วิกิพีเดียภาษาไทย
กลับไปหน้าบทความ

อ่าน 18 นาที

การทดสอบMann–Whitney U

แมนน์-วิทนีย์ยู{\displaystyle U}การทดสอบ (เรียกอีกอย่างว่า การทดสอบMann–Whitney–Wilcoxon ( MWW/MWU ), การทดสอบ Wilcoxon rank-sumหรือการทดสอบ Wilcoxon–Mann–Whitney )...

การทดสอบMann–Whitney U

แมนน์-วิทนีย์ยู{\displaystyle U}การทดสอบ (เรียกอีกอย่างว่า การทดสอบMann–Whitney–Wilcoxon ( MWW/MWU ), การทดสอบ Wilcoxon rank-sumหรือการทดสอบ Wilcoxon–Mann–Whitney ) เป็นการทดสอบทางสถิติแบบไม่ใช้พารามิเตอร์ เพื่อ ตรวจสอบ สมมติฐานว่าง ที่ว่า ค่า XและYที่สุ่มเลือกจากสองประชากรมีการกระจายตัวแบบเดียวกัน

ค่าUที่คำนวณได้จากการทดสอบสามารถแปลงเป็นการวัดขนาดผลกระทบได้โดยการหารด้วยค่า U สูงสุด ซึ่งเป็นผลคูณของขนาดของตัวอย่างสองกลุ่มที่นำมาเปรียบเทียบ การวัดนี้คือความน่าจะเป็นที่ค่าของการสังเกตแบบสุ่มจากกลุ่มที่สูงกว่าจะมีค่ามากกว่าค่าของการสังเกตแบบสุ่มจากกลุ่มที่ต่ำกว่า[ 1 ]

การทดสอบแบบไม่ใช้พารามิเตอร์ที่ใช้กับกลุ่มตัวอย่าง สองกลุ่ม ที่มีความสัมพันธ์กัน ได้แก่ การทดสอบเครื่องหมาย (sign test ) และการทดสอบวิลค็อกซอนแบบจัดอันดับเครื่องหมาย (Wilcoxon signed-rank test )

ข้อสันนิษฐานและข้อความแสดงสมมติฐานอย่างเป็นทางการ

เฮนรี แมนน์และโดนัลด์ แรนซัม วิทนีย์[ 2 ]ได้พัฒนาการทดสอบ Mann–Whitney Uภายใต้สมมติฐานของ การตอบสนอง แบบต่อเนื่องโดยมีสมมติฐานทางเลือกคือ การแจกแจงหนึ่งมีค่ามากกว่าการแจกแจงอื่นในเชิงสุ่ม กล่าวคือ ความน่าจะเป็นของการสังเกตแบบสุ่มจากกลุ่มหนึ่งจะมีค่ามากกว่าการสังเกตแบบสุ่มจากกลุ่มอื่นคือ 0.5 มีวิธีอื่นอีกมากมายในการกำหนด สมมติฐาน ว่างและสมมติฐานทางเลือกเพื่อให้การทดสอบ Mann–Whitney Uให้ผลการทดสอบที่ถูกต้อง[ 3 ]

โดยทั่วไปแล้ว สามารถกำหนดเงื่อนไขได้ดังนี้:

  1. ข้อมูลทั้งหมดจากทั้งสองกลุ่มเป็นอิสระต่อกัน
  2. คำตอบเหล่านั้นอย่างน้อยก็เป็นเชิงลำดับ (กล่าวคือ อย่างน้อยที่สุดก็สามารถบอกได้ว่า จากการสังเกตสองครั้งใดๆ ก็ตาม สิ่งใดมีค่ามากกว่า)
  3. ภายใต้สมมติฐานว่างH การกระจายของประชากรทั้งสองจะเหมือนกัน[ 4 ]
  4. สมมติฐานทางเลือกH คือ การกระจายตัวไม่เหมือนกัน

ตามสูตรทั่วไป การทดสอบจะมีความสอดคล้อง ก็ต่อ เมื่อเกิดเงื่อนไขต่อไปนี้ภายใต้สมมติฐานH :

  1. ความน่าจะเป็นที่ค่าสังเกตจากประชากรXจะมากกว่าค่าสังเกตจากประชากรYนั้นแตกต่างกัน (มากกว่าหรือน้อยกว่า) จากความน่าจะเป็นที่ค่าสังเกตจากประชากรYจะมากกว่าค่าสังเกตจากประชากรXกล่าวคือ P ( X > Y ) ≠ P( Y > X )หรือP( X > Y ) + 0.5 · P( X = Y ) ≠ 0.5

ภายใต้สมมติฐานที่เข้มงวดกว่าสูตรทั่วไปข้างต้น เช่น หากถือว่าการตอบสนองเป็นแบบต่อเนื่องและทางเลือกอื่นถูกจำกัดไว้ที่การเปลี่ยนแปลงตำแหน่ง กล่าวคือF ( x ) = F ( x + δ )เราสามารถตีความการทดสอบ Mann–Whitney U ที่มีนัยสำคัญ ว่าแสดงให้เห็นถึงความแตกต่างในค่ามัธยฐาน การปฏิบัตินี้อาศัยสมมติฐานที่เข้มงวดเกี่ยวกับการกระจายของข้อมูล เมื่อสมมติฐานนี้ไม่เป็นจริง ก็สามารถแสดงให้เห็นได้ง่ายว่าการทดสอบให้ผลลัพธ์ที่มีนัยสำคัญทางสถิติเมื่อค่ามัธยฐานของทั้งสองกลุ่มเหมือนกัน หากจำเป็นต้องมีการทดสอบค่ามัธยฐาน การถดถอยควอนไทล์จะทดสอบสิ่งนี้อย่างชัดเจน[ 1 ]

ภายใต้สมมติฐานการเปลี่ยนแปลงตำแหน่งนี้ เราสามารถตีความการทดสอบ Mann–Whitney Uว่าเป็นการประเมินว่าค่าประมาณ Hodges–Lehmannของความแตกต่างในแนวโน้มศูนย์กลางระหว่างประชากรทั้งสองแตกต่างจากศูนย์หรือไม่ ค่าประมาณHodges–Lehmannสำหรับปัญหาตัวอย่างสองกลุ่มนี้คือค่า มัธยฐาน ของความแตกต่างที่เป็นไปได้ทั้งหมดระหว่างการสังเกตในตัวอย่างแรกและการสังเกตในตัวอย่างที่สอง

มิฉะนั้น หากทั้งการกระจายและรูปร่างของการกระจายของตัวอย่างทั้งสองแตกต่างกัน การทดสอบ Mann–Whitney Uจะล้มเหลวในการทดสอบค่ามัธยฐาน เป็นไปได้ที่จะแสดงตัวอย่างที่ค่ามัธยฐานเท่ากันในเชิงตัวเลขในขณะที่การทดสอบปฏิเสธสมมติฐานว่างด้วยค่า p ที่เล็ก[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]

การทดสอบ Mann–Whitney U / การทดสอบ Wilcoxon rank-sum ไม่เหมือนกับการ ทดสอบ Wilcoxon signed -rankแม้ว่าทั้งสองจะเป็นการทดสอบแบบไม่ใช้พารามิเตอร์และเกี่ยวข้องกับการรวมอันดับก็ตาม การทดสอบ Mann–Whitney Uใช้กับตัวอย่างอิสระ ในขณะที่การทดสอบ Wilcoxon signed-rank ใช้กับตัวอย่างที่จับคู่กันหรือตัวอย่างที่ขึ้นอยู่กัน

สถิติยู

แม้ว่าบทความต้นฉบับของ Mann และ Whitney จะอธิบายการทดสอบนี้ว่าเป็นแบบทดสอบความเหนือกว่าเชิงสุ่ม กล่าวคือ เป็นการทดสอบว่าค่าสังเกตจากกลุ่มหนึ่งมีแนวโน้มที่จะมากกว่าค่าสังเกตจากอีกกลุ่มหนึ่งหรือไม่ แต่ค่าสถิติการทดสอบUไม่ได้ให้ความน่าจะเป็นนี้ ความน่าจะเป็นนี้สามารถคำนวณได้ง่ายๆ โดยการหารUด้วยค่าสูงสุด ซึ่งก็คือผลคูณของขนาดตัวอย่างทั้งสอง

อนุญาตX1,…,Xn1{\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n_{1}}}เป็นกลุ่มที่ 1 ซึ่งเป็นตัวอย่างอิสระ และมีการกระจายเหมือน กันจากX{\displaystyle X}, และวาย1,…,วายn2{\displaystyle Y_{1},\ldots ,Y_{n_{2}}}เป็นกลุ่มที่ 2 ซึ่งเป็นตัวอย่างอิสระและมีการกระจายเหมือนกันจากวาย{\displaystyle Y}และให้ตัวอย่างทั้งสองเป็นอิสระต่อกัน สถิติ Mann–Whitney U ที่สอดคล้องกัน จะถูกกำหนดให้เป็นค่าที่น้อยกว่าระหว่าง:

ยู1=n1n2+n1(n1+1)2−อาร์1,ยู2=n1n2+n2(n2+1)2−อาร์2{\displaystyle U_{1}=n_{1}n_{2}+{\tfrac {n_{1}(n_{1}+1)}{2}}-R_{1},U_{2}=n_{1}n_{2}+{\tfrac {n_{2}(n_{2}+1)}{2}}-R_{2}}

กับ

อาร์1,อาร์2{\displaystyle R_{1},R_{2}}โดยเป็นผลรวมของอันดับในกลุ่มที่ 1 และ 2 หลังจากจัดอันดับตัวอย่างทั้งหมดจากทั้งสองกลุ่มแล้ว โดยค่าที่น้อยที่สุดจะได้อันดับที่ 1 และค่าที่มากที่สุดจะได้อันดับที่ 2n1+n2{\displaystyle n_{1}+n_{2}}[ 8 ]​

สถิติพื้นที่ใต้เส้นโค้ง (AUC) สำหรับเส้นโค้ง ROC

สถิติUเกี่ยวข้องกับพื้นที่ใต้เส้นโค้งลักษณะการทำงานของผู้รับ ( AUC ): [ 9 ]

เอยูซี1=ยู1n1n2{\displaystyle \mathrm {AUC} _{1}={U_{1} \over n_{1}n_{2}}}

โปรดทราบว่านี่คือคำจำกัดความเดียวกันกับขนาดผลกระทบของภาษาทั่วไป กล่าวคือ ความน่าจะเป็นที่ตัวจำแนกจะจัดอันดับอินสแตนซ์ที่เลือกแบบสุ่มจากกลุ่มแรกให้สูงกว่าอินสแตนซ์ที่เลือกแบบสุ่มจากกลุ่มที่สอง[ 10 ]

เนื่องจากรูปแบบความน่าจะเป็น สถิติ Uสามารถขยายไปสู่การวัดพลังการแยกของตัวจำแนกสำหรับคลาสมากกว่าสองคลาสได้: [ 11 ]

เอ็ม=1ค(ค−1)∑เอยูซีเค,ℓ{\displaystyle M={1 \over c(c-1)}\sum \mathrm {AUC} _{k,\ell }}

โดยที่cคือจำนวนคลาส และ เทอม R ของ AUC จะพิจารณาเฉพาะการจัดอันดับของรายการที่อยู่ในคลาสkและℓ เท่านั้น (กล่าวคือ รายการที่อยู่ในคลาสอื่นๆ ทั้งหมดจะถูกละเลย) ตามการประมาณค่าความน่าจะเป็นของรายการเหล่านั้นที่อยู่ในคลาสk ของตัวจำแนก AUC จะเป็นศูนย์เสมอ แต่ต่างจากกรณีสองคลาส โดยทั่วไปAUC ≠ AUC ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไม การวัด M จึงรวมผลลัพธ์ ของ คู่ ( k , ℓ ) ทั้งหมด โดยใช้ค่าเฉลี่ยของ AUC และ AUC

การคำนวณ

การทดสอบนี้เกี่ยวข้องกับการคำนวณค่าสถิติซึ่งโดยทั่วไปเรียกว่าU โดยที่ ทราบการแจกแจงภายใต้สมมติฐานว่าง :

  • ในกรณีที่ตัวอย่างมีขนาดเล็ก การกระจายตัวจะถูกจัดทำเป็นตาราง
  • สำหรับขนาดตัวอย่างที่มากกว่า ~20 การประมาณค่าโดยใช้การแจกแจงปกติค่อนข้างแม่นยำ

อีกทางเลือกหนึ่งคือ สามารถประมาณการแจกแจงแบบไม่มีนัยสำคัญได้โดยใช้การทดสอบการเรียงสับเปลี่ยนและการจำลองแบบมอนเตคาร์โล

หนังสือบางเล่มนำเสนอสถิติที่เทียบเท่ากับU ในรูปแบบตาราง เช่น ผลรวมของอันดับในกลุ่มตัวอย่างกลุ่มใดกลุ่มหนึ่ง แทนที่จะใช้ค่าUโดยตรง

การทดสอบ Mann–Whitney Uมีอยู่ในโปรแกรมทางสถิติ ส่วน ใหญ่

นอกจากนี้ยังสามารถคำนวณด้วยมือได้อย่างง่ายดาย โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับตัวอย่างขนาดเล็ก มีหลายวิธีในการทำเช่นนี้

วิธีที่หนึ่ง:

สำหรับการเปรียบเทียบชุดข้อมูลขนาดเล็กสองชุด วิธีโดยตรงนั้นรวดเร็วและให้ข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับความหมายของ ค่าสถิติ Uซึ่งสอดคล้องกับจำนวนครั้งที่ชนะจากการแข่งขันแบบจับคู่ทั้งหมด (ดูตัวอย่างเต่ากับกระต่ายในหัวข้อตัวอย่างด้านล่าง) สำหรับแต่ละค่าสังเกตในชุดหนึ่ง ให้นับจำนวนครั้งที่ค่าแรกนี้ชนะค่าสังเกตใดๆ ในอีกชุดหนึ่ง (ค่าอื่นจะแพ้หากค่าแรกนี้มากกว่า) นับ 0.5 สำหรับกรณีที่เสมอกัน ผลรวมของจำนวนครั้งที่ชนะและเสมอกันคือU (เช่น 0.5)ยู1{\displaystyle U_{1}}) สำหรับเซตแรกUสำหรับเซตอื่นคือสิ่งที่ตรงกันข้าม (เช่นยู2{\displaystyle U_{2}})

วิธีที่สอง:

สำหรับตัวอย่างขนาดใหญ่:

  1. กำหนดลำดับตัวเลขให้กับข้อมูลทั้งหมด (รวมข้อมูลจากทั้งสองกลุ่มไว้ในชุดเดียวกัน) โดยเริ่มจาก 1 สำหรับค่าที่น้อยที่สุด ในกรณีที่มีกลุ่มค่าที่เท่ากัน ให้กำหนดลำดับเท่ากับค่ากึ่งกลางของลำดับที่ยังไม่ได้ปรับ (เช่น ลำดับของ(3, 5, 5, 5, 5, 8)คือ(1, 3.5, 3.5, 3.5, 3.5, 6)โดยที่ลำดับที่ยังไม่ได้ปรับคือ(1, 2, 3, 4, 5, 6) )
  2. ทีนี้ ให้บวกอันดับของข้อมูลที่ได้มาจากตัวอย่าง ที่ 1 เข้าด้วยกัน ผลรวมของอันดับในตัวอย่างที่ 2 จึงถูกกำหนดแล้ว เนื่องจากผลรวมของอันดับทั้งหมดเท่ากับN ( N + 1)/2โดยที่Nคือจำนวนข้อมูลทั้งหมด
  3. จากนั้น Uจะกำหนดโดย: [ 12 ]
ยู1=อาร์1−n1(n1+1)2{\displaystyle U_{1}=R_{1}-{n_{1}(n_{1}+1) \over 2}\,\!}
โดยที่n คือขนาดตัวอย่างสำหรับตัวอย่างที่ 1 และR คือผลรวมของอันดับในตัวอย่าง ที่ 1
โปรดทราบว่าไม่สำคัญว่าตัวอย่างใดในสองตัวอย่างนั้นจะถือเป็นตัวอย่าง ที่ 1 สูตรที่ถูกต้องสำหรับUก็คือ
ยู2=อาร์2−n2(n2+1)2{\displaystyle U_{2}=R_{2}-{n_{2}(n_{2}+1) \over 2}\,\!}
ค่าU และU ที่น้อยกว่า จะเป็นค่าที่ใช้ในการตรวจสอบตารางนัยสำคัญ ผลรวมของค่าทั้งสองคำนวณได้จากสูตร
ยู1+ยู2=อาร์1−n1(n1+1)2+อาร์2−n2(n2+1)2.{\displaystyle U_{1}+U_{2}=R_{1}-{n_{1}(n_{1}+1) \over 2}+R_{2}-{n_{2}(n_{2}+1) \over 2}.\,\!}
เมื่อทราบว่าR + R = N ( N + 1)/2และN = n + n และทำการคำนวณทางพีชคณิตเราจะพบว่าผลรวมคือ
U + U = n n .

คุณสมบัติ

ค่าสูงสุดของUคือผลคูณของขนาดตัวอย่างของตัวอย่างทั้งสอง (เช่นยูฉัน=n1n2{\displaystyle U_{i}=n_{1}n_{2}}ในกรณีเช่นนั้น ค่าU "อีกตัว" จะเป็น 0

ตัวอย่าง

ภาพประกอบวิธีการคำนวณ

สมมติว่าอีสอปไม่พอใจกับการทดลองคลาสสิก ของเขา ที่ พบว่า เต่า ตัวหนึ่ง ชนะกระต่าย ตัวหนึ่ง ในการวิ่งแข่ง และตัดสินใจทำการทดสอบนัยสำคัญเพื่อค้นหาว่าผลลัพธ์นั้นสามารถขยายไปถึงเต่าและกระต่ายโดยทั่วไปได้หรือไม่ เขาเก็บตัวอย่างเต่า 6 ตัวและกระต่าย 6 ตัว แล้วให้พวกมันวิ่งแข่งพร้อมกัน ลำดับที่พวกมันเข้าเส้นชัย (ลำดับจากตัวแรกถึงตัวสุดท้ายที่เข้าเส้นชัย) เป็นดังนี้ โดยเขียน T แทนเต่าและ H แทนกระต่าย:

ทส ...

ค่าของU คืออะไร ?

  • โดยใช้วิธีตรง เราจะนับเต่าแต่ละตัวทีละตัว แล้วนับจำนวนกระต่ายที่มันเอาชนะได้ ซึ่งจะได้ 6, 1, 1, 1, 1, 1 หมายความว่าU = 11หรืออีกวิธีหนึ่ง เราอาจจะนับกระต่ายแต่ละตัวทีละตัว แล้วนับจำนวนเต่าที่มันเอาชนะได้ ในกรณีนี้ เราจะได้ 5, 5, 5, 5, 5, 0 ดังนั้นU = 25สังเกตว่าผลรวมของค่าทั้งสองนี้สำหรับU = 36ซึ่งก็คือ6× 6
  • โดยใช้วิธีทางอ้อม:
จัดอันดับสัตว์ตามเวลาที่ใช้ในการทำภารกิจให้สำเร็จ โดยให้สัตว์ตัวแรกที่กลับบ้านได้อันดับที่ 12 สัตว์ตัวที่สองอันดับที่ 11 และต่อไปเรื่อยๆ
ผลรวมของอันดับที่เต่าได้รับคือ12 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 = 32
ดังนั้นU = 32 − (6×7)/2 = 32 − 21 = 11 (เหมือนกับวิธีที่หนึ่ง)
ผลรวมของอันดับที่กระต่ายได้รับคือ11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 1 = 46ซึ่งนำไปสู่​​U = 46 − 21 = 25

ตัวอย่างรายงานผลประกอบการ

ในการรายงานผลการทดสอบ Mann–Whitney Uสิ่งสำคัญคือต้องระบุว่า: [ 13 ]

ในทางปฏิบัติ ข้อมูลบางส่วนอาจเคยถูกให้ไว้แล้ว และควรใช้วิจารณญาณในการตัดสินใจว่าจะให้กล่าวซ้ำหรือไม่ รายงานทั่วไปอาจมีลักษณะดังนี้

"ค่ามัธยฐานของเวลาแฝงในกลุ่ม E และ C คือ 153 และ 247 มิลลิวินาที ตามลำดับ การกระจายตัวในสองกลุ่มแตกต่างกันอย่างมีนัยสำคัญ (Mann–Whitney U = 10.5 , n = n = 8 , P < 0.05แบบสองด้าน)"

ข้อความที่แสดงถึงสถานะทางสถิติของการทดสอบอย่างครบถ้วนอาจมีดังนี้

“ผลลัพธ์ของการรักษาทั้งสองแบบถูกเปรียบเทียบโดยใช้การทดสอบ Wilcoxon–Mann–Whitney แบบสองกลุ่มตัวอย่าง ผลการรักษา (ความแตกต่างระหว่างการรักษา) ถูกวัดปริมาณโดยใช้ตัวประมาณ Hodges–Lehmann (HL) ซึ่งสอดคล้องกับการทดสอบ Wilcoxon [ 14 ]ตัวประมาณนี้ (HLΔ) คือค่ามัธยฐานของความแตกต่างที่เป็นไปได้ทั้งหมดในผลลัพธ์ระหว่างผู้ป่วยในกลุ่ม B และผู้ป่วยในกลุ่ม A ช่วงความเชื่อมั่นแบบไม่พาราเมตริก 0.95 สำหรับ HLΔ มาพร้อมกับการประมาณเหล่านี้ เช่นเดียวกับ ρ ซึ่งเป็นการประมาณความน่าจะเป็นที่ผู้ป่วยที่สุ่มเลือกจากประชากร B มีน้ำหนักมากกว่าผู้ป่วยที่สุ่มเลือกจากประชากร A น้ำหนักมัธยฐาน [ควอไทล์] ของผู้ป่วยที่ได้รับการรักษา A และ B ตามลำดับคือ 147 [121, 177] และ 151 [130, 180] กก. การรักษา A ลดน้ำหนักลง HLΔ = 5 กก. (0.95 CL [2, 9] กก., 2 P = 0.02 , ρ = 0.58 )"

อย่างไรก็ตาม เป็นเรื่องยากที่จะพบรายงานที่ครอบคลุมมากขนาดนี้ในเอกสารที่มีหัวข้อหลักไม่ใช่เรื่องการอนุมานทางสถิติ

การประมาณค่าปกติและการแก้ไขความเชื่อมโยง

สำหรับตัวอย่างขนาดใหญ่ค่า Uจะมีการกระจายแบบปกติ โดยประมาณ ในกรณีนั้นค่ามาตรฐานจะเป็น ดังนี้

z=ยู−มยูσยู,{\displaystyle z={\frac {U-m_{U}}{\sigma _{U}}},\,}

โดยที่m และσ คือค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของUซึ่งโดยประมาณแล้วคือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานปกติ ซึ่งสามารถตรวจสอบความสำคัญได้ในตารางการแจกแจงปกติm และσ กำหนดโดย

มยู=n1n22,{\displaystyle m_{U}={\frac {n_{1}n_{2}}{2}},\,}[ 15 ]และ
σยู=n1n2(n1+n2+1)12.{\displaystyle \sigma _{U}={\sqrt {n_{1}n_{2}(n_{1}+n_{2}+1) \over 12}}.\,}[ 15 ]

สูตรสำหรับค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะซับซ้อนมากขึ้นในกรณีที่มีอันดับเท่ากัน หากมีอันดับเท่ากันค่า σจะต้องได้รับการปรับดังนี้:

σเนคไท=n1n2(n1+n2+1)12−n1n2∑เค=1เค(ทีเค3−ทีเค)12n(n−1),{\displaystyle \sigma _{\text{ties}}={\sqrt {{n_{1}n_{2}(n_{1}+n_{2}+1) \over 12}-{n_{1}n_{2}\sum _{k=1}^{K}(t_{k}^{3}-t_{k}) \over 12n(n-1)}}},\,}[ 16 ]

โดยที่ด้านซ้ายคือค่าความแปรปรวน และด้านขวาคือค่าปรับแก้สำหรับค่าที่เท่ากัน t คือจำนวนค่าที่เท่ากันสำหรับ อันดับที่ kและKคือจำนวนอันดับทั้งหมดที่มีค่าที่เท่ากัน

รูปแบบที่มีประสิทธิภาพในการคำนวณมากกว่า โดย แยกตัวประกอบ n n /12ออกมาคือ

σเนคไท=n1n212((n+1)−∑เค=1เค(ทีเค3−ทีเค)n(n−1)),{\displaystyle \sigma _{\text{ties}}={\sqrt {{n_{1}n_{2} \over 12}\left((n+1)-{\sum _{k=1}^{K}(t_{k}^{3}-t_{k}) \over n(n-1)}\right)}},}

โดยที่n = n + n

หากจำนวนค่าที่เท่ากันมีน้อย (และโดยเฉพาะอย่างยิ่งหากไม่มีช่วงค่าที่เท่ากันมาก) สามารถละเว้นค่าที่เท่ากันได้เมื่อคำนวณด้วยมือ โปรแกรมสถิติคอมพิวเตอร์จะใช้สูตรที่ปรับอย่างถูกต้องโดยอัตโนมัติ

โปรดทราบว่า เนื่องจากU + U = n n ค่าเฉลี่ยn n /2ที่ใช้ในการประมาณค่าแบบปกติคือค่าเฉลี่ยของค่าU ทั้งสองค่า ดังนั้น ค่าสัมบูรณ์ของ สถิติ z ที่คำนวณได้จะเท่ากันไม่ว่า Uจะใช้ค่าใดก็ตาม

ขนาดของผลกระทบ

การรายงาน ขนาดผลกระทบสำหรับการทดสอบเชิงอนุมานถือเป็นแนวปฏิบัติที่แนะนำอย่างกว้างขวางสำหรับนักวิทยาศาสตร์[ 17 ] [ 18 ]

สัดส่วนความสอดคล้องจากคู่ทั้งหมด

มาตรการต่อไปนี้มีความเทียบเท่ากัน

ขนาดผลกระทบของภาษาทั่วไป

วิธีหนึ่งในการรายงานขนาดผลกระทบของการทดสอบ Mann–Whitney Uคือการใช้fซึ่งเป็นขนาดผลกระทบของภาษาทั่วไป[ 19 ] [ 20 ]ในฐานะสถิติตัวอย่าง ขนาดผลกระทบของภาษาทั่วไปจะคำนวณโดยการสร้างคู่ที่เป็นไปได้ทั้งหมดระหว่างสองกลุ่ม จากนั้นหาอัตราส่วนของคู่ที่สนับสนุนทิศทาง (เช่น รายการจากกลุ่ม 1 มีขนาดใหญ่กว่ารายการจากกลุ่ม 2) [ 20 ]เพื่อแสดงให้เห็น ในการศึกษาที่มีตัวอย่างกระต่าย 10 ตัวและเต่า 10 ตัว จำนวนคู่ลำดับทั้งหมดคือ 10 คูณ 10 หรือ 100 คู่ของกระต่ายและเต่า สมมติว่าผลลัพธ์แสดงให้เห็นว่ากระต่ายวิ่งเร็วกว่าเต่าใน 90 จาก 100 คู่ตัวอย่าง ในกรณีนั้น ขนาดผลกระทบของภาษาทั่วไปของตัวอย่างคือ 90% [ 21 ]

ความสัมพันธ์ระหว่างfและ Mann–Whitney U (โดยเฉพาะ)ยู1{\displaystyle U_{1}}) มีรายละเอียดดังนี้:

เอฟ=ยู1n1n2{\displaystyle f={U_{1} \over n_{1}n_{2}}\,}

นี่คือค่าเดียวกับพื้นที่ใต้เส้นโค้ง (AUC) สำหรับเส้นโค้ง ROC

สถิติρ

สถิติที่เรียกว่าρซึ่งมีความสัมพันธ์เชิงเส้นกับUและใช้กันอย่างแพร่หลายในการศึกษาการจัดหมวดหมู่ ( การเรียนรู้การจำแนกที่เกี่ยวข้องกับแนวคิด ) และที่อื่น ๆ[ 22 ]คำนวณโดยการหารUด้วยค่าสูงสุดสำหรับขนาดตัวอย่างที่กำหนด ซึ่งก็คือn × n ดังนั้นρจึงเป็นการวัดการทับซ้อนระหว่างการแจกแจงสองแบบโดยไม่ใช้พารามิเตอร์ โดยสามารถมีค่าอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และประมาณค่าP( Y > X ) + 0.5 P( Y = X )โดยที่XและYคือการสังเกตที่เลือกแบบสุ่มจากการแจกแจงทั้งสอง ค่าสุดขั้วทั้งสองแสดงถึงการแยกการแจกแจงอย่างสมบูรณ์ ในขณะที่ρเท่ากับ 0.5 แสดงถึงการทับซ้อนอย่างสมบูรณ์ ประโยชน์ของ สถิติ ρสามารถเห็นได้จากตัวอย่างที่แปลกประหลาดที่กล่าวถึงข้างต้น ซึ่งการแจกแจงสองแบบที่แตกต่างกันอย่างมีนัยสำคัญในการทดสอบ Mann–Whitney Uกลับมีค่ามัธยฐานที่เกือบจะเหมือนกัน: ค่า ρในกรณีนี้อยู่ที่ประมาณ 0.723 ซึ่งเป็นผลดีต่อกระต่าย สะท้อนให้เห็นอย่างถูกต้องว่าถึงแม้เต่าที่มีค่ามัธยฐานสูงกว่ากระต่ายที่มีค่ามัธยฐาน แต่โดยรวมแล้วกระต่ายทำได้ดีกว่าเต่าโดยรวม

ความสัมพันธ์แบบลำดับ-ไบซีเรียล

วิธีการรายงานขนาดผลกระทบสำหรับการทดสอบ Mann–Whitney Uคือการใช้มาตรวัดความสัมพันธ์ลำดับที่เรียกว่าความสัมพันธ์ลำดับสองกลุ่ม Edward Cureton เป็นผู้แนะนำและตั้งชื่อมาตรวัดนี้[ 23 ]เช่นเดียวกับมาตรวัดความสัมพันธ์อื่นๆ ความสัมพันธ์ลำดับสองกลุ่มสามารถอยู่ในช่วงตั้งแต่ลบหนึ่งถึงบวกหนึ่ง โดยค่าศูนย์แสดงว่าไม่มีความสัมพันธ์

มีสูตรความแตกต่างง่ายๆ ในการคำนวณค่าสหสัมพันธ์ลำดับสองจากขนาดผลกระทบของภาษาทั่วไป: ค่าสหสัมพันธ์คือความแตกต่างระหว่างสัดส่วนของคู่ที่สนับสนุนสมมติฐาน ( f ) ลบด้วยส่วนเติมเต็ม (เช่น สัดส่วนที่ไม่สนับสนุน ( u )) สูตรความแตกต่างง่ายๆ นี้เป็นเพียงความแตกต่างของขนาดผลกระทบของภาษาทั่วไปของแต่ละกลุ่ม และมีดังนี้: [ 19 ]

ร=เอฟ−คุณ{\displaystyle r=f-u}

ตัวอย่างเช่น พิจารณากรณีที่กระต่ายวิ่งเร็วกว่าเต่าใน 90 จาก 100 คู่ ผลกระทบของภาษาที่ใช้ร่วมกันมีขนาด 90% ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์แบบลำดับสองกลุ่มคือ 90% ลบ 10% และค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์แบบลำดับสองกลุ่มr = 0.80 

สามารถใช้สูตรทางเลือกสำหรับอันดับสองลำดับ (rank-biserial) เพื่อคำนวณจากค่า Mann–Whitney U (ไม่ว่าจะเป็นแบบใดก็ตาม)ยู1{\displaystyle U_{1}}หรือยู2{\displaystyle U_{2}}) และขนาดตัวอย่างของแต่ละกลุ่ม: [ 24 ]

ร=เอฟ−(1−เอฟ)=2เอฟ−1=2ยู1n1n2−1=1−2ยู2n1n2{\displaystyle r=f-(1-f)=2f-1={2U_{1} \over n_{1}n_{2}}-1=1-{2U_{2} \over n_{1}n_{2}}}

สูตรนี้มีประโยชน์เมื่อไม่มีข้อมูล แต่มีรายงานที่ตีพิมพ์แล้ว เนื่องจากค่า Uและขนาดตัวอย่างมักถูกรายงานไว้ จากตัวอย่างข้างต้นที่มีคู่ที่ชอบกระต่าย 90 คู่ และคู่ที่ชอบเต่า 10 คู่ ค่า U²จะน้อยกว่า ดังนั้น= 10 นี้จะให้ค่าr = 1 – (2×10) / (10×10) = 0.80ซึ่งเป็นผลลัพธ์เดียวกันกับสูตรความแตกต่างอย่างง่ายข้างต้น

ความสัมพันธ์กับการทดสอบอื่นๆ

การเปรียบเทียบกับ การทดสอบtของนักเรียน

การทดสอบ Mann–Whitney Uทดสอบสมมติฐานว่างที่ว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นของการสังเกตที่สุ่มเลือกจากกลุ่มหนึ่งจะเหมือนกับการแจกแจงความน่าจะเป็นของการสังเกตที่สุ่มเลือกจากอีกกลุ่มหนึ่ง เทียบกับสมมติฐานทางเลือกที่ว่าการแจกแจงเหล่านั้นไม่เท่ากัน (ดูการทดสอบ Mann–Whitney U #ข้อสมมติ และคำแถลงอย่างเป็นทางการของสมมติฐาน ) ในทางตรงกันข้ามการทดสอบ tทดสอบสมมติฐานว่างที่ว่าค่าเฉลี่ยเท่ากันในสองกลุ่ม เทียบกับสมมติฐานทางเลือกที่ว่าค่าเฉลี่ยไม่เท่ากัน (ภายใต้ข้อสมมติเกี่ยวกับความสม่ำเสมอบางประการ[ 3 ] ) ดังนั้น ยกเว้นในกรณีพิเศษ การทดสอบ Mann–Whitney Uและการทดสอบ t ไม่ได้ทดสอบสมมติฐานเดียวกัน และควรเปรียบเทียบโดยคำนึงถึงเรื่องนี้ด้วย

ข้อมูลเชิงลำดับ
การทดสอบ Mann–Whitney Uเหมาะสมกว่าการ ทดสอบ tเมื่อข้อมูลเป็น ข้อมูล เชิงลำดับแต่ไม่ใช่ข้อมูลเชิงช่วง ซึ่งในกรณีนี้ไม่สามารถถือว่าระยะห่างระหว่างค่าที่อยู่ติดกันของมาตราส่วนนั้นคงที่ได้
ความทนทาน
เนื่องจากการทดสอบ Mann–Whitney Uเปรียบเทียบผลรวมของอันดับ[ 25 ]จึงมีโอกาสน้อยกว่า การทดสอบ tที่จะบ่งชี้ความสำคัญอย่างผิดพลาดเนื่องจากการมีอยู่ของค่าผิดปกติอย่างไรก็ตาม การทดสอบ Mann–Whitney U อาจมีการควบคุม ข้อผิดพลาดประเภทที่ 1ที่แย่กว่าเมื่อข้อมูลมีทั้งความแปรปรวนไม่คงที่และไม่เป็นไปตามการแจกแจงปกติ[ 26 ]
ประสิทธิภาพ
เมื่อเป็นไปตามภาวะปกติ การทดสอบ Mann–Whitney Uมีประสิทธิภาพ (เชิงอะซิมโทติก) เท่ากับ 3/ πหรือประมาณ 0.95 เมื่อเทียบกับการทดสอบt [ 27 ]สำหรับการกระจายที่ห่างไกลจากภาวะปกติและสำหรับขนาดตัวอย่างที่ใหญ่พอ การทดสอบ Mann–Whitney Uจะมีประสิทธิภาพมากกว่าการทดสอบ t อย่างมาก[ 28 ]อย่างไรก็ตามการเปรียบเทียบประสิทธิภาพนี้ควรตีความด้วยความระมัดระวัง เนื่องจาก Mann–Whitney และการทดสอบ t ไม่ได้ทดสอบปริมาณเดียวกัน ตัวอย่างเช่น หากความแตกต่างของค่าเฉลี่ยกลุ่มเป็นสิ่งที่สนใจเป็นหลัก Mann–Whitney ก็ไม่ใช่การทดสอบที่เหมาะสม[ 29 ]

การทดสอบ Mann–Whitney U จะให้ผลลัพธ์ที่คล้ายคลึงกันมากกับการทำการ ทดสอบtสองตัวอย่างแบบพาราเมตริกทั่วไปกับการจัดอันดับของข้อมูล[ 30 ]

ประสิทธิภาพเชิงสัมพัทธ์ของการทดสอบ Mann–Whitney เทียบกับการทดสอบ tสองตัวอย่างหากf = gเท่ากับจำนวนการแจกแจง[ 31 ]
การกระจายประสิทธิภาพ
โลจิสติกส์π2/9{\displaystyle \pi ^{2}/9}
ปกติ3/π{\displaystyle 3/\pi }
ลาปลาซ3/2
เครื่องแบบ1

การกระจายที่แตกต่างกัน

การทดสอบ Mann–Whitney Uไม่เหมาะสมสำหรับการทดสอบสมมติฐานว่างพี(วาย>X)+0.5พี(วาย=X)=0.5{\displaystyle P(Y>X)+0.5P(Y=X)=0.5}ตรงข้ามกับสมมติฐานทางเลือกพี(วาย>X)+0.5พี(วาย=X)≠0.5{\displaystyle P(Y>X)+0.5P(Y=X)\neq 0.5}โดยไม่ถือว่าการแจกแจงนั้นเหมือนกันภายใต้สมมติฐานว่าง (กล่าวคือ ไม่ถือว่าเอฟ1=เอฟ2{\displaystyle F_{1}=F_{2}}). [ 3 ]เพื่อทดสอบระหว่างสมมติฐานเหล่านั้น มีการทดสอบที่ดีกว่าให้เลือกใช้ ในบรรดาการทดสอบเหล่านั้น ได้แก่ การ ทดสอบ Brunner-Munzelและการทดสอบ Fligner–Policello [ 32 ]โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ภายใต้สมมติฐานว่างทั่วไปพี(วาย>X)+0.5พี(วาย=X)=0.5{\displaystyle P(Y>X)+0.5P(Y=X)=0.5}การทดสอบ Mann–Whitney Uอาจมีอัตราความผิดพลาดประเภท I สูงแม้ในตัวอย่างขนาดใหญ่ (โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากความแปรปรวนของประชากรสองกลุ่มไม่เท่ากันและขนาดตัวอย่างแตกต่างกัน) ซึ่งเป็นปัญหาที่วิธีการทดสอบทางเลือกที่ดีกว่าสามารถแก้ไขได้[ 33 ]ด้วยเหตุนี้ จึงมีการแนะนำให้ใช้วิธีการทดสอบทางเลือกหนึ่ง (โดยเฉพาะการทดสอบ Brunner–Munzel) หากไม่สามารถสันนิษฐานได้ว่าการแจกแจงเท่ากันภายใต้สมมติฐานว่าง[ 33 ]

ทางเลือกอื่นๆ

หากต้องการการตีความการเปลี่ยนแปลงอย่างง่ายไม่ควรใช้ การทดสอบ Mann–Whitney U เมื่อการกระจายของตัวอย่างทั้งสองแตกต่างกันมาก เนื่องจากอาจทำให้เกิดการตีความผลลัพธ์ที่มีนัยสำคัญผิดพลาดได้ [ 34 ]ในสถานการณ์ดังกล่าว การทดสอบ tเวอร์ชันที่มีความแปรปรวนไม่เท่ากันอาจให้ผลลัพธ์ที่น่าเชื่อถือกว่า

ในทำนองเดียวกัน ผู้เขียนบางท่าน ( Conover, WJ (1999). Practical Nonparametric Statistics -- 3rd ed . New York: John Wiley & Sons. p.  272-281. ISBN 0-471-16068-7.แนะนำให้แปลงข้อมูลเป็นอันดับ (หากยังไม่ได้เป็นอันดับ) แล้วจึงทำการ ทดสอบ tกับข้อมูลที่แปลงแล้ว โดยเวอร์ชันของ การทดสอบ tที่ใช้จะขึ้นอยู่กับว่าสงสัยว่าความแปรปรวนของประชากรจะแตกต่างกันหรือไม่ การแปลงเป็นอันดับจะไม่รักษาค่าความแปรปรวนไว้ แต่จะคำนวณค่าความแปรปรวนใหม่จากตัวอย่างหลังจากแปลงเป็นอันดับแล้ว

การทดสอบ Brown–Forsytheได้รับการเสนอแนะว่าเป็นการทดสอบแบบไม่ใช้พารามิเตอร์ที่เหมาะสม ซึ่งเทียบเท่ากับการทดสอบFสำหรับความแปรปรวนที่เท่ากัน

การทดสอบที่มีประสิทธิภาพมากกว่าคือการทดสอบ Brunner-Munzelซึ่งมีประสิทธิภาพเหนือกว่าการทดสอบ Mann–Whitney Uในกรณีที่สมมติฐานการแลกเปลี่ยนถูกละเมิด[ 35 ]

การทดสอบ Mann–Whitney Uเป็นกรณีพิเศษของแบบจำลองอัตราส่วนความน่าจะเป็นแบบสัดส่วนซึ่งอนุญาตให้มีการปรับตัวแปรร่วม[ 36 ]

ดูเพิ่มเติมที่การทดสอบ Kolmogorov– Smirnov

เทาของเคนดัลล์

การทดสอบ Mann–Whitney Uเกี่ยวข้องกับวิธีการทางสถิติแบบไม่ใช้พารามิเตอร์อื่นๆ อีกหลายวิธี ตัวอย่างเช่น การทดสอบนี้เทียบเท่ากับ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ Kendall's tauหากตัวแปรหนึ่งเป็นตัวแปรไบนารี (กล่าวคือ มีค่าได้เพียงสองค่า)

การนำซอฟต์แวร์ไปใช้งาน

ในซอฟต์แวร์แพ็กเกจหลายตัว การทดสอบ Mann–Whitney U (ของสมมติฐานการกระจายที่เท่ากันเทียบกับทางเลือกที่เหมาะสม) ได้รับการบันทึกไว้ไม่ดี บางแพ็กเกจจัดการกับค่าที่เท่ากันอย่างไม่ถูกต้องหรือไม่ได้บันทึกเทคนิคเชิงอะซิมโทติก (เช่น การแก้ไขความต่อเนื่อง) การทบทวนในปี 2000 ได้กล่าวถึงแพ็กเกจต่อไปนี้บางส่วน: [ 37 ]

  • MATLABมีฟังก์ชัน ranksumอยู่ใน Statistics Toolbox
  • แพ็กเกจพื้นฐานทางสถิติของR ได้นำเอาการทดสอบ wilcox.test มาใช้ ในแพ็กเกจ "stats" ของมัน
  • ฟังก์ชันwilcoxonZจาก แพ็ก เกจ rcompanion ในภาษา R จะคำนวณค่า สถิติ zสำหรับการทดสอบ Wilcoxon แบบสองกลุ่ม แบบจับคู่ หรือแบบกลุ่มเดียว
  • SASนำการทดสอบนี้ไปใช้ในPROC NPAR1WAYขั้นตอนการทำงาน ของมัน
  • Python มีการใช้งานการ ทดสอบนี้โดยSciPy [ 38 ]
  • SigmaStat (SPSS Inc., ชิคาโก, รัฐอิลลินอยส์)
  • SYSTAT (SPSS Inc., ชิคาโก, อิลลินอยส์)
  • Javaมีการใช้งานการทดสอบนี้โดยApache Commons [ 39 ]
  • Juliaมีการใช้งานการทดสอบนี้ผ่านแพ็กเกจหลายแพ็กเกจ ในแพ็กเกHypothesisTests.jlจนี้ จะพบได้ในรูปpvalue(MannWhitneyUTest(X, Y))แบบ[ 40 ]
  • JMP (บริษัท SAS Institute Inc., เมืองแครี่ รัฐนอร์ทแคโรไลนา)
  • S-Plus (MathSoft, Inc., ซีแอตเติล, วอชิงตัน)
  • STATISTICA (StatSoft, Inc., ทัลซา, โอคลาโฮมา)
  • SPSS (SPSS Inc, ชิคาโก)
  • StatsDirect (StatsDirect Ltd, แมนเชสเตอร์, สหราชอาณาจักร) นำเสนอรูปแบบการใช้งานทั่วไปทั้งหมด
  • โปรแกรม Stata (Stata Corporation, College Station, TX) นำการทดสอบนี้ไปใช้ในคำสั่งranksum ของโปรแกรม
  • StatXact (บริษัท Cytel Software Corporation, เคมบริดจ์, แมสซาชูเซตส์)
  • PSPPดำเนินการทดสอบนี้ในฟังก์ชันWILCOXON ของตนเอง
  • KNIMEใช้การทดสอบนี้ในโหนดการทดสอบ Wilcoxon–Mann–Whitney ของมัน
  • ClickHouseใช้การทดสอบนี้ในฟังก์ชันmannWhitneyUTest ของตนเอง

ประวัติศาสตร์

สถิติดังกล่าวปรากฏในบทความปี 1914 [ 41 ]โดย Gustav Deuchler ชาวเยอรมัน (โดยมีพจน์ที่หายไปในความแปรปรวน)

ในเอกสารฉบับเดียวในปี พ.ศ. 2488 แฟรงค์ วิลค็อกซอนได้เสนอ[ 42 ]ทั้งการทดสอบอันดับแบบมีเครื่องหมายของตัวอย่างเดียวและการทดสอบผลรวมอันดับของตัวอย่างสองตัว ในการทดสอบนัยสำคัญด้วยสมมติฐานว่างแบบจุดเทียบกับทางเลือกเสริม (นั่นคือ เท่ากันเทียบกับไม่เท่ากัน) อย่างไรก็ตาม ในเอกสารฉบับนั้น เขาได้จัดทำตารางเพียงไม่กี่จุดสำหรับกรณีขนาดตัวอย่างเท่ากัน (แม้ว่าในเอกสารฉบับต่อมาเขาจะให้ตารางที่ใหญ่กว่า)

การวิเคราะห์สถิติอย่างละเอียด ซึ่งรวมถึงความสัมพันธ์เวียนเกิดที่อนุญาตให้คำนวณความน่าจะเป็นของหางสำหรับขนาดตัวอย่างที่กำหนดและตารางสำหรับขนาดตัวอย่างแปดหรือน้อยกว่า ปรากฏในบทความโดยเฮนรี แมนน์และโดนัลด์ แรนซัม วิทนีย์ นักศึกษาของเขาในปี 1947 [ 2 ]บทความนี้ได้กล่าวถึงสมมติฐานทางเลือก รวมถึงการเรียงลำดับแบบสุ่ม (โดยที่ฟังก์ชันการกระจายสะสมเป็นไปตามอสมการแบบจุดต่อจุดF ( t ) < F ( t ) ) เอกสารนี้ยังคำนวณโมเมนต์สี่ตัวแรกและสร้างความเป็นปกติแบบจำกัดของสถิติภายใต้สมมติฐานว่าง ดังนั้นจึงสร้างสถิติที่เป็นอิสระจากการกระจายแบบเชิงเส้นกำกับ

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

  1. 1 2 Conroy, Ronán M. (2012). "การทดสอบสองกลุ่มแบบ 'ไม่ใช้พารามิเตอร์' ทดสอบสมมติฐานอะไรบ้าง?"วารสารStata: ส่งเสริมการสื่อสารเกี่ยวกับสถิติและ Stata 12 ( 2): 182– 190. doi : 10.1177/1536867X1201200202 . ISSN 1536-867X . 
  2. 1 2 Mann, Henry B. ; Whitney, Donald R. (1947). "เกี่ยวกับการทดสอบว่าตัวแปรสุ่มตัวใดตัวหนึ่งจากสองตัวมีค่ามากกว่าตัวแปรสุ่มอีกตัวหนึ่งหรือไม่" . Annals of Mathematical Statistics . 18 (1): 50– 60. doi : 10.1214/aoms/1177730491 . MR 0022058 . Zbl 0041.26103 .    
  3. 1 2 3 Fay, Michael P.; Proschan, Michael A. (2010). "การทดสอบ Wilcoxon–Mann–Whitney หรือt -test? เกี่ยวกับข้อสมมติสำหรับการทดสอบสมมติฐานและการตีความกฎการตัดสินใจหลายแบบ"การสำรวจสถิติ 4 : 1– 39. doi : 10.1214/09-SS051 . MR 2595125 . PMC 2857732 . PMID 20414472 .     
  4. ↑ดูตาราง 2.1 ของ Pratt (1964) "Robustness of Some Procedures for the Two-Sample Location Problem." Journal of the American Statistical Association. 59 (307): 655–680 หากการแจกแจงทั้งสองเป็นแบบปกติที่มีค่าเฉลี่ยเท่ากันแต่ความแปรปรวนต่างกัน ดังนั้น Pr[ X  > Y ] = Pr[ Y < X ] แต่ขนาดของการทดสอบ Mann–Whitney อาจมากกว่าระดับนัยสำคัญ ดังนั้นเราจึงไม่สามารถกำหนดสมมติฐานว่างเป็น Pr[ X > Y ] = Pr[ Y < X ] และได้ผลการทดสอบที่ถูกต้องได้           
  5. ↑ Divine, George W.; Norton, H. James; Barón, Anna E.; Juarez-Colunga, Elizabeth (2018). "วิธีการ Wilcoxon–Mann–Whitney ล้มเหลวในการทดสอบค่ามัธยฐาน" The American Statistician . 72 (3): 278– 286. doi : 10.1080/00031305.2017.1305291 .
  6. ↑ Conroy, Ronán (2012). "การทดสอบสองกลุ่มแบบ 'ไม่ใช้พารามิเตอร์' ทดสอบสมมติฐานอะไรบ้าง?" . Stata Journal . 12 (2): 182– 190. doi : 10.1177/1536867X1201200202 . S2CID 118445807 . สืบค้นเมื่อ24 พฤษภาคม 2021 . 
  7. ↑ Hart, Anna (2001). "การทดสอบ Mann–Whitney ไม่ใช่แค่การทดสอบค่ามัธยฐาน: ความแตกต่างในการกระจายตัวอาจมีความสำคัญ" BMJ . 323 ( 7309): 391– 393. doi : 10.1136/bmj.323.7309.391 . PMC 1120984 . PMID 11509435 .  
  8. ↑มหาวิทยาลัยบอสตัน (SPH), 2017
  9. ↑ Mason, SJ, Graham, NE (2002). "พื้นที่ใต้เส้นโค้งลักษณะการทำงานสัมพัทธ์ (ROC) และระดับการทำงานสัมพัทธ์ (ROL): นัยสำคัญทางสถิติและการตีความ" วารสารรายไตรมาสของราชสมาคมอุตุนิยมวิทยา 128 ( 584): 2145– 2166. doi : 10.1256/003590002320603584 . ISSN 1477-870X . 
  10. ↑ Fawcett, Tom (2006);บทนำสู่การวิเคราะห์ ROC , Pattern Recognition Letters, 27, 861–874.
  11. ↑ Hand, David J.; Till, Robert J. (2001). "การสรุปทั่วไปอย่างง่ายของพื้นที่ใต้เส้นโค้ง ROC สำหรับปัญหาการจำแนกประเภทหลายคลาส"การ เรียนรู้ ของเครื่อง45 (2): 171– 186. doi : 10.1023/A:1010920819831 .  
  12. ↑ Zar, Jerrold H. (1998). การวิเคราะห์ทางสถิติชีวภาพ . นิวเจอร์ซีย์: Prentice Hall International, INC. หน้า147. ISBN   978-0-13-082390-8.
  13. ↑ Fritz, Catherine O.; Morris, Peter E.; Richler, Jennifer J. (2012). "การประมาณขนาดผลกระทบ: การใช้งาน การคำนวณ และการตีความในปัจจุบัน"วารสารจิตวิทยาการทดลอง: ทั่วไป 141 ( 1): 2– 18. doi : 10.1037/a0024338 . ISSN 1939-2222 . PMID 21823805 .  
  14. ↑ Myles Hollander; Douglas A. Wolfe (1999). วิธีการทางสถิติแบบไม่พาราเมตริก ( ฉบับที่ 2). Wiley-Interscience. ISBN  978-0-471-19045-5.
  15. 1 2 Siegal, Sidney (1956). สถิติแบบไม่ใช้พารามิเตอร์สำหรับวิทยาศาสตร์พฤติกรรม . McGraw-Hill. หน้า121. {{cite book}}: CS1 maint: numeric names: authors list ( link )
  16. ↑ Lehmann, Erich; D'Abrera, Howard (1975). Nonparametrics: Statistical Methods Based on Ranks . Holden-Day. หน้า20. {{cite book}}: CS1 maint: numeric names: authors list ( link )
  17. ↑ Wilkinson, Leland (1999). "วิธีการทางสถิติในวารสารจิตวิทยา: แนวทางและคำอธิบาย" American Psychologist . 54 (8): 594– 604. doi : 10.1037/0003-066X.54.8.594 .
  18. ↑ Nakagawa, Shinichi; Cuthill, Innes C (2007). "ขนาดผลกระทบ ช่วงความเชื่อมั่น และนัยสำคัญทางสถิติ: คู่มือปฏิบัติสำหรับนักชีววิทยา" Biological Reviews of the Cambridge Philosophical Society . 82 (4): 591– 605. doi : 10.1111/j.1469-185X.2007.00027.x . PMID 17944619 . S2CID 615371 .  
  19. 1 2 Kerby, DS (2014). "สูตรความแตกต่างอย่างง่าย: แนวทางในการสอนสหสัมพันธ์แบบไม่ใช้พารามิเตอร์"จิตวิทยาเชิงบูรณาการ 3 11.IT.3.1 . doi : 10.2466/11.IT.3.1 . S2CID 120622013 . 
  20. 1 2 McGraw, KO; Wong, JJ (1992). "สถิติขนาดผลกระทบของภาษาทั่วไป" Psychological Bulletin . 111 (2): 361– 365. doi : 10.1037/0033-2909.111.2.361 .
  21. ↑ Grissom RJ (1994). "การวิเคราะห์ทางสถิติของสถานะเชิงหมวดหมู่เรียงลำดับหลังการบำบัด" วารสารจิตวิทยาการให้คำปรึกษาและคลินิก 62 ( 2): 281– 284. doi : 10.1037/0022-006X.62.2.281 . PMID 8201065 . 
  22. ↑ Herrnstein, Richard J.; Loveland, Donald H.; Cable, Cynthia (1976). "แนวคิดธรรมชาติในนกพิราบ". วารสารจิตวิทยาการทดลอง: กระบวนการพฤติกรรมสัตว์ 2 ( 4): 285– 302. doi : 10.1037/0097-7403.2.4.285 . PMID 978139 .   
  23. ↑ Cureton, EE (1956). "ความสัมพันธ์แบบลำดับสอง" Psychometrika . 21 (3): 287– 290. doi : 10.1007/BF02289138 . S2CID 122500836 . 
  24. ↑ Wendt, HW (1972). "การจัดการกับปัญหาทั่วไปในสังคมศาสตร์: สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ลำดับสองแบบง่ายโดยอิงจาก สถิติ U " European Journal of Social Psychology . 2 (4): 463– 465. doi : 10.1002/ejsp.2420020412 .
  25. ↑ Motulsky, Harvey J.;คู่มือสถิติ , ซานดิเอโก, แคลิฟอร์เนีย: GraphPad Software, 2007, หน้า 123
  26. ↑ Zimmerman, Donald W. (1998-01-01). "การทำให้การทดสอบทางสถิติแบบพาราเมตริกและไม่พาราเมตริกเป็นโมฆะโดยการละเมิดสมมติฐานสองข้อพร้อมกัน" วารสารการศึกษาเชิงทดลอง 67 ( 1): 55– 68. doi : 10.1080/00220979809598344 . ISSN 0022-0973 . 
  27. ↑ Lehamnn, Erich L.; Elements of Large Sample Theory , Springer, 1999, หน้า 176
  28. ↑ Conover, William J.; Practical Nonparametric Statistics , John Wiley & Sons, 1980 (ฉบับที่ 2), หน้า 225–226
  29. ↑ Lumley, Thomas; Diehr, Paula ; Emerson, Scott; Chen, Lu (พฤษภาคม 2545). "ความสำคัญของสมมติฐานความปกติในชุดข้อมูลสาธารณสุขขนาดใหญ่" . วารสารประจำปีด้านสาธารณสุข . 23 (1): 151– 169. doi : 10.1146/annurev.publhealth.23.100901.140546 . ISSN 0163-7525 . PMID 11910059 .  
  30. ↑ Conover, William J.; Iman, Ronald L. (1981). "การแปลงอันดับเป็นสะพานเชื่อมระหว่างสถิติเชิงพาราเมตริกและสถิติเชิงนอนพาราเมตริก" The American Statistician . 35 (3): 124– 129. doi : 10.2307/2683975 . JSTOR 2683975 .   
  31. ↑ Vaart, AW van der (1998-10-13). สถิติเชิงอะซิมโทติก . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. doi : 10.1017/cbo9780511802256 . ISBN 978-0-511-80225-6.
  32. ↑ Brunner, Edgar; Bathke, Arne C.; Konietschke, Frank (2018). ขั้นตอนการจัดอันดับและการจัดอันดับเทียมสำหรับการสังเกตอิสระในการออกแบบเชิงแฟกทอเรียล: การใช้ R และ SASชุดสถิติของ Springer Cham: Springer International Publishing. doi : 10.1007/978-3-030-02914-2 ISBN 978-3-030-02912-8.
  33. 1 2 Karch, Julian D. (2021). "นักจิตวิทยาควรใช้การทดสอบ U ของ Brunner–Munzel แทน การทดสอบ U ของ Mann–Whitney เป็นขั้นตอนการทดสอบแบบไม่ใช้พารามิเตอร์เริ่มต้น"ความ ก้าวหน้าในวิธีการและแนวปฏิบัติใน วิทยาศาสตร์จิตวิทยา4 (2). doi : 10.1177/2515245921999602 . hdl : 1887/3209569 . ISSN 2515-2459 . 
  34. ↑ Kasuya, Eiiti (2001). "การทดสอบ Mann–Whitney Uเมื่อความแปรปรวนไม่เท่ากัน" พฤติกรรมสัตว์ 61 ( 6): 1247– 1249. doi : 10.1006/anbe.2001.1691 . S2CID 140209347 . 
  35. ↑ Karch, Julian (2021). "นักจิตวิทยาควรใช้การทดสอบ U ของ Brunner–Munzel แทน การทดสอบ U ของ Mann–Whitney เป็นขั้นตอนที่ไม่ใช่พาราเมตริกเริ่มต้น"ความก้าวหน้าในวิธีการและแนวปฏิบัติในวิทยาศาสตร์จิตวิทยา 4 ( 2). doi : 10.1177/2515245921999602 . hdl : 1887/3209569 . S2CID 235521799 . 
  36. ↑ Harrell, Frank (20 กันยายน 2020). "การละเมิดอัตราส่วนความน่าจะเป็นไม่ใช่เรื่องร้ายแรง" .{{cite journal}}: การอ้างอิงวารสารต้องใช้|journal=( ความช่วยเหลือ )
  37. ↑ Bergmann, Reinhard; Ludbrook, John; Spooren, Will PJM (2000). "ผลลัพธ์ที่แตกต่างกันของการทดสอบ Wilcoxon–Mann–Whitney จากแพ็กเกจสถิติที่แตกต่างกัน" The American Statistician . 54 (1): 72– 77. doi : 10.1080/00031305.2000.10474513 . JSTOR 2685616 . S2CID 120473946 .  
  38. ↑ "scipy.stats.mannwhitneyu" . คู่มืออ้างอิง SciPy v0.16.0 . ชุมชน Scipy. 24 กรกฎาคม 2015 . สืบค้นเมื่อ11 กันยายน 2015 . scipy.stats.mannwhitneyu(x, y, use_continuity=True): คำนวณการทดสอบอันดับ Mann–Whitney บนตัวอย่างx และy  
  39. ↑ "MannWhitneyUTest (Apache Commons Math 3.3 API)" . commons.apache.org . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2017-02-28 . เรียกดูเมื่อ2017-02-27 .
  40. ↑ "JuliaStats/HypothesisTests.jl" . GitHub . 30 พฤษภาคม 2021.
  41. ↑ Kruskal, William H. (กันยายน 1957). "บันทึกทางประวัติศาสตร์เกี่ยวกับการทดสอบ Wilcoxon Unpaired Two-Sample". วารสารสมาคมสถิติอเมริกัน 52 ( 279): 356– 360. doi : 10.2307/2280906 . JSTOR 2280906 .  
  42. ↑ Wilcoxon, Frank (1945). "การเปรียบเทียบรายบุคคลโดยวิธีการจัดอันดับ". Biometrics Bulletin . 1 (6): 80– 83. doi : 10.2307/3001968 . hdl : 10338.dmlcz/135688 . JSTOR 3001968 . 
  • ตารางค่าวิกฤตของU (pdf) เก็บถาวรเมื่อ 2011-07-06 ที่Wayback Machine
  • เครื่องคำนวณเชิงโต้ตอบสำหรับค่า Uและความสำคัญของมัน
  • คู่มือฉบับย่อโดยนักจิตวิทยาเชิงทดลอง คาร์ล แอล. เวนช์ – ตัวประมาณขนาดผลกระทบแบบไม่ใช้พารามิเตอร์ (ลิขสิทธิ์ 2015 โดย คาร์ล แอล. เวนช์)
ดึงข้อมูลมาจาก " https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Mann–Whitney_U_test&oldid=1362700563 "

สรุปเนื้อหา

ข้อมูลสำคัญจากบทความ

ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับ การทดสอบMann–Whitney U

แมนน์-วิทนีย์ยู{\displaystyle U}การทดสอบ (เรียกอีกอย่างว่า การทดสอบMann–Whitney–Wilcoxon ( MWW/MWU ), การทดสอบ Wilcoxon rank-sumหรือการทดสอบ Wilcoxon–Mann–Whitney )...

ข้อสันนิษฐานและข้อความแสดงสมมติฐานอย่างเป็นทางการ

เฮนรี แมนน์ และ โดนัลด์ แรนซัม วิทนีย์ [ 2 ] ได้พัฒนาการทดสอบ Mann–Whitney U ภายใต้สมมติฐานของ การตอบสนอง แบบต่อเนื่อง โดยมี สมมติฐานทางเลือก คือ การแจกแจงหนึ่งมี ค่ามากกว่า การแจกแจงอื่นในเชิงสุ่ม กล่าวคือ...

สถิติยู

แม้ว่าบทความต้นฉบับของ Mann และ Whitney จะอธิบายการทดสอบนี้ว่าเป็นแบบทดสอบความเหนือกว่าเชิงสุ่ม กล่าวคือ เป็นการทดสอบว่าค่าสังเกตจากกลุ่มหนึ่งมีแนวโน้มที่จะมากกว่าค่าสังเกตจากอีกกลุ่มหนึ่งหรือไม่ แต่ค่าสถิติการทดสอบ U ไม่ได้ให้ความน่าจะเป็นนี้...

สถิติพื้นที่ใต้เส้นโค้ง (AUC) สำหรับเส้นโค้ง ROC

สถิติ U เกี่ยวข้องกับ พื้นที่ใต้เส้นโค้ง ลักษณะการทำงานของผู้รับ ( AUC ): [ 9 ]