ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการศึกษาระบบพลวัตแนวคิดเรื่องเซตเสถียรและไม่เสถียรหรือแมนิโฟลด์เสถียรและไม่เสถียรให้คำจำกัดความทางคณิตศาสตร์อย่างเป็นทางการแก่แนวคิดทั่วไปที่แฝงอยู่ในแนวคิดของตัวดึงดูดหรือตัวผลักดันในกรณีของพลวัตแบบไฮเปอร์โบลิกแนวคิดที่สอดคล้องกันคือเซตไฮเปอร์โบลิก

แรงดึงดูดจากน้ำ ขึ้นน้ำลง ที่กระทำต่อวงแหวนของดาวเสาร์เป็นตัวอย่างทางกายภาพที่เข้าใจง่าย แรงดึงดูดจากน้ำขึ้นน้ำลงทำให้วงแหวนแบนราบลงบนระนาบเส้นศูนย์สูตร แม้ว่าจะยืดออกไปในทิศทางรัศมีก็ตาม ลองนึกภาพว่าวงแหวนเป็นอนุภาคทรายหรือกรวด ("ฝุ่น") ที่โคจรรอบดาวเสาร์ แรงดึงดูดจากน้ำขึ้นน้ำลงนั้นรุนแรงมากจนการรบกวนใดๆ ที่ผลักอนุภาคขึ้นหรือลงเหนือหรือใต้ระนาบเส้นศูนย์สูตรจะส่งผลให้เกิดแรงดึงกลับ ผลักอนุภาคเหล่านั้นกลับเข้าสู่ระนาบ อนุภาคจะแกว่งไปมาอย่างมีประสิทธิภาพในบ่อฮาร์มอนิก โดยถูกลดทอนด้วยการชนกัน ทิศทางที่เสถียรคือตั้งฉากกับวงแหวน ทิศทางที่ไม่เสถียรคือตามแนวรัศมีใดๆ ซึ่งแรงจะยืดและดึงอนุภาคออกจากกัน อนุภาคสองอนุภาคที่เริ่มต้นใกล้กันมากในปริภูมิเฟสจะประสบกับแรงในแนวรัศมีทำให้พวกมันแยกออกจากกันในแนวรัศมี แรงเหล่านี้มีค่าเลขชี้กำลัง Lyapunov เป็น บวก วิถีโคจรอยู่บนแมนิโฟลด์ไฮเปอร์โบลิก และการเคลื่อนที่ของอนุภาคโดยพื้นฐานแล้วเป็นการเคลื่อนที่แบบอลหม่าน เคลื่อนที่ ไปมาตามวงแหวนแมนิโฟลด์ตรงกลางสัมผัสกับวงแหวน ทำให้อนุภาคไม่ได้รับการบีบอัดหรือยืดออก สิ่งนี้ทำให้แรงโน้มถ่วงอันดับสองมีอิทธิพลเหนือกว่า ดังนั้นอนุภาคจึงสามารถถูกดึงดูดโดยดวงจันทร์หรือดวงจันทร์ขนาดเล็กในวงแหวน ทำให้เกิดการล็อกเฟสกับพวกมัน แรงโน้มถ่วงของดวงจันทร์นั้นให้แรงผลักเล็กๆ ที่เกิดขึ้นซ้ำๆ อย่างสม่ำเสมอในแต่ละรอบการโคจร คล้ายกับโรเตอร์ที่ถูกผลักเช่นเดียวกับที่พบในวงจรล็อกเฟส

การเคลื่อนที่แบบไม่ต่อเนื่องของอนุภาคในวงแหวนสามารถประมาณได้ด้วยแผนที่ปวงกาเรแผนที่นี้ให้เมทริกซ์ถ่ายโอนของระบบได้อย่างมีประสิทธิภาพ เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่เกี่ยวข้องกับค่าลักษณะเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดของเมทริกซ์คือ เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของโฟรเบนิอุ ส-เพอร์รอนซึ่งเป็นมาตรวัดไม่แปรเปลี่ยน กล่าว คือความหนาแน่นที่แท้จริงของอนุภาคในวงแหวน เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะอื่นๆ ทั้งหมดของเมทริกซ์ถ่ายโอนมีค่าลักษณะเฉพาะที่เล็กกว่า และสอดคล้องกับโหมดที่สลายตัว

ต่อไปนี้เป็นคำจำกัดความสำหรับกรณีของระบบที่เป็นฟังก์ชันแบบวนซ้ำหรือมีพลวัตแบบเวลาไม่ต่อเนื่อง แนวคิดที่คล้ายกันนี้ใช้ได้กับระบบที่มีวิวัฒนาการตามเวลาที่กำหนดโดยการไหล

อนุญาต${\displaystyle X}$เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีและ${\displaystyle f\colon X\to X}$โฮมีโอเมอร์ฟิซึม ถ้า${\displaystyle p}$เป็นจุดคงที่สำหรับ${\displaystyle f}$ชุดที่เสถียรของ${\displaystyle p}$ถูกกำหนดโดย

${\displaystyle W^{s}(f,p)=\{q\in X:f^{n}(q)\to p{\mbox{ as }}n\to \infty \}}$

และชุดที่ไม่เสถียรของ${\displaystyle p}$ถูกกำหนดโดย

${\displaystyle W^{u}(f,p)=\{q\in X:f^{-n}(q)\to p{\mbox{ as }}n\to \infty \}.}$

ที่นี่,${\displaystyle f^{-1}}$หมายถึงฟังก์ชันผกผัน${\displaystyle f}$, เช่น ${\displaystyle f\circ f^{-1}=f^{-1}\circ f=id_{X}}$, ที่ไหน${\displaystyle id_{X}}$แผนที่เอกลักษณ์บน${\displaystyle X}$.

ถ้า${\displaystyle p}$เป็นจุดคาบที่มีคาบน้อยที่สุด${\displaystyle k}$ดังนั้น มันจึงเป็นจุดคงที่ของ${\displaystyle f^{k}}$และเซตที่เสถียรและไม่เสถียรของ${\displaystyle p}$ถูกกำหนดโดย

${\displaystyle W^{s}(f,p)=W^{s}(f^{k},p)}$

และ

${\displaystyle W^{u}(f,p)=W^{u}(f^{k},p).}$

เมื่อพิจารณาจากย่าน หนึ่งแล้ว${\displaystyle U}$ของ${\displaystyle p}$เซตเสถียรและไม่เสถียรในท้องถิ่นของ${\displaystyle p}$ถูกกำหนดโดย

${\displaystyle W_{\mathrm {loc} }^{s}(f,p,U)=\{q\in U:f^{n}(q)\in U{\mbox{ สำหรับแต่ละ }}n\geq 0\}}$

และ

${\displaystyle W_{\mathrm {loc} }^{u}(f,p,U)=W_{\mathrm {loc} }^{s}(f^{-1},p,U)}$

ถ้า${\displaystyle X}$เนื่องจากสามารถกำหนดเมตริกได้เราจึงสามารถกำหนดเซตเสถียรและเซตไม่เสถียรสำหรับจุดใดๆ ได้โดย

${\displaystyle W^{s}(f,p)=\{q\in X:d(f^{n}(q),f^{n}(p))\to 0{\mbox{ สำหรับ }}n\to \infty \}}$

และ

${\displaystyle W^{u}(f,p)=W^{s}(f^{-1},p),}$

ที่ไหน${\displaystyle d}$เป็นตัวชี้วัดสำหรับ${\displaystyle X}$คำจำกัดความนี้สอดคล้องกับคำจำกัดความก่อนหน้านี้อย่างชัดเจนเมื่อ${\displaystyle p}$เป็นจุดคาบ

สมมติว่าตอนนี้${\displaystyle X}$เป็น ท่อร่วมไอดี ขนาดกะทัดรัดและเรียบเนียนและ${\displaystyle f}$เป็น${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ดิฟฟีโอเมอร์ฟิซึม${\displaystyle k\geq 1}$. ถ้า${\displaystyle p}$เป็นจุดคาบไฮเปอร์โบลิกทฤษฎีบทแมนิโฟลด์เสถียรรับรองว่าสำหรับบริเวณใกล้เคียงบางแห่ง${\displaystyle U}$ของ${\displaystyle p}$เซตเสถียรและไม่เสถียรในท้องถิ่นคือ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ ดิสก์ฝังตัวซึ่งมีช่องว่างสัมผัสอยู่ที่${\displaystyle p}$เป็น${\displaystyle E^{s}}$และ${\displaystyle E^{u}}$(พื้นที่เสถียรและไม่เสถียรของ${\displaystyle Df(p)}$ตามลำดับ และยิ่งไปกว่านั้น พวกมันยังเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่อง (ในแง่หนึ่ง) ในบริเวณใกล้เคียงของ${\displaystyle f}$ใน${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$โทโพโลยีของ${\displaystyle \mathrm {Diff} ^{k}(X)}$(พื้นที่ทั้งหมด)${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ดิฟเฟโอเมอร์ฟิซึมจาก${\displaystyle X}$(ต่อตัวมันเอง) สุดท้ายแล้ว เซตที่เสถียรและไม่เสถียรคือ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ดิสก์ที่ฝังตัวแบบฉีด (injectively immersed disks) นี่คือเหตุผลที่โดยทั่วไปเรียกว่าแมนิโฟลด์เสถียรและแมนิโฟลด์ไม่เสถียรผลลัพธ์นี้ยังใช้ได้กับจุดที่ไม่เป็นคาบ (nonperiodic points) ตราบใดที่จุดเหล่านั้นอยู่ในเซตไฮเปอร์โบลิก (hyperbolic set) บางเซต (ทฤษฎีบทแมนิโฟลด์เสถียรสำหรับเซตไฮเปอร์โบลิก)

ถ้า${\displaystyle X}$เป็น ปริภูมิเวกเตอร์ (มิติจำกัด) และ${\displaystyle f}$ไอโซมอร์ฟิซึมนั้น เซตเสถียรและเซตไม่เสถียรของมันเรียกว่าปริภูมิเสถียรและปริภูมิไม่เสถียร ตามลำดับ

• แมนิโฟลด์ไม่แปรเปลี่ยน
• ท่อร่วมกลาง
• ตั้งค่าขีดจำกัด
• จูเลียตั้ง
• ท่อร่วมไอดีแบบช้า
• แมนิโฟลด์เฉื่อย
• โดยปกติแล้วจะเป็นแมนิโฟลด์ไม่แปรเปลี่ยนแบบไฮเปอร์โบลิก
• โครงสร้างที่สอดคล้องกันแบบลากรางจ์