การแปลงเวฟเล็ต

Q: ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับ การแปลงเวฟเล็ต

ในทางคณิตศาสตร์อนุกรมเวฟเล็ตคือการแสดงฟังก์ชันที่หาปริพันธ์กำลังสองได้ ( ค่าจริงหรือ ค่า เชิงซ้อน ) ด้วยอนุกรมออร์โท นอร์มอล

ในทางคณิตศาสตร์อนุกรมเวฟเล็ตคือการแสดงฟังก์ชัน ที่หาปริพันธ์กำลังสองได้ ( ค่าจริงหรือ ค่า เชิงซ้อน ) ด้วยอนุกรม ออร์โท นอร์มอล ที่สร้างขึ้นโดยเวฟเล็ตบทความนี้ให้คำจำกัดความทางคณิตศาสตร์อย่างเป็นทางการของเวฟเล็ตออร์โทนอร์มอลและการแปลงเวฟเล็ตแบบอินทิกรัล^[¹^]^[²^]^[³^]^[⁴^]

คำนิยาม

ฟังก์ชัน $\psi \,\in \,L^{2}(\mathbb {R} )$ เรียกว่าเวฟเล็ตเชิงตั้งฉากปกติ (orthonormal wavelet)หากสามารถใช้กำหนดฐานฮิลเบิร์ต (Hilbert basis ) ได้ นั่นคือระบบเชิงตั้งฉากปกติที่สมบูรณ์สำหรับปริภูมิฮิลเบิร์ตของฟังก์ชันที่หาปริพันธ์กำลังสองได้บนเส้นจำนวนจริง

ฐานฮิลเบิร์ตถูกสร้างขึ้นในฐานะตระกูลของฟังก์ชัน $\{\psi _{jk}:\,j,\,k\,\in \,\mathbb {Z} \}$ โดยอาศัยการแปลและการขยายแบบ ทวิภาค ของ $\psi \,$ , $\psi _{jk}(x)=2^{\frac {j}{2}}\psi \left(2^{j}xk\right),$ สำหรับจำนวนเต็ม $j,\,k\,\in \,\mathbb {Z}$ .

หากภายใต้ผลิตภัณฑ์ภายใน มาตรฐาน บน $L^{2}\left(\mathbb {R} \right)$ , $\langle f,g\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}dx,$ ครอบครัวนี้เป็นแบบออร์โทนอร์มอล ดังนั้น ระบบนี้จึงเป็นแบบออร์โทนอร์มอล: ${\begin{aligned}\langle \psi _{jk},\psi _{lm}\rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{jk}(x){\overline {\psi _{lm}(x)}}dx,\\&=\delta _{jl}\delta _{km},\end{aligned}}$ ที่ไหน $\เดลต้า _{jl}\,$ คือเดลต้าโครเนกเกอร์

ความสมบูรณ์แบบจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อทุกฟังก์ชัน $f\,\in \,L^{2}\left(\mathbb {R} \right)$ อาจขยายออกไปในพื้นฐานได้ดังนี้

f(x)=\sum _{j,k=-\infty }^{\infty }c_{jk}\psi _{jk}(x)

โดยที่การลู่เข้าของอนุกรมนั้นหมายถึงการลู่เข้าในบรรทัดฐานการแสดงผลเช่นนี้ของ $f$ เรียกว่าอนุกรมเวฟเล็ตซึ่งหมายความว่าเวฟเล็ตแบบตั้งฉากปกติ (orthonormal wavelet) นั้นเป็นเวฟเล็ตแบบทวิภาคในตัวเอง (self-dual wavelet )

การแปลงเวฟเล็ตแบบอินทิกรัลคือการแปลงแบบอินทิกรัลซึ่งนิยามไว้ดังนี้ $\left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {|a|}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {\psi \left({\frac {xb}{a}}\right)}}f(x)dx\,$ สัมประสิทธิ์เวฟเล็ต $c_{jk}$ จากนั้นจึงมอบให้โดย $c_{jk}=\left[W_{\psi }f\right]\left(2^{-j},k2^{-j}\right)$

ที่นี่, $a=2^{-j}$ เรียกว่าการขยายแบบไบนารีหรือการขยายแบบไดอะดิกและ $b=k2^{-j}$ คือตำแหน่งทวิภาคหรือตำแหน่งคู่

หลักการ

แนวคิดพื้นฐานของการแปลงเวฟเล็ตคือ การแปลงนั้นควรอนุญาตให้มีการเปลี่ยนแปลงเฉพาะในช่วงเวลาเท่านั้น แต่ไม่รวมถึงรูปร่าง ซึ่งเป็นการกำหนดข้อจำกัดในการเลือกฟังก์ชันพื้นฐานที่เหมาะสม การเปลี่ยนแปลงในช่วงเวลาคาดว่าจะต้องสอดคล้องกับความถี่ในการวิเคราะห์ที่สอดคล้องกันของฟังก์ชันพื้นฐาน โดยอิงตามหลักการความไม่แน่นอนของการประมวลผลสัญญาณ

\Delta t\Delta \omega \geq {\frac {1}{2}}

ที่ไหน $t$ แสดงถึงเวลาและ $\omega$ ความถี่เชิงมุม ( $\omega =2\pi f$ , ที่ไหน $f$ ( ความถี่ปกติ )

ยิ่งต้องการความละเอียดเชิงเวลาสูงเท่าไร ความละเอียดเชิงความถี่ก็ยิ่งต้องต่ำลงเท่านั้น ยิ่งเลือกขอบเขตของหน้าต่าง การวิเคราะห์กว้างขึ้น เท่าไร ค่าของ ก็ยิ่งมากขึ้นเท่านั้น $\Delta t$ .

เมื่อไร $\Delta t$ มีขนาดใหญ่

การแก้ไขปัญหาเวลาที่ไม่ดี
ความละเอียดความถี่ที่ดี
ความถี่ต่ำ ปัจจัยการขยายขนาดใหญ่

เมื่อไร $\Delta t$ เล็ก

การแก้ไขปัญหาเวลาที่ดี
ความละเอียดความถี่ไม่ดี
ความถี่สูง ปัจจัยการปรับขนาดเล็ก

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ฟังก์ชันพื้นฐาน $\psi$ สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นปฏิกิริยาตอบสนองแบบอิมพัลส์ของระบบที่มีฟังก์ชันดังกล่าว $x(t)$ สัญญาณได้รับการกรองแล้ว สัญญาณที่แปลงแล้วให้ข้อมูลเกี่ยวกับเวลาและความถี่ ดังนั้น การแปลงเวฟเล็ตจึงมีข้อมูลคล้ายกับการแปลงฟูริเยร์แบบช่วงเวลาสั้นแต่มีคุณสมบัติพิเศษเพิ่มเติมของเวฟเล็ต ซึ่งปรากฏให้เห็นในความละเอียดของเวลาที่ความถี่วิเคราะห์ที่สูงขึ้นของฟังก์ชันพื้นฐาน ความแตกต่างของความละเอียดของเวลาที่ความถี่ที่เพิ่มขึ้นสำหรับการแปลงฟูริเยร์ และการแปลงเวฟเล็ตแสดงไว้ด้านล่าง อย่างไรก็ตาม โปรดสังเกตว่าความละเอียดของความถี่ลดลงเมื่อความถี่เพิ่มขึ้น ในขณะที่ความละเอียดของเวลาเพิ่มขึ้น ผลที่ตามมาของ หลักการความไม่แน่นอนของฟูริเยร์นี้ไม่ได้แสดงอย่างถูกต้องในรูปภาพ

นี่แสดงให้เห็นว่าการแปลงเวฟเล็ตนั้นดีในการแยกความละเอียดเชิงเวลาของความถี่สูง ในขณะที่สำหรับฟังก์ชันที่เปลี่ยนแปลงช้าๆ ความละเอียดเชิงความถี่นั้นยอดเยี่ยมมาก

อีกตัวอย่างหนึ่ง: การวิเคราะห์สัญญาณไซน์สามสัญญาณที่ซ้อนทับกัน $y(t)\;=\;\sin(2\pi f_{0}t)\;+\;\sin(4\pi f_{0}t)\;+\;\sin(8\pi f_{0}t)$ โดยใช้ STFT และการแปลงเวฟเล็ต

การบีบอัดเวฟเล็ต

การบีบอัดแบบเวฟเล็ตเป็นรูปแบบหนึ่งของการบีบอัดข้อมูลที่เหมาะสำหรับการบีบอัดภาพ (บางครั้งก็ใช้บีบอัดวิดีโอและเสียง ด้วย ) ตัวอย่างที่โดดเด่น ได้แก่JPEG 2000 , DjVuและECWสำหรับภาพนิ่ง, JPEG XS , CineForm และ Diracของ BBC เป้าหมายคือการจัดเก็บข้อมูลภาพในพื้นที่น้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ในไฟล์การบีบอัดแบบเวฟเล็ตอาจเป็นแบบไม่สูญเสียข้อมูลหรือแบบสูญเสียข้อมูลก็ได้^{[ 5 ]}

วิธี

ขั้นแรกจะใช้การแปลงเวฟเล็ต ซึ่งจะสร้างค่าสัมประสิทธิ์ จำนวน เท่ากับจำนวนพิกเซลในภาพ (กล่าวคือ ยังไม่มีการบีบอัดเนื่องจากเป็นการแปลงเท่านั้น) จากนั้นจึงสามารถบีบอัดค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้ได้ง่ายขึ้น เนื่องจากข้อมูลถูกกระจุกตัวทางสถิติในค่าสัมประสิทธิ์เพียงไม่กี่ค่า หลักการนี้เรียกว่าการเข้ารหัสแบบแปลง (transform coding ) หลังจากนั้น ค่าสัมประสิทธิ์จะถูกหา ค่าควอนไทซ์ และค่าควอนไทซ์เหล่านั้นจะ ถูกเข้ารหัสแบบเอนโทรปี (entropy encoded)และ/หรือการเข้ารหัสแบบความยาวรัน (run length encoded )

แอปพลิเคชันการบีบอัดเวฟเล็ตแบบ 1 มิติและ 2 มิติบางส่วนใช้เทคนิคที่เรียกว่า "รอยเท้าเวฟเล็ต" ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}

การประเมิน

ข้อกำหนดสำหรับการบีบอัดภาพ

สำหรับภาพธรรมชาติส่วนใหญ่ ความหนาแน่นสเปกตรัมของความถี่ต่ำจะสูงกว่า^{[ 8 ]}ส่งผลให้ข้อมูลของสัญญาณความถี่ต่ำ (สัญญาณอ้างอิง) โดยทั่วไปจะถูกเก็บรักษาไว้ ในขณะที่ข้อมูลในสัญญาณรายละเอียดจะถูกทิ้งไป จากมุมมองของการบีบอัดและการสร้างภาพใหม่ เวฟเล็ตควรเป็นไปตามเกณฑ์ต่อไปนี้ในขณะที่ทำการบีบอัดภาพ:

ความสามารถในการแปลงภาพต้นฉบับให้เป็นสัญญาณอ้างอิงได้มากขึ้น
การสร้างภาพใหม่ที่มีความแม่นยำสูงสุดโดยอิงจากสัญญาณอ้างอิง
ไม่ควรทำให้เกิดสิ่งผิดปกติในภาพที่สร้างขึ้นใหม่จากสัญญาณอ้างอิงเพียงอย่างเดียว

ข้อกำหนดสำหรับความแปรปรวนของการเปลี่ยนกะและพฤติกรรมการสั่น

ระบบการบีบอัดภาพด้วยเวฟเล็ตเกี่ยวข้องกับตัวกรองและการลดจำนวนพิกเซล ดังนั้นจึงสามารถอธิบายได้ว่าเป็นระบบการเลื่อนเชิงเส้นแบบแปรผัน แผนภาพการแปลงเวฟเล็ตทั่วไปแสดงอยู่ด้านล่าง:

ระบบการแปลงประกอบด้วยตัวกรองวิเคราะห์สองตัว (ตัวกรองความถี่ต่ำ) $h_{0}(n)$ และตัวกรองความถี่สูง $h_{1}(n)$ ), กระบวนการลดจำนวน, กระบวนการเพิ่มจำนวน และตัวกรองสังเคราะห์สองตัว ( $g_{0}(n)$ และ $g_{1}(n)$ ระบบการบีบอัดและการสร้างภาพใหม่โดยทั่วไปเกี่ยวข้องกับส่วนประกอบความถี่ต่ำ ซึ่งก็คือตัวกรองการวิเคราะห์ $h_{0}(n)$ สำหรับการบีบอัดภาพและตัวกรองการสังเคราะห์ $g_{0}(n)$ เพื่อการสร้างใหม่ ในการประเมินระบบดังกล่าว เราสามารถป้อนสัญญาณกระตุ้นเข้าไปได้ $\delta (n-n_{i})$ และสังเกตการสร้างใหม่ของมัน $h(n-n_{i})$ คลื่นเวฟเล็ตที่เหมาะสมที่สุดคือคลื่นเวฟเล็ตที่ทำให้เกิดความแปรปรวนของการเลื่อนและไซด์โลบในระดับต่ำที่สุด $h(n-n_{i})$ แม้ว่าเวฟเล็ตที่มีความแปรปรวนของการเลื่อนที่เข้มงวดจะไม่สมจริง แต่ก็สามารถเลือกเวฟเล็ตที่มีความแปรปรวนของการเลื่อนเพียงเล็กน้อยได้ ตัวอย่างเช่น เราสามารถเปรียบเทียบความแปรปรวนของการเลื่อนของตัวกรองสองตัวได้: ^{[ 9 ]}

ตัวกรองไบออร์โทโกนอลสำหรับการบีบอัดภาพเวฟเล็ต
		ความยาว	สัมประสิทธิ์ตัวกรอง	ความสม่ำเสมอ
ตัวกรองเวฟเล็ต 1	เอช0	9	.852699, .377402, -.110624, -.023849, .037828	1.068
ตัวกรองเวฟเล็ต 1	จีโอ	7	.788486, .418092, -.040689, -.064539	1.701
ตัวกรองเวฟเล็ต 2	เอช0	6	.788486, .047699, -.129078	0.701
ตัวกรองเวฟเล็ต 2	จีโอ	10	.615051, .133389, -.067237, .006989, .018914	2.068

จากการสังเกตการตอบสนองแบบอิมพัลส์ของฟิลเตอร์ทั้งสอง เราสามารถสรุปได้ว่าฟิลเตอร์ตัวที่สองมีความไวต่อตำแหน่งอินพุตน้อยกว่า (กล่าวคือ มีการเปลี่ยนแปลงตำแหน่งน้อยกว่า)

อีกประเด็นสำคัญสำหรับการบีบอัดและสร้างภาพใหม่คือพฤติกรรมการสั่นของระบบ ซึ่งอาจนำไปสู่สิ่งแปลกปลอมที่ไม่พึงประสงค์อย่างรุนแรงในภาพที่สร้างขึ้นใหม่ เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ดังกล่าว ตัวกรองเวฟเล็ตควรมีอัตราส่วนของยอดคลื่นต่อส่วนข้างเคียงที่สูง

จนถึงตอนนี้เราได้พูดคุยเกี่ยวกับการแปลงมิติเดียวของระบบการบีบอัดภาพ ปัญหานี้สามารถขยายไปสู่สองมิติได้ ในขณะที่มีการเสนอคำศัพท์ทั่วไปมากขึ้น - การแปลงหลายสเกลที่เลื่อนได้ - ^{[ 10 ]}

การหาอนุพันธ์ของการตอบสนองแบบอิมพัลส์

ดังที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ การตอบสนองแบบอิมพัลส์สามารถใช้ในการประเมินระบบการบีบอัด/การสร้างภาพใหม่ได้

สำหรับลำดับอินพุต $x(n)=\delta (n-n_{i})$ สัญญาณอ้างอิง $r_{1}(n)$ หลังจากการสลายตัวระดับหนึ่งแล้ว $x(n)*h_{0}(n)$ ถูกทำลายล้างด้วยปัจจัยสองเท่า ในขณะที่ $h_{0}(n)$ เป็นตัวกรองความถี่ต่ำ ในทำนองเดียวกัน สัญญาณอ้างอิงถัดไป $r_{2}(n)$ ได้รับโดย $r_{1}(n)*h_{0}(n)$ ผ่านกระบวนการลดจำนวนลงครึ่งหนึ่ง หลังจากผ่านกระบวนการแยกส่วน (และลดจำนวน) ระดับ L แล้ว ผลลัพธ์การวิเคราะห์จะได้รับโดยการคงไว้หนึ่งในทุกๆ ส่วน $2^{L}$ ตัวอย่าง: $h_{A}^{(L)}(n,n_{i})=f_{h0}^{(L)}(n-n_{i}/2^{L})$ .

ในทางกลับกัน เพื่อสร้างสัญญาณ x(n) ขึ้นใหม่ เราสามารถพิจารณาสัญญาณอ้างอิงได้ $r_{L}(n)=\เดลต้า (n-n_{j})$ หากรายละเอียดบ่งชี้ $d_{i}(n)$ มีค่าเท่ากับศูนย์สำหรับ $1\leq i\leq L$ จากนั้นสัญญาณอ้างอิงในขั้นตอนก่อนหน้า ( $L-1$ เวที) คือ $r_{L-1}(n)=g_{0}(n-2n_{j})$ ซึ่งได้มาจากการประมาณค่าในช่วง $r_{L}(n)$ และพันกันยุ่งเหยิง $g_{0}(n)$ ในทำนองเดียวกัน ขั้นตอนนี้จะถูกทำซ้ำเพื่อให้ได้สัญญาณอ้างอิง $r(n)$ บนเวที $L-2,L-3,....,1$ หลังจากทำการวนซ้ำ L ครั้ง ระบบจะคำนวณการตอบสนองแบบอิมพัลส์สังเคราะห์: $h_{s}^{(L)}(n,n_{i})=f_{g0}^{(L)}(n/2^{L}-n_{j})$ ซึ่งเกี่ยวข้องกับสัญญาณอ้างอิง $r_{L}(n)$ และสัญญาณที่สร้างขึ้นใหม่

เพื่อให้ได้ระบบการวิเคราะห์/สังเคราะห์ระดับ L โดยรวมนั้น ผลตอบสนองจากการวิเคราะห์และการสังเคราะห์จะถูกรวมเข้าด้วยกันดังต่อไปนี้:

$h_{AS}^{(L)}(n,n_{i})=\sum _{k}f_{h0}^{(L)}(k-n_{i}/2^{L})f_{g0}^{(L)}(n/2^{L}-k)$ .

สุดท้ายนี้ อัตราส่วนระหว่างจุดสูงสุดกับไซด์โลบแรก และค่าเฉลี่ยของไซด์โลบที่สองของการตอบสนองแรงกระตุ้นโดยรวม $h_{AS}^{(L)}(n,n_{i})$ สามารถใช้เพื่อประเมินประสิทธิภาพการบีบอัดภาพด้วยเวฟเล็ตได้

การใช้การแปลงเวฟเล็ต (wavelet transform) ซึ่งเป็นวิธีการบีบอัดข้อมูลแบบเวฟเล็ต (wavelet compression) นั้นเหมาะสมสำหรับการแสดงสัญญาณชั่วคราวเช่น เสียงกระทบในไฟล์เสียง หรือส่วนประกอบความถี่สูงในภาพสองมิติ เช่น ภาพดวงดาวบนท้องฟ้ายามค่ำคืน หมายความว่าองค์ประกอบชั่วคราวของสัญญาณข้อมูลสามารถแสดงได้ด้วยปริมาณข้อมูลที่น้อยกว่าเมื่อเทียบกับการใช้การแปลงแบบอื่น เช่นการแปลงโคไซน์แบบไม่ต่อเนื่อง (discrete cosine transform ) ที่ใช้กัน อย่างแพร่หลายมากกว่า

ข้อจำกัด

แม้ว่าการแปลงเวฟเล็ตจะมีข้อดีทางทฤษฎี แต่ข้อจำกัดในทางปฏิบัติทำให้การบีบอัดเวฟเล็ตถูกจำกัดไว้เฉพาะการวิเคราะห์การเปลี่ยนแปลงเฉพาะที่และสัญญาณชั่วคราวเท่านั้น แม้ว่าจะมีการวิจัยมานานหลายทศวรรษ ระบบการบีบอัดแบบเวฟเล็ตสำหรับมัลติมีเดียทั่วไป เช่น เสียงและวิดีโอ ก็ยังไม่สามารถเทียบเท่าประสิทธิภาพและคุณภาพการรับรู้ของระบบที่ใช้การแปลงโคไซน์แบบไม่ต่อเนื่อง ในปัจจุบันได้อย่างสม่ำเสมอ ^{[ 11 ]}

สำหรับข้อมูลแบบหนึ่งมิติ เช่น เสียงหรือ ECG เวฟเล็ตมีความโดดเด่นในการแสดงและบีบอัดสัญญาณชั่วคราว ซึ่งเป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นอย่างกะทันหันและแยกเดี่ยว เช่น เสียงตีกลองในดนตรี หรือยอดแหลมในจังหวะการเต้นของหัวใจ ตัวอย่างเช่นการแปลงเวฟเล็ตแบบไม่ต่อเนื่องได้รับการประยุกต์ใช้สำเร็จในการบีบอัดสัญญาณคลื่นไฟฟ้าหัวใจ (ECG) ^{[ 12 ]}อย่างไรก็ตาม สำหรับสัญญาณที่ราบเรียบและเป็นคาบ ซึ่งประกอบขึ้นเป็นส่วนใหญ่ของเสียงทั่วไปการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกในโดเมนความถี่ด้วยการแปลงที่เกี่ยวข้องกับฟูริเยร์จะให้การบีบอัดและคุณภาพเสียง ที่ดีกว่า การบีบอัดข้อมูลที่มีทั้งลักษณะชั่วคราวและเป็นคาบอาจทำได้ด้วยเทคนิคแบบไฮบริดที่ใช้เวฟเล็ตควบคู่ไปกับการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกแบบดั้งเดิม ตัวอย่างเช่นตัวแปลงสัญญาณเสียง Vorbis ใช้การแปลงโคไซน์แบบไม่ต่อเนื่องที่ดัดแปลง เป็นหลัก ในการบีบอัดเสียง (ซึ่งโดยทั่วไปจะราบเรียบและเป็นคาบ) อย่างไรก็ตาม อนุญาตให้เพิ่มธนาคารตัวกรอง เวฟเล็ตแบบไฮบริด เพื่อการสร้างสัญญาณชั่วคราวที่ดีขึ้น^[¹³^]

สำหรับข้อมูลที่มีมิติสูง การบีบอัดเวฟเล็ตต้องเผชิญกับความท้าทายอย่างมาก ตัวอย่างเช่น ในวิดีโอ เทคนิคการบีบอัดสมัยใหม่ เช่นการเข้ารหัสภายในและการชดเชยการเคลื่อนไหว (การคาดการณ์ส่วนต่างๆ ของภาพโดยอิงจากสิ่งที่อยู่ข้างๆ ในเชิงพื้นที่และเวลา) และขนาดบล็อกแบบผสมและไดนามิก จะมีความซับซ้อนอย่างมากเมื่อใช้เวฟเล็ตเนื่องจากลักษณะการทับซ้อนกัน ความซับซ้อนนี้ส่งผลให้ต้องใช้พลังการประมวลผลมากขึ้นและความเร็วลดลง ทำให้ไม่เหมาะสำหรับการใช้งานอย่างแพร่หลาย นอกจากนี้ แม้ว่าเวฟเล็ตอาจทำได้ดีในการวัดแบบดั้งเดิม เช่นPSNRแต่บล็อก DCT สร้างการรับรู้ถึงความคมชัดที่เวฟเล็ตมักขาดไป ทำให้ต้องใช้บิตเรตที่สูงขึ้นเพื่อให้ได้คุณภาพเชิงอัตวิสัยที่ใกล้เคียงกัน^{[ 11 ]}

การเปรียบเทียบกับการแปลงฟูริเยร์และการวิเคราะห์เวลา-ความถี่

แปลง	การเป็นตัวแทน	ป้อนข้อมูล
การแปลงฟูริเยร์	${\hat {X}}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-i2\pi ft}\,dt$	$f$ : ความถี่
การวิเคราะห์เวลา-ความถี่	$X(t,f)$	$t$ เวลา; $f$ ความถี่
การแปลงเวฟเล็ต	$X(a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {\Psi \left({\frac {t-b}{a}}\right)}}x(t)\,dt$	$a$ การปรับขนาด ; $b$ ปัจจัยการเลื่อนเวลา

เวฟเล็ตมีข้อดีเล็กน้อยเหนือกว่าการแปลงฟูริเยร์ในการลดการคำนวณเมื่อตรวจสอบความถี่เฉพาะ อย่างไรก็ตาม เวฟเล็ตมักไม่ไวต่อการเปลี่ยนแปลงมากนัก และในความเป็นจริงเวฟเล็ต Morlet ทั่วไปนั้น เหมือนกันทางคณิตศาสตร์กับการแปลงฟูริเยร์แบบช่วงเวลาสั้นโดยใช้ฟังก์ชันหน้าต่างเกาส์เซียน^{[ 14 ]}ข้อยกเว้นคือเมื่อค้นหาสัญญาณที่มีรูปร่างไม่เป็นไซน์ที่ทราบ (เช่น การเต้นของหัวใจ) ในกรณีนั้น การใช้เวฟเล็ตที่ตรงกันอาจมีประสิทธิภาพเหนือกว่าการวิเคราะห์ STFT/Morlet มาตรฐาน^{[ 15 ]}

การประยุกต์ใช้งานในทางปฏิบัติอื่นๆ

การแปลงเวฟเล็ตสามารถให้ความถี่ของสัญญาณและเวลาที่เกี่ยวข้องกับความถี่เหล่านั้นแก่เราได้ ทำให้สะดวกมากสำหรับการนำไปใช้ในหลายสาขา ตัวอย่างเช่น การประมวลผลสัญญาณความเร่งสำหรับการวิเคราะห์การเดิน^{[ 16 ]}สำหรับการตรวจจับความผิดพลาด^{[ 17 ]}สำหรับการวิเคราะห์การเคลื่อนตัวตามฤดูกาลของดินถล่ม^{[ 18 ]}สำหรับการออกแบบเครื่องกระตุ้นหัวใจพลังงานต่ำ และในการสื่อสารไร้สายอัลตร้าไวด์แบนด์ (UWB) ^{[ 19 ]}^{[ 20 ]}^{[ 21 ]}

การแบ่งส่วนย่อยของ $c-\tau$ แกนได้ใช้การแบ่งช่วงความถี่และเวลาดังต่อไปนี้:
${\begin{aligned}c_{n}&=c_{0}^{n}\\\tau _{m}&=m\cdot T\cdot c_{0}^{n}\end{aligned}}$
ส่งผลให้ได้เวฟเล็ตในรูปแบบดังกล่าว สูตรแบบไม่ต่อเนื่องสำหรับเวฟเล็ตพื้นฐาน:
$\Psi (k,n,m)={\frac {1}{\sqrt {c_{0}^{n}}}}\cdot \Psi \left[{\frac {k-mc_{0}^{n}}{c_{0}^{n}}}T\right]={\frac {1}{\sqrt {c_{0}^{n}}}}\cdot \Psi \left[\left({\frac {k}{c_{0}^{n}}}-m\right)T\right]$
สามารถใช้เวฟเล็ตแบบไม่ต่อเนื่องดังกล่าวสำหรับการแปลงได้:
$Y_{DW}(n,m)={\frac {1}{\sqrt {c_{0}^{n}}}}\cdot \sum _{k=0}^{K-1}y(k)\cdot \Psi \left[\left({\frac {k}{c_{0}^{n}}}-m\right)T\right]$
การนำไปใช้โดยใช้ FFT (การแปลงฟูริเยร์แบบเร็ว) ดังที่เห็นได้จากการแสดงผลด้วยการแปลงเวฟเล็ต (แสดงด้านล่าง)
$Y_{W}(c,\tau )={\frac {1}{\sqrt {c}}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }y(t)\cdot \Psi \left({\frac {t-\tau }{c}}\right)\,dt$
ที่ไหน $c$ คือตัวประกอบการปรับขนาด $\tau$ แสดงถึงปัจจัยการเลื่อนเวลา
และดังที่ได้กล่าวไปแล้วในบริบทนี้ การแปลงเวฟเล็ตนั้นสอดคล้องกับการสังเคราะห์ฟังก์ชัน $y(t)$ และฟังก์ชันเวฟเล็ต การคอนโวลูชันสามารถนำไปใช้ได้โดยการคูณในโดเมนความถี่ ด้วยวิธีนี้ วิธีการนำไปใช้ดังต่อไปนี้จึงได้ผลลัพธ์ดังนี้:
- การแปลงฟูริเยร์ของสัญญาณ $y(k)$ ด้วย FFT
- การเลือกตัวประกอบการปรับขนาดแบบไม่ต่อเนื่อง $c_{n}$
- การปรับขนาดฟังก์ชันฐานเวฟเล็ตด้วยตัวประกอบนี้ $c_{n}$ และ FFT ต่อมาของฟังก์ชันนี้
- การคูณด้วยสัญญาณที่แปลงแล้ว YFFT ของขั้นตอนแรก
- การแปลงผกผันของผลิตภัณฑ์ไปสู่โดเมนเวลาจะได้ผลลัพธ์ดังนี้ $Y_{W}(c,\tau )$ สำหรับค่าที่ไม่ต่อเนื่องที่แตกต่างกันของ $\tau$ และค่าที่ไม่ต่อเนื่องของ $c_{n}$
- กลับไปที่ขั้นตอนที่สอง จนกว่าค่าการปรับขนาดแบบไม่ต่อเนื่องทั้งหมดสำหรับ $c_{n}$ ได้รับการประมวลผล
มีเวฟเล็ตทรานส์ฟอร์มหลายประเภทที่ใช้เพื่อวัตถุประสงค์เฉพาะต่างๆ ดูรายการทรานส์ฟอร์มที่เกี่ยวข้องกับเวฟเล็ต ทั้งหมดได้ที่นี่ แต่ทรานส์ฟอร์มที่ใช้กันทั่วไปมีดังต่อไปนี้: เวฟเล็ ตแบบหมวกเม็กซิกัน (Mexican hat wavelet) , เวฟเล็ตแบบฮาร์ (Haar Wavelet) , เวฟเล็ตแบบเดาบีชีส์ (Daubechies wavelet ) , เวฟเล็ตแบบสามเหลี่ยม (Triangular wavelet)
การตรวจจับข้อผิดพลาดในระบบไฟฟ้า^{[ 22 ]}
การประมาณค่าทางสถิติแบบปรับตัวตามท้องถิ่นของฟังก์ชันที่มีความเรียบแตกต่างกันอย่างมากในโดเมน หรือโดยเฉพาะอย่างยิ่ง การประมาณค่าฟังก์ชันที่เบาบางในโดเมนเวฟเล็ต^{[ 23 ]}

เวฟเล็ตเชิงสาเหตุเวลา

สำหรับการประมวลผลสัญญาณตามเวลาแบบเรียลไทม์ จำเป็นอย่างยิ่งที่ตัวกรองเวฟเล็ตจะไม่เข้าถึงค่าสัญญาณจากอนาคต และต้องได้ค่าความหน่วงเวลาน้อยที่สุด การแสดงเวฟเล็ตแบบมีเหตุผลตามเวลาได้รับการพัฒนาโดย Szu et al ^{[ 24 ]}และ Lindeberg ^{[ 25 ]}โดยวิธีหลังยังเกี่ยวข้องกับการใช้งานแบบเรียกซ้ำตามเวลาที่มีประสิทธิภาพด้านหน่วยความจำด้วย

การแปลงซิงโครสควีซ

การแปลง Synchro-squeezed สามารถเพิ่มความละเอียดเชิงเวลาและความถี่ของการแสดงความถี่เวลาที่ได้จากการแปลงเวฟเล็ตแบบดั้งเดิมได้อย่างมีนัยสำคัญ^{[ 26 ]}^{[ 27 ]}

ดูเพิ่มเติม

QMF แบบทวินาม (หรือที่รู้จักกันในชื่อเวฟเล็ต Daubechies )
ฐานโคอิฟเล็ตแบบไบออร์โทโกนอลเกือบสมบูรณ์ซึ่งแสดงให้เห็นว่าเวฟเล็ตสำหรับการบีบอัดภาพสามารถเป็นแบบโคอิฟเล็ตเกือบสมบูรณ์ (เกือบตั้งฉาก) ได้เช่นกัน
การแปลงเสียงร้องของนก
การแปลงเวฟเล็ตเชิงซ้อน
การแปลงค่าคงที่ Q
การแปลงเวฟเล็ตต่อเนื่อง
เวฟเล็ต Daubechies
การแปลงเวฟเล็ตแบบไม่ต่อเนื่อง
รูปแบบไฟล์ DjVuใช้อัลกอริธึม IW44 ที่ใช้เวฟเล็ตในการบีบอัดภาพ
เวฟเล็ตคู่
ECW เป็นรูปแบบภาพ เชิงพื้นที่แบบเวฟเล็ตที่ออกแบบมาเพื่อความเร็วและประสิทธิภาพในการประมวลผล
เวฟเล็ตกาบอร์
เวฟเล็ตฮาร์
JPEG 2000มาตรฐานการบีบอัดภาพแบบใช้เวฟเล็ต
การวิเคราะห์สเปกตรัมกำลังสองน้อยที่สุด
มอร์เล็ตเวฟเล็ต
การวิเคราะห์หลายระดับความละเอียด
MrSIDคือรูปแบบภาพที่พัฒนาขึ้นจากงานวิจัยด้านการบีบอัดข้อมูลแบบเวฟเล็ตดั้งเดิมที่ห้องปฏิบัติการแห่งชาติลอสอะลาโมส (LANL)
การแปลง S
สเกลโลแกรม (Scaleograms) คือ สเปกโตรแกรมชนิดหนึ่งที่สร้างขึ้นโดยใช้เวฟเล็ตแทนการแปลงฟูริเยร์แบบช่วงเวลาสั้น
การแบ่งพาร์ติชันชุดในโครงสร้างต้นไม้แบบลำดับชั้น
การแปลงฟูริเยร์แบบช่วงเวลาสั้น
การแปลงเวฟเล็ตแบบอยู่กับที่
การแสดงผลแบบเวลา-ความถี่
เวฟเล็ต

ลิงก์ภายนอก

Amara Graps (มิถุนายน 1995). "บทนำเกี่ยวกับเวฟเล็ต" . IEEE Computational Science and Engineering . 2 (2): 50– 61. doi : 10.1109/99.388960 .
Robi Polikar (12 มกราคม 2544). "คู่มือการใช้เวฟเล็ต" .
บทนำโดยย่อเกี่ยวกับเวฟเล็ตโดย เรเน่ พุชชิงเกอร์

[

[

[

[

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]