ในทฤษฎีกลุ่มพีชคณิตทฤษฎีบท การประมาณค่าเป็นส่วนขยายของทฤษฎีบทเศษเหลือของจีนไปยังกลุ่มพีชคณิตGบนฟิลด์ทั่วโลกk

ไอช์เลอร์ (1938)พิสูจน์การประมาณค่าที่แข็งแกร่งสำหรับกลุ่มคลาสสิก บางกลุ่ม การประมาณค่าที่แข็งแกร่งได้รับการพิสูจน์ในช่วงทศวรรษ 1960 และ 1970 สำหรับกลุ่มพีชคณิตแบบเชื่อมต่ออย่างง่าย กึ่งง่ายบน ฟิลด์ทั่วโลกผลลัพธ์สำหรับฟิลด์จำนวนเป็นผลงานของเนเซอร์  ( 1966 ) และพลาโตนอฟ  ( 1969 ) ส่วนกรณี ฟิลด์ฟังก์ชันบนฟิลด์จำกัดเป็นผลงานของมาร์กูลิส  ( 1977 ) และปราสาด  ( 1977 ) ในกรณีฟิลด์จำนวน พลาโตนอฟยังได้พิสูจน์ผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องบนฟิลด์เฉพาะที่เรียกว่าข้อสันนิษฐานของเนเซอร์-ทิตส์ด้วย

ให้Gเป็นกลุ่มพีชคณิตเชิงเส้นเหนือฟิลด์ทั่วโลกkและAเป็นวงแหวนอะเดลของkถ้าSเป็นเซตจำกัดที่ไม่ว่างของตำแหน่งของkเราจะเขียนA ^SแทนวงแหวนของS-อะเดล และA _Sแทนผลคูณของการเติมเต็มk _sสำหรับsในเซตจำกัดSสำหรับการเลือกS ใด ๆG ( k ) ฝังตัวในG ( A _S ) และG ( A ^S )

คำถามที่ถามใน การประมาณค่า แบบอ่อนคือ การฝังตัวของG ( k ) ในG ( AS ₎มี ภาพ หนาแน่น หรือไม่ ถ้ากลุ่มGเป็นกลุ่มเชื่อมต่อและk-ตรรกยะ กลุ่ม G จะสอดคล้องกับการประมาณค่าแบบอ่อนเมื่อเทียบกับเซตS ใดๆ ( Platonov & Rapinchuk 1994 , หน้า 402) โดยทั่วไปแล้ว สำหรับกลุ่มเชื่อมต่อG ใดๆ จะมีเซตจำกัดTของตำแหน่งจำกัดของkซึ่งGจะสอดคล้องกับการประมาณค่าแบบอ่อนเมื่อเทียบกับเซตS ใดๆ ที่ไม่มีส่วนร่วมกับT ( Platonov & Rapinchuk 1994 , หน้า 415) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าkเป็นฟิลด์จำนวนพีชคณิต กลุ่มเชื่อมต่อG ใดๆ จะสอดคล้องกับการประมาณค่าแบบอ่อนเมื่อเทียบกับเซตS = S∞ของตำแหน่ง _{อนันต์}

คำถามที่ถามใน การประมาณค่า ที่เข้มงวดคือ การฝังG ( k ) ในG ( AS ) มีภาพหนาแน่นหรือ ^ไม่หรือเทียบเท่ากับว่าเซต

G ( k ) G ( A _S )

เป็นเซตย่อยหนาแน่นในG ( A ) ทฤษฎีบทหลักของการประมาณค่าแบบเข้มแข็ง ( Kneser 1966 , หน้า 188) ระบุว่ากลุ่มพีชคณิตเชิงเส้น ที่ไม่ สามารถแก้ได้Gเหนือฟิลด์ทั่วโลกkมีการประมาณค่าแบบเข้มแข็งสำหรับเซตจำกัดSก็ต่อเมื่อรากN ของมัน เป็นยูนิโพเทน ต์ G / N เป็นกลุ่มที่เชื่อมต่อกัน อย่างง่าย และส่วนประกอบเกือบง่ายH แต่ละส่วน ของG / Nมีส่วนประกอบที่ไม่กระชับH _sสำหรับบางsในS (ขึ้นอยู่กับH )

การพิสูจน์การประมาณค่าแบบเข้มข้นนั้นอาศัยหลักการของ Hasseสำหรับกลุ่มพีชคณิต ซึ่งสำหรับกลุ่มประเภทE ₈นั้นได้รับการพิสูจน์ในอีกหลายปีต่อมา

การประมาณค่าแบบอ่อนใช้ได้กับกลุ่มที่กว้างขึ้น รวมถึงกลุ่มผกผันและรูปแบบภายในของกลุ่มเชอวัลเลย์ซึ่งแสดงให้เห็นว่าคุณสมบัติการประมาณค่าแบบเข้มมีข้อจำกัด

• การประมาณค่าที่แข็งแกร่งมาก