ในทางคณิตศาสตร์พหุนามเกเกนบาวเออร์หรือพหุนามอัลตร้าสเฟริคัลC^(α) _n( x ) คือ พหุนามเชิงตั้งฉากบนช่วง [−1,1] ที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันน้ำหนัก (1 −  x ² ) ^{α –1/2}พหุนามเหล่านี้เป็นการขยายความ ของ พหุนามเลอจอง เดอร์ และพหุนามเชบิเชฟและเป็นกรณีพิเศษของพหุนามจาโคบี พหุนาม เหล่านี้ตั้งชื่อตามเลโอโปลด์ เกเกนบาวเออร์

• 
  กราฟแสดงพหุนามเกเกนบาวเออร์ C n^(m)(x) โดยที่ n=10 และ m=1 ในระนาบเชิงซ้อน ตั้งแต่ -2i ถึง 2+2i โดยใช้สีที่สร้างขึ้นด้วยฟังก์ชัน ComplexPlot3D ของ Mathematica 13.1
• 
  พหุนาม Gegenbauer ที่มีα = 1
• 
  พหุนาม Gegenbauer ที่มีα =2
• 
  พหุนาม Gegenbauer ที่มีα =3
• 
  ภาพเคลื่อนไหวแสดงพหุนามบน ระนาบ xαสำหรับค่าn 4 ค่า แรก

มีวิธีการกำหนดลักษณะเฉพาะของพหุนามเกเกนบาวเออร์ได้หลากหลายวิธี

• พหุนามสามารถกำหนดได้โดยใช้ฟังก์ชันก่อกำเนิด : ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{(1-2xt+t^{2})^{\alpha }}}=\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}^{(\alpha )}(x)t^{n}\qquad (0\leq |x|<1,|t|\leq 1,\alpha >0)}$

• พหุนามเป็นไปตามความสัมพันธ์เวียนเกิด : ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{0}^{(\alpha )}(x)&=1\\C_{1}^{(\alpha )}(x)&=2\alpha x\\(n+1)C_{n+1}^{(\alpha )}(x)&=2(n+\alpha )xC_{n}^{(\alpha )}(x)-(n+2\alpha -1)C_{n-1}^{(\alpha )}(x).\end{aligned}}}$

• พหุนามเกเกนเบาเออร์เป็นคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์เกเกนเบาเออร์: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle (1-x^{2})y''-(2\alpha +1)xy'+n(n+2\alpha )y=0.\,}$

เมื่อα  = 1/2 สมการจะลดรูปเป็นสมการเลอจองเดอร์ และพหุนามเกเกนบาวเออร์จะลดรูปเป็นพหุนามเลอจองเดอร์

เมื่อα  = 1 สมการจะลดลงเหลือสมการเชิงอนุพันธ์เชบิเชฟและพหุนามเกเกนเบาเออร์จะลดลงเหลือพหุนามเชบิเชฟชนิดที่สอง^{[ 3 ]}

• ในบางกรณีที่อนุกรมนั้นมีค่าจำกัด อนุกรมเหล่านี้จะถูกแสดงเป็นอนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกแบบเกาส์เซียน :

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(2\alpha )_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,2\alpha +n;\alpha +{\frac {1}{2}};{\frac {1-z}{2}}\right).}$

^{[ 4 ]}ที่นี่ (2α) _nคือแฟกทอเรียลที่เพิ่มขึ้นกล่าวคือ

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}{\frac {\Gamma (n-k+\alpha )}{\Gamma (\alpha )k!(n-2k)!}}(2z)^{n-2k}.}$

จากตรงนี้ เราสามารถหาค่าของอาร์กิวเมนต์หน่วยได้อย่างง่ายดายเช่นกัน:

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(1)={\frac {\Gamma (2\alpha +n)}{\Gamma (2\alpha )n!}}.}$

• พวกมันเป็นกรณีพิเศษของพหุนามจาโคบี : ^{[ 2 ]}

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(2\alpha )_{n}}{(\alpha +{\frac {1}{2}})_{n}}}P_{n}^{(\alpha -1/2,\alpha -1/2)}(x).}$

ซึ่งแสดงถึง แฟกทอเรี ยลที่เพิ่มขึ้นของ${\displaystyle (\theta )_{n}}$${\displaystyle \theta }$

ดังนั้นจึงมีสูตรของโรดริเกส ด้วยเช่นกัน

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}{\frac {\Gamma (\alpha +{\frac {1}{2}})\Gamma (n+2\alpha )}{\Gamma (2\alpha )\Gamma (\alpha +n+{\frac {1}{2}})}}(1-x^{2})^{-\alpha +1/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[(1-x^{2})^{n+\alpha -1/2}\right].}$

• ชุดการทำให้เป็นมาตรฐานทางเลือกอื่นสมมติว่าการทำให้เป็นมาตรฐานทางเลือกนี้ อนุพันธ์ของ Gegenbauer จะแสดงในรูปของ Gegenbauer: ^{[ 5 ]}${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(1)=1}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{q}}{dx^{q}}}C_{q+2j+1}^{(\alpha )}(x)={\frac {2^{q}(q+2j+1)!}{(q-1)!\Gamma (q+2j+2\alpha +1)}}&\sum _{i=0}^{j}{\frac {(2i+\alpha +1)\Gamma (2i+2\alpha +1)}{(2i+1)!(j-i)!}}\\&\times {\frac {\Gamma (q+j+i+\alpha +1)}{\Gamma (j+i+\alpha +2)}}(q+j-i-1)!C_{2i+1}^{(\alpha )}(x)\end{aligned}}}$$

สำหรับα > -1/2 ที่กำหนดไว้ พหุนามจะตั้งฉากกันบน [−1, 1] เมื่อเทียบกับฟังก์ชันถ่วงน้ำหนัก^{[ 6 ]}

${\displaystyle w(z)=\left(1-z^{2}\right)^{\alpha -{\frac {1}{2}}}.}$

กล่าวคือ สำหรับn  ≠  m ,

${\displaystyle \int _{-1}^{1}C_{n}^{(\alpha )}(x)C_{m}^{(\alpha )}(x)(1-x^{2})^{\alpha -{\frac {1}{2}}}\,dx=0.}$

สิ่งเหล่านี้ได้รับการทำให้เป็นมาตรฐานโดย

${\displaystyle \int _{-1}^{1}\left[C_{n}^{(\alpha )}(x)\right]^{2}(1-x^{2})^{\alpha -{\frac {1}{2}}}\,dx={\frac {\pi 2^{1-2\alpha }\Gamma (n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )[\Gamma (\alpha )]^{2}}}.}$

พหุนามเกเกนเบาเออร์ปรากฏขึ้นตามธรรมชาติในฐานะส่วนขยายของพหุนามเลอจองเดอร์ในบริบทของทฤษฎีศักย์และการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกศักย์แบบนิวตันในR n ^มีการขยายซึ่งใช้ได้กับ α = ( n  − 2)/2

${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |^{n-2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {|\mathbf {x} |^{k}}{|\mathbf {y} |^{k+n-2}}}C_{k}^{(\alpha )}({\frac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} }{|\mathbf {x} ||\mathbf {y} |}}).}$

เมื่อn  = 3 จะได้การขยายพหุนามเลอจองเดอร์ของศักยภาพแรงโน้มถ่วงมีนิพจน์ที่คล้ายกันสำหรับการขยายเคอร์เนลปัวซงในทรงกลม^{[ 7 ]}

ดังนั้น ปริมาณเหล่านี้จึงเป็นฮาร์มอนิกทรงกลมเมื่อพิจารณาในฐานะฟังก์ชันของx เท่านั้น ที่จริงแล้ว พวกมันคือ ฮาร์มอนิกทรงกลมโซนัลอย่างแท้จริงโดยมีค่าคงที่สำหรับการปรับมาตรฐานเป็นตัวคั่น ${\displaystyle C_{k}^{((n-2)/2)}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )}$

พหุนามเกเกนบาวเออร์ยังปรากฏในทฤษฎีฟังก์ชันบวกแน่นอน อีกด้วย

อสมการแอ สกี-แกสเปอร์มีดังนี้

${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{\frac {C_{j}^{\alpha }(x)}{2\alpha +j-1 \choose j}}\geq 0\qquad (x\geq -1,\,\alpha \geq 1/4).}$

ในวิธีการสเปกตรัมสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์หากฟังก์ชันถูกขยายในฐานของพหุนามเชบิเชฟและอนุพันธ์ของมันถูกแสดงในฐานเกเกนเบาเออร์/อัลตร้าสเฟียร์คัล ตัวดำเนินการอนุพันธ์จะกลายเป็นเมทริกซ์แนวทแยงซึ่งนำไปสู่ วิธี เมทริกซ์แบบแถบที่ รวดเร็ว สำหรับปัญหาขนาดใหญ่^{[ 8 ]}

การแสดงอินทิกรัล แบบ Dirichlet–Mehler : ^{[ 9 ]}การแสดงอินทิกรัลแบบ Laplace สูตรการบวก : ^{[ 10 ]}$${\displaystyle {\frac {P_{n}^{(\alpha ,\alpha )}\left(\cos \theta \right)}{P_{n}^{(\alpha ,\alpha )}\left(1\right)}}={\frac {C_{n}^{(\alpha +{\frac {1}{2}})}\left(\cos \theta \right)}{C_{n}^{(\alpha +{\frac {1}{2}})}\left(1\right)}}={\frac {2^{\alpha +{\frac {1}{2}}}\Gamma \left(\alpha +1\right)}{{\pi }^{\frac {1}{2}}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}(\sin \theta )^{-2\alpha }\int _{0}^{\theta }{\frac {\cos \left((n+\alpha +{\tfrac {1}{2}})\phi \right)}{(\cos \phi -\cos \theta )^{-\alpha +{\frac {1}{2}}}}}\,\mathrm {d} \phi ,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {P_{n}^{(\alpha ,\alpha )}(\cos \theta )}{P_{n}^{(\alpha ,\alpha )}(1)}}&={\frac {C_{n}^{\left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}(\cos \theta )}{C_{n}^{\left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}(1)}}\\&={\frac {\Gamma (\alpha +1)}{\pi ^{\frac {1}{2}}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\pi }(\cos \theta +i\sin \theta \cos \phi )^{n}(\sin \phi )^{2\alpha }\mathrm {~d} \phi \end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&C_{n}^{\lambda }\left(\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}\cos \phi \right)\\&\quad =\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}^{\lambda }\left(\sin \theta _{1}\right)^{k}C_{n-k}^{\lambda +k}\left(\cos \theta _{1}\right)\left(\sin \theta _{2}\right)^{k}C_{n-k}^{\lambda +k}\left(\cos \theta _{2}\right)\\&\quad \cdot C_{k}^{\lambda -1/2}(\cos \phi ),\quad a_{n,k}^{\lambda }{\text{ constants }}\end{aligned}}}$$

กำหนดให้คงที่^{สม่ำเสมอ}สำหรับทุกสำหรับ[ ^{11 ] [ 12 ]}${\displaystyle \lambda \in (0,1),M\in \{1,2,\dots \},\delta \in (0,\pi /2)}$${\displaystyle \theta \in [\delta ,\pi -\delta ]}$${\displaystyle n\to \infty }$$${\displaystyle C_{n}^{(\lambda )}\left(\cos \theta \right)={\frac {2^{2\lambda }\Gamma \left(\lambda +{\frac {1}{2}}\right)}{{\pi }^{\frac {1}{2}}\Gamma \left(\lambda +1\right)}}{\frac {\left(2\lambda \right)_{n}}{\left(\lambda +1\right)_{n}}}\left(\sum _{m=0}^{M-1}{\dfrac {{\left(\lambda \right)_{m}}{\left(1-\lambda \right)_{m}}}{m!\,{\left(n+\lambda +1\right)_{m}}}}{\dfrac {\cos \theta _{n,m}}{(2\sin \theta )^{m+\lambda }}}+R_{M}(\theta )\right)}$$

โดยที่คือสัญลักษณ์ Pochhammerและส่วนที่เหลือมีขอบเขตบนที่ชัดเจน: โดยที่คือฟังก์ชันแกมมา ${\displaystyle (\cdot )_{m}}$$${\displaystyle \theta _{n,m}=(n+m+\lambda )\theta -{\tfrac {1}{2}}(m+\lambda )\pi }$$${\displaystyle R_{M}=O\left({\frac {1}{n^{M}}}\right)}$$${\displaystyle |R_{M}(\theta )|\leq (2/\pi )\sin(\lambda \pi ){\frac {\Gamma (n+2\lambda )}{\Gamma (\lambda )}}{\frac {\Gamma (M+\lambda )\Gamma (M-\lambda +1)}{M!\Gamma (n+M+\lambda +1)}}{\frac {\max \left(|\cos \theta |^{-1},2\sin \theta \right)}{(2\sin \theta )^{M+\lambda }}}}$$${\displaystyle \Gamma }$

สูตรเชิงอะซิมโทติกอื่นๆ สามารถหาได้จากกรณีพิเศษของสูตรเชิงอะซิมโทติกสำหรับพหุนามจาโคบีทั่วไป

• พหุนามโรเจอร์สซึ่ง เป็นอนาล็อก qของพหุนามเกเกนบาวเออร์
• พหุนามเชบิเชฟ
• พหุนามโรมานอฟสกี