่าง${\displaystyle (X,\omega )\in {\mathcal {C}}}$ความเทียบเท่าเชิงอะซิมโทติกเป็นจริง: ^{[ 13 ]}

${\displaystyle N_{\mathrm {cg} }(L)\sim {\frac {c_{\mathrm {cg} }L^{2}}{\operatorname {volume} (X,\omega )}}}$,${\displaystyle N_{\mathrm {sc} }(L)\sim {\frac {c_{\mathrm {sc} }L^{2}}{\operatorname {volume} (X,\omega )}}.}$

ค่าคงที่${\displaystyle c_{\mathrm {cg} },c_{\mathrm {sc} }}$เรียกว่า ค่าคงที่ ซีเกล-วีชโดยใช้คุณสมบัติเออร์โกดิกของ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$- การดำเนินการเกี่ยวกับ${\displaystyle {\mathcal {H}}(\alpha )}$มีการแสดงให้เห็นว่าค่าคงที่เหล่านี้สามารถคำนวณได้อย่างชัดเจนเป็นอัตราส่วนของปริมาตร Masur-Veech บางอย่าง^{[ 14 ]}

การไหลของจีโอเดสิกบนพื้นผิว Veech มีพฤติกรรมที่ดีกว่าโดยทั่วไปมาก ซึ่งแสดงออกมาผ่านผลลัพธ์ต่อไปนี้ที่เรียกว่าการแบ่งแยก Veech : ^{[ 15 ]}

อนุญาต${\displaystyle (X,\omega )}$เป็นพื้นผิววีชและ${\displaystyle \theta }$ทิศทางหนึ่ง จากนั้นวิถีทั้งหมดก็จะถูกท้าทาย${\displaystyle \mathbb {R} }$เป็นไปเป็นระยะ หรือเป็นการไหลในทิศทางใดทิศทางหนึ่ง${\displaystyle \theta }$เป็นแบบเออร์โกดิก

ถ้า${\displaystyle P_{0}}$เป็นรูปหลายเหลี่ยมในระนาบยุคลิดและ${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$ในทิศทางหนึ่ง มีระบบพลวัตต่อเนื่องที่เรียกว่าบิลเลียดวิถีการเคลื่อนที่ของจุดภายในรูปหลายเหลี่ยมถูกกำหนดดังนี้ ตราบใดที่มันไม่สัมผัสขอบเขต มันจะเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงด้วยความเร็วหนึ่งหน่วย เมื่อมันสัมผัสภายในขอบ มันจะสะท้อนกลับ (กล่าวคือ ทิศทางของมันเปลี่ยนไปโดยมีการสะท้อนตั้งฉากกับเส้นตั้งฉากของขอบ) และเมื่อมันสัมผัสจุดยอด มันจะหยุด

ระบบพลวัตนี้เทียบเท่ากับการไหลของเส้นจีโอเดสิกบนพื้นผิวเรียบ: เพียงแค่ขยายรูปหลายเหลี่ยมเป็นสองเท่าตามขอบ และใช้เมตริกแบบแบนราบทุกที่ยกเว้นที่จุดยอด ซึ่งจะกลายเป็นจุดเอกฐานที่มีมุมกรวยเป็นสองเท่าของมุมของรูปหลายเหลี่ยมที่จุดยอดที่สอดคล้องกัน พื้นผิวนี้ไม่ใช่พื้นผิวการเลื่อนหรือพื้นผิวการเลื่อนครึ่งหนึ่ง แต่ในบางกรณีมันมีความเกี่ยวข้องกับพื้นผิวเหล่านั้น กล่าวคือ ถ้ามุมทั้งหมดของรูปหลายเหลี่ยม${\displaystyle P_{0}}$เป็นผลคูณตรรกยะของ${\displaystyle \pi }$พื้นผิวนี้มีการปกคลุมแบบแตกแขนง ซึ่งเป็นพื้นผิวการแปล ซึ่งสามารถสร้างขึ้นจากการรวมกันของสำเนาต่างๆ${\displaystyle P_{0}}$จากนั้นจึงสามารถศึกษาพลวัตของการไหลของบิลเลียดได้โดยใช้การไหลแบบจีโอเดสิกบนพื้นผิวการเลื่อน

ตัวอย่างเช่น บิลเลียดในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีความสัมพันธ์กับบิลเลียดบนทรงโดนัทแบนที่สร้างจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสสี่รูป บิลเลียดในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าก่อให้เกิดทรงโดนัทแบนที่สร้างจากหกเหลี่ยม บิลเลียดในรูปตัว "L" ที่สร้างจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีความสัมพันธ์กับการไหลของเส้นโค้งบนพื้นผิวที่ปูด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัส บิลเลียดในรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม...${\displaystyle \pi /5,\pi /5,3\pi /5}$มีความเกี่ยวข้องกับพื้นผิว Veech ที่สร้างขึ้นจากรูปห้าเหลี่ยมปกติสองรูปที่สร้างไว้ด้านบน

อนุญาต${\displaystyle (X,\omega )}$เป็นพื้นผิวการแปลและ${\displaystyle \theta }$ทิศทางหนึ่ง และปล่อยให้${\displaystyle \phi _{t}}$เป็นการไหลของเส้นจีโอเดสิกบน${\displaystyle (X,\omega )}$ด้วยทิศทาง${\displaystyle \theta }$. อนุญาต${\displaystyle I}$เป็นส่วนของเส้นทางภูมิศาสตร์ในทิศทางตั้งฉากกับ${\displaystyle \theta }$และกำหนดความสัมพันธ์เวียนเกิดครั้งแรก หรือแผนที่ปวงกาเร${\displaystyle \sigma :I\to I}$ดังต่อไปนี้:${\displaystyle \sigma (p)}$เท่ากับ${\displaystyle \phi _{t}(p)}$ที่ไหน${\displaystyle \phi _{s}(p)\not \in I}$สำหรับ${\displaystyle 0<s<t}$จากนั้นแผนที่นี้จะเป็นการแปลงแลกเปลี่ยนช่วงเวลาและสามารถใช้เพื่อศึกษาพลวัตของการไหลของจีโอเดสิกได้^{[ 16 ]}