ในทางสถิติและทฤษฎีความน่าจะ เป็น สัมประสิทธิ์ สหสัมพันธ์ระยะทางเป็นการวัดความสัมพันธ์ ระหว่าง เวกเตอร์สุ่มสองคู่ ที่มี มิติใดๆ ก็ได้ ไม่จำเป็นต้องเท่ากันสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ระยะทางของประชากรจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อเวกเตอร์สุ่มทั้งสองเป็นอิสระต่อกันดังนั้น สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ระยะทางจึงวัดความสัมพันธ์ ทั้งเชิงเส้นและไม่เชิงเส้น ระหว่างตัวแปรสุ่มหรือเวกเตอร์สุ่มสองตัว ซึ่งแตกต่างจากสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สันที่สามารถตรวจจับได้เฉพาะความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างตัวแปรสุ่ม สองตัว เท่านั้น

สามารถใช้ค่าสหสัมพันธ์ระยะทางในการทดสอบ ความสัมพันธ์ ทางสถิติด้วยการทดสอบการเรียงสับเปลี่ยนได้โดยขั้นตอนแรกคือการคำนวณค่าสหสัมพันธ์ระยะทาง (ซึ่งเกี่ยวข้องกับการปรับศูนย์กลางของเมทริกซ์ระยะทางแบบยุคลิด) ระหว่างเวกเตอร์สุ่มสองตัว จากนั้นเปรียบเทียบค่านี้กับค่าสหสัมพันธ์ระยะทางของการสลับข้อมูลหลายๆ ครั้ง

การวัดความสัมพันธ์แบบคลาสสิกสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์เพียร์สัน [ ^{1 ] นั้น}ไวต่อความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างตัวแปรสองตัวเป็นหลัก สหสัมพันธ์ระยะทางได้รับการแนะนำในปี 2548 โดยGábor J. Székely ในการบรรยายหลายครั้งเพื่อแก้ไขข้อบกพร่องของ สหสัมพันธ์เพียร์สันกล่าวคือ สหสัมพันธ์สามารถเป็นศูนย์ได้ง่ายสำหรับตัวแปรที่ขึ้นอยู่กันสหสัมพันธ์ = 0 (ไม่มีความสัมพันธ์กัน) ไม่ได้หมายความถึงความเป็นอิสระ ในขณะที่สหสัมพันธ์ระยะทาง = 0 หมายความถึงความเป็นอิสระ ผลลัพธ์แรกเกี่ยวกับสหสัมพันธ์ระยะทางได้รับการตีพิมพ์ในปี 2550 และ 2552 ^{[ 2 ] [ 3 ]}ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าความแปรปรวนร่วมระยะทางนั้นเหมือนกับความแปรปรวนร่วมแบบบราวน์^{[ 3 ]}การวัดเหล่านี้เป็นตัวอย่างของระยะทางพลังงาน

ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ระยะทางได้มาจากการคำนวณจากปริมาณอื่นๆ ที่ใช้ในการกำหนดสูตร โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ได้แก่ความแปรปรวนระยะทางค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานระยะทางและความแปรปรวนร่วมระยะทาง ปริมาณเหล่านี้มีบทบาทเช่นเดียวกับ โมเมนต์ทั่วไปที่มีชื่อตรงกันในการกำหนดสูตรของค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์แบบเพียร์สัน

เริ่มต้นด้วยนิยามของความแปรปรวนร่วมระยะทางของตัวอย่างให้ ( X _k ,  Y _k ), k  = 1, 2, ..., nเป็นตัวอย่างทางสถิติจากคู่ของตัวแปรสุ่มค่าจริงหรือเวกเตอร์ ( X ,  Y ) ขั้นแรก คำนวณเมทริกซ์ระยะทางขนาดn x n ( a _{j , k} ) และ ( b _{j , k} ) ที่ประกอบด้วย ระยะทางระหว่างคู่ทั้งหมด

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{j,k}&=\|X_{j}-X_{k}\|,\qquad j,k=1,2,\ldots ,n,\\b_{j,k}&=\|Y_{j}-Y_{k}\|,\qquad j,k=1,2,\ldots ,n,\end{aligned}}}$

โดยที่ ||⋅ || หมายถึงนอร์มแบบยุคลิดจากนั้นให้พิจารณาระยะทางที่มีจุดศูนย์กลางสองจุดทั้งหมด

${\displaystyle A_{j,k}:=a_{j,k}-{\overline {a}}_{j\cdot }-{\overline {a}}_{\cdot k}+{\overline {a}}_{\cdot \cdot },\qquad B_{j,k}:=b_{j,k}-{\overline {b}}_{j\cdot }-{\overline {b}}_{\cdot k}+{\overline {b}}_{\cdot \cdot },}$

โดยที่คือค่าเฉลี่ยของ แถวที่ j , คือค่าเฉลี่ยของ คอลัมน์ที่ kและคือค่าเฉลี่ยรวมของเมทริกซ์ระยะทางของ ตัวอย่าง Xสัญลักษณ์จะคล้ายกันสำหรับ ค่า b (ในเมทริกซ์ระยะทางแบบศูนย์กลาง ( A _{j , k} ) และ ( B _{j , k} ) ผลรวมของทุกแถวและทุกคอลัมน์เป็นศูนย์) ค่าความแปรปรวนร่วมของระยะทางตัวอย่าง ยกกำลังสอง (ค่าสเกลาร์) คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของผลคูณA _{j , k} และ B _{j , k} : ${\displaystyle \textstyle {\overline {a}__{j\cdot }}$${\displaystyle \textstyle {\overline {a}__{\cdot k}}$${\displaystyle \textstyle {\overline {a}__{\cdot \cdot }}$

${\displaystyle \operatorname {dCov} _{n}^{2}(X,Y):={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}A_{j,k}\,B_{j,k}.}$

สถิติT _n = n dCov ² _n ( X , Y ) กำหนดการทดสอบความเป็นอิสระแบบหลายตัวแปรที่สอดคล้องกัน ^ของเวกเตอร์สุ่มในมิติใดๆ สำหรับการใช้งาน โปรดดู ฟังก์ชัน dcov.testใน แพ็คเกจ energyสำหรับR [ ^{4 ]}

ค่าประชากรของความแปรปรวนระยะทางสามารถกำหนดได้ในทำนองเดียวกัน ให้Xเป็นตัวแปรสุ่มที่รับค่าในปริภูมิยูคลิดp มิติด้วย การแจกแจงความน่าจะเป็นμและให้Yเป็นตัวแปรสุ่มที่รับค่าใน ปริภูมิยูคลิด qมิติด้วยการแจกแจงความน่าจะเป็นνและสมมติว่าXและYมีค่าคาดหวังจำกัด เขียน

${\displaystyle a_{\mu }(x):=\operatorname {E} [\|X-x\|],\quad D(\mu ):=\operatorname {E} [a_{\mu }(X)],\quad d_{\mu }(x,x'):=\|x-x'\|-a_{\mu }(x)-a_{\mu }(x')+D(\mu ).}$

สุดท้ายนี้ ให้กำหนดค่าประชากรของค่าความแปรปรวนร่วมระยะทางกำลังสองของXและYดังนี้

${\displaystyle \operatorname {dCov} ^{2}(X,Y):=\operatorname {E} {\big [}d_{\mu }(X,X')d_{\nu }(Y,Y'){\big ]}.}$

เราสามารถแสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้เทียบเท่ากับคำจำกัดความต่อไปนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {dCov} ^{2}(X,Y):={}&\operatorname {E} [\|X-X'\|\,\|Y-Y'\|]+\operatorname {E} [\|X-X'\|]\,\operatorname {E} [\|Y-Y'\|]\\&\qquad {}-\operatorname {E} [\|X-X'\|\,\|Y-Y''\|]-\operatorname {E} [\|X-X''\|\,\|Y-Y'\|]\\={}&\operatorname {E} [\|X-X'\|\,\|Y-Y'\|]+\operatorname {E} [\|X-X'\|]\,\operatorname {E} [\|Y-Y'\|]\\&\qquad {}-2\operatorname {E} [\|X-X'\|\,\|Y-Y''\|],\end{aligned}}}$

โดยที่Eหมายถึงค่าที่คาดหวัง และและเป็นตัวแปรสุ่มอิสระและมีการกระจายเหมือนกัน ตัวแปรสุ่มไพรม์และหมายถึงสำเนาของตัวแปร และ ที่มีการกระจายเหมือนกันและเป็นอิสระ (iid) และ และ ก็เป็น iid ในทำนองเดียวกัน^{[ 5 ]}ความแปรปรวนของระยะทางสามารถแสดงได้ในรูปของความแปรปรวน ของเพียร์สันแบบคลาสสิ ก covดังนี้: ${\displaystyle \textstyle (X,Y),}$${\displaystyle \textstyle (X',Y'),}$${\displaystyle \textstyle (X'',Y'')}$${\displaystyle \textstyle (X',Y')}$${\displaystyle \textstyle (X'',Y'')}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \operatorname {dCov} ^{2}(X,Y)=\operatorname {cov} (\|X-X'\|,\|Y-Y'\|)-2\operatorname {cov} (\|X-X'\|,\|Y-Y''\|).}$

เอกลักษณ์นี้แสดงให้เห็นว่าความแปรปรวนร่วมของระยะทางไม่เหมือนกับความแปรปรวนร่วมของระยะทางcov(‖ X − X' ‖, ‖ Y − Y' ‖ ) ซึ่งอาจเป็นศูนย์ได้แม้ว่าXและYจะไม่เป็นอิสระต่อกัน ก็ตาม ^{[ 6 ]}

อีกทางเลือกหนึ่ง ความแปรปรวนระยะทางสามารถกำหนดได้เป็น นอร์ม L ²แบบ ถ่วงน้ำหนัก ของระยะทางระหว่างฟังก์ชันลักษณะ ร่วม ของตัวแปรสุ่มและผลคูณของฟังก์ชันลักษณะขอบของตัวแปรสุ่มเหล่านั้น: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle \operatorname {dCov} ^{2}(X,Y)={\frac {1}{c_{p}c_{q}}}\int _{\mathbb {R} ^{p+q}}{\frac {\left|\varphi _{X,Y}(s,t)-\varphi _{X}(s)\varphi _{Y}(t)\right|^{2}}{|s|_{p}^{1+p}|t|_{q}^{1+q}}}\,dt\,ds}$

โดยที่, , และเป็นฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของ( X , Y ), XและYตามลำดับp , qแทนมิติยุคลิดของ XและYและดังนั้นของsและtและc _p , c _qเป็นค่าคงที่ฟังก์ชันน้ำหนักถูกเลือกเพื่อสร้างการวัดที่สมมาตรตามมาตราส่วนและไม่เปลี่ยนแปลงตาม การหมุน ซึ่งไม่เป็นศูนย์สำหรับตัวแปรตาม^{[ 7 ] [ 8 ]}การตีความหนึ่งของคำจำกัดความของฟังก์ชันลักษณะเฉพาะคือตัวแปรe ^isXและe ^itYเป็นการแสดงแบบวัฏจักรของXและYที่มีคาบต่างกันซึ่งกำหนดโดยsและtและนิพจน์ϕ _{X , Y} ( s , t ) − ϕ _X ( s ) ϕ _Y ( t ) ในตัวเศษของคำจำกัดความของฟังก์ชันลักษณะ เฉพาะของความแปรปรวนระยะทางคือความแปรปรวนแบบคลาสสิกของe ^isXและe ^itYนิยามของฟังก์ชันลักษณะเฉพาะแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่า dCov ² ( X , Y ) = 0 ก็ต่อเมื่อXและYเป็นอิสระต่อกัน ${\displaystyle \varphi _{X,Y}(s,t)}$${\displaystyle \varphi _{X}(s)}$${\displaystyle \varphi _{Y}(t)}$${\displaystyle ({c_{p}c_{q}}{|s|_{p}^{1+p}|t|_{q}^{1+q}})^{-1}}$

ความแปรปรวนตามระยะทางเป็นกรณีพิเศษของความแปรปรวนร่วมตามระยะทางเมื่อตัวแปรทั้งสองเหมือนกัน ค่าความแปรปรวนตามระยะทางในประชากรคือรากที่สองของ

${\displaystyle \operatorname {dVar} ^{2}(X):=\operatorname {E} [\|X-X'\|^{2}]+\operatorname {E} ^{2}[\|X-X'\|]-2\operatorname {E} [\|X-X'\|\,\|X-X''\|],}$

โดยที่, , และเป็น ตัวแปรสุ่มอิสระที่มีการ แจกแจง เหมือนกัน , แทนค่าที่คาดหวังและสำหรับฟังก์ชันเช่น${\displaystyle X}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle X''}$${\displaystyle \operatorname {E} }$${\displaystyle f^{2}(\cdot )=(f(\cdot ))^{2}}$${\displaystyle f(\cdot )}$${\displaystyle \operatorname {E} ^{2}[\cdot ]=(\operatorname {E} [\cdot ])^{2}}$

ความแปรปรวน ของระยะทางตัวอย่างคือรากที่สองของ

${\displaystyle \operatorname {dVar} _{n}^{2}(X):=\operatorname {dCov} _{n}^{2}(X,X)={\tfrac {1}{n^{2}}}\sum _{k,\ell }A_{k,\ell }^{2},}$

ซึ่งเป็นญาติของความแตกต่างเฉลี่ยของCorrado Giniที่นำเสนอในปี พ.ศ. 2455 (แต่ Gini ไม่ได้ทำงานกับระยะทางศูนย์กลาง) ^{[ 9 ]}

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของระยะทางคือรากที่สองของ ค่าความ แปรปรวน ของระยะทาง

ความสัมพันธ์ระยะทาง^{[ 2 ] [ 3 ]}ของตัวแปรสุ่มสองตัวได้มาจากการหารความแปรปรวนระยะทางด้วยผลคูณของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานระยะทางความสัมพันธ์ระยะทางคือรากที่สองของ

${\displaystyle \operatorname {dCor} ^{2}(X,Y)={\frac {\operatorname {dCov} ^{2}(X,Y)}{\sqrt {\operatorname {dVar} ^{2}(X)\,\operatorname {dVar} ^{2}(Y)}}},}$

และค่าสหสัมพันธ์ระยะทางของตัวอย่างจะถูกกำหนดโดยการแทนที่ค่าความแปรปรวนร่วมระยะทางของตัวอย่างและค่าความแปรปรวนระยะทางด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของประชากรข้างต้น

สำหรับการคำนวณความสัมพันธ์ระยะห่างของตัวอย่างอย่างง่าย โปรดดู^{ฟังก์ชัน} dcorใน แพ็คเกจ พลังงานสำหรับR [ ^{4 ]}

คุณสมบัติข้อสุดท้ายนี้เป็นผลกระทบที่สำคัญที่สุดของการทำงานโดยใช้ระยะห่างแบบกึ่งกลาง

สถิตินี้เป็นตัวประมาณค่าที่มีอคติของภายใต้ความเป็นอิสระของ X และ Y ^{[ 10 ]}${\displaystyle \operatorname {dCov} _{n}^{2}(X,Y)}$${\displaystyle \operatorname {dCov} ^{2}(X,Y)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [\operatorname {dCov} _{n}^{2}(X,Y)]&={\frac {n-1}{n^{2}}}\left\{(n-2)\operatorname {dCov} ^{2}(X,Y)+\operatorname {E} [\|X-X'\|]\,\operatorname {E} [\|Y-Y'\|]\right\}\\[6pt]&={\frac {n-1}{n^{2}}}\operatorname {E} [\|X-X'\|]\,\operatorname {E} [\|Y-Y'\|].\end{aligned}}}$

ตัวประมาณค่าที่ไม่เอนเอียงของได้รับจาก Székely และ Rizzo ^{[ 11 ]}${\displaystyle \operatorname {dCov} ^{2}(X,Y)}$

ความเท่าเทียมกันใน (iv) เกิดขึ้นก็ต่อเมื่อตัวแปรสุ่มXหรือY ตัวใดตัวหนึ่ง เป็นค่าคงที่เท่านั้น

ความแปรปรวนตามระยะทางสามารถขยายให้ครอบคลุมถึงกำลังของระยะทางแบบยุคลิดได้ นิยาม

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {dCov} ^{2}(X,Y;\alpha ):={}&\operatorname {E} [\|X-X'\|^{\alpha }\,\|Y-Y'\|^{\alpha }]+\operatorname {E} [\|X-X'\|^{\alpha }]\,\operatorname {E} [\|Y-Y'\|^{\alpha }]\\&\qquad {}-2\operatorname {E} [\|X-X'\|^{\alpha }\,\|Y-Y''\|^{\alpha }].\end{aligned}}}$

จากนั้นสำหรับทุก ๆและจะเป็นอิสระต่อกันก็ต่อเมื่อสิ่งสำคัญคือต้องสังเกตว่าลักษณะเฉพาะนี้ไม่เป็นจริงสำหรับเลขชี้กำลังในกรณีนี้สำหรับตัวแปรทวิภาคจะเป็นฟังก์ชันเชิงกำหนดของความสัมพันธ์แบบเพียร์สัน^{[ 2 ]}ถ้าและเป็นกำลังของระยะทางที่สอดคล้องกันแล้วความแปรปรวนร่วมของระยะทางตัวอย่างสามารถกำหนดได้เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบซึ่ง ${\displaystyle 0<\alpha <2}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \operatorname {dCov} ^{2}(X,Y;\alpha )=0}$${\displaystyle \alpha =2}$${\displaystyle (X,Y)}$${\displaystyle \operatorname {dCor} (X,Y;\alpha =2)}$${\displaystyle a_{k,\ell }}$${\displaystyle b_{k,\ell }}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle 0<\alpha \leq 2}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \operatorname {dCov} _{n}^{2}(X,Y;\alpha ):={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k,\ell }A_{k,\ell }\,B_{k,\ell }.}$

เราสามารถขยายไปสู่ตัวแปรสุ่มที่มีค่าในปริภูมิเมตริก ได้ และ: ถ้ามีกฎในปริภูมิเมตริกที่มีเมตริกแล้วกำหนด, , และ (โดยที่ มีค่าจำกัด กล่าวคือมีโมเมนต์แรกจำกัด) จากนั้นถ้ามีกฎ(ในปริภูมิเมตริกที่อาจแตกต่างกันซึ่งมีโมเมนต์แรกจำกัด) กำหนด ${\displaystyle \operatorname {dCov} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle d}$${\displaystyle a_{\mu }(x):=\operatorname {E} [d(X,x)]}$${\displaystyle D(\mu ):=\operatorname {E} [a_{\mu }(X)]}$${\displaystyle a_{\mu }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle d_{\mu }(x,x'):=d(x,x')-a_{\mu }(x)-a_{\mu }(x')+D(\mu )}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \operatorname {dCov} ^{2}(X,Y):=\operatorname {E} {\big [}d_{\mu }(X,X')d_{\nu }(Y,Y'){\big ]}.}$

สิ่งนี้จะไม่เป็นลบสำหรับทั้งหมดดังกล่าวก็ต่อเมื่อปริภูมิเมตริกทั้งสองมีประเภทลบ^{[ 12 ]}ในที่นี้ ปริภูมิเมตริกมีประเภทลบก็ต่อเมื่อสมมาตรกับเซตย่อยของปริภูมิฮิลเบิร์ต [ ^{13 ] ถ้า}ปริภูมิเมตริกทั้งสองมีประเภทลบที่แข็งแกร่ง ก็ต่อ เมื่อ เป็นอิสระ^{[ 12 ]}${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle (M,d)}$${\displaystyle (M,d^{1/2})}$${\displaystyle \operatorname {dCov} ^{2}(X,Y)=0}$${\displaystyle X,Y}$

ค่าความแปรปรวนระยะทางดั้งเดิมถูกกำหนดให้เป็นรากที่สองของแทนที่จะเป็นค่าสัมประสิทธิ์ยกกำลังสอง มีคุณสมบัติที่ว่ามันคือระยะทางพลังงานระหว่างการแจกแจงร่วมของและผลคูณของการแจกแจงส่วนย่อย อย่างไรก็ตาม ภายใต้นิยามนี้ ค่าความแปรปรวนระยะทาง แทนที่จะเป็นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ระยะทาง จะถูกวัดในหน่วยเดียวกับระยะทาง ${\displaystyle \operatorname {dCov} ^{2}(X,Y)}$${\displaystyle \operatorname {dCov} (X,Y)}$${\displaystyle \operatorname {X} ,Y}$${\displaystyle \operatorname {X} }$

อีกทางเลือกหนึ่งคือ เราอาจกำหนดความแปรปรวนของระยะทางเป็นกำลังสองของระยะทางพลังงาน ในกรณีนี้ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของระยะทางจะถูกวัดในหน่วยเดียวกับระยะทาง และจะมีตัวประมาณค่าที่ไม่เอนเอียงสำหรับความแปรปรวนของระยะทางของประชากร^{[ 11 ]}${\displaystyle \operatorname {dCov} ^{2}(X,Y).}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

ภายใต้นิยามทางเลือกเหล่านี้ ความสัมพันธ์เชิงระยะทางจะถูกกำหนดเป็นกำลังสองแทนที่จะเป็นรากที่สอง ${\displaystyle \operatorname {dCor} ^{2}(X,Y)}$

ความแปรปรวนร่วมแบบบราวน์ได้รับการส่งเสริมโดยการขยายแนวคิดเรื่องความแปรปรวนร่วมไปสู่กระบวนการสุ่ม กำลังสองของความแปรปรวนร่วมของตัวแปรสุ่ม X และ Y สามารถเขียนได้ในรูปแบบต่อไปนี้:

${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)^{2}=\operatorname {E} \left[{\big (}X-\operatorname {E} (X){\big )}{\big (}X^{\mathrm {'} }-\operatorname {E} (X^{\mathrm {'} }){\big )}{\big (}Y-\operatorname {E} (Y){\big )}{\big (}Y^{\mathrm {'} }-\operatorname {E} (Y^{\mathrm {'} }){\big )}\right]}$

โดยที่ E แทนค่าที่คาดหวังและเครื่องหมายไพรม์แทนสำเนาที่เป็นอิสระและมีการแจกแจงเหมือนกัน เราต้องการการวางนัยทั่วไปของสูตรนี้ดังต่อไปนี้ ถ้า U(s), V(t) เป็นกระบวนการสุ่มใดๆ ที่กำหนดสำหรับ s และ t ที่เป็นจำนวนจริงทั้งหมด ให้กำหนดเวอร์ชันของ X ที่มีศูนย์กลางอยู่ที่ U โดย

${\displaystyle X_{U}:=U(X)-\operatorname {E} _{X}\left[U(X)\mid \left\{U(t)\right\}\right]}$

เมื่อใดก็ตามที่ค่าคาดหวังแบบมีเงื่อนไขที่ถูกลบมีอยู่ และกำหนดให้ Y _V เป็น เวอร์ชันศูนย์กลาง V ของ Y ^{[ 3 ] [ 14 ] [ 15 ]}ค่าความแปรปรวนร่วม (U,V) ของ (X,Y) ถูกกำหนดให้เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบซึ่งกำลังสองคือ

${\displaystyle \operatorname {cov} _{U,V}^{2}(X,Y):=\operatorname {E} \left[X_{U}X_{U}^{\mathrm {'} }Y_{V}Y_{V}^{\mathrm {'} }\right]}$

เมื่อใดก็ตามที่ด้านขวามือเป็นค่าที่ไม่เป็นลบและมีค่าจำกัด ตัวอย่างที่สำคัญที่สุดคือเมื่อ U และ V เป็นการเคลื่อนที่แบบบราวน์ / กระบวนการไวเนอร์ แบบอิสระสองด้าน ที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และค่าความแปรปรวนร่วม| s | + | t | − | s − t | = 2 min( s , t ) (เฉพาะกรณีที่ s และ t เป็นค่าที่ไม่เป็นลบเท่านั้น) (ค่านี้เป็นสองเท่าของค่าความแปรปรวนร่วมของกระบวนการไวเนอร์มาตรฐาน โดยที่ตัวประกอบ 2 ช่วยให้การคำนวณง่ายขึ้น) ในกรณีนี้ ค่าความแปรปรวนร่วม ( U , V ) เรียกว่าค่าความแปรปรวนร่วมแบบบราวน์และใช้สัญลักษณ์ แทนด้วย

${\displaystyle \operatorname {cov} _{W}(X,Y).}$

มีเรื่องบังเอิญที่น่าประหลาดใจอย่างหนึ่งคือ ค่าความแปรปรวนร่วมแบบบราวน์นั้นเหมือนกับค่าความแปรปรวนร่วมตามระยะทาง:

${\displaystyle \operatorname {cov} _{\mathrm {W} }(X,Y)=\operatorname {dCov} (X,Y),}$

ดังนั้นความสัมพันธ์แบบบราวน์จึงเหมือนกับความสัมพันธ์ตามระยะทาง

ในทางกลับกัน หากเราแทนที่การเคลื่อนที่แบบบราวน์ด้วยฟังก์ชันเอกลักษณ์เชิง กำหนด idแล้ว Cov _id ( X , Y ) ก็จะเป็นเพียงค่าสัมบูรณ์ของความแปรปรวนร่วม แบบเพียร์สันแบบคลาสสิ ก

${\displaystyle \operatorname {cov} _{\mathrm {id} }(X,Y)=\left\vert \operatorname {cov} (X,Y)\right\vert .}$

ตัวชี้วัดความสัมพันธ์อื่นๆ รวมถึงตัวชี้วัดความสัมพันธ์แบบเคอร์เนล (เช่น เกณฑ์ความเป็นอิสระของฮิลเบิร์ต-ชมิดต์ หรือ HSIC) ก็สามารถตรวจจับปฏิสัมพันธ์เชิงเส้นและไม่เชิงเส้นได้เช่นกัน ทั้งความสัมพันธ์ตามระยะทางและตัวชี้วัดแบบเคอร์เนลสามารถนำไปใช้ในวิธีการต่างๆ เช่นการวิเคราะห์ความสัมพันธ์แบบแคนอนิกและการวิเคราะห์องค์ประกอบอิสระเพื่อให้ได้พลังทางสถิติ ที่แข็งแกร่งยิ่ง ขึ้น

• สัมประสิทธิ์ RV
• สำหรับสถิติอันดับสามที่เกี่ยวข้อง โปรดดูที่ความเบี่ยงเบนของระยะทาง (Distance skewness )

• สถิติพลังงาน (E-statistics) เก็บถาวรเมื่อวันที่ 13 กันยายน 2019 ที่Wayback Machine