หลักการของเบอร์นูลลี

การไหลของอากาศผ่านเครื่องวัดเวนทูรีพลังงานจลน์เพิ่มขึ้นในขณะที่ความดันของของเหลว ลดลง ดังแสดงโดยความแตกต่างของระดับความสูงระหว่างคอลัมน์น้ำทั้งสอง

วิดีโอแสดง การใช้งาน เครื่องวัดเวนทูรีในการทดลองในห้องปฏิบัติการ

หลักการของเบอร์นูลลีเป็นแนวคิดสำคัญในพลศาสตร์ของไหลที่เชื่อมโยงความดัน ความเร็ว และความสูง ตัวอย่างเช่น สำหรับของไหลที่ไหลในแนวนอน หลักการของเบอร์นูลลีระบุว่าความเร็วที่เพิ่มขึ้นจะเกิดขึ้นพร้อมกับการลดลงของความดัน^{[ 1 ]}^{: บทที่ 3}^{[ 2 ]}^{: 156–164, § 3.5}หลักการนี้ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ชาวสวิสดาเนียล เบอร์นูลลีผู้ตีพิมพ์หลักการนี้ในหนังสือHydrodynamica ของเขา ในปี 1738 ^{[ 3 ]}แม้ว่าเบอร์นูลลีจะสรุปว่าความดันลดลงเมื่อความเร็วการไหลเพิ่มขึ้น แต่เป็นเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ในปี 1752 ที่ได้พิสูจน์สมการของเบอร์นูลลีในรูปแบบปกติ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

หลักการของเบอร์นูลลีสามารถอนุมานได้จากหลักการอนุรักษ์พลังงานซึ่งระบุว่า ในการไหลคงที่ ผลรวมของพลังงานทุกรูปแบบในของเหลวจะมีค่าเท่ากันทุกจุดที่ปราศจากแรงหนืด ซึ่งหมายความว่าผลรวมของพลังงานจลน์พลังงานศักย์ และพลังงานภายในจะต้องคงที่^{[ 2 ]}^{: § 3.5}ดังนั้น การเพิ่มขึ้นของความเร็วของของเหลว ซึ่งหมายถึงการเพิ่มขึ้นของพลังงานจลน์ จะเกิดขึ้นพร้อมกับการลดลงของ (ผลรวมของ) พลังงานศักย์ (รวมถึงความดันสถิต) และพลังงานภายใน หากของเหลวไหลออกจากอ่างเก็บน้ำ ผลรวมของพลังงานทุกรูปแบบจะมีค่าเท่ากัน เพราะในอ่างเก็บน้ำ พลังงานต่อหน่วยปริมาตร (ผลรวมของความดันและศักย์โน้มถ่วง $ρ g h$ ) จะมีค่าเท่ากันทุกที่^{[ 6 ]}^{: ตัวอย่าง 3.5 และหน้า 116}

หลักการของเบอร์นูลลีสามารถอนุมานได้โดยตรงจากกฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของไอแซค นิวตันเมื่อของเหลวไหลในแนวนอนจากบริเวณที่มีความดันสูงไปยังบริเวณที่มีความดันต่ำ ความดันจากด้านหลังจะมากกว่าด้านหน้า ทำให้เกิดแรงสุทธิกระทำต่อปริมาตร ส่งผลให้ของเหลวเคลื่อนที่เร็วขึ้นตามเส้นกระแส^[^a^]^[^b^]^[^c^]

อนุภาคของไหลอยู่ภายใต้แรงดันและน้ำหนักของตัวเองเท่านั้น หากของไหลไหลในแนวนอนและตามส่วนของเส้นกระแส ความเร็วจะเพิ่มขึ้นก็ต่อเมื่อของไหลในส่วนนั้นเคลื่อนที่จากบริเวณที่มีแรงดันสูงไปยังบริเวณที่มีแรงดันต่ำ และหากความเร็วลดลงก็ต่อเมื่อเคลื่อนที่จากบริเวณที่มีแรงดันต่ำไปยังบริเวณที่มีแรงดันสูง ดังนั้น ภายในของไหลที่ไหลในแนวนอน ความเร็วสูงสุดจะเกิดขึ้นที่แรงดันต่ำที่สุด และความเร็วต่ำสุดจะเกิดขึ้นที่แรงดันสูงสุด^{[ 10 ]}

ความดันสถิตต้นน้ำ(1) สูงกว่าในส่วนที่แคบ (2) และความเร็ว ของของเหลว ที่ "1" ช้ากว่าที่ "2" เนื่องจากพื้นที่หน้าตัดที่ "1" มากกว่าที่ "2"

หลักการของเบอร์นูลลีใช้ได้เฉพาะกับการไหลแบบไอเซนโทรปิก เท่านั้น กล่าว คือ เมื่อผลกระทบของกระบวนการที่ไม่สามารถย้อนกลับได้ (เช่นความปั่นป่วน ) และกระบวนการที่ไม่เป็นอะเดียแบติก (เช่นการแผ่รังสีความร้อน ) มีขนาดเล็กและสามารถละเลยได้ อย่างไรก็ตาม หลักการนี้สามารถนำไปใช้กับการไหลประเภทต่างๆ ภายในขอบเขตเหล่านี้ ส่งผลให้สมการของเบอร์นูลลีมีหลายรูปแบบ รูปแบบง่ายๆ ของสมการเบอร์นูลลีใช้ได้กับการไหลที่ไม่สามารถอัดได้ (เช่น การไหล ของของเหลว ส่วนใหญ่ และก๊าซที่เคลื่อนที่ด้วยเลขมัค ต่ำ ) รูปแบบที่ซับซ้อนกว่าอาจนำไปใช้กับการไหลที่สามารถอัดได้ที่เลขมัคสูงขึ้น

สมการการไหลที่ไม่สามารถอัดได้

ในการไหลของของเหลวส่วนใหญ่ และของก๊าซที่ความเร็วมาค ต่ำ ความหนาแน่นของอนุภาคของไหลสามารถถือได้ว่าคงที่ โดยไม่ขึ้นอยู่กับการเปลี่ยนแปลงความดันในการไหล ดังนั้น ของไหลจึงถือได้ว่าไม่สามารถอัดได้ และการไหลเหล่านี้เรียกว่าการไหลที่ไม่สามารถอัดได้เบอร์นูลลีทำการทดลองกับของเหลว ดังนั้นสมการของเขาในรูปแบบดั้งเดิมจึงใช้ได้เฉพาะกับการไหลที่ไม่สามารถอัดได้เท่านั้น

รูปแบบทั่วไปของสมการเบอร์นูลลีคือ:

{\frac {v^{2}}{2}}+gz+{\frac {p}{\rho }}={\text{ค่าคงที่}}

เอ

ที่ไหน:

$v$ คือความเร็ว การไหลของของเหลว ณ จุดใดจุดหนึ่ง
$g$ คือความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง
$z$ คือค่าความสูงของจุดเหนือระนาบอ้างอิง โดยทิศทางบวกของค่า ชี้ขึ้นด้านบน—ดังนั้นจึงอยู่ในทิศทางตรงกันข้ามกับความเร่งโน้มถ่วง $z$
$p$ คือความดันสถิตณ จุดที่เลือก และ
$\rho$ คือความหนาแน่นของของเหลว ณ ทุกจุดในของเหลวนั้น

สมการของเบอร์นูลลีและค่าคงที่ของเบอร์นูลลีสามารถนำไปใช้ได้ทั่วทั้งบริเวณการไหลใดๆ ที่พลังงานต่อหน่วยมวลมีความสม่ำเสมอ เนื่องจากพลังงานต่อหน่วยมวลของของเหลวในอ่างเก็บน้ำที่ผสมกันอย่างดีมีความสม่ำเสมอทั่วทั้งบริเวณ สมการของเบอร์นูลลีจึงสามารถใช้ในการวิเคราะห์การไหลของของเหลวได้ทุกที่ในอ่างเก็บน้ำนั้น (รวมถึงท่อหรือสนามการไหลที่อ่างเก็บน้ำป้อน) ยกเว้นบริเวณที่แรงหนืด มีอิทธิพล เหนือกว่าและลดทอนพลังงานต่อหน่วยมวล^{[ 6 ]}^{: ตัวอย่าง 3.5 และหน้า 116}

ต้องเป็นไปตามข้อสมมติฐานต่อไปนี้เพื่อให้สมการเบอร์นูลลีนี้ใช้ได้: ^{[ 2 ]}^{: 265}

การไหลต้องคงที่ กล่าวคือ พารามิเตอร์การไหล (ความเร็ว ความหนาแน่น ฯลฯ) ณ จุดใด ๆ จะต้องไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา
การไหลต้องไม่สามารถอัดได้ แม้ว่าความดันจะเปลี่ยนแปลงไป แต่ความหนาแน่นต้องคงที่ตลอดแนวเส้นการไหล
แรงเสียดทานจากแรงหนืด จะต้องมีน้อยมากจนสามารถละเลยได้

สำหรับ สนาม แรงอนุรักษ์ ( ไม่จำกัดเฉพาะสนามโน้มถ่วง ) สมการของเบอร์นูลลีสามารถสรุปได้ดังนี้: ^{[ 2 ]}^{: 265} โดยที่ $Ψ$ คือศักย์แรง ณ จุดที่พิจารณา ตัวอย่างเช่น สำหรับแรงโน้มถ่วงของโลก $Ψ =$ $gz$ ${\frac {v^{2}}{2}}+\Psi +{\frac {p}{\rho }}={\text{ค่าคงที่}}$

เมื่อคูณด้วยความหนาแน่นของของเหลว $ρ$ สมการ ( A ) สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้: หรือ: โดยที่ ${\tfrac {1}{2}}\rho v^{2}+\rho gz+p={\text{constant}}$ $q+\rho gh=p_{0}+\rho gz={\text{constant}}$

$q = ⁠ 1 / 2 ρv 2$ คือความ $ดัน$ ไดนามิก
$h = z + ⁠ พี / ρg คือ$ หัวความดันหรือหัวไฮดรอลิก (ผลรวมของระดับความสูง $z$ และหัวความดัน )^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}และ
$p = p + q$ คือความดันหยุดนิ่ง (ผลรวมของความดันสถิต $p$ และความดันไดนามิก $q$ )^{[ 13 ]}

ค่าคงที่ในสมการเบอร์นูลลีสามารถทำให้เป็นค่ามาตรฐานได้ วิธีที่นิยมใช้คือการใช้ค่าหัวรวมหรือค่าหัวพลังงาน $H$ : $H=z+{\frac {p}{\rho g}}+{\frac {v^{2}}{2g}}=h+{\frac {v^{2}}{2g}},$

สมการข้างต้นแสดงให้เห็นว่ามีอัตราเร็วการไหลค่าหนึ่งที่ความดันเป็นศูนย์ และที่อัตราเร็วที่สูงขึ้นไปอีก ความดันจะเป็นค่าลบ โดยส่วนใหญ่แล้ว ก๊าซและของเหลวไม่สามารถมีความดันสัมบูรณ์เป็นลบ หรือแม้แต่เป็นศูนย์ได้ ดังนั้นเห็นได้ชัดว่าสมการของเบอร์นูลลีจึงใช้ไม่ได้ก่อนที่ความดันจะเป็นศูนย์ ในของเหลว เมื่อความดันต่ำเกินไป จะ เกิดปรากฏการณ์ คาวิตาชันสมการข้างต้นใช้ความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างอัตราเร็วการไหลยกกำลังสองกับความดัน ที่อัตราเร็วการไหลสูงขึ้นในก๊าซ หรือสำหรับ คลื่น เสียงในของเหลว การเปลี่ยนแปลงของความหนาแน่นมวลจะมีความสำคัญมากจนทำให้สมมติฐานเรื่องความหนาแน่นคงที่ใช้ไม่ได้

รูปแบบที่เรียบง่าย

ในการประยุกต์ใช้สมการของเบอร์นูลลีหลายๆ ครั้ง การเปลี่ยนแปลงของ เทอม $ρgz$ นั้นน้อยมากเมื่อเทียบกับเทอมอื่นๆ จนสามารถละเลยได้ ตัวอย่างเช่น ในกรณีของเครื่องบินที่กำลังบิน การเปลี่ยนแปลงความสูง $z$ นั้นน้อยมากจน สามารถละเว้นเทอม $ρgz$ ได้ ทำให้สมการข้างต้นสามารถนำเสนอในรูปแบบที่ง่ายขึ้นดังนี้: โดยที่ $p$ เรียกว่าความดันรวมและ $q$ คือความดันไดนามิก [ ¹⁴^]^ผู้เขียนหลายคนอ้างถึงความดัน $p$ ว่าเป็นความดันสถิตเพื่อแยกความแตกต่างจากความดันรวม $p$ และความดันไดนามิก $q$ ในAerodynamics LJ Clancy เขียนว่า: "เพื่อแยกความแตกต่างจากความดันรวมและความดันไดนามิก ความดันที่แท้จริงของของไหล ซึ่งไม่ได้เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่ แต่เกี่ยวข้องกับสถานะของมัน มักจะเรียกว่าความดันสถิต แต่เมื่อใช้คำว่าความดันเพียงอย่างเดียว จะหมายถึงความดันสถิตนี้" ^[¹^]^{: § 3.5} $p+q=p_{0}$

รูปแบบที่ง่ายขึ้นของสมการของเบอร์นูลลีสามารถสรุปได้ด้วยสมการคำพูดที่น่าจดจำดังต่อไปนี้: ^{[ 1 ]}^{: § 3.5}

ความดันสถิต + ความดันพลวัต = ความดันรวม

ทุกจุดในของเหลวที่ไหลอย่างสม่ำเสมอ ไม่ว่าความเร็วของของเหลว ณ จุดนั้นจะเป็นเท่าใด ก็จะมีแรงดันสถิต p และแรงดันพลวัต q ที่ไม่ซ้ำกัน ผล $ของ$ แรง $ดัน$ สถิตและแรงดัน พลวัต $p + q$ เรียกว่าแรงดันรวม $p₀$ ความสำคัญของหลักการของเบอร์นูลลีสามารถสรุปได้ว่า "แรงดันรวมมีค่าคงที่ในทุกบริเวณที่ปราศจากแรงหนืด" หากการไหลของของเหลวหยุดนิ่ง ณ จุดใดจุดหนึ่ง จุดนั้นเรียกว่าจุดหยุดนิ่ง และ ณ จุดนี้ แรงดันสถิตจะเท่ากับแรงดันหยุดนิ่ง

หากการไหลของของเหลวเป็นแบบไร้การหมุนความดันรวมจะสม่ำเสมอ และหลักการของเบอร์นูลลีสามารถสรุปได้ว่า "ความดันรวมคงที่ทุกที่ในการไหลของของเหลว" ^{[ 1 ]}^{: สมการ 3.12}เป็นเรื่องสมเหตุสมผลที่จะสมมติว่าการไหลแบบไร้การหมุนมีอยู่จริงในทุกสถานการณ์ที่ของเหลวปริมาณมากไหลผ่านวัตถุแข็ง ตัวอย่างเช่น เครื่องบินที่กำลังบินและเรือที่เคลื่อนที่ในแหล่งน้ำเปิด อย่างไรก็ตาม หลักการของเบอร์นูลลีที่สำคัญคือใช้ไม่ได้ในชั้นขอบเขตเช่น ในการไหลผ่านท่อยาว

การไหลศักย์ที่ไม่คงที่

สมการเบอร์นูลลีสำหรับการไหลศักย์ที่ไม่คงที่ใช้ในทฤษฎีคลื่นผิวน้ำในมหาสมุทรและเสียงสำหรับการไหลที่ไม่หมุนความเร็วการไหลสามารถอธิบายได้ว่าเป็นเกรเดียนต์ $\nabla φ$ ของศักย์ความเร็ว $φ$ ในกรณีนั้น และสำหรับความหนาแน่นคงที่ $ρ$ สมการโมเมนตัมของสมการออยเลอร์สามารถรวมเข้าด้วยกันได้ดังนี้: ^{[ 2 ]}^{: 383} ${\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}v^{2}+{\frac {p}{\rho }}+gz=f(t),$

ซึ่งเป็นสมการเบอร์นูลลีที่ใช้ได้กับกระแสการไหลที่ไม่คงที่ หรือขึ้นอยู่กับเวลาด้วยเช่นกัน ที่นี่ $⁠$ $\partial φ / \partial t ⁠$ แทนอนุพันธ์ย่อยของศักยภาพความเร็ว $φ$ เทียบกับเวลา $t$ และ $v = | \nabla φ |$ คือความเร็วการไหล ฟังก์ชัน $f (t)$ ขึ้นอยู่กับเวลาเท่านั้น ไม่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งในของไหล ดังนั้น สมการเบอร์นูลลี ณ เวลา $t$ ใดๆ จึงใช้ได้กับโดเมนของไหลทั้งหมด นี่เป็นจริงเช่นกันสำหรับกรณีพิเศษของการไหลแบบคงที่ที่ไม่หมุนวน ซึ่งในกรณีนี้ $f$ และ $⁠$ $\partial φ / \partial t เป็น$ ค่าคงที่ ดังนั้นสมการ ( A ) สามารถนำไปใช้ได้ในทุกจุดของโดเมนของไหล^{[ 2 ]}^{: 383}นอกจากนี้ $f (t)$ สามารถทำให้เท่ากับศูนย์ได้โดยการรวมเข้ากับศักยภาพความเร็วโดยใช้การแปลง: ส่งผลให้: $\Phi =\varphi -\int _{t_{0}}^{t}f(\tau )\,\mathrm {d} \tau ,$ ${\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}v^{2}+{\frac {p}{\rho }}+gz=0.$

โปรดทราบว่าความสัมพันธ์ระหว่างศักยภาพกับความเร็วการไหลจะไม่ได้รับผลกระทบจากการแปลงนี้: ∇Φ $= \nabla φ$

สมการเบอร์นูลลีสำหรับการไหลศักย์ที่ไม่คงที่ดูเหมือนจะมีบทบาทสำคัญในหลักการแปรผันของลุคซึ่งเป็นการอธิบายการไหลบนพื้นผิวอิสระโดยใช้กลศาสตร์ลากรางจ์

สมการการไหลแบบอัดได้

เบอร์นูลลีพัฒนาหลักการของเขาจากการสังเกตของเหลว และสมการของเบอร์นูลลีใช้ได้กับของเหลวในอุดมคติ กล่าวคือ ของเหลวที่ไม่มีความหนืด ไม่สามารถอัดได้ และอยู่ภายใต้แรงอนุรักษ์เท่านั้น บางครั้งก็ใช้ได้กับการไหลของก๊าซด้วยเช่นกัน โดยมีเงื่อนไขว่าไม่มีการถ่ายโอนพลังงานจลน์หรือพลังงานศักยภาพจากการไหลของก๊าซไปยังการอัดหรือการขยายตัวของก๊าซ หากทั้งความดันและปริมาตรของก๊าซเปลี่ยนแปลงพร้อมกัน งานจะถูกกระทำโดยหรือต่อก๊าซ ในกรณีนี้ สมการของเบอร์นูลลีในรูปแบบการไหลที่ไม่สามารถอัดได้นั้นไม่สามารถถือว่าใช้ได้ อย่างไรก็ตาม หากกระบวนการของก๊าซเป็นแบบความดันคงที่หรือปริมาตรคงที่ โดยสมบูรณ์ จะไม่มีงานกระทำโดยหรือต่อก๊าซ (ดังนั้นสมดุลพลังงานอย่างง่ายจึงไม่ถูกรบกวน) ตามกฎของก๊าซ กระบวนการความดันคงที่หรือปริมาตรคงที่โดยปกติแล้วเป็นวิธีเดียวที่จะรับประกันความหนาแน่นคงที่ในก๊าซ นอกจากนี้ ความหนาแน่นของก๊าซจะเป็นสัดส่วนกับอัตราส่วนของความดันและอุณหภูมิสัมบูรณ์ อย่างไรก็ตาม อัตราส่วนนี้จะเปลี่ยนแปลงไปตามการบีบอัดหรือการขยายตัว ไม่ว่าปริมาณความร้อนที่เพิ่มหรือลดลงจะมีค่าไม่เป็นศูนย์เท่าใดก็ตาม ข้อยกเว้นเพียงอย่างเดียวคือ หากการถ่ายเทความร้อนสุทธิเป็นศูนย์ เช่น ในวัฏจักรทางเทอร์โมไดนามิกที่สมบูรณ์ หรือใน กระบวนการ ไอเซนโทรปิก ( อะเดียแบติก ที่ไม่มีแรงเสียดทาน ) แต่ละกระบวนการ และถึงกระนั้น กระบวนการผันกลับได้นี้ก็ต้องผันกลับเช่นกัน เพื่อคืนก๊าซให้กลับสู่ความดันและปริมาตรจำเพาะเดิม และความหนาแน่นเดิม เฉพาะในกรณีนั้นเท่านั้นที่สมการเบอร์นูลลีเดิมที่ไม่ได้แก้ไขจะสามารถนำมาใช้ได้ ในกรณีนี้ สมการนี้สามารถใช้ได้หากความเร็วการไหลของก๊าซต่ำกว่าความเร็วเสียง มากพอ จนสามารถละเลยการเปลี่ยนแปลงความหนาแน่นของก๊าซ (เนื่องจากผลกระทบนี้) ตามเส้นกระแสแต่ละเส้นได้ โดยทั่วไปแล้ว การไหลแบบอะเดียแบติกที่ความเร็วต่ำกว่าMach 0.3 ถือว่าช้าพอ^{[ 15 ]}

เราสามารถใช้หลักการพื้นฐานทางฟิสิกส์เพื่อพัฒนาสมการที่คล้ายคลึงกันซึ่งสามารถนำไปใช้กับของไหลอัดได้ มีสมการมากมาย แต่ละสมการถูกออกแบบมาเพื่อการใช้งานเฉพาะด้าน แต่ทั้งหมดล้วนคล้ายคลึงกับสมการของเบอร์นูลลี และทั้งหมดอาศัยเพียงหลักการพื้นฐานทางฟิสิกส์ เช่น กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน หรือกฎข้อแรกของอุณหพลศาสตร์

การไหลแบบอัดได้ในพลศาสตร์ของไหล

สำหรับของไหลที่อัดได้ซึ่งมีสมการสถานะ แบบบารอโทรปิก และอยู่ภายใต้การกระทำของแรงอนุรักษ์^[¹⁶^] โดยที่: ${\frac {v^{2}}{2}}+\int _{p_{1}}^{p}{\frac {\mathrm {d} {\tilde {p}}}{\rho \left({\tilde {p}}\right)}}+\Psi ={\text{ค่าคงที่ (ตามแนวเส้นกระแส)}}$

$p$ คือความดัน
$ρ$ คือความหนาแน่น และ $ρ (p)$ บ่งชี้ว่าความหนาแน่นเป็นฟังก์ชันของความดัน
$v$ คือความเร็วการไหล
$Ψ$ คือศักยภาพที่เกี่ยวข้องกับสนามแรงอนุรักษ์ ซึ่งมักจะเป็นศักยภาพความโน้มถ่วง

ในสถานการณ์ทางวิศวกรรม ระดับความสูงโดยทั่วไปมีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับขนาดของโลก และช่วงเวลาของการไหลของของเหลวมีขนาดเล็กพอที่จะพิจารณาสมการสถานะเป็นแบบอะเดียแบติก ในกรณีนี้ สมการข้างต้นสำหรับก๊าซอุดมคติจะกลายเป็น: ^{[ 1 ]}^{: § 3.11} โดยที่ นอกเหนือจากเงื่อนไขที่ระบุไว้ข้างต้น: ${\frac {v^{2}}{2}}+gz+\left({\frac {\gamma }{\gamma -1}}\right){\frac {p}{\rho }}={\text{constant (along a streamline)}}$

$γ$ คืออัตราส่วนของความร้อนจำเพาะของของเหลว
$g$ คือความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง
$z$ คือระดับความสูงของจุดเหนือระนาบอ้างอิง

ในการใช้งานการไหลแบบอัดได้หลายๆ กรณี การเปลี่ยนแปลงระดับความสูงนั้นน้อยมากเมื่อเทียบกับตัวแปรอื่นๆ ดังนั้นจึงสามารถละเว้น ตัวแปร $gz ได้ สมการในรูปแบบที่ใช้งานได้จริงจึงเป็นดังนี้:$ ${\frac {v^{2}}{2}}+\left({\frac {\gamma }{\gamma -1}}\right){\frac {p}{\rho }}=\left({\frac {\gamma }{\gamma -1}}\right){\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}$

ที่ไหน:

$p$ คือความดันรวม
$ρ$ คือความหนาแน่นรวม

การไหลแบบอัดได้ในอุณหพลศาสตร์

รูปแบบทั่วไปที่สุดของสมการ ซึ่งเหมาะสมสำหรับการใช้งานในอุณหพลศาสตร์ในกรณีของการไหลแบบ (กึ่ง) คงที่ คือ: ^{[ 2 ]}^{: § 3.5}^{[ 17 ]}^{: § 5}^{[ 18 ]}^{: § 5.9}

${\frac {v^{2}}{2}}+\Psi +w={\text{constant}}.$

ในที่นี้ $w$ คือเอนทาลปีต่อหน่วยมวล (หรือที่เรียกว่าเอนทาลปีจำเพาะ) ซึ่งมักเขียนแทนด้วย $h$ (อย่าสับสนกับ "head" หรือ "height")

โปรดทราบว่า e $คือ$ พลังงานทางเทอร์โมไดนามิกต่อหน่วยมวล หรือที่เรียกว่าพลังงานภายใน จำเพาะดังนั้น สำหรับพลังงานภายในคงที่ สมการจะลดรูปเหลือเป็นรูปแบบการไหลที่ไม่สามารถอัดได้ $w=e+{\frac {p}{\rho }}~~~\left(={\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p}{\rho }}\right)$ $e$

ค่าคงที่ทางด้านขวามือมักเรียกว่าค่าคงที่ของเบอร์นูลลี และใช้สัญลักษณ์ $b$ สำหรับการไหลแบบคงที่ ไม่มีความหนืด และเป็นการไหลแบบอะเดียแบติก โดยไม่มีแหล่งหรือตัวดูดซับพลังงานเพิ่มเติม ค่า $b$ จะคงที่ตลอดแนวเส้นกระแสใดๆ โดยทั่วไปแล้ว แม้ว่าค่า $b$ อาจแปรผันไปตามเส้นกระแส แต่ก็ยังคงเป็นพารามิเตอร์ที่มีประโยชน์ ซึ่งเกี่ยวข้องกับ "ระดับ" ของของเหลว (ดูด้านล่าง)

เมื่อ สามารถละเลย การเปลี่ยนแปลงของ $Ψ$ ได้ รูปแบบที่มีประโยชน์มากของสมการนี้คือ: โดยที่ $w$ คือเอนทาลปีรวม สำหรับก๊าซที่สมบูรณ์แบบทางความร้อน เช่น ก๊าซในอุดมคติ เอนทาลปีจะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับอุณหภูมิ และนี่นำไปสู่แนวคิดของอุณหภูมิรวม (หรืออุณหภูมิสภาวะหยุดนิ่ง) ${\frac {v^{2}}{2}}+w=w_{0}$

When shock waves are present, in a reference frame in which the shock is stationary and the flow is steady, many of the parameters in the Bernoulli equation suffer abrupt changes in passing through the shock. The Bernoulli parameter remains unaffected. An exception to this rule is radiative shocks, which violate the assumptions leading to the Bernoulli equation, namely the lack of additional sinks or sources of energy.

Unsteady potential flow

For a compressible fluid, with a barotropic equation of state, the unsteady momentum conservation equation ${\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\left({\vec {v}}\cdot \nabla \right){\vec {v}}=-{\vec {g}}-{\frac {\nabla p}{\rho }}$

With the irrotational assumption, namely, the flow velocity can be described as the gradient $\nabla φ$ of a velocity potential $φ$ . The unsteady momentum conservation equation becomes ${\frac {\partial \nabla \phi }{\partial t}}+\nabla \left({\frac {\nabla \phi \cdot \nabla \phi }{2}}\right)=-\nabla \Psi -\nabla \int _{p_{1}}^{p}{\frac {d{\tilde {p}}}{\rho ({\tilde {p}})}}$ which leads to ${\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {\nabla \phi \cdot \nabla \phi }{2}}+\Psi +\int _{p_{1}}^{p}{\frac {d{\tilde {p}}}{\rho ({\tilde {p}})}}={\text{constant}}$

In this case, the above equation for isentropic flow becomes: ${\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {\nabla \phi \cdot \nabla \phi }{2}}+\Psi +{\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p}{\rho }}={\text{constant}}$

Derivations

Bernoulli equation for incompressible fluids

The Bernoulli equation for incompressible fluids can be derived by either integrating Newton's second law of motion or by applying the law of conservation of energy, ignoring viscosity, compressibility, and thermal effects.

Derivation by integrating Newton's second law of motion

The simplest derivation is to first ignore gravity and consider constrictions and expansions in pipes that are otherwise straight, as seen in Venturi effect. Let the $x$ axis be directed down the axis of the pipe.

Define a parcel of fluid moving through a pipe with cross-sectional area $A$ , the length of the parcel is $d x$ , and the volume of the parcel $A d x$ . If mass density is $ρ$ , the mass of the parcel is density multiplied by its volume $m = ρA d x$ . The change in pressure over distance $d x$ is $d p$ and flow velocity $v = ⁠ d x / d t ⁠$ .

Apply Newton's second law of motion (force = mass × acceleration) and recognizing that the effective force on the parcel of fluid is $- A d p$ . If the pressure decreases along the length of the pipe, $d p$ is negative but the force resulting in flow is positive along the $x$ axis.

${\begin{aligned}m{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}&=F\\\rho A\mathrm {d} x{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}&=-A\mathrm {d} p\\\rho {\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}&=-{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}\end{aligned}}$

ในการไหลคงที่ สนามความเร็วจะคงที่เมื่อเทียบกับเวลา $v = v (x) = v (x (t))$ ดังนั้น $v$ เองจึงไม่ใช่ฟังก์ชันโดยตรงของเวลา $t$ การเปลี่ยนแปลงจะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่ออนุภาคเคลื่อนที่ผ่าน $x$ เท่านั้น พื้นที่หน้าตัดจึงเปลี่ยนแปลง: $v$ ขึ้นอยู่กับ $t$ เฉพาะที่ตำแหน่งหน้าตัด $x (t)$ เท่านั้น ${\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}v={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {v^{2}}{2}}\right).$

เมื่อความหนาแน่น $ρ$ คงที่ สมการการเคลื่อนที่สามารถเขียนได้ โดยการอินทิเกรตเทียบกับ $x$ โดยที่ $C$ เป็นค่าคงที่ ซึ่งบางครั้งเรียกว่าค่าคงที่ของเบอร์นูลลี มันไม่ใช่ค่าคงที่สากลแต่เป็นค่าคงที่ของระบบของไหลเฉพาะระบบหนึ่ง ข้อสรุปคือ: ที่ความเร็วสูง ความดันต่ำ และในทางกลับกัน ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(\rho {\frac {v^{2}}{2}}+p\right)=0$ ${\frac {v^{2}}{2}}+{\frac {p}{\rho }}=C$

ในการพิสูจน์ข้างต้น ไม่มีการนำหลักการงาน-พลังงานภายนอกมาใช้ แต่หลักการของเบอร์นูลลีได้มาจากการดัดแปลงกฎข้อที่สองของนิวตันอย่างง่ายๆ

ภาพแสดงท่อกระแสน้ำที่ไหลไปทางขวา แสดงค่าความดัน ระดับความสูง ความเร็วการไหล ระยะทาง ( $วินาที$ ) และพื้นที่หน้าตัด โปรดสังเกตว่าในภาพนี้ระดับความสูงแสดงด้วย $h$ ซึ่งขัดแย้งกับในข้อความที่ใช้สัญลักษณ์ $z$

การหาค่าโดยใช้หลักการอนุรักษ์พลังงาน

อีกวิธีหนึ่งในการพิสูจน์หลักการของเบอร์นูลลีสำหรับการไหลที่ไม่สามารถอัดได้คือการใช้หลักการอนุรักษ์พลังงาน^{[ 19 ]}ในรูปแบบของทฤษฎีงาน-พลังงานโดยระบุว่า^{[ 20 ]}

การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์

Ekin

ระบบเท่ากับงานสุทธิ $W$ ที่กระทำ ต่อระบบ

W=\Delta E_{\text{kin}}.

ดังนั้น,

งานที่ทำโดยแรงในของเหลวเท่ากับการเพิ่มขึ้นของพลังงานจลน์

The system consists of the volume of fluid, initially between the cross-sections $A$ and $A$ . In the time interval $Δ t$ fluid elements initially at the inflow cross-section $A$ move over a distance $s = v Δ t$ , while at the outflow cross-section the fluid moves away from cross-section $A$ over a distance $s = v Δ t$ . The displaced fluid volumes at the inflow and outflow are respectively $A s$ and $A s$ . The associated displaced fluid masses are – when $ρ$ is the fluid's mass density – equal to density times volume, so $ρA s$ and $ρA s$ . By mass conservation, these two masses displaced in the time interval $Δ t$ have to be equal, and this displaced mass is denoted by $Δ m$ : ${\begin{aligned}\rho A_{1}s_{1}&=\rho A_{1}v_{1}\Delta t=\Delta m,\\\rho A_{2}s_{2}&=\rho A_{2}v_{2}\Delta t=\Delta m.\end{aligned}}$

The work done by the forces consists of two parts:

The work done by the pressure acting on the areas $A$ and $A$ $W_{\text{pressure}}=F_{1,{\text{pressure}}}s_{1}-F_{2,{\text{pressure}}}s_{2}=p_{1}A_{1}s_{1}-p_{2}A_{2}s_{2}=\Delta m{\frac {p_{1}}{\rho }}-\Delta m{\frac {p_{2}}{\rho }}.$
The work done by gravity: the gravitational potential energy in the volume $A s$ is lost, and at the outflow in the volume $A s$ is gained. So, the change in gravitational potential energy $Δ E$ in the time interval $Δ t$ is

$\Delta E_{\text{pot,gravity}}=\Delta m\,gz_{2}-\Delta m\,gz_{1}.$ ตอนนี้ งานที่ $เกิด$ จากแรงโน้มถ่วงจะตรงข้ามกับการเปลี่ยนแปลงของพลังงานศักย์ W $= -$ $ΔE$ : ในขณะที่แรงโน้มถ่วงอยู่ในทิศทางลบ ของแกน $z$ งาน—แรงโน้มถ่วงคูณการเปลี่ยนแปลงระดับความสูง—จะเป็นลบสำหรับการเปลี่ยนแปลงระดับความสูงที่เป็นบวก $Δ$ $z$ $=$ $z$ $-$ $z$ ในขณะที่การเปลี่ยนแปลงพลังงานศักย์ที่สอดคล้องกันเป็นบวก^[²¹^]^{: 14–4, §14–3}ดังนั้น: และด้วยเหตุนี้ งานทั้งหมดที่ทำในช่วงเวลา $Δ$ $t$ นี้ คือ การเพิ่มขึ้นของพลังงานจลน์คือ เมื่อนำสิ่งเหล่านี้มารวมกัน ทฤษฎีงาน-พลังงานจลน์ $W$ $= Δ$ $E$ ให้ผลลัพธ์ดังนี้: ^[¹⁹^] หรือ หลังจากหารด้วยมวล $Δ$ $m$ $=$ $ρA$ $v$ $Δ$ $t$ $=$ $ρA$ $v$ $Δ$ $t$ ผลลัพธ์คือ: ^[¹⁹^] หรือ ตามที่ระบุไว้ในย่อหน้าแรก: $W_{\text{gravity}}=-\Delta E_{\text{pot,gravity}}=\Delta m\,gz_{1}-\Delta m\,gz_{2}.$ $W=W_{\text{pressure}}+W_{\text{gravity}}.$ $\Delta E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{2}^{2}-{\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{1}^{2}.$ $\Delta m{\frac {p_{1}}{\rho }}-\Delta m{\frac {p_{2}}{\rho }}+\Delta m\,gz_{1}-\Delta m\,gz_{2}={\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{2}^{2}-{\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{1}^{2}$ ${\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{1}^{2}+\Delta m\,gz_{1}+\Delta m{\frac {p_{1}}{\rho }}={\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{2}^{2}+\Delta m\,gz_{2}+\Delta m{\frac {p_{2}}{\rho }}.$ ${\tfrac {1}{2}}v_{1}^{2}+gz_{1}+{\frac {p_{1}}{\rho }}={\tfrac {1}{2}}v_{2}^{2}+gz_{2}+{\frac {p_{2}}{\rho }}$

{\frac {v^{2}}{2}}+gz+{\frac {p}{\rho }}=C

สมการที่ 1ซึ่งก็คือสมการ (A) เช่นกัน

เมื่อหารด้วย $g$ ต่อไป จะได้สมการต่อไปนี้ โปรดสังเกตว่าแต่ละพจน์สามารถอธิบายได้ใน มิติ ความยาว (เช่น เมตร) นี่คือสมการระดับน้ำที่ได้มาจากหลักการของเบอร์นูลลี:

{\frac {v^{2}}{2g}}+z+{\frac {p}{\rho g}}=C

สมการ 2ก

ตัวแปรตรงกลาง $z$ แสดงถึงพลังงานศักยภาพของของเหลวเนื่องจากระดับความสูงเมื่อเทียบกับระนาบอ้างอิง โดย $z$ นี้ เรียกว่าระดับน้ำขึ้นน้ำลง และใช้สัญลักษณ์ $z$

มวลที่ตกลงมาอย่างอิสระจากระดับความสูง $z > 0$ (ในสุญญากาศ ) จะมีความเร็ว เมื่อถึงระดับความสูง $z$ $= 0$ หรือเมื่อจัดเรียงใหม่เป็นหัว : เทอม $⁠$ $v={\sqrt {{2g}{z}}},$ $h_{v}={\frac {v^{2}}{2g}}$ $เวอร์ชัน 2 / 2 กรัม$ เรียกว่าเฮด $ความเร็ว$ ซึ่งแสดงในรูปของหน่วยวัดความยาว มันแสดงถึงพลังงานภายในของของเหลวอันเนื่องมาจากการเคลื่อนที่ของมัน

ความดันไฮโดรสแตติกpถูกกำหนดโดย ที่ $p$ คือความดันอ้างอิงบางอย่าง หรือเมื่อจัดเรียงใหม่เป็นhead : เทอม $⁠$ $p=p_{0}-\rho gz,$ $\psi ={\frac {p}{\rho g}}.$ $พี / ρg ⁠$ เรียกอีกอย่างว่าหัวความดันซึ่งแสดงในรูปของหน่วยวัดความยาว มันแสดงถึงพลังงานภายในของของเหลวเนื่องจากความดันที่กระทำต่อภาชนะ โดยการนำหัวที่เกิดจากความเร็วการไหลและหัวที่เกิดจากความดันสถิตมารวมกับระดับความสูงเหนือระนาบอ้างอิง จะได้ความสัมพันธ์อย่างง่ายที่ใช้ได้สำหรับของเหลวที่อัดไม่ได้ โดยใช้หัวความเร็ว หัวระดับความสูง และหัวความดัน

h_{v}+z_{\text{elevation}}+\psi =C

สมการ 2b

ถ้าคูณสมการที่ 1 ด้วยความหนาแน่นของของเหลว จะได้สมการที่มีพจน์ความดันสามพจน์:

{\frac {\rho v^{2}}{2}}+\rho gz+p=C

สมการที่ 3

โปรดสังเกตว่าความดันของระบบนั้นคงที่ในสมการเบอร์นูลลีรูปแบบนี้ หากความดันสถิตของระบบ (พจน์ที่สาม) เพิ่มขึ้น และหากความดันเนื่องจากระดับความสูง (พจน์กลาง) คงที่ ความดันพลวัต (พจน์แรก) จะต้องลดลง กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากความเร็วของของเหลวลดลงและไม่ได้เกิดจากความแตกต่างของระดับความสูง ก็ต้องเกิดจากการเพิ่มขึ้นของความดันสถิตที่ต้านทานการไหล

สมการทั้งสามนี้เป็นเพียงรูปแบบที่ลดทอนลงของสมดุลพลังงานในระบบเท่านั้น

สมการเบอร์นูลลีสำหรับของไหลอัดได้

การหาอนุพันธ์สำหรับของไหลอัดได้ก็คล้ายกัน อีกครั้ง การหาอนุพันธ์ขึ้นอยู่กับ (1) การอนุรักษ์มวล และ (2) การอนุรักษ์พลังงาน การอนุรักษ์มวลหมายความว่าในรูปข้างต้น ในช่วงเวลา $Δt$ ปริมาณมวลที่ผ่านขอบเขตที่กำหนดโดยพื้นที่ $A1$ $เท่ากับ$ ปริมาณมวลที่ผ่านออกไปด้านนอกผ่านขอบเขตที่กำหนดโดยพื้นที่ การอนุรักษ์พลังงานถูกนำมาใช้ในลักษณะเดียวกัน : สมมติว่าการเปลี่ยนแปลงพลังงานของปริมาตรของท่อกระแสที่ล้อมรอบด้วย $จาก$ พลังงาน $ที่ เข้าหรือออกผ่าน$ $เท่านั้น$ เห็นได้ชัดว่าในสถานการณ์ที่ซับซ้อนกว่า เช่น การไหลของของไหลที่เชื่อมโยงกับการแผ่รังสี เงื่อนไขดังกล่าวจะไม่เป็นไปตามนั้น อย่างไรก็ตาม สมมติว่าเป็นเช่นนั้นและสมมติว่าการไหลคงที่ ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงสุทธิของพลังงานจึงเป็นศูนย์ $โดย$ $และ$ ΔE2 $คือ$ พลังงาน $ที่$ เข้าผ่าน $A1$ $และ$ ออกผ่านตามพลังงานที่เข้ามาทาง $A$ คือผลรวมของพลังงานจลน์ที่เข้ามา พลังงานที่เข้ามาในรูปของพลังงานศักย์โน้มถ่วงของของเหลว พลังงานภายในทางเทอร์โมไดนามิกของของเหลวต่อหน่วยมวล ( $ε$ ) ที่เข้ามา และพลังงานที่เข้ามาในรูปของงานเชิงกล $p$ $d$ $V$ : โดยที่ $Ψ$ $=$ $gz$ คือแรงศักย์เนื่องจากแรงโน้มถ่วงของโลก g $คือ$ ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง และ $z$ คือระดับความสูงเหนือระนาบอ้างอิงสามารถสร้าง นิพจน์ที่คล้ายกันสำหรับ $Δ$ $E$ $ได้อย่างง่ายดาย ดังนั้น ตอนนี้กำหนดให้ 0 = Δ$ $E$ $- Δ$ $E$ : ซึ่งสามารถเขียนใหม่ได้เป็น: ตอนนี้ โดยใช้ผลลัพธ์ที่ได้ก่อนหน้านี้จากการอนุรักษ์มวล สามารถลดรูปให้ได้ ซึ่งเป็นสมการเบอร์นูลลีสำหรับการไหลแบบอัดได้ $0=\Delta M_{1}-\Delta M_{2}=\rho _{1}A_{1}v_{1}\,\Delta t-\rho _{2}A_{2}v_{2}\,\Delta t.$ $\Delta E_{1}-\Delta E_{2}=0$ $\Delta E_{1}=\left({\tfrac {1}{2}}\rho _{1}v_{1}^{2}+\Psi _{1}\rho _{1}+\varepsilon _{1}\rho _{1}+p_{1}\right)A_{1}v_{1}\,\Delta t$ $0=\left({\tfrac {1}{2}}\rho _{1}v_{1}^{2}+\Psi _{1}\rho _{1}+\varepsilon _{1}\rho _{1}+p_{1}\right)A_{1}v_{1}\,\Delta t-\left({\tfrac {1}{2}}\rho _{2}v_{2}^{2}+\Psi _{2}\rho _{2}+\varepsilon _{2}\rho _{2}+p_{2}\right)A_{2}v_{2}\,\Delta t$ $0=\left({\tfrac {1}{2}}v_{1}^{2}+\Psi _{1}+\varepsilon _{1}+{\frac {p_{1}}{\rho _{1}}}\right)\rho _{1}A_{1}v_{1}\,\Delta t-\left({\tfrac {1}{2}}v_{2}^{2}+\Psi _{2}+\varepsilon _{2}+{\frac {p_{2}}{\rho _{2}}}\right)\rho _{2}A_{2}v_{2}\,\Delta t$ ${\tfrac {1}{2}}v^{2}+\Psi +\varepsilon +{\frac {p}{\rho }}={\text{constant}}\equiv b$

สามารถเขียนนิพจน์ที่เทียบเท่ากันได้ในรูปของเอนทาลปีของของไหล ( $h$ ): ${\tfrac {1}{2}}v^{2}+\Psi +h={\text{constant}}\equiv b$

แอปพลิเคชัน

ในชีวิตประจำวันสมัยใหม่ มีการสังเกตหลายอย่างที่สามารถอธิบายได้สำเร็จโดยการประยุกต์ใช้หลักการของเบอร์นูลลี แม้ว่าจะไม่มีของเหลวใดที่ไม่มีความหนืดเลยก็ตาม^{[ 24 ]}และความหนืดเล็กน้อยมักจะมีผลอย่างมากต่อการไหล

หลักการของเบอร์นูลลีสามารถใช้คำนวณแรงยกบนปีกเครื่องบินได้ หากทราบพฤติกรรมการไหลของของเหลวในบริเวณใกล้เคียงกับปีกเครื่องบิน ตัวอย่างเช่น หากอากาศที่ไหลผ่านพื้นผิวด้านบนของปีกเครื่องบินเคลื่อนที่เร็วกว่าอากาศที่ไหลผ่านพื้นผิวด้านล่าง หลักการของเบอร์นูลลีจะบ่งชี้ว่าความดันบนพื้นผิวของปีกจะต่ำกว่าด้านบนมากกว่าด้านล่าง ความแตกต่างของความดันนี้ส่งผลให้เกิดแรงยกขึ้น^{[ d ]}^{[ 25 ]}เมื่อใดก็ตามที่ทราบการกระจายความเร็วผ่านพื้นผิวด้านบนและด้านล่างของปีก แรงยกสามารถคำนวณได้ (โดยประมาณที่ดี) โดยใช้สมการของเบอร์นูลลี^{[ 26 ]}ซึ่งเบอร์นูลลีได้สร้างขึ้นเมื่อกว่าศตวรรษก่อนที่ปีกที่มนุษย์สร้างขึ้นครั้งแรกจะถูกนำมาใช้เพื่อวัตถุประสงค์ในการบิน
หลักการทำงานของคาร์บูเรเตอร์ที่ใช้ในเครื่องยนต์ลูกสูบ หลายชนิด คือ การสร้างช่องแคบในกระแสอากาศเพื่อสร้างบริเวณความดันต่ำ ซึ่งจะดึงเชื้อเพลิงเข้าสู่คาร์บูเรเตอร์และผสมกับอากาศที่ไหลเข้ามาอย่างทั่วถึง ความดันต่ำในช่องแคบนี้สามารถอธิบายได้ด้วยหลักการของเบอร์นูลลี ซึ่งอากาศในช่องแคบเคลื่อนที่ด้วยความเร็วสูงสุด ดังนั้นจึงมีความดันต่ำที่สุด คาร์บูเรเตอร์อาจใช้หรือไม่ใช้ความแตกต่างระหว่างความดันสถิตสองค่าที่เกิดจากปรากฏการณ์เวนทูรีในกระแสอากาศเพื่อบังคับให้เชื้อเพลิงไหล โดยหลักการแล้ว คาร์บูเรเตอร์อาจใช้ความแตกต่างของความดันระหว่างช่องแคบกับความดันอากาศเฉพาะที่ในห้องลูกลอย หรือระหว่างช่องแคบกับท่อปิโตต์ที่ทางเข้าของอากาศ
หัวฉีดในหัวรถจักรไอน้ำหรือหม้อไอน้ำ แบบอยู่กับ ที่
ท่อพิโทต์และพอร์ตสถิตบนเครื่องบินใช้ในการกำหนดความเร็วลมของเครื่องบิน อุปกรณ์ทั้งสองนี้เชื่อมต่อกับมาตรวัดความเร็วลมซึ่งกำหนดความดันไดนามิกของการไหลของอากาศผ่านเครื่องบิน หลักการของเบอร์นูลลีใช้ในการปรับเทียบมาตรวัดความเร็วลมเพื่อให้แสดงความเร็วลมที่บ่งชี้ซึ่งเหมาะสมกับความดันไดนามิก^{[ 1 ]}^{: § 3.8}
หัวฉีดเดอลาวาลใช้หลักการของเบอร์นูลลีในการสร้างแรงโดยการเปลี่ยนพลังงานความดันที่เกิดจากการเผาไหม้ของเชื้อเพลิงให้เป็นความเร็ว จากนั้นจึงสร้างแรงขับโดยอาศัยกฎการเคลื่อนที่ข้อที่สามของนิวตัน
ความเร็วการไหลของของเหลวสามารถวัดได้โดยใช้เครื่องมือ เช่น เครื่องวัดเวนทูรีหรือแผ่นรูพรุนซึ่งสามารถวางในท่อเพื่อลดขนาดเส้นผ่านศูนย์กลางของการไหล สำหรับอุปกรณ์แนวนอน สมการความต่อเนื่องแสดงให้เห็นว่าสำหรับของเหลวที่ไม่สามารถอัดได้ การลดขนาดเส้นผ่านศูนย์กลางจะทำให้ความเร็วการไหลของของเหลวเพิ่มขึ้น ต่อมา หลักการของเบอร์นูลลีแสดงให้เห็นว่าความดันจะต้องลดลงในบริเวณที่มีขนาดเส้นผ่านศูนย์กลางลดลง ปรากฏการณ์นี้เรียกว่าปรากฏการณ์เวนทูรี
อัตราการระบายสูงสุดที่เป็นไปได้สำหรับถังที่มีรูหรือก๊อกที่ฐานสามารถคำนวณได้โดยตรงจากสมการของเบอร์นูลลี และพบว่าแปรผันตรงกับรากที่สองของความสูงของของเหลวในถัง นี่คือกฎของทอร์ริเชลลีซึ่งสอดคล้องกับหลักการของเบอร์นูลลี ความหนืดที่เพิ่มขึ้นจะลดอัตราการระบายนี้ ซึ่งสะท้อนให้เห็นในสัมประสิทธิ์การระบาย ซึ่งเป็นฟังก์ชันของเลขเรย์โนลด์และรูปร่างของรู^{[ 27 ]}
การจับยึดแบบเบอร์นูลลีอาศัยหลักการนี้เพื่อสร้างแรงยึดเกาะแบบไม่สัมผัสระหว่างพื้นผิวกับตัวจับยึด^{[ 28 ]}

ความเข้าใจผิด

แรงยกของปีกเครื่องบิน

หนึ่งในคำอธิบายที่ผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดเกี่ยวกับการยกตัวทางอากาศพลศาสตร์ระบุว่าอากาศต้องเคลื่อนที่ผ่านพื้นผิวด้านบนและด้านล่างของปีกในเวลาเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าเนื่องจากพื้นผิวด้านบนมีเส้นทางที่ยาวกว่า อากาศจึงต้องเคลื่อนที่ผ่านด้านบนของปีกเร็วกว่าด้านล่าง จากนั้นจึงอ้างหลักการของเบอร์นูลลีเพื่อสรุปว่าความดันบนด้านบนของปีกต้องต่ำกว่าด้านล่าง^{[ 29 ]}^{[ 30 ]}

เวลาการไหลผ่านที่เท่ากันนั้นใช้ได้กับการไหลรอบวัตถุที่ไม่ก่อให้เกิดแรงยก แต่ไม่มีหลักการทางกายภาพใดที่กำหนดให้เวลาการไหลผ่านต้องเท่ากันในกรณีของวัตถุที่ก่อให้เกิดแรงยก อันที่จริง ทฤษฎีทำนายไว้ – และการทดลองยืนยัน – ว่าอากาศจะไหลผ่านพื้นผิวด้านบนของวัตถุที่เกิดแรงยกใน เวลา ที่สั้นกว่าการไหลผ่านพื้นผิวด้านล่าง คำอธิบายที่อิงตามเวลาการไหลผ่านที่เท่ากันจึงเป็นเท็จ^{[ 31 ]}^{[ 32 ]}^{[ 33 ]}แม้ว่าคำอธิบายเรื่องเวลาที่เท่ากันจะเป็นเท็จ แต่หลักการของเบอร์นูลลีนั้นไม่ได้เป็นเท็จ เพราะหลักการนี้ได้รับการยอมรับอย่างดี สมการของเบอร์นูลลีถูกนำมาใช้อย่างถูกต้องในการคำนวณทางคณิตศาสตร์ทั่วไปของแรงยกทางอากาศพลศาสตร์^{[ 34 ]}^{[ 35 ]}

การสาธิตในห้องเรียนทั่วไป

มีการสาธิตในห้องเรียนทั่วไปหลายอย่างที่บางครั้งอธิบายอย่างไม่ถูกต้องโดยใช้หลักการของเบอร์นูลลี^{[ 36 ]}อย่างหนึ่งคือการถือกระดาษในแนวนอนเพื่อให้มันห้อยลงมา แล้วเป่าลมผ่านด้านบน เมื่อผู้สาธิตเป่าลมผ่านกระดาษ กระดาษจะลอยขึ้น จากนั้นจึงกล่าวอ้างว่านี่เป็นเพราะ "อากาศที่เคลื่อนที่เร็วขึ้นมีความดันต่ำลง" ^{[ 37 ]}^{[ 38 ]}^{[ 39 ]}

ปัญหาหนึ่งของการอธิบายนี้สามารถเห็นได้จากการเป่าลมไปตามด้านล่างของกระดาษ: หากการเบี่ยงเบนเกิดจากอากาศที่เคลื่อนที่เร็วกว่า กระดาษควรจะเบี่ยงเบนลงด้านล่าง แต่กระดาษจะเบี่ยงเบนขึ้นด้านบนไม่ว่าอากาศที่เคลื่อนที่เร็วกว่าจะอยู่ด้านบนหรือด้านล่างก็ตาม^{[ 40 ]}ปัญหาอีกประการหนึ่งคือ เมื่ออากาศออกจากปากของผู้สาธิต อากาศจะมี แรงดัน เท่ากับอากาศโดยรอบ^{[ 41 ]}อากาศไม่ได้มีแรงดันต่ำลงเพียงเพราะมันเคลื่อนที่ ในการสาธิต แรงดันสถิตของอากาศที่ออกจากปากของผู้สาธิตเท่ากับแรงดันของอากาศโดยรอบ^{[ 42 ]}^{[ 43 ]}ปัญหาประการที่สามคือ การเชื่อมโยงระหว่างการไหลบนสองด้านของกระดาษโดยใช้สมการของเบอร์นูลลีนั้นไม่ถูกต้อง เนื่องจากอากาศด้านบนและด้านล่างเป็น สนามการไหล ที่แตกต่างกันและหลักการของเบอร์นูลลีใช้ได้เฉพาะภายในสนามการไหลเท่านั้น^{[ 44 ]}^{[ 45 ]}^{[ 46 ]}^{[ 47 ]}

เนื่องจากถ้อยคำของหลักการสามารถเปลี่ยนแปลงความหมายได้ การระบุหลักการอย่างถูกต้องจึงเป็นสิ่งสำคัญ^{[ 48 ]}หลักการของเบอร์นูลลีกล่าวไว้ว่า ในการไหลที่มีพลังงานคงที่ เมื่อของเหลวไหลผ่านบริเวณที่มีความดันต่ำกว่า ความเร็วจะเพิ่มขึ้น และในทางกลับกัน^{[ 49 ]}ดังนั้น หลักการของเบอร์นูลลีจึงเกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงความเร็วและการเปลี่ยนแปลงความดันภายในสนามการไหล ไม่สามารถนำมาใช้เปรียบเทียบสนามการไหลที่แตกต่างกันได้

คำอธิบายที่ถูกต้องว่าทำไมกระดาษจึงลอยขึ้นจะสังเกตได้ว่ากลุ่มควันจะเคลื่อนที่ตามส่วนโค้งของกระดาษ และเส้นกระแสโค้งจะทำให้เกิดการไล่ระดับความดันตั้งฉากกับทิศทางการไหล โดยความดันที่ต่ำกว่าจะอยู่ด้านในของส่วนโค้ง^{[ 50 ]}^{[ 51 ]}^{[ 52 ]}^{[ 53 ]}หลักการของเบอร์นูลลีทำนายว่าการลดลงของความดันสัมพันธ์กับการเพิ่มขึ้นของความเร็ว กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เมื่ออากาศไหลผ่านกระดาษ มันจะเร็วขึ้นและเคลื่อนที่เร็วกว่าตอนที่ออกจากปากของผู้สาธิต แต่สิ่งนี้ไม่ปรากฏชัดจากการสาธิต^{[ 54 ]}^{[ 55 ]}^{[ 56 ]}

การสาธิตในห้องเรียนทั่วไปอื่นๆ เช่น การเป่าลมระหว่างทรงกลมสองลูกที่แขวนอยู่ การเติมลมถุงใบใหญ่ หรือการแขวนลูกบอลไว้ในกระแสลม บางครั้งก็มีการอธิบายในลักษณะที่ทำให้เข้าใจผิดเช่นเดียวกัน โดยกล่าวว่า "อากาศที่เคลื่อนที่เร็วขึ้นจะมีแรงดันต่ำลง" ^{[ 57 ]}^{[ 58 ]}^{[ 59 ]}^{[ 60 ]}^{[ 61 ]}^{[ 62 ]}^{[ 63 ]}^{[ 64 ]}

ดูเพิ่มเติม

กฎของทอร์ริเชลลี
ปรากฏการณ์โคอันดา
สมการออยเลอร์ – สำหรับการไหลของของเหลวที่ไม่มีความหนืด
ไฮดรอลิกส์ – กลศาสตร์ของไหลประยุกต์สำหรับของเหลว
สมการนาเวียร์-สโตกส์ – สำหรับการไหลของของเหลวหนืด
เอฟเฟกต์กาน้ำชา
ศัพท์เฉพาะในพลศาสตร์ของไหล

หมายเหตุ

^หากอนุภาคอยู่ในบริเวณที่มีความดันแปรผัน (ความชันของความดันที่ไม่เป็นศูนย์ใน $ทิศทาง x$ ) และหากอนุภาคมีขนาดจำกัด $l$ แล้ว ด้านหน้าของอนุภาคจะ 'รับรู้' ความดันที่แตกต่างจากด้านหลัง กล่าวคือ หากความดันลดลงใน $ทิศทาง x$ ( $⁠$ $ดี พี / d x ⁠ < 0$ ) the pressure at the rear is higher than at the front and the particle experiences a (positive) net force. According to Newton's second law, this force causes an acceleration and the particle's velocity increases as it moves along the streamline... Bernoulli's equation describes this mathematically (see the complete derivation in the appendix).^[7]
^Acceleration of air is caused by pressure gradients. Air is accelerated in the direction of the velocity if the pressure goes down. Thus the decrease of pressure is the cause of a higher velocity.^[8]
^The idea is that as the parcel moves along, following a streamline, as it moves into an area of higher pressure there will be higher pressure ahead (higher than the pressure behind) and this will exert a force on the parcel, slowing it down. Conversely, if the parcel is moving into a region of lower pressure, there will be a higher pressure behind it (higher than the pressure ahead), speeding it up. As always, any unbalanced force will cause a change in momentum (and velocity), as required by Newton's laws of motion.^[9]
^"When a stream of air flows past an airfoil, there are local changes in velocity round the airfoil, and consequently changes in static pressure, in accordance with Bernoulli's Theorem. The distribution of pressure determines the lift, pitching moment and form drag of the airfoil, and the position of its centre of pressure."^[1]^{: § 5.5}

ลิงก์ภายนอก

การไหลของน้ำแห้ง - การบรรยายวิชาฟิสิกส์ของเฟย์นแมน
วิทยาศาสตร์เบื้องต้น ถาม: ปรากฏการณ์นี้เกิดจากผลของเบอร์นูลลีจริงหรือไม่?
มหาวิทยาลัยมิลเลอร์สวิลล์ – การประยุกต์ใช้สมการของออยเลอร์
นาซา – คู่มือเบื้องต้นเกี่ยวกับอากาศพลศาสตร์เก็บถาวรเมื่อ 15 กรกฎาคม 2012 ที่Wayback Machine
การตีความสมการของเบอร์นูลลีผิดพลาด – เวลท์เนอร์และอิงเกลแมน-ซันด์เบิร์กเก็บถาวรเมื่อ 8 กุมภาพันธ์ 2012 ที่Wayback Machine

[8] หากอนุภาคอยู่ในบริเวณที่มีความดันแปรผัน (ความชันของความดันที่ไม่เป็นศูนย์ใน $ทิศทาง x$ ) และหากอนุภาคมีขนาดจำกัด $l$ แล้ว ด้านหน้าของอนุภาคจะ 'รับรู้' ความดันที่แตกต่างจากด้านหลัง กล่าวคือ หากความดันลดลงใน $ทิศทาง x$ ( $⁠$ $ดี พี / d x ⁠ < 0$ ) the pressure at the rear is higher than at the front and the particle experiences a (positive) net force. According to Newton's second law, this force causes an acceleration and the particle's velocity increases as it moves along the streamline... Bernoulli's equation describes this mathematically (see the complete derivation in the appendix).^[7]

[10] Acceleration of air is caused by pressure gradients. Air is accelerated in the direction of the velocity if the pressure goes down. Thus the decrease of pressure is the cause of a higher velocity.^[8]

[12] The idea is that as the parcel moves along, following a streamline, as it moves into an area of higher pressure there will be higher pressure ahead (higher than the pressure behind) and this will exert a force on the parcel, slowing it down. Conversely, if the parcel is moving into a region of lower pressure, there will be a higher pressure behind it (higher than the pressure ahead), speeding it up. As always, any unbalanced force will cause a change in momentum (and velocity), as required by Newton's laws of motion.^[9]

[28] "When a stream of air flows past an airfoil, there are local changes in velocity round the airfoil, and consequently changes in static pressure, in accordance with Bernoulli's Theorem. The distribution of pressure determines the lift, pitching moment and form drag of the airfoil, and the position of its centre of pressure."^[1]^{: § 5.5}

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[

[

[

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

14

[ 15 ]

[

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ d ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[ 35 ]

[ 36 ]

[ 37 ]

[ 38 ]

[ 39 ]

[ 40 ]

[ 41 ]

[ 42 ]

[ 43 ]

[ 44 ]

[ 45 ]

[ 46 ]

[ 47 ]

[ 48 ]

[ 49 ]

[ 50 ]

[ 51 ]

[ 52 ]

[ 53 ]

[ 54 ]

[ 55 ]

[ 56 ]

[ 57 ]

[ 58 ]

[ 59 ]

[ 60 ]

[ 61 ]

[ 62 ]

[ 63 ]

[ 64 ]

[7]

[8]

[9]