ความสัมพันธ์ทวิภาคแบบถ่ายทอด วี ที อี
สมมาตร แอนติสมมาตร เชื่อมต่อแล้ว มีเหตุผลที่ดี ได้เข้าร่วมแล้ว ได้พบปะแล้ว สะท้อนกลับ ไร้ปฏิกิริยาตอบสนอง ไม่สมมาตร โททอลเซมิคอนเน็กซ์ ต่อต้านปฏิกิริยาสะท้อน ความสัมพันธ์สมมูล วาย ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ วาย ✗ ✗ สั่งซื้อล่วงหน้า(กึ่งสั่งซื้อ) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ วาย ✗ ✗ คำสั่งซื้อบางส่วน ✗ วาย ✗ ✗ ✗ ✗ วาย ✗ ✗ ยอดสั่งซื้อล่วงหน้าทั้งหมด ✗ ✗ วาย ✗ ✗ ✗ วาย ✗ ✗ คำสั่งซื้อทั้งหมด ✗ วาย วาย ✗ ✗ ✗ วาย ✗ ✗ การสั่งซื้อล่วงหน้า ✗ ✗ วาย วาย ✗ ✗ วาย ✗ ✗ การจัดลำดับแบบกึ่งดี ✗ ✗ ✗ วาย ✗ ✗ วาย ✗ ✗ การจัดระเบียบที่ดี ✗ วาย วาย วาย ✗ ✗ วาย ✗ ✗ โครงตาข่าย ✗ วาย ✗ ✗ วาย วาย วาย ✗ ✗ ข้อต่อเซมิแลตติซ ✗ วาย ✗ ✗ วาย ✗ วาย ✗ ✗ มีท-เซมิแลตติซ ✗ วาย ✗ ✗ ✗ วาย วาย ✗ ✗ ลำดับบางส่วนที่เข้มงวด ✗ วาย ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ วาย วาย คำสั่งที่เข้มงวดแต่ไม่เข้มงวด ✗ วาย ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ วาย วาย ลำดับที่เข้มงวดทั้งหมด ✗ วาย วาย ✗ ✗ ✗ ✗ วาย วาย สมมาตร แอนติสมมาตร เชื่อมต่อแล้ว มีเหตุผลที่ดี ได้เข้าร่วมแล้ว ได้พบปะแล้ว สะท้อนกลับ ไร้ปฏิกิริยาตอบสนอง ไม่สมมาตร คำจำกัดความสำหรับทุกคนและ${\displaystyle a,b}$${\displaystyle S\neq \varnothing :}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}aRb{\text{ และ }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ หรือ }}&bRa\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\min S\\{\text{exists}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\vee b\\{\text{exists}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{exists}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle aRa}$ ${\displaystyle {\text{not }}aRa}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{not }}bRa\end{aligned}}}$
วายเครื่องหมาย * แสดงว่าคุณสมบัติของคอลัมน์นั้นเป็นจริงเสมอสำหรับพจน์ของแถวนั้น (ทางซ้ายสุด) ในขณะที่ เครื่องหมาย ✗แสดงว่าคุณสมบัตินั้นไม่ได้รับการรับประกันโดยทั่วไป (อาจเป็นจริงหรือไม่ก็ได้) ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์สมมูลทุกความสัมพันธ์เป็นสมมาตร แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นปฏิสมมาตรจะแสดงด้วย * ในคอลัมน์ "สมมาตร" และ เครื่องหมาย ✗ในคอลัมน์ "ปฏิสมมาตร" ตามลำดับ วาย โดยปริยายแล้ว นิยามทั้งหมดกำหนดให้ความสัมพันธ์เอกพันธุ์ ต้องเป็นแบบถ่ายทอดได้ กล่าวคือ สำหรับทุกถ้าและแล้ว นิยามของคำศัพท์อาจต้องการคุณสมบัติเพิ่มเติมที่ไม่ได้ระบุไว้ในตารางนี้ ${\displaystyle R}$${\displaystyle a,b,c,}$${\displaystyle aRb}$${\displaystyle bRc}$${\displaystyle aRc.}$

ในทางคณิตศาสตร์ลำดับที่ดี (หรือการจัดลำดับที่ดีหรือความสัมพันธ์ของลำดับที่ดี ) บนเซตSคือการจัดลำดับทั้งหมดบนSที่มีคุณสมบัติว่าเซตย่อยที่ไม่ว่าง ทุกเซต ของSมีสมาชิกที่เล็กที่สุดในการจัดลำดับนี้ เซตSพร้อมกับการจัดลำดับนี้เรียกว่าเซตที่มีการจัดลำดับที่ดี (หรือwoset ) ^{[ 1 ]}ในบทความวิชาการและตำราเรียนบางเล่ม คำเหล่านี้เขียนแทนด้วยwellorder , wellorderedและwellorderingหรือwell order , well orderedและwell ordering

เซตที่มีลำดับดีทุกเซตที่ไม่ว่างเปล่าจะมีสมาชิกที่เล็กที่สุด สมาชิกทุกตัวsในเซตที่มีลำดับดี ยกเว้นสมาชิกที่อาจมากที่สุดจะมีสมาชิกถัดไป (สมาชิกที่ตามมา) ที่ไม่ซ้ำกัน คือ สมาชิกที่เล็กที่สุดในเซตย่อยของสมาชิกทั้งหมดที่มากกว่าsอาจมีสมาชิกอื่นๆ นอกเหนือจากสมาชิกที่เล็กที่สุด ที่ไม่มีสมาชิกก่อนหน้า (ดูตัวอย่าง ในหัวข้อ § จำนวนธรรมชาติด้านล่าง) เซตที่มีลำดับดีS จะมีขอบเขตบนที่ เล็กที่สุดสำหรับทุกเซตย่อยTที่มีขอบเขตบนคือ สมาชิกที่เล็กที่สุดในเซตย่อยของขอบเขตบนทั้งหมดของTในS

ถ้า ≤ เป็น ลำดับที่ดี ที่ไม่เข้มงวดแล้ว < จะเป็นลำดับที่ดีที่เข้มงวด ความสัมพันธ์จะเป็นลำดับที่ดีที่เข้มงวดก็ต่อเมื่อเป็นลำดับรวมที่เข้มงวดที่มีรากฐานที่ดี เท่านั้น ความแตกต่างระหว่างลำดับที่ดีที่เข้มงวดและไม่เข้มงวดมักถูกละเลย เนื่องจากสามารถแปลงไปมาระหว่างกันได้ง่าย

เซตที่มีลำดับดีทุกเซตจะสมสัณฐานเชิงลำดับที่ไม่ ซ้ำกัน กับจำนวนเชิงอันดับที่ ไม่ซ้ำกัน ซึ่งเรียกว่าประเภทลำดับของเซตที่มีลำดับดี นั้น ทฤษฎีบทลำดับดีซึ่งเทียบเท่ากับสัจพจน์ของการเลือกกล่าวว่าทุกเซตสามารถมีลำดับดีได้ หากเซตมีลำดับดี (หรือแม้ว่าเซตนั้นจะยอมรับความสัมพันธ์ที่มีรากฐานที่ดี ก็ตาม ) เทคนิคการพิสูจน์แบบอุปนัยอนันต์สามารถใช้เพื่อพิสูจน์ว่าข้อความที่กำหนดนั้นเป็นจริงสำหรับทุกองค์ประกอบของเซต

ข้อสังเกตที่ว่าจำนวนธรรมชาติเรียงลำดับได้ดีตามความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" ทั่วไปนั้น มักเรียกว่าหลักการจัดลำดับที่ดี (สำหรับจำนวนธรรมชาติ)

ลำดับมาตรฐาน ≤ ของจำนวนธรรมชาติเป็นลำดับที่ดี และมีคุณสมบัติเพิ่มเติมคือ จำนวนธรรมชาติที่ไม่เป็นศูนย์ทุกจำนวนจะมีจำนวนก่อนหน้าเพียงหนึ่งเดียว

อีกหนึ่งวิธีที่ดีในการจัดลำดับจำนวนธรรมชาติ คือ การกำหนดว่าจำนวนคู่ทุกจำนวนมีค่าน้อยกว่าจำนวนคี่ทุกจำนวน และลำดับปกติจะใช้ได้เฉพาะภายในกลุ่มจำนวนคู่และจำนวนคี่เท่านั้น:

${\displaystyle {\begin{matrix}0&2&4&6&8&\dots &1&3&5&7&9&\dots \end{matrix}}}$

นี่คือเซตที่มีลำดับที่ดีของประเภทลำดับω + ωทุกองค์ประกอบมีตัวถัดไป (ไม่มีองค์ประกอบที่ใหญ่ที่สุด) มีสององค์ประกอบที่ไม่มีตัวก่อนหน้า ได้แก่ 0 และ 1

ต่างจากการเรียงลำดับมาตรฐาน ≤ ของจำนวนธรรมชาติการเรียงลำดับมาตรฐาน ≤ ของจำนวนเต็ม นั้น ไม่ใช่การเรียงลำดับที่ดี เนื่องจากตัวอย่างเช่น เซตของ จำนวนเต็ม ลบไม่มีสมาชิกที่เล็กที่สุด

ความสัมพันธ์ทวิภาคRต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของการเรียงลำดับที่ดีของจำนวนเต็ม: x R y ก็ต่อเมื่อเงื่อนไขใดเงื่อนไขหนึ่งต่อไปนี้เป็นจริง:

1. x = 0
2. xมีค่าเป็นบวก และyมีค่าเป็นลบ
3. xและyมีค่าเป็นบวกทั้งคู่ และx ≤ y
4. xและyต่างก็เป็นค่าลบ และ| x | ≤ | y |

ความสัมพันธ์ Rนี้สามารถแสดงให้เห็นได้ดังนี้:

${\displaystyle {\begin{matrix}0&1&2&3&4&\dots &-1&-2&-3&\dots \end{matrix}}}$

R มี โครงสร้าง สมมาตรกับจำนวนเชิงอันดับω + ω

ความสัมพันธ์อีกประการหนึ่งสำหรับการเรียงลำดับจำนวนเต็มที่ดีคือคำจำกัดความต่อไปนี้: ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle x\leq _{z}y}$

${\displaystyle |x|<|y|\qquad {\text{or}}\qquad |x|=|y|{\text{ and }}x\leq y.}$

ลำดับชั้นของบ่อน้ำนี้สามารถแสดงให้เห็นได้ดังนี้:

${\displaystyle {\begin{matrix}0&-1&1&-2&2&-3&3&-4&4&\dots \end{matrix}}}$

สิ่งนี้มีประเภทลำดับ เป็น ω

ลำดับมาตรฐาน ≤ ของช่วงจริง ใดๆ ไม่ใช่ลำดับที่ดี เนื่องจากตัวอย่างเช่นช่วงเปิด⁠ ⁠${\displaystyle (0,1)\subseteq [0,1]}$ไม่มีองค์ประกอบที่เล็กที่สุด จาก สัจพจน์ ZFCของทฤษฎีเซต (รวมถึงสัจพจน์ของการเลือก ) สามารถแสดงได้ว่ามีลำดับที่ดีของจำนวนจริง นอกจากนี้Wacław Sierpiński ยัง พิสูจน์ว่า ZF + GCH ( สมมติฐานความต่อเนื่องทั่วไป ) บ่งชี้สัจพจน์ของการเลือกและดังนั้นจึงมีลำดับที่ดีของจำนวนจริง อย่างไรก็ตาม เป็นไปได้ที่จะแสดงว่าสัจพจน์ ZFC+GCH เพียงอย่างเดียวไม่เพียงพอที่จะพิสูจน์การมีอยู่ของลำดับที่ดีของจำนวนจริงที่กำหนดได้ (โดยสูตร) ^{​​[ 2 ]}อย่างไรก็ตาม สอดคล้องกับ ZFC ว่ามีลำดับที่ดีของจำนวนจริงที่กำหนดได้อยู่—ตัวอย่างเช่น สอดคล้องกับ ZFC ว่าV=Lและเป็นไปตาม ZFC+V=L ว่าสูตรเฉพาะจัดลำดับจำนวนจริงได้ดี หรือจริงๆ แล้วเซตใดๆ ก็ได้

เซตย่อยที่นับไม่ได้ของจำนวนจริงที่มีลำดับมาตรฐาน ≤ ไม่สามารถเป็นลำดับที่ดีได้: สมมติว่าXเป็นเซตย่อยของ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$ที่มีลำดับที่ดีโดย≤สำหรับแต่ละxในXให้s ( x )เป็นตัวถัดไปของxใน ลำดับ ≤บนX (เว้นแต่xจะเป็นสมาชิกสุดท้ายของX ) ให้ A เป็นเซตที่มีสมาชิกเป็นช่วงที่ไม่ว่างและไม่ทับซ้อนกัน แต่ละช่วงดังกล่าวมีจำนวนตรรกยะอย่างน้อยหนึ่งจำนวน ดังนั้นจึงมีฟังก์ชัน หนึ่งต่อหนึ่ง จากAไปยัง⁠ ⁠มีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจากXไปยังA (ยกเว้นอาจจะเป็นสมาชิกสุดท้ายของXซึ่งสามารถแปลงเป็นศูนย์ได้ในภายหลัง) และเป็นที่ทราบกันดีว่ามีฟังก์ชันหนึ่งต่อ หนึ่งจาก ⁠ ⁠ไปยังจำนวนธรรมชาติ (ซึ่งสามารถเลือกได้เพื่อหลีกเลี่ยงการชนกับศูนย์) ดังนั้นจึงมีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจากXไปยังจำนวนธรรมชาติ ซึ่งหมายความว่าXเป็นเซตที่นับได้ ในทางกลับกัน เซตย่อยของจำนวนจริงที่นับได้เป็นอนันต์อาจจะเป็นหรือไม่เป็นลำดับที่ดีที่มีลำดับมาตรฐาน≤ก็ได้ ตัวอย่างเช่น ${\displaystyle A=\{(x,s(x))\,|\,x\in X\}}$${\displaystyle \mathbb {Q} .}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

• จำนวนธรรมชาติมีลำดับที่ดีภายใต้การเรียงลำดับมาตรฐาน≤
• เซตนี้ไม่มีสมาชิกที่เล็กที่สุด ดังนั้นจึงไม่ใช่เซตที่มีลำดับที่ดีภายใต้การเรียงลำดับมาตรฐาน≤${\displaystyle \{1/n\,|\,n=1,2,3,\dots \}}$

ตัวอย่างคำสั่งเจาะบ่อ:

• เซตของตัวเลขมีประเภทลำดับเป็นω${\displaystyle \{-2^{-n}\,|\,0\leq n<\omega \}}$
• เซตของจำนวนมีลำดับประเภทω²เซตก่อนหน้านี้คือเซตของจุดลิมิต ภายในเซต ^นั้นภายในเซตของจำนวนจริง ไม่ว่าจะมีโทโพโลยีแบบธรรมดาหรือโทโพโลยีแบบลำดับก็ตาม 0 ก็เป็นจุดลิมิตของเซตนั้นด้วย และยังเป็นจุดลิมิตของเซตของจุดลิมิตอีกด้วย${\displaystyle \{-2^{-n}-2^{-m-n}\,|\,0\leq m,n<\omega \}}$
• เซตของตัวเลขมีลำดับประเภทω + 1ด้วยโทโพโลยีเชิงลำดับของเซตนี้ 1 จึงเป็นจุดลิมิตของเซต แม้ว่าจะแยกออกจากจุดลิมิตเพียงจุดเดียวคือ 0 ภายใต้โทโพโลยีปกติของจำนวนจริงก็ตาม${\displaystyle \{-2^{-n}\,|\,0\leq n<\omega \}\cup \{1\}}$

ถ้าเซตใดเป็นเซตที่มีลำดับสมบูรณ์แล้ว สิ่งต่อไปนี้จะสมมูลกัน:

1. เซตนี้เป็นเซตที่มีลำดับที่ดี กล่าวคือ ทุกเซตย่อยที่ไม่ว่างเปล่าจะมีสมาชิกที่เล็กที่สุด
2. การเหนี่ยวนำแบบอนันต์ใช้ได้กับเซตที่มีลำดับทั้งหมด
3. ลำดับขององค์ประกอบในเซตที่ลดลงอย่างเคร่งครัดทุกลำดับจะต้องสิ้นสุดลงหลังจากจำนวนขั้นตอนที่จำกัดเท่านั้น (โดยสมมติว่าเป็นไปตามสัจพจน์ของการเลือกแบบพึ่งพา )
4. ลำดับย่อยทุกลำดับจะสมมาตรกับเซกเมนต์เริ่มต้น (ดูหัวข้อ § เซกเมนต์เริ่มต้นด้านล่าง)

ส่วนเริ่มต้นที่กำหนดโดยองค์ประกอบของโพเซตคือเซตย่อยของรูปแบบ[ ^{3 ] ตาม}ธรรมเนียมแล้วตัวมันเองก็ถูกนับว่าเป็นส่วนเริ่มต้น (ที่ไม่เหมาะสม) ด้วย ${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \{y\in X\mid y<x\}}$${\displaystyle X}$

สำหรับเซตที่มีการเรียงลำดับอย่างดีเซตย่อยจะเป็นส่วนเริ่มต้น (ไม่ว่าจะเป็นส่วนเริ่มต้นโดยสมาชิกบางตัว) ก็ต่อเมื่อเซตย่อยนั้นมีสมาชิกบางตัวอยู่ภายใน ${\displaystyle X}$${\displaystyle S\subset X}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \{y\in X\mid y<x\}}$

สำหรับแต่ละใน. ^{[ 4 ] [ 5 ]}กล่าวอีกนัยหนึ่ง ส่วนเริ่มต้นก็คือสิ่งเดียวกันกับเซตล่างในทฤษฎีลำดับและลักษณะเฉพาะนี้บางครั้งก็ถือเป็นคำจำกัดความของส่วนเริ่มต้นเช่นกัน^{[ 6 ]}${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$

ส่วนเริ่มต้นมักถูกนำมาใช้ในการศึกษาเซตที่มีลำดับที่ดีและเซตที่มีรากฐานที่ดีตัวอย่างเช่นจำนวนเชิงอันดับเป็นเซตที่มีลำดับที่ดีซึ่งองค์ประกอบทั้งหมดเป็นส่วนเริ่มต้นที่กำหนดโดยตัวมันเอง กล่าวคือ สำหรับแต่ละองค์ประกอบใน จำนวนเชิงอันดับ เราจะมี: ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle x=\{y\in \alpha \mid y<x\}.}$^{[ 7 ]}

ดูเพิ่มเติมที่§ เลขลำดับด้านล่าง ส่วนเริ่มต้นยังถูกนำมาใช้ในข้อความของทฤษฎีบทการเรียกซ้ำอนันต์ด้วย

คุณสมบัติของส่วนเริ่มต้นประกอบด้วย:

• เซตที่มีลำดับที่ดีจะไม่สมมาตรกับส่วนเริ่มต้นที่เหมาะสมของตัวมันเอง^{[ 8 ]}นอกจากนี้ เมื่อกำหนดเซตที่มีลำดับที่ดีสองเซต เซตใดเซตหนึ่งจะสมมาตรกับส่วนเริ่มต้นของ เซตแรก หรือ เซตที่สอง จะสมมาตรกับส่วนเริ่มต้นของเซตแรก${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$
• มอร์ฟิซึมระหว่างเซตที่มีลำดับที่ดีจะส่งส่วนเริ่มต้นไปยังส่วนเริ่มต้น โดยที่มอร์ฟิซึมเป็นแผนที่รักษาลำดับแบบฉีดซึ่งภาพของมันคือส่วนเริ่มต้น^{[ 9 ]}
• ส่วนเริ่มต้นจะให้ลำดับบนคลาสของเซตที่มีลำดับที่ดี กล่าวคือถ้าและเฉพาะเมื่อเป็นเซตย่อยที่มีลำดับที่จำกัดจากและเป็นส่วนเริ่มต้นของ[ ^{10 ] การ}รวมกันของโซ่ของเซตที่มีลำดับที่ดีจะมีลำดับที่ดี โดยที่โซ่จะมีลำดับที่ดีเมื่อเทียบกับ[ ^{10 ] สำหรับ}ลำดับ การเรียงลำดับนี้ที่กำหนดโดยส่วนเริ่มต้นจะสอดคล้องกับการรวมเซต^{[ 11 ]}${\displaystyle \trianglelefteq }$${\displaystyle \operatorname {Well} }$${\displaystyle A\trianglelefteq B}$${\displaystyle A\subset B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \trianglelefteq }$
• เซตที่มีความสัมพันธ์แบบไบนารีจะถือว่ามีรากฐานที่ดีก็ต่อเมื่อเซตนั้นถูกครอบคลุมโดยส่วนเริ่มต้นที่มีรากฐานที่ดี^{[ 12 ]}

เซตที่มีระเบียบทุกเซตสามารถแปลงเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีได้โดยการกำหนดทอพอโลยีเชิงลำดับ ให้กับเซต นั้น

เมื่อพิจารณาตามโครงสร้างทางโทโพโลยีนี้ จะมีองค์ประกอบอยู่สองประเภท:

• จุดโดดเดี่ยว — จุดเหล่านี้คือค่าต่ำสุดและองค์ประกอบที่มีตัวก่อนหน้า
• จุดลิมิต — เซตประเภทนี้จะไม่ปรากฏในเซตจำกัด และอาจเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นในเซตอนันต์ก็ได้ เซตอนันต์ที่ไม่มีจุดลิมิตคือเซตที่มีอันดับประเภทω ตัวอย่างเช่นจำนวนธรรมชาติ${\displaystyle \mathbb {N} .}$

สำหรับกลุ่มย่อย เราสามารถแยกแยะได้ดังนี้:

• เซตย่อยที่มีค่าสูงสุด (กล่าวคือ เซตย่อยที่ถูกจำกัดด้วยตัวมันเอง) ค่าสูงสุดนี้อาจเป็นจุดโดดเดี่ยวหรือจุดลิมิตของเซตทั้งหมด ในกรณีหลัง ค่าสูงสุดนี้อาจเป็นหรือไม่เป็นจุดลิมิตของเซตย่อยก็ได้
• เซตย่อยที่ไม่มีขอบเขตในตัวเอง แต่มีขอบเขตในเซตทั้งหมด เซตย่อยเหล่านี้ไม่มีค่าสูงสุด แต่มีค่าสูงสุดภายนอกเซตย่อย หากเซตย่อยไม่ว่าง ค่าสูงสุดนี้จะเป็นจุดลิมิตของเซตย่อยและดังนั้นจึงเป็นจุดลิมิตของเซตทั้งหมดด้วย หากเซตย่อยว่าง ค่าสูงสุดนี้จะเป็นค่าต่ำสุดของเซตทั้งหมด
• เซตย่อยที่ไม่จำกัดขอบเขตในเซตทั้งหมด

เซตย่อยจะเป็นเซตย่อยร่วมสุดท้ายในเซตทั้งหมดก็ต่อเมื่อเซตย่อยนั้นไม่มีขอบเขตในเซตทั้งหมด หรือมีค่าสูงสุดที่เป็นค่าสูงสุดของเซตทั้งหมดด้วย

เซตที่มีลำดับที่ดีในฐานะปริภูมิเชิงทอพอโลยีจะเป็นปริภูมิที่นับได้อันดับแรกก็ต่อเมื่อมีประเภทลำดับน้อยกว่าหรือเท่ากับ ω ₁ ( โอเมกา-หนึ่ง ) กล่าวคือ ก็ต่อเมื่อเซตนั้นนับได้หรือมีประเภทลำดับ ที่นับไม่ได้ ที่เล็กที่สุด

เซตที่มีลำดับที่ดีทุกเซตจะมีลำดับที่สมมาตรกับจำนวนเชิงอันดับ ที่ไม่ซ้ำกัน ซึ่งเรียกว่าประเภทลำดับของเซตที่มีลำดับที่ดี ตำแหน่งของแต่ละองค์ประกอบภายในเซตที่มีลำดับก็กำหนดโดยจำนวนเชิงอันดับเช่นกัน ในกรณีของเซตจำกัด การดำเนินการพื้นฐานของการนับเพื่อหาจำนวนเชิงอันดับของวัตถุเฉพาะ หรือเพื่อหาวัตถุที่มีจำนวนเชิงอันดับเฉพาะ จะสอดคล้องกับการกำหนดจำนวนเชิงอันดับทีละรายการให้กับวัตถุ ขนาด (จำนวนองค์ประกอบจำนวนเชิงคาร์ดินัล ) ของเซตจำกัดเท่ากับประเภทลำดับ^{[ 13 ]}การนับในความหมายทั่วไปมักเริ่มต้นจากหนึ่ง ดังนั้นจึงกำหนดขนาดของส่วนเริ่มต้นให้กับแต่ละวัตถุโดยมีวัตถุนั้นเป็นองค์ประกอบสุดท้าย โปรดทราบว่าตัวเลขเหล่านี้มากกว่าจำนวนเชิงอันดับอย่างเป็นทางการตามลำดับที่สมมาตรอยู่หนึ่ง เนื่องจากตัวเลขเหล่านี้เท่ากับจำนวนของวัตถุก่อนหน้า (ซึ่งสอดคล้องกับการนับจากศูนย์) ดังนั้น สำหรับn ที่มีจำนวนจำกัด นิพจน์ " สมาชิกลำดับที่ n " ของเซตที่มีลำดับที่ดีนั้น จำเป็นต้องมีบริบทเพื่อทราบว่านับจากศูนย์หรือหนึ่ง ในนิพจน์ " สมาชิกลำดับที่β " ซึ่ง βอาจเป็นลำดับอนันต์ได้เช่นกัน โดยทั่วไปแล้วจะนับจากศูนย์

สำหรับเซตอนันต์ ประเภทของลำดับจะเป็นตัวกำหนดจำนวนสมาชิกแต่ในทางกลับกัน เซตที่มีจำนวนสมาชิกเป็นอนันต์สามารถมีลำดับที่ดีได้หลายประเภท (ดู ตัวอย่าง ในหัวข้อ จำนวนธรรมชาติด้านล่าง) สำหรับ เซต อนันต์ที่นับได้เซตของประเภทลำดับที่เป็นไปได้นั้นนับไม่ได้

• ต้นไม้ (ทฤษฎีเซต)การสรุปทั่วไป
• ลำดับที่
• ชุดที่มีพื้นฐานที่ดี
• คำสั่งบางส่วน
• การสั่งซื้อล่วงหน้า
• ชุดกำกับ

• พอล เทย์เลอร์, สู่การจัดการอุปนัยอย่างเป็นเอกภาพ, ตอนที่ 1: ทฤษฎีบทการเรียกซ้ำทั่วไป (1996)
• หมายเหตุ 2.5 ในhttps://ncatlab.org/nlab/show/Zorn's+lemma