ในทฤษฎีหมวดหมู่ซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์หมวดหมู่มีดสั้น ( เรียกอีกอย่างว่าหมวดหมู่ผกผันหรือหมวดหมู่ที่มีการผกผัน^{[ 1 ] [ 2 ]} ) คือหมวดหมู่ที่มีโครงสร้างเฉพาะที่เรียกว่ามีดสั้นหรือการผกผันชื่อหมวดหมู่มีดสั้นถูกตั้งขึ้นโดยปีเตอร์ เซลลิงเกอร์^{[ 3 ]}

หมวดหมู่มีดสั้นคือหมวดหมู่หนึ่ง${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ติดตั้งด้วยเอนโดฟังก์ชันแบบผกผัน และแปรผัน${\displaystyle \dagger }$ซึ่งเป็นเอกลักษณ์^บนวัตถุ^{[ 4} ]

กล่าวโดยละเอียด หมายความว่า:

• สำหรับมอร์ฟิซึม ทั้งหมด${\displaystyle f:A\to B}$มีตัวผกผัน ของมันอยู่${\displaystyle f^{\dagger }:B\to A}$
• สำหรับมอร์ฟิซึมทั้งหมด${\displaystyle f}$,${\displaystyle (f^{\dagger })^{\dagger }=f}$
• สำหรับวัตถุทั้งหมด${\displaystyle A}$,${\displaystyle \mathrm {id} _{A}^{\dagger }=\mathrm {id} _{A}}$
• สำหรับทุกคน${\displaystyle f:A\to B}$และ${\displaystyle g:B\to C}$,${\displaystyle (g\circ f)^{\dagger }=f^{\dagger }\circ g^{\dagger }:C\to A}$

โปรดสังเกตว่าในคำจำกัดความก่อนหน้านี้ คำว่า "adjoint" ถูกใช้ในลักษณะที่คล้ายคลึงกับ (และได้รับแรงบันดาลใจจาก) ความหมาย ทางพีชคณิตเชิงเส้นไม่ใช่ในความหมายทางทฤษฎีหมวดหมู่

แหล่งข้อมูลบางแหล่ง^{[ 5 ]}กำหนดหมวดหมู่ที่มีการผกผันให้เป็นหมวดหมู่มีดสั้นที่มีคุณสมบัติเพิ่มเติมคือเซตของมอร์ฟิซึมมีลำดับบางส่วนและลำดับของมอร์ฟิซึมเข้ากันได้กับการประกอบของมอร์ฟิซึม นั่นคือ${\displaystyle a<b}$หมายความว่า${\displaystyle a\circ c<b\circ c}$สำหรับมอร์ฟิซึม${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$,${\displaystyle c}$เมื่อใดก็ตามที่แหล่งที่มาและเป้าหมายของพวกเขาสอดคล้องกัน

• หมวดหมู่Relของเซตและความสัมพันธ์มีโครงสร้างแบบกริช: สำหรับความสัมพันธ์ ที่กำหนด${\displaystyle R:X\rightarrow Y}$ในRelความสัมพันธ์${\displaystyle R^{\dagger }:Y\rightarrow X}$เป็นการผกผันเชิงสัมพันธ์ของ${\displaystyle R}$ในตัวอย่างนี้ มอร์ฟิซึมแบบสมมาตรคือ ความสัมพันธ์ แบบสมมาตร
• หมวดหมู่Cobของcobordismsเป็นหมวดหมู่ขนาดกะทัดรัดแบบมีดสั้นโดยเฉพาะอย่างยิ่งมันมีโครงสร้างแบบมีดสั้น
• หมวดหมู่Hilbของปริภูมิฮิลเบิร์ตยังมีโครงสร้างแบบมีดสั้นด้วย: เมื่อกำหนดแผนที่เชิงเส้นที่มีขอบเขต${\displaystyle f:A\rightarrow B}$แผนที่${\displaystyle f^{\dagger }:B\rightarrow A}$ก็คือคำพ้องความหมายในความหมายปกติทั่วไป นั่นเอง
• โมโนอิด ใดๆที่มีการผกผัน (involution)จะเป็นหมวดหมู่แบบมีเครื่องหมายกริช (dagger category) ที่มีวัตถุเพียงหนึ่งเดียว อันที่จริงแล้วเซตโฮม (hom-set) ของเอนโดมอร์ฟิซึมทุกเซตในหมวดหมู่แบบมีเครื่องหมายกริช ไม่ได้เป็นเพียงโมโนอิด ธรรมดา แต่เป็นโมโนอิดที่มีการผกผัน เนื่องจากมีเครื่องหมายกริชอยู่
• หมวดหมู่ที่แยกจากกันอย่างชัดเจนก็คือหมวดหมู่มีดสั้นนั่นเอง
• กลุ่มกรุปอยด์ (และโดยผลลัพธ์ที่เห็นได้ชัดคือกลุ่ม ) ก็มีโครงสร้างแบบกริชเช่นกัน โดยที่ตัวผกผันของมอร์ฟิซึมคือตัวผกผันของมอร์ฟิซึมนั้น ในกรณีนี้ มอร์ฟิซึมทั้งหมดจะเป็นแบบเอกภาพ (ดูคำนิยามด้านล่าง)

ในหมวดหมู่มีดสั้น${\displaystyle {\mathcal {C}}}$มอร์ฟิซึม${\displaystyle f}$เรียกว่า

• เอกภาพถ้า${\displaystyle f^{\dagger }=f^{-1},}$
• สมมาตรในตัวเองถ้า${\displaystyle f^{\dagger }=f.}$

กรณีหลังนี้เป็นไปได้เฉพาะกับเอนโดมอร์ฟิซึม เท่านั้น${\displaystyle f\colon A\to A}$คำว่า"เอกภาพ"และ"สมมาตรในตัวเอง"ในคำนิยามก่อนหน้านี้ มาจากหมวดหมู่ของปริภูมิฮิลเบิร์ต ซึ่งมอร์ฟิซึมที่สอดคล้องกับคุณสมบัติเหล่านั้นจะเป็นเอกภาพและสมมาตรในตัวเองในความหมายปกติ

• *-พีชคณิต
• หมวดหมู่โมโนอิดัลสมมาตรแบบมีดสั้น
• มีดสั้นขนาดกะทัดรัด