โคอัลจีบราได้มาจากการกำหนดตัวดำเนินการผลคูณร่วมหรือตัวดำเนินการแนวทแยง

${\displaystyle \Delta :TV\to TV\boxtimes TV}$

ที่นี่,${\displaystyle TV}$ใช้เป็นคำย่อสำหรับ${\displaystyle T(V)}$เพื่อหลีกเลี่ยงการใช้วงเล็บมากเกินไป${\displaystyle \boxtimes }$สัญลักษณ์นี้ใช้เพื่อแสดงถึงผลคูณเทนเซอร์ "ภายนอก" ซึ่งจำเป็นสำหรับการกำหนดโคอัลจีบรา โดยใช้เพื่อแยกความแตกต่างจากผลคูณเทนเซอร์ "ภายใน"${\displaystyle \otimes }$ซึ่งถูกใช้เพื่อแสดงการคูณในพีชคณิตเทนเซอร์อยู่แล้ว (ดูส่วนการคูณด้านล่าง สำหรับคำอธิบายเพิ่มเติมเกี่ยวกับประเด็นนี้) เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนระหว่างสัญลักษณ์ทั้งสองนี้ ตำราส่วนใหญ่จะแทนที่ด้วย${\displaystyle \otimes }$โดยใช้จุดธรรมดา หรืออาจจะละเว้นไปเลยก็ได้ โดยเข้าใจว่าความหมายนั้นมาจากบริบทโดยปริยาย ซึ่งจะช่วยให้${\displaystyle \otimes }$สัญลักษณ์ที่จะใช้แทนที่${\displaystyle \boxtimes }$สัญลักษณ์นี้ไม่ได้ใช้ในลักษณะดังกล่าวในส่วนถัดไป และสัญลักษณ์ทั้งสองถูกใช้แยกกันอย่างชัดเจน เพื่อแสดงตำแหน่งที่ถูกต้องของแต่ละสัญลักษณ์ ผลลัพธ์ที่ได้อาจดูซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย แต่ควรจะเข้าใจได้ง่ายขึ้น

นิยามของตัวดำเนินการ${\displaystyle \Delta }$วิธีที่ง่ายที่สุดคือการสร้างทีละขั้นตอน โดยเริ่มจากการกำหนดโครงสร้างสำหรับองค์ประกอบต่างๆ ก่อน${\displaystyle v\in V\subset TV}$จากนั้นจึงขยายแบบโฮโมมอร์ฟิกไปยังพีชคณิตทั้งหมด ตัวเลือกที่เหมาะสมสำหรับโคโปรดักต์คือ

${\displaystyle \Delta :v\mapsto v\boxtimes 1+1\boxtimes v}$

และ

${\displaystyle \Delta :1\mapsto 1\boxtimes 1}$

ที่ไหน${\displaystyle 1\in K=T^{0}V\subset TV}$เป็นหน่วยของสาขา${\displaystyle K}$โดยความเป็นเส้นตรง ย่อมเห็นได้ชัดว่า

${\displaystyle \Delta (k)=k(1\boxtimes 1)=k\boxtimes 1=1\boxtimes k}$

สำหรับทุกคน${\displaystyle k\in K.}$เป็นการง่ายที่จะตรวจสอบว่าคำจำกัดความนี้สอดคล้องกับสัจพจน์ของโคอัลจีบรา นั่นคือ

${\displaystyle (\mathrm {id} _{TV}\boxtimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \boxtimes \mathrm {id} _{TV})\circ \Delta }$

ที่ไหน${\displaystyle \mathrm {id} _{TV}:x\mapsto x}$แผนที่เอกลักษณ์บน${\displaystyle TV}$ที่จริงแล้ว เราก็ได้รับ

${\displaystyle ((\mathrm {id} _{TV}\boxtimes \Delta )\circ \Delta )(v)=v\boxtimes 1\boxtimes 1+1\boxtimes v\boxtimes 1+1\boxtimes 1\boxtimes v}$

และในทำนองเดียวกันสำหรับอีกฝ่ายหนึ่ง ณ จุดนี้ เราอาจยกทฤษฎีบทเสริมมากล่าวได้ว่า${\displaystyle \Delta }$ขยายออกไปอย่างง่ายดายโดยอาศัยความเป็นเส้นตรงไปยังทุกสิ่ง${\displaystyle TV}$, เพราะ${\displaystyle TV}$เป็นวัตถุอิสระและ${\displaystyle V}$เป็นตัวสร้างของพีชคณิตอิสระ และ${\displaystyle \Delta }$เป็นโฮโมมอร์ฟิซึม อย่างไรก็ตาม การให้สูตรที่ชัดเจนนั้นเป็นสิ่งที่มีประโยชน์ ดังนั้น สำหรับ${\displaystyle v\otimes w\in T^{2}V}$โดยนิยามแล้ว หนึ่งจะมีโฮโมมอร์ฟิซึม

${\displaystyle \Delta :v\otimes w\mapsto \Delta (v)\otimes \Delta (w)}$

เมื่อขยายความแล้ว หนึ่งจะมี

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (v\otimes w)&=(v\boxtimes 1+1\boxtimes v)\otimes (w\boxtimes 1+1\boxtimes w)\\&=(v\otimes w)\boxtimes 1+v\boxtimes w+w\boxtimes v+1\boxtimes (v\otimes w)\end{aligned}}}$

ในการขยายความข้างต้น ไม่จำเป็นต้องเขียนอะไรเลย${\displaystyle 1\otimes v}$เนื่องจากนี่เป็นเพียงการคูณสเกลาร์แบบธรรมดาในทางพีชคณิต กล่าวคือ เราสามารถได้ผลลัพธ์นั้นอย่างง่ายดาย${\displaystyle 1\otimes v=1\cdot v=v.}$

ส่วนขยายข้างต้นยังคงรักษาระดับชั้นทางพีชคณิตไว้ กล่าวคือ

${\displaystyle \Delta :T^{2}V\to \bigoplus _{k=0}^{2}T^{k}V\boxtimes T^{2-k}V}$

เมื่อดำเนินการในลักษณะนี้ต่อไป เราจะสามารถหาการแสดงออกที่ชัดเจนสำหรับผลคูณร่วมที่กระทำต่อองค์ประกอบเอกพันธุ์อันดับm ได้ :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{m})&=\Delta (v_{1})\otimes \cdots \otimes \Delta (v_{m})\\&=\sum _{p=0}^{m}\left(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{p}\right)\;\omega \;\left(v_{p+1}\otimes \cdots \otimes v_{m}\right)\\&=\sum _{p=0}^{m}\;\sum _{\sigma \in \mathrm {Sh} (p,mp)}\;\left(v_{\sigma (1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (p)}\right)\boxtimes \left(v_{\sigma (p+1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (m)}\right)\end{aligned}}}$

ที่ซึ่ง${\displaystyle \omega }$สัญลักษณ์ ซึ่งควรปรากฏเป็น ш หรือ sha แสดงถึงผลคูณการสับเปลี่ยนซึ่งแสดงอยู่ในผลรวมที่สอง ซึ่งคำนวณจากผลการสับเปลี่ยนทั้งหมด( p , m − p )การสับเปลี่ยนคือ

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Sh} (p,q)=\{\sigma$ :\{1,\dots ,p+q\}\to \{1,\dots ,p+q\}\;\mid \;&\sigma {\text{ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง}},\;\sigma (1)<\sigma (2)<\cdots <\sigma (p),\\&{\text{และ }}\;\sigma (p+1)<\sigma (p+2)<\cdots <\sigma (m)\}.\end{aligned}}}

ตามธรรมเนียมแล้ว จะถือว่า Sh( m, 0) และ Sh(0, m ) เท่ากับ {id: {1, ..., m } → {1, ..., m }} นอกจากนี้ การใช้ผลคูณเทนเซอร์บริสุทธิ์ก็สะดวกเช่นกัน ${\displaystyle v_{\sigma (1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (p)}}$และ${\displaystyle v_{\sigma (p+1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (m)}}$ เท่ากับ 1 สำหรับp = 0 และp = mตามลำดับ (ผลคูณที่ว่างเปล่าใน${\displaystyle TV}$การสับเปลี่ยนเป็นผลโดยตรงจากสัจพจน์ข้อแรกของโคแอลจีบรา: ลำดับสัมพัทธ์ขององค์ประกอบ${\displaystyle v_{k}}$ลำดับการเรียงไพ่แบบริฟเฟิลชัฟเฟิล ยังคงอยู่โดยริฟเฟิลชัฟเฟิลจะแบ่งลำดับที่เรียงแล้วออกเป็นสองลำดับ คือลำดับหนึ่งอยู่ทางซ้าย และอีกลำดับหนึ่งอยู่ทางขวา

ในทำนองเดียวกัน

${\displaystyle \Delta (v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n})=\sum _{S\subseteq \{1,\dots ,n\}}\left(\prod _{k=1 \atop k\in S}^{n}v_{k}\right)\boxtimes \left(\prod _{k=1 \atop k\notin S}^{n}v_{k}\right)\!,}$

ที่ซึ่งผลิตภัณฑ์อยู่${\displaystyle TV}$และผลรวมนั้นครอบคลุมทุกเซตย่อยของ${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$.

ระบบการให้คะแนนวิชาพีชคณิตยังคงเหมือนเดิม:

${\displaystyle \Delta :T^{m}V\to \bigoplus _{k=0}^{m}T^{k}V\boxtimes T^{(m-k)}V}$

หน่วยย่อย${\displaystyle \epsilon :TV\to K}$ได้มาจากโปรเจกชันของส่วนประกอบสนามออกจากพีชคณิต ซึ่งสามารถเขียนได้ดังนี้${\displaystyle \epsilon :v\mapsto 0}$สำหรับ${\displaystyle v\in V}$และ${\displaystyle \epsilon :k\mapsto k}$สำหรับ${\displaystyle k\in K=T^{0}V}$โดยโฮโมมอร์ฟิซึมภายใต้ผลคูณเทนเซอร์${\displaystyle \otimes }$สิ่งนี้ขยายไปถึง

${\displaystyle \epsilon :x\mapsto 0}$

สำหรับทุกคน${\displaystyle x\in T^{1}V\oplus T^{2}V\oplus \cdots }$ การตรวจสอบว่าหน่วยย่อยนี้ตรงตามสัจพจน์ที่จำเป็นสำหรับโคอัลจีบรานั้นเป็นเรื่องง่าย:

${\displaystyle (\mathrm {id} \boxtimes \epsilon )\circ \Delta =\mathrm {id} =(\epsilon \boxtimes \mathrm {id} )\circ \Delta .}$

หากพิจารณาอย่างชัดเจนแล้ว จะได้ว่า

${\displaystyle {\begin{aligned}((\mathrm {id} \boxtimes \epsilon )\circ \Delta )(x)&=(\mathrm {id} \boxtimes \epsilon )(1\boxtimes x+x\boxtimes 1)\\&=1\boxtimes \epsilon (x)+x\boxtimes \epsilon (1)\\&=0+x\boxtimes 1\\&\cong x\end{aligned}}}$

โดยในขั้นตอนสุดท้าย ได้มีการใช้ไอโซมอร์ฟิซึม${\displaystyle TV\boxtimes K\cong TV}$ซึ่งเหมาะสมกับสัจพจน์พื้นฐานของหน่วยย่อย

การคูณแสดงด้วยตัวดำเนินการ

${\displaystyle \nabla :TV\boxtimes TV\to TV}$

ซึ่งในกรณีนี้ ได้ระบุไว้แล้วว่าเป็นผลคูณเทนเซอร์ "ภายใน" นั่นคือ

${\displaystyle \nabla :x\boxtimes y\mapsto x\otimes y}$

นั่นคือ${\displaystyle \nabla (x\boxtimes y)=x\otimes y.}$จากที่กล่าวมาข้างต้นน่าจะช่วยให้เข้าใจได้ชัดเจนว่าทำไม${\displaystyle \boxtimes }$ต้องใช้สัญลักษณ์:${\displaystyle \otimes }$จริงๆ แล้วมันคือสิ่งเดียวกันกับ${\displaystyle \nabla }$และการใช้สัญลักษณ์ที่ไม่แม่นยำในที่นี้จะนำไปสู่ความโกลาหลอย่างสิ้นเชิง เพื่อเสริมความแข็งแกร่งให้กับสิ่งนี้: ผลคูณเทนเซอร์${\displaystyle \otimes }$ของพีชคณิตเทนเซอร์สอดคล้องกับการคูณ${\displaystyle \nabla }$ใช้ในการนิยามพีชคณิต ในขณะที่ผลคูณเทนเซอร์${\displaystyle \boxtimes }$เป็นตัวที่จำเป็นในนิยามของการคูณร่วมในโคอัลจีบรา ผลคูณเทนเซอร์ทั้งสองนี้ไม่ใช่สิ่งเดียวกัน!

หน่วยสำหรับพีชคณิต

${\displaystyle \eta :K\to TV}$

เป็นเพียงการฝังข้อมูลเท่านั้น ดังนั้น

${\displaystyle \eta :k\mapsto k}$

หน่วยดังกล่าวเข้ากันได้กับผลคูณเทนเซอร์${\displaystyle \otimes }$เป็นเรื่อง "ธรรมดา" กล่าวคือ มันเป็นเพียงส่วนหนึ่งของนิยามมาตรฐานของผลคูณเทนเซอร์ของปริภูมิเวกเตอร์ นั่นคือ${\displaystyle k\otimes x=kx}$สำหรับองค์ประกอบสนามkและใดๆ${\displaystyle x\in TV.}$ กล่าวโดยละเอียดแล้ว สัจพจน์ของพีชคณิตแบบสมาคมต้องการโฮโมมอร์ฟิซึมสองตัว (หรือแผนภาพการสลับที่):

${\displaystyle \nabla \circ (\eta \boxtimes \mathrm {id} _{TV})=\eta \otimes \mathrm {id} _{TV}=\eta \cdot \mathrm {id} _{TV}}$

บน${\displaystyle K\boxtimes TV}$และสมมาตรกัน บน${\displaystyle TV\boxtimes K}$, ที่

${\displaystyle \nabla \circ (\mathrm {id} _{TV}\boxtimes \eta )=\mathrm {id} _{TV}\otimes \eta =\mathrm {id} _{TV}\cdot \eta }$

โดยที่ด้านขวามือของสมการเหล่านี้ควรเข้าใจว่าเป็นผลคูณเชิงสเกลาร์

หน่วยและหน่วยร่วม รวมถึงการคูณและการคูณร่วม ล้วนต้องเป็นไปตามเงื่อนไขความเข้ากันได้ เป็นเรื่องที่เห็นได้ชัดเจนว่า

${\displaystyle \epsilon \circ \eta =\mathrm {id} _{K}.}$

ในทำนองเดียวกัน หน่วยนี้สามารถใช้งานร่วมกับการคูณร่วมได้:

${\displaystyle \Delta \circ \eta =\eta \boxtimes \eta \cong \eta }$

สิ่งที่กล่าวมาข้างต้นจำเป็นต้องใช้ไอโซมอร์ฟิซึม${\displaystyle K\boxtimes K\cong K}$เพื่อให้สามารถทำงานได้ หากไม่มีสิ่งนี้ก็จะสูญเสียความเป็นเส้นตรงไป ในแง่ของส่วนประกอบ

${\displaystyle (\Delta \circ \eta )(k)=\Delta (k)=k(1\boxtimes 1)\cong k}$

โดยด้านขวามือใช้ประโยชน์จากความเหมือนกันทางโครงสร้าง

การคูณและหน่วยย่อยนั้นเข้ากันได้:

${\displaystyle (\epsilon \circ \nabla )(x\boxtimes y)=\epsilon (x\otimes y)=0}$

เมื่อใดก็ตามที่xหรือyไม่ใช่สมาชิกของ${\displaystyle K}$และในกรณีอื่นๆ จะมีการคูณสเกลาร์บนฟิลด์:${\displaystyle k_{1}\otimes k_{2}=k_{1}k_{2}.}$ สิ่งที่ตรวจสอบได้ยากที่สุดคือความเข้ากันได้ของการคูณและการคูณร่วม:

${\displaystyle \Delta \circ \nabla =(\nabla \boxtimes \nabla )\circ (\mathrm {id} \boxtimes \tau \boxtimes \mathrm {id} )\circ (\Delta \boxtimes \Delta )}$

ที่ไหน${\displaystyle \tau (x\boxtimes y)=y\boxtimes x}$มีการแลกเปลี่ยนองค์ประกอบ เงื่อนไขความเข้ากันได้จำเป็นต้องได้รับการตรวจสอบเฉพาะในส่วนนั้นเท่านั้น${\displaystyle V\subset TV}$ความเข้ากันได้อย่างสมบูรณ์นั้นเป็นผลมาจากการขยายแบบโฮโมมอร์ฟิกไปยังทุกสิ่ง${\displaystyle TV.}$ขั้นตอนการตรวจสอบนั้นค่อนข้างละเอียดแต่ตรงไปตรงมา โดยไม่ได้แสดงรายละเอียดไว้ในที่นี้ ยกเว้นผลลัพธ์สุดท้าย:

${\displaystyle (\Delta \circ \nabla )(v\boxtimes w)=\Delta (v\otimes w)}$

สำหรับ${\displaystyle v,w\in V,}$มีการระบุสูตรที่ชัดเจนสำหรับเรื่องนี้ไว้แล้วในส่วนของโคอัลจีบราข้างต้น

ความเข้ากันได้ของจุดตรงข้ามกับการคูณและการคูณร่วมต้องมีเงื่อนไขว่า

${\displaystyle \nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} )\circ \Delta =\eta \circ \epsilon =\nabla \circ (\mathrm {id} \boxtimes S)\circ \Delta }$

การตรวจสอบส่วนประกอบแต่ละส่วนนั้นทำได้ง่าย${\displaystyle k\in K}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} )\circ \Delta )(k)&=(\nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} ))(1\boxtimes k)\\&=\nabla (1\boxtimes k)\\&=1\otimes k\\&=k\end{aligned}}}$

ในทำนองเดียวกัน บน${\displaystyle v\in V}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} )\circ \Delta )(v)&=(\nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} ))(v\boxtimes 1+1\boxtimes v)\\&=\nabla (-v\boxtimes 1+1\boxtimes v)\\&=-v\otimes 1+1\otimes v\\&=-v+v\\&=0\end{aligned}}}$

โปรดจำไว้ว่า

${\displaystyle (\eta \circ \epsilon )(k)=\eta (k)=k}$

และนั่น

${\displaystyle (\eta \circ \epsilon )(x)=\eta (0)=0}$

สำหรับใดๆ${\displaystyle x\in TV}$นั่นไม่ได้อยู่ใน${\displaystyle K.}$

อาจดำเนินการในลักษณะเดียวกันได้ โดยใช้โฮโมมอร์ฟิซึม ตรวจสอบว่าแอนติโพดแทรกเครื่องหมายตัดทอนที่เหมาะสมในการสับเปลี่ยน โดยเริ่มจากเงื่อนไขความเข้ากันได้บน${\displaystyle T^{2}V}$และดำเนินการโดยวิธีการอุปมาน