ในทางคณิตศาสตร์ฐาน(หรือฐานหลายฐาน ; พหูพจน์ : ฐานหลายฐาน ) สำหรับโทโพโลยีของปริภูมิโทโพโลยีคือตระกูลของเซตย่อยเปิดของปริภูมิโทโพโลยี โดยที่เซตเปิดทุกเซตในโทโพโลยีจะเท่ากับผลรวม ของ ตระกูลย่อยบาง ตระกูล ของ เซตย่อยเปิดนั้น ตัวอย่างเช่น เซตของช่วงเปิด ทั้งหมด ในเส้นจำนวนจริงเป็นฐานสำหรับโทโพโลยีแบบยุคลิดบน ปริภูมิโทโพโลยี เพราะช่วงเปิดทุกช่วงเป็นเซตเปิด และเซตย่อยเปิดทุกเซตของ เซตย่อยเปิด สามารถเขียนได้เป็นผลรวมของตระกูลช่วงเปิดบางตระกูล${\displaystyle \tau }$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

ฐานเป็นสิ่งที่พบเห็นได้ทั่วไปในโทโพโลยี เซตในฐานสำหรับโทโพโลยี ซึ่งเรียกว่าเซตเปิดพื้นฐานมักจะอธิบายและใช้งานได้ง่ายกว่าเซตเปิดทั่วไป^{[ 1 ]}นิยามทางโทโพโลยีที่สำคัญหลายอย่าง เช่นความต่อเนื่องและการลู่เข้าสามารถตรวจสอบได้โดยใช้เพียงเซตเปิดพื้นฐานแทนที่จะใช้เซตเปิดทั่วไป โทโพโลยีบางอย่างมีฐานของเซตเปิดที่มีคุณสมบัติที่มีประโยชน์เฉพาะ ซึ่งอาจทำให้การตรวจสอบนิยามทางโทโพโลยีดังกล่าวทำได้ง่ายขึ้น

ไม่ใช่ว่าตระกูลของเซตย่อยทั้งหมดของเซตหนึ่งๆ จะเป็นฐานสำหรับโทโพโลยีบนเซตนั้นได้ภายใต้เงื่อนไขบางประการที่อธิบายไว้ด้านล่าง ตระกูลของเซตย่อยจะเป็นฐานสำหรับโทโพโลยี (ที่ไม่ซ้ำกัน) บนเซตนั้นซึ่งได้มาจากการรวมกันที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตระกูลย่อย ตระกูลของเซตเหล่านี้มักถูกใช้ในการกำหนดโทโพโลยี แนวคิดที่อ่อนกว่าที่เกี่ยวข้องกับฐานคือฐานย่อยสำหรับโทโพโลยี ฐานสำหรับโทโพโลยียังมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับฐานของย่านใกล้เคียงด้วย${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

เมื่อกำหนดปริภูมิเชิงทอพอโลยีฐาน [ ^{2 ] (}หรือฐาน^{[ 3 ]} ) สำหรับทอพอโลยี (เรียกอีกอย่างว่าฐานสำหรับถ้าเข้าใจทอพอโลยี) คือตระกูลของเซตเปิดที่เซตเปิดทุกเซตของทอพอโลยีสามารถแสดงเป็นผลรวมของตระกูลย่อยบางตระกูลของ[ ^{หมายเหตุ 1 ]} สมาชิกของเรียกว่าเซตเปิดพื้นฐานหรือเทียบเท่ากัน ตระกูลของเซตย่อยของเป็นฐานสำหรับทอพอโลยีก็ต่อเมื่อและสำหรับทุกเซตเปิดในและจุดจะมีเซตเปิดพื้นฐานบางเซตที่${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \tau }$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \tau }$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle x\in B\subseteq U}$

ตัวอย่างเช่น กลุ่มของช่วงเปิด ทั้งหมด ในเส้นจำนวนจริงเป็นฐานสำหรับโทโพโลยีมาตรฐานบนจำนวนจริง โดยทั่วไปแล้ว ในปริภูมิเมตริกกลุ่มของลูกบอลเปิดทั้งหมดรอบจุดต่างๆเป็นฐานสำหรับโทโพโลยี${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

โดยทั่วไปแล้ว ปริภูมิเชิงทอพอโลยีสามารถมีฐานได้หลายฐาน ทอพอโลยีทั้งหมดเป็นฐานสำหรับตัวมันเองเสมอ (นั่นคือเป็นฐานสำหรับ) สำหรับเส้นจำนวนจริง เซตของช่วงเปิดทั้งหมดเป็นฐานสำหรับทอพอโลยี เช่นเดียวกับเซตของช่วงเปิดทั้งหมดที่มีจุดปลายเป็นจำนวนตรรกยะ หรือเซตของช่วงเปิดทั้งหมดที่มีจุดปลายเป็นจำนวนอตรรกยะ เป็นต้น โปรดทราบว่าฐานสองฐานที่แตกต่างกันไม่จำเป็นต้องมีเซตเปิดพื้นฐานร่วมกันคุณสมบัติเชิงทอพอ โลยีอย่างหนึ่ง ของปริภูมิคือจำนวนสมาชิก ขั้นต่ำ ของฐานสำหรับทอพอโลยีของมัน เรียกว่าน้ำหนักของและใช้สัญลักษณ์จากตัวอย่างข้างต้น เส้นจำนวนจริงมีน้ำหนักที่นับได้${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle w(X)}$

ถ้าเป็นฐานสำหรับโทโพโลยีของปริภูมิมันจะสอดคล้องกับคุณสมบัติต่อไปนี้: ^{[ 4 ]}${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$

(B1) องค์ประกอบของการปกคลุมกล่าวคือ ทุกจุดเป็นส่วนหนึ่งขององค์ประกอบบางอย่าง${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

(B2) สำหรับทุกจุดและทุกจุดจะมีบางค่าที่ทำให้${\displaystyle B_{1},B_{2}\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle x\in B_{1}\cap B_{2}}$${\displaystyle B_{3}\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle x\in B_{3}\subseteq B_{1}\cap B_{2}}$

คุณสมบัติ (B1) สอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่ว่าเป็นเซตเปิด คุณสมบัติ (B2) สอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่ว่าเป็นเซตเปิด${\displaystyle X}$${\displaystyle B_{1}\หมวก B_{2}}$

ในทางกลับกัน สมมติว่าเป็นเพียงเซตที่ไม่มีโทโพโลยีใดๆ และเป็นตระกูลของเซตย่อยของ ที่สอดคล้องกับคุณสมบัติ (B1) และ (B2) แล้วจะเป็นฐานสำหรับโทโพโลยีที่มันสร้างขึ้น กล่าวคือ ให้เป็นตระกูลของเซตย่อยทั้งหมดของที่เป็นยูเนียนของตระกูลย่อยของ แล้วจะเป็นโทโพโลยีบนและเป็นฐานสำหรับ^{[ 5 ]} (โครงร่าง: กำหนดโทโพโลยีเพราะมันเสถียรภายใต้ยูเนียนใดๆ โดยการสร้าง มันเสถียรภายใต้การตัดกันแบบจำกัดโดย (B2) มันประกอบด้วยโดย (B1) และมันประกอบด้วยเซตว่างเป็นยูเนียนของตระกูลย่อยว่างของตระกูลจึงเป็นฐานสำหรับโดยการสร้าง) ตระกูลของเซตดังกล่าวเป็นวิธีที่พบได้บ่อยมากในการกำหนดโทโพโลยี${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \tau }$

โดยทั่วไป ถ้าเป็นเซต และเป็นกลุ่มย่อยของ ที่ไม่มีการกำหนดไว้จะมีโทโพโลยีที่เล็กที่สุด (เพียงหนึ่งเดียว) บนที่บรรจุ อยู่(โทโพโลยีนี้คือจุดตัดของโทโพโลยีทั้งหมดบนที่บรรจุ อยู่) โทโพโลยี นี้ เรียกว่าโทโพโลยีที่สร้างโดยและเรียกว่าฐานย่อยสำหรับโทโพโลยีนี้ประกอบด้วย พร้อมกับการรวมกันโดยพลการทั้งหมดของจุดตัดจำกัดของสมาชิกใน(ดูบทความเกี่ยวกับฐานย่อย ) ทีนี้ ถ้ายังสอดคล้องกับคุณสมบัติ (B1) และ (B2) ด้วย โทโพโลยีที่สร้างโดยสามารถอธิบายได้ในวิธีที่ง่ายกว่าโดยไม่ต้องพิจารณาจุดตัด: คือเซตของการรวมกันทั้งหมดของสมาชิกใน(และเป็นฐานสำหรับในกรณีนั้น)${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \tau }$

โดยทั่วไปแล้วมีวิธีง่ายๆ ในการตรวจสอบเงื่อนไข (B2) หากส่วนร่วมของสมาชิกสองตัวใดๆ ของเป็นสมาชิกของหรือว่างเปล่า เงื่อนไข (B2) จะเป็นจริงโดยอัตโนมัติ (โดยการเลือก) ตัวอย่างเช่นโทโพโลยีแบบยุคลิดบนระนาบยอมรับเซตของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเปิดทั้งหมดที่มีด้านแนวนอนและแนวตั้งเป็นฐาน และส่วนร่วมที่ไม่ว่างเปล่าของเซตเปิดพื้นฐานสองเซตดังกล่าวก็เป็นเซตเปิดพื้นฐานเช่นกัน แต่ฐานอีกฐานหนึ่งสำหรับโทโพโลยีเดียวกันนี้คือกลุ่มของวงกลมเปิดทั้งหมด และในกรณีนี้เงื่อนไข (B2) แบบเต็มมีความจำเป็น${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle B_{3}=B_{1}\cap B_{2}}$

ตัวอย่างของเซตเปิดที่ไม่ใช่ฐานคือเซตของช่วงกึ่งอนันต์ทั้งหมดในรูปแบบและโดยที่โทโพโลยีที่สร้างโดยประกอบด้วยช่วงเปิดทั้งหมดดังนั้นจึงสร้างโทโพโลยีมาตรฐานบนเส้นจำนวนจริง แต่เป็นเพียงฐานย่อยสำหรับโทโพโลยี ไม่ใช่ฐาน: ช่วงเปิดจำกัดไม่ประกอบด้วยสมาชิกใด ๆ ของ(หรือเทียบเท่ากับคุณสมบัติ (B2) ไม่เป็นจริง)${\displaystyle S}$${\displaystyle (-\infty ,a)}$${\displaystyle (a,\infty )}$${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$${\displaystyle S}$${\displaystyle (a,b)=(-\infty ,b)\cap (a,\infty )}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle S}$

เซตของช่วงเปิดทั้งหมดในเป็นฐานสำหรับ โทโพโล ยีแบบยุคลิดบน${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

กลุ่มของเซตย่อยที่ไม่ว่างเปล่าของเซตหนึ่งซึ่งปิดภายใต้การตัดกันแบบจำกัดของเซตสองเซตขึ้นไป ซึ่งเรียกว่าระบบ-systemบนจะเป็นฐานสำหรับโทโพโลยีบน ก็ต่อเมื่อมันครอบคลุม เท่านั้นตามคำนิยามพีชคณิต σ ทุก ตัว ตัวกรองทุกตัว(และโดยเฉพาะอย่างยิ่งตัวกรองแบบใกล้เคียง ทุกตัว ) และโทโพโลยี ทุกตัว เป็นระบบ -system ที่ครอบคลุม และดังนั้นจึงเป็นฐานสำหรับโทโพโลยีด้วย ในความเป็นจริง ถ้าเป็นตัวกรองบน​​แล้วจะเป็นโทโพโลยีบนและเป็นฐานสำหรับมัน ฐานสำหรับโทโพโลยีไม่จำเป็นต้องปิดภายใต้การตัดกันแบบจำกัด และหลายๆ ฐานก็ไม่ปิด แต่ถึงกระนั้น โทโพโลยีหลายๆ ตัวก็ถูกกำหนดโดยฐานที่ปิดภายใต้การตัดกันแบบจำกัดด้วย ตัวอย่างเช่น แต่ละกลุ่มของเซตย่อยของ ต่อไปนี้ปิดภายใต้การตัดกันแบบจำกัด และดังนั้นแต่ละกลุ่มจึงเป็นฐานสำหรับ โทโพโลยี บางอย่างบน:${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \{\varnothing \}\cup \Gamma }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

• เซต ของ ช่วงเปิดที่มีขอบเขตทั้งหมดในจะสร้างโทโพโลยีแบบยุคลิดปกติบน${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• เซต ของช่วง ปิดที่มีขอบเขตทั้งหมดในสร้างโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่องบนและดังนั้นโทโพโลยีแบบยุคลิดจึงเป็นเซตย่อยของโทโพโลยีนี้ แม้ว่า จะไม่ใช่เซตย่อยของ ก็ตาม ด้วยเหตุนี้ โทโพโลยีที่สร้างโดยซึ่งเป็นโทโพโลยีแบบยุคลิดบนจึงหยาบกว่าโทโพโลยีที่สร้างโดยอันที่จริง มัน หยาบ กว่าอย่างเคร่งครัดเพราะประกอบด้วยเซตกระชับที่ไม่ว่าง ซึ่งไม่เคยเป็นเซตเปิดในโทโพโลยีแบบยุคลิด${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Sigma }$
• เซตของช่วงทั้งหมดในที่จุดปลายทั้งสองของช่วงเป็นจำนวนตรรกยะจะสร้างโทโพโลยีเดียวกันกับ ซึ่งยังคงเป็นจริงอยู่หาก แทนที่สัญลักษณ์ ด้วย ในแต่ละกรณี${\displaystyle \Gamma _{\mathbb {Q} }}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Sigma }$
• ${\displaystyle \Sigma _{\infty }=\{[r,\infty ):r\in \mathbb {R} \}}$สร้างโทโพโลยีที่หยาบกว่าโทโพโลยีที่สร้างโดย อย่างชัดเจน ไม่มีสมาชิกใดของที่เป็นเซตเปิดในโทโพโลยีแบบยุคลิดบน${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Sigma _{\infty }}$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle \Gamma _{\infty }=\{[r,\infty ):r\in \mathbb {R} \}}$สร้างโทโพโลยีที่หยาบกว่าทั้งโทโพโลยีแบบยุคลิดและโทโพโลยีที่สร้างโดย อย่างชัดเจนเซตและไม่ทับซ้อนกัน แต่ถึงกระนั้น ก็เป็นเซตย่อยของโทโพโลยีที่สร้างโดย${\displaystyle \Sigma _{\infty }}$${\displaystyle \Sigma _{\infty }}$${\displaystyle \Gamma _{\infty }}$${\displaystyle \Gamma _{\infty }}$${\displaystyle \Sigma _{\infty }}$

• โทโพโลยีจะละเอียดกว่าโทโพโลยีทั่วไปก็ต่อเมื่อ สำหรับแต่ละเซตเปิดพื้นฐานของที่บรรจุจะมีเซตเปิดพื้นฐานของที่บรรจุและบรรจุอยู่ใน${\displaystyle \tau _{2}}$${\displaystyle \tau _{1}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \tau _{1}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \tau _{2}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle B}$
• ถ้าเป็นฐานสำหรับโทโพโลยีแล้ว ชุดของผลคูณเซต ทั้งหมด ที่มี แต่ละตัวจะเป็นฐานสำหรับโทโพโลยีผลคูณในกรณีของผลคูณอนันต์ หลักการนี้ยังคงใช้ได้ ยกเว้นว่าองค์ประกอบฐานทั้งหมด ยกเว้นจำนวนจำกัด จะต้องเป็นปริภูมิทั้งหมด${\displaystyle {\mathcal {B}}_{1},\ldots ,{\mathcal {B}}_{n}}$${\displaystyle \tau _{1},\ldots ,\tau _{n}}$${\displaystyle B_{1}\times \cdots \times B_{n}}$${\displaystyle B_{i}\in {\mathcal {B}}_{i}}$${\displaystyle \tau _{1}\times \cdots \times \tau _{n}.}$
• ให้เป็นฐานสำหรับและให้เป็นปริภูมิย่อยของถ้าเราหาจุดตัดระหว่างแต่ละองค์ประกอบของกับผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นเซตฐานสำหรับปริภูมิย่อย${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$
• ถ้าฟังก์ชันแมปเซตเปิดพื้นฐานทุกเซตของไปยังเซตเปิด ของ ฟังก์ชัน นั้นเป็นแมปเปิด ในทำนองเดียวกัน ถ้าภาพผกผันทุกภาพของเซตเปิดพื้นฐานทุกเซตของเป็นเซตเปิดในแล้ว ฟังก์ชันนั้นจะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$จะเป็นฐานสำหรับปริภูมิเชิงทอ พอโลยี ก็ต่อเมื่อกลุ่มย่อยขององค์ประกอบที่มีก่อให้เกิดฐานเฉพาะที่ ณจุดใดๆ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x\in X}$

เซตปิดมีความสามารถในการอธิบายโทโพโลยีของปริภูมิได้อย่างดีเยี่ยม ดังนั้นจึงมีแนวคิดคู่ขนานของฐานสำหรับเซตปิดของปริภูมิโทโพโลยี เมื่อกำหนดปริภูมิโทโพโลยีแล้วตระกูลของเซตปิดจะเป็นฐานสำหรับเซตปิดก็ต่อเมื่อ สำหรับแต่ละเซตปิดและแต่ละจุดที่ไม่ได้อยู่ใน เซตปิด นั้น จะมีสมาชิกในตระกูล เซตปิดที่ ประกอบด้วย เซตปิดนั้น แต่ไม่ประกอบด้วย เซตปิดนั้น ตระกูล เซตปิดจะเป็นฐานสำหรับเซตปิดของ ปริภูมิโทโพโลยีก็ต่อเมื่อ ตระกูล คู่ขนาน ของมัน ใน ปริภูมิโทโพโลยี ซึ่งก็คือตระกูลของ ส่วนเติม เต็มของสมาชิกในตระกูลเซตปิดนั้นเป็นฐานสำหรับเซตเปิดของปริภูมิ โทโพโลยี${\displaystyle X,}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x.}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \{X\setminus C:C\in {\mathcal {C}}\}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle X.}$

ให้เป็นฐานสำหรับเซตปิดของแล้ว${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle X.}$

1. ${\displaystyle \bigcap {\mathcal {C}}=\varnothing }$
2. สำหรับแต่ละยูเนียน ยูเนียนนั้นคือจุดตัดของกลุ่มย่อยบางกลุ่มของ(นั่นคือ สำหรับยูเนียนใดๆที่ไม่ได้อยู่ในยูเนียนนั้น จะมียูเนียนบางตัวที่ประกอบด้วยยูเนียน นั้น และยูเนียนบางตัวที่ไม่ประกอบด้วยยูเนียนนั้น)${\displaystyle C_{1},C_{2}\in {\mathcal {C}}}$${\displaystyle C_{1}\cup C_{2}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle C_{1}{\text{ or }}C_{2}}$${\displaystyle C_{3}\in {\mathcal {C}}}$${\displaystyle C_{1}\cup C_{2}}$${\displaystyle x}$

กลุ่มของเซตย่อยใดๆ ของเซตที่มีคุณสมบัติเหล่านี้ จะเป็นฐานสำหรับเซตปิดของโทโพโลยีบนเซตปิดของโทโพโลยีนี้ก็คือจุดตัดของสมาชิกของ${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$

ในบางกรณี การใช้ฐานสำหรับเซตปิดจะสะดวกกว่าการใช้ฐานสำหรับเซตเปิด ตัวอย่างเช่น ปริภูมิหนึ่งจะเป็นปริภูมิปกติสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อเซตศูนย์เป็นฐานสำหรับเซตปิดเท่านั้น เมื่อกำหนดปริภูมิเชิงทอพอโลยีใดๆเซตศูนย์จะเป็นฐานสำหรับเซตปิดของทอพอโลยีบางอย่างบนปริภูมินั้น ทอพอโลยีนี้จะเป็นทอพอโลยีปกติสมบูรณ์ที่ดีที่สุดบนปริภูมิที่หยาบกว่าทอพอโลยีเดิม ในทำนองเดียวกันทอพอโลยีซาริสกีบน ปริภูมิ ถูกกำหนดโดยการใช้เซตศูนย์ของฟังก์ชันพหุนามเป็นฐานสำหรับเซตปิด${\displaystyle X,}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A^{n}}$

เราจะทำงานโดยยึดตามแนวคิดที่กำหนดไว้ใน( Engelking 1989 , หน้า 12, หน้า 127-128 )

กำหนดปริภูมิเชิงทอพอโลยี ในที่นี้เครือข่ายคือตระกูลของเซต ซึ่งสำหรับทุกจุดและย่านเปิดUที่บรรจุ จุดนั้น จะมีเซต ในเครือข่ายอยู่ซึ่งเซตนั้นเป็นไปตามเงื่อนไขที่กำหนด โปรดสังเกตว่า เซตในเครือข่ายไม่จำเป็นต้องเป็นเซตเปิด ซึ่งแตกต่างจากฐาน${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle B}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle x\in B\subseteq U.}$

เรากำหนดน้ำหนัก , , เป็นจำนวนสมาชิกขั้นต่ำของฐาน; เรากำหนดน้ำหนักเครือข่าย , , เป็นจำนวนสมาชิกขั้นต่ำของเครือข่าย; ลักษณะเฉพาะของจุด , เป็นจำนวนสมาชิกขั้นต่ำของฐานใกล้เคียงสำหรับใน; และลักษณะเฉพาะของเป็น ${\displaystyle w(X)}$${\displaystyle nw(X)}$${\displaystyle \chi (x,X),}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle \chi (X)\triangleq \sup\{\chi (x,X):x\in X\}.}$$

จุดประสงค์ของการคำนวณค่าลักษณะและน้ำหนักคือเพื่อให้สามารถระบุได้ว่ามีฐานและฐานท้องถิ่นแบบใดบ้าง เรามีข้อเท็จจริงดังต่อไปนี้:

• ${\displaystyle nw(X)\leq w(X)}$.
• ถ้าเป็นจำนวนเต็มไม่ต่อเนื่องแล้ว.${\displaystyle X}$${\displaystyle w(X)=nw(X)=|X|}$
• ถ้าเป็น Hausdorff แล้วจะเป็นค่าจำกัดก็ต่อเมื่อเป็นค่าจำกัดแบบไม่ต่อ เนื่อง${\displaystyle X}$${\displaystyle nw(X)}$${\displaystyle X}$
• ถ้าเป็นฐานของก็จะมีฐานที่มีขนาด${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B'\subseteq B}$${\displaystyle |B'|\leq w(X).}$
• ถ้าเป็นฐานของย่านใกล้เคียงก็จะมีฐานของย่านใกล้เคียงที่มีขนาดเท่า กัน${\displaystyle N}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle N'\subseteq N}$${\displaystyle |N'|\leq \chi (x,X).}$
• ถ้าเป็นการส่งแบบต่อเนื่องทั่วถึงแล้ว(พิจารณาเครือข่ายสำหรับแต่ละฐานของ)${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle nw(Y)\leq w(X)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle fB\triangleq \{f(U):U\in B\}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$
• ถ้าเป็นทอพอโลยีเฮาส์ดอร์ฟแล้ว ก็จะมีทอพอโลยีเฮาส์ดอร์ฟที่อ่อนกว่าอยู่ด้วยซึ่งทำให้ดังนั้นโดยหลักการ แล้ว ถ้าเป็นเซตกระชับด้วยแล้ว ทอพอโลยีดังกล่าวจะตรงกัน และด้วยเหตุนี้ เมื่อรวมกับข้อเท็จจริงแรกแล้ว เราจึงได้ว่า${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle (X,\tau ')}$${\displaystyle w(X,\tau ')\leq nw(X,\tau ).}$${\displaystyle X}$${\displaystyle nw(X)=w(X)}$
• ถ้าเป็นการแมปแบบต่อเนื่องทั่วถึงจากปริภูมิเมตริกซ์แบบกระชับไปยังปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ แล้ว ปริภูมิเมตริกซ์แบบกระชับก็ จะเป็นปริภูมิเมตริกซ์แบบกระชับเช่น กัน${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle Y}$

ข้อเท็จจริงสุดท้ายเป็นผลมาจากการเป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบกะทัดรัด และด้วยเหตุนี้(เนื่องจากปริภูมิเมตริกซ์แบบกะทัดรัดจำเป็นต้องเป็นปริภูมิที่นับได้ลำดับที่สอง) เช่นเดียวกับข้อเท็จจริงที่ว่าปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบกะทัดรัดเป็นปริภูมิเมตริกซ์ได้ก็ต่อเมื่อเป็นปริภูมิที่นับได้ลำดับที่สองเท่านั้น (ตัวอย่างเช่น เส้นทางทุกเส้นในปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟเป็นปริภูมิเมตริกซ์แบบกะทัดรัด)${\displaystyle f(X)}$${\displaystyle nw(f(X))=w(f(X))\leq w(X)\leq \aleph _{0}}$

• ทฤษฎีบทของเอเซนิน-โวลปิน
• หลักการติดกาว
• ระบบชุมชน