ในทางสถาปัตยกรรมเพดานโค้ง (ภาษาฝรั่งเศสvoûteจากภาษาอิตาลีvolta ) คือ รูปทรง โค้ง ที่รองรับตัวเองได้ โดยทั่วไปทำจากหินหรืออิฐ ใช้สำหรับปิดคลุมพื้นที่ด้วยเพดานหรือหลังคา^{[ 1 ] [ 2 ]}เช่นเดียวกับการสร้างซุ้มโค้ง จำเป็นต้องมีโครงสร้างรองรับชั่วคราวในขณะที่สร้าง วงแหวนของ หินโค้ง และวางวงแหวนเหล่านั้นในตำแหน่ง จนกว่าหินโค้งด้านบนสุดหรือ หินหลักจะถูกวางในตำแหน่ง เพดานโค้งจะไม่สามารถรองรับตัวเองได้ ในกรณีที่หาไม้ได้ง่าย โครงสร้างรองรับชั่วคราวนี้จะทำโดยโครงค้ำยันที่ประกอบด้วยโครงถัก ที่ มีส่วนหัวเป็นรูปครึ่งวงกลมหรือส่วนโค้งซึ่งรองรับหินโค้งจนกว่าวงแหวนของซุ้มโค้งทั้งหมดจะเสร็จสมบูรณ์^{[ 3 ]}

ชาวไมซีเนียน (ประมาณ1800 – 1050 ปีก่อนคริสตกาล ) มีชื่อเสียงในเรื่องสุสานทรงโดมหรือที่เรียกว่าสุสานทรงรังผึ้ง ซึ่งเป็นโครงสร้างใต้ดินที่มีหลังคาโค้งทรงกรวย หลังคาโค้งแบบนี้เป็นหลักฐานชิ้นแรกๆ ของสถาปัตยกรรมอิฐโค้งโดยไม่ใช้ซุ้มหิน และการก่อสร้างแบบนี้แสดงถึงเทคนิคที่ล้ำสมัยในการปิดคลุมพื้นที่ทรงกลม

เพดานโค้งแบบยื่น หรือที่เรียกว่าเพดานโค้งเทียม ซึ่งมีการวางหินเป็นชั้นๆ ต่อกันในแนวนอนนั้น มีบันทึกไว้ตั้งแต่สมัยก่อนประวัติศาสตร์ โดยเริ่มจากเมืองไมซีเน ในศตวรรษที่ 14 ก่อนคริสต์ศักราช และมีการสร้างเพดานโค้งแบบนี้ในระดับภูมิภาคจนถึงยุคปัจจุบัน

การก่อสร้างหลังคาโค้งแบบแท้จริงโดยใช้หินที่ต่อกันเป็นแนวรัศมีนั้นเป็นที่รู้จักกันอยู่แล้วในหมู่ชาวอียิปต์และชาวอัสซีเรีย และถูกนำมาใช้ในการก่อสร้างในโลกตะวันตกโดยชาวเอตรัสกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งชาวโรมันได้พัฒนาการก่อสร้างหลังคาโค้งให้ดียิ่งขึ้นไปอีก และสร้างหลังคาโค้งทรงกระบอก ทรงกากบาท และทรงโดม ตัวอย่างที่โดดเด่นบางส่วนยังคงหลงเหลืออยู่ในกรุงโรม เช่น วิหารแพนธีออนและมหาวิหารแม็กเซนติอุส

มีการใช้โครงสร้างโค้งอิฐในอียิปต์ตั้งแต่ช่วงต้นสหัสวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช และมีการใช้งานอย่างแพร่หลายในช่วงปลายศตวรรษที่ 8 ก่อนคริสต์ศักราช เมื่อมีการสร้างโครงสร้างโค้งหินหลักขึ้น” อย่างไรก็ตาม อาคารวิหารขนาดใหญ่ของวัฒนธรรมฟาโรห์ในหุบเขาไนล์ไม่ได้ใช้โครงสร้างโค้ง เนื่องจากแม้แต่ประตูขนาดใหญ่ที่มีความกว้างมากกว่า 7 เมตรก็ยังใช้คานหินตัดพาดผ่าน^{[ 4 ]}

หนึ่งในตัวอย่างที่เก่าแก่ที่สุดของโครงสร้างหลังคาโค้งแบบใดแบบหนึ่งนั้น พบได้ในหมู่บ้านยุคหินใหม่ ชื่อ คิโรคิเทียบนเกาะ ไซปรัส อาคารทรงกลมเหล่านี้มีอายุราว6000 ปีก่อนคริสตกาล รองรับด้วยหลังคา โค้ง ทรง โดมคล้ายรังผึ้งที่สร้างจากอิฐโคลนดิบ และยังเป็นหลักฐานแรกของการตั้งถิ่นฐานที่มีชั้นบน สุสานทรงรังผึ้ง ที่คล้ายกันนี้ เรียกว่าโธลอย (tholoi ) พบได้ในเกาะครีตและทางตอนเหนือของอิรักโครงสร้างของสุสานเหล่านี้แตกต่างจากที่คิโรคิเทียตรงที่ส่วนใหญ่ดูเหมือนจะถูกฝังอยู่ใต้ดินบางส่วนและมีทางเข้าแบบโดรมอส (dromos )

อย่างไรก็ตาม การรวมโดมเข้าไปนั้นแสดงถึงความหมายที่กว้างขึ้นของคำว่า "เพดานโค้ง" ความแตกต่างระหว่างทั้งสองคือ เพดานโค้งนั้นโดยพื้นฐานแล้วเป็นซุ้ม โค้ง ที่ยื่นออกมาในมิติที่สามในขณะที่โดมเป็นซุ้มโค้งที่หมุนรอบแกน แนวตั้ง

เพดานโค้งอิฐเอียงได้รับการตั้งชื่อตามโครงสร้าง โดยอิฐจะถูกติดตั้งในแนวตั้ง (ไม่ใช่แนวรัศมี) และเอียง (เอียง) เป็นมุม ซึ่งช่วยให้การก่อสร้างเสร็จสมบูรณ์ได้โดยไม่ต้องใช้ตัวค้ำยัน พบตัวอย่างในการขุดค้นทางโบราณคดีในเมโสโปเตเมียซึ่งมีอายุย้อนไปถึงสหัสวรรษที่ 2 และ 3 ก่อนคริสต์ศักราช^{[ 3 ]}ซึ่งถูกติดตั้งด้วยปูนยิปซัม

หลังคาโค้งทรงกระบอกเป็นรูปแบบที่ง่ายที่สุดของหลังคาโค้ง มีหน้าตัดเป็นรูปครึ่งวงกลม^{[ 5 ]}และมีลักษณะคล้ายถังหรืออุโมงค์ที่ถูกตัดตามยาวครึ่งหนึ่ง ผลที่ได้คือโครงสร้างที่ประกอบด้วยส่วนครึ่งวงกลมหรือส่วนปลายแหลมต่อเนื่องกัน^{[ 6 ]}

ตัวอย่างที่เก่าแก่ที่สุดของหลังคาโค้งทรงกระบอก ที่รู้จักกัน ^นั้นสร้างขึ้นโดยชาวสุเมเรียนอาจจะอยู่ใต้ซิกกูแรตที่นิปปูร์ในบาบิโลเนีย [ ^{7 ]}ซึ่งสร้างจากอิฐ เผา ที่เชื่อมด้วยปูนดินเหนียว^{[ 8 ]}

เชื่อกันว่าเพดานโค้งทรงกระบอกที่เก่าแก่ที่สุดในอียิปต์โบราณ คือเพดานโค้งใน ยุ้งฉางที่สร้างโดยฟาโรห์รามเสสที่ 2 แห่งราชวงศ์ที่ 19 ซึ่งซากปรักหักพังอยู่ด้านหลังวิหารรามเสสที่เมืองธีบส์ [ ^{9 ] [ 10 ] [ 11 ] ช่วง}กว้าง 12 ฟุต (3.7 เมตร) และส่วนล่างของส่วนโค้งสร้างเป็นชั้นแนวนอนจนถึงประมาณหนึ่งในสามของความสูง และวงแหวนด้านบนเอียงไปด้านหลังเล็กน้อย เพื่อให้อิฐของแต่ละวงแหวนที่วางราบยึดติดกันจนวงแหวนเสร็จสมบูรณ์ ไม่จำเป็นต้องมีการจัดวางใดๆ เพดานโค้งที่เกิดขึ้นจึงมีลักษณะเป็นรูปวงรีในส่วนตัดขวาง ซึ่งเกิดจากวิธีการก่อสร้าง ระบบการก่อสร้างที่คล้ายกันนี้ถูกนำมาใช้สำหรับเพดานโค้งเหนือห้องโถงใหญ่ที่เมืองซีเทซิฟอนโดยวัสดุที่ใช้คืออิฐเผาหรือกระเบื้องขนาดใหญ่ที่เชื่อมด้วยปูน แต่ช่วงกว้างเกือบ 83 ฟุต (25 เมตร) และความหนาของเพดานโค้งเกือบ 5 ฟุต (1.5 เมตร) ที่ด้านบน โดยมีวงแหวนก่ออิฐ สี่วง ^{[ 12 ]}

พระราชวัง อัสซีเรียใช้หลังคาโค้งอิฐฉาบปูน ซึ่งทำจากอิฐโคลนตากแดด สำหรับประตู สุสานใต้ดิน และท่อระบายน้ำ ในรัชสมัยของกษัตริย์เซนนาเค ริบ หลังคาโค้ง เหล่านี้ถูกนำมาใช้สร้างท่อส่งน้ำ เช่น ที่เจอร์วันในเมืองดูร์-คัตลิมมู หลังคาโค้ง เหล่านี้ถูกนำมาใช้สร้างแท่นโค้ง อย่างไรก็ตาม ประเพณีการสร้างหลังคาโค้งเหล่านี้ดูเหมือนจะสืบทอดไปยังผู้สืบทอดในเมโสโปเต เมีย นั่นคือ ราชวงศ์ ซัสซาเนียนซึ่งในพระราชวังของพวกเขาในซาร์เวสถานและฟิรูซาบาดได้สร้างโดมที่มีรูปแบบคล้ายกับที่แสดงในประติมากรรมนิมรุด ความแตกต่างหลักคือ โดมเหล่านี้สร้างจาก หิน กรวดและฉาบด้วยปูน ยังคงมีอยู่ แม้ว่าน่าจะถูกทิ้งร้างไปหลังจาก การรุกราน ของอิสลามในศตวรรษที่ 7 ก็ตาม ^{[ 12 ]}

โครงสร้าง โค้งแบบขาหนีบเกิดจากการตัดกันของโครงสร้างโค้งทรงกระบอกสองอันที่ทำมุมฉากกัน ส่งผลให้เกิดมุมหรือส่วนโค้งตามแนวเส้นเปลี่ยนผ่านระหว่างส่วนโค้ง^{[ 5 ] [ 13 ]}ในช่องเหล่านี้ส่วนโค้งตามขวางที่ ยาวกว่า จะมีลักษณะเป็นครึ่งวงกลม เช่นเดียวกับส่วนโค้งตามยาวที่สั้นกว่า ความโค้งของส่วนโค้งที่ล้อมรอบเหล่านี้ดูเหมือนจะถูกใช้เป็นพื้นฐานสำหรับการจัดศูนย์กลาง ของส่วนโค้ง ซึ่งสร้างขึ้นในรูปแบบของอุโมงค์สองอุโมงค์ที่ตัดกัน ราวกับว่าแต่ละส่วนโค้งเป็นส่วนโค้งที่ฉายในแนวนอนในสามมิติ^{[ 13 ]}

เชื่อกันว่าตัวอย่างที่เก่าแก่ที่สุดพบในห้องโถงขนาดเล็กที่เมืองเปอร์กามัมในเอเชียไมเนอร์แต่การนำไปใช้กับห้องโถงขนาดใหญ่เป็นครั้งแรกนั้นมาจากยุคโรมันเมื่อเพดานโค้งครึ่งวงกลมสองอันที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากันตัดกัน จุดตัดของเพดานโค้งทั้งสอง (ซึ่งเป็นรูปวงรีที่แท้จริง) เรียกว่าเพดานโค้งตัดขวาง (groin vault ) ซึ่งแรงดันจากเพดานโค้งจะถูกส่งลงไปยังผนังขวาง หากเพดานโค้งทรงกระบอกสองอันขึ้นไปตัดกัน น้ำหนักจะถูกส่งต่อไปยังเสาที่จุดตัด และแรงดันจะถูกส่งไปยังผนังขวางด้านนอก ดังนั้นในอ่างเก็บน้ำของโรมันที่เมืองไบเอียซึ่งรู้จักกันในชื่อปิสซินา มิราบิลิส (Piscina Mirabilis ) จึงมีทางเดินห้าทางที่มีเพดานโค้งครึ่งวงกลมตัดกับทางเดินขวางสิบสองทาง โดยเพดานโค้งนั้นวางอยู่บนเสา 48 ต้นและผนังภายนอกที่หนา เนื่องจากความกว้างของทางเดินเหล่านี้มีเพียงประมาณ 13 ฟุต (4.0 เมตร) จึงไม่มีความยากลำบากมากนักในการก่อสร้างห้องโค้งเหล่านี้ แต่ในโรงอาบน้ำโรมันแห่งคาราคัลลาห้องเทปิเดเรียมมีช่วงกว้างถึง 80 ฟุต (24 เมตร) มากกว่าสองเท่าของมหาวิหาร อังกฤษ ดังนั้นการก่อสร้างจึงมีความสำคัญอย่างยิ่งทั้งในแง่ของสถิตศาสตร์และเศรษฐกิจ^{[ 12 ] [ 14 ]} การวิจัยของ M. Choisy ( L'Art de bâtir chez les Romains ) ซึ่งอิงจากการตรวจสอบอย่างละเอียดของส่วนต่างๆ ของห้องโค้งที่ยังคงอยู่ในตำแหน่งเดิมได้แสดงให้เห็นว่า บนโครงสร้างค้ำยันที่ค่อนข้างเบาบาง ซึ่งประกอบด้วยโครงถักที่วางห่างกันประมาณ 10 ฟุต (3.0 เมตร) และคลุมด้วยแผ่นไม้ที่วางจากโครงถักหนึ่งไปยังอีกโครงถักหนึ่ง ได้วางอิฐโรมันสองชั้น (ขนาดเกือบ 2 ฟุต (0.61 เมตร) สี่เหลี่ยมจัตุรัสและหนา 2 นิ้ว) ไว้ตั้งแต่แรก บนโครงสร้างเหล่านี้และบนโครงถัก ได้มีการสร้างวงแหวนอิฐขวางโดยมีเหล็กยึดตามยาวเป็นระยะๆ บนชั้นอิฐและฝังวงแหวนและเหล็กยึดขวาง ได้ มีการ เทคอนกรีตเป็นชั้นแนวนอน โดยเติม ส่วนที่ยื่นออกมาให้เต็ม และพื้นผิวลาดเอียงไปทั้งสองด้าน แล้วมุงด้วยกระเบื้องหลังคาที่มีความลาดเอียงต่ำ วางลงบนคอนกรีตโดยตรง วงแหวนช่วยบรรเทาภาระจากน้ำหนักที่กระทำต่อโครงถัก และอิฐสองชั้นช่วยพยุงคอนกรีตจนกว่าจะแข็งตัว^{[ 12 ]}

เนื่องจากผนังที่รองรับเพดานโค้งเหล่านี้ก็สร้างด้วยคอนกรีตเช่นกัน โดยมีอิฐคั่นเป็นระยะ โครงสร้างทั้งหมดจึงมีความเป็นเนื้อเดียวกัน ส่วนผสมที่สำคัญอย่างหนึ่งของปูนคือแร่ ภูเขาไฟ ที่พบใกล้กรุงโรม เรียกว่าปอซโซลานาซึ่งเมื่อคอนกรีตแข็งตัวแล้ว ไม่เพียงแต่ทำให้คอนกรีตแข็งแกร่งเหมือนหินเท่านั้น แต่ยังช่วยลดแรงดันของเพดานโค้งได้ในระดับหนึ่ง เพดานโค้งเหล่านี้ก่อตัวเป็นเปลือกที่เทียบเท่ากับฝาโลหะ อย่างไรก็ตาม ชาวโรมันดูเหมือนจะไม่เห็นคุณค่าของส่วนผสมปอซโซลานานี้ เพราะพวกเขาได้เตรียมการอย่างเพียงพอเพื่อต้านทานแรงดันที่อาจเกิดขึ้นโดยการสร้างกำแพงขวางและเสาค้ำยัน ในห้องอบไอน้ำของเทอร์มาและในมหาวิหารคอนสแตนตินเพื่อให้แรงดันอยู่ภายในกำแพง เพดานโค้งทรงกระบอกหลักของห้องโถงจึงถูกยื่นออกมาด้านข้างแต่ละด้านและวางอยู่บนเสาที่แยกออกมา ซึ่งเป็นองค์ประกอบหลักของการตกแต่งทางสถาปัตยกรรม ในกรณีที่ส่วนโค้งขวางที่ตัดกันไม่ได้มีช่วงกว้างเท่ากับส่วนโค้งหลัก ซุ้มโค้งเหล่านั้นจะต้องถูกยกขึ้นเพื่อให้ส่วนล่างมีความสูงเท่ากัน หรืออาจสร้างส่วนตัดกันที่เล็กกว่าในส่วนล่างของส่วนโค้ง อย่างไรก็ตาม ในทั้งสองกรณีนี้ ส่วนตัดกันหรือส่วนโค้งจะบิดเบี้ยว ซึ่งทำให้ยากมากที่จะสร้างจุดศูนย์กลาง และยิ่งไปกว่านั้น ยังส่งผลที่ไม่พึงประสงค์อีกด้วย แม้ว่าจะพยายามทุกวิถีทางเพื่อปกปิดสิ่งนี้ในการตกแต่งส่วนโค้งด้วยแผงและภาพนูนต่ำที่ปั้นด้วยปูนปลาสเตอร์^{[ 12 ]}

เพดานโค้งซี่โครงเป็นเพดานโค้งที่ซี่โครงทั้งหมดถูกปกคลุมด้วยซี่โครงหรือซี่โครงเฉียงในรูปทรงโค้งส่วนต่างๆ ความโค้งของส่วนโค้งเหล่านี้ถูกกำหนดโดยโค้งที่ล้อมรอบ ในขณะที่โค้งตามขวางยังคงมีรูปทรงครึ่งวงกลมเช่นเดียวกับส่วนโค้งเพดานโค้งซี่โครง ส่วนโค้งตามยาวจะมีลักษณะแหลม โดยส่วนโค้งทั้งสองจะมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่เส้นตั้งฉากซึ่งทำให้ส่วนโค้งหลังสอดคล้องกับความโค้งของซี่โครงเฉียงมากขึ้น ทำให้เกิดอุโมงค์ตรงที่วิ่งจากทิศตะวันออกไปทิศตะวันตก^{[ 15 ] [ 5 ]}

มีการกล่าวถึงโครงสร้างเพดานโค้งแบบซี่โครงในงานสถาปัตยกรรมโรมัน ซึ่งส่วนโค้งทรงกระบอกที่ตัดกันนั้นไม่ได้มีเส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากัน การก่อสร้างโครงสร้างแบบนี้ย่อมมีความยากลำบากอยู่เสมอ แต่เมื่อโครงสร้างเพดานโค้งทรงกระบอกนั้นทอดยาวไปเหนือทางเดินในบริเวณร้องเพลงประสานเสียง และถูกตัดกัน (เช่นในโบสถ์เซนต์บาร์โธโลมิวเดอะเกรทในสมิธฟิลด์ ลอนดอน ) ด้วยรูปทรงครึ่งกรวยแทนที่จะเป็นทรงกระบอก การก่อสร้างก็ยิ่งยากขึ้นและส่วนโค้งตัดกันก็ซับซ้อนมากขึ้น ดูเหมือนว่าสิ่งนี้จะนำไปสู่การเปลี่ยนแปลงระบบและการนำคุณลักษณะใหม่มาใช้ ซึ่งปฏิวัติการก่อสร้างเพดานโค้งอย่างสิ้นเชิง ก่อนหน้านี้ ส่วนประกอบที่ตัดกันเป็นพื้นผิวทางเรขาคณิต โดยที่ส่วนโค้งตัดกันในแนวทแยงเป็นจุดตัด มีรูปทรงวงรี โดยทั่วไปแล้วโครงสร้างจะอ่อนแอและมักบิดเบี้ยว ช่างก่อสร้างในยุคกลางได้กลับกระบวนการ โดยตั้งซี่โครงในแนวทแยงก่อน ซึ่งใช้เป็นศูนย์กลางถาวร และจากนั้นจึงสร้างเพดานโค้งหรือโครงสร้างส่วนโค้งตามรูปทรงของซี่โครงเหล่านั้น แทนที่จะใช้เส้นโค้งวงรีซึ่งเกิดจากการตัดกันของส่วนโค้งครึ่งวงกลมหรือทรงกระบอกสองอัน เขาใช้ส่วนโค้งครึ่งวงกลมสำหรับซี่โครงเฉียง อย่างไรก็ตาม วิธีนี้ทำให้จุดศูนย์กลางของส่วนโค้งสี่เหลี่ยมสูงกว่าระดับของส่วนโค้งตามขวางและซี่โครงผนัง จึงทำให้ส่วนโค้งดูเหมือนโดม ดังที่เห็นได้ในส่วนกลางของโบสถ์Sant'Ambrogio ในฟลอเรนซ์เพื่อแก้ไขปัญหานี้ ในตอนแรกจึงมีการยกซี่โครงตามขวางและซี่โครงผนังขึ้น หรือยกส่วนบนของส่วนโค้งขึ้น ดังเช่นในAbbaye-aux-Hommesที่CaenและAbbey of LessayในNormandyปัญหาได้รับการแก้ไขในที่สุดโดยการนำส่วนโค้งแหลมมาใช้กับซี่โครงตามขวางและซี่โครงผนัง ซึ่งส่วนโค้งแหลมนั้นเป็นที่รู้จักและใช้งานมานานแล้ว เนื่องจากมีความแข็งแรงมากกว่าและออกแรงผลักผนังน้อยกว่า เมื่อนำไปใช้กับซี่โครงของเพดานโค้ง แม้ว่าช่วงจะแคบเพียงใดก็ตาม โดยการใช้ส่วนโค้งแหลม ยอดของส่วนโค้งนั้นสามารถทำให้มีความสูงเท่ากับซี่โครงแนวทแยงได้ และยิ่งไปกว่านั้น เมื่อนำไปใช้กับซี่โครงของเพดานโค้งวงแหวนเช่น ในทางเดินรอบส่วนโค้ง ครึ่งวงกลมของบริเวณร้องเพลง ซี่โครงครึ่งซีกด้านนอกไม่จำเป็นต้องอยู่ในระนาบเดียวกันกับซี่โครงครึ่งซีกด้านใน เพราะเมื่อซี่โครงตรงข้ามมาบรรจบกันที่จุดศูนย์กลางของเพดานโค้งวงแหวน แรงผลักจะถูกส่งผ่านจากด้านหนึ่งไปยังอีกด้านหนึ่งอย่างเท่าเทียมกัน และเนื่องจากเป็นส่วนโค้งที่หักอยู่แล้ว การเปลี่ยนทิศทางจึงไม่เป็นที่สังเกต^{[ 16 ]}

การนำซี่โครงโค้งแหลมมาใช้ครั้งแรกเกิดขึ้นที่มหาวิหาร Cefalùและมีมาก่อนอารามSaint-Denisแม้ว่าซี่โครงโค้งแหลมมักถูกมองว่าเป็นตัวบ่งชี้สถาปัตยกรรมโกธิก แต่ Cefalù เป็นมหาวิหารโรมาเนสก์ที่ช่างก่อสร้างได้ทดลองความเป็นไปได้ของซี่โครงโค้งโกธิกก่อนที่จะมีการนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในสถาปัตยกรรมโบสถ์ตะวันตก^{[ 17 ]}นอกจากมหาวิหาร Cefalù แล้ว การนำซี่โครงโค้งแหลมมาใช้ดูเหมือนจะเกิดขึ้นในทางเดินร้องเพลงของอาราม Saint-Denis ใกล้กรุงปารีสซึ่งสร้างโดยเจ้าอาวาสSugerในปี 1135 และในโบสถ์ที่Vezelay (1140) ก็ได้ขยายไปยังช่องสี่เหลี่ยมของระเบียงทางเข้า ดังที่ได้ชี้ให้เห็นแล้ว ทางเดินในโบสถ์คริสเตียนยุคแรกนั้นถูกปกคลุมด้วยเพดานโค้ง ความก้าวหน้าเพียงอย่างเดียวในการพัฒนาในภายหลังคือการนำซี่โครงขวางมาแบ่งช่องออกเป็นช่องสี่เหลี่ยม ในศตวรรษที่ 12 ^{[ 18 ]}มีความพยายามครั้งแรกที่จะสร้างเพดานโค้งเหนือทางเดินกลางโบสถ์ ซึ่งมีความกว้างเป็นสองเท่าของทางเดินด้านข้าง ดังนั้นจึงจำเป็นต้องรวมทางเดินด้านข้างสองช่วงเพื่อสร้างช่วงสี่เหลี่ยมผืนผ้าหนึ่งช่วงในทางเดินกลางโบสถ์ (แม้ว่ามักจะเข้าใจผิดว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส) ^{[ 15 ]} ส่งผลให้ เสาสลับกันทุกต้นไม่มีประโยชน์ใดๆ ในแง่ของการรองรับเพดานโค้งของทางเดินกลางโบสถ์ และดูเหมือนว่าสิ่งนี้จะแนะนำทางเลือกอื่นในการจัดหาซี่โครงเสริมข้ามโบสถ์และระหว่างซี่โครงขวาง ส่งผลให้เกิดสิ่งที่เรียกว่าเพดานโค้งแบบหกช่อง หรือแบบเซกซ์พาร์ไทต์ซึ่งหนึ่งในตัวอย่างที่เก่าแก่ที่สุดพบได้ในAbbaye-aux-Hommes ที่เมือง Caenโบสถ์แห่งนี้สร้างโดยวิลเลียมผู้พิชิต เดิมสร้างขึ้นเพื่อรองรับหลังคาไม้เท่านั้น แต่เกือบหนึ่งศตวรรษต่อมา ส่วนบนของผนังทางเดินกลางโบสถ์ได้รับการสร้างใหม่บางส่วน เพื่อที่จะสามารถคลุมด้วยเพดานโค้งได้ อย่างไรก็ตาม ขนาดอันใหญ่โตมโหฬารของเพดานโค้งสี่เหลี่ยมเหนือบริเวณกลางโบสถ์นั้น จำเป็นต้องมีโครงสร้างค้ำยันเพิ่มเติม ดังนั้นจึงมีการวางคานขวางกลางโบสถ์ แบ่งช่องสี่เหลี่ยมออกเป็นหกช่อง และเรียกว่า เพดานโค้งแบบหกส่วน (sexpartite vault ) แต่คานขวางกลางนี้มีข้อเสียคือ บดบังหน้าต่างช่องแสงด้านหนึ่งบางส่วนและทำให้เสาแต่ละต้นรับน้ำหนักไม่เท่ากัน ดังนั้นในมหาวิหารโซซงส์ (ค.ศ. 1205) จึงใช้เพดานโค้งแบบสี่ส่วน ( quadripartite vault) แทนหรือมีการนำเพดานโค้งสี่ช่องมาใช้ โดยความกว้างของแต่ละช่องเป็นครึ่งหนึ่งของช่วงความยาวของทางเดินกลาง และสอดคล้องกับเสาทางเดินด้านข้าง อย่างไรก็ตาม มีข้อยกเว้นอยู่บ้าง เช่น ใน Sant' Ambrogio เมืองมิลาน และ San Michele เมืองปาเวีย (เพดานโค้งแบบดั้งเดิม) และในมหาวิหารSpeyer , MainzและWormsซึ่งเพดานโค้งสี่ช่องเกือบจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส โดยเสาตรงกลางของทางเดินด้านข้างมีขนาดเล็กกว่ามาก ในอังกฤษ เพดานโค้งหกช่องมีอยู่ที่แคนเทอร์เบอรี (ค.ศ. 1175) (ออกแบบโดยWilliam of Sens ), โรเชสเตอร์ (ค.ศ. 1200), ลินคอล์น (ค.ศ. 1215), เดอร์แฮม ( ปีกตะวันออก) และโบสถ์ St. Faithใน เวสต์ มินสเตอร์แอบบีย์^{[ 16 ]}

ในขั้นตอนแรกของการสร้างหลังคาโค้งซี่โครง ซี่โครงโค้งประกอบด้วยหินวู สซัวร์อิสระหรือแยกจากกัน จนถึงฐาน อย่างไรก็ตาม ความยากลำบากในการทำงานซี่โครงแยกกันนำไปสู่การเปลี่ยนแปลงที่สำคัญอีกสองประการ: (1) ส่วนล่างของซี่โครงแนวทแยงตามขวางและซี่โครงผนังทั้งหมดทำจากหินก้อนเดียว และ (2) ส่วนแนวนอนด้านล่างประกอบขึ้นเป็นสิ่งที่เรียกว่าtas-de-chargeหรือฐานรอง แข็ง tas-de-charge หรือฐานรองแข็งมีข้อดีสองประการ: (1) ช่วยให้ชั้นหินวิ่งตรงผ่านผนังเพื่อยึดทั้งหมดเข้าด้วยกันได้ดีขึ้นมาก และ (2) ช่วยลดช่วงของเพดานโค้ง ซึ่งทำให้ต้องใช้ศูนย์กลางที่มีขนาดเล็กลง เมื่อซี่โครงเสร็จสมบูรณ์แล้ว โครงสร้างหรือเปลือกหินของเพดานโค้งจะถูกวางลงบนซี่โครงเหล่านั้น ในงานก่อสร้างของอังกฤษบางแห่ง แต่ละชั้นของหินมีความสูงสม่ำเสมอจากด้านหนึ่งไปยังอีกด้านหนึ่ง แต่เนื่องจากซี่โครงเฉียงยาวกว่าซี่โครงตามขวางหรือซี่โครงผนัง แถวของคานจึงเอียงเข้าหาซี่โครงเฉียง และที่ยอดของเพดานโค้งจะถูกตัดให้เข้ากัน ในช่วงต้นยุคโกธิคของอังกฤษ เนื่องจากช่วงกว้างของเพดานโค้งและการยกตัวหรือความโค้งของโครงสร้างคานน้อยมาก จึงคิดว่าควรลดความซับซ้อนของการสร้างโครงสร้างคานโดยการเพิ่มซี่โครงกลางระหว่างซี่โครงผนังและซี่โครงเฉียง และระหว่างซี่โครงเฉียงและซี่โครงตามขวาง และเพื่อรองรับแรงดันของซี่โครงกลางเหล่านี้ จึงจำเป็นต้องมีซี่โครงสัน และการต่อซี่โครงนี้ไปยังซี่โครงผนังจะซ่อนรอยต่อของโครงสร้างคานที่ยอด ซึ่งไม่สวยงามเสมอไป และเป็นส่วนประกอบของซี่โครงสัน ในทางกลับกัน ในฝรั่งเศส แถวของคานโครงสร้างคานจะวางในแนวนอนเสมอ ดังนั้นจึงมีความสูงไม่เท่ากัน โดยจะเพิ่มขึ้นไปทางซี่โครงเฉียง แต่ละแถวยังยกขึ้นเล็กน้อยตรงกลาง เพื่อเพิ่มความแข็งแรง สิ่งนี้ทำให้ช่างก่อสร้างชาวฝรั่งเศสสามารถละเว้นซี่โครงกลาง ซึ่งพวกเขาไม่ได้นำมาใช้จนกระทั่งศตวรรษที่ 15 และในตอนนั้นก็ใช้เป็นลักษณะตกแต่งมากกว่าลักษณะโครงสร้าง เนื่องจากรูปทรงโดมที่ใช้ในโครงสร้างโค้งแบบฝรั่งเศสทำให้ไม่จำเป็นต้องใช้ซี่โครงสันหลังคา ซึ่งยกเว้นบางกรณีแล้ว ซี่โครงสันหลังคามีอยู่เฉพาะในอังกฤษเท่านั้น ในการสร้างโครงสร้างโค้งทั้งแบบอังกฤษและฝรั่งเศส แทบจะไม่จำเป็นต้องใช้โครงกลางในการสร้างโครงสร้างโค้ง โดยใช้แม่แบบ (ภาษาฝรั่งเศสcerce ) เพื่อรองรับหินของแต่ละวงจนกว่าจะเสร็จสมบูรณ์ ในอิตาลี เยอรมนี และสเปน ได้นำวิธีการสร้างโครงสร้างโค้งแบบฝรั่งเศสมาใช้ โดยมีชั้นแนวนอนและรูปทรงโดม บางครั้ง ในกรณีของช่องที่ค่อนข้างแคบ และโดยเฉพาะอย่างยิ่งในช่องแสงซี่โครงผนังจะถูกค้ำยัน และสิ่งนี้ทำให้เกิดการบิดตัวที่แปลกประหลาดของโครงสร้างโค้ง โดยที่จุดเริ่มต้นของซี่โครงผนังอยู่ที่ K: พื้นผิวที่บิดตัวเหล่านี้เรียกว่าโครงสร้างโค้งแบบไถ^{[ 19 ]}

หนึ่งในตัวอย่างแรกสุดของการนำซี่โครงกลางมาใช้ พบได้ในบริเวณกลางโบสถ์ของมหาวิหารลินคอล์นและที่นั่นซี่โครงสันไม่ได้เชื่อมต่อกับซี่โครงผนัง อย่างไรก็ตาม ในไม่ช้าก็พบว่าการสร้างโครงสร้างส่วนกลางนั้นง่ายขึ้นมากด้วยซี่โครงเพิ่มเติม และด้วยเหตุนี้จึงมีแนวโน้มที่จะเพิ่มจำนวนซี่โครง ดังนั้นในบริเวณกลางโบสถ์ของมหาวิหารเอ็กซีเตอร์ จึง มีซี่โครงกลางสามชิ้นอยู่ระหว่างซี่โครงผนังและซี่โครงเฉียง เพื่อปกปิดจุดเชื่อมต่อของซี่โครงต่างๆ จุดตัดของพวกมันจึงถูกประดับด้วยหัวแกะสลักอย่างวิจิตร และการปฏิบัติเช่นนี้เพิ่มมากขึ้นเมื่อมีการนำซี่โครงสั้นอีกชิ้นหนึ่งมาใช้ ซึ่งเรียกว่า เลียร์น (lierne) ซึ่งเป็นคำในฝรั่งเศสที่ใช้เรียกซี่โครงสัน ซี่โครงเลียร์นเป็นซี่โครงสั้นที่ไขว้กันระหว่างซี่โครงหลัก และถูกนำมาใช้เป็นองค์ประกอบตกแต่งเป็นหลัก เช่น ในโบสถ์Liebfrauenkirche (1482) แห่งเมืองมูห์ลาเคอร์ประเทศเยอรมนี หนึ่งในตัวอย่างที่ดีที่สุดของซี่โครง Lierne อยู่ในเพดานโค้งของหน้าต่างยื่นของCrosby Hall ในลอนดอนแนวโน้มที่จะเพิ่มจำนวนซี่โครงนำไปสู่ผลลัพธ์ที่แปลกประหลาดในบางกรณี เช่น ในบริเวณร้องเพลงของมหาวิหารกลอสเตอร์ซึ่งซี่โครงแนวทแยงธรรมดากลายเป็นเพียงการตกแต่งบนพื้นผิวของเพดานโค้งทรงกระบอกปลายแหลมที่ตัดกัน และอีกครั้งในระเบียงทางเดิน ซึ่งการนำเพดานโค้งรูปพัด มาใช้ โดยสร้างเป็น รูปทรงกรวยด้านเว้ากลับไปสู่หลักการของเพดานโค้งเรขาคณิตแบบโรมัน สิ่งนี้แสดงให้เห็นเพิ่มเติมในการก่อสร้างเพดานโค้งรูปพัดเหล่านี้ เพราะถึงแม้ในตัวอย่างแรกสุด ซี่โครงแต่ละอันเหนือ tas-de-charge จะเป็นส่วนประกอบอิสระ แต่ในที่สุดก็พบว่าการแกะสลักซี่โครงและส่วนเชื่อมต่อออกจากหินแข็งนั้นง่ายกว่า ดังนั้นซี่โครงและส่วนเชื่อมต่อจึงเป็นเพียงการตกแต่งและไม่มีหน้าที่ในการก่อสร้างหรือเป็นอิสระ^{[ 20 ]}

รูปแบบการสร้างเพดานโค้งแบบนี้พบได้ในสถาปัตยกรรมโกธิคตอนปลายของอังกฤษ ซึ่งเพดานโค้งถูกสร้างขึ้นเป็นพื้นผิวเดียวของหินที่ตกแต่งแล้ว โดยมีซี่โครงแผ่ออกมาจากจุดเริ่มต้นคล้ายพัด และรูปทรงกรวยที่เกิดขึ้นจะสร้างเครือข่ายประดับตกแต่งของลวดลายฉลุ^{[ 13 ] [ 5 ]}

ดูเหมือนว่าเพดานโค้งรูปพัดจะมีต้นกำเนิดมาจากการใช้เส้นโค้งศูนย์กลางเพียงเส้นเดียวสำหรับซี่โครงทั้งหมด แทนที่จะใช้เส้นโค้งศูนย์กลางแยกกันสำหรับซี่โครงขวาง ผนังเฉียง และซี่โครงกลาง นอกจากนี้ยังอำนวยความสะดวกโดยการนำส่วนโค้งสี่จุดศูนย์กลางมาใช้ เนื่องจากส่วนล่างของส่วนโค้งเป็นส่วนหนึ่งของรูปพัดหรือรูปกรวย และส่วนบนสามารถขยายได้ตามต้องการด้วยรัศมีที่มากขึ้นทั่วเพดานโค้ง ซี่โครงเหล่านี้มักจะถูกตัดจากหินก้อนเดียวกันกับส่วนที่เป็นโครงสร้าง โดยเพดานโค้งทั้งหมดถือเป็นพื้นผิวข้อต่อเดียวที่ปกคลุมด้วยลวดลายประสานที่เชื่อมต่อกัน^{[ 21 ]}

ตัวอย่างที่เก่าแก่ที่สุดอาจเป็นทางเดินด้านตะวันออกของระเบียงทางเดินที่กลอสเตอร์ซึ่งพื้นผิวประกอบด้วยแผงหินที่ตกแต่งอย่างประณีตบรรจงเป็นโครงสร้างทรงกรวยที่ยื่นออกมาจากฐานของเพดานโค้ง^{[ 21 ] [ 22 ]}ในตัวอย่างต่อมา เช่นในโบสถ์คิงส์คอลเลจเคมบริดจ์ เนื่องจากขนาดของเพดานโค้งที่ใหญ่มาก จึงพบว่าจำเป็นต้องเพิ่มซี่โครงขวาง ซึ่งจำเป็นเพื่อให้มีความแข็งแรงมากขึ้น ซี่โครงขวางที่คล้ายกันนี้พบได้ในโบสถ์ของพระเจ้าเฮนรีที่ 7 และใน โรงเรียนศาสนศาสตร์ที่ออกซ์ฟอร์ดซึ่งมีการพัฒนาใหม่เกิดขึ้น ข้อบกพร่องอย่างหนึ่งของเพดานโค้งรูปพัดที่กลอสเตอร์คือลักษณะที่ดูเหมือนว่าจมลงไปในผนังครึ่งหนึ่ง เพื่อแก้ไขปัญหานี้ ในอาคารทั้งสองที่ยกมาข้างต้น ทรงกรวยทั้งหมดจึงถูกแยกออกและถือเป็นส่วนห้อย^{[ 20 ]}

เพดานโค้งของมหาวิหารแม็กเซนติอุสซึ่งสร้างเสร็จโดยจักรพรรดิคอนสแตนติน เป็นงานชิ้นเอกชิ้นสุดท้ายที่ดำเนินการในกรุงโรมก่อนการล่มสลาย และอีกสองศตวรรษต่อมาจึงพบการพัฒนาที่สำคัญครั้งต่อไปในโบสถ์แห่งปัญญาศักดิ์สิทธิ์ (ฮาเกียโซเฟีย) ที่กรุงคอนสแตนติโนเปิลอาจกล่าวได้ว่า ความก้าวหน้าครั้งยิ่งใหญ่ในศาสตร์แห่งการสร้างเพดานโค้ง ที่ปรากฏในโบสถ์แห่งนี้ ได้รับอิทธิพล มาจากประเพณีการสร้างโดมแบบตะวันออกที่เห็นได้จากโดมของชาวอัสซีเรีย ซึ่งเรารู้จักเพียงจากภาพนูนต่ำจากนิมรุดเท่านั้น เพราะในอ่างเก็บน้ำขนาดใหญ่ในอิสตันบูล ซึ่งรู้จักกันในชื่ออ่างเก็บน้ำบาซิลิกาและบิน บีร์ ดิเรก (อ่างเก็บน้ำที่มีเสาพันต้น) เราพบว่าเพดานโค้งแบบตัดกันของชาวโรมันได้ถูกแทนที่ด้วยโดมขนาดเล็กแล้ว อย่างไรก็ตาม โดมเหล่านี้มีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับที่จักรพรรดิจัสติเนียนออกแบบและสร้างขึ้นในฮาเกียโซเฟียก่อนหน้านี้ โดมที่ใหญ่ที่สุดคือโดมของวิหารแพนธีออนที่กรุงโรม แต่โดมนี้ตั้งอยู่บนกำแพงขนาดมหึมาหนา 20 ฟุต (6.1 เมตร) และไม่สามารถขยายได้นอกจากช่องเล็กๆ หรือส่วนเว้าในความหนาของกำแพง ดังนั้นจัสติเนียนจึงสั่งให้สถาปนิกของเขาสร้างครึ่งวงกลมหรือส่วนโค้ง ขนาดใหญ่ ที่ปลายด้านตะวันออก ส่วนโค้งที่คล้ายกันที่ปลายด้านตะวันตก และซุ้มโค้งขนาดใหญ่ทั้งสองด้าน โดยผนังด้านล่างจะมีหน้าต่างเจาะอยู่^{[ 23 ]}แตกต่างจากโดมของวิหารแพนธีออนซึ่งส่วนบนทำจากคอนกรีต โดมของไบแซนไทน์ทำจากอิฐซึ่งเบากว่าและบางกว่า แต่เปราะบางกว่าต่อแรงที่กระทำต่อพวกมัน

แผนภาพแสดงโครงร่างของวิธีแก้ปัญหา หากโดมทรงครึ่งวงกลมถูกตัดด้วยระนาบแนวตั้งสี่ระนาบ จุดตัดจะทำให้เกิดส่วนโค้งครึ่งวงกลมสี่ส่วน หากถูกตัดเพิ่มเติมด้วยระนาบแนวนอนที่สัมผัสกับส่วนบนของส่วนโค้งเหล่านี้ จะได้เป็นวงกลม ส่วนของทรงกลมที่อยู่ใต้วงกลมนี้และอยู่ระหว่างส่วนโค้ง ซึ่งก่อตัวเป็นส่วนโค้งทรงกลมเรียกว่าส่วน โค้งรับน้ำหนัก ( pendentive ) และรัศมี ของมัน เท่ากับเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่รองรับส่วนโค้งทั้งสี่ เมื่อได้วงกลมสำหรับฐานของโดมแล้ว ส่วนบนของโดมไม่จำเป็นต้องเริ่มต้นจากระดับเดียวกับส่วนโค้ง หรือพื้นผิวโดมจะต้องเป็นส่วนต่อเนื่องจากส่วนโค้งรับน้ำหนัก โดมแรกและโดมที่สองของฮาเกียโซเฟียพังลง ดังนั้นจัสติเนียนจึงตัดสินใจที่จะสร้างใหม่ อาจเพื่อให้โครงสร้างเบาขึ้น แต่ส่วนใหญ่เพื่อเพิ่มแสงสว่างให้กับภายในโบสถ์ การสร้างโดมนี้ทำได้โดยการเจาะช่องหน้าต่าง 40 บาน ซึ่งแสงที่ส่องผ่านหน้าต่างเหล่านี้ทำให้โดมดูเหมือนลอยอยู่กลางอากาศ ส่วนโค้งที่รองรับโดมนั้นวางอยู่บนซุ้มโค้งขนาดใหญ่ 4 ซุ้ม แรงผลักของซุ้มโค้งที่พาดผ่านโบสถ์นั้นถูกหักล้างด้วยเสาค้ำยันขนาดใหญ่ที่พาดผ่านทางเดิน และอีกสองซุ้มโค้งนั้นถูกหักล้างบางส่วนด้วยซุ้มโค้งขนาดเล็กกว่าในส่วนโค้งท้ายโบสถ์ แรงผลักนั้นถูกส่งต่อไปยังผนังด้านนอก และในระดับหนึ่งไปยังผนังด้านข้างที่สร้างอยู่ใต้ซุ้มโค้ง จากคำบรรยายของโปรโคปิอุสเราทราบว่าโครงสร้างค้ำยันที่ใช้สำหรับซุ้มโค้งขนาดใหญ่นั้นประกอบด้วยผนังที่สร้างขึ้นเพื่อรองรับซุ้มโค้งเหล่านั้นในระหว่างการก่อสร้าง การก่อสร้างส่วนโค้งนั้นไม่เป็นที่ทราบแน่ชัด แต่คาดการณ์ได้ว่าส่วนบนสุดของส่วนโค้งนั้นสร้างด้วยอิฐเรียงเป็นแนวนอน ยื่นออกมาทับซ้อนกัน มุมที่ยื่นออกมาจะถูกตัดออกในภายหลังและฉาบด้วยปูนปลาสเตอร์ซึ่งฝังโมเสกไว้ นี่เป็นวิธีการที่ใช้ในการสร้างโดมแบบเปริกอร์เดียน ซึ่งเราจะกล่าวถึงในภายหลัง อย่างไรก็ตาม โดมเหล่านี้มีเส้นผ่านศูนย์กลางเล็กกว่าโดมของฮาเกียโซเฟีย โดยมีขนาดเพียงประมาณ 40 ถึง 60 ฟุต (18 เมตร) แทนที่จะเป็น 107 ฟุต (33 เมตร) จุดสูงสุดของสถาปัตยกรรมไบแซนไทน์มาถึงที่ฮาเกียโซเฟีย เพราะถึงแม้ว่ามันจะเป็นต้นแบบที่โบสถ์ไบแซนไทน์ในยุคต่อมาทั้งหมดใช้เป็นพื้นฐานในแง่ของแผนผัง แต่ก็ไม่มีโดมใดที่พยายามสร้างให้มีขนาดใกล้เคียงกับโดมฮาเกียโซเฟียเลย ความแตกต่างที่สำคัญในตัวอย่างในยุคต่อมาบางแห่งอยู่ที่รูปทรงของส่วนรองรับโดม แทนที่จะเป็นส่วนโค้งทรงกลมของฮาเกียโซเฟีย กลับมีการสร้างช่องขนาดใหญ่ในมุมต่างๆ เช่นเดียวกับมัสยิดแห่งดามัสกัสซึ่งสร้างโดยช่างฝีมือไบแซนไทน์สำหรับอัล-วาลิดที่ 1ในปี ค.ศ. 705 สิ่งเหล่านี้ทำให้มีฐานแปดเหลี่ยมซึ่งโดมทรงครึ่งวงกลมวางอยู่ หรืออีกนัยหนึ่ง เช่นเดียวกับพระราชวังซัสซาเนียนแห่งซาร์เวสถานและฟิรูซาบาดในศตวรรษที่ 4 และ 5 เมื่อมีการสร้างวงแหวนโค้งซ้อนกันหลายชั้น ยื่นออกมาด้านหน้ากัน ทำให้มีฐานแปดเหลี่ยมเช่นกัน เพนเดนทีฟแต่ละอันเรียกว่าสควินช์^{[ 23 ]}

ยังมีโดมที่น่าทึ่งอีกแห่งหนึ่งซึ่งสร้างโดยจัสติเนียนเช่นกัน อยู่ในโบสถ์นักบุญเซอร์จิอุสและบัคคัสในคอนสแตนติโนเปิล บริเวณกลางโบสถ์นี้มีแผนผังเป็นรูปแปดเหลี่ยม และโดมแบ่งออกเป็นสิบหกช่อง โดยแปดช่องประกอบด้วยแถบแบนกว้างที่ยกขึ้นจากตรงกลางของผนังแต่ละด้าน และอีกแปดช่องที่เหลือเป็นช่องเว้าเหนือมุมของรูปแปดเหลี่ยม ซึ่งทำให้หลังคามีลักษณะเหมือนร่มทั้งภายนอกและภายใน^{[ 23 ]}

แม้ว่าโดมจะเป็นลักษณะเด่นของโบสถ์ไบแซนไทน์ แต่ทั่วเอเชียไมเนอร์ก็มีตัวอย่างมากมายที่ทางเดินกลางโบสถ์มีหลังคาโค้งแบบครึ่งวงกลม และนี่คือประเภทของหลังคาโค้งที่พบได้ทั่วภาคใต้ของฝรั่งเศสในศตวรรษที่ 11 และ 12 การเปลี่ยนแปลงเพียงอย่างเดียวคือการแทนที่ด้วยหลังคาโค้งแบบปลายแหลมเป็นครั้งคราว ซึ่งนำมาใช้ไม่เพียงเพราะมีแรงผลักน้อยกว่า แต่เพราะดังที่เฟอร์กัสสัน (เล่มที่ 2 หน้า 46) ชี้ให้เห็นว่ากระเบื้องมุงหลังคาถูกวางลงบนหลังคาโค้งโดยตรงและไม่จำเป็นต้องเติมวัสดุที่ด้านบนมากนัก^{[ 23 ]}

แรงผลักดันอย่างต่อเนื่องของเพดานโค้งทรงกระบอกในกรณีเหล่านี้ถูกตอบสนองด้วยเพดานโค้งทรงกระบอกครึ่งวงกลมหรือปลายแหลมบนทางเดิน ซึ่งมีช่วงกว้างเพียงครึ่งหนึ่งของช่วงกลาง โบสถ์ ตัวอย่างที่น่าสนใจในเรื่องนี้พบได้ในโบสถ์เซนต์จอห์นในหอคอยแห่งลอนดอนและบางครั้งก็มีเพดานโค้งทรงกระบอกครึ่งวงกลม อย่างไรก็ตาม ความหนาของผนังที่จำเป็นในการก่อสร้างดังกล่าวดูเหมือนจะนำไปสู่ทางออกอื่นสำหรับปัญหาการมุงหลังคาโบสถ์ด้วยวัสดุที่ไม่ติดไฟ นั่นคือสิ่งที่พบได้ทั่วPérigordและLa Charenteซึ่งมีโดมหลายชุดที่รองรับด้วยเพนเดนทีฟคลุมเหนือกลางโบสถ์ ลักษณะพิเศษหลักของโดมเหล่านี้คือความจริงที่ว่าซุ้มโค้งที่รองรับโดมเป็นส่วนหนึ่งของเพนเดนทีฟ ซึ่งทั้งหมดสร้างเป็นแนวราบ^{[ 24 ]}

เพดานโค้งที่ตัดกันและโค้งมนของชาวโรมันถูกนำมาใช้ในโบสถ์คริสเตียนยุคแรกในกรุงโรม แต่ใช้เฉพาะเหนือทางเดินซึ่งมีช่วงกว้างค่อนข้างเล็ก แต่ในกรณีเหล่านี้มีแนวโน้มที่จะยกศูนย์กลางของเพดานโค้งเหล่านี้ขึ้น ทำให้มีลักษณะเป็นโดมเล็กน้อย ในทุกกรณีเหล่านี้มีการใช้การจัดศูนย์กลาง^{[ 16 ]}

ตัวอย่างที่ดีอย่างหนึ่งของเพดานโค้งรูปพัดคือเพดานโค้งเหนือบันไดที่นำไปสู่ห้องโถงของChrist Church, Oxfordซึ่งมีรูปทรงกรวยสมบูรณ์แสดงอยู่ตรงกลางโดยมีเสาตรงกลางรองรับ เพดานโค้งนี้ไม่ได้สร้างขึ้นจนกระทั่งปี 1640 เป็นตัวอย่างของฝีมือช่างแบบดั้งเดิม ซึ่งอาจส่งต่อมายัง Oxford อันเป็นผลมาจากการสร้างเพดานโค้งของประตูทางเข้าวิทยาลัยในภายหลัง เพดานโค้งรูปพัดเป็นลักษณะเฉพาะของอังกฤษ ตัวอย่างเดียวที่ใกล้เคียงในฝรั่งเศสคือเพดานโค้งของโบสถ์น้อยLady-chapelที่Caudebec-en-Cauxใน Normandy ^{[ 20 ]}

ในฝรั่งเศส เยอรมนี และสเปน การเพิ่มจำนวนของซี่โครงในศตวรรษที่ 15 นำไปสู่เพดานโค้งประดับตกแต่งหลากหลายรูปแบบ แต่มีการดัดแปลงที่แปลกประหลาดอยู่บ้าง ตัวอย่างเช่น ในเยอรมนี เมื่อตระหนักว่าซี่โครงไม่ใช่ส่วนประกอบโครงสร้างที่จำเป็นอีกต่อไป พวกเขาจึงตัดมันออกอย่างกะทันหัน เหลือไว้เพียงตอ ในขณะที่ฝรั่งเศสกลับให้ความสำคัญกับซี่โครงมากขึ้น โดยทำให้มันลึกขึ้น เจาะลวดลายและห้อยระย้าลงมา และส่วนที่เป็นตาข่ายก็กลายเป็นแผ่นหินแนวนอนที่วางอยู่บนส่วนที่เป็นตาข่ายแนวตั้งที่ประดับตกแต่งเหล่านี้ นี่คือลักษณะเฉพาะของงานศิลปะยุคเรเนสซองส์ที่ยิ่งใหญ่ในฝรั่งเศสและสเปน แต่ในไม่ช้าก็ถูกแทนที่ด้วย อิทธิพล ของอิตาลีเมื่อการก่อสร้างเพดานโค้งกลับไปสู่พื้นผิวทางเรขาคณิตของชาวโรมัน อย่างไรก็ตาม ไม่ได้คำนึงถึงความประหยัดในการจัดวางจุดศูนย์กลางอย่างที่พวกเขาให้ความสำคัญมากนัก โดยเฉพาะอย่างยิ่งในโครงสร้างขนาดเล็ก ในห้องใต้ดินขนาดใหญ่ ซึ่งถือเป็นค่าใช้จ่ายที่สำคัญ สถาปนิกผู้มีชื่อเสียงบางคนภูมิใจที่ได้ละเว้นการใช้โครงสร้างค้ำยัน ดังเช่นในกรณีของโดมของโบสถ์ซานตามาเรียเดลฟิโอเรในฟลอเรนซ์ซึ่งสร้างโดยฟิลิปโป บรูเนลเลสกีและเฟอร์กูสันยกตัวอย่างโดมขนาดใหญ่ของโบสถ์ที่มุสตาในมอลตาซึ่งสร้างขึ้นในช่วงครึ่งแรกของศตวรรษที่ 19 ซึ่งสร้างขึ้นโดยปราศจากโครงสร้างค้ำยันใดๆ ทั้งสิ้น^{[ 25 ]}

หลังคาภายในและภายนอก

มหาวิหารนอเทรอดามแห่งปารีสสไตล์โกธิกถูกสร้างขึ้นโดยมีหลังคาไม้ทรงแหลม (สีแดง) ปกป้องเพดานโค้งก่ออิฐของตัวมหาวิหาร (สีน้ำเงิน)

ภาพตัดขวางของโดมมหาวิหารเซนต์ปอล กรุงลอนดอน

ในขณะที่เพดานโค้งแบบโรมัน เช่น เพดานโค้งของวิหารแพนธีออนและเพดานโค้งแบบไบแซนไทน์ เช่น เพดานโค้งของ วิหารฮาเกียโซเฟียไม่ได้รับการปกป้องจากด้านบน (กล่าวคือ เพดานโค้งจากภายในเหมือนกับที่มองเห็นจากภายนอก) สถาปนิกชาวยุโรปในยุคกลางกลับปกป้องเพดานโค้งของพวกเขาด้วยหลังคาไม้ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เราจะไม่เห็นเพดานโค้งแบบโกธิกจากภายนอก เหตุผลของการพัฒนาเช่นนี้เป็นเพียงสมมติฐาน แต่ข้อเท็จจริงที่ว่า รูปแบบ โบสถ์ ที่มีหลังคา มาก่อนยุคที่เริ่มมีการสร้างเพดานโค้งนั้นเป็นสิ่งที่ควรนำมาพิจารณา กล่าวอีกนัยหนึ่ง ภาพลักษณ์ดั้งเดิมของหลังคาจึงมีความสำคัญเหนือกว่าเพดานโค้ง

การแยกส่วนระหว่างภายในและภายนอก – และระหว่างโครงสร้างและภาพ – ได้รับการพัฒนาอย่างมีจุดประสงค์มากในยุคเรเนสซองส์และหลังจากนั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อโดมได้รับการฟื้นฟูในประเพณีตะวันตกในฐานะองค์ประกอบสำคัญในการออกแบบโบสถ์ ตัวอย่างเช่นโดมของมิเกลันเจโล สำหรับ มหาวิหารเซนต์ปีเตอร์ในนครวาติกัน (ซึ่งได้รับการออกแบบใหม่โดยจาโคโม เดลลา ปอร์ตาระหว่างปี 1585 ถึง 1590) ประกอบด้วยโดมสองโดม ซึ่งมีเพียงโดมด้านในเท่านั้นที่เป็นโครงสร้างบัลตาซาร์ นอยมันน์ใน โบสถ์ บาโรก ของเขา ได้พัฒนาเพดานโค้งปูนปั้นน้ำหนักเบาที่รองรับด้วยโครงไม้^{[ 26 ]}เพดานโค้งเหล่านี้ซึ่งไม่ก่อให้เกิดแรงกดด้านข้าง เหมาะอย่างยิ่งสำหรับภาพจิตรกรรมฝาผนังบนเพดานที่ประณีต ในมหาวิหารเซนต์ปอลในลอนดอน มีระบบเพดานโค้งและเพดานโค้งเทียมที่ซับซ้อนมาก^{[ 27 ]}โดมที่มองเห็นจากภายนอกนั้นไม่ใช่โดมโค้ง แต่เป็นโครงสร้างโครงไม้ที่มีน้ำหนักเบาพอสมควร วางอยู่บน โดมโค้ง แบบแคทเทนารี ที่มองไม่เห็น ซึ่งถือว่าแปลกใหม่มากสำหรับยุคนั้น ทำจากอิฐ ด้านล่างเป็นโดมอีกอันหนึ่ง (โดมที่มองเห็นจากภายใน) แต่ทำจากปูนปลาสเตอร์ที่รองรับด้วยโครงไม้ จากภายใน เราสามารถสันนิษฐานได้อย่างง่ายดายว่าเรากำลังมองดูโดมโค้งเดียวกันกับที่มองเห็นจากภายนอก

ในอินเดียมี "โครงสร้างหลังคาโค้งแบบมีซี่โครงที่แตกต่างออกไป" (เรียกว่า "คาร์บันดี" ในภาษาเปอร์เซีย) สองแบบ ซึ่งไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของการพัฒนาโครงสร้างหลังคาโค้งแบบยุโรป แต่มีลักษณะพิเศษบางประการ แบบหนึ่งรองรับโดมกลางของมัสยิดจุมมะห์ที่บิจาปูร์ (ค.ศ. 1559) และอีกแบบคือโกลกุมบัซ สุสานของมูฮัมหมัด อาดิล ชาห์ที่ 2 (ค.ศ. 1626–1660) ในเมืองเดียวกัน โครงสร้างหลังคาโค้งของสุสานหลังนี้สร้างขึ้นเหนือห้องโถงขนาด 135 ฟุต (41 เมตร) สี่เหลี่ยมจัตุรัส เพื่อรองรับโดมทรงครึ่งวงกลม แทนที่จะวางโครงขวางเฉพาะมุมเท่านั้น ซึ่งจะทำให้ฐานของโดมเป็นรูปแปดเหลี่ยม โครงเหล่านั้นกลับวางขวางไปยังเสาด้านไกลของรูปแปดเหลี่ยมและตัดกัน ทำให้ช่องเปิดตรงกลางลดขนาดเส้นผ่านศูนย์กลางเหลือ 97 ฟุต (30 เมตร) และด้วยน้ำหนักของวัสดุก่อสร้างที่โครงเหล่านั้นรองรับ จึงทำหน้าที่เป็นตัวถ่วงดุลแรงดันของโดม ซึ่งถูกสร้างให้ถอยร่นออกไปเพื่อให้มีทางเดินกว้างประมาณ 12 ฟุต (3.7 เมตร) รอบด้านใน เส้นผ่านศูนย์กลางภายในของโดมคือ 124 ฟุต (38 เมตร) ความสูง 175 ฟุต (53 เมตร) และโครงที่วางจากจุดศูนย์กลางสี่จุดนั้นมีจุดเริ่มต้นที่ระยะ 57 ฟุต (17 เมตร) จากพื้นห้องโถง โดมของมัสยิดจุมมะห์มีขนาดเล็กกว่า โดยอยู่บนฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 70 ฟุต (21 เมตร) ที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 57 ฟุต (17 เมตร) และวางอยู่บนเสาเท่านั้น แทนที่จะใช้ผนังหนามากเหมือนในสุสาน แต่แรงผลักดันใดๆ ที่อาจเกิดขึ้นนั้นถูกหักล้างด้วยการส่งผ่านทางเดินไปยังผนังด้านนอก^{[ 28 ]}

มุการ์นัสเป็นรูปแบบหนึ่งของหลังคาโค้งที่พบได้ทั่วไปในสถาปัตยกรรมอิสลาม

ศตวรรษที่ 20 ได้เห็นความก้าวหน้าอย่างมากใน การออกแบบ คอนกรีตเสริมเหล็กการเกิดขึ้นของโครงสร้างเปลือกและการทำความเข้าใจทางคณิตศาสตร์ที่ดีขึ้นเกี่ยวกับพาราโบลาไฮเปอร์โบลิกทำให้สามารถสร้างเพดานโค้งที่บางและแข็งแรงมากด้วยรูปทรงที่ไม่เคยมีมาก่อน เพดานโค้งในโบสถ์เซนต์ซาวาทำจากกล่องคอนกรีตสำเร็จรูป สร้างขึ้นบนพื้นดินแล้วยกขึ้นไปที่ความสูง 40 เมตรโดยใช้โซ่

โครงสร้างประเภทนี้ที่สร้างขึ้นจากพืชหรือต้นไม้ ไม่ว่าจะเกิดขึ้นเองโดยมนุษย์หรือปลูกขึ้นโดยตั้งใจ จะเรียกว่าอุโมงค์ต้นไม้

• บล็อก, ฟิลิปป์, (2005) ระบบสมดุล การศึกษาโครงสร้างก่ออิฐ
• Severy, Ching, Francis DK (1995). พจนานุกรมภาพสถาปัตยกรรม . บริษัท Van Nostrand Reinhold. หน้า 262. ISBN 0-442-02462-2

Wikimedia Commons มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับVault

• เอกสารเกี่ยวกับซุ้มโค้ง โดม และห้องใต้ดิน บนเว็บไซต์ของสถาบัน Auroville Earth Institute
• ย้อนรอยอดีต: การวิเคราะห์โครงสร้างใต้ดินยุคกลางแบบสามมิติการบรรยายสำหรับสมาคมโบราณคดีแห่งอังกฤษ โดย ดร. อเล็กซ์ บูคานัน, ดร. เจมส์ ฮิลล์สัน และ ดร. นิค เวบบ์