ในทางคณิตศาสตร์ลิมิตโดยตรงคือวิธีการสร้างวัตถุ (โดยทั่วไปจะมีขนาดใหญ่) จากวัตถุ (โดยทั่วไปจะมีขนาดเล็กกว่า) จำนวนมากที่นำมารวมกันในลักษณะเฉพาะ วัตถุเหล่านี้อาจเป็นกลุ่มวงแหวนปริภูมิเวกเตอร์หรือโดยทั่วไปแล้วเป็นวัตถุจากหมวดหมู่ ใดๆ ก็ได้ วิธีการรวมกันนั้นระบุโดยระบบของโฮโมมอร์ฟิซึม ( โฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่ม โฮโมมอร์ ฟิซึมของวงแหวนหรือโดยทั่วไปแล้วคือ มอร์ฟิซึม ในหมวดหมู่) ระหว่างวัตถุขนาดเล็กเหล่านั้น ลิมิตโดยตรงของวัตถุโดยที่ครอบคลุมเซตที่มีทิศทาง บางเซต จะถูกแทนด้วยสัญลักษณ์นี้ละเว้นระบบของโฮโมมอร์ฟิซึม แต่ลิมิตนั้นขึ้นอยู่กับระบบของโฮโมมอร์ฟิซึม ${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \varinjlim A_{i}}$

ลิมิตโดยตรงเป็นกรณีพิเศษของแนวคิดโคลิมิตในทฤษฎีหมวดหมู่ลิมิตโดยตรงเป็นคู่ตรงข้ามกับลิมิตผกผันซึ่งเป็นกรณีพิเศษของลิมิตในทฤษฎีหมวดหมู่

เราจะเริ่มจากการให้คำจำกัดความของโครงสร้างทางพีชคณิตเช่นกลุ่มและโมดูลจากนั้นจึงให้คำจำกัดความทั่วไป ซึ่งสามารถนำไปใช้ได้ในทุกหมวดหมู่

ในส่วนนี้ วัตถุต่างๆ จะหมายถึงเซต พื้นฐานที่มี โครงสร้างทางพีชคณิตที่กำหนดไว้เช่นกลุ่มวงแหวนโมดูล (เหนือวงแหวนที่กำหนด) พีชคณิต(เหนือฟิลด์ ที่กำหนด ) เป็นต้น ด้วยเหตุนี้ โฮ โมมอร์ฟิซึมจึงถูกเข้าใจในบริบทที่สอดคล้องกัน ( โฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มเป็นต้น)

ให้เป็นเซตที่มีทิศทางให้เป็นกลุ่มของวัตถุที่มีดัชนีเป็นและ เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมสำหรับทุก ที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ${\displaystyle \langle I,\leq \rangle }$${\displaystyle \{A_{i}:i\in I\}}$${\displaystyle I\,}$${\displaystyle f_{ij}\colon A_{i}\rightarrow A_{j}}$${\displaystyle i\leq j}$

1. ${\displaystyle f_{ii}\,}$คือเอกลักษณ์บนและ${\displaystyle A_{i}\,}$
2. ${\displaystyle f_{ik}=f_{jk}\circ f_{ij}}$สำหรับทุกคน${\displaystyle i\leq j\leq k}$

ดังนั้นคู่ดังกล่าว จึงเรียกว่าระบบโดยตรงเหนือ${\displaystyle \langle A_{i},f_{ij}\rangle }$${\displaystyle I}$

ลิมิตโดยตรงของระบบโดยตรงจะถูกแทนด้วยและกำหนดดังนี้ เซตพื้นฐานของมันคือการรวมกันแบบไม่ทับซ้อนกันของ ' s โดย พิจารณาความสัมพันธ์สมมูลบางอย่าง: ${\displaystyle \langle A_{i},f_{ij}\rangle }$${\displaystyle \varinjlim A_{i}}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle \sim \,}$

${\displaystyle \varinjlim A_{i}=\bigsqcup _{i}A_{i}{\bigg /}\sim .}$

ในที่นี้ ถ้าและแล้วก็ต่อเมื่อมีบางค่าที่มีและที่ทำให้โดยสัญชาตญาณแล้ว สององค์ประกอบในผลรวมที่ไม่ทับซ้อนกันจะเทียบเท่ากันก็ต่อเมื่อพวกมัน "ในที่สุดก็จะเท่ากัน" ในระบบโดยตรง สูตรที่เทียบเท่ากันซึ่งเน้นความเป็นคู่กันกับลิมิตผกผันคือ องค์ประกอบหนึ่งเทียบเท่ากับภาพทั้งหมดของมันภายใต้แผนที่ของระบบโดยตรง กล่าวคือเมื่อใดก็ตามที่ ${\displaystyle x_{i}\in A_{i}}$${\displaystyle x_{j}\in A_{j}}$${\displaystyle x_{i}\sim \,x_{j}}$${\displaystyle k\in I}$${\displaystyle i\leq k}$${\displaystyle j\leq k}$${\displaystyle f_{ik}(x_{i})=f_{jk}(x_{j})\,}$${\displaystyle x_{i}\sim \,f_{ij}(x_{i})}$${\displaystyle i\leq j}$

จากนิยามนี้ เราจะได้ฟังก์ชันมาตรฐาน ที่ส่งแต่ละองค์ประกอบไปยังชั้นสมมูลของมัน การดำเนินการทางพีชคณิตบนถูกกำหนดไว้เพื่อให้แผนที่เหล่านี้กลายเป็นโฮโมมอร์ฟิซึม ในทางรูปธรรม ลิมิตโดยตรงของระบบโดยตรงประกอบด้วยวัตถุพร้อมกับโฮโมมอร์ฟิซึมมาตรฐาน ${\displaystyle \phi _{j}\colon A_{j}\rightarrow \varinjlim A_{i}}$${\displaystyle \varinjlim A_{i}\,}$${\displaystyle \langle A_{i},f_{ij}\rangle }$${\displaystyle \varinjlim A_{i}}$${\displaystyle \phi _{j}\colon A_{j}\rightarrow \varinjlim A_{i}}$

ลิมิตโดยตรงสามารถกำหนดได้ในหมวด หมู่ใดๆ โดยใช้คุณสมบัติสากลให้เป็นระบบโดยตรงของวัตถุและมอร์ฟิซึมใน(ตามที่นิยามไว้ข้างต้น) เป้าหมายคือคู่โดยที่เป็นวัตถุในและเป็นมอร์ฟิซึมสำหรับแต่ละโดยที่เมื่อใดก็ตาม ที่ ลิมิตโดยตรงของระบบโดยตรงคือเป้าหมายที่ผลักกันอย่างสากลในความหมายที่ว่าเป็นเป้าหมาย และสำหรับแต่ละเป้าหมายจะมีมอร์ฟิซึมที่ไม่ซ้ำกันเพียงตัวเดียวโดยที่สำหรับแต่ละiแผนภาพต่อไปนี้ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \langle X_{i},f_{ij}\rangle }$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \langle X,\phi _{i}\rangle }$${\displaystyle X\,}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \phi _{i}\colon X_{i}\rightarrow X}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle \phi _{i}=\phi _{j}\circ f_{ij}}$${\displaystyle i\leq j}$${\displaystyle \langle X_{i},f_{ij}\rangle }$${\displaystyle \langle X,\phi _{i}\rangle }$${\displaystyle \langle X,\phi _{i}\rangle }$${\displaystyle \langle Y,\psi _{i}\rangle }$${\displaystyle u\colon X\rightarrow Y}$${\displaystyle u\circ \phi _{i}=\psi _{i}}$

จากนั้นจะสลับที่กันสำหรับ ทุกiและj

โดยทั่วไปลิมิตโดยตรงจะถูกแสดงด้วยสัญลักษณ์

${\displaystyle X=\varinjlim X_{i}}$

โดยที่ระบบโดยตรงและมอร์ฟิซึมแบบแคนอนิก(หรือกล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นคือ การแทรกแบบแคนอนิก) เป็นที่เข้าใจกัน ${\displaystyle \langle X_{i},f_{ij}\rangle }$${\displaystyle \phi _{i}}$${\displaystyle \iota _{i}}$

แตกต่างจากวัตถุเชิงพีชคณิต ไม่ใช่ทุกระบบโดยตรงในหมวดหมู่ใดๆ จะมีลิมิตโดยตรง อย่างไรก็ตาม หากมี ลิมิตโดยตรงนั้นจะมีเอกลักษณ์ในความหมายที่เข้มงวด กล่าวคือ เมื่อกำหนดลิมิตโดยตรงอีกตัวหนึ่งX ′ แล้ว จะมีไอโซมอร์ฟิซึมX ′ → X ที่ไม่ซ้ำ กันเพียงหนึ่งเดียว ซึ่งสลับตำแหน่งกับมอร์ฟิซึมแบบแคนอนิกได้

• กลุ่มของเซตย่อยของเซตหนึ่งสามารถเรียงลำดับได้บางส่วนโดยการรวม หากกลุ่มนั้นมีทิศทาง ลิมิตโดยตรงของกลุ่มนั้นคือการรวมกันของเซตย่อยเหล่านั้น${\displaystyle M_{i}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \bigcup M_{i}}$
• ในทำนองเดียวกัน ชุดของกลุ่มย่อยที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดของกลุ่มที่กำหนดสามารถเรียงลำดับได้บางส่วนโดยการรวม กลุ่มย่อยที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดจำนวนชุดหนึ่งนั้นบรรจุอยู่ในกลุ่มย่อยที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดดังนั้นเซตดัชนีจึงมีทิศทาง ด้วยมอร์ฟิซึมการรวมขีดจำกัดโดยตรงจึงเป็นเพียง (สมมูลกับ) ผลลัพธ์ที่คล้ายกันนี้ใช้ได้กับริง โมดูล พีชคณิต ฯลฯ โปรดทราบว่าข้อกำหนดของการสร้างอย่างจำกัดอาจอ่อนลงได้ ตราบใดที่เซตดัชนียังคงมีทิศทาง${\displaystyle H_{i}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \{\langle X_{1}\rangle ,\langle X_{2}\rangle ,\dots \langle X_{n}\rangle \}}$${\displaystyle \langle \ถ้วย X_{i}\rangle }$${\displaystyle f_{i,j}:H_{i}\to H_{j}}$${\displaystyle G}$
• โทโพโลยีแบบอ่อนของคอมเพล็กซ์ CWถูกกำหนดให้เป็นลิมิตโดยตรง
• ให้เป็นเซตทิศทางใดๆ ที่มีสมาชิกที่ใหญ่ที่สุด คือ ลิมิตโดยตรงของระบบโดยตรงที่สอดคล้องกันใดๆ จะเป็นไอโซมอร์ฟิกกับและมอร์ฟิซึมแบบแคนอนิกเป็นไอโซมอร์ฟิซึม${\displaystyle I}$${\displaystyle m}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{m}}$${\displaystyle \phi _{m}:X_{m}\rightarrow X}$
• ให้Kเป็นฟิลด์ สำหรับจำนวนเต็มบวกnให้พิจารณากลุ่มเชิงเส้นทั่วไป GL( n;K ) ซึ่งประกอบด้วยเมทริกซ์n x n ที่ผกผันได้ โดยมีสมาชิกจาก Kเรามีโฮโมมอร์ฟิซึมกลุ่ม GL( n;K ) → GL( n +1; K ) ที่ขยายเมทริกซ์โดยการใส่ 1 ที่มุมล่างขวาและศูนย์ที่ตำแหน่งอื่นในแถวและคอลัมน์สุดท้าย ลิมิตโดยตรงของระบบนี้คือกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปของKซึ่งเขียนแทนด้วย GL( K ) สมาชิกของ GL( K ) สามารถคิดได้ว่าเป็นเมทริกซ์ผกผันได้อนันต์ที่แตกต่างจากเมทริกซ์เอกลักษณ์อนันต์เพียงจำนวนสมาชิกที่จำกัดเท่านั้น กลุ่ม GL( K ) มีความสำคัญอย่างยิ่งในทฤษฎีพีชคณิต K
• ให้pเป็นจำนวนเฉพาะพิจารณาระบบโดยตรงที่ประกอบด้วยกลุ่มตัวประกอบ และโฮโมมอร์ฟิซึมที่เกิดจากการคูณด้วยp ลิมิตโดยตรงของระบบนี้ประกอบด้วยรากทั้งหมดของเอกภาพอันดับกำลังของp และเรียกว่ากลุ่มPrüfer${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /p^{n+1}\mathbb {Z} }$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$
• มีการส่งฟังก์ชันแบบหนึ่งต่อหนึ่ง (ที่ไม่ชัดเจน) จากวงแหวนของพหุนามสมมาตรในตัวแปรไปยังวงแหวนของพหุนามสมมาตรในตัวแปร การสร้างลิมิตโดยตรงของระบบโดยตรงนี้จะให้ผลลัพธ์เป็นวงแหวนของฟังก์ชันสมมาตร${\displaystyle n}$${\displaystyle n+1}$
• ให้Fเป็นชีฟที่มีค่าเป็นCบนปริภูมิเชิงทอพอโลยีXกำหนดจุดxในXย่านเปิดรอบจุดxจะประกอบกันเป็นเซตทิศทางที่เรียงลำดับโดยการรวม ( U ≤ Vก็ต่อเมื่อUประกอบด้วยV ) ระบบทิศทางที่สอดคล้องกันคือ ( F ( U ), r )) โดยที่rคือแผนที่การจำกัด ลิมิตทิศทางของระบบนี้เรียกว่าก้านของFที่จุดxซึ่งเขียนแทนด้วยF( ) สำหรับแต่ละย่านUของ จุด xมอร์ฟิซึมแบบแคนอนิกF ( U ) → F( จะเชื่อมโยงส่วนsของFเหนือU กับ องค์ประกอบs( ของก้านF( ซึ่งเรียกว่าเจิร์มของsที่จุดx
• ลิมิตโดยตรงในหมวดหมู่ของปริภูมิเชิงทอพอโลยีได้มาจากการวางทอพอโลยีสุดท้ายลงบนลิมิตโดยตรงเชิงเซตพื้นฐาน
• ind -schemeคือลิมิตเชิงอุปนัยของ schemes ต่างๆ

ลิมิตโดยตรงเชื่อมโยงกับลิมิตผกผันผ่านทาง

${\displaystyle \mathrm {Hom} (\varinjlim X_{i},Y)=\varprojlim \mathrm {Hom} (X_{i},Y)}$

คุณสมบัติที่สำคัญอย่างหนึ่งคือ การหาลิมิตโดยตรงในหมวดหมู่ของโมดูลเป็นฟังก์ชันที่แม่นยำซึ่งหมายความว่าสำหรับระบบลำดับที่แม่นยำแบบสั้น ใดๆ ลำดับของลิมิตโดยตรงก็จะแม่นยำเช่นกัน ${\displaystyle 0\to A_{i}\to B_{i}\to C_{i}\to 0}$${\displaystyle 0\to \varinjlim A_{i}\to \varinjlim B_{i}\to \varinjlim C_{i}\to 0}$

เราสังเกตว่าระบบโดยตรงในหมวดหมู่หนึ่งๆสามารถอธิบายได้อีกแบบหนึ่งโดยใช้ฟังก์ชันเซตที่มีทิศทางใดๆ ก็สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นหมวดหมู่ขนาดเล็กที่มีวัตถุเป็นองค์ประกอบและมีมอร์ฟิซึม ก็ ต่อเมื่อ ระบบโดยตรงเหนือจึงเหมือนกับฟังก์ชันโคแวเรียนต์ โคลิมิตของฟังก์ชันนี้ก็เหมือนกับลิมิตโดยตรงของระบบโดยตรงดั้งเดิม ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \langle I,\leq \rangle }$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {I}}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle i\ลูกศรขวา j}$${\displaystyle i\leq j}$${\displaystyle I}$${\displaystyle {\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$

แนวคิดที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับลิมิตโดยตรงคือโคลิมิตแบบกรองที่นี่เราเริ่มต้นด้วยฟังก์ชันโคแวเรียนต์จากหมวดหมู่แบบกรองไปยังหมวดหมู่บางหมวดหมู่และสร้างโคลิมิตของฟังก์ชันนี้ สามารถแสดงได้ว่าหมวดหมู่มีลิมิตโดยตรงทั้งหมดก็ต่อเมื่อมีโคลิมิตแบบกรองทั้งหมด และฟังก์ชันที่กำหนดบนหมวดหมู่ดังกล่าวจะสลับกับลิมิตโดยตรงทั้งหมดก็ต่อเมื่อสลับกับโคลิมิตแบบกรองทั้งหมด^{[ 1 ]}${\displaystyle {\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {J}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

เมื่อกำหนดหมวดหมู่ใดๆ ก็ตามอาจมีระบบโดยตรงในหมวด หมู่ นั้นที่ไม่มีลิมิตโดยตรงในหมวดหมู่นั้น(ลองพิจารณาหมวดหมู่ของเซตจำกัด หรือหมวดหมู่ของกลุ่มอาเบเลียนที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด ) ในกรณีนี้ เราสามารถฝังลงในหมวดหมู่ที่มีลิมิตโดยตรงทั้งหมดได้เสมอ วัตถุของ เรียกว่าวัตถุอินดิก ของ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\text{Ind}}({\mathcal {C}})}$${\displaystyle {\text{Ind}}({\mathcal {C}})}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

คู่เชิงหมวดหมู่ของลิมิตโดยตรงเรียกว่าลิมิตผกผันดังที่กล่าวมาข้างต้น ลิมิตผกผันสามารถมองได้ว่าเป็นลิมิตของฟังก์ชันบางอย่าง และมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับลิมิตเหนือหมวดหมู่ที่มีการกรองร่วม

ในเอกสารทางวิชาการ เราจะพบคำศัพท์ต่างๆ เช่น "ขีดจำกัดแบบกำหนดทิศทาง" "ขีดจำกัดแบบอุปนัยโดยตรง" "ขีดจำกัดร่วมแบบกำหนดทิศทาง" "ขีดจำกัดร่วมโดยตรง" และ "ขีดจำกัดแบบอุปนัย" สำหรับแนวคิดของขีดจำกัดโดยตรงที่นิยามไว้ข้างต้น อย่างไรก็ตาม คำว่า "ขีดจำกัดแบบอุปนัย" นั้นมีความกำกวม เนื่องจากผู้เขียนบางคนใช้คำนี้สำหรับแนวคิดทั่วไปของขีดจำกัดร่วม

• ข้อจำกัดโดยตรงของกลุ่ม