ในพีชคณิตโคฟรีโคเจบราของปริภูมิเวกเตอร์หรือโมดูลเป็นอนาล็อกของโคเจบรา ของ ฟรีแอลเจบราของปริภูมิเวกเตอร์ โคฟรีโคเจบราของปริภูมิเวกเตอร์ ใดๆ บนฟิลด์นั้นมีอยู่จริง แม้ว่าจะซับซ้อนกว่าที่คาดคิดจากการเปรียบเทียบกับฟรีแอลเจบราก็ตาม

ถ้าVเป็นปริมาณเวกเตอร์เหนือฟิลด์Fแล้ว โคอัลจีบราแบบอิสระC  ( V ) ของVคือโคอัลจีบราพร้อมกับแผนที่เชิงเส้นC  ( V ) → Vโดยที่แผนที่เชิงเส้นใดๆ จากโคอัลจีบราXไปยังVจะแยกตัวประกอบผ่านโฮโมมอร์ฟิซึมของโคอัลจีบราจากXไปยังC  ( V ) กล่าวอีกนัยหนึ่งฟังก์ชันCเป็นตัวผกผันทางขวาของฟังก์ชันลืมจากโคอัลจีบราไปยังปริมาณเวกเตอร์

โคฟรีโคเจบราของปริภูมิเวกเตอร์มีอยู่เสมอ และมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวจนถึงไอโซมอร์ฟิซึมแบบแคนอนิก

โคอัลจีบราแบบโคคอมมิวเททีฟแบบอิสระถูกกำหนดในลักษณะที่คล้ายคลึงกัน และสามารถสร้างขึ้นได้โดยใช้โคอัลจีบราแบบโคคอมมิวเททีฟที่ใหญ่ที่สุดในโคอัลจีบราแบบโคฟรี

C  ( V ) อาจถูกสร้างขึ้นเพื่อเติมเต็มโคอัลจีบราเทนเซอร์^T ( V )ของVสำหรับk ∈ N = {0, 1, 2, ...} ให้TkVแทนกำลังเทนเซอร์kเท่าของV :

${\displaystyle T^{k}V=V^{\otimes k}=V\otimes V\otimes \cdots \otimes V,}$

โดยที่T ⁰ V = FและT ¹ V = Vดังนั้นT ( V ) คือผลรวมโดยตรง ของ T ^k Vทั้งหมด:

${\displaystyle T(V)=\bigoplus _{k\in \mathbb {N} }T^{k}V=\mathbb {F} \oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus (V\otimes V\otimes V)\oplus \cdots .}$

นอกเหนือจาก โครงสร้าง พีชคณิตแบบแบ่งระดับที่กำหนดโดยไอโซมอร์ฟิซึมผลคูณเทนเซอร์T ^j V ⊗ T ^k V → T ^{j + k} Vสำหรับj , k ∈ Nแล้วT ( V ) ยังมีโครงสร้างโคอัลจีบราแบบแบ่งระดับ Δ  : T ( V ) → T ( V ) ⊠ T ( V ) ซึ่งกำหนดโดยการขยาย

${\displaystyle \Delta (v_{1}\otimes \dots \otimes v_{k}):=\sum _{j=0}^{k}(v_{0}\otimes \dots \otimes v_{j})\boxtimes (v_{j+1}\otimes \dots \otimes v_{k+1})}$

โดยความเป็นเส้นตรงสำหรับ T ( V ) ทั้งหมด

ในที่นี้ สัญลักษณ์ผลคูณเทนเซอร์ ⊠ ใช้เพื่อระบุผลคูณเทนเซอร์ที่ใช้ในการกำหนดโคอัลเจบรา อย่าสับสนกับผลคูณเทนเซอร์ ⊗ ซึ่งใช้ในการกำหนดตัวดำเนินการคูณเชิงเส้นทวิภาคของเทนเซอร์แอลเจบรา ทั้งสองทำงานในปริภูมิที่แตกต่างกัน บนวัตถุที่แตกต่างกัน สามารถอ่านรายละเอียดเพิ่มเติมได้ในบทความ เกี่ยว กับเทนเซอร์แอลเจบรา

ผลรวมข้างต้นใช้เทคนิคย่อในการกำหนด${\displaystyle v_{0}=v_{k+1}=1\in \mathbb {F} }$เพื่อเป็นหน่วยในสนาม${\displaystyle \mathbb {F} }$ตัวอย่างเช่น เทคนิคการเขียนย่อนี้ให้ผลลัพธ์ดังนี้ ในกรณีของ${\displaystyle k=1}$จากผลรวมข้างต้น ผลลัพธ์ที่ได้คือ

${\displaystyle \Delta (v)=1\boxtimes v+v\boxtimes 1}$

สำหรับ${\displaystyle v\in V}$ในทำนองเดียวกัน สำหรับ${\displaystyle k=2}$และ${\displaystyle v,w\in V}$คนๆ หนึ่งจะได้

${\displaystyle \Delta (v\otimes w)=1\boxtimes (v\otimes w)+v\boxtimes w+(v\otimes w)\boxtimes 1.}$

โปรดทราบว่าไม่จำเป็นต้องเขียนอะไรเลย${\displaystyle 1\otimes v}$เนื่องจากนี่เป็นเพียง การคูณสเกลาร์แบบธรรมดาในทางพีชคณิต กล่าวคือ เราสามารถได้ผลลัพธ์นั้นอย่างง่ายดาย${\displaystyle 1\otimes v=1\cdot v=v.}$

ด้วยผลคูณปกติผลคูณ ร่วมนี้ ไม่ได้ทำให้T ( V ) กลายเป็นไบอัลจีบราแต่กลับเป็นคู่ตรงข้ามกับโครงสร้างอัลจีบราบนT ( V ^* ) โดยที่V ^*หมายถึงปริภูมิเวกเตอร์คู่ตรงข้ามของแผนที่เชิงเส้นV → Fสามารถเปลี่ยนให้เป็นไบอัลจีบราได้ด้วยผลคูณ${\displaystyle v_{i}\cdot v_{j}=(i,j)v_{i+j}}$โดยที่(i,j)หมายถึงสัมประสิทธิ์ทวินาม${\displaystyle {\tbinom {i+j}{i}}}$ไบอัลเจบรานี้เรียกว่า ไบอัลเจบราฮอปฟ์กำลังแบ่ง ผลคูณนี้เป็นคู่ตรงข้ามกับโครงสร้างโคอัลเจบราบนT ( V ^∗ ) ซึ่งทำให้เทนเซอร์อัลเจบราเป็นไบอัลเจบรา

ในที่นี้ องค์ประกอบของT ( V ) กำหนดรูปแบบเชิงเส้นบนT ( V ^* ) โดยใช้การจับคู่ที่ไม่เสื่อมสภาพ

${\displaystyle T^{k}V\times T^{k}V^{*}\to \mathbb {F} }$

เกิดจากการประเมิน และความเป็นคู่ระหว่างผลคูณร่วมบนT ( V ) และผลคูณบนT ( V ^∗ ) หมายความว่า

${\displaystyle \Delta (f)(a\otimes b)=f(ab).}$

ความเป็นคู่กันนี้ขยายไปถึงการจับคู่ที่ไม่เสื่อมถอยด้วย

${\displaystyle {\hat {T}}(V)\times T(V^{*})\to \mathbb {F} ,}$

ที่ไหน

${\displaystyle {\hat {T}}(V)=\prod _{k\in \mathbb {N} }T^{k}V}$

คือผลคูณโดยตรงของกำลังเทนเซอร์ของV (ผลรวมโดยตรงT ( V ) คือปริภูมิย่อยของผลคูณโดยตรงซึ่งมีส่วนประกอบที่ไม่เป็นศูนย์เพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น) อย่างไรก็ตาม ผลคูณร่วม Δ บนT ( V ) ขยายได้เฉพาะแผนที่เชิงเส้นเท่านั้น

${\displaystyle {\hat {\Delta }}\colon {\hat {T}}(V)\to {\hat {T}}(V){\hat {\otimes }}{\hat {T}}(V)}$

โดยมีค่าอยู่ในผลคูณเทนเซอร์ที่เสร็จสมบูรณ์ซึ่งในกรณีนี้คือ

${\displaystyle {\hat {T}}(V){\hat {\otimes }}{\hat {T}}(V)=\prod _{j,k\in \mathbb {N} }T^{j}V\otimes T^{k}V,}$

และประกอบด้วยผลคูณเทนเซอร์เป็นปริภูมิย่อยที่เหมาะสม:

${\displaystyle {\hat {T}}(V)\otimes {\hat {T}}(V)=\{X\in {\hat {T}}(V){\hat {\otimes }}{\hat {T}}(V):\exists \,k\in \mathbb {N} ,f_{j},g_{j}\in {\hat {T}}(V){\text{ st }}X={\textstyle \sum }_{j=0}^{k}(f_{j}\otimes g_{j})\}.}$

โคอัลจีบราเทนเซอร์ที่สมบูรณ์C  ( V ) คือปริภูมิย่อยที่ใหญ่ที่สุดC ที่สอดคล้องกับ

${\displaystyle T(V)\subseteq C\subseteq {\hat {T}}(V){\text{ และ }}{\hat {\Delta }}(C)\subseteq C\otimes C\subseteq {\hat {T}}(V){\hat {\otimes }}{\hat {T}}(V),}$

ซึ่งมีอยู่จริงเพราะถ้าC และC ตรงตามเงื่อนไขเหล่านี้ ผลรวมของC + C ก็จะตรงตาม เงื่อนไข เหล่านั้นด้วย

ปรากฏว่า^{[ 1 ]} C  ( V ) เป็นปริภูมิย่อยขององค์ประกอบตัวแทน ทั้งหมด :

${\displaystyle C(V)=\{f\in {\hat {T}}(V):{\hat {\Delta }}(f)\in {\hat {T}}(V)\otimes {\hat {T}}(V)\}.}$

นอกจากนี้ ตามหลักการจำกัดของโคอัลจีบรา ฟังก์ชันf ∈ C  ( V ) ใดๆ จะต้องอยู่ในซับโคอัลจีบราที่มีมิติจำกัดของC  ( V ) โดยใช้การจับคู่แบบทวิภาคกับT ( V ^∗ ) จะได้ว่าf ∈ C  ( V ) ก็ต่อเมื่อเคอร์เนลของfบนT ( V ^∗ ) ประกอบด้วยไอเดียลสองด้านที่มีมิติร่วมจำกัด หรือเทียบเท่ากัน

${\displaystyle C(V)=\bigcup \{I^{0}\subseteq {\hat {T}}(V):I\triangleleft T(V^{*}),\,\mathrm {codim} \,I<\infty \}}$

คือการรวมกันของตัวทำลายI ⁰ของอุดมคติร่วมมิติจำกัดIในT ( V ^∗ ) ซึ่งสมมาตรกับคู่ของผล หารพีชคณิตมิติจำกัดT ( V ^∗ )/ I