ในการวิเคราะห์เชิงตัวเลขวิธีของเบอร์นูลลีซึ่งตั้งชื่อตามแดเนียล เบอร์นูลลีเป็นอัลกอริทึมการหา ค่าราก ที่คำนวณ ค่า ราก ที่ มีค่าสัมบูรณ์สูงสุดของพหุนามเอกตัวแปร [ ^{2 ] [ 3 ] วิธี}นี้ใช้ได้ภายใต้เงื่อนไขที่ว่ามีเพียงรากเดียว (อาจเป็นหลายราก) ที่มีค่าสัมบูรณ์สูงสุด วิธีนี้คำนวณค่ารากที่มีค่าสัมบูรณ์สูงสุดเป็นลิมิตของผลหารของพจน์สองพจน์ที่ต่อเนื่องกันของลำดับที่กำหนดโดย ความสัมพันธ์ เวียนเกิดเชิงเส้นซึ่งมีสัมประสิทธิ์เป็นค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนาม

เนื่องจากวิธีการนี้ลู่เข้าด้วยลำดับเชิงเส้นเท่านั้น จึงมีประสิทธิภาพน้อยกว่าวิธีการอื่น ๆ เช่นวิธีของนิวตันอย่างไรก็ตาม วิธีนี้อาจมีประโยชน์ในการหาค่าคาดเดาเบื้องต้นเพื่อให้แน่ใจว่าวิธีการอื่น ๆ เหล่านี้ลู่เข้าสู่รากที่มีค่าสัมบูรณ์สูงสุด^{[ 4 ]}วิธีของเบอร์นูลลีมีความสำคัญทางประวัติศาสตร์ในฐานะวิธีการแรก ๆ ในการค้นหารากเชิงตัวเลข และให้การเชื่อมต่อที่สง่างามระหว่างความสัมพันธ์เวียนเกิดและรากพหุนาม

วิธีการของเบอร์นูลลีได้รับการแนะนำครั้งแรกโดยนักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ชาวสวิส - ฝรั่งเศสดาเนียล เบอร์นูลลี (ค.ศ. 1700-1782) ในปี ค.ศ. 1728 ^{[ 1 ] [ 6 ]}เขาสังเกตเห็นแนวโน้มจากอนุกรมเวียนเกิดที่สร้างขึ้นโดยใช้สัมประสิทธิ์พหุนามที่เติบโตตามอัตราส่วนที่เกี่ยวข้องกับรากของพหุนาม แต่ไม่ได้พิสูจน์ว่าทำไมจึงได้ผล^{[ 6 ]}ในปี ค.ศ. 1725 เบอร์นูลลีได้ย้ายไปที่เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก กับ นิโคเลาส์ที่ 2 เบอร์นูลลีน้องชายของเขาซึ่งเสียชีวิตด้วยไข้ในปี ค.ศ. 1726 ^{[ 7 ]}ขณะอยู่ที่นั่น เขาได้ทำงานอย่างใกล้ชิดกับเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ศิษย์ของโยฮันน์ เบอร์นูลลีและได้สร้างความก้าวหน้ามากมายในด้านฮาร์มอ นิก ส์เศรษฐศาสตร์คณิตศาสตร์ (ดูปรากฏการณ์เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก ) และอุทกพลศาสตร์^{[ 7 ]}ออยเลอร์เรียกวิธีการของเบอร์นูลลีว่า "มีประโยชน์มาก" และให้เหตุผลว่าทำไมจึงได้ผลในปี 1748 ^{[ 8 ] [ 3 ]}นักคณิตศาสตร์โจเซฟ-หลุยส์ ลากรองจ์ได้ขยายความเรื่องนี้สำหรับกรณีที่มีรากหลายรากในปี 1798 ^{[ 5 ] [ 3 ]}วิธีการของเบอร์นูลลีมีมาก่อนอัลกอริทึมการหารากอื่นๆ เช่นวิธีการของเกรฟ (ตั้งแต่ปี 1826 ถึงแดนเดลิน) ^{[ 9 ] [ 10 ]}และร่วมสมัยกับวิธีการของฮัลลีย์ (ปี 1694) ^{[ 11 ] [ 12 ]}ตั้งแต่นั้นมา วิธีการนี้ได้มีอิทธิพลต่อการพัฒนาอัลกอริทึมที่ทันสมัยมากขึ้น เช่น วิธีการ QD ^{[ 13 ] [ 14 ]}

กำหนดพหุนาม ดีกรีdที่มีสัมประสิทธิ์เชิงซ้อนเลือกค่าเริ่มต้นd ค่า ซึ่งมักจะเป็น[ ^{15 ] จาก}นั้นพิจารณาลำดับที่กำหนดโดยความสัมพันธ์เวียนเกิด^{[ 2 ]}$${\displaystyle p=a_{0}z^{d}+a_{1}z^{d-1}+\dots +a_{d}}$$${\displaystyle x_{-d+1},x_{-d},\dots ,x_{-1},x_{0},}$${\displaystyle 0,0,0,\dots ,0,1}$$${\displaystyle x_{n}=-{\frac {a_{1}x_{n-1}+a_{2}x_{n-2}+\dots +a_{d}x_{nd}}{a_{0}}}.}$$

ให้เป็นอัตราส่วนของพจน์ที่ต่อเนื่องกันของลำดับ ถ้ามีรากเชิงซ้อนเพียงรากเดียวที่มีค่าสัมบูรณ์สูงสุด ลำดับของ จะมีลิมิตเป็นรากนี้^{[ 16 ]}${\textstyle q_{n}={\frac {x_{n+1}}{x_{n}}}}$${\displaystyle q_{n}}$

ถ้าสัมประสิทธิ์ของพหุนามเป็นจำนวนจริงแล้ว ตามทฤษฎีบทรากสังยุคเชิงซ้อนรากแต่ละรากของพหุนามจะต้องเป็นจำนวนจริงหรือเป็นส่วนหนึ่งของ คู่สัง ยุคเชิงซ้อนดังนั้น ถ้าพหุนามมีรากเชิงซ้อนเด่นเพียงรากเดียว สัมประสิทธิ์จะต้องรวมจำนวนเชิงซ้อนด้วยและลำดับที่สร้างขึ้นโดยใช้สัมประสิทธิ์นั้นจะประกอบด้วยจำนวนเชิงซ้อน วิธีของเบอร์นูลลีจะใช้ได้ผลในการหารากเด่นเพียงรากเดียว ไม่ว่าจะเป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนก็ตาม^{[ 2 ]}ถ้าหากรากเป็นส่วนหนึ่งของ คู่สั งยุคเชิงซ้อน ราก แต่ละรากในคู่นั้นจะมีค่าสัมบูรณ์สูงสุดเท่ากัน และจำเป็นต้องใช้วิธีของเบอร์นูลลีในรูปแบบที่ดัดแปลงเพื่อคำนวณค่าเหล่านั้น^{[ 3 ]}

คำตอบของสมการผลต่างอันดับที่n

${\displaystyle a_{d}x_{m}+a_{n-1}x_{m-1}+\dots +a_{0}x_{md}=0}$

มีแบบฟอร์ม

${\displaystyle x_{m}=c_{1}(m)r_{1}^{m}+c_{2}(m)r_{2}^{m}+\dots +c_{k}(m)r_{k}^{m},}$

โดยที่เป็นรากเชิงซ้อนที่แตกต่างกันของpและเป็นพหุนามในmที่มีดีกรีน้อยกว่าความซ้ำซ้อนของสำหรับรากแบบง่ายจะเป็นค่าคงที่ สัมประสิทธิ์สามารถกำหนดได้จาก พจน์ d แรก ของลำดับโดยการแก้ระบบสมการเชิงเส้น ระบบนี้มีคำตอบที่ไม่ซ้ำกันเสมอ เนื่องจากเมทริกซ์ของระบบเป็นเมทริกซ์ Vandermondeหากรากเป็นแบบง่าย หรือเป็นเมทริกซ์ Vandermonde แบบต่อเนื่องในกรณีอื่น^{[ 17 ]}${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle c_{i}(m)}$${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle x_{m}}$

ผลหารของพจน์สองพจน์ที่อยู่ติดกันในลำดับคือ

${\displaystyle {\frac {x_{m+1}}{x_{m}}}={\frac {c_{1}(m+1)r_{1}^{m+1}+c_{2}(m+1)r_{2}^{m+1}+\dots +c_{k}(m+1)r_{k}^{m+1}}{c_{1}(m)r_{1}^{m}+c_{2}(m)r_{2}^{m}+\dots +c_{k}(m)r_{k}^{m}}}.}$

การแยกตัวประกอบทำให้ได้ผลลัพธ์ดังนี้${\displaystyle r_{1}}$

${\displaystyle {\frac {x_{m+1}}{x_{m}}}=r_{1}\cdot {\frac {c_{1}(m+1)+c_{2}(m+1)\left({\frac {r_{2}}{r_{1}}}\right)^{m+1}+\dots +c_{k}(m+1)\left({\frac {r_{k}}{r_{1}}}\right)^{m+1}}{c_{1}(m)+c_{2}(m)\left({\frac {r_{2}}{r_{1}}}\right)^{m}+\dots +c_{k}(m)\left({\frac {r_{k}}{r_{1}}}\right)^{m}}}.}$

สมมติว่าเป็นรากที่เด่นที่สุด โดยที่สำหรับแต่ละอัตราส่วนจะมีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่า 1 ดังนั้นเมื่อmเพิ่มขึ้นจะเข้าใกล้ศูนย์ ดังนั้นแม้สำหรับ ที่ไม่ใช่ค่าคงที่ดังนั้นลิมิตของเศษส่วนจึงเหมือนกับลิมิตของซึ่งเท่ากับ 1 ถ้า เป็น ค่า คง ที่หรือพหุนามที่ไม่เป็นศูนย์ในm${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle |r_{1}|>|r_{i}|}$${\displaystyle i>1}$${\textstyle {\frac {r_{i}}{r_{1}}}}$${\textstyle \left({\frac {r_{i}}{r_{1}}}\right)^{m}}$${\textstyle \lim _{m\to \infty }c_{i}(m)\left({\frac {r_{i}}{r_{1}}}\right)^{m}=0,}$${\textstyle c_{i}(m)}$${\textstyle {\frac {c_{1}(m+1)}{c_{1}(m)}},}$${\displaystyle c_{i}}$

ดังนั้น ในทุกกรณีที่มีรากเพียงรากเดียวที่มีค่าสัมบูรณ์สูงสุด^{[ 18 ]}$${\displaystyle \lim _{m\to \infty }{\frac {x_{m+1}}{x_{m}}}=r_{1}}$$

สมมติฐานนี้เป็นไปตามเงื่อนไขโดยใช้ค่าเริ่มต้นเป็นศูนย์ทั้งหมดตามด้วยค่าสุดท้ายเป็น 1 ^{[ 15 ]}อันที่จริงกฎของ Cramerบ่งชี้ว่าเป็นผลหารแบบมีเครื่องหมายของเมทริกซ์ Vandermonde ที่ไม่เอกฐานสองเมทริกซ์ หากรากทั้งหมดเป็นรากเดี่ยว ในกรณีที่มีรากหลายราก สัมประสิทธิ์เด่นของเป็นผลหารแบบมีเครื่องหมายของเมทริกซ์ที่ต่อเนื่องกันที่ไม่เอกฐานสองเมทริกซ์${\displaystyle c_{1}\neq 0,}$${\displaystyle c_{1}}$${\displaystyle c_{1}(m)}$

วิธีของเบอร์นูลลีลู่เข้าสู่รากที่มีค่าสัมบูรณ์มากที่สุดของพหุนามด้วยลำดับการลู่เข้าเชิงเส้น [ ^{3 ] วิธี}นี้จะไม่ลู่เข้าเมื่อมีรากเชิงซ้อนที่แตกต่างกันสองรากที่มีค่าสัมบูรณ์มากที่สุดเท่ากัน แต่มีส่วนขยายของวิธีนี้ที่ใช้ได้ในกรณีนี้^{[ 2 ]}สำหรับการหารากที่มีค่าสัมบูรณ์น้อยที่สุด สามารถใช้วิธีนี้กับพหุนามผกผัน (พหุนามที่ได้จากการกลับลำดับของสัมประสิทธิ์) และกลับผลลัพธ์ เมื่อใช้การลดรากด้วยวิธีเช่นวิธีของฮอร์เนอร์การลดรากจากรากที่เล็กที่สุดจะมีเสถียรภาพมากกว่า^{[ 20 ]}

เพื่อเร่งการบรรจบกันAlexander Aitkenได้พัฒนาAitken delta-squared process ของเขา เป็นส่วนหนึ่งของการปรับปรุงส่วนขยายของวิธีการของ Bernoulli ซึ่งค้นหารากทั้งหมดพร้อมกัน^{[ 19 ] [ 21 ]}ส่วนขยายอีกอย่างหนึ่งของวิธีการของ Bernoulli คือวิธีการ Quotient-Difference (QD) ซึ่งค้นหารากทั้งหมดพร้อมกัน แม้ว่าจะไม่เสถียรก็ตาม^{[ 3 ]}เนื่องจากการบรรจบกันที่ช้าของวิธีการของ Bernoulli และความไม่เสถียรของวิธีการ QD จึงสามารถใช้เป็นวิธีที่เชื่อถือได้ในการค้นหาค่าเริ่มต้นสำหรับอัลกอริทึมการค้นหารากอื่นๆ แทนที่จะทำซ้ำจนกว่าจะถึงค่าความคลาดเคลื่อน^{[ 22 ]}

ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงให้เห็นถึงวิธีการของเบอร์นูลลีที่ใช้กับพหุนามกำลังสอง ให้ . ดังนั้น, , และความสัมพันธ์เวียนเกิดจึงเป็นดังนี้:${\textstyle p(z)=z^{2}-z-1=0}$${\displaystyle a_{0}=1}$${\displaystyle a_{1}=-1}$${\displaystyle a_{2}=-1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{n}&=-{\frac {(-1)x_{n-1}+(-1)x_{n-2}}{1}}\\&=x_{n-1}+x_{n-2}\end{aligned}}}$

เมื่อใช้ค่าเริ่มต้นที่แนะนำจะได้ตารางต่อไปนี้:${\displaystyle x_{-1}=0}$${\displaystyle x_{0}=1}$

ในที่สุดลำดับนี้จะลู่เข้าสู่ค่าซึ่งรู้จักกันในชื่ออัตราส่วนทองคำซึ่งเป็นรากที่ใหญ่ที่สุดของพหุนามตัวอย่าง ลำดับนี้ ก็คือ ลำดับฟิโบนาชชีที่รู้จักกันดีวิธีการของเบอร์นูลลีใช้ได้ผลแม้ว่าลำดับจะใช้ค่าเริ่มต้นที่แตกต่างกันแทนที่จะเป็น 0 และ 1 ลิมิตของผลหารยังคงเหมือนเดิม${\textstyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.618034}$${\displaystyle {x_{n}}}$${\displaystyle q_{n}}$

ตัวอย่างนี้ยังแสดงให้เห็นว่าค่าความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์เข้าใกล้ศูนย์เมื่อลำดับดำเนินต่อไป จากนั้นจึงสามารถคำนวณลำดับการลู่เข้าโดยใช้ค่าความคลาดเคลื่อนสามค่าที่อยู่ติดกัน ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่าวิธีการของเบอร์นูลลีลู่เข้าแบบเชิงเส้นเมื่อเข้าใกล้รากเด่นของพหุนาม

เมื่อเปรียบเทียบกับอัลกอริธึมการหาค่ารากอื่นๆ วิธีของเบอร์นูลลีมีข้อดีและข้อจำกัดที่แตกต่างกัน ตารางต่อไปนี้สรุปความแตกต่างที่สำคัญหลายประการของวิธีของเบอร์นูลลีเมื่อเปรียบเทียบกับวิธีอื่นๆ:

แม้ว่าวิธีการของเบอร์นูลลีจะลู่เข้าแบบเชิงเส้น แต่ก็ยังคงมีความเกี่ยวข้องในคณิตศาสตร์เชิงคำนวณด้วยการค้นหาค่าเริ่มต้นสำหรับ อัลกอริทึม การค้นหารากพหุนามและการขยายไปสู่โดเมนทางคณิตศาสตร์ทั่วไปมากขึ้น^{[ 4 ]} นอกจาก นี้ยังสามารถใช้เพื่อค้นหารากที่ซับซ้อนได้^{[ 2 ]}อย่างไรก็ตาม การขยายวิธีการของเบอร์นูลลีที่ซับซ้อนกว่า เช่น วิธีการของ Aitken ^{[ 19 ]}และวิธีการ QD ^{[ 2 ]}สามารถค้นหารากที่ซับซ้อนได้ในขณะที่แก้ปัญหารากทั้งหมดพร้อมกัน นอกจากนี้ยังมีรูปแบบต่างๆ ของวิธีการของเบอร์นูลลีที่ปรับปรุงเสถียรภาพและจัดการกับรากหลายราก^{[ 26 ] [ 27 ]} การวิเคราะห์วิธีการ QD ในปี 2025 รวมถึงการใช้งานในภาษาC ^{[ 28 ]}

ในการประยุกต์ใช้งานที่เกี่ยวข้อง วิธีของเบอร์นูลลีได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเทียบเท่ากับวิธี Powerบนเมทริกซ์คู่ขนานสำหรับการค้นหาค่าลักษณะเฉพาะ [ ^{29 ] ความ}ก้าวหน้าในอาร์เรย์ซิสโตลิกนำไปสู่เวอร์ชันแบบขนานของวิธีของเบอร์นูลลี^{[ 30 ]}วิธีนี้ยังได้รับการขยายให้ครอบคลุมการค้นหาขั้วของฟังก์ชันตรรกยะซึ่งขยายไปสู่สาขาการวิเคราะห์เชิงซ้อน^{[ 31 ]}ส่วนขยายของวิธีของเบอร์นูลลีถูกนำมาใช้เพื่อปรับปรุงวิธีการหลายขั้นตอนเชิงเส้น^{[ 32 ]}การพัฒนาอีกรูปแบบหนึ่งของวิธีของเบอร์นูลลีที่ดัดแปลงแล้วสร้างฟังก์ชันเสริมโดยใช้การขยายอนุกรมเทย์เลอร์และลอเรนต์ เพื่อแก้หาค่าราก ^{[ 33 ] [ 34 ]}การใช้งานวิธีของเบอร์นูลลีรวมอยู่ในไลบรารีวิธีการเชิงตัวเลขโอเพนซอร์ส CodeCogs ^{[ 35 ]}วิธีนี้ยังได้รับการเขียนโปรแกรมบนEDSACพร้อมกับวิธีของ Graeffeแต่เลือกใช้วิธีของนิวตัน เนื่องจากเร็วกว่า ^{[ 36 ]}

วิธีการของเบอร์นูลลีได้รับการนำไปใช้ในภาษาโปรแกรมPython ดังต่อไปนี้

def bernoulli_method ( c , eps = 1e-8 , max_iter = 60 ): """  วิธีของเบอร์นูลลีในการหารากเด่นของพหุนาม พารามิเตอร์ ----------  c : รายการ ราย ชื่อสัมประสิทธิ์ของพหุนามเรียงลำดับจากกำลังมากไปน้อย ตัวอย่างเช่น ถ้า p(x) = x^2 - x - 1, c = [1.0, -1.0, -1.0]  eps : จำนวนทศนิยม (ตัวเลือก)  ค่าความคลาดเคลื่อนของการลู่เข้า ค่าเริ่มต้นคือ 1e-8  max_iter : จำนวนเต็ม (ตัวเลือก)  จำนวนการวนซ้ำสูงสุด ค่าเริ่มต้นคือ 60 ส่งคืนค่า -------  float หรือ complex  รากเด่นของพหุนาม ถ้าพบ มิฉะนั้นจะส่งคืนค่า float('nan') ตัวอย่าง --------  >>> bernoulli_method([1.0, -1.0, -1.0]) # ตัวอย่างอัตราส่วนทองคำ 1.6180339901755971  >>> bernoulli_method([1.0, -3.0, 2.0]) # x^2 - 3x + 2 = (x - 2)(x - 1)  2.0000000074505806  """ n = len ( c ) x = [ 0.0 ] * ( n - 2 ) + [ 1.0 ] # เริ่มต้นด้วยศูนย์และ 1.0 q = []สำหรับi ในช่วง( n - 1 , max_iter + n ): # ใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิด: x_n = -(a_1*x_{n-1} + ... + a_d*x_{nd})/a_0 x.append ( -sum ( c [ k ] * x [ -k + i ] สำหรับk ในช่วง( 1 , n ) ) / c[0]) q.append ( x [ -1 ] / x [ -2 ] ) # ผลหารของพจน์x สองพจน์ที่ต่อเนื่องกัน q_n = x_{n+1} / x_n# ตรวจสอบการลู่เข้าหลังจากค่าผลหารสองค่าถ้าlen ( q ) > = 2 และabs ( q [ -1 ] - q [ -2 ] ) <= eps : คืนค่าq [ -1 ] # คืนค่าผลหารที่คำนวณ ได้ล่าสุดreturn float ( "nan" ) # ไม่มีการบรรจบกันภายใน max_iter

การปรับปรุงประสิทธิภาพอย่างหนึ่งคือการทำให้สัมประสิทธิ์เป็นมาตรฐานโดยใช้สัมประสิทธิ์นำหน้าในตอนต้นของวิธีการ ( c = [coef / c[0] for coef in c]) ซึ่งจะช่วยขจัดความจำเป็นในการดำเนินการหารในความสัมพันธ์เวียนเกิดภายในตัวลูปหลัก ( x.append(-sum(c[k] * x[-k + i] for k in range(1, n)))) การเปลี่ยนแปลงนี้ไม่มีผลกระทบต่อลำดับการลู่เข้าของวิธีการ การนำการลู่เข้าที่มีลำดับสูงกว่ามาใช้จะต้องใช้กระบวนการเดลต้ากำลังสองของ Aitken

• กระบวนการเดลต้ากำลังสองของไอท์เคน
• วิธีของ Graeffe
• วิธีของฮอร์เนอร์
• อัลกอริทึมเลห์เมอร์-ชูร์
• รายชื่อสิ่งของที่ตั้งชื่อตามสมาชิกในครอบครัวเบอร์นูลลี
• การหาค่ารากของพหุนาม