ทฤษฎีหมวดหมู่ที่เข้าถึงได้เป็นส่วนหนึ่งของคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีหมวดหมู่ ทฤษฎีนี้พยายามอธิบายหมวดหมู่ในแง่ของ "ขนาด" ( จำนวนเชิงคาร์ดินัล ) ของการดำเนินการที่จำเป็นในการสร้างวัตถุของหมวดหมู่เหล่านั้น

ทฤษฎีนี้มีต้นกำเนิดมาจากงานของGrothendieckที่เสร็จสมบูรณ์ในปี 1969 ^{[ 1 ]}และ Gabriel และ Ulmer (1971) ^{[ 2 ]}ต่อมาได้มีการพัฒนาเพิ่มเติมในปี 1989 โดยMichael Makkaiและ Robert Paré โดยมีแรงจูงใจมาจากทฤษฎีแบบจำลอง ซึ่ง เป็นสาขาหนึ่งของตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ [ ^{3 ] ตำรา} มาตรฐานโดย Adámek และ Rosický ปรากฏในปี 1994 ^{[ 4 ]} หมวดหมู่ที่เข้าถึงได้ยังมีการประยุกต์ใช้ในทฤษฎีโฮโมโทปีอีก ด้วย ^{[ 5 ] [ 6 ]} Grothendieck ได้พัฒนาทฤษฎีนี้ต่อไปเพื่อวัตถุประสงค์ทางทฤษฎีโฮโมโทปีในต้นฉบับLes dérivateurs ปี 1991 ของเขา (ซึ่งยังไม่ได้ตีพิมพ์บางส่วน ) ^{[ 7 ]} คุณสมบัติบางประการของหมวดหมู่ที่เข้าถึงได้ขึ้นอยู่กับเซตเอกภพที่ใช้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง คุณสมบัติ เชิงคาร์ดินัลและหลักการของ Vopěnka ^{[ 8 ]}

อนุญาต${\displaystyle \kappa }$เป็น จำนวน เชิงคาร์ดินัลปกติ อนันต์ กล่าว คือจำนวนเชิงคาร์ดินัลที่ไม่ใช่ผลรวมของจำนวนเชิงคาร์ดินัลที่เล็กกว่าจำนวนหนึ่ง ตัวอย่างเช่น${\displaystyle \aleph _{0}}$( อเลฟ-0 ) จำนวนคาร์ดินัลอนันต์ตัวแรก และ${\displaystyle \aleph _{1}}$(จำนวนนับที่นับไม่ได้ตัวแรก) เซตที่มีลำดับบางส่วน${\displaystyle (I,\leq )}$เรียกว่า${\displaystyle \kappa }$-กำหนดทิศทางหากทุกชุดย่อย${\displaystyle J}$ของ${\displaystyle I}$ของจำนวนสมาชิกน้อยกว่า${\displaystyle \kappa }$มีขีดจำกัดบนใน${\displaystyle I}$โดยเฉพาะอย่างยิ่งเซตทิศทาง ทั่วไปนั้น ก็คือ...${\displaystyle \aleph _{0}}$-ชุดที่กำกับ

เอาล่ะ ปล่อยให้${\displaystyle C}$เป็นหมวดหมู่ลิมิตโดยตรง (หรือที่เรียกว่าลิมิตร่วมแบบมีทิศทาง) เหนือ a${\displaystyle \kappa }$-ชุดกำกับ${\displaystyle (I,\leq )}$เรียกว่า${\displaystyle \kappa }$-กำหนดขอบเขตวัตถุ${\displaystyle X}$ของ${\displaystyle C}$เรียกว่า${\displaystyle \kappa }$- นำเสนอได้ถ้าฟังก์ชั่น Hom${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,-)}$รักษาทุกสิ่ง${\displaystyle \kappa }$-กำหนดขอบเขตร่วมใน${\displaystyle C}$เป็นที่ชัดเจนว่าทุกๆ${\displaystyle \kappa }$-วัตถุที่ดูดีก็เช่นกัน${\displaystyle \kappa '}$-ดูดีได้ทุกเมื่อ ${\displaystyle \kappa \leq \kappa '}$เนื่องจากทุกๆ${\displaystyle \kappa '}$-directed colimit ก็เป็นเช่นกัน${\displaystyle \kappa }$-กำหนดขอบเขต colimit ในกรณีนั้น A${\displaystyle \aleph _{0}}$วัตถุที่สามารถนำเสนอได้นั้น เรียกว่า สามารถนำเสนอได้ ในขอบเขตจำกัด

หมวดหมู่${\displaystyle C}$เรียกว่า${\displaystyle \kappa }$-สามารถเข้าถึงได้โดยมีเงื่อนไขว่า:

• ${\displaystyle C}$มีทั้งหมด${\displaystyle \kappa }$-กำหนดขอบเขต
• ${\displaystyle C}$ประกอบด้วยชุด${\displaystyle P}$ของ${\displaystyle \kappa }$-วัตถุที่ดูดี โดยที่วัตถุทุกชิ้นของ${\displaystyle C}$เป็น${\displaystyle \kappa }$-กำหนดขอบเขตของวัตถุ${\displaystyle P}$.

หนึ่ง${\displaystyle \aleph _{0}}$หมวดหมู่ที่เข้าถึงได้แบบจำกัด เรียกว่า หมวดหมู่ที่เข้าถึงได้แบบจำกัดหมวดหมู่จะเรียกว่าเข้าถึงได้ถ้ามันเป็นแบบนั้น${\displaystyle \kappa }$-สามารถเข้าถึงได้สำหรับจำนวนคาร์ดินัลปกติอนันต์บางตัว${\displaystyle \kappa }$เมื่อหมวดหมู่ที่เข้าถึงได้นั้นมีความสมบูรณ์ในตัว เองด้วย จะเรียกว่า สามารถนำเสนอ ได้ในระดับท้องถิ่น

ฟังก์ชัน${\displaystyle F:C\to D}$ระหว่าง${\displaystyle \kappa }$-หมวดหมู่ที่เข้าถึงได้เรียกว่า${\displaystyle \kappa }$-สามารถเข้าถึงได้โดยมีเงื่อนไขว่า${\displaystyle F}$เก็บรักษาไว้${\displaystyle \kappa }$-กำหนดขอบเขตร่วม

สามารถแสดงได้ว่าหมวดหมู่ที่นำเสนอได้ในระดับท้องถิ่นทุกหมวดหมู่ก็สมบูรณ์ เช่น กัน^{[ 9 ]} ยิ่งไปกว่านั้น หมวดหมู่จะนำเสนอได้ในระดับท้องถิ่นก็ต่อเมื่อเทียบเท่ากับหมวดหมู่ของแบบจำลองของ ภาพร่างขีดจำกัด^{[ 10 ]}

ฟังก์ชันผกผันระหว่างหมวดหมู่ที่นำเสนอได้ในระดับท้องถิ่นมีลักษณะเฉพาะที่เรียบง่ายเป็นพิเศษ ฟังก์ชัน${\displaystyle F:C\to D}$ระหว่างหมวดหมู่ที่นำเสนอได้ในท้องถิ่น:

• เป็นตัวผกผันซ้ายก็ต่อเมื่อมันรักษาขอบเขตเล็ก ๆ ไว้
• ตัวดำเนินการผกผันทางขวาจะเป็นตัวดำเนินการผกผันทางขวาได้ก็ต่อเมื่อมันรักษาขีดจำกัดขนาดเล็กและสามารถเข้าถึงได้

• เข้าถึงได้ ∞-หมวดหมู่