ในคณิตศาสตร์เชิงซ้อนการ ขยายเชิงวิเคราะห์ ( analytic continuation)เป็นเทคนิคที่ใช้ในการขยายขอบเขตนิยาม ของ ฟังก์ชันเชิงวิเคราะห์ที่กำหนดให้ การขยายเชิงวิเคราะห์มักประสบความสำเร็จในการกำหนดค่าเพิ่มเติมของฟังก์ชัน เช่น ในบริเวณใหม่ที่ การแสดง อนุกรมอนันต์ที่กำหนดฟังก์ชันในตอนแรกนั้นลู่เข้าสู่ค่าอนันต์

อย่างไรก็ตาม เทคนิคการต่อยอดทีละขั้นอาจพบกับความยากลำบาก ความยากลำบากเหล่านี้อาจมีลักษณะทางโทโพโลยีเป็นหลัก นำไปสู่ความไม่สอดคล้องกัน (การกำหนดค่ามากกว่าหนึ่งค่า) หรืออาจเกี่ยวข้องกับการมีอยู่ของจุดเอกฐานกรณีของตัวแปรเชิงซ้อนหลายตัวนั้นค่อนข้างแตกต่างออกไป เนื่องจากจุดเอกฐานไม่จำเป็นต้องเป็นจุดโดดเดี่ยว และการศึกษาเรื่องนี้เป็นเหตุผลสำคัญในการพัฒนา โคฮอโมโล ยีของชีฟ

สมมติว่าfเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ ที่กำหนดบน เซตย่อยเปิดUที่ไม่ว่างเปล่าในระนาบเชิงซ้อน${\displaystyle \mathbb {C} }$ถ้าVเป็นเซตย่อยเปิดที่ใหญ่กว่าของ${\displaystyle \mathbb {C} }$โดยมีU อยู่ด้วย และFเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ที่กำหนดบนVโดยที่

${\displaystyle F(z)=f(z)\qquad \forall z\in U,}$

ดังนั้นFจึงเรียกว่าเป็นการต่อยอดเชิงวิเคราะห์ของfกล่าวอีกนัยหนึ่งการจำกัดของFบนUก็คือฟังก์ชันfที่เราเริ่มต้นด้วยนั่นเอง

การต่อยอดเชิงวิเคราะห์มีความเป็นเอกลักษณ์ในความหมายต่อไปนี้: ถ้าVเป็น โดเมน ที่เชื่อมต่อกันของฟังก์ชันเชิงวิเคราะห์สองฟังก์ชันF และF โดยที่Uอยู่ในVและสำหรับทุกzในU

${\displaystyle F_{1}(z)=F_{2}(z)=f(z),}$

แล้ว

${\displaystyle F_{1}=F_{2}}$

บน Vทั้งหมดเนื่องจากF   − F เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ซึ่งมีค่าเป็นศูนย์บนโดเมนเปิดที่เชื่อมต่อกันUของfและดังนั้นจึงต้องมีค่าเป็นศูนย์บนโดเมนทั้งหมดของมัน ซึ่งเป็นผลโดยตรงจากทฤษฎีบทเอกลักษณ์สำหรับฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก 

วิธีทั่วไปในการกำหนดฟังก์ชันในคณิตศาสตร์เชิงซ้อนคือการระบุฟังก์ชันบนโดเมนขนาดเล็กก่อน จากนั้นจึงขยายฟังก์ชันนั้นโดยใช้การต่อยอดเชิงวิเคราะห์

ในทางปฏิบัติ การต่อยอดนี้มักทำโดยการสร้างสมการเชิงฟังก์ชัน บางอย่าง บนโดเมนขนาดเล็กก่อน แล้วจึงใช้สมการนั้นเพื่อขยายโดเมน ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันซีตาของรีมันน์และฟังก์ชันแกมมา

แนวคิดเรื่องการปกคลุมสากล (universal cover)ถูกพัฒนาขึ้นครั้งแรกเพื่อกำหนดขอบเขตธรรมชาติสำหรับการต่อยอดเชิงวิเคราะห์ของฟังก์ชันเชิงวิเคราะห์ แนวคิดในการค้นหาการต่อยอดเชิงวิเคราะห์สูงสุดของฟังก์ชันนั้น นำไปสู่การพัฒนาแนวคิดเรื่อง พื้นผิวรีมันน์ (Riemann surfaces ) ในที่สุด

การต่อยอดเชิงวิเคราะห์ใช้ในแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ในบริบทของคำตอบของสมการของไอน์สไตน์ตัวอย่างเช่นพิกัด Schwarzschildสามารถต่อยอดเชิงวิเคราะห์ไปยังพิกัด Kruskal–Szekeresได้^{[ 1 ]}

เริ่มต้นด้วยฟังก์ชันวิเคราะห์เฉพาะตัวหนึ่ง${\displaystyle f}$ในกรณีนี้ จะได้มาจากอนุกรมกำลังที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่${\displaystyle z=1}$:

$${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(z-1)^{k}.}$$

ตามทฤษฎีบทโคชี-ฮาดามาร์ดรัศมีของการลู่เข้าคือ 1 นั่นคือ${\displaystyle f}$ถูกกำหนดและวิเคราะห์บนเซตเปิด${\displaystyle U=\{|z-1|<1\}}$ซึ่งมีขอบเขต${\displaystyle \บางส่วน U=\{|z-1|=1\}}$อันที่จริง ซีรีส์นี้แยกออกไปที่${\displaystyle z=0\in \partial U}$.

แสร้งทำเป็นว่าเราไม่รู้เรื่องนั้น${\displaystyle f(z)=1/z}$(เนื่องจากเป็นอนุกรมเรขาคณิต ) และเน้นการปรับศูนย์กลางของอนุกรมกำลังที่จุดอื่น${\displaystyle a\in U}$:

$${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(za)^{k}.}$$

เราจะคำนวณ${\displaystyle a_{k}}$และตรวจสอบว่าอนุกรมกำลังใหม่นี้ลู่เข้าสู่เซตเปิดหรือไม่${\displaystyle V}$ซึ่งไม่มีอยู่ใน${\displaystyle U}$ถ้าเป็นเช่นนั้น เราก็จะดำเนินการวิเคราะห์ต่อไปได้สำเร็จ${\displaystyle f}$ไปยังภูมิภาค${\displaystyle U\cup V}$ซึ่งมีขนาดใหญ่กว่าอย่างเห็นได้ชัด${\displaystyle U}$.

ระยะทางจาก${\displaystyle a}$ถึง${\displaystyle \partial U}$เป็น${\displaystyle \rho =1-|a-1|>0}$. เอา${\displaystyle 0<r<\rho }$; อนุญาต${\displaystyle D}$เป็นวงกลมที่มีรัศมี${\displaystyle r}$รอบๆ${\displaystyle a}$และให้${\displaystyle \partial D}$ให้เป็นขอบเขตของมัน จากนั้น${\displaystyle D\cup \partial D\subset U}$เมื่อใช้สูตรการหาอนุพันธ์ของโคชีในการคำนวณสัมประสิทธิ์ใหม่ จะได้ว่า $${\displaystyle {\begin{aligned}a_{k}&={\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {f(\zeta )d\zeta }{(\zeta -a)^{k+1}}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(\zeta -1)^{n}d\zeta }{(\zeta -a)^{k+1}}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\int _{\partial D}{\frac {(\zeta -1)^{n}d\zeta }{(\zeta -a)^{k+1}}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\int _{0}^{2\pi }{\frac {(a+re^{i\theta }-1)^{n}rie^{i\theta }d\theta }{(re^{i\theta })^{k+1}}}\\&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\int _{0}^{2\pi }{\frac {(a-1+re^{i\theta })^{n}d\theta }{(re^{i\theta })^{k}}}\\&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\sum _{m=0}^{n}{\binom {n}{m}}(a-1)^{nm}(re^{i\theta })^{m}d\theta }{(re^{i\theta })^{k}}}\\&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\sum _{m=0}^{n}{\binom {n}{m}}(a-1)^{nm}r^{mk}\int _{0}^{2\pi }e^{i(mk)\theta }d\theta \\\end{aligned}}}$$

ค่าอินทิกรัลจะเป็นศูนย์เมื่อใดก็ตามที่${\displaystyle m\neq k}$เราจึงสามารถสรุปได้ว่า${\displaystyle m=k}$โดยไม่กระทบต่อผลรวม นำไปสู่$${\displaystyle {\begin{aligned}a_{k}&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=k}^{\infty }(-1)^{n}{\binom {n}{k}}(a-1)^{n-k}\int _{0}^{2\pi }d\theta \\&=\sum _{n=k}^{\infty }(-1)^{n}{\binom {n}{k}}(a-1)^{n-k}\\&=(-1)^{k}\sum _{m=0}^{\infty }{\binom {m+k}{k}}(1-a)^{m}\\&=(-1)^{k}a^{-k-1}\end{aligned}}}$$

ผลรวมสุดท้ายได้มาจาก การหาอนุพันธ์ลำดับที่ kของอนุกรมเรขาคณิตซึ่งให้สูตรดังนี้ $${\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{k+1}}}=\sum _{m=0}^{\infty }{\binom {m+k}{k}}x^{m}.}$$

แล้ว, $${\displaystyle {\begin{aligned}f(z)&=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(z-a)^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}a^{-k-1}(z-a)^{k}\\&={\frac {1}{a}}\sum _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{a}}\right)^{k}\\&={\frac {1}{a}}{\frac {1}{1-\left(1-{\frac {z}{a}}\right)}}\\&={\frac {1}{z}}\\&={\frac {1}{(z+a)-a}}\end{aligned}}}$$

ซึ่งมีรัศมีของการบรรจบกัน${\displaystyle |a|}$รอบๆ${\displaystyle a}$ถ้าเราเลือก${\displaystyle a\in U}$กับ${\displaystyle |a|>1}$, แล้ว${\displaystyle V}$ไม่ใช่เซตย่อยของ${\displaystyle U}$และมีพื้นที่ใหญ่กว่าจริง ๆ${\displaystyle U}$กราฟแสดงผลลัพธ์สำหรับ${\displaystyle a={\tfrac {1}{2}}(3+i).}$

เราสามารถดำเนินการต่อได้: เลือก${\displaystyle b\in U\cup V}$ปรับตำแหน่งอนุกรมกำลังใหม่${\displaystyle b}$และกำหนดว่าอนุกรมกำลังใหม่ลู่เข้าที่ใด หากบริเวณนั้นมีจุดที่ไม่ได้อยู่ใน${\displaystyle U\cup V}$จากนั้นเราก็จะดำเนินการวิเคราะห์ต่อไป${\displaystyle f}$ยิ่งไปกว่านั้นอีก โดยเฉพาะอย่างยิ่งสิ่งนี้${\displaystyle f}$สามารถขยายการวิเคราะห์ต่อไปยังระนาบเชิงซ้อนที่มีรูพรุนทั้งหมดได้${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}.}$

ในกรณีนี้ ค่าที่ได้คือ${\displaystyle f(-1)}$ค่าเหล่านี้จะเหมือนกันเมื่อจุดศูนย์กลางที่ต่อเนื่องกันมีส่วนจินตนาการเป็นบวกหรือส่วนจินตนาการเป็นลบ แต่กรณีนี้ไม่เป็นเช่นนั้นเสมอไป โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกรณีของลอการิทึมเชิงซ้อนซึ่งเป็นอนุพันธ์ผกผันของฟังก์ชันข้างต้น

อนุกรมกำลังที่นิยามไว้ด้านล่างนี้ได้รับการขยายความโดยแนวคิดของเจิร์มทฤษฎีทั่วไปของการต่อยอดเชิงวิเคราะห์และการขยายความของมันเรียกว่าทฤษฎีชีฟให้

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{k}(z-z_{0})^{k}}$

เป็นอนุกรมกำลังที่ลู่เข้าสู่ดิสก์D ( z ), r > 0 ซึ่งกำหนดโดย

${\displaystyle D_{r}(z_{0})=\{z\in \mathbb {C}$ :|z-z_{0}|<r\}} .

โปรดทราบว่าโดยไม่เสียความเป็นทั่วไปในที่นี้และต่อไป เราจะถือว่าได้ เลือกค่า r ที่มากที่สุดแล้วเสมอ แม้ว่าr นั้น จะเป็น ∞ ก็ตาม นอกจากนี้ โปรดทราบว่าการเริ่มต้นด้วยฟังก์ชันวิเคราะห์ที่กำหนดบนเซตเปิดขนาดเล็กบางเซตก็เทียบเท่ากัน เรากล่าวว่าเวกเตอร์

${\displaystyle g=(z_{0},\alpha _{0},\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots )}$

เป็นรากของfฐานg ของgคือz ลำต้นของgคือ (α , α , α ... )และยอดg ของgคือ α ยอดของgคือค่าของfที่z

เวกเตอร์ใดๆg = ( z , α , α , ...) เรียกว่า เจิร์ม (germ) ถ้ามันแทนอนุกรมกำลังของฟังก์ชันวิเคราะห์รอบz โดยมีรัศมีของการลู่เข้าr > 0 ดังนั้น เราจึงสามารถพูดได้อย่างมั่นใจว่าเซตของเจิร์มคือ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$.

ให้gและhเป็นเชื้อโรคถ้า${\displaystyle |h_{0}-g_{0}|<r}$โดยที่rคือรัศมีของการลู่เข้าของgและถ้าอนุกรมกำลังที่กำหนดโดยgและhระบุฟังก์ชันที่เหมือนกันบนจุดตัดของโดเมนทั้งสอง เราจะกล่าวว่าhถูกสร้างขึ้นโดย (หรือเข้ากันได้กับ) gและเราเขียนg ≥ hเงื่อนไขความเข้ากันได้นี้ไม่ใช่ทั้งแบบถ่ายทอด สมมาตร หรือปฏิสมมาตร หากเราขยายความสัมพันธ์โดยการถ่ายทอดเราจะได้ความสัมพันธ์แบบสมมาตรซึ่งจึงเป็นความสัมพันธ์สมมูลบนเจิร์ม (แต่ไม่ใช่การเรียงลำดับ) การขยายโดยการถ่ายทอดนี้เป็นนิยามหนึ่งของการต่อเนื่องเชิงวิเคราะห์ ความสัมพันธ์สมมูลจะถูกกำหนดโดย${\displaystyle \cong }$.

เราสามารถกำหนดโทโพโลยีบนได้${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ให้r > 0 และให้

${\displaystyle U_{r}(g)=\{h\in {\mathcal {G}}:g\geq h,|g_{0}-h_{0}|<r\}.}$

เซตU ( g ) สำหรับr > 0 ทั้งหมด และ${\displaystyle g\in {\mathcal {G}}}$กำหนดฐานของเซตเปิดสำหรับโทโพโลยีบน${\displaystyle {\mathcal {G}}}$.

ส่วนประกอบที่เชื่อมต่อของ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$(เช่นชั้นสมมูล ) เรียกว่าชีฟ (sheaf ) นอกจากนี้ เรายังสังเกตว่าแผนที่ที่กำหนดโดย${\displaystyle \phi _{g}(h)=h_{0}:U_{r}(g)\to \mathbb {C} ,}$โดยที่rคือรัศมีของการลู่เข้าของgและ คือแผนภูมิชุดของแผนภูมิดังกล่าวประกอบกันเป็นแผนที่โลกสำหรับ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$, เพราะฉะนั้น${\displaystyle {\mathcal {G}}}$เป็นพื้นผิวรีมันน์${\displaystyle {\mathcal {G}}}$บางครั้งเรียกว่าฟังก์ชันวิเคราะห์สากล

${\displaystyle L(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}(z-1)^{k}}$

เป็นอนุกรมกำลังที่สอดคล้องกับลอการิทึมธรรมชาติใกล้z = 1 อนุกรมกำลังนี้สามารถแปลงเป็นเจิร์มได้

${\displaystyle g=\left(1,0,1,-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}},-{\frac {1}{6}},\ldots \right)}$

เชื้อโรคนี้มีรัศมีของการลู่เข้าเท่ากับ 1 ดังนั้นจึงมีชีฟSที่สอดคล้องกับเชื้อโรคนี้ ซึ่งก็คือชีฟของฟังก์ชันลอการิทึม

ทฤษฎีบทเอกลักษณ์สำหรับฟังก์ชันวิเคราะห์ยังขยายไปถึงชีฟของฟังก์ชันวิเคราะห์ด้วย กล่าวคือ ถ้าชีฟของฟังก์ชันวิเคราะห์มีเจิร์มศูนย์ (กล่าวคือ ชีฟเป็นศูนย์อย่างสม่ำเสมอในบางบริเวณใกล้เคียง) แล้วชีฟทั้งหมดจะเป็นศูนย์ ด้วยผลลัพธ์นี้ เราจะเห็นได้ว่า ถ้าเราเลือกเจิร์มg ใดๆ ของชีฟSของฟังก์ชันลอการิทึม ดังที่ได้อธิบายไว้ข้างต้น และเปลี่ยนให้เป็นอนุกรมกำลังf ( z ) แล้วฟังก์ชันนี้จะมีคุณสมบัติว่า exp( f ( z )) = zถ้าเราตัดสินใจใช้ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันสำหรับฟังก์ชันวิเคราะห์ เราสามารถสร้างฟังก์ชันผกผันได้หลากหลายสำหรับแผนที่เลขชี้กำลัง แต่เราจะพบว่าฟังก์ชันผกผันเหล่านั้นทั้งหมดถูกแทนด้วยเจิร์มบางตัวในSในแง่นั้นSจึงเป็น "ฟังก์ชันผกผันที่แท้จริงเพียงหนึ่งเดียว" ของแผนที่เลขชี้กำลัง

ในเอกสารเก่าๆ กลุ่มของฟังก์ชันวิเคราะห์ถูกเรียกว่าฟังก์ชันหลายค่าดูคำว่า กลุ่ม (sheaf)สำหรับแนวคิดทั่วไป

สมมติว่าอนุกรมกำลังมีรัศมีของการลู่เข้าrและกำหนดฟังก์ชันวิเคราะห์fภายในวงกลมนั้น พิจารณาจุดต่างๆ บนวงกลมของการลู่เข้า จุดที่มีบริเวณใกล้เคียงซึ่งfมีส่วนขยายเชิงวิเคราะห์นั้นเรียกว่าจุดปกติมิฉะนั้นจะเป็นจุดเอกฐานวงกลมนั้นเป็นขอบเขตธรรมชาติก็ต่อเมื่อจุดทั้งหมดบนวงกลมนั้นเป็นจุดเอกฐาน

โดยทั่วไปแล้ว เราอาจนำนิยามนี้ไปใช้กับโดเมนเปิดที่เชื่อมต่อกันใดๆ ที่fเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ และจำแนกจุดบนขอบเขตของโดเมนว่าเป็นจุดปกติหรือจุดเอกฐาน: ขอบเขตของโดเมนจะเป็นขอบเขตธรรมชาติก็ต่อเมื่อทุกจุดเป็นจุดเอกฐาน ซึ่งในกรณีนี้ โดเมนนั้นจะเป็นโดเมนของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟี

ทฤษฎีบทโมโนโดรมีให้เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการมีอยู่ของการต่อขยายเชิงวิเคราะห์โดยตรง (กล่าวคือ การขยายฟังก์ชันเชิงวิเคราะห์ไปสู่ฟังก์ชันเชิงวิเคราะห์บนเซตที่ใหญ่กว่า)

สมมติ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$ถ้า Gเป็นเซตเปิด และfเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์บนDถ้า G เป็นโดเมนที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายซึ่งประกอบด้วยDและfมีการต่อขยายเชิงวิเคราะห์ตามทุกเส้นทางในGโดยเริ่มต้นจากจุดคงที่aในDแล้วf ก็ มีการต่อขยายเชิงวิเคราะห์โดยตรงไปยังGด้วย

ในภาษาข้างต้น หมายความว่า ถ้าGเป็นโดเมนที่เชื่อมต่อกันอย่างง่าย และSเป็นชีฟที่มีเซตของจุดฐานประกอบด้วยG แล้วจะมีฟังก์ชันวิเคราะห์fบนGซึ่งเจิร์มของฟังก์ชันนั้นเป็นของS

สำหรับชุดกำลัง

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{n_{k}}}$

กับ

${\displaystyle \liminf _{k\to \infty }{\frac {n_{k+1}}{n_{k}}}>1}$

วงกลมของการบรรจบกันเป็นขอบเขตตามธรรมชาติ อนุกรมกำลังดังกล่าวเรียกว่าอนุกรมกำลังแบบมีช่องว่างทฤษฎีบทนี้ได้รับการขยายความอย่างกว้างขวางโดยEugène Fabry (ดูทฤษฎีบทช่องว่างของ Fabry ) และGeorge Pólya

อนุญาต

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{k}(z-z_{0})^{k}}$

เป็นอนุกรมกำลัง ดังนั้นจึงมีε ∈ {−1, 1} อยู่จริง โดยที่

${\displaystyle g(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\varepsilon _{k}\alpha _{k}(z-z_{0})^{k}}$

มีวงกลมบรรจบกันของfรอบz เป็นขอบเขตธรรมชาติ

การพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ใช้ทฤษฎีบทช่องว่างของฮาดามาร์ด

• ดารา Mittag-Leffler
• แคลคูลัสเชิงฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก
• การต่อยอดเชิงวิเคราะห์เชิงตัวเลข
• ทฤษฎีไชร์ของโพลยา

• "การต่อยอดเชิงวิเคราะห์" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• การต่อยอดเชิงวิเคราะห์ที่ MathPages
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "การต่อยอดเชิงวิเคราะห์" . MathWorld .