ในทางคณิตศาสตร์วิเคราะห์ฟังก์ชันหรืออนุกรมแลคูนารีคือฟังก์ชันวิเคราะห์ที่ไม่สามารถต่อยอดทางคณิตศาสตร์ได้ทุกที่นอกรัศมีของการลู่เข้าซึ่งกำหนดโดยอนุกรมกำลังคำว่าแลคูนารีมาจากคำว่าแลคูนา ( พหูพจน์ lacunae) ซึ่งหมายถึงช่องว่างหรือที่ว่าง

ตัวอย่างแรกๆ ของฟังก์ชันที่มีช่องว่างเกี่ยวข้องกับอนุกรมเทย์เลอร์ที่มีช่องว่างขนาดใหญ่ หรือช่องว่างระหว่างสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นศูนย์ของการกระจายอนุกรม การศึกษาล่าสุดตรวจสอบอนุกรมฟูริเยร์ที่มีช่องว่างคล้ายกันระหว่างสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นศูนย์ ในการใช้งานสมัยใหม่อนุกรมที่มีช่องว่างอาจเป็นอนุกรมเทย์เลอร์หรืออนุกรมฟูริเยร์ก็ได้

เลือกจำนวนเต็ม${\displaystyle a\geq 2}$พิจารณาฟังก์ชันต่อไปนี้ซึ่งกำหนดโดยอนุกรมกำลัง:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }z^{a^{n}}=z+z^{a}+z^{a^{2}}+z^{a^{3}}+z^{a^{4}}+\cdots \,}$

อนุกรมกำลังลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอในระดับท้องถิ่นบนโดเมนเปิดใดๆ ที่ | z | < 1 สามารถพิสูจน์ได้โดยการเปรียบเทียบfกับอนุกรมเรขาคณิตซึ่งลู่เข้าอย่างสมบูรณ์เมื่อ | z | < 1 ดังนั้นfจึงเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์บนวงกลมหน่วย เปิด อย่างไรก็ตามfมี จุดเอกฐาน หนาแน่นบนวงกลมหน่วยและไม่สามารถต่อยอดเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ได้นอกวงกลมหน่วยเปิด ดังที่การโต้แย้งต่อไปนี้แสดงให้เห็น

เห็นได้ชัดว่า ฟังก์ชัน fมีจุดเอกฐานที่z = 1 เพราะว่า

${\displaystyle f(1)=1+1+1+\cdots \,}$

เป็นอนุกรมลู่เข้าแต่ถ้าอนุญาตให้z เป็นจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนจริง ปัญหาจะเกิดขึ้น เนื่องจาก

${\displaystyle f\left(z^{a}\right)=f(z)-z\qquad f\left(z^{a^{2}}\right)=f(z^{a})-z^{a}\qquad f\left(z^{a^{3}}\right)=f\left(z^{a^{2}}\right)-z^{a^{2}}\qquad \cdots \qquad f\left(z^{a^{n+1}}\right)=f\left(z^{a^{n}}\right)-z^{a^{n}}}$

เราจะเห็นว่าfมีจุดเอกฐานที่จุดzเมื่อz ^a = 1 และเมื่อz ^{a 2} = 1 ด้วยเช่นกัน จากการเหนี่ยวนำที่แนะนำโดยสมการข้างต้นfจะต้องมีจุดเอกฐานที่ รากที่ nของเอกภาพสำหรับจำนวนธรรมชาติn ^{ทั้งหมด}เซตของจุดเอกฐานทั้งหมดดังกล่าวมีความหนาแน่นบนวงกลมหน่วย ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะกำหนดfบนเซตเปิด ใดๆ ที่มีวงกลมหน่วย ทำให้การต่อยอดเชิงวิเคราะห์เป็นไปไม่ได้เช่นกัน^{[ 1 ]}

ข้อโต้แย้งข้างต้นแสดงให้เห็นว่าอนุกรมบางชุดกำหนดฟังก์ชันแบบมีช่องว่าง สิ่งที่อาจไม่ชัดเจนนักก็คือ ช่องว่างระหว่างกำลังของzสามารถเติบโตได้ช้ากว่ามาก และอนุกรมที่ได้ก็ยังคงกำหนดฟังก์ชันแบบมีช่องว่างอยู่ดี เพื่อให้แนวคิดนี้มีความแม่นยำมากขึ้น จึงจำเป็นต้องใช้สัญลักษณ์เพิ่มเติมบางอย่าง

เราเขียน

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}z^{\lambda _{k}}=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}z^{n}\,}$

โดยที่b = a เมื่อn = λ และb   =  0 ในกรณีอื่น ๆ ช่วงที่สัมประสิทธิ์b ในอนุกรมที่สองเป็นศูนย์ทั้งหมดคือช่องว่างในสัมประสิทธิ์ ลำดับที่เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องของจำนวนธรรมชาติบวก { λ } ระบุถึงกำลังของzซึ่งอยู่ในอนุกรมกำลังสำหรับf ( z )

ตอนนี้ สามารถกล่าวทฤษฎีบทของHadamard ได้แล้ว ^{[ 2 ]}ถ้า

${\displaystyle {\frac {\lambda _{k}}{\lambda _{k-1}}}>1+\delta \,}$

สำหรับทุกkโดยที่δ > 0 เป็นค่าคงที่บวกใดๆ แล้วf ( z ) เป็นฟังก์ชันแบบขาดช่วง (lacunary function) ที่ไม่สามารถต่อขยายออกไปนอกวงกลมของการลู่เข้าได้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลำดับ { }ไม่จำเป็นต้องเติบโตเร็วเท่ากับ 2k ^{เพื่อ}ให้f ( z ) เป็นฟังก์ชันแบบขาดช่วง–เพียงแค่ต้องเติบโตเร็วเท่ากับลำดับเรขาคณิต (1 + δ ) ^kอนุกรมที่λkเติบโตเร็วขนาดนี้เรียกว่ามีช่องว่างของ Hadamardดูทฤษฎีบท ช่องว่าง Ostrowski–Hadamard  

นักคณิตศาสตร์ยังได้ศึกษาคุณสมบัติของอนุกรมตรีโกณมิติแบบขาดตอนด้วย

${\displaystyle S((\lambda _{k})_{k},\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\cos(\lambda _{k}\theta )\qquad S((\lambda _{k})_{k},\theta ,\omega )=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\cos(\lambda _{k}\theta +\omega )\,}$

ซึ่ง ค่า λ นั้น อยู่ห่างกันมาก ในที่นี้สัมประสิทธิ์a เป็นจำนวนจริง ในบริบทนี้ ความสนใจได้มุ่งเน้นไปที่เกณฑ์ที่เพียงพอที่จะรับประกันการล convergence ของอนุกรมตรีโกณมิติเกือบทุกที่ (นั่นคือ สำหรับเกือบทุกค่าของมุมθและของตัวประกอบการบิดเบือนω )

• โคลโมโกโรฟแสดงให้เห็นว่า หากลำดับ { λ } มีช่องว่างฮาดามาร์ด อนุกรมS ( λ , θ , ω ) จะลู่เข้า (ลู่ออก) เกือบทุกที่เมื่อ  

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{2}}$

ลู่เข้า (ลู่ออก)

• Zygmundแสดงให้เห็นภายใต้เงื่อนไขเดียวกันว่าS ( λ , θ , ω ) ไม่ใช่อนุกรมฟูริเยร์ที่แสดงถึงฟังก์ชันอินทิกรัลเมื่อผลรวมกำลังสองของa นี้ เป็นอนุกรมลู่เข้า^{[ 3 ]}  

การทำความเข้าใจคำถามพื้นฐานที่กระตุ้นให้เกิดการศึกษาอนุกรมกำลังแบบขาดหายและอนุกรมตรีโกณมิติแบบขาดหายได้ดียิ่งขึ้น สามารถทำได้โดยการพิจารณาตัวอย่างง่ายๆ ข้างต้นอีกครั้ง ในตัวอย่างนั้นเราใช้อนุกรมเรขาคณิต

${\displaystyle g(z)=\sum _{n=1}^{\infty }z^{n}\,}$

และใช้การทดสอบ M ของ Weierstrassเพื่อแสดงให้เห็นว่าตัวอย่างง่ายๆ นั้นกำหนดฟังก์ชันเชิงวิเคราะห์บนวงกลมหน่วยเปิด

อนุกรมเรขาคณิตเองกำหนดฟังก์ชันวิเคราะห์ที่ลู่เข้าทุกที่บน ดิสก์หน่วย ปิดยกเว้นเมื่อz = 1 ซึ่งg ( z ) มีขั้วเดียว^{[ 4 ]}และเนื่องจากz  = e ^{i θ}สำหรับจุดบนวงกลมหน่วย อนุกรมเรขาคณิตจึงกลายเป็น 

${\displaystyle g(z)=\sum _{n=1}^{\infty }e^{in\theta }=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\cos n\theta +i\sin n\theta \right)\,}$

ที่ ค่า zค่าหนึ่ง| z | = 1 จากมุมมองนี้ นักคณิตศาสตร์ที่ศึกษาอนุกรมแบบขาดตอนจึงตั้งคำถามว่า อนุกรมเรขาคณิตจะต้องถูกบิดเบือนไปมากแค่ไหน–โดยการตัดส่วนใหญ่ๆ ออกไป และโดยการแนะนำสัมประสิทธิ์a ≠ 1 – ก่อนที่ วัตถุทางคณิตศาสตร์ที่ได้จะเปลี่ยนจากฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิก ที่เรียบเนียนสวยงาม ไปเป็นสิ่งที่แสดง พฤติกรรม อลวนใน รูปแบบดั้งเดิม ?  

• การวิเคราะห์ต่อเนื่อง
• โซเล็ม แมนเดลโบรจต์
• เบอนัวต์ แมนเดลบร็อต
• ชุดแมนเดลบร็อต
• ทฤษฎีช่องว่างของฟาบรี
• ทฤษฎีบทช่องว่างของออสตราฟสกี้–ฮาดามาร์ด

• Fukuyama และ Takahashi, 1999บทความ (PDF) เรื่อง"ทฤษฎีบทลิมิตกลางสำหรับอนุกรมช่องว่าง"จาก AMS
• Mandelbrojt และ Miles, 1927เอกสาร (PDF) ชื่อ"Lacunary Functions"จากมหาวิทยาลัย Rice
• บทความจาก MathWorld เกี่ยวกับฟังก์ชันลาคูนารี