พื้นที่แยกส่วน

ในทางโทโพโลยี ปริภูมิ แบบไม่ต่อเนื่องเป็นตัวอย่างที่เรียบง่ายเป็นพิเศษของปริภูมิโทโพโลยีหรือโครงสร้างที่คล้ายคลึงกัน ซึ่งจุดต่างๆ เรียงตัวเป็นลำดับที่ไม่ต่อเนื่องหมายความว่าจุดเหล่านั้นแยกออกจากกันในแง่หนึ่ง โทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่องเป็น โทโพโลยี ที่ละเอียดที่สุดที่สามารถกำหนดให้กับเซตได้ ทุกเซตย่อยเป็น เซต เปิดในโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่อง ดังนั้นโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ทุกเซตย่อยที่มีสมาชิกเพียงตัวเดียวจะเป็นเซตเปิดในโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่อง

คำจำกัดความ

กำหนดให้เซต: $X$

ที่โทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่องบนถูกกำหนดโดยการให้เซตย่อยทุกเซตของ เป็นเซตเปิด^[¹^] (และด้วยเหตุนี้จึงเป็นเซตปิด) และเป็น $X$ $X$ $X$ พื้นที่โทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่องหากมันมีโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่องของมัน
ที่ความสม่ำเสมอแบบไม่ต่อเนื่องบนถูกกำหนดโดยการให้ทุกเซตย่อยของเส้นทแยงมุมในเป็นกลุ่มล้อมรอบและเป็น $X$ $\{(x,x):x\in X\}$ $X\times X$ $X$ พื้นที่สม่ำเสมอแบบไม่ต่อเนื่องหากมีคุณสมบัติความสม่ำเสมอแบบไม่ต่อเนื่องอยู่แล้ว
ที่เมตริกแบบไม่ต่อเนื่องบนถูกกำหนดโดยสำหรับใดๆในกรณีนี้เรียกว่า $\rho$ $X$ $\rho (x,y)={\begin{cases}0&{\text{ถ้า}}\ x=y,\\1&{\text{ถ้า}}\ x\neq y\end{cases}}$ $x,y\in X.$ $(X,\rho )$ ปริภูมิเมตริกแบบไม่ต่อเนื่องหรือปริภูมิของจุดที่แยกโดดเดี่ยว
เอปริภูมิย่อยแบบไม่ต่อเนื่องของปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่กำหนดให้หมายถึงปริภูมิย่อยเชิงทอพอโลยีของ(เซตย่อยของพร้อมด้วยทอพอโลยีของปริภูมิย่อยที่เหนี่ยวนำบนเซตนั้น) ซึ่งมีทอพอโลยีเท่ากับทอพอโลยีแบบไม่ต่อเนื่อง ตัวอย่างเช่น ถ้ามีทอพอโลยีแบบยุคลิดแล้ว(พร้อมด้วยทอพอโลยีของปริภูมิย่อย) จะเป็นปริภูมิย่อยแบบไม่ต่อเนื่องของแต่ไม่ใช่ $(Y,\tau )$ $(Y,\tau )$ $Y$ $(Y,\tau )$ $Y:=\mathbb {R}$ $S={\bigl \{}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots {\bigr \}}$ $\mathbb {R}$ $S\cup \{0\}$
เซต หนึ่งเรียกว่าเซตไม่ต่อเนื่องในปริภูมิเมตริกถ้าสำหรับทุก ๆจะมีบางค่า(ขึ้นอยู่กับ) ที่ทำให้สำหรับทุก ๆ; เซตดังกล่าวประกอบด้วยจุดที่แยกเดี่ยวเซตหนึ่งเรียกว่าเซตไม่ต่อเนื่องสม่ำเสมอในปริภูมิเมตริกถ้าจะมีค่า ที่ทำให้สำหรับจุดสองจุดที่แตกต่างกันใด ๆ $S$ $(X,d),$ $S\subseteq X,$ $x\in S,$ $\delta >0$ $x$ $d(x,y)>\delta$ $y\in S\setminus \{x\}$ $S$ $(X,d),$ $S\subseteq X,$ $\varepsilon >0$ $x,y\in S,d(x,y)>\varepsilon .$

กล่าวได้ว่าปริภูมิเมตริก เป็น ปริภูมิแบบไม่ต่อเนื่องสม่ำเสมอถ้ามีอยู่จริง $(E,d)$ รัศมีการบรรจุ เพื่อให้สำหรับหนึ่งใดจะมีอย่างใดอย่างหนึ่งหรือ^[²^] โทโพโลยีที่อยู่เบื้องหลังปริภูมิเมตริกสามารถเป็นแบบไม่ต่อเนื่องได้ โดยที่เมตริกไม่จำเป็นต้องเป็นแบบไม่ต่อเนื่องอย่างสม่ำเสมอ: ตัวอย่างเช่น เมตริกปกติบนเซต $r>0$ $x,y\in E,$ $x=y$ $d(x,y)>r.$ $\left\{2^{-n}:n\in \mathbb {N} _{0}\right\}.$

พิสูจน์ว่าปริภูมิแบบไม่ต่อเนื่องไม่จำเป็นต้องเป็นปริภูมิแบบไม่ต่อเนื่องสม่ำเสมอเสมอไป

ลองพิจารณาเซตนี้โดยใช้เมตริกปกติบนจำนวนจริง แล้วจะเป็นปริภูมิไม่ต่อเนื่อง เนื่องจากสำหรับแต่ละจุดเราสามารถล้อมรอบจุดนั้นด้วยช่วงเปิดที่ ดังนั้น จุดตัดจึงเป็นเซตที่มีสมาชิกเดียวอย่างเห็นได้ชัดเนื่องจากจุดตัดของเซตเปิดของจำนวนจริงและเป็นเซตเปิดสำหรับโทโพโลยีที่เหนี่ยวนำ จึงสรุปได้ว่าเป็นเซตเปิด ดังนั้นเซตที่มีสมาชิกเดียวจึงเป็นเซตเปิด และเป็นปริภูมิไม่ต่อเนื่อง ${\textstyle X={\bigl \{}2^{-n}:n\in \mathbb {N} _{0}{\bigr \}}={\bigl \{}1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}},\dots {\bigr \}},}$ $X$ $x_{n}=2^{-n}\in X,$ $(x_{n}-\varepsilon ,x_{n}+\varepsilon ),$ $\varepsilon ={\tfrac {1}{2}}\left(x_{n}-x_{n+1}\right)=2^{-(n+2)}.$ $\left(x_{n}-\varepsilon ,x_{n}+\varepsilon \right)\cap X$ $\{x_{n}\}.$ $X$ $\{x_{n}\}$ $X$

อย่างไรก็ตามไม่สามารถเป็นแบบไม่ต่อเนื่องได้อย่างสม่ำเสมอ เพื่อให้เข้าใจเหตุผล ลองสมมติว่ามีอยู่จริงที่ทำให้เมื่อใดก็ตามที่ก็เพียงพอที่จะแสดงว่ามีจุดอย่างน้อยสองจุดและในที่อยู่ใกล้กันมากกว่าเนื่องจากระยะห่างระหว่างจุดที่อยู่ติดกันและคือเราจึงต้องหาค่าที่สอดคล้องกับอสมการนี้: $X$ $r>0$ $d(x,y)>r$ $x\neq y.$ $x$ $y$ $X$ $r.$ $x_{n}$ $x_{n+1}$ $2^{-(n+1)},$ $n$ ${\begin{aligned}2^{-(n+1)}&<r\\1&<2^{n+1}r\\r^{-1}&<2^{n+1}\\\log _{2}\left(r^{-1}\right)&<n+1\\-\log _{2}(r)&<n+1\\-1-\log _{2}(r)&<n\end{aligned}}$

เนื่องจากมีค่ามากกว่าจำนวนจริงใดๆ เสมอ จึงสรุปได้ว่าจะมีจุดอย่างน้อยสองจุดในค่า ที่อยู่ใกล้กันมากกว่าค่าบวกใดๆดังนั้น ค่า จึง ไม่ต่อเนื่องอย่างสม่ำเสมอ $n$ $X$ $r,$ $X$

คุณสมบัติ

ความสม่ำเสมอพื้นฐานในปริภูมิเมตริกแบบไม่ต่อเนื่องคือความสม่ำเสมอแบบไม่ต่อเนื่อง และโทโพโลยีพื้นฐานในปริภูมิสม่ำเสมอแบบไม่ต่อเนื่องคือโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่อง ดังนั้น แนวคิดที่แตกต่างกันของปริภูมิแบบไม่ต่อเนื่องจึงเข้ากันได้ ในทางกลับกัน โทโพโลยีพื้นฐานของปริภูมิสม่ำเสมอหรือเมตริกที่ไม่ต่อเนื่องอาจเป็นแบบไม่ต่อเนื่องได้ ตัวอย่างเช่น ปริภูมิเมตริก(ที่มีเมตริกที่สืบทอดมาจากเส้นจำนวนจริงและกำหนดโดย) นี่ไม่ใช่เมตริกแบบไม่ต่อเนื่อง นอกจากนี้ ปริภูมินี้ไม่สมบูรณ์และดังนั้นจึงไม่ต่อเนื่องในฐานะปริภูมิสม่ำเสมอ อย่างไรก็ตาม มันเป็นแบบไม่ต่อเนื่องในฐานะปริภูมิทางโทโพโลยี เรากล่าวว่าเป็นแบบไม่ต่อเนื่องทางโท โพโลยี แต่ไม่เป็นแบบไม่ต่อเนื่องสม่ำเสมอหรือแบบไม่ต่อเนื่องทางเมตริก $X=\{n^{-1}:n\in \mathbb {N} \}$ $d(x,y)=\left|xy\right|$ $X$

นอกจากนี้:

มิติเชิงโทโพโลยีของปริภูมิแบบไม่ต่อเนื่องมีค่าเท่ากับ 0
ปริภูมิเชิงทอพอโลยีจะเป็นปริภูมิไม่ต่อเนื่องก็ต่อเมื่อเซตที่มีสมาชิกเดียว ในปริภูมินั้น เป็นเซตเปิด ซึ่งจะเป็นเช่นนั้นก็ต่อเมื่อปริภูมินั้นไม่มีจุดสะสม ใดๆ อยู่ เลย
เซตเอกลักษณ์เป็นพื้นฐานสำหรับโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่อง
ปริภูมิเอกรูปจะเป็นปริภูมิไม่ต่อเนื่องก็ต่อเมื่อเส้นทแยงมุมเป็นเส้นกำกับ $X$ $\{(x,x):x\in X\}$
ปริภูมิเชิงทอพอโลยีแบบไม่ต่อเนื่องทุกปริภูมิเป็นไปตามสัจพจน์การแยก ทุกข้อ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ปริภูมิแบบไม่ต่อเนื่องทุกปริภูมิเป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟนั่นคือ เป็นปริภูมิที่แยกออกจากกันได้
ปริภูมิแบบไม่ต่อเนื่องจะเป็นปริภูมิกระชับ ก็ต่อเมื่อเป็นปริภูมิจำกัด
ปริภูมิเอกรูปหรือปริภูมิเมตริกแบบไม่ต่อเนื่องทุกปริภูมิล้วนสมบูรณ์
เมื่อนำข้อเท็จจริงทั้งสองข้างต้นมารวมกัน ปริภูมิเอกรูปหรือปริภูมิเมตริกแบบไม่ต่อเนื่องทุกปริภูมิจะมีขอบเขตโดยสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อปริภูมินั้นเป็นปริภูมิจำกัด
ปริภูมิเมตริกแบบไม่ต่อเนื่องทุกปริภูมิมีขอบเขตจำกัด
ปริภูมิแบบไม่ต่อเนื่องทุกปริภูมิสามารถนับได้เป็นอันดับแรก และจะนับได้ เป็นอันดับสองก็ต่อเมื่อปริภูมินั้นสามารถนับได้
พื้นที่แต่ละส่วนแยกออกจากกันโดยสิ้นเชิง
ช่องว่างแบบไม่ว่างเปล่าทุกช่องจัดอยู่ในประเภทที่สอง
ปริภูมิสองปริภูมิที่ไม่ต่อเนื่องกันใดๆ ที่มี จำนวนสมาชิกเท่ากันจะเป็นปริภูมิโฮโมมอร์ฟิกกัน
พื้นที่แบบไม่ต่อเนื่องทุกพื้นที่สามารถกำหนดเป็นเมตริกได้ (โดยใช้เมตริกแบบไม่ต่อเนื่อง)
ปริภูมิจำกัดจะสามารถกำหนดเมตริกได้ก็ต่อเมื่อเป็นปริภูมิแบบไม่ต่อเนื่องเท่านั้น
ถ้าเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี และเป็นเซตที่บรรจุทอพอโลยีแบบไม่ต่อเนื่อง แล้วจะถูกคลุมอย่างสม่ำเสมอโดย(แผนที่การฉายภาพคือการคลุมที่ต้องการ) $X$ $Y$ $X$ $X\times Y$
โทโพโลยีของปริภูมิย่อยบนจำนวนเต็มในฐานะปริภูมิย่อยของเส้นจำนวนจริงคือ โทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่อง
ปริภูมิแบบไม่ต่อเนื่องจะเรียกว่าปริภูมิที่แยกได้ก็ต่อเมื่อปริภูมินั้นเป็นปริภูมิที่นับได้
ปริภูมิย่อยเชิงโทโพโลยีใดๆ ของ(ที่มีโทโพโลยีแบบยุคลิด ตามปกติ ) ที่เป็นแบบไม่ต่อเนื่องจะต้องนับได้^[³^] $\mathbb {R}$

ฟังก์ชันใดๆ จากปริภูมิเชิงทอพอโลยีแบบไม่ต่อเนื่อง ไปยังปริภูมิเชิงทอพอโลยีอีกปริภูมิหนึ่ง จะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง และฟังก์ชันใดๆ จากปริภูมิเอกรูปไม่ต่อเนื่อง ไปยังปริภูมิเอกรูปอีกปริภูมิหนึ่ง จะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องเอกรูป นั่นคือ ปริภูมิแบบไม่ ต่อเนื่อง เป็นอิสระบนเซตในหมวดหมู่ของปริภูมิเชิงทอพอโลยีและแผนที่ต่อเนื่อง หรือในหมวดหมู่ของปริภูมิเอกรูปและแผนที่ต่อเนื่องเอกรูป ข้อเท็จจริงเหล่านี้เป็นตัวอย่างของปรากฏการณ์ที่กว้างกว่ามาก ซึ่งโครงสร้างแบบไม่ต่อเนื่องมักจะเป็นอิสระบนเซต $X$ $X$

ในกรณีของปริภูมิเมตริก เรื่องราวจะซับซ้อนกว่า เพราะมีปริภูมิเมตริกหลายประเภท ขึ้นอยู่กับสิ่งที่เราเลือกสำหรับมอร์ฟิซึม แน่นอนว่าปริภูมิเมตริกแบบไม่ต่อเนื่องจะเป็นปริภูมิอิสระเมื่อมอร์ฟิซึมทั้งหมดเป็นแผนที่ต่อเนื่องสม่ำเสมอหรือแผนที่ต่อเนื่องทั้งหมด แต่สิ่งนี้ไม่ได้บอกอะไรที่น่าสนใจเกี่ยวกับโครงสร้าง เมตริก เพียงแต่บอกถึงโครงสร้างสม่ำเสมอหรือโครงสร้างเชิงโทโพโลยีเท่านั้น หมวดหมู่ที่เกี่ยวข้องกับโครงสร้างเมตริกมากขึ้นสามารถพบได้โดยการจำกัดมอร์ฟิซึมให้เป็น แผนที่ ต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์หรือแผนที่สั้นอย่างไรก็ตาม หมวดหมู่เหล่านี้ไม่มีวัตถุอิสระ (บนองค์ประกอบมากกว่าหนึ่งตัว) แต่ปริภูมิเมตริกแบบไม่ต่อเนื่องเป็นปริภูมิอิสระในหมวดหมู่ของ ปริภูมิ เมตริกที่มีขอบเขตและแผนที่ต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์ และเป็นปริภูมิอิสระในหมวดหมู่ของปริภูมิเมตริกที่มีขอบเขตโดย 1 และแผนที่สั้น กล่าวคือ ฟังก์ชันใด ๆ จากปริภูมิเมตริกแบบไม่ต่อเนื่องไปยังปริภูมิเมตริกที่มีขอบเขตอื่นจะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์ และฟังก์ชันใด ๆ จากปริภูมิเมตริกแบบไม่ต่อเนื่องไปยังปริภูมิเมตริกที่มีขอบเขตโดย 1 จะเป็นฟังก์ชันสั้น

ในทางกลับกัน ฟังก์ชันจากปริภูมิเชิงทอพอโลยีไปยังปริภูมิเชิงดิสครีตจะต่อเนื่องก็ต่อเมื่อเป็นฟังก์ชันคงที่ในระดับท้องถิ่นกล่าวคือ ทุกจุดในปริภูมิ เชิงทอพอโลยี จะมีบริเวณใกล้เคียงที่ฟังก์ชันมีค่าคงที่ $f$ $Y$ $X$ $Y$ $f$

อัลตราฟิลเตอร์ ทุกตัวบนเซตที่ไม่ว่างเปล่าสามารถเชื่อมโยงกับโทโพโลยีบนเซตนั้นได้ โดยมีคุณสมบัติว่าเซตย่อยแท้ที่ไม่ว่างเปล่าทุกตัวของ เซตนั้น จะเป็นเซตเปิด หรือ เซตปิดอย่างใดอย่างหนึ่งแต่จะไม่เป็นทั้งสองอย่างพร้อมกัน กล่าว อีกนัยหนึ่ง เซตย่อย ทุกตัวเป็นเซตเปิดหรือเซตปิด แต่ (ตรงกันข้ามกับโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่อง) เซตย่อย เพียงสองเซตเท่านั้นที่เป็นทั้งเซตเปิดและเซตปิด (กล่าวคือclopen ) คือ เซต และในขณะที่ ในโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่อง เซตย่อย ทุกตัวของเซตนั้นเป็นทั้งเซตเปิดและเซตปิด ${\คณิตศาสตร์ {U}}$ $X$ $\tau ={\mathcal {U}}\cup \left\{\varnothing \right\}$ $X$ $S$ $X$ $\varnothing$ $X$ $X$

ตัวอย่างและการใช้งาน

โครงสร้างแบบไม่ต่อเนื่องมักถูกใช้เป็น "โครงสร้างเริ่มต้น" บนเซตที่ไม่มีโทโพโลยี ความสม่ำเสมอ หรือเมตริกตามธรรมชาติอื่นใด โครงสร้างแบบไม่ต่อเนื่องมักถูกใช้เป็นตัวอย่าง "สุดขั้ว" เพื่อทดสอบสมมติฐานเฉพาะ ตัวอย่างเช่นกลุ่ม ใดๆ ก็สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นกลุ่มโทโพโลยีโดยการให้โทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่องแก่กลุ่มนั้น ซึ่งหมายความว่าทฤษฎีบทเกี่ยวกับกลุ่มโทโพโลยีใช้ได้กับทุกกลุ่ม อันที่จริง นักวิเคราะห์อาจเรียกกลุ่มธรรมดาที่ไม่ใช่โทโพโลยีซึ่งนักพีชคณิตศึกษาว่า " กลุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง " ในบางกรณี สิ่งนี้สามารถนำไปใช้ได้อย่างมีประโยชน์ ตัวอย่างเช่น ในการรวมกับทฤษฎีบทคู่ของปอนทรียาจิน แม นิโฟลด์ 0 มิติ (หรือแมนิโฟลด์ที่หาอนุพันธ์ได้หรือแมนิโฟลด์เชิงวิเคราะห์) ก็คือปริภูมิโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่องและนับได้ (ปริภูมิแบบไม่ต่อเนื่องที่นับไม่ได้จะไม่สามารถนับได้แบบลำดับที่สอง) ดังนั้นเราจึงสามารถมองกลุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่นับได้ใดๆ ว่าเป็น กลุ่มลี 0 มิติได้

ผลคูณของสำเนาอนันต์ที่นับได้ของปริภูมิไม่ต่อเนื่อง ของ จำนวนธรรมชาติเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับปริภูมิของจำนวนอตรรกยะ โดยโฮมีโอเมอร์ฟิซึมกำหนดโดย การขยายเศษส่วนต่อเนื่องผลคูณของสำเนาอนันต์ที่นับได้ของปริภูมิไม่ต่อเนื่องเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับเซตแคนเตอร์และในความเป็นจริงเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกแบบเอกรูปกับเซตแคนเตอร์หากเราใช้ความเอกรูปของผล คูณ โฮมีโอเมอร์ฟิซึมดังกล่าวได้มาจากการใช้สัญกรณ์ไตรภาคของจำนวน (ดูปริภูมิแคนเตอร์ ) ไฟเบอร์ ทุกตัว ของฟังก์ชันที่ฉีดเฉพาะที่จำเป็นต้องเป็นปริภูมิย่อยไม่ต่อเนื่องของโดเมน ของ มัน $\{0,1\}$

ในพื้นฐานของคณิตศาสตร์การศึกษา คุณสมบัติ ความกะทัดรัดของผลคูณของจำนวนเฉพาะเป็นหัวใจสำคัญของแนวทางเชิงโทโพโลยีสำหรับทฤษฎีบทอัลตราฟิลเตอร์ (หรือเทียบเท่ากับทฤษฎีบทอุดมคติเฉพาะของบูลีน ) ซึ่งเป็นรูปแบบอ่อนของสัจพจน์ของการเลือก $\{0,1\}$

พื้นที่ที่ไม่แยกส่วน

ในบางแง่ สิ่งที่ตรงข้ามกับโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่องก็คือโทโพโลยีแบบไม่สำคัญ (หรือเรียกว่าโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่อง ) ซึ่งมีเซตเปิดน้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ (มีเพียงเซตว่างและปริภูมิเอง) ในขณะที่โทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่องเป็นแบบเริ่มต้นหรือแบบอิสระ โทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่องจะเป็นแบบสุดท้ายหรือแบบร่วมอิสระ กล่าว คือ ทุกฟังก์ชันจากปริภูมิโทโพโลยีไปยังปริภูมิแบบไม่ต่อเนื่องจะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง เป็นต้น

ดูเพิ่มเติม

[

[

[