ในทางคณิตศาสตร์ปริภูมิย่อยคอมมิวเทเตอร์ของ ไอ เดีย ล สองด้านของตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีขอบเขตบนปริภูมิฮิลเบิร์ต ที่แยกได้ คือปริภูมิย่อยเชิงเส้นที่เกิดจากคอมมิวเทเตอร์ของตัวดำเนินการในไอเดียลที่มีตัวดำเนินการที่มีขอบเขต การกำหนดลักษณะเฉพาะของปริภูมิย่อยคอมมิวเทเตอร์ในยุคปัจจุบันทำได้ผ่านการสอดคล้องกันของคัลกินและเกี่ยวข้องกับการไม่เปลี่ยนแปลงของปริภูมิของลำดับคัลกินของไอเดียลตัวดำเนินการเมื่อใช้ค่าเฉลี่ยของเซซาโรการกำหนดลักษณะเฉพาะเชิงสเปกตรัมที่ชัดเจนนี้ช่วยลดปัญหาและคำถามเกี่ยวกับคอมมิวเทเตอร์และร่องรอยบนไอเดียลสองด้านให้กลายเป็นปัญหาและเงื่อนไข (ที่แก้ไขได้ง่ายกว่า) บนปริภูมิของลำดับ

ตัวสลับของตัวดำเนินการเชิงเส้นบนปริภูมิฮิลเบิร์ตเริ่มเป็นที่รู้จักในช่วงทศวรรษ 1930 เนื่องจากมีบทบาทสำคัญในกลศาสตร์เมทริกซ์หรือสูตรไฮเซนเบิร์กของกลศาสตร์ควอนตัม อย่างไรก็ตาม ปริภูมิย่อยของตัวสลับได้รับความสนใจน้อยมากจนกระทั่งทศวรรษ 1970 นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกันPaul Halmosในปี 1954 แสดงให้เห็นว่าตัวดำเนินการที่มีขอบเขต ทุกตัว บนปริภูมิฮิลเบิร์ตแบบแยกส่วนมิติอนันต์เป็นผลรวมของตัวสลับสองตัวของตัวดำเนินการที่มีขอบเขต^{[ 1 ]} ในปี 1971 Carl Pearcyและ David Topping ได้กลับมาศึกษาหัวข้อนี้อีกครั้งและศึกษาปริภูมิย่อยของตัวสลับสำหรับอุดมคติ Schatten [ ^{2 ] ใน}ฐานะนักศึกษา นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน Gary Weiss เริ่มตรวจสอบเงื่อนไขสเปกตรัมสำหรับตัวสลับของ ตัวดำเนิน การHilbert–Schmidt ^{[ 3 ] [ 4 ]} นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษNigel Kaltonสังเกตเห็นเงื่อนไขสเปกตรัมของ Weiss และได้กำหนดลักษณะของคอมมิวเทเตอร์คลาสร่องรอยทั้งหมด^{[ 5 ]} ผลลัพธ์ของ Kalton เป็นพื้นฐานสำหรับการกำหนดลักษณะที่ทันสมัยของซับสเปซคอมมิวเทเตอร์ ในปี 2004 Ken Dykema, Tadeusz Figiel , Gary Weiss และMariusz Wodzickiได้ตีพิมพ์การกำหนดลักษณะสเปกตรัมของตัวดำเนินการปกติในซับสเปซคอมมิวเทเตอร์สำหรับทุกอุดมคติสองด้านของตัวดำเนินการกระชับ^{[ 6 ]}

ปริภูมิย่อยคอมมิวเทเตอร์ของอุดมคติสองด้านJของตัวดำเนินการเชิงเส้นแบบมีขอบเขตB ( H ) บนปริภูมิฮิลเบิร์ตแบบแยกได้Hคือปริภูมิเชิงเส้นของตัวดำเนินการในJในรูปแบบ [ A , B ] =  AB  −  BA สำหรับตัวดำเนินการ Aทั้งหมดจากJและBจากB ( H )

ปริภูมิย่อยคอมมิวเทเตอร์ของJคือปริภูมิย่อยเชิงเส้นของJซึ่งแสดงด้วย Com( J ) หรือ [ B ( H ), J ]

การสอดคล้อง ของCalkinระบุว่าตัวดำเนินการกระชับAเป็นส่วนหนึ่งของอุดมคติสองด้านJ ก็ต่อเมื่อค่า เอกลักษณ์μ ( A ) ของAเป็นส่วนหนึ่งของปริภูมิของลำดับ Calkin jที่เกี่ยวข้องกับJ ตัวดำเนินการปกติที่อยู่ในปริภูมิย่อยคอมมิวเทเตอร์ Com( J ) สามารถระบุลักษณะได้ว่าเป็นAที่ μ( A ) เป็นส่วนหนึ่งของj และค่าเฉลี่ย Cesàroของลำดับ μ( A ) เป็นส่วนหนึ่งของj [ ^{6 ] ทฤษฎีบท}ต่อไปนี้เป็นการขยายเล็กน้อยของความแตกต่างของตัวดำเนินการปกติ^{[ 7 ]} (การตั้งค่าB  = 0 ต่อไปนี้จะให้ข้อความของประโยคก่อนหน้า)

ทฤษฎีบท สมมติว่าA และ Bเป็นตัวดำเนินการปกติแบบกระชับที่อยู่ในไอเดียลสองด้านJแล้วA  −  Bอยู่ในปริภูมิย่อยคอมมิวเทเตอร์ Com( J ) ก็ต่อเมื่อ

${\displaystyle \left\{{\frac {1}{1+n}}\sum _{k=0}^{n}\left(\mu (k,A)-\mu (k,B)\right)\right\}_{n=0}^{\infty }\in j}$

โดยที่jคือปริภูมิของลำดับ Calkin ที่สอดคล้องกับJและμ ( A ), μ ( B ) คือค่าเอกลักษณ์ของAและBตามลำดับ

หากลำดับค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการทั้งหมดในJเป็นส่วนหนึ่งของปริภูมิของลำดับ Calkin jจะมีการกำหนดลักษณะสเปกตรัมสำหรับตัวดำเนินการใดๆ (ที่ไม่ใช่แบบปกติ) เงื่อนไขนี้ไม่ถูกต้องสำหรับอุดมคติสองด้านทุกตัว แต่ทราบเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอแล้ว Nigel Kalton และนักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน Ken Dykema ได้นำเสนอเงื่อนไขนี้เป็นครั้งแรกสำหรับอุดมคติที่สร้างขึ้นโดยนับได้^{[ 8 ] [ 9 ]} นักคณิตศาสตร์ชาวอุซเบกและออสเตรเลีย Fedor Sukochev และ Dmitriy Zanin ได้ทำการกำหนดลักษณะค่าลักษณะเฉพาะให้เสร็จสมบูรณ์^{[ 10 ]}

ทฤษฎีบทสมมติว่าJเป็นไอเดียลสองด้าน โดยที่ตัวดำเนินการจำกัดขอบเขตAเป็นสมาชิกของJเมื่อใดก็ตามที่มีตัวดำเนินการจำกัดขอบเขตBในJเช่นนั้น

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n}\mu (k,A)\leq \prod _{k=0}^{n}\mu (k,B),\quad n=0,1,2,\ldots .}$

1

ถ้าตัวดำเนินการที่มีขอบเขตAและBอยู่ในJแล้วA  −  Bอยู่ในปริภูมิย่อยคอมมิวเทเตอร์ Com( J ) ก็ต่อเมื่อ

${\displaystyle \left\{{\frac {1}{1+n}}\sum _{k=0}^{n}\left(\lambda (k,A)-\lambda (k,B)\right)\right\}_{n=0}^{\infty }\in j}$

โดยที่jคือปริภูมิของลำดับ Calkin ที่สอดคล้องกับJและλ ( A ), λ ( B ) คือลำดับของค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการAและBตามลำดับ ซึ่งถูกจัดเรียงใหม่เพื่อให้ค่าสัมบูรณ์ของค่าลักษณะเฉพาะลดลง

อุดมคติสองด้านส่วนใหญ่เป็นไปตามเงื่อนไขในทฤษฎีบทนี้ รวมถึงอุดมคติแบบบานาคทั้งหมดและอุดมคติแบบกึ่งบานาคด้วย

• ตัวดำเนินการทุกตัวในJเป็นผลรวมของตัวสลับตำแหน่งก็ต่อเมื่อปริภูมิของลำดับ Calkin ที่สอดคล้องกันjไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การใช้ค่าเฉลี่ย Cesàroในเชิงสัญลักษณ์ Com( J ) =  Jเทียบเท่ากับ C( j ) =  jโดยที่ C แทนตัวดำเนินการ Cesàro บนลำดับ
• ในอุดมคติสองด้านใดๆ ผลต่างระหว่างตัวดำเนินการบวกและการทำให้เป็นแนวทแยงของมันคือผลรวมของตัวสลับ นั่นคือA  − diag( μ ( A )) อยู่ใน Com( J ) สำหรับทุกตัวดำเนินการบวกAในJโดยที่ diag( μ ( A )) คือการทำให้เป็นแนวทแยงของAในฐานออร์โทนอร์มอลใดๆ ของปริภูมิฮิลเบิร์ตที่แยกได้H
• ในอุดมคติสองด้านใดๆ ที่สอดคล้องกับ ( 1 ) ความแตกต่างระหว่างตัวดำเนินการใดๆ กับการทำให้เป็นแนวทแยงของมันคือผลรวมของตัวสลับ นั่นคือA  − diag( λ ( A )) อยู่ใน Com( J ) สำหรับทุกตัวดำเนินการAในJโดยที่ diag( λ ( A )) คือการทำให้เป็นแนวทแยงของAในฐานออร์โทนอร์มอลใดๆ ของปริภูมิฮิลเบิร์ตที่แยกได้Hและλ ( A ) คือลำดับค่าลักษณะเฉพาะ
• ตัวดำเนินการกึ่งนิลโพเทนต์ทุกตัวในอุดมคติสองด้านที่สอดคล้องกับ ( 1 ) เป็นผลรวมของตัวสลับตำแหน่ง

ร่องรอย φ บนอุดมคติสองด้านJของB ( H)คือฟังก์ชันเชิงเส้น φ: J → ที่เป็นศูนย์บน Com( J ) ผลที่ตามมาข้างต้นบ่งชี้ว่า ${\displaystyle \mathbb {C} }$

• ไอเดียลสองด้านJจะมีร่องรอยที่ไม่เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อ C( j ) ≠  jเท่านั้น
• φ ( A ) = φ   diag( μ ( A )) สำหรับทุกตัวดำเนินการบวกAในJโดยที่ diag( μ ( A )) คือการหาค่าเฉพาะของA ในฐานออร์โทนอร์มอลใดๆ ของปริภูมิฮิล เบิร์ตที่แยกได้Hนั่นคือ ร่องรอยบนJสอดคล้องโดยตรงกับฟังก์ชันสมมาตรบนj${\displaystyle \circ }$
• ในอุดมคติสองด้านใดๆ ที่สอดคล้องกับ ( 1 ) φ ( A ) =  φ   diag( λ ( A )) สำหรับตัวดำเนินการA ทุกตัว ในJโดยที่ diag( λ ( A )) คือการทำให้เป็นแนวทแยงของAในฐานออร์โทนอร์มอลใดๆ ของปริภูมิฮิลเบิร์ตที่แยกได้Hและλ ( A ) คือลำดับค่าลักษณะเฉพาะ${\displaystyle \circ }$
• ในอุดมคติสองด้านใดๆ ที่สอดคล้องกับ ( 1 ) φ ( Q ) = 0 สำหรับตัวดำเนินการกึ่งนิลโพเทนต์Q ทุกตัว จากJและร่องรอยφ ทุกตัว บนJ

สมมติว่าHเป็นปริภูมิฮิลเบิร์ตแบบแยกส่วนได้ที่มีมิติอนันต์

• ตัวดำเนินการแบบกระชับ ตัวดำเนินการเชิงเส้นแบบกระชับK ( H สอดคล้องกับปริภูมิของลำดับที่ลู่เข้าสู่ศูนย์สำหรับลำดับที่ลู่เข้าสู่ศูนย์Cesàro หมายถึงลู่เข้าสู่ศูนย์ ดังนั้น C( c₀ ) = และ Com( K ( H )) =  K ( H )
• ตัวดำเนินการอันดับจำกัดตัวดำเนินการอันดับจำกัดF ( H ) สอดคล้องกับปริภูมิ ลำดับที่มีพจน์ที่ไม่เป็นศูนย์จำนวนจำกัดc₀₀เงื่อนไข

${\displaystyle \left\{{\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}\right\}_{n=1}^{\infty }\in c_{00}}$

จะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ

${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{N}=0}$

สำหรับลำดับ ( a , a , ... , a , 0, 0 , ...) ในc เคอร์เนลของร่องรอยตัวดำเนินการ Tr บนF ( H ) และปริภูมิย่อยคอมมิวเทเตอร์ของตัวดำเนินการอันดับจำกัดนั้นเท่ากัน ker Tr = Com( F ( H )) ⊊  F ( H )

• ตัวดำเนินการคลาสร่องรอยตัวดำเนินการคลาสร่องรอยL สอดคล้องกับลำดับที่หาผลรวมได้เงื่อนไข

${\displaystyle \left\{{\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}\right\}_{n=1}^{\infty }\in \ell _{1}}$

แข็งแกร่งกว่าเงื่อนไขที่ว่าa + a ... = 0 ตัวอย่างเช่น ลำดับที่มี

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{n\log ^{2}(n)}},\quad n\geq 2.}$

และ

${\displaystyle a_{1}=-\sum _{n=2}^{\infty }a_{n}.}$

ซึ่งมีผลรวมเป็นศูนย์แต่ไม่มีลำดับค่าเฉลี่ยของ Cesàro ที่สามารถหาผลรวมได้ ดังนั้น Com( L ) ⊊ ker Tr ⊊  L .

• ตัวดำเนินการคลาสร่องรอยอ่อนตัวดำเนินการคลาสร่องรอยอ่อนL สอดคล้องกับปริภูมิของลำดับอ่อนl จากเงื่อนไข

${\displaystyle \left\{{\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}\right\}_{n=1}^{\infty }\in \ell _{1,\infty }}$

หรือเทียบเท่า

${\displaystyle \left\{a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }=O(1)}$

เป็นที่แน่ชัดว่า Com( L )  = ( L ) ปริภูมิย่อยคอมมิวเทเตอร์ของตัวดำเนินการคลาสร่องรอยอ่อนประกอบด้วยตัวดำเนินการคลาสร่องรอยลำดับฮาร์มอนิก 1,1/2,1/3,...,1/ n ,... อยู่ในl และมีอนุกรมลู่เข้า ดังนั้นค่าเฉลี่ย Cesàro ของลำดับฮาร์มอนิกจึงไม่อยู่ในl สรุปได้ว่าL ⊊ Com( L ) ⊊  L ∞