ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะพีชคณิตเชิง เส้น ฐานออร์โทนอร์มอลสำหรับปริภูมิผลคูณภายใน ที่มี มิติจำกัดคือฐานที่ มี เวกเตอร์เป็นออร์โทนอร์มอลกล่าวคือ เวกเตอร์ทั้งหมดเป็นเวกเตอร์หน่วยและตั้งฉากกัน^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}ตัวอย่างเช่นฐานมาตรฐานสำหรับปริภูมิยุคลิดเป็นฐานออร์โทนอร์มอล โดยที่ผลคูณภายในที่เกี่ยวข้องคือผลคูณดอทของเวกเตอร์ภาพของฐานมาตรฐานภายใต้การหมุนหรือการสะท้อน (หรือการแปลงเชิงตั้งฉาก ใดๆ ) ก็เป็นออร์โทนอร์มอลเช่นกัน และฐานออร์โทนอร์มอลทุกฐานสำหรับปริภูมินี้เกิดขึ้นในลักษณะนี้ ฐานออร์โทนอร์มอลสามารถได้มาจากฐานเชิงตั้งฉากผ่านการทำให้เป็นมาตรฐาน ${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$การเลือกจุดกำเนิดและฐานเชิงตั้งฉากปกติจะก่อให้เกิดกรอบพิกัดที่เรียกว่า กรอบเชิง ตั้ง ฉากปกติ

สำหรับปริภูมิผลคูณภายในทั่วไปสามารถใช้ฐานเชิงตั้งฉากปกติเพื่อกำหนดพิกัดเชิงตั้งฉาก ปกติ บนปริภูมินั้นได้ ภายใต้พิกัดเหล่านี้ ผลคูณภายในจะกลายเป็นผลคูณจุดของเวกเตอร์ ดังนั้น การมีอยู่ของฐานเชิงตั้งฉากปกติจะลดการศึกษาปริภูมิ ผลคูณภายใน มิติจำกัดลงเหลือเพียงการศึกษาปริภูมิภายใต้ผลคูณจุด ปริภูมิผลคูณภายในมิติจำกัดทุกปริภูมิจะมีฐานเชิงตั้งฉากปกติ ซึ่งสามารถหาได้จากฐานใดๆ โดยใช้ กระบวนการแก รม -ชมิดท์${\displaystyle V,}$${\displaystyle V.}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

ในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันแนวคิดของฐานตั้งฉากปกติสามารถขยายไปสู่ปริภูมิผลคูณภายใน แบบใด ก็ได้ (มิติอนันต์) ^{[ 4 ]}เมื่อกำหนดปริภูมิพรี-ฮิลเบิร์ตฐานตั้งฉากปกติสำหรับคือเซตเวกเตอร์ตั้งฉากปกติที่มีคุณสมบัติว่าเวกเตอร์ทุกตัวในสามารถเขียนได้เป็นผลรวมเชิงเส้นอนันต์ของเวกเตอร์ในฐาน ในกรณีนี้ ฐานตั้งฉากปกติบางครั้งเรียกว่าฐานฮิลเบิร์ตสำหรับโปรดทราบว่าฐานตั้งฉากปกติในความหมายนี้โดยทั่วไปไม่ใช่ฐานฮาเมลเนื่องจากต้องใช้ผลรวมเชิงเส้นอนันต์^{[ 5 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่งช่วงเชิงเส้นของฐานจะต้องหนาแน่นในแม้ว่าจะไม่จำเป็นต้องหนาแน่นทั้งปริภูมิก็ตาม ${\displaystyle H,}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H.}$${\displaystyle H,}$

ถ้าเราพิจารณาถึงปริภูมิฮิลเบิร์ต เซตของเวกเตอร์ที่ไม่ตั้งฉากกันซึ่งมีช่วงเชิงเส้นเดียวกันกับฐานตั้งฉากกัน อาจไม่ใช่ฐานเลยก็ได้ ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันใดๆ ที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้บนช่วงสามารถแสดงได้ ( เกือบทุกที่ ) เป็นผลรวมอนันต์ของพหุนามเลอจองเดอร์ (ฐานตั้งฉากกัน) แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นผลรวมอนันต์ของเอกนาม${\displaystyle [-1,1]}$${\displaystyle x^{n}.}$

การวางนัยทั่วไปอีกแบบหนึ่งคือปริภูมิผลคูณภายในเทียม ซึ่งเป็นปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัด ที่มาพร้อมกับ รูปแบบทวิเชิงเส้นสมมาตรที่ไม่เสื่อมสภาพที่เรียกว่าเมตริกเทนเซอร์ในฐานดังกล่าว เมตริกจะมีรูปแบบที่มีเลขหนึ่งบวกและเลขหนึ่งลบ ${\displaystyle M}$${\displaystyle {\text{diag}}(+1,\cdots ,+1,-1,\cdots ,-1)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

• สำหรับเซตของเวกเตอร์เรียกว่าฐานมาตรฐานและเป็นฐานเชิงตั้งฉากปกติของโดยสัมพันธ์กับผลคูณดอทมาตรฐาน โปรดสังเกตว่าทั้งฐานมาตรฐานและผลคูณดอทมาตรฐานนั้นอาศัยการมองว่าเป็นผลคูณคาร์ทีเซียน${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \left\{\mathbf {e_{1}} ={\begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}}\ ,\ \mathbf {e_{2}} ={\begin{pmatrix}0&1&0\end{pmatrix}}\ ,\ \mathbf {e_{3}} ={\begin{pmatrix}0&0&1\end{pmatrix}}\right\},}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$

  บทพิสูจน์:การคำนวณอย่างตรงไปตรงมาแสดงให้เห็นว่าผลคูณภายในของเวกเตอร์เหล่านี้เท่ากับศูนย์และขนาดของแต่ละเวกเตอร์เท่ากับหนึ่งซึ่งหมายความว่าเป็นเซตเวกเตอร์ตั้งฉากปกติ เวกเตอร์ทั้งหมดสามารถแสดงได้ในรูปผลรวมของเวกเตอร์ฐานที่ปรับขนาดแล้วดังนั้น จึงครอบคลุมและดังนั้นจึงต้องเป็นฐาน นอกจากนี้ยังสามารถแสดงได้ว่าฐานมาตรฐานที่หมุนรอบแกนที่ผ่านจุดกำเนิดหรือสะท้อนในระนาบที่ผ่านจุดกำเนิดก็เป็นฐานตั้งฉากปกติของ เช่นกัน${\displaystyle \left\langle \mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{2}} \right\rangle =\left\langle \mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{3}} \right\rangle =\left\langle \mathbf {e_{2}} ,\mathbf {e_{3}} \right\rangle =0}$${\displaystyle \left\|\mathbf {e_{1}} \right\|=\left\|\mathbf {e_{2}} \right\|=\left\|\mathbf {e_{3}} \right\|=1.}$${\displaystyle \left\{\mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{2}} ,\mathbf {e_{3}} \right\}}$${\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} )\in \mathbb {R} ^{3}}$$${\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} )=\mathbf {xe_{1}} +\mathbf {ye_{2}} +\mathbf {ze_{3}} ,}$$${\displaystyle \left\{\mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{2}} ,\mathbf {e_{3}} \right\}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

• สำหรับฐานมาตรฐานและผลคูณภายในจะถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน ฐานออร์โทนอร์มอลอื่นๆ ใดๆ จะมีความสัมพันธ์กับฐานมาตรฐานโดยการแปลงเชิงตั้งฉากในกลุ่ม O(n)${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• สำหรับปริภูมิแบบซูโด-ยูคลิด ฐานเชิงตั้งฉากที่มีเมตริกจะสอดคล้องกับเงื่อนไขถ้าถ้าและถ้า ฐานเชิงตั้งฉากปกติสองฐานใดๆ จะมีความสัมพันธ์กันโดยการแปลงแบบซูโด-ตั้ง ฉากในกรณีนี้การแปลงเหล่านี้คือการแปลงลอเรนซ์${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q},}$${\displaystyle \{e_{\mu }\}}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \eta (e_{\mu },e_{\nu })=0}$${\displaystyle \mu \neq \nu }$${\displaystyle \eta (e_{\mu },e_{\mu })=+1}$${\displaystyle 1\leq \mu \leq p}$${\displaystyle \eta (e_{\mu },e_{\mu })=-1}$${\displaystyle p+1\leq \mu \leq p+q}$${\displaystyle (p,q)=(1,3)}$
• เซตที่มี โดยที่แทนฟังก์ชันเลขชี้กำลังก่อให้เกิดฐานเชิงตั้งฉากปกติของปริภูมิฟังก์ชันที่มีปริพันธ์เลเบสจำกัดโดยสัมพันธ์กับนอร์ม 2ซึ่งเป็นสิ่งสำคัญพื้นฐานในการศึกษาอนุกรมฟูริเยร์${\displaystyle \left\{f_{n}:n\in \mathbb {Z} \right\}}$${\displaystyle f_{n}(x)=\exp(2\pi inx),}$${\displaystyle \exp }$${\displaystyle L^{2}([0,1]),}$
• เซตที่มีif และotherwise ก่อให้เกิดฐานตั้งฉากปกติของ${\displaystyle \left\{e_{b}:b\in B\right\}}$${\displaystyle e_{b}(c)=1}$${\displaystyle b=c}$${\displaystyle e_{b}(c)=0}$${\displaystyle \ell ^{2}(B).}$
• ฟังก์ชั่นเฉพาะของปัญหาลักษณะเฉพาะของ Sturm – Liouville
• เวกเตอร์คอลัมน์ของเมทริกซ์เชิงตั้งฉากจะประกอบกันเป็นเซตเชิงตั้งฉากปกติ

ถ้าเป็นฐานเชิงตั้งฉากของแล้ว สมาชิกทุกตัวสามารถเขียนได้เป็น ${\displaystyle B}$${\displaystyle H,}$${\displaystyle x\in H}$$${\displaystyle x=\sum _{b\in B}{\frac {\langle x,b\rangle }{\lVert b\rVert ^{2}}}b.}$$

เมื่อเป็นออร์โทนอร์มอล สมการนี้จะลดรูปเหลือ และกำลังสองของนอร์มของสามารถกำหนดได้โดย ${\displaystyle B}$$${\displaystyle x=\sum _{b\in B}\langle x,b\rangle b}$$${\displaystyle x}$$${\displaystyle \|x\|^{2}=\sum _{b\in B}|\langle x,b\rangle |^{2}.}$$

ถึงแม้ว่าจะเป็นจำนวนนับไม่ได้แต่จะมีเพียงจำนวนนับได้ของพจน์ในผลรวมนี้เท่านั้นที่จะไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นนิพจน์จึงมีความหมายที่ชัดเจน ผลรวมนี้เรียกอีกอย่างว่าการขยายฟูริเยร์ของและสูตรนี้มักรู้จักกันในชื่อเอกลักษณ์ของพาร์เซวัล ${\displaystyle B}$${\displaystyle x,}$

ถ้า เป็นฐานเชิงตั้งฉากปกติของแล้วจะสมสัณฐานกับในความหมายต่อไปนี้: มีแผนที่เชิงเส้นแบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงอยู่จริงเช่นนั้น ${\displaystyle B}$${\displaystyle H,}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \ell ^{2}(B)}$${\displaystyle \Phi :H\to \ell ^{2}(B)}$$${\displaystyle \langle \Phi (x),\Phi (y)\rangle =\langle x,y\rangle \ \ \forall \ x,y\in H.}$$

เซตของเวกเตอร์ตั้งฉากซึ่งกันและกันในปริภูมิฮิลเบิร์ตเรียกว่าระบบตั้งฉาก ระบบฐานตั้งฉากคือระบบตั้งฉากที่มีคุณสมบัติเพิ่มเติมว่าปริภูมิเชิงเส้นของมีความหนาแน่นใน^{[ 6 ]}หรืออีกทางหนึ่ง เซตสามารถถือได้ว่าเป็น เซต ที่สมบูรณ์หรือไม่สมบูรณ์เมื่อเทียบกับนั่นคือ เราสามารถเลือกปริภูมิย่อยเชิงเส้นปิดที่เล็กที่สุดที่มีจากนั้นจะเป็นฐานตั้งฉากของซึ่งอาจเล็กกว่าตัวมันเองได้ เนื่องจากเป็น เซตตั้งฉาก ที่ไม่สมบูรณ์หรือเป็นเมื่อเป็นเซตตั้งฉากที่ สมบูรณ์${\displaystyle S}$${\displaystyle H}$${\displaystyle S}$${\displaystyle H}$${\displaystyle S}$${\displaystyle H}$${\displaystyle V\subseteq H}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle V;}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H,}$

โดยใช้ทฤษฎีบทของ Zornและกระบวนการ Gram–Schmidt (หรือพูดง่ายๆ ก็คือ การเรียงลำดับที่ดีและการเรียกซ้ำแบบอนันต์) เราสามารถแสดงได้ว่าทุกปริภูมิฮิลเบิร์ตยอมรับฐานตั้งฉากปกติ^{[ 7 ]}ยิ่งไปกว่านั้น ฐานตั้งฉากปกติสองฐานใดๆ ของปริภูมิเดียวกันจะมีขนาด เท่ากัน (สามารถพิสูจน์ได้ในลักษณะที่คล้ายกับการพิสูจน์ทฤษฎีบทมิติปกติสำหรับปริภูมิเวกเตอร์โดยมีกรณีแยกต่างหากขึ้นอยู่กับว่าฐานที่มีขนาดใหญ่กว่านั้นสามารถนับได้หรือไม่) ปริภูมิฮิลเบิร์ตสามารถแยกได้ก็ต่อเมื่อมันยอมรับ ฐานตั้งฉากปกติ ที่นับได้ (สามารถพิสูจน์ข้อความสุดท้ายนี้ได้โดยไม่ต้องใช้สัจพจน์ของการเลือกอย่างไรก็ตาม จะต้องใช้สัจพจน์ของการเลือกที่นับได้ )

เพื่อให้เห็นภาพชัดเจน เราจะกล่าวถึงฐานเชิงตั้งฉากปกติสำหรับ ปริภูมิเวกเตอร์มิติจริงที่มีรูปแบบทวิเชิงเส้นสมมาตรบวกแน่นอน ${\displaystyle n}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \phi =\langle \cdot ,\cdot \rangle }$

วิธีหนึ่งในการมองฐานเชิงตั้งฉากปกติ (orthonormal basis) เมื่อเทียบกับคือ เซตของเวกเตอร์ซึ่งทำให้เราสามารถเขียน, และหรือ ได้เมื่อเทียบกับฐานนี้ ส่วนประกอบของ นั้นเรียบง่ายเป็นพิเศษ: (โดยที่คือเดลต้าโครเนกเกอร์ ) ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{e_{i}\}}$${\displaystyle v=v^{i}e_{i}\ \ \forall \ v\in V}$${\displaystyle v^{i}\in \mathbb {R} }$${\displaystyle (v^{i})\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi (e_{i},e_{j})=\delta _{ij}}$${\displaystyle \delta _{ij}}$

ตอนนี้เราสามารถมองฐานเป็นแผนที่ซึ่งเป็นไอโซมอร์ฟิซึมของปริภูมิผลคูณภายในได้แล้ว เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้น เราสามารถเขียนได้ว่า ${\displaystyle \psi _{\mathcal {B}}:V\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \psi _{\mathcal {B}}:(V,\phi )\rightarrow (\mathbb {R} ^{n},\delta _{ij}).}$

เราสามารถเขียนได้อย่างชัดเจนโดยที่เป็นองค์ประกอบฐานคู่ของ ${\displaystyle (\psi _{\mathcal {B}}(v))^{i}=e^{i}(v)=\phi (e_{i},v)}$${\displaystyle e^{i}}$${\displaystyle e_{i}}$

ส่วนกลับคือแผนที่ส่วนประกอบ

${\displaystyle C_{\mathcal {B}}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow V,(v^{i})\mapsto \sum _{i=1}^{n}v^{i}e_{i}.}$

คำจำกัดความเหล่านี้แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่ามีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง

${\displaystyle \{{\text{Space of orthogonal bases }}{\mathcal {B}}\}\leftrightarrow \{{\text{Space of isomorphisms }}V\leftrightarrow \mathbb {R} ^{n}\}.}$

ปริภูมิของไอโซมอร์ฟิซึมยอมรับการกระทำของกลุ่มเชิงตั้งฉากที่ด้านใดด้านหนึ่งหรืออีกด้านหนึ่ง เพื่อความชัดเจน เรากำหนดให้ไอโซมอร์ฟิซึมชี้ไปในทิศทางและพิจารณาปริภูมิของแผนที่ดังกล่าว ${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\rightarrow V}$${\displaystyle {\text{Iso}}(\mathbb {R} ^{n}\rightarrow V)}$

พื้นที่นี้ยอมรับการกระทำทางซ้ายโดยกลุ่มไอโซเมตรีของนั่นคือโดยที่การกระทำนั้นกำหนดโดยการประกอบ:${\displaystyle V}$${\displaystyle R\in {\text{GL}}(V)}$${\displaystyle \phi (\cdot ,\cdot )=\phi (R\cdot ,R\cdot )}$${\displaystyle R*C=R\circ C.}$

พื้นที่นี้ยังยอมรับการกระทำที่ถูกต้องโดยกลุ่มของไอโซเมตรีของนั่นคือโดยการกระทำนั้นกำหนดโดยการประกอบอีกครั้ง: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle R_{ij}\in {\text{O}}(n)\subset {\text{Mat}}_{n\times n}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle C*R_{ij}=C\circ R_{ij}}$

เซตของฐานออร์โทนอร์มอลสำหรับที่มีผลคูณภายในมาตรฐานคือปริภูมิเอกพันธุ์หลักหรือ G-torsor สำหรับกลุ่มออร์โทนอร์มอลและเรียกว่าแมนิโฟลด์ Stiefelของเฟรม ออร์โท นอร์มอล^{[ 8 ]}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle G={\text{O}}(n),}$${\displaystyle V_{n}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle n}$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง พื้นที่ของฐานตั้งฉากปกติ (orthonormal bases) คล้ายกับกลุ่มตั้งฉาก (orthogonal group) แต่ไม่มีการเลือกจุดฐาน: เมื่อกำหนดพื้นที่ของฐานตั้งฉากปกติแล้ว จะไม่มีการเลือกฐานตั้งฉากปกติที่เป็นธรรมชาติ แต่เมื่อกำหนดฐานตั้งฉากปกติแล้ว จะมีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างฐานและกลุ่มตั้งฉากปกติ กล่าวโดยเฉพาะเจาะจง ฟังก์ชันเชิงเส้นจะถูกกำหนดโดยตำแหน่งที่ส่งฐานที่กำหนดไป: เช่นเดียวกับฟังก์ชันผกผันที่สามารถนำฐานใดๆ ไปยังฐานอื่นได้ ฟังก์ชันตั้งฉากก็สามารถนำ ฐาน ตั้งฉาก ใดๆ ไปยัง ฐาน ตั้งฉากอื่นได้เช่นกัน

แมนิโฟลด์สติเฟลอื่นๆสำหรับ ฐานออ ร์ โทนอร์มอล ที่ไม่สมบูรณ์ ( เฟรมออร์โทนอร์มอล) ยังคงเป็นปริภูมิเอกพันธุ์สำหรับกลุ่มออร์โทนอร์มอล แต่ไม่ใช่ ปริภูมิเอกพันธุ์ หลัก : เฟรมใดๆ ก็สามารถแปลงเป็นเฟรมอื่นๆ ได้โดยการแมปออร์โทนอร์มอล แต่การแมปนี้ไม่ได้ถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกัน ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle k<n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

• เซตของฐานออร์โทนอร์มอลสำหรับเป็น G-torsor สำหรับ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$${\displaystyle G={\text{O}}(p,q)}$
• เซตของฐานออร์โทนอร์มอลสำหรับเป็น G-torsor สำหรับ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle G={\text{U}}(n)}$
• เซตของฐานออร์โทนอร์มอลสำหรับเป็น G-torsor สำหรับ${\displaystyle \mathbb {C} ^{p,q}}$${\displaystyle G={\text{U}}(p,q)}$
• เซตของฐานออร์โทนอร์มอลมือขวาสำหรับเป็น G-torsor สำหรับ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle G={\text{SO}}(n)}$

• ฐานเชิงตั้งฉาก  – ฐานที่ประกอบด้วยเวกเตอร์ที่ตั้งฉากซึ่งกันและกัน
• ฐาน (พีชคณิตเชิงเส้น)  – เซตของเวกเตอร์ที่ใช้กำหนดพิกัด
• กรอบออร์โทนอร์มอล  – พื้นที่ยูคลิดที่ไม่มีระยะทางและมุม
• พื้นฐาน Schauder  – เครื่องมือคำนวณ
• ชุดทั้งหมด

• โพสต์ Stack Exchangeนี้กล่าวถึงเหตุผลว่าทำไมเซตของฟังก์ชันเดลต้าของ Dirac จึงไม่ใช่ฐานของ L ² ([0,1])