ลองค้นหาคำว่า collinearity  หรือcollinearใน Wiktionary ซึ่งเป็นพจนานุกรมออนไลน์ฟรี

ในทางเรขาคณิตความเป็นเส้นตรงเดียวกันของเซตของจุดคือคุณสมบัติของจุดเหล่านั้นที่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน^{[ 1 ]}เซตของจุดที่มีคุณสมบัตินี้เรียกว่าจุดร่วมเส้นตรง (บางครั้งสะกดว่าcolinear ^{[ 2 ]} ) โดยทั่วไปแล้ว คำนี้ถูกใช้สำหรับวัตถุที่เรียงตัวกัน นั่นคือ สิ่งต่างๆ ที่อยู่ "ในแนวเส้นตรง" หรือ "ในแถว"

ในเรขาคณิตใดๆ เซตของจุดที่อยู่บนเส้น ตรงเดียวกันเรียกว่าจุดที่ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ในเรขาคณิตแบบยุคลิดความสัมพันธ์นี้สามารถมองเห็นได้อย่างชัดเจนโดยจุดที่เรียงตัวกันเป็นแถวบน "เส้นตรง" อย่างไรก็ตาม ในเรขาคณิตส่วนใหญ่ (รวมถึงเรขาคณิตแบบยุคลิด) เส้นตรงมักเป็นประเภทวัตถุพื้นฐาน (ไม่นิยาม)ดังนั้นการแสดงภาพเช่นนั้นจึงอาจไม่เหมาะสมเสมอไป แบบจำลองสำหรับเรขาคณิตจะนำเสนอการตีความว่าจุด เส้นตรง และประเภทวัตถุอื่นๆ เกี่ยวข้องกันอย่างไร และแนวคิดเช่นการอยู่บนเส้นตรงเดียวกันจะต้องถูกตีความภายในบริบทของแบบจำลองนั้น ตัวอย่างเช่น ในเรขาคณิตทรงกลมซึ่งเส้นตรงถูกแทนด้วยวงกลมใหญ่ของทรงกลมในแบบจำลองมาตรฐาน เซตของจุดที่อยู่บนเส้นตรงเดียวกันจะอยู่บนวงกลมใหญ่เดียวกัน จุดเหล่านั้นไม่ได้อยู่บน "เส้นตรง" ในความหมายของยุคลิด และไม่ได้ถูกมองว่าอยู่ในแถวเดียวกัน

การแมปเรขาคณิตไปยังตัวมันเองซึ่งส่งเส้นตรงไปยังเส้นตรงเรียกว่าการคอลลิเนชัน (collineation ) ซึ่งรักษาคุณสมบัติความเป็นเส้นตรงไว้การแมปเชิงเส้น (หรือฟังก์ชันเชิงเส้น)ของปริภูมิเวกเตอร์เมื่อมองในแง่ของการแมปทางเรขาคณิต จะแมปเส้นตรงไปยังเส้นตรง กล่าวคือ แมปเซตจุดที่อยู่บนเส้นตรงเดียวกันไปยังเซตจุดที่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ดังนั้นจึงเป็นการคอลลิเนชัน ในเรขาคณิตเชิงโปรเจกทีฟ การแมปเชิงเส้นเหล่านี้เรียกว่าโฮโมกราฟี (homographies)และเป็นเพียงประเภทหนึ่งของการคอลลิเนชัน

ในรูปสามเหลี่ยมใดๆ จุดต่อไปนี้จะอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน:

• จุด ออ ร์โธเซ็นเตอร์จุด เซอร์คั มเซ็นเตอร์จุดเซนทรอยด์ จุดเอ็กซีเตอร์จุดเดอ ลองชองส์และจุดศูนย์กลางของวงกลมเก้าจุดล้วนอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ซึ่งเรียกว่าเส้นออยเลอร์
• จุดเดอ ลองชองส์ยังมีเส้นตรงร่วมอื่นๆ อีก ด้วย
• จุดยอดใดๆ จุดสัมผัสของด้านตรงข้ามกับวงกลมภายนอกและจุดนาเกลจะอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ซึ่งเรียกว่าเส้นแบ่งสามเหลี่ยม
• จุดกึ่งกลางของด้านใดด้านหนึ่ง จุดที่อยู่ห่างจากด้านนั้นเท่ากันตามแนวขอบของสามเหลี่ยมในทิศทางใดทิศทางหนึ่ง (ดังนั้นจุดทั้งสองนี้จึงแบ่งครึ่งเส้นรอบรูป ) และจุดศูนย์กลางของวงกลมสปีกเกอร์ จะอยู่บนเส้นเดียวกันที่เรียกว่าเส้นแบ่งสามเหลี่ยม ( วงกลมสปีกเกอร์เป็นวงกลมแนบในของสามเหลี่ยมมัธยฐานและจุดศูนย์กลาง ของวงกลมสปีกเกอร์ คือจุดศูนย์กลางมวลของเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยม)
• จุดยอดใดๆ จุดสัมผัสของด้านตรงข้ามกับวงกลมแนบใน และจุดเกอร์กอนน์ล้วนอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน
• จากจุดใดๆ บนวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม จุดที่ใกล้ที่สุดบนด้านทั้งสามที่ต่อออกไปของสามเหลี่ยมจะอยู่บนเส้นตรงซิมสันของจุดบนวงกลมล้อมรอบนั้น
• เส้นที่เชื่อมระหว่างจุดปลายของเส้นความสูงจะตัดกับด้านตรงข้ามที่จุดร่วมเส้นตรง^{[ 3 ] : หน้า 199}
• จุดศูนย์กลางภายในของสามเหลี่ยมจุดกึ่งกลางของความสูงและจุดสัมผัสของด้านที่สอดคล้องกันกับวงกลมภายนอกที่สัมพันธ์กับด้านนั้น จะอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน^{[ 4 ] : หน้า 120, #78}
• ทฤษฎีบทของเมเนเลาส์กล่าวว่าจุดสามจุดบนด้าน (หรือด้าน ที่ต่อขยาย ) ของสามเหลี่ยมที่อยู่ตรงข้ามจุดยอดตามลำดับจะอยู่บนเส้นตรงเดียวกันก็ต่อเมื่อผลคูณของความยาวส่วนต่อไปนี้เท่ากัน: ^{[ 3 ] : หน้า 147} ${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3}}$${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3}}$

${\displaystyle P_{1}A_{2}\cdot P_{2}A_{3}\cdot P_{3}A_{1}=P_{1}A_{3}\cdot P_{2}A_{1}\cdot P_{3}A_{2}.}$

• จุดศูนย์กลางวงกลมแนบใน จุดศูนย์กลางมวล และจุดศูนย์กลางวงกลมสปีกเกอร์ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน
• จุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบจุดกึ่งกลาง Brocardและจุด Lemoineของสามเหลี่ยมจะอยู่บนเส้นเดียวกัน^{[ 5 ]}
• เส้นตรงสอง เส้น ที่ตั้งฉากกันและตัดกันที่จุดศูนย์กลางความตั้งฉาก ของรูปสามเหลี่ยม จะตัดกับ ด้านที่ต่อออกไปของรูปสามเหลี่ยมแต่ละด้านจุดกึ่งกลางของด้านทั้งสามของจุดตัดเหล่านี้จะอยู่บนเส้นตรงเดียวกันในเส้นตรงดรอซ-ฟาร์นี

• ในรูปสี่เหลี่ยมด้าน นูน ABCDซึ่งด้านตรงข้ามตัดกันที่EและFจุดกึ่งกลางของAC , BD , EFจะอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน และเส้นที่ลากผ่านจุดเหล่านี้เรียกว่าเส้นนิวตันถ้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านสัมผัสจุดศูนย์กลางภายในของรูปสี่เหลี่ยมด้านสัมผัส ก็จะอยู่บนเส้นนี้ด้วย ^{[ 6 ]}
• ในรูปสี่เหลี่ยมด้านนูน จุดกึ่งกลางด้านหน้าHจุดกึ่งกลางพื้นที่Gและจุดกึ่งกลางวงกลมล้อมรอบO จะอยู่บนเส้นตรงเดียวกันตามลำดับ นี้และHG = 2 GO ^{[ 7 ]} (ดูQuadrilateral#Remarkable points and lines in a convex quadrilateral )

• จุดร่วมเส้นตรงอื่นๆ ของรูปสี่เหลี่ยมสัมผัสแสดงอยู่ในหัวข้อ รูปสี่เหลี่ยมสัมผัส#จุดร่วมเส้นตรง
• ในรูปสี่เหลี่ยมวงกลมจุดศูนย์กลาง วงกลมล้อมรอบ จุดศูนย์กลางจุดยอด (จุดตัดของเส้นกึ่งกลางสองเส้น) และจุดศูนย์กลางตรงข้ามจะอยู่บนเส้นเดียวกัน^{[ 8 ]}
• ในรูปสี่เหลี่ยมวงกลมจุดศูนย์กลางพื้นที่จุดศูนย์กลางจุดยอด และจุดตัดของเส้นทแยงมุมจะอยู่บนเส้นเดียวกัน^{[ 9 ]}
• ในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูสัมผัสเส้นสัมผัสของวงกลมแนบในกับฐานทั้งสองจะอยู่บนเส้นตรงเดียวกันกับจุดศูนย์กลางวงกลมแนบใน
• ในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูสัมผัส จุดกึ่งกลางของด้านข้างจะอยู่บนเส้นตรงเดียวกันกับจุดศูนย์กลางภายใน

• ทฤษฎีบทของปาสคาล (หรือที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทเฮกซาแกรมมัม มิสติคัม) กล่าวว่า ถ้าเลือกจุดหกจุดใดๆ บนภาคตัดกรวย (เช่นวงรีพาราโบลาหรือไฮเปอร์โบลา ) แล้วลากเส้นตรงเชื่อมต่อจุดเหล่านั้นในลำดับใดก็ได้เพื่อสร้างรูปหกเหลี่ยมแล้วด้านตรงข้ามสามคู่ของรูปหกเหลี่ยม (ต่อเติมถ้าจำเป็น) จะมาบรรจบกันที่จุดสามจุดซึ่งอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน เรียกว่าเส้นปาสคาลของรูปหกเหลี่ยม และในทางกลับกันก็เป็นจริงเช่นกัน: ทฤษฎีบทไบรเคนริดจ์-แมคลาอรินกล่าวว่า ถ้าจุดตัดสามจุดของเส้นตรงสามคู่ที่ลากผ่านด้านตรงข้ามของรูปหกเหลี่ยมอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน แล้วจุดยอดทั้งหกของรูปหกเหลี่ยมจะอยู่บนภาคตัดกรวย ซึ่งอาจเป็นภาคตัดกรวยเสื่อมสภาพได้ดังเช่นในทฤษฎีบทหกเหลี่ยมของปัปปัส

• ตามทฤษฎีบทของ Mongeสำหรับวงกลม สามวงใดๆ ในระนาบ ซึ่งไม่มีวงใดอยู่ภายในวงอื่นอย่างสมบูรณ์ จุดตัดสามจุดของเส้นตรงสามคู่ ซึ่งแต่ละคู่สัมผัสภายนอกกับวงกลมสองวง จะอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน
• ในรูปวงรี จุดศูนย์กลาง จุดโฟกัสทั้งสองและจุดยอด ทั้งสองที่มี รัศมีโค้งน้อยที่สุดจะอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน และจุดศูนย์กลางและจุดยอดทั้งสองที่มีรัศมีโค้งมากที่สุดก็จะอยู่บนเส้นตรงเดียวกันด้วย
• ในรูปไฮเปอร์โบลาจุดศูนย์กลาง จุดโฟกัสทั้งสอง และจุดยอดทั้งสอง จะอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

• จุดศูนย์กลางมวลของทรงกรวยที่มีความหนาแน่นสม่ำเสมอจะอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางของฐานไปยังจุดยอดเป็นระยะหนึ่งในสี่ของระยะทางทั้งหมด โดยอยู่บนเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดศูนย์กลางของฐานกับจุดยอด

• จุดศูนย์กลางมวลของทรงสี่เหลี่ยมหน้าจั่ว คือจุดกึ่งกลางระหว่างจุดมองเก (Monge point)และ จุดศูนย์กลางวงกลม ล้อมรอบ (circumcenter)จุดเหล่านี้กำหนดเส้นออยเลอร์ (Euler line)ของทรงสี่เหลี่ยมหน้าจั่ว ซึ่งคล้ายคลึงกับเส้นออยเลอร์ของรูปสามเหลี่ยม จุดศูนย์กลางของทรงกลมสิบสองจุดของทรงสี่เหลี่ยมหน้าจั่วก็อยู่บนเส้นออยเลอร์นี้ด้วย

ในเรขาคณิตพิกัดใน ปริภูมิ nมิติ เซตของจุดสามจุดหรือมากกว่านั้นที่แตกต่างกันจะอยู่บนเส้นตรงเดียวกันก็ต่อเมื่อเมทริกซ์ของพิกัดของเวกเตอร์เหล่านั้นมีอันดับ 1 หรือน้อยกว่า ตัวอย่างเช่น กำหนดจุดสามจุด

${\displaystyle {\begin{aligned}X&=(x_{1},\ x_{2},\ \dots ,\ x_{n}),\\Y&=(y_{1},\ y_{2},\ \dots ,\ y_{n}),\\Z&=(z_{1},\ z_{2},\ \dots ,\ z_{n}),\end{aligned}}}$

ถ้าเมทริกซ์

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\dots &x_{n}\\y_{1}&y_{2}&\dots &y_{n}\\z_{1}&z_{2}&\dots &z_{n}\end{bmatrix}}}$

ถ้าจุดเหล่านั้นมีลำดับที่ 1 หรือต่ำกว่า แสดงว่าจุดเหล่านั้นอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

ในทำนองเดียวกัน สำหรับทุกเซตย่อยของX, Y, Zถ้าเมทริกซ์

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&x_{1}&x_{2}&\dots &x_{n}\\1&y_{1}&y_{2}&\dots &y_{n}\\1&z_{1}&z_{2}&\dots &z_{n}\end{bmatrix}}}$

ถ้าเมทริกซ์ มีอันดับ 2 หรือน้อยกว่า จุดทั้งสามจะอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับจุดสามจุดในระนาบ ( n = 2 ) เมทริกซ์ข้างต้นเป็นเมทริกซ์จัตุรัส และจุดทั้งสามจะอยู่บนเส้นตรงเดียวกันก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนต์ ของเมทริกซ์ เป็นศูนย์ เนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ 3 × 3 นั้นมีค่าบวกหรือลบสองเท่าของพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีจุดทั้งสามนั้นเป็นจุดยอด ดังนั้นจึงเทียบเท่ากับข้อความที่ว่า จุดทั้งสามอยู่บนเส้นตรงเดียวกันก็ต่อเมื่อสามเหลี่ยมที่มีจุดทั้งสามนั้นเป็นจุดยอดมีพื้นที่เป็นศูนย์

เซตของจุดที่แตกต่างกันอย่างน้อยสามจุดเรียกว่าเส้นตรงหมายความว่าจุดทั้งหมดอยู่บนเส้นตรงเดียวกันก็ต่อเมื่อ สำหรับจุดA, B, C ทั้งสามจุดใดๆ ค่าดีเทอร์มิแนนต์ของ ดีเทอร์มิแนนต์ของเคย์ลีย์-เมนเจอร์ต่อไปนี้มีค่าเป็นศูนย์ (โดยที่d ( AB )หมายถึงระยะห่างระหว่างAและBเป็นต้น):

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}0&d(AB)^{2}&d(AC)^{2}&1\\d(AB)^{2}&0&d(BC)^{2}&1\\d(AC)^{2}&d(BC)^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{bmatrix}}=0.}$

ตาม สูตรของเฮรอน ค่าดีเทอร์มิแนนต์นี้เท่ากับ -16 เท่าของกำลังสองของพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีด้านยาวd ( AB ), d ( BC ), d ( AC )ดังนั้นการตรวจสอบว่าค่าดีเทอร์มิแนนต์นี้เท่ากับศูนย์หรือไม่ จึงเทียบเท่ากับการตรวจสอบว่าสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดA, B, Cมีพื้นที่เป็นศูนย์หรือไม่ (ดังนั้นจุดยอดจึงอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน)

ในทำนองเดียวกัน เซตของจุดที่แตกต่างกันอย่างน้อยสามจุดจะอยู่บนเส้นตรงเดียวกันก็ต่อเมื่อ สำหรับจุดA, B, C ทั้งสามจุด โดยที่d ( AC )มากกว่าหรือเท่ากับd ( AB )และd ( BC )อสมการสามเหลี่ยมd ( AC ) ≤ d ( AB ) + d ( BC )เป็นจริงโดยมีความเท่ากัน

จำนวนmและnไม่ใช่จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ (กล่าวคือ มีตัวประกอบร่วมที่ไม่ใช่ 1) ก็ต่อเมื่อ สำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่วาดบนโครงตาข่ายสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีจุดยอดอยู่ที่(0, 0), ( m , 0), ( m , n ), (0, n )อย่างน้อยหนึ่งจุดภายในจะอยู่บนเส้นตรงเดียวกันกับ(0, 0)และ( m, n )

ในเรขาคณิตระนาบ ต่างๆ แนวคิดของการสลับบทบาทของ "จุด" และ "เส้น" ในขณะที่ยังคงรักษาความสัมพันธ์ระหว่างกันไว้ เรียกว่าทฤษฎีบทคู่ระนาบ (plane duality ) เมื่อกำหนดเซตของจุดที่อยู่บนเส้นตรงเดียวกันแล้ว โดยใช้ทฤษฎีบทคู่ระนาบ เราจะได้เซตของเส้นตรงซึ่งทั้งหมดมาบรรจบกันที่จุดร่วมจุดหนึ่ง คุณสมบัติของเซตของเส้นตรงนี้ (การมาบรรจบกันที่จุดร่วมจุดหนึ่ง) เรียกว่า จุดบรรจบกัน (concurrency ) และเส้นตรงเหล่านั้นเรียกว่าเส้นบรรจบกัน (concurrency lines ) ดังนั้น จุดบรรจบกันจึงเป็นแนวคิดคู่ระนาบของทฤษฎีบทจุดร่วมบนเส้นตรง (collinearity)

กำหนดให้เรขาคณิตบางส่วนPซึ่งจุดสองจุดสามารถกำหนดเส้นตรงได้มากที่สุดหนึ่งเส้น กราฟความสัมพันธ์เชิงเส้นของPคือกราฟที่มีจุดยอดเป็นจุดในPโดยที่จุดยอดสองจุดจะอยู่ติดกันก็ต่อเมื่อจุดยอดทั้งสองนั้นสามารถกำหนดเส้นตรงในPได้

ในทางสถิติ ความสัมพันธ์เชิง เส้นตรง (collinearity)หมายถึงความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างตัวแปรอธิบาย สองตัว ตัวแปรสองตัวจะมี_ความ สัมพันธ์เชิง เส้นตรงอย่างสมบูรณ์ (perfectly collinear)หากมีความสัมพันธ์เชิงเส้นตรงที่แน่นอนระหว่างทั้งสองตัวแปร ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ระหว่างทั้งสองจึงเท่ากับ 1 หรือ -1 กล่าวคือX₁และ_{X₂ มีความสัมพันธ์เชิงเส้นตรงอย่างสมบูรณ์หากมีพารามิเตอร์} xและ y อยู่จริงโดยที่สำหรับทุกการสังเกต i เราจะได้ว่า สำหรับทุกการสังเกตiเราจะได้ ${\displaystyle \lambda _{0}}$${\displaystyle \lambda _{1}}$

${\displaystyle X_{2i}=\lambda _{0}+\lambda _{1}X_{1i}.}$

นั่นหมายความว่า หากนำค่าสังเกตต่างๆ( X _{1 i} , X _{2 i} )มาพล็อตลงบน ระนาบ ( X ₁ , X ₂ )จุดเหล่านี้จะอยู่บนเส้นตรงเดียวกันในความหมายที่ได้นิยามไว้ก่อนหน้านี้ในบทความนี้

ภาวะความสัมพันธ์เชิงเส้น สมบูรณ์แบบ (Perfect multicollinearity)หมายถึงสถานการณ์ที่ตัวแปรอธิบายk ตัว ( k ≥ 2) ในแบบจำลอง การถดถอยพหุตัวแปรมีความสัมพันธ์เชิงเส้นสมบูรณ์แบบ ตามที่ระบุไว้

${\displaystyle X_{ki}=\lambda _{0}+\lambda _{1}X_{1i}+\lambda _{2}X_{2i}+\dots +\lambda _{k-1}X_{(k-1),i}}$

สำหรับการสังเกตทั้งหมดiในทางปฏิบัติ เราแทบจะไม่พบภาวะความสัมพันธ์เชิงเส้นสมบูรณ์แบบในชุดข้อมูลเลย โดยทั่วไป ปัญหาความสัมพันธ์เชิงเส้นมักเกิดขึ้นเมื่อมี "ความสัมพันธ์เชิงเส้นที่แข็งแกร่ง" ระหว่างตัวแปรอิสระสองตัวขึ้นไป ซึ่งหมายความว่า

${\displaystyle X_{ki}=\lambda _{0}+\lambda _{1}X_{1i}+\lambda _{2}X_{2i}+\dots +\lambda _{k-1}X_{(k-1),i}+\varepsilon _{i}}$

โดยที่ความแปรปรวนของมีค่าค่อนข้างน้อย ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$

แนวคิดเรื่องความสัมพันธ์เชิงเส้นด้านข้างขยายมุมมองแบบดั้งเดิมนี้ และหมายถึงความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างตัวแปรอธิบายและตัวแปรเกณฑ์ (เช่น ตัวแปรที่ถูกอธิบาย) ^{[ 10 ]}

ในด้านโทรคมนาคมชุดเสาอากาศแบบเรียงตัว (หรือ co-linear antenna array)คือชุดเสาอากาศแบบไดโพลที่ติดตั้งในลักษณะที่ส่วนประกอบที่สอดคล้องกันของแต่ละเสาอากาศนั้นขนานและอยู่ในแนวเดียวกัน กล่าวคือตั้งอยู่บนเส้นหรือแกนเดียวกัน

สมการการเรียงตัวเป็นเส้นตรงเดียวกันเป็นชุดสมการสองสมการที่ใช้ในโฟโตแกรมเมตรีและคอมพิวเตอร์สเตอริโอวิชั่นเพื่อเชื่อมโยงพิกัดในระนาบภาพ ( เซนเซอร์ ) (ในสองมิติ) กับพิกัดของวัตถุ (ในสามมิติ) ในการตั้งค่าการถ่ายภาพ สมการเหล่านี้ได้มาจากการพิจารณาการฉายภาพจุดศูนย์กลางของวัตถุผ่านศูนย์กลางทางแสงของกล้องไปยังภาพในระนาบภาพ (เซนเซอร์) จุดทั้งสาม ได้แก่ จุดวัตถุ จุดภาพ และศูนย์กลางทางแสง จะเรียงตัวเป็นเส้นตรงเดียวกันเสมอ อีกวิธีหนึ่งที่จะกล่าวเช่นนี้คือ ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดวัตถุกับจุดภาพจะตัดกันที่ศูนย์กลางทางแสงทั้งหมด^{[ 11 ]}

• จุดร่วมวง
• ระนาบเดียวกัน
• ทิศทาง (เรขาคณิต)
• อุบัติการณ์ (เรขาคณิต) #ความเป็นเส้นตรงเดียวกัน
• ปัญหาห้ามมีสามตัวเรียงกัน
• ทฤษฎีหกเหลี่ยมของปัปปัส