การฉายภาพแผนที่

ในวิชาการทำแผนที่การฉายภาพแผนที่คือการแปลงรูปแบบต่างๆ ที่ใช้ในการแสดง พื้นผิวสองมิติโค้งของโลกบนระนาบ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}ในการฉายภาพแผนที่พิกัดซึ่งมักแสดงเป็นละติจูดและลองจิจูดของตำแหน่งจากพื้นผิวโลกจะถูกแปลงเป็นพิกัดบนระนาบ[ ^{4 ] [}^{5 ] การ} ฉายภาพเป็นขั้นตอนที่จำเป็นในการสร้างแผนที่สองมิติ และเป็นหนึ่งในองค์ประกอบสำคัญของวิชาการทำแผนที่

การฉายภาพทรงกลมบนระนาบทั้งหมดจะทำให้พื้นผิวบิดเบี้ยวไปบ้างอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้^{[ 6 ]}ขึ้นอยู่กับวัตถุประสงค์ของแผนที่ การบิดเบี้ยวบางอย่างเป็นที่ยอมรับได้และบางอย่างไม่เป็นที่ยอมรับ ดังนั้นจึงมีการฉายภาพแผนที่ที่แตกต่างกันเพื่อรักษาสมบัติบางอย่างของวัตถุที่มีลักษณะคล้ายทรงกลมโดยแลกกับสมบัติอื่นๆ การศึกษาการฉายภาพแผนที่ส่วนใหญ่เกี่ยวกับการกำหนดลักษณะของการบิดเบี้ยว ไม่มีข้อจำกัดเกี่ยวกับจำนวนการฉายภาพแผนที่ที่เป็นไปได้^{[ 7 ]}^{: 1} โดยทั่วไปแล้ว การฉายภาพจะถูกพิจารณาในหลายสาขาของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ รวมถึงเรขาคณิตเชิง อนุพันธ์ เรขาคณิตเชิงฉายและแมนิโฟลด์อย่างไรก็ตาม คำว่าการฉายภาพแผนที่หมายถึงการฉายภาพแผนที่ โดยเฉพาะ

แม้ชื่อจะมีความหมายตรงตัวว่า "การฉายภาพ" แต่การฉายภาพไม่ได้จำกัดอยู่แค่การฉายภาพแบบทัศนียภาพเช่น การฉายเงาบนจอภาพ หรือ ภาพ เส้นตรงที่ได้จากกล้องรูเข็มบนแผ่นฟิล์มแบน แต่ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ใดๆ ที่แปลงพิกัดจากพื้นผิวโค้งไปยังระนาบได้อย่างชัดเจนและราบรื่น ก็ถือเป็นการฉายภาพเช่นกัน อย่างไรก็ตาม การฉายภาพในทางปฏิบัติส่วนใหญ่ไม่ใช่การฉายภาพแบบทัศนียภาพ

บทความนี้ส่วนใหญ่ถือว่าพื้นผิวที่จะทำแผนที่นั้นเป็นทรงกลม โดยทั่วไปแล้ว โลกและวัตถุท้องฟ้า ขนาดใหญ่อื่นๆ จะถูกจำลองได้ดีกว่าในรูปทรงรีแบนในขณะที่วัตถุขนาดเล็ก เช่นดาวเคราะห์น้อยมักจะมีรูปร่างไม่สม่ำเสมอ พื้นผิวของดาวเคราะห์สามารถทำแผนที่ได้แม้ว่าจะมีรูปร่างไม่สม่ำเสมอเกินกว่าจะจำลองได้ดีด้วยทรงกลมหรือทรงรีก็ตาม^{[ 8 ]}

การฉายภาพแผนที่ที่รู้จักกันดีที่สุดคือการฉายภาพแบบเมอร์เคเตอร์ [ ^{7 ] :}^45การฉายภาพแผนที่นี้มีคุณสมบัติที่สอดคล้องกับรูปร่างอย่างไรก็ตาม การฉายภาพนี้ถูกวิพากษ์วิจารณ์ตลอดศตวรรษที่ 20 เนื่องจากทำให้พื้นที่ที่อยู่ห่างจากเส้นศูนย์สูตรมีขนาดใหญ่ขึ้น^{[ 7 ]}^{: 156–157}ในทางตรงกันข้ามการฉายภาพแบบพื้นที่เท่ากันเช่นการฉายภาพแบบไซนูซอยดัลและการฉายภาพแบบกัลล์-ปีเตอร์สแสดงขนาดที่ถูกต้องของประเทศต่างๆ เมื่อเทียบกับประเทศอื่นๆ แต่บิดเบือนมุมสมาคมเนชั่นแนลจีโอกราฟิกและแอตลาสส่วนใหญ่นิยมการฉายภาพแผนที่ที่ประนีประนอมระหว่างการบิดเบือนพื้นที่และมุม เช่นการฉายภาพแบบโรบินสันและการฉายภาพแบบวิงเคิลทริปเปิล^{[ 7 ]}^{[ 9 ]}

คุณสมบัติเชิงเมตริกของแผนที่

คุณสมบัติหลายอย่างบนพื้นผิวโลกสามารถวัดได้โดยไม่ขึ้นอยู่กับลักษณะทางภูมิศาสตร์:

การสร้างแผนที่แบบฉายภาพสามารถทำได้โดยการรักษาสมบัติบางอย่างไว้ ในขณะที่อาจแลกมาด้วยสมบัติอื่นๆ เนื่องจากพื้นผิวโลกโค้งและไม่สมมาตรกับระนาบ การรักษารูปทรงจึงจำเป็นต้องใช้มาตราส่วน ที่เปลี่ยนแปลง ได้ และส่งผลให้การแสดงพื้นที่ไม่เป็นสัดส่วน ในทำนองเดียวกัน การฉายภาพที่รักษาพื้นที่ไว้ได้นั้นไม่สามารถเป็นการฉายภาพแบบคอนฟอร์มอลได้ส่งผลให้รูปทรงและทิศทางบิดเบี้ยวในหลายๆ ส่วนของแผนที่ การฉายภาพแต่ละแบบจะรักษา ลดทอน หรือประมาณค่าสมบัติทางเมตริกพื้นฐานในรูปแบบที่แตกต่างกัน วัตถุประสงค์ของแผนที่จะเป็นตัวกำหนดว่าควรใช้การฉายภาพแบบใดเป็นพื้นฐาน เนื่องจากแผนที่มีวัตถุประสงค์ที่แตกต่างกันมากมาย จึงมีการสร้างการฉายภาพที่หลากหลายเพื่อให้เหมาะสมกับวัตถุประสงค์เหล่านั้น

อีกประเด็นที่ต้องพิจารณาในการกำหนดค่าการฉายภาพคือความเข้ากันได้กับชุดข้อมูลที่จะใช้บนแผนที่ ชุดข้อมูลคือข้อมูลทางภูมิศาสตร์ การรวบรวมข้อมูลขึ้นอยู่กับแบบจำลอง (datum) ของโลกที่เลือกใช้ แบบจำลองที่แตกต่างกันจะกำหนดพิกัดที่แตกต่างกันเล็กน้อยให้กับตำแหน่งเดียวกัน ดังนั้นใน แผนที่ ขนาดใหญ่เช่น แผนที่จากระบบแผนที่แห่งชาติ จึงเป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องจับคู่แบบจำลองกับระบบการฉายภาพ ความแตกต่างเล็กน้อยในการกำหนดพิกัดระหว่างแบบจำลองที่แตกต่างกันนั้นไม่ใช่ปัญหาสำหรับแผนที่โลกหรือแผนที่ของภูมิภาคขนาดใหญ่ ซึ่งความแตกต่างดังกล่าวลดลงจนแทบมองไม่เห็น

การบิดเบือน

ทฤษฎีบท Egregium ของCarl Friedrich Gaussพิสูจน์ว่าพื้นผิวทรงกลมไม่สามารถแสดงบนระนาบได้โดยปราศจากการบิดเบือน หลักการเดียวกันนี้ใช้ได้กับพื้นผิวอ้างอิงอื่นๆ ที่ใช้เป็นแบบจำลองของโลก เช่นทรงรีแบนทรงรีและจีออยด์เนื่องจากภาพฉายแผนที่ใดๆ ก็ตามเป็นการแสดงแทนพื้นผิวเหล่านั้นบนระนาบ ดังนั้นภาพฉายแผนที่ทั้งหมดจึงบิดเบือน^{[ 5 ]}

วิธีการแบบดั้งเดิมในการแสดงความบิดเบี้ยวที่เกิดขึ้นในการฉายภาพคือการใช้อินดิเคทริกซ์ของทิสโซต์สำหรับจุดที่กำหนด โดยใช้ปัจจัยมาตราส่วนhตามเส้นเมริเดียน ปัจจัยมาตราส่วนkตามเส้นขนาน และมุมθ ′ ระหว่างกันนิโคลัส ทิสโซต์ได้อธิบายวิธีการสร้างวงรีที่แสดงปริมาณและทิศทางของส่วนประกอบของความบิดเบี้ยว^{[ 7 ]}^{: 147–149}^{[ 10 ]}^{: 24}โดยการเว้นระยะห่างของวงรีอย่างสม่ำเสมอตามเส้นเมริเดียนและเส้นขนาน เครือข่ายของอินดิเคทริกซ์จะแสดงให้เห็นว่าความบิดเบี้ยวแตกต่างกันอย่างไรทั่วแผนที่

ตัวชี้วัดความบิดเบือนอื่นๆ

มีการอธิบายวิธีการอื่นๆ อีกมากมายในการแสดงการบิดเบือนในการฉายภาพ^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}เช่นเดียวกับอินดิเคทริกซ์ของ Tissot อินดิเคทริกซ์ของ Goldberg-Gottนั้นมีพื้นฐานมาจากอนันต์เล็ก ๆ และแสดง การบิดเบือน แบบงอและเอียง (การโค้งงอและความไม่สมมาตร) ^{[ 13 ]}

แทนที่จะใช้รูปวงกลมขนาดเล็กมาก (ที่ขยายใหญ่ขึ้น) เหมือนในอินดิเคทริกซ์ของทิสโซต์ วิธีการแสดงภาพบางวิธีจะฉายรูปทรงที่มีขอบเขตจำกัดซึ่งครอบคลุมส่วนหนึ่งของแผนที่ ตัวอย่างเช่นวงกลมขนาดเล็กที่มีรัศมีคงที่ (เช่นรัศมีเชิงมุม 15 องศา ) ^{[ 14 ]}บางครั้งก็ใช้รูปสามเหลี่ยมทรงกลม ในช่วงครึ่งแรกของศตวรรษที่ 20 การฉายภาพศีรษะมนุษย์ลงบนแผนที่แบบต่างๆ เป็นเรื่องปกติเพื่อแสดงให้เห็นว่าการบิดเบือนแตกต่างกันอย่างไรในแต่ละแผนที่^[¹⁵^] ในสื่อแบบไดนามิก รูปทรงของชายฝั่งและขอบเขตที่คุ้นเคยสามารถลากไปบนแผนที่แบบโต้ตอบเพื่อแสดงให้เห็นว่าการฉายภาพบิดเบือนขนาดและรูปทรงอย่างไรตามตำแหน่งบนแผนที่^[¹⁶^]

อีกวิธีหนึ่งในการแสดงภาพการบิดเบือนในระดับท้องถิ่นคือการใช้ระดับสีเทาหรือระดับสี โดยเฉดสีจะแสดงถึงขนาดของการเสียรูปเชิงมุมหรือการขยายตัวของพื้นที่ บางครั้งทั้งสองอย่างจะแสดงพร้อมกันโดยการผสมสองสีเพื่อสร้าง แผนที่ สองตัวแปร^{[ 17 ]}

การวัดการบิดเบือนทั่วโลกในพื้นที่ต่างๆ แทนที่จะวัดเพียงจุดเดียว จำเป็นต้องเลือกจัดลำดับความสำคัญเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ลงตัว บางวิธีใช้วิธีวัดการบิดเบือนระยะทางแทนการรวมกันของการเสียรูปเชิงมุมและการขยายตัวของพื้นที่ วิธีการเหล่านี้เลือกเส้นทางที่จะวัดและกำหนดน้ำหนักโดยพลการเพื่อให้ได้ผลลัพธ์เดียว มีการอธิบายวิธีการต่างๆ ไว้มากมาย^{[ 13 ]}^{[ 18 ]}^{[ 19 ]}^{[ 20 ]}^{[ 21 ]}

การออกแบบและการก่อสร้าง

การสร้างแผนที่แบบฉายภาพนั้นประกอบด้วยสองขั้นตอน:

การเลือกแบบจำลองสำหรับรูปร่างของโลกหรือดาวเคราะห์ (โดยปกติจะเลือกระหว่างทรงกลมหรือทรงรี ) เนื่องจากรูปร่างที่แท้จริงของโลกไม่สม่ำเสมอ ข้อมูลจึงสูญหายไปในขั้นตอนนี้
การแปลงพิกัดทางภูมิศาสตร์ ( ลองจิจูดและละติจูด ) ไปเป็น พิกัดระนาบแบบ คาร์ทีเซียน ( x , y ) หรือแบบเชิงขั้ว ( r , θ ) ในแผนที่ขนาดใหญ่ พิกัดคาร์ทีเซียนมักมีความสัมพันธ์อย่างง่ายกับค่าตะวันออกและค่าเหนือที่กำหนดเป็นตารางกริดที่ซ้อนทับอยู่บนภาพฉาย ในแผนที่ขนาดเล็ก ค่าตะวันออกและค่าเหนือไม่มีความหมาย และไม่มีการซ้อนทับตารางกริด

การฉายภาพแผนที่แบบง่ายที่สุดบางแบบเป็นการฉายภาพตามตัวอักษร ซึ่งได้มาจากการวางแหล่งกำเนิดแสงไว้ที่จุดใดจุดหนึ่งบนลูกโลก แล้วฉายภาพลักษณะต่างๆ ของแสงนั้นลงบนพื้นผิวที่กำหนดไว้ แม้ว่าการฉายภาพส่วนใหญ่จะไม่ได้กำหนดด้วยวิธีนี้ แต่การนึกภาพแบบจำลองแหล่งกำเนิดแสง-ลูกโลกก็สามารถช่วยให้เข้าใจแนวคิดพื้นฐานของการฉายภาพแผนที่ได้

การเลือกพื้นผิวสำหรับฉายภาพ

พื้นผิวที่สามารถคลี่หรือม้วนออกเป็นระนาบหรือแผ่นได้โดยไม่ยืด ฉีกขาด หรือหดตัว เรียกว่าพื้นผิวที่คลี่ออกได้ทรงกระบอกกรวย และระนาบ ล้วนเป็นพื้นผิวที่คลี่ออกได้ ส่วนทรงกลมและทรงรีไม่มีพื้นผิวที่คลี่ออกได้ ดังนั้นการฉายภาพวัตถุเหล่านี้ลงบนระนาบใดๆ ก็ตาม จะทำให้ภาพบิดเบี้ยว (เพื่อเปรียบเทียบ เราไม่สามารถทำให้เปลือกส้มแบนราบได้โดยไม่ฉีกขาดและบิดเบี้ยว)

วิธีหนึ่งในการอธิบายการฉายภาพคือ การฉายภาพจากพื้นผิวโลกไปยังพื้นผิวที่สามารถคลี่ออกได้ เช่น ทรงกระบอกหรือทรงกรวย จากนั้นจึงคลี่พื้นผิวนั้นออกเป็นระนาบ แม้ว่าขั้นตอนแรกจะทำให้คุณสมบัติบางอย่างของโลกบิดเบี้ยวไปบ้าง แต่พื้นผิวที่สามารถคลี่ออกได้นั้นสามารถคลี่ออกได้โดยไม่เกิดการบิดเบี้ยวเพิ่มเติม

แง่มุมของการฉายภาพ

เมื่อเลือกแล้วว่าจะฉายภาพลงบนทรงกระบอก กรวย หรือระนาบจะต้องระบุลักษณะ ของรูปทรงนั้นด้วย ลักษณะดังกล่าวอธิบายว่าพื้นผิวที่สามารถคลี่ออกได้นั้นวางตัวอย่างไรเมื่อเทียบกับโลก อาจเป็น แบบตั้งฉาก (โดยที่แกนสมมาตรของพื้นผิวตรงกับแกนของโลก) แบบขวาง (ตั้งฉากกับแกนของโลก) หรือแบบเฉียง (มุมใดๆ ระหว่างนั้น)

บรรทัดที่น่าสนใจ

พื้นผิวที่สามารถคลี่ออกได้อาจสัมผัสหรือตัดกับทรงกลมหรือทรงรีก็ได้ การสัมผัสหมายความว่าพื้นผิวสัมผัสกับทรงกลมแต่ไม่ตัดผ่านทรงกลม ส่วนการตัดหมายความว่าพื้นผิวตัดผ่านทรงกลม การเลื่อนพื้นผิวที่สามารถคลี่ออกได้ออกไปจากการสัมผัสกับทรงกลมจะไม่รักษาหรือปรับปรุงคุณสมบัติทางเมตริกให้เหมาะสมที่สุด ดังนั้นจึงไม่กล่าวถึงความเป็นไปได้นั้นเพิ่มเติมในที่นี้

เส้นสัมผัสและเส้นตัด ( เส้นมาตรฐาน ) จะแสดงโดยไม่บิดเบี้ยว หากเส้นเหล่านี้เป็นเส้นขนานละติจูด เช่น ในการฉายภาพแบบกรวย จะเรียกว่าเส้นขนานมาตรฐานเส้นเมริเดียนกลางคือเส้นเมริเดียนที่ลูกโลกหมุนไปก่อนที่จะฉายภาพ เส้นเมริเดียนกลาง (โดยปกติเขียนว่าλ ) และเส้นขนานจุดกำเนิด (โดยปกติเขียนว่าφ ) มักใช้เพื่อกำหนดจุดกำเนิดของการฉายภาพแผนที่^{[ 22 ]}^{[ 23 ]}

มาตราส่วน

ลูกโลกเป็นวิธีเดียวที่จะแสดงโลกด้วยมาตราส่วน ที่คงที่ตลอดทั้งแผนที่ในทุกทิศทาง แผนที่ธรรมดาไม่สามารถทำเช่นนั้นได้ในทุกพื้นที่ ไม่ว่าจะเล็กแค่ไหนก็ตาม แต่แผนที่ ธรรมดาสามารถแสดงมาตราส่วนที่คงที่ได้เฉพาะตามแนวเส้นที่กำหนดเท่านั้น

คุณสมบัติที่เป็นไปได้บางประการ ได้แก่:

มาตราส่วนขึ้นอยู่กับตำแหน่ง แต่ไม่ขึ้นอยู่กับทิศทาง ซึ่งเทียบเท่ากับการรักษาค่ามุม ซึ่งเป็นลักษณะเฉพาะของการแปลงแบบคอนฟอร์มอล
มาตราส่วนจะคงที่ตลอดแนวขนานใดๆ ในทิศทางของเส้นขนานนั้น หลักการนี้ใช้ได้กับการฉายภาพทรงกระบอกหรือภาพเสมือนทรงกระบอกใดๆ ในมุมมองปกติ
การรวมกันของสิ่งข้างต้น: มาตราส่วนขึ้นอยู่กับละติจูดเท่านั้น ไม่ขึ้นอยู่กับลองจิจูดหรือทิศทาง ซึ่งใช้ได้กับแผนที่แบบเมอร์เคเตอร์ในมุมมองปกติ
มาตราส่วนจะคงที่ตลอดแนวเส้นตรงทั้งหมดที่แผ่ออกมาจากตำแหน่งทางภูมิศาสตร์ที่กำหนด นี่คือลักษณะเฉพาะของการฉายภาพแบบระยะเท่ากัน เช่นการฉายภาพแบบระยะเท่ากันเชิงมุมนอกจากนี้ยังมีการฉายภาพ (การฉายภาพแบบระยะเท่ากันสองจุด ของ Maurer , Close) ที่รักษา ระยะทางจริงจาก สอง จุดไว้ ^{[ 7 ]}^{: 234}

การเลือกแบบจำลองให้เหมาะกับรูปร่างของร่างกาย

การสร้างภาพฉายยังได้รับผลกระทบจากวิธีการประมาณรูปร่างของโลกหรือดาวเคราะห์ด้วย ในส่วนต่อไปนี้เกี่ยวกับประเภทของภาพฉาย โลกจะถูกสมมติว่าเป็นทรงกลมเพื่อให้ง่ายต่อการอธิบาย อย่างไรก็ตาม รูปร่างที่แท้จริงของโลกนั้นใกล้เคียงกับทรงรี แบน มากกว่า ไม่ว่าจะเป็นทรงกลมหรือทรงรี หลักการที่กล่าวถึงยังคงใช้ได้โดยไม่เสียความหมายทั่วไป

การเลือกแบบจำลองรูปร่างของโลกเกี่ยวข้องกับการเลือกข้อดีและข้อเสียระหว่างทรงกลมกับทรงรี แบบจำลองทรงกลมมีประโยชน์สำหรับแผนที่ขนาดเล็ก เช่น แผนที่โลกและลูกโลก เนื่องจากข้อผิดพลาดในระดับนั้นมักไม่สังเกตเห็นได้หรือสำคัญพอที่จะต้องใช้ทรงรีที่ซับซ้อนกว่า แบบจำลองทรงรีมักใช้ในการสร้างแผนที่ภูมิประเทศและแผนที่ขนาดใหญ่และขนาดกลางอื่นๆ ที่จำเป็นต้องแสดงพื้นผิวโลกอย่างแม่นยำมักใช้เส้นละติจูดเสริม ในการฉายภาพทรงรี

แบบจำลองที่สามคือจีออยด์ซึ่งเป็นการแสดงรูปร่างของโลกที่ซับซ้อนและแม่นยำกว่า โดยสอดคล้องกับระดับน้ำทะเลเฉลี่ยหากไม่มีลม น้ำขึ้นน้ำลง หรือแผ่นดิน เมื่อเปรียบเทียบกับทรงรีที่เหมาะสมที่สุด แบบจำลองจีออยด์จะเปลี่ยนลักษณะของคุณสมบัติที่สำคัญ เช่น ระยะทางความสอดคล้องและความเท่าเทียมกันดังนั้น ในการฉายภาพจีออยด์ที่รักษาคุณสมบัติดังกล่าวไว้ เส้นตารางที่ทำแผนที่จะเบี่ยงเบนจากเส้นตารางของทรงรีที่ทำแผนที่ โดยปกติแล้วจีออยด์จะไม่ถูกใช้เป็นแบบจำลองโลกสำหรับการฉายภาพ เนื่องจากรูปร่างของโลกมีความสม่ำเสมอมาก โดยความโค้งของจีออยด์มีค่าน้อยกว่า 100 เมตรจากแบบจำลองทรงรี จากรัศมีโลก 6.3 ล้าน เมตร อย่างไรก็ตาม สำหรับวัตถุบนดาวเคราะห์ที่ไม่เป็นรูปทรงปกติ เช่นดาวเคราะห์น้อย บางครั้งจะใช้แบบจำลองที่คล้ายกับจีออยด์ในการฉายแผนที่^[²⁴^]^[²⁵^]^[²⁶^]^[²⁷^]^[²⁸^]

บางครั้งมีการใช้รูปทรงเรขาคณิตสามมิติอื่นๆ เป็นแบบทั่วไปสำหรับรูปทรงเทียบเท่าจีออยด์ของวัตถุขนาดเล็กกว่า ตัวอย่างเช่นไอโอ (Io)เหมาะที่จะจำลองด้วยทรงรีสามแกนหรือทรงรีขยายที่มี ความเยื้องศูนย์น้อย ส่วน ฮาอูเมีย (Haumea)มีรูปร่างเป็น ทรงรีจา โคบี (Jacobi ellipsoid ) โดยมี แกนเอก ยาวเป็นสองเท่าของแกน รองและแกนกลางยาวเป็นหนึ่งเท่าครึ่งของแกนรอง ดูข้อมูลเพิ่มเติมได้จากการฉายภาพบนแผนที่ของทรงรีสามแกน

การจำแนกประเภท

วิธีหนึ่งในการจำแนกประเภทการฉายภาพแผนที่คือการพิจารณาจากประเภทของพื้นผิวที่ใช้ฉายภาพโลก ในระบบนี้ กระบวนการฉายภาพจะถูกอธิบายว่าเป็นการวางพื้นผิวฉายภาพสมมติที่มีขนาดเท่ากับพื้นที่ศึกษาที่ต้องการสัมผัสกับส่วนหนึ่งของโลก ถ่ายโอนคุณลักษณะของพื้นผิวโลกไปยังพื้นผิวฉายภาพ จากนั้นคลี่และปรับขนาดพื้นผิวฉายภาพให้เป็นแผนที่แบนราบ พื้นผิวฉายภาพที่พบได้บ่อยที่สุดคือแบบทรงกระบอก (เช่นแผนที่เมอร์เคเตอร์ ) แบบทรงกรวย (เช่น แผนที่อัลเบอร์ส ) และแบบระนาบ (เช่น แผนที่สเตอริโอกราฟิก ) อย่างไรก็ตาม การฉายภาพทางคณิตศาสตร์จำนวนมากไม่ได้เข้ากับวิธีการฉายภาพทั้งสามนี้อย่างลงตัว ดังนั้นจึงมีการอธิบายหมวดหมู่อื่นๆ ที่คล้ายคลึงกันในเอกสารทางวิชาการ เช่น แบบเทียมทรงกรวย แบบเทียมทรงกระบอก แบบเทียมมุมอะซิมุท แบบย้อนกลับมุมอะซิมุท และ แบบหลาย ทรงกรวย

อีกวิธีหนึ่งในการจำแนกการฉายภาพคือการจำแนกตามคุณสมบัติของแบบจำลองที่การฉายภาพนั้นรักษาไว้ หมวดหมู่ที่พบได้บ่อย ได้แก่:

การรักษาทิศทาง ( เชิงมุมหรือเชิงจุด ) ซึ่งเป็นคุณลักษณะที่เป็นไปได้เฉพาะจากจุดหนึ่งหรือสองจุดไปยังจุดอื่น ๆ^{[ 10 ]}^{: 192}
การรักษารูปทรงในระดับท้องถิ่น ( แบบคอนฟอร์มอลหรือแบบออร์โธมอร์ฟิก )
การรักษาพื้นที่ ( พื้นที่เท่ากันหรือ พื้นที่ เท่าเทียมหรือสมมูลหรือออทาลิค )
การรักษาระยะห่าง ( เท่ากัน ) เป็นคุณลักษณะที่เกิดขึ้นได้เฉพาะระหว่างจุดหนึ่งหรือสองจุดกับจุดอื่นๆ ทุกจุด
การรักษาเส้นทางที่สั้นที่สุด ซึ่งเป็นคุณลักษณะที่คงอยู่เฉพาะในระบบการฉายภาพแบบกโนมอนิก เท่านั้น

เนื่องจากทรงกลมไม่ใช่พื้นผิวที่สามารถคลี่ออกได้จึงเป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างการฉายภาพแผนที่ที่ทั้งมีพื้นที่เท่ากันและสอดคล้องกับรูปทรงเดิม

การฉายภาพโดยพื้นผิว

พื้นผิวที่สามารถคลี่ออกได้ทั้งสามแบบ (ระนาบ ทรงกระบอก และทรงกรวย) เป็นแบบจำลองที่มีประโยชน์สำหรับการทำความเข้าใจ อธิบาย และพัฒนาการฉายภาพแผนที่ อย่างไรก็ตาม แบบจำลองเหล่านี้มีข้อจำกัดพื้นฐานสองประการ ประการแรก การฉายภาพโลกส่วนใหญ่ที่ใช้กันอยู่ไม่ได้อยู่ในหมวดหมู่ใดๆ เหล่านั้น ประการที่สอง แม้แต่การฉายภาพส่วนใหญ่ที่อยู่ในหมวดหมู่เหล่านั้น ก็ไม่สามารถทำได้โดยธรรมชาติผ่านการฉายภาพทางกายภาพ ดังที่LP Leeได้กล่าวไว้

ในคำจำกัดความข้างต้นไม่มีการอ้างอิงถึงทรงกระบอก กรวย หรือระนาบ การฉายภาพเรียกว่าทรงกระบอกหรือทรงกรวยเพราะสามารถถือได้ว่าพัฒนาบนทรงกระบอกหรือทรงกรวยแล้วแต่กรณี แต่เป็นการดีที่จะละเว้นการแสดงภาพทรงกระบอกและทรงกรวย เนื่องจากทำให้เกิดความเข้าใจผิดมากมาย โดยเฉพาะอย่างยิ่งกับการฉายภาพทรงกรวยที่มีเส้นขนานมาตรฐานสองเส้น: สามารถถือได้ว่าพัฒนาบนทรงกรวย แต่เป็นทรงกรวยที่ไม่มีความสัมพันธ์โดยตรงกับทรงกลม ในความเป็นจริง ทรงกระบอกและทรงกรวยให้คำอธิบายที่สะดวกแก่เรา แต่ไม่มีอะไรมากไปกว่านั้น^{[ 29 ]}

ข้อโต้แย้งของลีเกี่ยวข้องกับวิธีที่คำว่า ทรงกระบอกทรงกรวยและระนาบ (เชิงมุม) ถูกนำมาใช้ในเชิงนามธรรมในสาขาการฉายภาพแผนที่ หากแผนที่ถูกฉายเหมือนแสงที่ส่องผ่านลูกโลกไปยังพื้นผิวที่สามารถคลี่ออกได้ ระยะห่างของเส้นขนานก็จะขึ้นอยู่กับความเป็นไปได้ที่จำกัดมาก ตัวอย่างเช่น การฉายภาพทรงกระบอกแบบใดแบบหนึ่งดังต่อไปนี้:

เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า;
มีเส้นเมริเดียนแนวตั้งตรงที่เว้นระยะห่างเท่าๆ กัน
มีเส้นขนานตรงที่วางตัวอย่างสมมาตรโดยรอบเส้นศูนย์สูตร
เส้นขนานถูกจำกัดไว้ที่ตำแหน่งที่แสงส่องผ่านลูกโลกไปยังทรงกระบอก โดยแหล่งกำเนิดแสงอยู่ตามแนวเส้นที่เกิดจากการตัดกันของเส้นเมริเดียนหลักกับเส้นศูนย์สูตร และจุดศูนย์กลางของทรงกลม

(หากคุณหมุนลูกโลกก่อนฉายภาพ เส้นขนานและเส้นเมริเดียนอาจจะไม่ใช่เส้นตรงเสมอไป โดยปกติแล้วจะไม่คำนึงถึงการหมุนเพื่อวัตถุประสงค์ในการจัดประเภท)

ตำแหน่งที่แหล่งกำเนิดแสงแผ่กระจายไปตามแนวเส้นที่อธิบายไว้ในข้อจำกัดสุดท้ายนี้ คือสิ่งที่ทำให้เกิดความแตกต่างระหว่างการฉายภาพทรงกระบอก "ธรรมชาติ" ต่างๆ แต่คำว่า " ทรงกระบอก " ที่ใช้ในด้านการฉายภาพแผนที่นั้น ทำให้ข้อจำกัดสุดท้ายนี้ผ่อนคลายลงโดยสิ้นเชิง แทนที่จะเป็นเช่นนั้น เส้นขนานสามารถวางได้ตามอัลกอริทึมใดๆ ที่ผู้ออกแบบเห็นว่าเหมาะสมกับความต้องการของแผนที่ การฉายภาพแบบเมอร์เคเตอร์ที่มีชื่อเสียงนั้น การวางเส้นขนานไม่ได้เกิดขึ้นจากการฉายภาพ แต่เส้นขนานจะถูกวางในตำแหน่งที่จำเป็นเพื่อให้เป็นไปตามคุณสมบัติที่ว่า เส้นทางที่มีทิศทางคงที่ จะถูกแสดงเป็นเส้นตรงเสมอ

ทรงกระบอก

ทรงกระบอกปกติ

การฉายภาพทรงกระบอกแบบปกติ คือการฉายภาพใดๆ ที่เส้นเมริเดียนถูกกำหนดให้เป็นเส้นแนวตั้งที่มีระยะห่างเท่ากัน และเส้นละติจูด (เส้นขนาน) ถูกกำหนดให้เป็นเส้นแนวนอน

การแปลงเส้นเมริเดียนเป็นเส้นแนวตั้งสามารถมองเห็นภาพได้โดยการจินตนาการถึงทรงกระบอกที่มีแกนตรงกับแกนหมุนของโลก ทรงกระบอกนี้ถูกพันรอบโลก ฉายภาพลงบนโลก แล้วคลี่ออก

ด้วยรูปทรงเรขาคณิตของการสร้าง การฉายภาพทรงกระบอกจะยืดระยะทางจากทิศตะวันออกไปทิศตะวันตก ปริมาณการยืดจะเท่ากันที่ละติจูดใดๆ ที่เลือกไว้สำหรับการฉายภาพทรงกระบอกทั้งหมด และกำหนดโดยค่าตัดของละติจูดเป็นผลคูณของมาตราส่วนของเส้นศูนย์สูตร การฉายภาพทรงกระบอกต่างๆ แตกต่างกันเพียงแค่การยืดในทิศเหนือ-ใต้ (โดยที่ละติจูดกำหนดโดย φ):

การยืดตัวในแนวเหนือ-ใต้เท่ากับการยืดตัวในแนวตะวันออก-ตะวันตก ( sec φ ): มาตราส่วนตะวันออก-ตะวันตกตรงกับมาตราส่วนเหนือ-ใต้: มาตราส่วนทรงกระบอกแบบคอนฟอร์มอลหรือแบบเมอร์เคเตอร์ ; ซึ่งทำให้พื้นที่ในละติจูดสูงบิดเบี้ยวมากเกินไป
การยืดตัวในแนวเหนือ-ใต้เพิ่มขึ้นตามละติจูดเร็วกว่าการยืดตัวในแนวตะวันออก-ตะวันตก (sec ²φ ): การฉายภาพแบบทรงกระบอก (หรือทรงกระบอกกลาง ) ไม่เหมาะสมเนื่องจากการบิดเบือนแย่กว่าการฉายภาพแบบเมอร์เคเตอร์เสียอีก
การยืดตัวในแนวเหนือ-ใต้จะเพิ่มขึ้นตามละติจูด แต่ช้ากว่าการยืดตัวในแนวตะวันออก-ตะวันตก เช่นการฉายภาพทรงกระบอกของมิลเลอร์ (ส่วนที่⁠)4/5φ ) .
ระยะทางเหนือ-ใต้ไม่ยืดหรือบีบอัด (1): การฉายภาพแบบเอกรูปสี่เหลี่ยมหรือ "แผ่นสี่เหลี่ยม"
การบีอัดในแนวเหนือ-ใต้เท่ากับค่าโคไซน์ของละติจูด (ส่วนกลับของการยืดในแนวตะวันออก-ตะวันตก): การฉาย ภาพทรงกระบอกแบบพื้นที่เท่ากันการฉายภาพนี้มีรูปแบบเฉพาะหลายแบบที่แตกต่างกันเฉพาะค่าคงที่ของการปรับขนาด เช่น การฉายภาพ แบบ Gall–Petersหรือ Gall orthographic (ไม่บิดเบี้ยวที่เส้นขนาน 45°), Behrmann (ไม่บิดเบี้ยวที่เส้นขนาน 30°) และการ ฉายภาพ ทรงกระบอกแบบพื้นที่เท่ากันของ Lambert (ไม่บิดเบี้ยวที่เส้นศูนย์สูตร) เนื่องจากการฉายภาพนี้ปรับขนาดระยะทางในแนวเหนือ-ใต้ด้วยส่วนกลับของการยืดในแนวตะวันออก-ตะวันตก จึงรักษาพื้นที่ไว้ได้โดยแลกกับการเปลี่ยนแปลงรูปร่าง

ในกรณีแรก (ระบบเมอร์เคเตอร์) มาตราส่วนตะวันออก-ตะวันตกจะเท่ากับมาตราส่วนเหนือ-ใต้เสมอ ในกรณีที่สอง (ระบบทรงกระบอกกลาง) มาตราส่วนเหนือ-ใต้จะมากกว่ามาตราส่วนตะวันออก-ตะวันตกในทุกพื้นที่ที่อยู่ห่างจากเส้นศูนย์สูตร ส่วนกรณีที่เหลือแต่ละกรณีจะมีเส้นตัด คู่หนึ่ง ซึ่งเป็นเส้นละติจูดที่เหมือนกันสองเส้นที่มีเครื่องหมายตรงข้ามกัน (หรืออาจเป็นเส้นศูนย์สูตร) ที่มาตราส่วนตะวันออก-ตะวันตกตรงกับมาตราส่วนเหนือ-ใต้

การฉายภาพทรงกระบอกแบบปกติจะแสดงภาพโลกทั้งใบเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีขนาดจำกัด ยกเว้นในสองกรณีแรกที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้านั้นยืดออกไปจนมีความสูงไม่สิ้นสุดในขณะที่ความกว้างคงที่

ทรงกระบอกขวาง

การฉายภาพทรงกระบอกตามขวาง คือการฉายภาพทรงกระบอกที่ในกรณีสัมผัส จะใช้เส้นวงกลมใหญ่ตามแนวเส้นเมริเดียนเป็นเส้นสัมผัสสำหรับทรงกระบอก

ดู: เส้นเมอร์เค เตอร์แนวขวาง

ทรงกระบอกเฉียง

การฉายภาพทรงกระบอกเฉียงจะสอดคล้องกับวงกลมใหญ่ แต่ไม่สอดคล้องกับเส้นศูนย์สูตรและไม่สอดคล้องกับเส้นเมริเดียน

ทรงกระบอกเทียม

การฉายภาพแบบทรงกระบอกเสมือนแสดงเส้นเมริเดียนกลาง เป็นส่วนของเส้นตรง เส้นเมริเดียนอื่นๆ จะยาวกว่าเส้นเมริเดียนกลางและโค้งออกไปด้านนอก ห่างจากเส้นเมริเดียนกลาง การฉายภาพแบบทรงกระบอกเสมือนแสดงเส้นขนานเป็นเส้นตรง ตามแนวเส้นขนาน จุดแต่ละจุดบนพื้นผิวโลกจะถูกแสดงที่ระยะห่างจากเส้นเมริเดียนกลางซึ่งเป็นสัดส่วนกับความแตกต่างของลองจิจูดจากเส้นเมริเดียนกลาง ดังนั้น เส้นเมริเดียนจึงเว้นระยะห่างเท่าๆ กันตามแนวเส้นขนานที่กำหนด บนแผนที่แบบทรงกระบอกเสมือน จุดใดๆ ที่อยู่ห่างจากเส้นศูนย์สูตรมากกว่าจุดอื่นๆ จะมีละติจูดสูงกว่าจุดอื่นๆ ซึ่งรักษาความสัมพันธ์เหนือ-ใต้ไว้ คุณสมบัตินี้มีประโยชน์เมื่อใช้ในการแสดงปรากฏการณ์ที่ขึ้นอยู่กับละติจูด เช่น สภาพภูมิอากาศ ตัวอย่างของการฉายภาพแบบทรงกระบอกเสมือน ได้แก่:

ไซนูซอยดัลซึ่งเป็นการฉายภาพแบบเทียมทรงกระบอกครั้งแรกที่พัฒนาขึ้น บนแผนที่ เช่นเดียวกับในความเป็นจริง ความยาวของเส้นขนานแต่ละเส้นจะเป็นสัดส่วนกับโคไซน์ของละติจูด^{[ 30 ]}พื้นที่ของภูมิภาคใดๆ ก็ตามเป็นพื้นที่จริง
การฉายภาพแบบคอลลิญง (Collignon projection ) ซึ่งในรูปแบบที่พบได้บ่อยที่สุด จะแสดงเส้นเมริเดียนแต่ละเส้นเป็นส่วนของเส้นตรงสองเส้น โดยเส้นหนึ่งลากจากขั้วโลกแต่ละด้านไปยังเส้นศูนย์สูตร

โทเบลอร์ ไฮเปอร์อิลิปติคอล

มอลไวเดอ

กู๊ด โฮโมโลซีน

เอคเคิร์ตที่ 4

เอคเคิร์ตที่ 6

คาฟรายสกีที่ 7

ไฮบริด

ระบบ การฉายภาพ HEALPixผสมผสานการฉายภาพทรงกระบอกแบบพื้นที่เท่ากันในบริเวณเส้นศูนย์สูตรเข้ากับการฉายภาพ Collignonในบริเวณขั้วโลก

ทรงกรวย

คำว่าการฉายภาพแบบกรวยใช้เพื่ออ้างถึงการฉายภาพใดๆ ที่เส้นเมริเดียนถูกแมปไปยังเส้นที่เว้นระยะห่างเท่าๆ กันซึ่งแผ่ออกมาจากจุดยอด และวงกลมละติจูด (เส้นขนาน) ถูกแมปไปยังส่วนโค้งวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดยอด^{[ 31 ]}

ในการสร้างแผนที่ทรงกรวย ผู้สร้างแผนที่จะเลือกเส้นขนานมาตรฐานสองเส้นโดยพลการ เส้นขนานมาตรฐานเหล่านั้นอาจมองเห็นได้เป็นเส้นตัดที่กรวยตัดกับโลก หรือหากผู้สร้างแผนที่เลือกเส้นขนานเดียวกันสองครั้ง ก็อาจมองเห็นได้เป็นเส้นสัมผัสที่กรวยสัมผัสกับโลก แผนที่ทรงกรวยที่ได้จะมีค่าความบิดเบี้ยวต่ำในมาตราส่วน รูปร่าง และพื้นที่ใกล้กับเส้นขนานมาตรฐานเหล่านั้น ระยะทางตามเส้นขนานทางทิศเหนือของเส้นขนานมาตรฐานทั้งสองเส้นหรือทางทิศใต้ของเส้นขนานมาตรฐานทั้งสองเส้นจะยืดออก ในขณะที่ระยะทางตามเส้นขนานระหว่างเส้นขนานมาตรฐานจะถูกบีบอัด เมื่อใช้เส้นขนานมาตรฐานเพียงเส้นเดียว ระยะทางตามเส้นขนานอื่นๆ ทั้งหมดจะยืดออก

การฉายภาพแบบกรวยที่ใช้กันทั่วไป ได้แก่:

รูปทรงกรวยแบบระยะห่างเท่ากันซึ่งรักษาระยะห่างของเส้นขนานให้เท่าๆ กันตามแนวเส้นเมริเดียน เพื่อรักษาระดับระยะทางคงที่ตามแนวเส้นเมริเดียนแต่ละเส้น โดยทั่วไปจะมีขนาดเท่าหรือใกล้เคียงกับขนาดตามแนวเส้นขนานมาตรฐาน
แผนที่ทรงกรวยของอัลเบอร์สซึ่งปรับระยะทางเหนือ-ใต้ระหว่างเส้นขนานที่ไม่เป็นมาตรฐาน เพื่อชดเชยการยืดหรือหดตัวในแนวตะวันออก-ตะวันตก ทำให้ได้แผนที่ที่มีพื้นที่เท่ากัน
แผนที่ทรงกรวยแบบคอนฟอร์มอลของแลมเบิร์ตซึ่งปรับระยะทางเหนือ-ใต้ระหว่างเส้นขนานที่ไม่เป็นมาตรฐานให้เท่ากับการยืดตัวในทิศตะวันออก-ตะวันตก ทำให้ได้แผนที่แบบคอนฟอร์มอล

ซูโดโคนิก

บอนน์ (Bonne ) เป็นระบบการฉายภาพแบบพื้นที่เท่ากัน ซึ่งเส้นเมริเดียนและเส้นขนานส่วนใหญ่จะปรากฏเป็นเส้นโค้ง ระบบนี้มีเส้นขนานมาตรฐานที่สามารถกำหนดค่าได้ ซึ่งไม่มีการบิดเบือนใดๆ เกิดขึ้นตามแนวเส้นขนานนี้
พิกัดรูปหัวใจของเวอร์เนอร์ซึ่งระยะทางถูกต้องทั้งจากขั้วหนึ่งและตามแนวเส้นขนานทั้งหมด
การ ฉาย ภาพ แบบโพลีโคนิกของอเมริกาและการฉายภาพอื่นๆ ในกลุ่มการฉายภาพแบบโพลีโคนิก

ภาพฉายเชิงมุม (การฉายภาพลงบนระนาบ)

การฉายภาพแบบ อะซิมุทัลมีคุณสมบัติที่ว่าทิศทางจากจุดศูนย์กลางจะถูกรักษาไว้ ดังนั้นวงกลมใหญ่ที่ผ่านจุดศูนย์กลางจึงแสดงด้วยเส้นตรงบนแผนที่ การฉายภาพเหล่านี้ยังมีความสมมาตรแบบรัศมีในมาตราส่วนและดังนั้นจึงมีความสมมาตรในการบิดเบือนด้วย กล่าวคือ ระยะทางบนแผนที่จากจุดศูนย์กลางคำนวณโดยฟังก์ชันr ( d ) ของระยะทางจริงdโดยไม่ขึ้นอยู่กับมุม ในทำนองเดียวกัน วงกลมที่มีจุดศูนย์กลางเป็นจุดศูนย์กลางจะถูกแมปไปยังวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางเป็นจุดศูนย์กลางบนแผนที่

การสร้างแผนที่เส้นรัศมีสามารถมองเห็นได้โดยการจินตนาการถึงระนาบที่สัมผัสกับโลก โดยมีจุดศูนย์กลางเป็นจุดสัมผัส

มาตราส่วนรัศมีคือr′ ( d ) และมาตราส่วนตามขวางคือr ( d )/( R sin ⁠ ง/อาร์โดยที่ Rคือรัศมีของโลก

ภาพฉายอะซิมุทัลบางภาพเป็นภาพฉายทัศนียภาพ ที่แท้จริง กล่าวคือ สามารถสร้างขึ้นได้ด้วยวิธีเชิงกล โดยฉายพื้นผิวโลกด้วยการต่อเส้นจากจุดทัศนียภาพ (ตามแนวเส้นอนันต์ที่ผ่านจุดสัมผัสและจุดตรงข้าม ของจุดสัมผัส ) ไปยังระนาบ:

การฉายภาพแบบโนมอนิกแสดงวงกลมใหญ่เป็นเส้นตรง สามารถสร้างได้โดยใช้จุดมองภาพที่ศูนย์กลางของโลกr ( d ) = c tan ⁠ ง/อาร์;ดังนั้นแม้แต่ซีกโลกเดียวก็มีขนาดอนันต์แล้ว^{[ 32 ]}^{[ 33 ]}
การ ฉาย ภาพแบบออร์โธกราฟิกจะแมปแต่ละจุดบนโลกไปยังจุดที่ใกล้ที่สุดบนระนาบ สามารถสร้างได้จากมุมมองแบบเปอร์สเปคทีฟที่ระยะอนันต์จากจุดสัมผัสr ( d ) = c sin ⁠ ง/อาร์[ 34 ^{] สามารถแสดงได้ถึงครึ่งทรงกลมบนวงกลมที่}^มี^{ขอบเขต}จำกัด ภาพถ่ายของโลกจากระยะไกลพอสมควร เช่นดวงจันทร์จะให้มุมมองโดยประมาณเช่นนี้
การฉายภาพมุมมองด้านใกล้ ซึ่งจำลองมุมมองจากอวกาศที่ระยะทางจำกัด ดังนั้นจึงแสดงภาพน้อยกว่าครึ่งทรงกลมเต็ม เช่นที่ใช้ในThe Blue Marble 2012 ) ^{[ 35 ]}
การฉายภาพแบบทัศนียภาพทั่วไป ( General Perspective)สามารถสร้างขึ้นได้โดยใช้จุดมองภาพจากภายนอกโลก ภาพถ่ายของโลก (เช่น ภาพจากสถานีอวกาศนานาชาติ ) ให้ทัศนียภาพแบบนี้ เป็นการต่อยอดจากการฉายภาพแบบทัศนียภาพด้านใกล้ (near-sided perspective) โดยอนุญาตให้มีการเอียงได้
การฉายภาพแบบสเตอริโอกราฟิกซึ่งเป็นการฉายภาพแบบคอนฟอร์มอล สามารถสร้างได้โดยใช้จุดตรงข้าม ของจุดสัมผัส เป็นจุดของมุมมอง r ( d ) = c tan ⁠ ง/2 อาร์;มาตราส่วนคือ c /(2 R cos²⁠ ง/2 อาร์) .^{[ 36 ]}สามารถแสดงพื้นผิวทรงกลมเกือบทั้งหมดบนวงกลมที่มีขอบเขตจำกัด พื้นผิวทรงกลมทั้งหมดต้องการแผนที่อนันต์

การฉายภาพเชิงมุมแบบอื่นๆ ไม่ใช่ การฉายภาพ แบบเปอร์สเปคทีฟ ที่แท้จริง :

ระยะทางเชิงมุมเท่ากัน : r ( d ) = cd ; ผู้ใช้งาน วิทยุสมัครเล่นใช้เพื่อทราบทิศทางที่จะชี้เสาอากาศไปยังจุดหนึ่งและดูระยะทางไปยังจุดนั้น ระยะทางจากจุดสัมผัสบนแผนที่เป็นสัดส่วนกับระยะทางบนพื้นผิวโลก (; ^{[ 37 ]}สำหรับกรณีที่จุดสัมผัสคือขั้วโลกเหนือ โปรดดูธงของสหประชาชาติ )
แผนที่แลมเบิร์ตแบบพื้นที่เท่ากันเชิงมุมระยะห่างจากจุดสัมผัสบนแผนที่แปรผันตรงกับระยะทางเส้นตรงผ่านโลก: r ( d ) = c sin ⁠ ง/2 อาร์[ ³⁸^]
แผนที่เชิงมุมแบบลอการิทึมถูกสร้างขึ้นเพื่อให้ระยะห่างของแต่ละจุดจากจุดศูนย์กลางของแผนที่เท่ากับลอการิทึมของระยะห่างจากจุดสัมผัสบนโลกr ( d ) = c ln ⁠ ง/d ) ; ตำแหน่งที่อยู่ใกล้กว่าระยะทางที่เท่ากับค่าคงที่ d จะไม่แสดง^{[ 39 ]}

การเปรียบเทียบการฉายภาพเชิงมุมบางส่วนที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ 90 ° เหนือ ในมาตราส่วนเดียวกัน เรียงลำดับตามระดับความสูงของการฉายภาพในหน่วยรัศมีโลก ( คลิก เพื่อ ดูรายละเอียด )

ทรงหลายเหลี่ยม

การฉายภาพแผนที่แบบทรงหลายเหลี่ยมใช้รูปทรงหลายเหลี่ยมแบ่งโลกออกเป็นหน้าต่างๆ แล้วฉายภาพแต่ละหน้าลงบนโลก การฉายภาพแผนที่แบบทรงหลายเหลี่ยมที่เป็นที่รู้จักมากที่สุดคือแผนที่ไดแม็กซิออน ของบัคมินสเตอร์ ฟุลเลอ ร์

การฉายภาพโดยการรักษาคุณสมบัติทางเมตริก

คอนฟอร์มอล

การฉายภาพ แบบคอนฟอร์มอลหรือแบบออร์โธมอร์ฟิก จะรักษาค่ามุมในระดับท้องถิ่น ซึ่งหมายความว่ามันจะแปลงวงกลมขนาดเล็กมากที่มีขนาดคงที่ในทุกจุดบนโลก ไปเป็นวงกลมขนาดเล็กมากที่มีขนาดแตกต่างกันบนแผนที่ ในทางตรงกันข้าม การฉายภาพที่ไม่ใช่แบบคอนฟอร์มอลจะบิดเบือนวงกลมขนาดเล็กเหล่านั้นส่วนใหญ่ให้กลายเป็นวงรีที่บิดเบี้ยวผลที่สำคัญอย่างหนึ่งของการเป็นแบบคอนฟอร์มอลคือ มุมสัมพัทธ์ ณ แต่ละจุดบนแผนที่นั้นถูกต้อง และมาตราส่วนท้องถิ่น (แม้ว่าจะแตกต่างกันไปทั่วทั้งแผนที่) ในทุกทิศทางรอบจุดใดจุดหนึ่งจะคงที่ นี่คือตัวอย่างการฉายภาพแบบคอนฟอร์มอลบางส่วน:

เมอร์เคเตอร์ : เส้นรุมบ์แสดงด้วยส่วนของเส้นตรง
เมอร์เคเตอร์แนวดิ่ง
ภาพสามมิติ : วงกลมใดๆ บนทรงกลมไม่ว่าใหญ่หรือเล็ก จะแปลงเป็นวงกลมหรือเส้นตรงได้
รูสซิลล์
แลมเบิร์ต คอนฟอร์มอล คอน
การฉายภาพห้าส่วนแบบเพียร์ซ
การฉายภาพซีกโลกในสี่เหลี่ยมของอดัมส์
การฉายภาพซีกโลกในสี่เหลี่ยมจัตุรัสของกูโย่ว

พื้นที่เท่ากัน

แผนที่แบบรักษาพื้นที่เท่ากันจะคงค่าการวัดพื้นที่ไว้ โดยทั่วไปจะบิดเบือนรูปร่างเพื่อให้ได้ค่าดังกล่าว แผนที่แบบรักษาพื้นที่เท่ากันเรียกอีกอย่างว่า แผนที่สมมูลหรือแผนที่ออทาลิก ต่อไปนี้คือตัวอย่างการฉายภาพบางประเภทที่รักษาค่าพื้นที่ไว้:

อัลเบอร์ส โคนิก
บ็อกส์ ยูมอร์ฟิก
บอนน์
บอททอมลีย์
คอลลิญง
ทรงกระบอกที่มีพื้นที่เท่ากัน
เอคเคิร์ตที่ 2 , 4และ6
โลกที่เท่าเทียมกัน
การฉายภาพแบบ Gall orthographic (หรือที่รู้จักกันในชื่อ Gall–Peters หรือ Peters projection)
โฮโมโลซีนของกู๊ด
ค้อน
โฮโบ-ไดเออร์
แลมเบิร์ต อะซิมุทัล พื้นที่เท่ากัน
แลมเบิร์ตทรงกระบอกพื้นที่เท่ากัน
มอลไวเดอ
ไซนูซอยด์
สเตรเบ 1995
การฉายภาพทรงหลายเหลี่ยมแบบพื้นที่เท่ากันของสไนเดอร์ซึ่งใช้สำหรับตารางพิกัดทางภูมิศาสตร์
โทเบลอร์ ไฮเปอร์อิลิปติคอล
เวอร์เนอร์

ระยะห่างเท่ากัน

ถ้าความยาวของส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดสองจุดที่ฉายลงบนระนาบเป็นสัดส่วนกับระยะทางเชิงธรณีวิทยา (geodesic distance)ระหว่างจุดสองจุดที่ยังไม่ได้ฉายลงบนโลก เราจะกล่าวว่าระยะทางระหว่างจุดสองจุดนั้นได้รับการรักษาไว้ การฉายภาพแบบเท่ากัน (equidistant projection)จะรักษาระยะทางจากจุดพิเศษหนึ่งหรือสองจุดไปยังจุดอื่นๆ ทั้งหมด จุดพิเศษเหล่านั้นอาจถูกยืดออกเป็นส่วนของเส้นตรงหรือเส้นโค้งเมื่อฉายภาพ ในกรณีนั้น จุดบนส่วนของเส้นตรงหรือเส้นโค้งที่อยู่ใกล้กับจุดที่ต้องการวัดมากที่สุดจะต้องถูกนำมาใช้ในการวัดระยะทาง

จานสี่เหลี่ยมจัตุรัส : ระยะห่างจากขั้วโลกทั้งสองถูกรักษาไว้ โดยพิจารณาจากแนวเส้นศูนย์สูตร
ระยะห่างเชิงมุมเท่ากัน : ระยะห่างจากจุดศูนย์กลางและขอบจะคงที่
รูปทรงกรวยแบบระยะห่างเท่ากัน : ระยะห่างจากขั้วโลกทั้งสองจะคงที่ โดยพิจารณาจากด้านเส้นศูนย์สูตร
ระยะทางจากขั้วโลกเหนือตามแผนภูมิ รูปหัวใจของเวอร์เนอร์ได้รับการรักษาไว้ โดยพิจารณาจากแนวเส้นศูนย์สูตร
แผนที่แบบสองจุดที่มีระยะห่างเท่ากัน: ผู้ทำแผนที่เลือก "จุดควบคุม" สองจุดโดยพลการ โดยรักษาระยะห่างจากจุดควบคุมแต่ละจุดไว้

โนโมนิก

วงกลมใหญ่จะแสดงเป็นเส้นตรง:

การฉายภาพแบบโนมอนิก

เรโทรอะซิมุทัล

ทิศทางไปยังตำแหน่งคงที่ B (ทิศทาง ณ จุดเริ่มต้น A ของเส้นทางที่สั้นที่สุด) สอดคล้องกับทิศทางบนแผนที่จาก A ไป B:

ลิทโทรว์ — การฉายภาพแบบคอนฟอร์มอลเรโทรอะซิมุทัลเพียงแบบเดียว
ค้อนแบบเรโทรอะซิมุทัล —ยังคงรักษาระยะห่างจากจุดศูนย์กลางไว้ด้วย
เส้นเมริเดียนแนวตั้ง หรือที่รู้จักกัน ในชื่อเมกกะ หรือ กิบลัต ก็มีเส้นเมริเดียนแนวตั้งเช่นกัน

การคาดการณ์ประนีประนอม

การฉายภาพแบบประนีประนอมนั้นละทิ้งแนวคิดเรื่องการรักษาคุณสมบัติทางเมตริกอย่างสมบูรณ์แบบ โดยมุ่งหาจุดสมดุลระหว่างการบิดเบือน หรือเพียงแค่ทำให้สิ่งต่างๆ ดูถูกต้อง การฉายภาพประเภทนี้ส่วนใหญ่จะบิดเบือนรูปร่างในบริเวณขั้วโลกมากกว่าบริเวณเส้นศูนย์สูตร ตัวอย่างของการฉายภาพแบบประนีประนอมมีดังนี้:

ความเหมาะสมของการคาดการณ์สำหรับการใช้งาน

คณิตศาสตร์ของการฉายภาพไม่อนุญาตให้การฉายภาพแผนที่แบบใดแบบหนึ่งดีที่สุดสำหรับทุกสิ่ง^{[ 39 ]}จะต้องมีบางสิ่งที่บิดเบือนอยู่เสมอ ดังนั้นจึงมีการฉายภาพหลายแบบเพื่อรองรับการใช้งานแผนที่ที่หลากหลายและมาตราส่วนที่หลากหลาย

ระบบแผนที่ระดับชาติสมัยใหม่มักใช้แผนที่แบบ Transverse Mercatorหรือแบบใกล้เคียงสำหรับแผนที่ขนาดใหญ่เพื่อรักษาความสอดคล้องและความแปรผันของมาตราส่วนต่ำในพื้นที่ขนาดเล็ก สำหรับ แผนที่ ขนาดเล็กเช่น แผนที่ที่ครอบคลุมทวีปหรือทั่วโลก มีการใช้การฉายภาพหลายแบบตามความเหมาะสมของวัตถุประสงค์ เช่น^Winkel tripel , RobinsonและMollweide ^{[ 40} ] แผนที่อ้างอิงของโลกมักปรากฏบนการฉายภาพแบบประนีประนอมเนื่องจากความบิดเบี้ยวที่มีอยู่ในแผนที่โลกทุกแผนที่ การเลือกการฉายภาพจึงขึ้นอยู่กับความสวยงามเป็นส่วนใหญ่

แผนที่เฉพาะเรื่องโดยทั่วไปต้องใช้การฉายภาพแบบพื้นที่เท่ากันเพื่อให้ปรากฏการณ์ต่อหน่วยพื้นที่แสดงในสัดส่วนที่ถูกต้อง^{[ 41 ]} อย่างไรก็ตาม การแสดงอัตราส่วนพื้นที่อย่างถูกต้องจะทำให้รูปร่างบิดเบี้ยวมากกว่าแผนที่หลายๆ แผนที่ไม่ใช่แบบพื้นที่เท่ากัน

การฉายภาพแบบเมอร์เคเตอร์ซึ่งพัฒนาขึ้นเพื่อวัตถุประสงค์ในการนำทาง มักถูกนำมาใช้ในแผนที่โลกในกรณีที่การฉายภาพแบบอื่นจะเหมาะสมกว่า^{[ 42 ]}^{[ 43 ]}^{[ 44 ]}^{[ 45 ]}ปัญหานี้ได้รับการยอมรับมานานแล้วแม้กระทั่งนอกแวดวงวิชาชีพ ตัวอย่างเช่น บทบรรณาธิการ ของนิวยอร์กไทมส์ ในปี 1943 ระบุว่า:

ถึงเวลาแล้วที่จะต้องละทิ้ง [แผนที่เมอร์เคเตอร์] ไปใช้แผนที่ที่แสดงทวีปและทิศทางได้อย่างแม่นยำยิ่งขึ้น ... แม้ว่าการใช้งาน ... จะลดลง ... แต่ก็ยังคงได้รับความนิยมอย่างมากในฐานะแผนที่ติดผนัง เห็นได้ชัดว่าส่วนหนึ่งเป็นเพราะแผนที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้เติมเต็มพื้นที่ผนังรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้วยแผนที่ที่มากขึ้น และเห็นได้ชัดว่าความคุ้นเคยของมันทำให้ได้รับความนิยมมากขึ้น^{[ 7 ]}^{: 166}

ความขัดแย้งในช่วงทศวรรษ 1980 เกี่ยวกับแผนที่ปีเตอร์สกระตุ้นให้สมาคมแผนที่อเมริกัน (ปัจจุบันคือสมาคมแผนที่และสารสนเทศทางภูมิศาสตร์ ) ผลิตหนังสือเล่มเล็กหลายเล่ม (รวมถึงWhich Map Is Best ^{[ 46 ]} ) ซึ่งออกแบบมาเพื่อให้ความรู้แก่สาธารณชนเกี่ยวกับการฉายภาพแผนที่และการบิดเบือนในแผนที่ ในปี 1989 และ 1990 หลังจากมีการถกเถียงกันภายใน องค์กรทางภูมิศาสตร์ของอเมริกาเหนือ 7 แห่งได้มีมติแนะนำไม่ให้ใช้การฉายภาพแบบสี่เหลี่ยมผืนผ้าใดๆ (รวมถึง Mercator และ Gall–Peters) สำหรับแผนที่อ้างอิงของโลก^{[ 47 ]}^{[ 48 ]}

ดูเพิ่มเติม

ระบบพิกัดทางภูมิศาสตร์ – กรอบอ้างอิงสำหรับการวัดตำแหน่ง
ระบบสารสนเทศภูมิศาสตร์ ( GIS ) – ระบบสำหรับรวบรวม จัดการ และนำเสนอข้อมูลทางภูมิศาสตร์
ภูมิสารสนเทศศาสตร์ – การประยุกต์ใช้วิธีการทางวิทยาศาสตร์สารสนเทศในทางภูมิศาสตร์และธรณีศาสตร์
พิกัดกริด – ระบบพิกัดทางภูมิศาสตร์แบบคาร์ทีเซียน
รายชื่อการฉายภาพแผนที่
แบบแปลน (ภาพวาด) – ภาพวาดหรือแผนภาพที่ใช้เพื่ออธิบายวัตถุ
แผ่นยาง
การวางแนวแผนที่โดยให้ทิศใต้หันขึ้น – การวางแนวแผนที่
การทำ UV mapping – การฉายภาพพื้นผิวของโมเดล 3 มิติลงบนภาพ 2 มิติ
แผนที่โลก – แผนที่แสดงพื้นที่ส่วนใหญ่หรือทั้งหมดของพื้นผิวโลก
การฉายภาพทรงกลม – เทคนิคการฉายภาพวิดีโอ

ลิงก์ภายนอก

"อัลบั้มภาพฉายแผนที่" (PDF ) (12.6 MB)เอกสารวิชาการหมายเลข 1453 ของสำนักงานสำรวจทางธรณีวิทยาแห่งสหรัฐอเมริกา โดย จอห์น พี. สไนเดอร์ (USGS) และ ฟิลิป เอ็ม. ว็อกซ์แลนด์ (มหาวิทยาลัยมินนิโซตา) ปี 1989
"ภาพแสดงความหลากหลายของการฉายภาพแผนที่"คือภาพที่แสดงการบิดเบือนของภาพบนระบบการฉายภาพแผนที่หลากหลายรูปแบบในภาพเดียว
G.Projectorเป็นซอฟต์แวร์ฟรีที่สามารถสร้างภาพฉายได้หลายแบบ (เช่น ภาพจาก NASA GISS )
ภาพสีแสดงการฉายภาพและการบิดเบือนของแผนที่ (Mapthematics.com)
ลักษณะทางเรขาคณิตของการทำแผนที่: การฉายภาพแผนที่ (KartoWeb.itc.nl)
การฉายภาพแผนที่โลกด้วยภาษา Javaโดย Henry Bottomley (SE16.info)
การฉายภาพบนแผนที่ (MathWorld)
MapRef: แหล่งรวบรวมข้อมูลแผนที่และระบบอ้างอิงในยุโรปทางอินเทอร์เน็ต
โครงการที่ 4 – คลังภาพฉายแผนที่
ตาราง อ้างอิงการฉายภาพ ตัวอย่าง และคุณสมบัติของการฉายภาพทั่วไปทั้งหมด (RadicalCartography.net)
"ทำความเข้าใจเกี่ยวกับการฉายภาพบนแผนที่" (PDF ) (1.70 MB) , เมลิตา เคนเนดี้ ( Esri ).
การฉายภาพแผนที่โลกโดยสตีเฟน วูลฟรามอ้างอิงจากผลงานของ ยู-ซุง ชาง ( โครงการสาธิตของวูลฟราม )
เปรียบเทียบการฉายภาพแผนที่
หน้า "ขนาดที่แท้จริง" – เปรียบเทียบขนาดของประเทศต่างๆ โดยไม่มีการบิดเบือนพื้นที่
โปรแกรมจำลองการฉายภาพ – การฉายภาพตามขอบเขตทางภูมิศาสตร์

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

4 ] [

5 ] การ

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[

[

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[

[

[

[

[

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

] สามารถแสดงได้ถึงครึ่งทรงกลมบนวงกลมที่

[ 35 ]

[ 36 ]

[ 37 ]

38

[ 39 ]

Winkel

[ 41 ]

[ 42 ]

[ 43 ]

[ 44 ]

[ 45 ]

[ 46 ]

[ 47 ]

[ 48 ]