การแจกแจงทวินาม
ฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็น
ฟังก์ชันการกระจายสะสม
สัญกรณ์	${\displaystyle \operatorname {B} (n,p)}$
พารามิเตอร์	${\displaystyle n\in \{0,1,2,\ldots \}}$– จำนวนครั้งของการทดลอง– ความน่าจะเป็นของความสำเร็จในแต่ละครั้งของการทดลอง${\displaystyle p\in [0,1]}$${\displaystyle q=1-p}$
สนับสนุน	${\displaystyle k\in \{0,1,\ldots ,n\}}$– จำนวนความสำเร็จ
พีเอ็มเอฟ	${\displaystyle {\binom {n}{k}}p^{k}q^{nk}}$
ซีดีเอฟ	${\displaystyle I_{q}(n-\lfloor k\rfloor ,1+\lfloor k\rfloor )}$( ฟังก์ชันเบต้าไม่สมบูรณ์แบบปรับค่า )
หมายถึง	${\displaystyle np}$
ค่ามัธยฐาน	${\displaystyle \lfloor np\rfloor }$หรือ${\displaystyle \lceil np\rceil }$
โหมด	${\displaystyle \lfloor (n+1)p\rfloor }$หรือ${\displaystyle \lceil (n+1)p\rceil -1}$
ความแปรปรวน	${\displaystyle npq=np(1-p)}$
ความเบี่ยงเบน	${\displaystyle {\frac {qp}{\sqrt {npq}}}}$
ความโค้งส่วนเกิน	${\displaystyle {\frac {1-6pq}{npq}}}$
เอนโทรปี	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\log _{2}(2\pi enpq)+O\left({\frac {1}{n}}\right)}$ในหน่วยแชนนอนสำหรับค่าธรรมชาติให้ใช้ลอการิทึมธรรมชาติในลอการิทึม
เอ็มจีเอฟ	${\displaystyle (q+pe^{t})^{n}}$
ซีเอฟ	${\displaystyle (q+pe^{it})^{n}}$
พีจีเอฟ	${\displaystyle G(z)=[q+pz]^{n}}$
ข้อมูลของฟิชเชอร์	${\displaystyle g_{n}(p)={\frac {n}{pq}}}$(สำหรับค่าคงที่)${\displaystyle n}$

ในทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติการแจกแจงทวินามที่มีพารามิเตอร์nและpคือการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องของจำนวนความสำเร็จในลำดับของการทดลองอิสระn ครั้ง โดยแต่ละครั้งถามคำถามใช่-ไม่ใช่ และแต่ละครั้งมี ผลลัพธ์ที่มีค่าบูลีนของตัวเองคือความสำเร็จ (ด้วยความน่าจะเป็นp ) หรือความล้มเหลว (ด้วยความน่าจะเป็นq = 1 − p ) การทดลองความสำเร็จ/ความล้มเหลวเพียงครั้งเดียวเรียกว่าการทดลองเบอร์นูลลีหรือการทดลองเบอร์นูลลี และลำดับของผลลัพธ์เรียกว่ากระบวนการเบอร์นูลลีสำหรับการทดลองเพียงครั้งเดียว นั่นคือเมื่อn = 1การแจกแจงทวินามคือการแจกแจงเบอร์นูลลีการแจกแจงทวินามเป็นพื้นฐานสำหรับการทดสอบทวินามของ นัยสำคัญ ทางสถิติ^{[ 1 ]}

การแจกแจงทวินามมักใช้เป็นแบบจำลองจำนวนความสำเร็จในตัวอย่างขนาดnที่สุ่มมาแบบสุ่มซ้ำจากประชากรขนาดNหากการสุ่มตัวอย่างทำโดยไม่สุ่มซ้ำ การสุ่มจะไม่เป็นอิสระต่อกัน ดังนั้นการแจกแจงที่ได้จะเป็นการแจกแจงไฮเปอร์จีโอเมตริก ไม่ใช่การแจกแจงทวินาม อย่างไรก็ตาม สำหรับNที่ใหญ่กว่าn มาก การแจกแจงทวินามยังคงเป็นการประมาณที่ดีและใช้กันอย่างแพร่หลาย

ถ้าตัวแปรสุ่มXเป็นไปตามการแจกแจงแบบทวินามที่มีพารามิเตอร์( จำนวนธรรมชาติ ) และp ∈ [0, 1]เราจะเขียนX ~ B( n , p )ความน่าจะเป็นที่จะได้ ผลลัพธ์ที่สำเร็จ k ครั้งพอดี ใน การทดลองแบบเบอร์นูลลีอิสระ n ครั้ง (ด้วยอัตราp เท่ากัน ) จะกำหนดโดยฟังก์ชันความน่าจะเป็นมวล : สำหรับk = 0, 1, 2, ..., nโดยที่ คือสัมประสิทธิ์ทวินามสูตรนี้สามารถเข้าใจได้ดังนี้: p ^k q ^{n − k}คือความน่าจะเป็นที่จะได้ลำดับของการทดลองแบบเบอร์นูลลีอิสระn ครั้ง โดยที่ k ครั้งเป็นการ "สำเร็จ" และ n − k ครั้ง ที่เหลือเป็นการ "ล้มเหลว" เนื่องจากการทดลองเป็นอิสระต่อกันโดยมีความน่าจะเป็นคงที่ระหว่างกัน ลำดับของการทดลองn ครั้งใดๆ ที่มี kครั้งที่สำเร็จ (และn − kครั้งที่ล้มเหลว) จะมีความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นเท่ากัน (โดยไม่คำนึงถึงตำแหน่งของความสำเร็จภายในลำดับ) มีลำดับดังกล่าวอยู่ เนื่องจากสัมประสิทธิ์ทวินามนับจำนวนวิธีในการเลือกตำแหน่งของ ความสำเร็จ kครั้งจาก การทดลอง n ครั้ง การแจกแจงทวินามเกี่ยวข้องกับความน่าจะเป็นของการได้รับ ลำดับ ใดลำดับหนึ่งเหล่านี้ ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นของการได้รับลำดับใดลำดับหนึ่ง ( p ^k q ^{n − k} ) จะต้องถูกบวกเข้าด้วยกันหลายครั้ง ดังนั้น⁠ ⁠ . ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$$${\displaystyle f(k,n,p)=\Pr(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$$$${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$$${\textstyle {\binom {n}{k}}}$${\textstyle {\binom {n}{k}}}$${\textstyle {\binom {n}{k}}}$${\displaystyle \textstyle \Pr(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$

ในการสร้างตารางอ้างอิงสำหรับความน่าจะเป็นของการแจกแจงทวินาม โดยปกติแล้ว ตารางจะถูกเติมข้อมูลจนถึง ค่า ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle {\tfrac {n}{2}}}$ค่า เนื่องจากสำหรับ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle k>{\tfrac {n}{2}}}$ค่า ความน่าจะเป็นสามารถคำนวณได้จากค่าส่วนเติมเต็มของมันดังนี้ $${\displaystyle f(k,n,p)=f(n-k,n,1-p).}$$

เมื่อพิจารณานิพจน์f ( k , n , p )เป็นฟังก์ชันของkจะมี ค่า kที่ทำให้ค่านี้สูงสุด ค่า k นี้ สามารถหาได้โดยการคำนวณ และเปรียบเทียบกับ 1 จะมีจำนวนเต็มM เสมอ ที่สอดคล้องกับ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\frac {f(k+1,n,p)}{f(k,n,p)}}={\frac {(n-k)p}{(k+1)(1-p)}}}$$$${\displaystyle (n+1)p-1\leq M<(n+1)p.}$$

f ( k , n , p )เป็นฟังก์ชันเพิ่มขึ้นแบบโมโนโทนสำหรับ k < Mและเป็นฟังก์ชันลดลงแบบโมโนโทนสำหรับ k > Mยกเว้นกรณีที่ ( n + 1) pเป็นจำนวนเต็ม ในกรณีนี้จะมีสองค่าที่ทำให้ fมีค่าสูงสุด คือ ( n + 1) pและ ( n + 1) p − 1โดยที่ Mคือ ผลลัพธ์ ที่มีโอกาสเกิดขึ้นมากที่สุด (กล่าวคือ มีโอกาสมากที่สุด แม้ว่าโดยรวมแล้วอาจยังไม่น่าเป็นไปได้) ของการทดลอง แบบ เบอร์นูลลี และเรียกว่าโหมด

สมมติว่าเหรียญเอียงออกหัวด้วยความน่าจะเป็น 0.3 เมื่อโยน ความน่าจะเป็นที่จะได้หัว 4 ครั้งพอดีในการโยน 6 ครั้งคือ $${\displaystyle f(4,6,0.3)={\binom {6}{4}}0.3^{4}(1-0.3)^{6-4}=0.059535.}$$

ฟังก์ชันการกระจายสะสมสามารถแสดงได้ดังนี้: โดย ที่คือ "ค่าต่ำสุด" ภายใต้kนั่นคือจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับk$${\displaystyle F(k;n,p)=\Pr(X\leq k)=\sum _{i=0}^{\lfloor k\rfloor }{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i},}$$${\displaystyle \lfloor k\rfloor }$

นอกจากนี้ยังสามารถแสดงได้ในรูปของฟังก์ชันเบต้าที่ไม่สมบูรณ์แบบปกติดังนี้: ^{[ 3 ]} ซึ่งเทียบเท่ากับ ฟังก์ชันการกระจายสะสมของการกระจายเบต้าและการกระจายF : ^{[ 4 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}F(k;n,p)&=\Pr(X\leq k)\\&=I_{1-p}(n-k,k+1)\\&=(n-k){n \choose k}\int _{0}^{1-p}t^{n-k-1}(1-t)^{k}\,dt,\end{aligned}}}$$$${\displaystyle F(k;n,p)=F_{\text{beta-distribution}}\left(x=1-p;\alpha =n-k,\beta =k+1\right)}$$$${\displaystyle F(k;n,p)=F_{F{\text{-distribution}}}\left(x={\frac {1-p}{p}}{\frac {k+1}{n-k}};d_{1}=2(n-k),d_{2}=2(k+1)\right).}$$

ขอบเขตในรูปแบบปิดบางส่วนสำหรับฟังก์ชันการกระจายสะสมแสดงไว้ด้านล่าง

ถ้าX ~ B( n , p )นั่นคือXเป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบทวินาม โดย ที่ nคือจำนวนการทดลองทั้งหมด และpคือความน่าจะเป็นที่การทดลองแต่ละครั้งจะให้ผลลัพธ์ที่ประสบความสำเร็จค่าที่คาดหวังของXคือ: ^{[ 5 ]}$${\displaystyle \operatorname {E} [X]=np.}$$

สิ่งนี้เป็นผลมาจากความเป็นเชิงเส้นของค่าคาดหวัง ประกอบกับข้อเท็จจริงที่ว่าXเป็นผลรวมของตัวแปรสุ่มเบอร์นูลลีที่เหมือนกันn ตัว โดยแต่ละตัวมีค่าคาดหวัง pกล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้าเป็นตัวแปรสุ่มเบอร์นูลลีที่เหมือนกัน (และเป็นอิสระต่อกัน) โดยมีพารามิเตอร์pแล้วX = X ₁ + ... + X _nและ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$$${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\operatorname {E} [X_{1}+\cdots +X_{n}]=\operatorname {E} [X_{1}]+\cdots +\operatorname {E} [X_{n}]=p+\cdots +p=np.}$$

ค่าความแปรปรวนคือ: $${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=npq=np(1-p).}$$

ข้อสรุปนี้ก็สอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่ว่า ความแปรปรวนของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระนั้นเท่ากับผลรวมของความแปรปรวนของตัวแปรเหล่านั้น

โมเมนต์กลาง 6 โมเมนต์แรกซึ่งกำหนดโดย นั้นกำหนดโดย ${\displaystyle \mu _{c}=\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{c}\right]}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{1}&=0,\\\mu _{2}&=np\left(1-p\right),\\\mu _{3}&=np\left(1-p\right)\left(1-2p\right),\\\mu _{4}&=np\left(1-p\right)\left[1+\left(3n-6\right)p\left(1-p\right)\right],\\\mu _{5}&=np\left(1-p\right)\left(1-2p\right)\left[1+\left(10n-12\right)p\left(1-p\right)\right],\\\mu _{6}&=np\left(1-p\right)\left[1-30p\left(1-p\right)\left[1-4p(1-p)\right]+5np\left(1-p\right)\left[5-26p\left(1-p\right)\right]+15n^{2}p^{2}\left(1-p\right)^{2}\right].\end{aligned}}}$$

โมเมนต์ที่ไม่ใช่ศูนย์กลางเป็นไปตามเงื่อนไข และโดยทั่วไป^{[ 6 ] [ 7 ]} โดยที่คือจำนวนสเตอร์ลิงชนิดที่สองและคือกำลังลดลงลำดับที่ของขอบเขตง่ายๆ ^{[ 8 ]}ได้มาจากการจำกัดโมเมนต์ทวินามผ่านโมเมนต์ปัวซงที่สูงกว่า : ซึ่งแสดงให้เห็นว่าถ้าแล้วจะอยู่ห่างจาก อย่างมากที่สุดเพียงปัจจัยคงที่ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X]&=np,\\\operatorname {E} [X^{2}]&=np(1-p)+n^{2}p^{2},\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \operatorname {E} [X^{c}]=\sum _{k=0}^{c}\left\{{c \atop k}\right\}n^{\underline {k}}p^{k},}$$${\textstyle \left\{{c \atop k}\right\}}$${\displaystyle n^{\underline {k}}=n(n-1)\cdots (n-k+1)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle \operatorname {E} [X^{c}]\leq \left[{\frac {c}{\ln \left(1+{\frac {c}{np}}\right)}}\right]^{c}\leq (np)^{c}\exp \left({\frac {c^{2}}{2np}}\right).}$$${\displaystyle c=O({\sqrt {np}})}$${\displaystyle \operatorname {E} [X^{c}]}$${\displaystyle \operatorname {E} [X]^{c}}$

ฟังก์ชันสร้างโมเมนต์คือ. ${\displaystyle M_{X}(t)=\mathbb {E} [e^{tX}]=(1-p+pe^{t})^{n}}$

โดยปกติแล้วค่าฐานนิยมของการแจกแจงทวินามB( n , p )จะเท่ากับโดยที่คือฟังก์ชันปัดเศษลงอย่างไรก็ตาม เมื่อ( n + 1) pเป็นจำนวนเต็มและpไม่ใช่ทั้ง 0 หรือ 1 การแจกแจงจะมีค่าฐานนิยมสองค่า คือ( n + 1) pและ( n + 1) p − 1เมื่อpเท่ากับ 0 หรือ 1 ค่าฐานนิยมจะเป็น 0 และnตามลำดับ กรณีเหล่านี้สามารถสรุปได้ดังนี้: ${\displaystyle \lfloor (n+1)p\rfloor }$${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$$${\displaystyle {\text{mode}}={\begin{cases}\lfloor (n+1)\,p\rfloor &{\text{if }}(n+1)p{\text{ is 0 or a noninteger}},\\(n+1)\,p\ {\text{ and }}\ (n+1)\,p-1&{\text{if }}(n+1)p\in \{1,\dots ,n\},\\n&{\text{if }}(n+1)p=n+1.\end{cases}}}$$

พิสูจน์:ให้ $${\displaystyle f(k)={\binom {n}{k}}p^{k}q^{n-k}.}$$

สำหรับค่าที่ไม่เป็นศูนย์จะมีค่าเฉพาะเมื่อ เท่านั้นสำหรับค่าเราพบว่าและสำหรับค่า ซึ่งพิสูจน์ได้ว่าค่าฐานนิยมคือ 0 สำหรับค่าและสำหรับค่า ${\displaystyle p=0}$${\displaystyle f(0)}$${\displaystyle f(0)=1}$${\displaystyle p=1}$${\displaystyle f(n)=1}$${\displaystyle f(k)=0}$${\displaystyle k\neq n}$${\displaystyle p=0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p=1}$

ให้. เราพบว่า ${\displaystyle 0<p<1}$$${\displaystyle {\frac {f(k+1)}{f(k)}}={\frac {(n-k)p}{(k+1)(1-p)}}.}$$

จากนี้ไปจึง $${\displaystyle {\begin{aligned}k>(n+1)p-1\Rightarrow f(k+1)<f(k)\\k=(n+1)p-1\Rightarrow f(k+1)=f(k)\\k<(n+1)p-1\Rightarrow f(k+1)>f(k)\end{aligned}}}$$

ดังนั้นเมื่อเป็นจำนวนเต็ม แล้วและเป็นโหมด ในกรณีที่ แล้ว จะเป็นโหมดเท่านั้น^{[ 9 ]}${\displaystyle (n+1)p-1}$${\displaystyle (n+1)p-1}$${\displaystyle (n+1)p}$${\displaystyle (n+1)p-1\notin \mathbb {Z} }$${\displaystyle \lfloor (n+1)p-1\rfloor +1=\lfloor (n+1)p\rfloor }$

โดยทั่วไปแล้ว ไม่มีสูตรตายตัวในการหาค่ามัธยฐานสำหรับการแจกแจงแบบทวินาม และค่ามัธยฐานอาจไม่ใช่ค่าเดียว อย่างไรก็ตาม มีผลลัพธ์พิเศษบางประการที่ได้รับการพิสูจน์แล้ว:

• ถ้าnpเป็นจำนวนเต็ม ค่าเฉลี่ย มัธยฐาน และฐานนิยมจะตรงกันและเท่ากับnp ^{[ 10 ] [ 11 ]}
• ^ค่ามัธยฐานm ใดๆ จะต้องอยู่ในช่วง[ ^{12 ]}${\displaystyle \lfloor np\rfloor \leq m\leq \lceil np\rceil }$
• ค่ามัธยฐานmไม่ควรอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยมากเกินไป: . ^{[ 13 ]}${\displaystyle |m-np|\leq \min\{{\ln 2},\max\{p,1-p\}\}}$
• ค่ามัธยฐานมีเอกลักษณ์และเท่ากับm = round ( np )เมื่อ| m − np | ≤ min{ p , 1 − p } (ยกเว้นกรณีที่p = 1/2และnเป็นเลขคี่) ^{[ 12 ]}
• เมื่อpเป็นจำนวนตรรกยะ (ยกเว้นp = 1/2และnเป็นจำนวนคี่) ค่ามัธยฐานจะมีค่าเดียว^{[ 14 ]}
• เมื่อn เป็นจำนวนคี่ จำนวนm ใดๆ ในช่วงนั้น จะเป็นค่ามัธยฐานของการแจกแจงทวินาม ถ้าn เป็นจำนวนคู่ แล้ว m จะเป็นค่ามัธยฐานเพียงค่าเดียว${\textstyle p={\tfrac {1}{2}}}$${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(n-1\right)\leq m\leq {\frac {1}{2}}\left(n+1\right)}$${\textstyle p={\tfrac {1}{2}}}$${\textstyle m={\tfrac {n}{2}}}$

สำหรับk ≤ npขอบเขตบนสามารถหาได้สำหรับส่วนหางล่างของฟังก์ชันการกระจายสะสมซึ่งก็คือความน่าจะเป็นที่จะมีจำนวนความสำเร็จไม่เกินk ครั้ง เนื่องจากขอบเขตเหล่านี้จึงสามารถมองได้ว่าเป็นขอบเขตบนสำหรับส่วนหางบนของฟังก์ชันการกระจายสะสมสำหรับk ≥ np ด้วย เช่น กัน${\displaystyle F(k;n,p)=\Pr(X\leq k)}$${\displaystyle \Pr(X\geq k)=F(n-k;n,1-p)}$

อสมการของ Hoeffdingให้ขอบเขต ที่เรียบง่าย แต่ก็ไม่แน่นหนานัก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับp = 1เราจะได้ว่าF ( k ; n , p ) = 0 (สำหรับk , n ที่กำหนดไว้ โดยที่k < n ) แต่ขอบเขตของ Hoeffding มีค่าเป็นค่าคงที่บวก $${\displaystyle F(k;n,p)\leq \exp \left(-2n\left(p-{\frac {k}{n}}\right)^{2}\right),\!}$$

ขอบเขตที่แม่นยำยิ่งขึ้นสามารถได้รับจากขอบเขตของ Chernoff : ^{[ 15 ]} โดยที่D ( a ∥ p )คือเอนโทรปีสัมพัทธ์ (หรือความแตกต่าง Kullback-Leibler)ระหว่าง เหรียญ aและ เหรียญ p (นั่นคือ ระหว่าง การแจกแจง Bernoulli( a )และBernoulli( p ) ) $${\displaystyle F(k;n,p)\leq \exp \left(-nD{\left({\frac {k}{n}}\parallel p\right)}\right)}$$$${\displaystyle D(a\parallel p)=(a)\ln {\frac {a}{p}}+(1-a)\ln {\frac {1-a}{1-p}}.\!}$$

ในทางอนุกรมวิธาน ขอบเขตนี้ค่อนข้างแน่น ดูรายละเอียดได้ที่ ^{[ 15 ]}

นอกจากนี้ยังสามารถหา ขอบเขต ล่างของหางF ( k ; n , p )ซึ่งเรียกว่าขอบเขตต่อต้านความเข้มข้นได้อีกด้วย โดยการประมาณค่าสัมประสิทธิ์ทวินามด้วยสูตรของสเตอร์ลิงจะสามารถแสดงได้ว่า^{[ 16 ]} ซึ่งหมายถึงขอบเขตที่ง่ายกว่าแต่หลวมกว่า $${\displaystyle F(k;n,p)\geq {\frac {1}{\sqrt {8n{\tfrac {k}{n}}(1-{\tfrac {k}{n}})}}}\exp \left(-nD{\left({\frac {k}{n}}\parallel p\right)}\right),}$$$${\displaystyle F(k;n,p)\geq {\frac {1}{\sqrt {2n}}}\exp \left(-nD\left({\frac {k}{n}}\parallel p\right)\right).}$$

สำหรับp = 1/2และk ≥ 3 n /8สำหรับn คู่ สามารถทำให้ตัวส่วนคงที่ได้: ^{[ 17 ]}$${\displaystyle F(k;n,{\tfrac {1}{2}})\geq {\frac {1}{15}}\exp \left(-16n\left({\frac {1}{2}}-{\frac {k}{n}}\right)^{2}\right).\!}$$

เมื่อทราบค่าn แล้ว สามารถประมาณค่าพารามิเตอร์ pได้โดยใช้สัดส่วนของความสำเร็จ: ตัวประมาณค่านี้ได้มาจากการใช้ตัวประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุด (maximum likelihood estimator)และวิธีโมเมนต์ (method of moments ) ตัวประมาณค่านี้ไม่เอนเอียงและมีความแปรปรวนต่ำสุด อย่างสม่ำเสมอ ซึ่งได้รับการพิสูจน์โดยใช้ทฤษฎีบทของ Lehmann–Schefféเนื่องจากมันขึ้นอยู่กับ สถิติที่เพียงพอ และสมบูรณ์ขั้นต่ำ (นั่นคือx ) นอกจากนี้ยังมีความสอดคล้องทั้งในเชิงความน่าจะเป็นและในMSEสถิตินี้เป็นแบบปกติ เชิงอะซิมโทติก (asymptotically normal) ด้วยทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง (central limit theorem ) เพราะมันเหมือนกับการหาค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง Bernoulli มันมีความแปรปรวนเท่ากับซึ่งเป็นคุณสมบัติที่ใช้ในหลายวิธี เช่น ใน ช่วงความเชื่อมั่น ของ Wald$${\displaystyle {\widehat {p}}={\frac {x}{n}}.}$$${\displaystyle \operatorname {Var} ({\hat {p}})={\frac {p(1-p)}{n}}}$

ตัวประมาณค่าแบบเบย์สในรูปแบบปิดสำหรับpยังมีอยู่เมื่อใช้การแจกแจงเบต้าเป็นการแจกแจงก่อนหน้าแบบคอนจูเกต เมื่อใช้ทั่วไปเป็นการแจกแจงก่อนหน้าตัวประมาณค่าเฉลี่ยภายหลังคือ: ตัวประมาณค่าแบบเบย์สมีประสิทธิภาพเชิงอะซิมโทติกและเมื่อขนาดตัวอย่างเข้าใกล้อนันต์ ( n → ∞ ) มันจะเข้าใกล้คำตอบMLE ^{[ 18 ]}ตัวประมาณค่าแบบเบย์สมีอคติ (มากน้อยแค่ไหนขึ้นอยู่กับการแจกแจงก่อนหน้า) ยอมรับได้และสอดคล้องกันในความน่าจะเป็น การใช้ตัวประมาณค่าแบบเบย์สกับการแจกแจงเบต้าสามารถใช้กับการสุ่มตัวอย่างแบบทอมป์สันได้ ${\displaystyle \operatorname {Beta} (\alpha ,\beta )}$$${\displaystyle {\widehat {p}}_{b}={\frac {x+\alpha }{n+\alpha +\beta }}.}$$

สำหรับกรณีพิเศษของการใช้การแจกแจงเอกรูปมาตรฐานเป็น ค่าประมาณเบื้องต้น ที่ไม่ให้ข้อมูล ตัวประมาณค่าเฉลี่ยภายหลังจะเป็นดังนี้: ( ค่าฐานนิยมภายหลังควรนำไปสู่ตัวประมาณมาตรฐาน) วิธีนี้เรียกว่ากฎแห่งการสืบทอดซึ่งริเริ่มโดยปิแอร์-ไซมอน ลาปลาซ ในศตวรรษที่ 18${\displaystyle \operatorname {Beta} (\alpha {=}1,\,\beta {=}1)=U(0,1)}$$${\displaystyle {\widehat {p}}_{b}={\frac {x+1}{n+2}}.}$$

เมื่ออาศัยJeffreys prior ค่า prior คือ[ ^{19 ] ซึ่ง}นำไปสู่ตัวประมาณค่า: ${\textstyle \operatorname {Beta} (\alpha {=}{\tfrac {1}{2}},\,\beta {=}{\tfrac {1}{2}})}$$${\displaystyle {\widehat {p}}_{\mathrm {Jeffreys} }={\frac {x+{\frac {1}{2}}}{n+1}}.}$$

เมื่อประมาณค่าpด้วยเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นน้อยมากและn ขนาดเล็ก (เช่น ถ้าx = 0 ) การใช้ตัวประมาณค่ามาตรฐานจะนำไปสู่​​ซึ่งบางครั้งอาจไม่สมจริงและไม่พึงประสงค์ ในกรณีเช่นนี้มีตัวประมาณค่าทางเลือกต่างๆ^{[ 20 ]}วิธีหนึ่งคือการใช้ตัวประมาณค่าแบบเบย์ซึ่งนำไปสู่: อีกวิธีหนึ่งคือการใช้ขอบเขตบนของช่วงความเชื่อมั่นที่ได้จากการใช้กฎสามประการ : ${\displaystyle {\widehat {p}}=0,}$${\displaystyle {\widehat {p}}_{b}}$$${\displaystyle {\widehat {p}}_{b}={\frac {1}{n+2}}.}$$$${\displaystyle {\widehat {p}}_{\text{rule of 3}}={\frac {3}{n}}.}$$

แม้แต่สำหรับค่าn ที่ค่อนข้างมาก การกระจายจริงของค่าเฉลี่ยก็ยังไม่เป็นไปตามปกติอย่างมีนัยสำคัญ^{[ 21 ]}เนื่องจากปัญหานี้ จึงมีการเสนอวิธีการประมาณช่วงความเชื่อมั่นหลายวิธี

ในสมการช่วงความเชื่อมั่นด้านล่าง ตัวแปรต่างๆ มีความหมายดังต่อไปนี้:

• n ₁คือจำนวนครั้งที่สำเร็จจากทั้งหมด nซึ่งเป็นจำนวนครั้งของการทดลองทั้งหมด
• ${\displaystyle {\widehat {p\,}}={\frac {n_{1}}{n}}}$คือสัดส่วนของความสำเร็จ
• ${\displaystyle z}$คือค่าควอนไทล์ของการแจกแจงปกติมาตรฐาน (นั่นคือโพรบิต ) ที่สอดคล้องกับอัตราความผิดพลาดเป้าหมายตัวอย่างเช่น สำหรับระดับความเชื่อมั่น 95% ความผิดพลาดคือดังนั้นและ${\displaystyle 1-{\tfrac {1}{2}}\alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha =0.05}$${\displaystyle 1-{\tfrac {1}{2}}\alpha =0.975}$${\displaystyle z=1.96}$

$${\displaystyle {\widehat {p\,}}\pm z{\sqrt {\frac {{\widehat {p\,}}(1-{\widehat {p\,}})}{n}}}.}$$

อาจเพิ่ม ค่าแก้ไขความต่อเนื่อง 0.5 / n เข้าไปได้

^{[ 22 ]}$${\displaystyle {\tilde {p}}\pm z{\sqrt {\frac {{\tilde {p}}(1-{\tilde {p}})}{n+z^{2}}}}}$$

ในที่นี้ค่าประมาณของpจะถูกปรับเปลี่ยนเป็น $${\displaystyle {\tilde {p}}={\frac {n_{1}+{\frac {1}{2}}z^{2}}{n+z^{2}}}}$$

วิธีนี้ใช้ได้ผลดีสำหรับn > 10 ^และ n 1 _≠ 0, n ^{[ 23} ] ดูที่นี่สำหรับ[ ^{24 ] สำหรับ} n 1 ₌ 0, nให้ใช้วิธี Wilson (คะแนน) ด้านล่าง ${\displaystyle n\leq 10}$

^{[ 25 ]}$${\displaystyle \sin ^{2}\left(\arcsin \left({\sqrt {\hat {p}}}\right)\pm {\frac {z}{2{\sqrt {n}}}}\right).}$$

สัญลักษณ์ในสูตรด้านล่างแตกต่างจากสูตรก่อนหน้าในสองประเด็น: ^{[ 26 ]}

• ประการแรกz _xมีความหมายที่แตกต่างออกไปเล็กน้อยในสูตรด้านล่าง: มันมีความหมายตามปกติคือ ' ควอนไทล์ที่ xของการแจกแจงปกติมาตรฐาน' ไม่ใช่ตัวย่อของ ' ควอนไทล์ที่ (1 − x ) '
• ประการที่สอง สูตรนี้ไม่ได้ใช้เครื่องหมายบวก-ลบเพื่อกำหนดขอบเขตทั้งสอง แต่เราสามารถใช้เพื่อหาขอบเขตล่าง หรือใช้เพื่อหาขอบเขตบนได้ ตัวอย่างเช่น สำหรับระดับความเชื่อมั่น 95% ค่าความคลาดเคลื่อนดังนั้นเราจะได้ขอบเขตล่างโดยใช้และเราจะได้ขอบเขตบนโดยใช้${\displaystyle z=z_{\alpha /2}}$${\displaystyle z=z_{1-\alpha /2}}$${\displaystyle \alpha =0.05}$${\displaystyle z=z_{\alpha /2}=z_{0.025}=-1.96}$${\displaystyle z=z_{1-\alpha /2}=z_{0.975}=1.96}$

$${\displaystyle {\frac {{\hat {p}}+{\frac {z^{2}}{2n}}+z{\sqrt {{\frac {{\hat {p}}\left(1-{\hat {p}}\right)}{n}}+{\frac {z^{2}}{4n^{2}}}}}}{1+{\frac {z^{2}}{n}}}}}$$^{[ 27 ]}

วิธี ที่เรียกว่า "แม่นยำ" ( Clopper–Pearson ) เป็นวิธีที่อนุรักษ์นิยมที่สุด^{[ 21 ]} ( แม่นยำไม่ได้หมายความว่าถูกต้องสมบูรณ์แบบ แต่หมายความว่าค่าประมาณจะไม่ต่ำกว่าค่าที่แท้จริง)

วิธีการของวอลด์ แม้ว่าจะแนะนำกันทั่วไปในตำราเรียน แต่ก็เป็นวิธีการที่มีอคติมากที่สุด

ถ้าX ~ B( n , p )และY ~ B( m , p )เป็นตัวแปรทวินามอิสระที่มีความน่าจะเป็นp เท่ากัน แล้วX + Yก็เป็นตัวแปรทวินามเช่นกัน การแจกแจงของมันคือZ = X + Y ~ B( n + m , p ) : ^{[ 28 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} (Z=k)&=\sum _{i=0}^{k}\left[{\binom {n}{i}}p^{i}(1-p)^{n-i}\right]\left[{\binom {m}{k-i}}p^{k-i}(1-p)^{m-k+i}\right]\\&={\binom {n+m}{k}}p^{k}(1-p)^{n+m-k}\end{aligned}}}$$

ตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบทวินามX ~ B( n , p )สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นผลรวมของตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบเบอร์นูลลี จำนวน n ตัว ดังนั้น ผลรวมของตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบทวินามสองตัว X ~ B( n , p )และY ~ B( m , p )จึงเทียบเท่ากับผลรวมของ ตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบเบอร์นูลลีจำนวน n + m ตัวซึ่งหมายความว่าZ = X + Y ~ B( n + m , p )สามารถพิสูจน์ได้โดยตรงโดยใช้กฎการบวกเช่นกัน

อย่างไรก็ตาม หากXและYไม่มีโอกาสเกิดเท่ากัน คือ pความแปรปรวนของผลรวมจะน้อยกว่าความแปรปรวนของตัวแปรทวินามที่มีการแจกแจงแบบB ( n + m , p )

การแจกแจงทวินามเป็นกรณีพิเศษของการแจกแจงทวินามปัวซงซึ่งเป็นการแจกแจงผลรวมของการทดลองเบอร์นูลีอิสระที่ไม่เหมือนกันnครั้งB( p _i ) ^{[ 29 ]}

ผลลัพธ์นี้ได้รับการพิสูจน์ครั้งแรกโดย Katz และผู้ร่วมเขียนในปี พ.ศ. 2521 ^{[ 30 ]}

ให้X ~ B( n , p ₁ )และY ~ B( m , p ₂ )เป็นอิสระต่อกัน ให้T = ( X / n ) / ( Y / m ) .

จากนั้นlog( T )จะมีการกระจายแบบปกติโดยประมาณ โดยมีค่าเฉลี่ยlog( p ₁ / p ₂ )และความแปรปรวน((1/ p ₁ ) − 1)/ n + ((1/ p ₂ ) − 1)/ m .

ถ้าX ~ B( n , p )และY | X ~ B( X , q ) (การแจกแจงแบบมีเงื่อนไขของYเมื่อกำหนด  X แล้ว ) แล้วYเป็นตัวแปรสุ่มทวินามแบบง่ายที่มีการแจกแจงY ~ B ( n , pq )

ยกตัวอย่างเช่น ลองนึกภาพว่าเราโยน ลูกบอล nลูกลงในตะกร้าUX _แล้วนำลูกบอลที่ตกลงไปในตะกร้านั้นไปโยนลงในตะกร้าอีกใบ_YUถ้า p คือความน่าจะเป็นที่จะตกลงไปใน_{ตะกร้า} UXแล้วX ~ B( n , p )คือจำนวนลูกบอลที่ตกลงไปในตะกร้า_UXถ้าqคือความน่าจะเป็นที่จะตกลงไปในตะกร้า YU _แล้วจำนวนลูกบอลที่ตกลงไปในตะกร้า_YUคือY ~ B( X , q )และดังนั้นY ~ B( n , pq )

การแจกแจงเบอร์นูลลีเป็นกรณีพิเศษของการแจกแจงทวินาม โดยที่n = 1ในเชิงสัญลักษณ์X ~ B(1, p )มีความหมายเหมือนกับX ~ Bernoulli( p )ในทางกลับกัน การแจกแจงทวินามใดๆB( n , p )คือการแจกแจงของผลรวมของการทดลองเบอร์นูลลีอิสระn ครั้งBernoulli( p ) โดยแต่ละครั้งมีความน่าจะ เป็นpเท่ากัน^{[ 31 ]}

ถ้าnมีขนาดใหญ่พอ ความเบี่ยงเบนของการกระจายจะไม่มากเกินไป ในกรณีนี้ การประมาณค่าB( n , p ) ที่เหมาะสม จะได้รับจากการกระจายแบบปกติ และการประมาณค่าพื้นฐานนี้สามารถปรับปรุงได้ด้วยวิธีง่ายๆ โดยใช้การแก้ไขความต่อเนื่อง ที่เหมาะสม การประมาณค่าพื้นฐานโดยทั่วไปจะดีขึ้นเมื่อnเพิ่มขึ้น (อย่างน้อย 20) และจะดีขึ้นเมื่อpไม่ใกล้เคียงกับ 0 หรือ 1 ^{[ 32 ]}สามารถใช้กฎทั่วไปต่างๆ เพื่อตัดสินใจว่า nมีขนาดใหญ่พอหรือไม่ และpอยู่ห่างจากค่าสุดขั้วของศูนย์หรือหนึ่งมากพอหรือไม่: $${\displaystyle {\mathcal {N}}(np,\,np(1-p)),}$$

• กฎข้อหนึ่ง^{[ 32 ]}คือสำหรับn > 5การประมาณค่าปกติถือว่าเพียงพอหากค่าสัมบูรณ์ของความเบี่ยงเบนน้อยกว่า 0.3 อย่างเคร่งครัด นั่นคือ ถ้า$${\displaystyle {\frac {|1-2p|}{\sqrt {np(1-p)}}}={\frac {1}{\sqrt {n}}}\left|{\sqrt {\frac {1-p}{p}}}-{\sqrt {\frac {p}{1-p}}}\,\right|<0.3.}$$

สามารถระบุรายละเอียดให้ชัดเจนยิ่งขึ้นได้โดยใช้ทฤษฎีบทเบอร์รี-เอสซีน

• กฎที่เข้มงวดกว่าระบุว่า การประมาณค่าด้วยค่าเฉลี่ยปกติจะเหมาะสมก็ต่อเมื่อทุกสิ่งที่อยู่ภายในระยะ 3 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ยอยู่ในช่วงของค่าที่เป็นไปได้ กล่าวคือ ก็ต่อเมื่อ$${\displaystyle \mu \pm 3\sigma =np\pm 3{\sqrt {np(1-p)}}\in (0,n).}$$

กฎ 3 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานนี้เทียบเท่ากับเงื่อนไขต่อไปนี้ ซึ่งหมายความถึงกฎข้อแรกข้างต้นด้วยเช่นกัน$${\displaystyle n>9\left({\frac {1-p}{p}}\right)\quad {\text{and}}\quad n>9\left({\frac {p}{1-p}}\right).}$$

• กฎที่ใช้กันทั่วไปอีกข้อหนึ่งคือค่าnpและn (1 − p ) ทั้งสองค่า ต้องมากกว่า^{[ 33 ] [ 34 ]}หรือเท่ากับ 5 อย่างไรก็ตาม ตัวเลขที่เฉพาะเจาะจงจะแตกต่างกันไปตามแหล่งที่มา และขึ้นอยู่กับว่าต้องการการประมาณที่ดีเพียงใด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หากใช้ 9 แทน 5 กฎนี้จะหมายถึงผลลัพธ์ที่ระบุไว้ในย่อหน้าก่อนหน้า

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของการประยุกต์ใช้การแก้ไขความต่อเนื่องสมมติว่าเราต้องการคำนวณPr( X ≤ 8)สำหรับตัวแปรสุ่มทวินามXถ้าYมีการแจกแจงตามการประมาณค่าแบบปกติแล้วPr( X ≤ 8)จะถูกประมาณโดยPr( Y ≤ 8.5)การเพิ่ม 0.5 คือการแก้ไขความต่อเนื่อง การประมาณค่าแบบปกติที่ไม่ได้แก้ไขจะให้ผลลัพธ์ที่แม่นยำน้อยกว่ามาก

การประมาณค่านี้ ซึ่งรู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทเดอ มัวร์-ลาปลาซ ช่วยประหยัดเวลาได้อย่างมากเมื่อทำการคำนวณด้วยมือ (การคำนวณที่แม่นยำด้วยn ขนาดใหญ่ เป็นเรื่องที่ยุ่งยากมาก) ในทางประวัติศาสตร์ ถือเป็นการใช้การแจกแจงปกติครั้งแรก ซึ่งนำเสนอใน หนังสือ The Doctrine of Chancesของอับราฮัม เดอ มัวร์ในปี 1738 ปัจจุบัน สามารถมองได้ว่าเป็นผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางเนื่องจากB( n , p )เป็นผลรวมของตัวแปรเบอร์นูลีอิสระที่มีการแจกแจงเหมือนกัน จำนวน n ตัวโดยมีพารามิเตอร์  pข้อเท็จจริงนี้เป็นพื้นฐานของการทดสอบสมมติฐาน "การทดสอบสัดส่วน z" สำหรับค่าของ^pโดยใช้x / nซึ่งเป็นสัดส่วนตัวอย่างและตัวประมาณค่าของpในสถิติการทดสอบทั่วไป [ ^{35 ]}

ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเราสุ่มเลือก คน nคนจากประชากรขนาดใหญ่ และถามพวกเขาว่าเห็นด้วยกับข้อความหนึ่งหรือไม่ สัดส่วนของคนที่เห็นด้วยย่อมขึ้นอยู่กับกลุ่มตัวอย่าง หากสุ่มเลือกกลุ่มคนnคนซ้ำๆ กันอย่างแท้จริง สัดส่วนก็จะมีการกระจายแบบปกติโดยประมาณ โดยมีค่าเฉลี่ยเท่ากับสัดส่วนที่แท้จริงpของการเห็นด้วยในประชากร และมีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ σ$${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\frac {p(1-p)}{n}}}}$$

การแจกแจงทวินามจะลู่เข้าสู่การแจกแจงปัวซงเมื่อจำนวนการทดลองเข้าสู่ค่าอนันต์ ในขณะที่ผลคูณnpจะลู่เข้าสู่ค่าจำกัด ดังนั้น การแจกแจงปัวซงที่มีพารามิเตอร์λ = npสามารถใช้เป็นค่าประมาณของB( n , p )ของการแจกแจงทวินามได้ หากnมีค่ามากพอและpมีค่าน้อยมากพอ ตามหลักการทั่วไป ค่าประมาณนี้จะดีหากn ≥ 20และp ≤ 0.05 ^{[ 36 ]}โดยที่np ≤ 1หรือหากn ^> 50และp < 0.1โดยที่np < 5 [ ^{37 ]}หรือหากn ≥ 100และnp ≤ 10 ^{[ 38 ] [ 39 ]}

สำหรับความแม่นยำของการประมาณค่าปัวซง โปรดดู Novak ^{[ 40 ]}บทที่ 4 และเอกสารอ้างอิงในนั้น

• ทฤษฎีบทขีดจำกัดปัวซง : เมื่อ nเข้าใกล้ ∞และ pเข้าใกล้ 0 โดยที่ผลคูณ npคงที่ การแจกแจง แบบทวินาม( n , p )จะเข้าใกล้ ^{การแจกแจง แบบ}ปัวซงที่มีค่าเฉลี่ยλ = np [ ^{38 ]}
• ทฤษฎีบทเดอ มัวร์-ลาปลาซ : เมื่อ nเข้าใกล้ ∞ในขณะที่ pคงที่ การแจกแจงของ Xจะเข้าใกล้การแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 0 และความแปรปรวน  1 ผลลัพธ์นี้บางครั้งกล่าวอย่างคร่าวๆ ว่า การแจกแจงของ Xเป็นการแจกแจงปกติเชิงอะซิมโทติกที่มีค่าเฉลี่ย 0 และความแปรปรวน  1 ผลลัพธ์นี้เป็นกรณีเฉพาะของทฤษฎีบทลิมิตกลาง$${\displaystyle {\frac {X-np}{\sqrt {np(1-p)}}}}$$

การแจกแจงทวินามและการแจกแจงเบตาเป็นมุมมองที่แตกต่างกันของแบบจำลองเดียวกันของการทดลองแบบเบอร์นูลลีซ้ำๆ การแจกแจงทวินามคือฟังก์ชัน ความน่าจะเป็น ของ ความสำเร็จ k ครั้ง เมื่อกำหนด เหตุการณ์อิสระ nเหตุการณ์ โดยแต่ละเหตุการณ์มีความน่าจะ เป็นของความสำเร็จ pในทางคณิตศาสตร์ เมื่อα = k + 1และβ = n − k + 1การแจกแจงเบตาและการแจกแจงทวินามจะมีความสัมพันธ์กันด้วยตัวประกอบn + 1 : $${\displaystyle \operatorname {Beta} (p;\alpha ;\beta )=(n+1)\mathrm {B} (k;n;p)}$$

การแจกแจงเบต้ายังให้ตระกูลของการแจกแจงความน่าจะเป็นก่อนหน้าสำหรับการแจกแจงทวินามในการอนุมานแบบเบย์เซียนด้วย: ^{[ 41 ]} เมื่อกำหนดความน่าจะเป็นก่อนหน้าแบบสม่ำเสมอ การแจกแจงภายหลังสำหรับความน่าจะเป็นของความสำเร็จpเมื่อกำหนดเหตุการณ์อิสระn เหตุการณ์ที่มีความสำเร็จที่สังเกตได้ k ครั้งคือการแจกแจงเบต้า^{[ 42 ]}$${\displaystyle P(p;\alpha ,\beta )={\frac {p^{\alpha -1}(1-p)^{\beta -1}}{\operatorname {Beta} (\alpha ,\beta )}}.}$$

วิธีการสร้างตัวเลขสุ่มโดยที่การแจกแจงแบบมาร์จินัลเป็นการแจกแจงแบบทวินามนั้นเป็นที่ยอมรับกันดี^{[ 43 ] [ 44 ]} วิธีหนึ่งในการสร้าง ตัวอย่าง ตัวแปรสุ่มจากการแจกแจงแบบทวินามคือการใช้อัลกอริธึมผกผัน ในการทำเช่นนั้น จะต้องคำนวณความน่าจะเป็นที่Pr( X = k ) สำหรับค่า kทั้งหมดตั้งแต่0ถึงn (ผลรวมของความน่าจะเป็นเหล่านี้ควรมีค่าใกล้เคียงกับหนึ่ง เพื่อให้ครอบคลุมพื้นที่ตัวอย่างทั้งหมด) จากนั้นโดยใช้ตัวสร้างตัวเลขสุ่มเทียมเพื่อสร้างตัวอย่างอย่างสม่ำเสมอระหว่าง 0 และ 1 เราสามารถแปลงตัวอย่างที่คำนวณได้เป็นตัวเลขแบบไม่ต่อเนื่องโดยใช้ความน่าจะเป็นที่คำนวณได้ในขั้นตอนแรก

การแจกแจงนี้ได้มาจากJacob Bernoulliเขาพิจารณากรณีที่p = r /( r + s )โดยที่pคือความน่าจะเป็นของความสำเร็จ และrและsเป็นจำนวนเต็มบวกBlaise Pascalเคยพิจารณากรณีที่p = 1/2 มาก่อน โดย จัดทำตารางสัมประสิทธิ์ทวินามที่สอดคล้องกันในสิ่งที่ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อสามเหลี่ยมของ Pascal ^{[ 45 ]}

• การถดถอยโลจิสติก
• การแจกแจงแบบพหุนาม
• การแจกแจงทวินามเชิงลบ
• การแจกแจงเบตา-ไบโนเมียล
• การวัดแบบทวินาม ตัวอย่างของการวัดแบบมัลติแฟรกทั ล^{[ 46 ]}
• กลศาสตร์เชิงสถิติ
• ทฤษฎีบท การสะสม (Piling-up lemma)คือ ความน่าจะเป็นที่ได้จากการนำตัวแปรบูลีนอิสระมาทำการXOR กัน

• Hirsch, Werner Z. (1957). "การแจกแจงแบบทวินาม—ความสำเร็จหรือความล้มเหลว มีโอกาสมากน้อยเพียงใด?" . บทนำสู่สถิติสมัยใหม่ . นิวยอร์ก: MacMillan. หน้า  140–153 .
• เนเทอร์, จอห์น; วาสเซอร์แมน, วิลเลียม; วิตมอร์, จอร์เจีย (1988) สถิติประยุกต์ (ฉบับที่สาม). บอสตัน: อัลลินและเบคอน หน้า  185– 192. ไอเอสบีเอ็น 0-205-10328-6.

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับการแจกแจงทวินาม

Wikifunctionsมีฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกับหัวข้อนี้

• กราฟิกเชิงโต้ตอบ: ความสัมพันธ์ของการแจกแจงแบบตัวแปรเดียว
• ผลต่างของตัวแปรทวิภาคสองตัว: XYหรือ|XY|
• การสอบถามการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบทวินามใน WolframAlpha
• ช่วงความเชื่อมั่น (ช่วงความน่าเชื่อถือ) สำหรับความน่าจะเป็นแบบทวินาม p: สามารถใช้ เครื่องคำนวณออนไลน์ได้ที่causaScientia.org