ในทางคณิตศาสตร์จำนวนธรรมชาติคือจำนวน0 , 1 , 2 , 3และอื่นๆ โดยอาจไม่รวม 0 ^{[ a ] ​​[ 1 ]}คำว่าจำนวนเต็มบวกจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบจำนวนเต็มบวกและจำนวนนับก็มีการใช้เช่นกัน^{[ 2 ] [ 3 ]}เซตของจำนวนธรรมชาติมักจะแสดงด้วยตัวอักษร N ตัวหนาหรือตัวหนาแบบกระดานดำ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {N} }$ .

จำนวนธรรมชาติใช้สำหรับการนับและสำหรับการระบุผลลัพธ์ของการนับ เช่น "หนึ่งสัปดาห์มีเจ็ดวัน" ซึ่งในกรณีนี้เรียกว่าจำนวนเชิงปริมาณนอกจากนี้ยังใช้เพื่อระบุตำแหน่งในลำดับ เช่น " วัน ที่สามของเดือน" ซึ่งในกรณีนี้เรียกว่าจำนวนเชิงอันดับ^{[ 4 ]}

จำนวนธรรมชาติมักแสดงเป็นลายลักษณ์อักษรโดยใช้สัญลักษณ์สิบตัวที่เรียกว่าตัวเลข ("0 1 2 3 4 5 6 7 8 9") ตัวเลขเหล่านี้ยังสามารถใช้เป็นตัวระบุหรือป้ายกำกับที่ไม่ซ้ำกัน (เช่น^{หมายเลข}เสื้อของทีมกีฬา) ซึ่งเรียกว่าตัวเลขนาม [ ^{5 ]}ซึ่งคล้ายกับจำนวนธรรมชาติแต่ไม่มีคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ที่เฉพาะเจาะจง

จำนวนธรรมชาติสามารถเปรียบเทียบได้ตามขนาดโดยจำนวนที่มากกว่าจะอยู่ถัดจากจำนวนที่น้อยกว่าในลำดับ 1, 2, 3, ... การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ พื้นฐานสองอย่าง ถูกกำหนดไว้สำหรับจำนวนธรรมชาติ ได้แก่การบวกและการคูณอย่างไรก็ตาม การดำเนินการผกผัน ได้แก่การลบและการหารจะให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนธรรมชาติเพียงบางครั้งเท่านั้น เช่น การลบจำนวนธรรมชาติที่มากกว่าออกจากจำนวนธรรมชาติที่น้อยกว่าจะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนลบและการหารจำนวนธรรมชาติหนึ่งด้วยอีกจำนวนหนึ่งมักจะเหลือ เศษ

ระบบจำนวน ที่ใช้ กันทั่วไปในคณิตศาสตร์ ได้แก่จำนวนเต็มจำนวนตรรกยะจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อนล้วนประกอบด้วยจำนวนธรรมชาติ และสามารถกำหนดอย่างเป็นทางการได้โดยใช้จำนวนธรรมชาติ^{[ 6 ] [ 7 ]}

เลขคณิตคือการศึกษาเกี่ยวกับวิธีการดำเนินการพื้นฐานบนระบบจำนวนเหล่านี้ทฤษฎีจำนวนคือการศึกษาคุณสมบัติของการดำเนินการเหล่านี้และการสรุปทั่วไปของพวกมัน คณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง ส่วนใหญ่ เกี่ยวข้องกับการนับวัตถุทางคณิตศาสตร์ รูปแบบ และโครงสร้างที่กำหนดโดยใช้จำนวนธรรมชาติ

ความเข้าใจโดยสัญชาตญาณและโดยนัยเกี่ยวกับจำนวนธรรมชาติจะพัฒนาขึ้นตามธรรมชาติผ่านการใช้ตัวเลขสำหรับการนับ การเรียงลำดับ และการคำนวณเลขคณิตขั้นพื้นฐาน[ ^{8 ] ภายใน}นี้มีสองด้านที่เกี่ยวข้องกันอย่างใกล้ชิดของจำนวนธรรมชาติ ได้แก่ขนาดของกลุ่ม^{[ 9 ]}และตำแหน่งในลำดับ

จำนวนธรรมชาติสามารถใช้ตอบคำถามเช่น "มีแอปเปิ้ลกี่ลูกบนโต๊ะ?" ^{[ 10 ]}จำนวนธรรมชาติที่ใช้ในลักษณะนี้จะอธิบายลักษณะเฉพาะของกลุ่มวัตถุที่มีจำนวนจำกัดลักษณะเฉพาะนี้ขนาดของกลุ่มเรียกว่าจำนวนสมาชิกและจำนวนธรรมชาติที่ใช้ในการอธิบายหรือวัดขนาดของกลุ่มนั้นเรียกว่าจำนวน สมาชิก

กลุ่มสิ่งของสองกลุ่มที่มีขนาดจำกัดจะมีขนาดหรือจำนวนสมาชิกเท่ากัน หากมีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งหมายความว่าสิ่งของเหล่านั้นสามารถจัดเรียงเป็นคู่ได้ (หนึ่งชิ้นจากแต่ละกลุ่ม) โดยที่สิ่งของทุกชิ้นอยู่ในคู่เดียวเท่านั้น ในภาพด้านข้าง แอปเปิลทุกผลจับคู่กับส้มหนึ่งผล และส้มทุกผลจับคู่กับแอปเปิลหนึ่งผล ดังนั้น กลุ่มของแอปเปิลจึงมี จำนวนสมาชิก เท่ากับกลุ่มของส้ม หรือกล่าวอย่างง่ายๆ ก็คือ จำนวนแอปเปิลเท่ากับจำนวนส้ม

เนื่องจากความเท่าเทียมกันนี้สามารถสร้างขึ้นได้โดยไม่ต้องนับหรือใช้แนวคิดเรื่องจำนวนใดๆ มาก่อน^{[ 11 ] [ 12 ]}จึงสามารถสร้างนิยามของจำนวนคาร์ดินัลได้^{[ 13 ]}ในกรณีนี้ จำนวนแอปเปิล ส้ม และสิ่งของอื่นๆ ที่สามารถจับคู่กับกลุ่มใดกลุ่มหนึ่งได้คือ 3

หากคอลเลกชันสองชุดมีจำนวนสมาชิกไม่เท่ากัน การจับคู่จะทำให้คอลเลกชันชุดหนึ่งเหลือสมาชิกที่ไม่มีคู่ และสามารถใช้สิ่งนี้เพื่อกำหนดความสัมพันธ์ด้านขนาดระหว่างคอลเลกชันทั้งสองได้ คอลเลกชันที่สมาชิกทุกตัวมีคู่แล้วจะเรียกว่า "เล็กกว่า" และคอลเลกชันที่เหลือสมาชิกที่ไม่มีคู่จะเรียกว่า "ใหญ่กว่า" อีกคอลเลกชันหนึ่ง

ลำดับคือรายการของวัตถุในลำดับที่เฉพาะเจาะจง กล่าวโดยละเอียดกว่านั้น ลำดับคือฟังก์ชันที่กำหนดวัตถุให้กับแต่ละตำแหน่งในรายการนั้น ตำแหน่งต่างๆ จะถูกระบุโดยใช้เซตที่มีลำดับที่ดีโดยที่องค์ประกอบทุกตัวจะมีองค์ประกอบถัดไปที่ชัดเจนเสมอ^{[ 14 ]}เซตที่มีลำดับที่ดีทุกเซตจะมีประเภทลำดับซึ่งเป็นเลขลำดับที่อธิบายรูปร่างของการเรียงลำดับ^{[ 15 ]}ป้ายกำกับตำแหน่งในที่นี้ไม่ใช่จำนวนนับหรือขนาดเหมือนกับจำนวนเชิงคาร์ดินัล แต่เป็นเพียงองค์ประกอบที่เรียงลำดับ^{[ 16 ]}

จำนวนธรรมชาติเป็นตัวเลือกที่พบบ่อยที่สุดสำหรับการกำหนดหมายเลขลำดับอนันต์ เนื่องจากเป็นเซตที่มีลำดับดีที่ง่ายที่สุดและมีลำดับแบบ ω โดยเริ่มต้นที่ 0 หรือ 1 และดำเนินต่อไปตามลำดับคงที่ที่คุ้นเคย — 1, 2, 3 และอื่นๆ — โดยไม่มีจุดสิ้นสุด จำนวนธรรมชาติแต่ละจำนวนจะกำหนดหมายเลขตำแหน่งเฉพาะในลำดับตามตำแหน่งที่มันตกอยู่เมื่อเทียบกับตำแหน่งอื่นๆ ทั้งหมด ตัวอย่างเช่น 1 คือตำแหน่งแรก 2 คือตำแหน่งถัดจาก 1 และ 3 คือตำแหน่งถัดจากทั้ง 1 และ 2 และก่อน 4, 5 และอื่นๆ ลำดับนี้ตรงกับลำดับปกติ คือจำนวนที่เล็กกว่าอยู่ก่อนจำนวนที่ใหญ่กว่า แต่จำนวนธรรมชาติเป็นเพียงตัวอย่างที่คุ้นเคยที่สุดเท่านั้น เซตที่มีลำดับดีใดๆ ก็สามารถใช้ได้ดีเช่นกันสำหรับการกำหนดหมายเลขลำดับ เช่น เซตของตัวอักษร a, b, c และอื่นๆ^{[ 17 ]}

คำว่าจำนวนธรรมชาติมีคำจำกัดความทั่วไปสองแบบ คือ0, 1, 2, ...หรือ1, 2, 3, ...เนื่องจากไม่มีข้อตกลงสากล จึงสามารถเลือกคำจำกัดความให้เหมาะสมกับบริบทการใช้งานได้^{[ 1 ] [ 18 ]}เพื่อขจัดความกำกวม ลำดับ1, 2, 3, ...และ0, 1, 2, ...มักเรียกว่าจำนวนเต็มบวกและจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบตามลำดับ

วลีจำนวนเต็มมักใช้สำหรับจำนวนธรรมชาติที่รวม 0 ไว้ด้วย แม้ว่าอาจหมายถึงจำนวนเต็มทั้งหมด ทั้งบวกและลบก็ตาม^{[ 19 ] [ 2 ]}ในการศึกษาขั้นพื้นฐานจำนวนนับมักหมายถึงจำนวนธรรมชาติที่เริ่มต้นที่ 1 ^{[ 3 ]}แม้ว่าคำจำกัดความนี้อาจแตกต่างกันไป^{[ 20 ] [ 21 ]}

โดยทั่วไปแล้วเซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดจะถูกแทนด้วยNหรือเขียนด้วยตัวหนาแบบกระดานดำเป็น^{[ 18 ] [ 22 ] [ b ]}การรวม 0 เข้าไปด้วยนั้นมักจะขึ้นอยู่กับบริบท แต่ก็อาจระบุได้โดยใช้หรือ(เซตของจำนวนเต็มทั้งหมด) ที่มีตัวห้อยหรือตัวยก ตัวอย่างเช่น[ ^{24 ] หรือ} [ ^{25 ] (}สำหรับเซตที่เริ่มต้นที่ 1) และ^{[ 26 ]}หรือ^{[ 27 ]} (สำหรับเซตที่รวม 0) ${\displaystyle \mathbb {N} .}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {N} _{1}}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{0+}}$

ตัวเลขคือสัญลักษณ์หรือกลุ่มสัญลักษณ์ที่ใช้แสดงจำนวนธรรมชาติในงานเขียน และชุดสัญลักษณ์เฉพาะที่มีกฎการใช้งานเฉพาะเรียกว่าระบบตัวเลขสัญลักษณ์แต่ละตัวในระบบตัวเลขแทนจำนวนธรรมชาติที่ไม่ซ้ำกัน ซึ่งเรียกว่าค่า ของ ตัวเลข นั้น และสามารถใช้เป็นตัวเลขเดี่ยวๆ หรือใช้ร่วมกับสัญลักษณ์อื่นๆ เพื่อสร้างตัวเลขได้

ระบบเลขฐานสิบซึ่งใช้ตัวเลขอะราบิกและ กฎ การเขียนตามตำแหน่งเป็นมาตรฐานสากลสำหรับการแสดงจำนวนธรรมชาติในคณิตศาสตร์และการใช้งานทั่วไป ส่วนหนึ่งเนื่องจากมาตรฐานสากลนี้ ความแตกต่างระหว่างจำนวนนามธรรม (ค่า) และสัญลักษณ์ของมัน (ตัวเลข) จึงโดยทั่วไปไม่สำคัญ ดังนั้นตัวเลขจึงมักถูกเรียกว่า "ตัวเลข" เฉยๆ บางครั้งแม้ในกรณีที่ความแตกต่างมีความสำคัญ เช่นเลขฐานสองซึ่งมักเรียกว่า "เลขฐานสอง"

จำนวนธรรมชาติใช้สำหรับการนับและการดำเนินการทางคณิตศาสตร์พื้นฐานสี่อย่าง ได้แก่ การบวก การลบ การคูณ และการหาร

การนับเป็นกระบวนการของการวนซ้ำผ่านจำนวนธรรมชาติในลำดับที่เริ่มจาก 1 สามารถทำได้โดยใช้ตัวเลขเพียงอย่างเดียว (เช่น "นับถึง 10 ") หรือโดยการนับสิ่งของ (เช่น "นับนักเรียนในห้องเรียน ")

เมื่อนำไปใช้กับกลุ่มของวัตถุ การนับจะกำหนดจำนวนสมาชิกของกลุ่มโดยการสร้างความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างวัตถุกับจำนวนธรรมชาติ^{[ 28 ]}ซึ่งเกี่ยวข้องกับการ "ติดแท็ก" วัตถุแต่ละชิ้นด้วยหมายเลขอย่างต่อเนื่องในขณะที่รักษาการแบ่งกลุ่มของวัตถุที่ติดแท็กแล้วออกจากวัตถุที่ยังไม่ติดแท็ก^{[ 29 ]}หมายเลขจะต้องถูกกำหนดตามลำดับโดยเริ่มจาก 1 - ดังนั้นจึงเป็นจำนวนเชิงลำดับ - แต่ลำดับของวัตถุที่เลือกนั้นเป็นไปโดยพลการตราบใดที่วัตถุแต่ละชิ้นได้รับหมายเลขเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้นหลักการจำนวนสมาชิกคือความเข้าใจว่าจำนวนเชิงลำดับที่กำหนดให้กับวัตถุชิ้นสุดท้ายจะให้ผลลัพธ์ของการนับ: จำนวนสมาชิกของกลุ่ม^{[ 30 ]}

นิยามอย่างเป็นทางการจะนำแนวคิดที่มีอยู่และเป็นไปตามสัญชาตญาณของจำนวนธรรมชาติมารวมกับกฎของเลขคณิตและกำหนดทั้งสองอย่างในแง่พื้นฐานมากขึ้นของตรรกะทางคณิตศาสตร์ ระบบอย่างเป็นทางการมักจะถือว่าลักษณะเฉพาะที่กำหนดของจำนวนธรรมชาติคือลำดับที่แน่นอน^{[ 31 ] [ 32 ]}และสร้างลำดับนี้โดยใช้แนวคิดดั้งเดิมของตัวสืบทอดจำนวนธรรมชาติทุกจำนวนมีตัวสืบทอด ซึ่งเป็นจำนวนธรรมชาติที่ไม่ซ้ำกันอีกจำนวนหนึ่งที่ตามมา

นิยามที่เป็นทางการมาตรฐานสองแบบนั้นอิงตามสัจพจน์ของเปอาโนและทฤษฎีเซตสัจพจน์ของเปอาโน (ตั้งชื่อตามจูเซปเป เปอาโน ) ไม่ได้กำหนดอย่างชัดเจนว่าจำนวนธรรมชาติคือ อะไร แต่ประกอบด้วยรายการของข้อความหรือสัจพจน์ที่ต้องเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติ ไม่ว่าจะนิยามอย่างไรก็ตาม ในทางตรงกันข้าม ทฤษฎีเซตนิยามจำนวนธรรมชาติแต่ละจำนวนว่าเป็นเซต เฉพาะ ซึ่งเซตสามารถเข้าใจได้โดยทั่วไปว่าเป็นกลุ่มของวัตถุหรือองค์ประกอบ ที่แตกต่างกัน แม้ว่าทั้งสองวิธีจะแตกต่างกัน แต่ก็สอดคล้องกันตรงที่เซตของจำนวนธรรมชาติโดยรวมแล้วเป็นไปตามสัจพจน์ของเปอาโน

สัจพจน์ของ Peano ทั้งห้าข้อมีดังนี้: ^{[ 33 ] [ c ]}

1. 0 เป็นจำนวนธรรมชาติ
2. จำนวนธรรมชาติทุกจำนวนจะมีจำนวนถัดไปซึ่งเป็นจำนวนธรรมชาติเช่นกัน
3. 0 ไม่ใช่จำนวนต่อจากจำนวนธรรมชาติใดๆ
4. ถ้าตัวสืบทอดของเท่ากับตัวสืบทอดของแล้วเท่ากับ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$
5. สัจพจน์ของการอุปนัย : ถ้าข้อความใดเป็นจริงสำหรับ 0 และถ้าความจริงของข้อความนั้นสำหรับจำนวนหนึ่งบ่งชี้ถึงความจริงของข้อความนั้นสำหรับจำนวนถัดไปของจำนวนนั้นแล้ว ข้อความนั้นจะเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติทุกจำนวน

นี่ไม่ใช่สัจพจน์ดั้งเดิมที่เปอาโนตีพิมพ์ แต่ตั้งชื่อเพื่อเป็นเกียรติแก่เขา สัจพจน์ของเปอาโนบางรูปแบบมี 1 แทนที่ 0 ในทางเลขคณิตทั่วไป ตัวสืบทอดของ คือ${\displaystyle x}$${\displaystyle x+1}$

ในทฤษฎีเซต จำนวนธรรมชาติn แต่ละจำนวน จะถูกกำหนดให้เป็นเซตเฉพาะ มีการเสนอโครงสร้างที่หลากหลาย อย่างไรก็ตาม วิธีแก้ปัญหามาตรฐาน (เนื่องจากJohn von Neumann ) ^{[ 34 ]}คือ:

• เรียก0 = { }ว่าเซตว่าง
• กำหนดตัวสืบทอดS ( a )ของเซตใดๆaโดยS ( a ) = a ∪ { a }
• ตามสัจพจน์ของอนันต์จะมีเซตที่ประกอบด้วย 0 และปิดภายใต้ฟังก์ชันสืบทอด เซตดังกล่าวเรียกว่าเซตอุปนัยจุดตัดของเซตอุปนัยทั้งหมดก็ยังคงเป็นเซตอุปนัยเช่นกัน
• จุด ตัดนี้คือเซตของจำนวนธรรมชาติ

วิธีนี้จะสร้างนิยามแบบวนซ้ำของจำนวนธรรมชาติที่เรียกว่าจำนวนเชิงอันดับของฟอน นอยมันน์ :

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}0&&&{}=\{\}&&{}=\varnothing \\1&=0\cup \{0\}&&{}=\{0\}&&=\{\varnothing \}\\2&=1\cup \{1\}&&{}=\{0,1\}&&{}=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\\3&=2\cup \{2\}&&{}=\{0,1,2\}&&{}=\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\}\\n&=n-1\cup \{n-1\}&&{}=\{0,1,...,n-1\}&&{}=\{\varnothing ,\{\varnothing \},...,\{\varnothing ,\{\varnothing \},...\}\}\\\end{alignedat}}}$

ในการสร้างนี้ จำนวนธรรมชาติn ทุกจำนวน เป็นเซตที่มี สมาชิก nตัว โดยที่สมาชิกแต่ละตัวเป็นจำนวนธรรมชาติที่น้อยกว่าnจากนั้น เราสามารถกำหนดแนวคิดเชิงสัญชาตญาณเกี่ยวกับจำนวนสมาชิกและลำดับของเซตได้อย่างเป็นทางการดังนี้:

• เซตSมี สมาชิก nตัวก็ต่อเมื่อมีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งหรือการจับคู่แบบทั่วถึงจากnไปยังS
• เงื่อนไข: n ≤ m ก็ต่อเมื่อnเป็นเซตย่อยของm

โครงสร้างอีกแบบหนึ่งที่บางครั้งเรียกว่าลำดับของ Zermelo ^{[ 35 ]}กำหนด0 = { }และ S ( a ) = { a }และตอนนี้ส่วนใหญ่เป็นเพียงความสนใจทางประวัติศาสตร์เท่านั้น

ส่วนนี้ใช้หลักการว่า 0 เป็นจำนวนธรรมชาติ: . ${\displaystyle \mathbb {N} =\mathbb {N} _{0}}$

เมื่อกำหนดเซตของจำนวนธรรมชาติและฟังก์ชันตัวสืบทอดที่ส่งจำนวนธรรมชาติแต่ละจำนวนไปยังจำนวนถัดไปการบวก ( ) จะถูกนิยามโดย:${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle S\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} }$${\displaystyle +}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a+0&=a&{\textrm {(1)}}\\a+S(b)&=S(a+b)&{\textrm {(2)}}\\\end{aligned}}}$

ในข้อความข้างต้น (1) กำหนดการบวกสำหรับจำนวนธรรมชาติแรกอย่างชัดเจน และ (2) ให้ คำจำกัดความ แบบเวียนเกิดสำหรับจำนวนถัดไปแต่ละจำนวนตามคำจำกัดความก่อนหน้า ดังที่แสดงไว้ด้านล่าง

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&a+1=a+S(0)=S(a+0)=S(a)\\&a+2=a+S(1)=S(a+1)=S(S(a))\\&a+3=a+S(2)=S(a+2)=S(S(S(a)))\end{alignedat}}}$

ด้วยวิธีนี้ การบวกสามารถมองได้ว่าเป็นการประยุกต์ใช้ฟังก์ชันตัวถัดไปซ้ำๆ กัน โดยทั่วไปแล้วa + bจะได้มาจากการประยุกต์ใช้ฟังก์ชันตัวถัดไปกับaหลายครั้งเท่ากับจำนวนครั้งที่ต้องประยุกต์ใช้กับ0เพื่อ ให้ได้b

โครงสร้างพีชคณิต นี้เป็นโมโนอิดสลับที่ที่มีเอกลักษณ์ คือ 0 และ  เป็นโมโนอิดอิสระ ที่มี ตัวสร้างเพียงตัวเดียว โมโนอิดสลับที่นี้มีคุณสมบัติการตัดทอนดังนั้นจึงสามารถฝังตัวในกลุ่มได้ กลุ่มที่เล็กที่สุดที่ประกอบด้วยจำนวนธรรมชาติคือจำนวนเต็ม${\displaystyle (\mathbb {N} ,+)}$

ในทำนองเดียวกัน เมื่อกำหนดการบวกแล้วตัวดำเนินการคูณสามารถกำหนดได้โดยใช้a × 0 = 0และa × S( b ) = ( a × b ) + aซึ่งจะกลายเป็นโมโนอิดแบบสลับที่อิสระที่มีเอกลักษณ์คือ 1 โดยเซตตัวสร้างสำหรับโมโนอิดนี้คือเซตของจำนวนเฉพาะ${\displaystyle \times }$${\displaystyle (\mathbb {N} ^{*},\times )}$

ในจำนวนธรรมชาติ การบวกและการคูณนั้นเข้ากันได้ ซึ่งแสดงออกมาในกฎการกระจาย : a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c )อย่างไรก็ตามไม่ปิดภายใต้การลบ (นั่นคือ การลบจำนวนธรรมชาติหนึ่งออกจากอีกจำนวนหนึ่งไม่ได้ให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนธรรมชาติอีกจำนวนหนึ่งเสมอไป) หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือไม่มีตัวผกผันการบวกคุณสมบัติของการบวกและการคูณเหล่านี้หมายความว่าไม่ใช่ริงแต่เป็นเซมิริง (หรือที่เรียกว่าริก ) เซมิริงเป็นการขยายความเชิงพีชคณิตของริงที่การคูณไม่จำเป็นต้องสลับที่ได้แม้ว่าการคูณในจะสลับที่ได้ก็ตาม ${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$

ถ้าเราถือว่าจำนวนธรรมชาติ "ไม่รวม 0" และ "เริ่มต้นที่ 1" นิยามของ + และ × จะเหมือนกับข้างต้น ยกเว้นว่าเริ่มต้นด้วยa + 1 = S ( a )และa × 1 = aนอกจากนี้ไม่มีสมาชิกเอกลักษณ์ ${\displaystyle (\mathbb {N^{*}} ,+)}$

A total order on the natural numbers is defined by letting a ≤ b if and only if there exists another natural number c where a + c = b. This order is compatible with the arithmetical operations in the following sense: if a, b and c are natural numbers and a ≤ b, then a + c ≤ b + c and a × c ≤ b × c.

An important property of the natural numbers is that they are well-ordered: every non-empty set of natural numbers has a least element. The rank among well-ordered sets is expressed by an ordinal number; for the natural numbers, this is denoted as ω (omega).

While it is in general not possible to divide one natural number by another and get a natural number as result, the procedure of division with remainder or Euclidean division is available as a substitute: for any two natural numbers a and b with b ≠ 0 there are natural numbers q and r such that

${\displaystyle a=b\times q+r{\text{ and }}r<b.}$

The number q is called the quotient and r is called the remainder of the division of a by b. The numbers q and r are uniquely determined by a and b. This Euclidean division is key to the several other properties (divisibility), algorithms (such as the Euclidean algorithm), and ideas in number theory.

The addition (+) and multiplication (×) operations on natural numbers as defined above have several algebraic properties:

• Closure under addition and multiplication: for all natural numbers a and b, both a + b and a × b are natural numbers.^[36]
• คุณสมบัติการสลับที่:สำหรับจำนวนธรรมชาติa , bและc ทั้งหมด a ⁺ ( b + c ) = ( a + b ) + cและa × ( b × c ) = ( a × b ) × c ^{[ 37} ]
• คุณสมบัติการสลับที่ : สำหรับ จำนวนธรรมชาติaและb ทุกจำนวน a + b = b + aและa × b = b × a ^{[ 38 ]}
• การมีอยู่ขององค์ประกอบเอกลักษณ์ : สำหรับจำนวนธรรมชาติa ทุกตัว a + 0 = aและa × 1 = a
  • ถ้าเราถือว่าจำนวนธรรมชาติ "ไม่รวม 0" และ "เริ่มต้นที่ 1" แล้ว สำหรับทุกจำนวนธรรมชาติa จะได้ ว่าa × 1 = aอย่างไรก็ตาม คุณสมบัติ "การมีอยู่ขององค์ประกอบเอกลักษณ์การบวก" นั้นไม่เป็นไปตามเงื่อนไข
• คุณสมบัติการแจกแจง ของการ คูณเหนือการบวกสำหรับจำนวนธรรมชาติa , bและc ทั้งหมด คือa × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c )
• ไม่มีตัวหารศูนย์ ที่ไม่เป็นศูนย์ : ถ้าaและbเป็นจำนวนธรรมชาติที่a × b = 0แล้วa = 0หรือb = 0 (หรือทั้งสองอย่าง)

ตลอดช่วงเวลาส่วนใหญ่ในประวัติศาสตร์ สิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่าจำนวนธรรมชาติเป็นเพียงตัวเลขระหว่างช่วงปลายยุคกลางจนถึงปลายศตวรรษที่ 17 แนวคิดเรื่องตัวเลขได้ขยายออกไปเพื่อรวมถึงจำนวนลบ จำนวนตรรกยะ และจำนวนอตรรกยะ ซึ่งกลายเป็นสิ่งที่เราเรียกว่าจำนวนจริงในปัจจุบัน^{[ 39 ]}ด้วยเหตุนี้จึงเกิดความจำเป็นในการแยกแยะระหว่างตัวเลขดั้งเดิมกับตัวเลขประเภทใหม่เหล่านี้^{[ 40 ]}

นิโคลัส ชูเกต์ใช้คำว่าprogression naturelle (ความก้าวหน้าตามธรรมชาติ) ในปี 1484 ^{[ 41 ]}การใช้คำว่า "จำนวนธรรมชาติ" เป็นวลีภาษาอังกฤษที่สมบูรณ์ที่เก่าแก่ที่สุดเท่าที่ทราบคือในปี 1763 ^{[ 42 ] [ 43 ]}สารานุกรมบริแทนนิกาฉบับปี 1771 ให้คำจำกัดความของจำนวนธรรมชาติในบทความลอการิทึม^{[ 43 ]}

ในยุโรปศตวรรษที่ 19 มีการอภิปรายทางคณิตศาสตร์และปรัชญาเกี่ยวกับธรรมชาติที่แท้จริงของจำนวนธรรมชาติอองรี ปวงกาเรกล่าวว่าสัจพจน์สามารถพิสูจน์ได้เฉพาะในการประยุกต์ใช้ที่จำกัดเท่านั้น และสรุปว่า "พลังแห่งจิตใจ" ต่างหากที่ทำให้สามารถจินตนาการถึงการทำซ้ำการกระทำเดียวกันอย่างไม่มีที่สิ้นสุดได้^{[ 44 ]}เลโอโปลด์ โครเนกเกอร์สรุปความเชื่อของเขาว่า "พระเจ้าสร้างจำนวนเต็ม ส่วนที่เหลือเป็นผลงานของมนุษย์" ^{[ d ]}

กลุ่มนักสร้างสรรค์นิยมมองเห็นความจำเป็นในการปรับปรุงความเข้มงวดเชิงตรรกะในรากฐานของคณิตศาสตร์ [ ^{e ] ใน}ช่วงทศวรรษ 1860 เฮอร์มันน์ กราสส์มันน์ เสนอนิยามแบบเวียนเกิดสำหรับจำนวนธรรมชาติ จึงระบุว่าจำนวนธรรมชาติไม่ได้เป็นธรรมชาติอย่างแท้จริง แต่เป็นผลสืบเนื่องมาจากนิยาม ต่อมา นิยามเชิงรูปธรรมสองประเภทดังกล่าวได้เกิดขึ้น โดยใช้ทฤษฎีเซตและสัจพจน์ของพีอาโนตามลำดับ และในเวลาต่อมา ได้มีการแสดงให้เห็นว่านิยามทั้งสองประเภทนี้เทียบเท่ากันในการใช้งานจริงส่วนใหญ่

นิยามเชิงทฤษฎีเซตของจำนวนธรรมชาติเริ่มต้นโดยFregeเขาได้นิยามจำนวนธรรมชาติในเบื้องต้นว่าเป็นกลุ่มของเซตทั้งหมดที่มีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับเซตเฉพาะ อย่างไรก็ตาม นิยามนี้กลับนำไปสู่ความขัดแย้ง รวมถึงความขัดแย้งของ Russellเพื่อหลีกเลี่ยงความขัดแย้งดังกล่าว รูปแบบจึงได้รับการแก้ไขเพื่อให้จำนวนธรรมชาติถูกนิยามว่าเป็นเซตเฉพาะ และเซตใดๆ ที่สามารถจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับเซตนั้นได้ จะกล่าวได้ว่ามีจำนวนสมาชิกเท่ากับจำนวนนั้น^{[ 47 ]}

ในปี พ.ศ. 2424 Charles Sanders Peirce ได้เสนอ ระบบสัจพจน์แรกของเลขคณิตจำนวนธรรมชาติ^{[ 48 ] [ 49 ]}ในปี พ.ศ. 2431 Richard Dedekindได้เสนอระบบสัจพจน์อีกระบบหนึ่งของเลขคณิตจำนวนธรรมชาติ^{[ 50 ]}และในปี พ.ศ. 2432 Peano ได้ตีพิมพ์สัจพจน์ของ Dedekind ในรูปแบบที่ง่ายขึ้นในหนังสือของเขาชื่อThe principles of arithmetic presented by a new method ( ภาษาละติน : Arithmetices principia, nova methodo exposita ) แนวทางนี้ปัจจุบันเรียกว่าเลขคณิตของ Peanoซึ่งมีพื้นฐานมาจากระบบสัจพจน์ของคุณสมบัติของจำนวนเชิงอันดับ : จำนวนธรรมชาติแต่ละจำนวนจะมีตัวสืบทอด และจำนวนธรรมชาติที่ไม่เป็นศูนย์ทุกจำนวนจะมีตัวก่อนหน้าที่ไม่ซ้ำกัน เลขคณิตของ Peano มีความสอดคล้องกับระบบทฤษฎีเซต แบบอ่อนหลาย ระบบ หนึ่งในระบบดังกล่าวคือZFCโดยที่สัจพจน์ของอนันต์ถูกแทนที่ด้วยการปฏิเสธ^{[ 51 ]}ทฤษฎีบทที่สามารถพิสูจน์ได้ใน ZFC แต่ไม่สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้สัจพจน์ของ Peano ได้แก่ทฤษฎีบทของ Goodstein ^{[ 52 ]}

การเริ่มต้นที่ 0 หรือ 1 ถือเป็นธรรมเนียมปฏิบัติมานานแล้ว ในปี ค.ศ. 1727 Bernard Le Bovier de Fontenelleได้โต้แย้งทั้งสองวิธี โดยกล่าวว่า 0 อาจเป็นพจน์ในลำดับ 0, 1, 2, ... แต่ 1 เป็นองค์ประกอบ พื้นฐาน ที่สามารถสร้างตัวเลขอื่นๆ ได้โดยการบวกซ้ำๆ^{[ 53 ]}ในปี ค.ศ. 1889 Giuseppe Peanoใช้ N สำหรับจำนวนเต็มบวกและเริ่มต้นที่ 1 ^{[ 54 ]}แต่ต่อมาเขาเปลี่ยนไปใช้ N ₀และN ₁ ^{[ 55 ]}ผู้เขียนยุคแรกส่วนใหญ่ไม่รวม 0 ^{[ 43 ] [ 56 ] [ 57 ]}แต่นักคณิตศาสตร์หลายคน เช่นGeorge A. Wentworth , Bertrand Russell , Nicolas Bourbaki , Paul Halmos , Stephen Cole KleeneและJohn Horton Conwayรวม 0 ไว้ด้วย^{[ 58 ] [ 43 ]}การรวม 0 ได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางมากขึ้นในช่วงทศวรรษ 1960 ^{[ 43 ]}และได้รับการกำหนดอย่างเป็นทางการในISO 31-11 (1978) ซึ่งกำหนดให้จำนวนธรรมชาติรวม 0 ซึ่งเป็นธรรมเนียมที่คงไว้ในมาตรฐานISO 80000-2 ปัจจุบัน ^{[ 59 ]}

ระบบจำนวน ที่ใช้ กันทั่วไปในคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่เป็นส่วนขยายของจำนวนธรรมชาติ ในแง่ที่ว่าแต่ละระบบประกอบด้วยเซตย่อยที่มีโครงสร้างทางคณิตศาสตร์เหมือนกัน ระบบจำนวนเหล่านี้ยังสามารถกำหนดอย่างเป็นทางการได้โดยใช้จำนวนธรรมชาติ (แม้ว่าจะไม่จำเป็นต้องเป็น^{เช่นนั้นก็ตาม) ถ้า}หากพิจารณาผลต่างของจำนวนธรรมชาติสองจำนวนใดๆ ว่าเป็นจำนวน ผลลัพธ์ที่ได้คือจำนวนเต็มซึ่งรวมถึงศูนย์และจำนวนลบ ถ้าหากพิจารณาผลหารของจำนวนเต็มสองจำนวนใดๆ ว่าเป็นจำนวน ผลลัพธ์ที่ได้ คือจำนวนตรรกยะ ซึ่งรวมถึงเศษส่วนถ้า หากพิจารณา ทศนิยม อนันต์ทุกตัว ว่าเป็นจำนวน ผลลัพธ์ที่ได้คือจำนวนจริงถ้า หากพิจารณา คำตอบของสมการพหุนาม ทุกตัว ว่าเป็นจำนวน ผลลัพธ์ที่ได้คือ จำนวนเชิงซ้อน

การสรุปทั่วไปอื่นๆ ของจำนวนธรรมชาติจะกล่าวถึงในหัวข้อ จำนวน § การขยายแนวคิด

• การแสดงจำนวนเต็มบวกในรูปแบบมาตรฐาน  – การแสดงจำนวนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะ
• เซตที่นับได้  – เซตทางคณิตศาสตร์ที่สามารถแจงนับได้
• ลำดับ  – ฟังก์ชันของจำนวนธรรมชาติในอีกเซตหนึ่ง
• จำนวนเชิงลำดับ  – การขยายแนวคิด "ลำดับที่ n" ไปสู่กรณีอนันต์
• จำนวนเชิงคาร์ดินัล  – ขนาดของเซตที่มีจำนวนอนันต์ได้
• นิยามของจำนวนธรรมชาติในทฤษฎีเซต  – สัจพจน์ของทฤษฎีเซต

Wikimedia Commons has media related to Natural numbers.

• "Natural number", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• "Axioms and construction of natural numbers". apronus.com.