ในกลศาสตร์ควอนตัมออ ร์ บิทัลอะตอมเป็นฟังก์ชันที่อธิบายตำแหน่งและพฤติกรรมคล้ายคลื่นของอิเล็กตรอนในอะตอม^{[ 1 ]} ฟังก์ชันนี้อธิบาย การกระจายประจุของอิเล็กตรอนรอบนิวเคลียสของอะตอมและสามารถใช้ในการคำนวณความน่าจะเป็นที่จะพบอิเล็กตรอนในบริเวณเฉพาะรอบนิวเคลียสได้^{[ 2 ]}

แต่ละออร์บิทัลในอะตอมมีลักษณะเฉพาะด้วยชุดค่าของเลขควอนตัม สามตัว _{ได้แก่} n , ℓและmℓซึ่งสอดคล้องกับพลังงานของอิเล็กตรอนโมเมนตัมเชิงมุมของออร์บิทัลและโมเมนตัมเชิงมุมของออร์บิทัลที่ฉายไปตามแกนที่เลือก ( เลขควอนตัมแม่เหล็ก ) ตามลำดับ ออร์บิทัลที่มีเลขควอนตัมแม่เหล็กที่กำหนดไว้อย่างชัดเจนโดยทั่วไปจะมีค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อน ออร์บิทั _ลที่มีค่าเป็นจำนวนจริงสามารถสร้างขึ้นได้จากการรวมเชิงเส้นของ ออร์บิทัล mℓและ−mℓและมักจะถูกกำหนดชื่อโดยใช้พหุนามฮาร์มอนิก ที่เกี่ยวข้อง (เช่นxy , x² − y² ⁾ซึ่งอธิบายโครงสร้างเชิงมุมของ ออร์ _{บิ ทั} ^{ล เหล่านั้น}

ออร์บิทัลหนึ่งสามารถบรรจุอิเล็กตรอนได้สูงสุดสองตัว โดยแต่ละตัวจะมีค่าการฉายภาพสปิน ของตัวเอง ชื่อเรียกง่ายๆ ว่าออร์บิทัล s , ออร์บิทัล p , ออร์บิทัล dและออร์บิทัล fหมายถึงออร์บิทัลที่มีเลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมุมℓ = 0, 1, 2และ3 ตามลำดับชื่อเหล่านี้ พร้อมด้วยค่า n ของพวกมัน ถูกนำมาใช้เพื่ออธิบายการจัดเรียงอิเล็กตรอน ของอะตอม พวกมันได้มาจากคำอธิบายของนักสเปกโทรสโกปีในยุคแรกๆ เกี่ยวกับ ชุดเส้นสเปกโทรสโก ปีของ โลหะอัลคาไลบางชุดว่าเป็นเส้นคม เส้น หลักเส้นกระจายและเส้นพื้นฐานออร์บิทัลสำหรับℓ > 3จะเรียงตามลำดับตัวอักษร (g, h, i, k, ...) ^{[ 3 ]}โดยละเว้น j ^{[ 4 ] [ 5 ]}เนื่องจากบางภาษาไม่แยกความแตกต่างระหว่างตัวอักษร "i" และ "j" ^{[ 6 ]}${\displaystyle m_{s}}$

ออร์บิทัลอะตอมเป็นหน่วยพื้นฐานของแบบจำลองออร์บิทัลอะตอม (หรือแบบจำลองกลุ่มอิเล็กตรอนหรือแบบจำลองกลศาสตร์คลื่น) ซึ่งเป็นกรอบการทำงานสมัยใหม่สำหรับการแสดงภาพพฤติกรรมระดับจุลภาคของอิเล็กตรอนในสสาร ในแบบจำลองนี้ กลุ่มอิเล็กตรอนของอะตอมอาจถูกมองว่าสร้างขึ้น (โดยประมาณ) ในการจัดเรียงอิเล็กตรอนที่เป็นผลผลิตจากออร์บิทัลอะตอม แบบง่ายๆ คล้ายกับไฮโดรเจนการเรียงตัวซ้ำกันของกลุ่มธาตุ 2, 6, 10 และ 14 ธาตุในแต่ละส่วนของตารางธาตุเกิดขึ้นตามธรรมชาติจากจำนวนอิเล็กตรอนทั้งหมดที่ครอบครองออร์บิทัล s, p, d และ f ครบชุดตามลำดับ แม้ว่าสำหรับค่าควอนตัมนัมเบอร์n ที่สูงขึ้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่ออะตอมมีประจุบวก พลังงานของซับเชลล์บางกลุ่มจะมีความคล้ายคลึงกันมาก ดังนั้นลำดับที่อิเล็กตรอนเข้าไปอยู่ในซับเชลล์เหล่านั้น (เช่นCr = [Ar]4s ¹ 3d ⁵และ Cr ²⁺ = [Ar]3d ⁴ ) จึงสามารถอธิบายได้อย่างค่อนข้างไม่แน่นอนเท่านั้น

ด้วยการพัฒนาของกลศาสตร์ควอนตัมและผลการทดลอง (เช่น การเลี้ยวเบนของอิเล็กตรอนผ่านช่องแคบสองช่อง) พบว่าอิเล็กตรอนที่โคจรรอบนิวเคลียสไม่สามารถอธิบายได้อย่างสมบูรณ์ในฐานะอนุภาค แต่จำเป็นต้องอธิบายด้วยทฤษฎีทวิภาวะของคลื่นและอนุภาคในแง่นี้ อิเล็กตรอนมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

คุณสมบัติคล้ายคลื่น:

1. อิเล็กตรอนไม่ได้โคจรรอบนิวเคลียสในลักษณะเดียวกับที่ดาวเคราะห์โคจรรอบดาวฤกษ์ แต่มีอยู่เป็นคลื่นนิ่งดังนั้นพลังงานต่ำสุดที่เป็นไปได้ที่อิเล็กตรอนสามารถรับได้จึงคล้ายกับความถี่พื้นฐานของคลื่นบนเส้นเชือก ส่วนสถานะพลังงานที่สูงกว่านั้นจะคล้ายกับฮาร์โมนิกของความถี่พื้นฐานนั้น
2. อิเล็กตรอนไม่เคยอยู่ ณ จุดใดจุดหนึ่งเพียงจุดเดียว แม้ว่าความน่าจะเป็นของการมีปฏิสัมพันธ์กับอิเล็กตรอน ณ จุดใดจุดหนึ่งจะสามารถหาได้จากฟังก์ชันคลื่น ของอิเล็กตรอน ประจุของอิเล็กตรอนมีลักษณะเหมือนกระจายตัวอยู่ในอวกาศอย่างต่อเนื่อง โดยที่ประจุ ณ จุดใดจุดหนึ่งจะเป็นสัดส่วนกับกำลังสองของขนาดของฟังก์ชันคลื่นของอิเล็กตรอน

คุณสมบัติคล้ายอนุภาค:

1. จำนวนอิเล็กตรอนที่โคจรรอบนิวเคลียสจะมีได้เพียงจำนวนเต็มเท่านั้น
2. อิเล็กตรอนจะกระโดดระหว่างวงโคจรเหมือนอนุภาค ตัวอย่างเช่น หากโฟ ตอนหนึ่งตัว กระทบอิเล็กตรอน จะมีเพียงอิเล็กตรอนตัวเดียวเท่านั้นที่เปลี่ยนสถานะ
3. อิเล็กตรอนยังคงคุณสมบัติคล้ายอนุภาคไว้ เช่น สถานะคลื่นแต่ละสถานะจะมีประจุไฟฟ้า เท่ากับประจุของอนุภาคอิเล็กตรอน และ สถานะคลื่นแต่ละสถานะจะมีสปินที่แน่นอนเพียงค่าเดียว (สปินขึ้นหรือสปินลง) ขึ้นอยู่กับ การซ้อนทับกันของสถานะนั้น

ดังนั้น อิเล็กตรอนจึงไม่สามารถอธิบายได้ง่ายๆ ว่าเป็นอนุภาคของแข็ง การเปรียบเทียบอาจเป็นเรื่องของ "บรรยากาศ" ขนาดใหญ่และมักมีรูปร่างแปลกๆ (อิเล็กตรอน) ที่กระจายอยู่รอบดาวเคราะห์ขนาดเล็ก (นิวเคลียส) วงโคจรอะตอมจะอธิบายรูปร่างของ "บรรยากาศ" นี้ได้อย่างแม่นยำก็ต่อเมื่อมีอิเล็กตรอนเพียงตัวเดียวเท่านั้น เมื่อมีอิเล็กตรอนเพิ่มเข้ามา อิเล็กตรอนที่เพิ่มเข้ามาจะมีแนวโน้มที่จะเติมเต็มปริมาตรของพื้นที่รอบนิวเคลียสอย่างสม่ำเสมอมากขึ้น ดังนั้นกลุ่มอิเล็กตรอนที่เกิดขึ้น ("เมฆอิเล็กตรอน" ^{[ 7 ]} ) จึงมีแนวโน้มที่จะเป็นโซนความน่าจะเป็นทรงกลมโดยทั่วไปที่อธิบายตำแหน่งของอิเล็กตรอน เนื่องจากหลักการความไม่แน่นอน

ควรจำไว้ว่า "สถานะ" วงโคจรเหล่านี้ ตามที่อธิบายไว้ในที่นี้ เป็นเพียงสถานะเฉพาะ (eigenstate)ของอิเล็กตรอนในวงโคจรของมันเท่านั้น อิเล็กตรอนที่แท้จริงนั้นมีอยู่ในสถานะซ้อนทับกัน ซึ่งคล้ายกับค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักแต่มี น้ำหนัก เป็นจำนวนเชิงซ้อนตัวอย่างเช่น อิเล็กตรอนอาจอยู่ในสถานะเฉพาะบริสุทธิ์ (2, 1, 0) หรือสถานะผสม1/2(2 , 1, 0) +1/2( 2, 1, 1 ) หรือแม้แต่สถานะผสม${\displaystyle i}$2/5(2 , 1, 0) +3/5( 2, 1, 1) สำหรับแต่ละสถานะไอเกน ค่าของคุณสมบัติจะมีค่าไอเกนดังนั้น สำหรับสถานะทั้งสามที่กล่าวถึงข้างต้น ค่าของคือ 2 และค่าของคือ 1 สำหรับสถานะที่สองและสาม ค่าของเป็นการซ้อนทับกันของ 0 และ 1 ในฐานะที่เป็นการซ้อนทับกันของสถานะ มันจึงกำกวม—อาจเป็น 0 หรือ 1 อย่างแน่นอน—ไม่ใช่ค่ากลางหรือค่าเฉลี่ยเหมือนเศษส่วน${\displaystyle i}$${\displaystyle n}$${\displaystyle l}$${\displaystyle m_{l}}$1/2การซ้อนทับ กันของสถานะเฉพาะ (2, 1, 1) และ (3, 2, 1) จะมีค่าและ ที่กำกวม แต่ค่าจะเป็น 1 อย่างแน่นอน สถานะเฉพาะช่วยให้การคำนวณทางคณิตศาสตร์ง่ายขึ้น คุณสามารถเลือกฐานของสถานะเฉพาะที่แตกต่างกันได้โดยการซ้อนทับสถานะเฉพาะจากฐานอื่นๆ (ดูออร์บิทัลจริงด้านล่าง) ${\displaystyle n}$${\displaystyle l}$${\displaystyle m_{l}}$

ออร์บิทัลอะตอมอาจถูกนิยามอย่างแม่นยำยิ่งขึ้นในภาษาควอนตัมเชิงกล อย่างเป็นทางการ พวกมันเป็นคำตอบโดยประมาณของ สมการชโรดิงเกอร์สำหรับอิเล็กตรอนที่ถูกผูกไว้กับอะตอมโดยสนามไฟฟ้าของนิวเคลียสของอะตอมโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในกลศาสตร์ควอนตัม สถานะของอะตอม กล่าวคือ สถานะเฉพาะของแฮมิลโทเนียน อะตอม จะถูกประมาณโดยการขยาย (ดู การขยาย ปฏิสัมพันธ์ของการกำหนดค่าและชุดฐาน ) ออกเป็นผลรวมเชิงเส้นของผลคูณแบบแอนติสมมาตร ( ดีเทอร์มิแนนต์ของสเลเตอร์ ) ของฟังก์ชันอิเล็กตรอนเดี่ยว ส่วนประกอบเชิงพื้นที่ของฟังก์ชันอิเล็กตรอนเดี่ยวเหล่านี้เรียกว่าออร์บิทัลอะตอม (เมื่อพิจารณาส่วนประกอบสปิน ด้วย จะเรียกว่า ออร์บิทัลสปินอะตอม ) สถานะที่แท้จริงคือฟังก์ชันของพิกัดของอิเล็กตรอนทั้งหมด ดังนั้นการเคลื่อนที่ของพวกมันจึงมีความสัมพันธ์กัน แต่สิ่งนี้มักจะถูกประมาณโดยแบบจำลองอนุภาคอิสระของผลคูณของฟังก์ชันคลื่นอิเล็กตรอนเดี่ยว^{[ 8 ]} ( ตัวอย่างเช่น แรงกระจายตัวของลอนดอนขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์ของการเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอน)

ในฟิสิกส์อะตอมเส้นสเปกตรัมของอะตอมสอดคล้องกับการเปลี่ยนผ่าน ( การกระโดดควอนตัม ) ระหว่างสถานะควอนตัม ของอะตอม สถานะเหล่า ^นี้ถูกกำหนดโดยชุดของเลขควอนตัมซึ่งสรุปไว้ในสัญลักษณ์เทอม และโดยปกติจะเกี่ยวข้องกับการ จัด เรียงอิเล็กตรอนเฉพาะ เช่น โดยรูปแบบการครอบครองของออ  ร์บิทัลอะตอม (ตัวอย่างเช่น 1s² ^2s²  2p⁶ ^{สำหรับ}สถานะพื้นฐานของนีออน - สัญลักษณ์ เทอม: ^1S₀ ₎

สัญกรณ์นี้หมายความว่าดีเทอร์มิแนนต์สเลเตอร์ที่สอดคล้องกันจะมีน้ำหนักที่สูงกว่าอย่างชัดเจนในการ ขยาย ปฏิสัมพันธ์ของการกำหนดค่าดังนั้นแนวคิดวงโคจรอะตอมจึงเป็นแนวคิดสำคัญสำหรับการแสดงภาพกระบวนการกระตุ้นที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนผ่าน ที่กำหนด ตัวอย่างเช่น เราสามารถกล่าวได้ว่าสำหรับการเปลี่ยนผ่านที่กำหนดนั้น สอดคล้องกับการกระตุ้นของอิเล็กตรอนจากวงโคจรที่ถูกครอบครองไปยังวงโคจรที่ว่างอยู่ อย่างไรก็ตาม เราต้องจำไว้ว่าอิเล็กตรอนเป็นเฟอร์มิออนที่อยู่ภายใต้หลักการกีดกันของเปาลีและไม่สามารถแยกแยะออกจากกันได้^{[ 9 ]}ยิ่งไปกว่านั้น บางครั้งการขยายปฏิสัมพันธ์ของการกำหนดค่าจะลู่เข้าช้ามาก และเราไม่สามารถพูดถึงฟังก์ชันคลื่นดีเทอร์มิแนนต์เดียวที่เรียบง่ายได้เลย นี่คือกรณีที่ความสัมพันธ์ของอิเล็กตรอนมีขนาดใหญ่

โดยพื้นฐานแล้ว ออร์บิทัลอะตอมคือฟังก์ชันคลื่นของอิเล็กตรอนตัวเดียว แม้ว่าในอะตอมที่มีอิเล็กตรอนตัวเดียวจะไม่ได้มีอิเล็กตรอนจำนวนมากก็ตาม ดังนั้นมุมมองแบบอิเล็กตรอนตัวเดียวจึงเป็นเพียงการประมาณการ เมื่อพูดถึงออร์บิทัล เรามักจะได้รับภาพจำลองออร์บิทัลที่ได้รับอิทธิพลอย่างมากจากการประมาณของฮาร์ทรี-ฟ็อกซึ่งเป็นวิธีหนึ่งในการลดความซับซ้อนของทฤษฎีออร์บิทัลโมเลกุล

ออร์บิทัลอะตอมอาจเป็น "ออร์บิทัล" ที่คล้ายไฮโดรเจน ซึ่งเป็นคำตอบที่แน่นอนของสมการชโรดิงเจอร์สำหรับ"อะตอม" ที่คล้ายไฮโดรเจน (เช่น อะตอมที่มีอิเล็กตรอนหนึ่งตัว) หรืออีกนัยหนึ่ง ออร์บิทัลอะตอมหมายถึงฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับพิกัดของอิเล็กตรอนหนึ่งตัว (เช่น ออร์บิทัล) แต่ใช้เป็นจุดเริ่มต้นสำหรับการประมาณฟังก์ชันคลื่นที่ขึ้นอยู่กับพิกัดพร้อมกันของอิเล็กตรอนทั้งหมดในอะตอมหรือโมเลกุลระบบพิกัดที่เลือกใช้สำหรับออร์บิทัลมักจะเป็นพิกัดทรงกลม( r , θ , φ )ในอะตอม และพิกัดคาร์ทีเซียน( x , y , z )ในโมเลกุลหลายอะตอม ข้อดีของพิกัดทรงกลมในที่นี้คือ ฟังก์ชันคลื่นของออร์บิทัลเป็นผลคูณของปัจจัยสามตัว ซึ่งแต่ละตัวขึ้นอยู่กับพิกัดเดียว: ψ ( r , θ , φ ) = R ( r )Θ( θ )Φ ( φ )ปัจจัยเชิงมุมของออร์บิทัลอะตอมΘ( θ ) Φ( φ )สร้างฟังก์ชัน s, p, d ฯลฯ เป็นผลรวมจริงของฮาร์มอนิกทรงกลมY _ℓm ( θ , φ ) (โดยที่ℓและmเป็นเลขควอนตัม) โดยทั่วไปจะมีรูปแบบทางคณิตศาสตร์สามรูปแบบสำหรับฟังก์ชันรัศมี  R ( r )ซึ่งสามารถเลือกใช้เป็นจุดเริ่มต้นสำหรับการคำนวณคุณสมบัติของอะตอมและโมเลกุลที่มีอิเล็กตรอนจำนวนมาก:

1. ออร์บิทัลคล้ายไฮโดรเจนได้มาจากคำตอบที่แม่นยำของสมการชโรดิงเกอร์สำหรับอิเล็กตรอนหนึ่งตัวและนิวเคลียสหนึ่งตัว สำหรับอะตอมคล้ายไฮโดรเจนส่วนของฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับระยะทางrจากนิวเคลียสมีจุดศูนย์ ในแนวรัศมี และลดลงตาม${\displaystyle e^{-\alpha r}}$
2. ออร์บิทัลแบบสเลเตอร์ (STO) เป็นรูปแบบที่ไม่มีจุดบัพตามแนวรัศมี แต่สลายตัวจากนิวเคลียสเช่นเดียวกับออร์บิทัลแบบไฮโดรเจน
3. รูปแบบของออร์บิทัลแบบเกาส์เซียน (Gaussians) ไม่มีจุดศูนย์ในแนวรัศมีและสลายตัวเป็น.${\displaystyle e^{-\alpha r^{2}}}$

แม้ว่าออร์บิทัลแบบไฮโดรเจนยังคงถูกใช้เป็นเครื่องมือทางการศึกษา แต่การมาถึงของคอมพิวเตอร์ทำให้ STO (String-to-Orbital Orbital) เป็นที่นิยมมากกว่าสำหรับอะตอมและโมเลกุลไดอะตอมิก เนื่องจาก STO หลายๆ ตัวสามารถใช้แทนโหนดในออร์บิทัลแบบไฮโดรเจนได้ ส่วน Gaussian นั้นมักใช้ในโมเลกุลที่มีอะตอมสามตัวขึ้นไป แม้ว่า Gaussian เองจะไม่แม่นยำเท่า STO แต่การรวมกันของ Gaussian หลายๆ ตัวสามารถให้ความแม่นยำเทียบเท่ากับออร์บิทัลแบบไฮโดรเจนได้

คำว่า"ออร์บิทัล"ถูกนำมาใช้โดยRobert S. Mullikenในปี 1932 โดยย่อมาจาก " ฟังก์ชันคลื่นออร์บิทัลอิเล็กตรอนหนึ่งตัว" ^{[ 10 ] [ 11 ]} Niels Bohrอธิบายราวปี 1913 ว่าอิเล็กตรอนอาจโคจรรอบนิวเคลียสขนาดกะทัดรัดด้วยโมเมนตัมเชิงมุมที่แน่นอน^{[ 12 ]}แบบจำลองของ Bohr เป็นการปรับปรุงจากคำอธิบายของErnest Rutherford ในปี 1911 ซึ่งกล่าวถึงอิเล็กตรอนที่เคลื่อนที่รอบนิวเคลียส นักฟิสิกส์ชาวญี่ปุ่นHantaro Nagaokaได้ตีพิมพ์สมมติฐานเกี่ยวกับพฤติกรรมของอิเล็กตรอนโดยอิงจากวงโคจรตั้งแต่ปี 1904 ^{[ 13 ]}ทฤษฎีเหล่านี้แต่ละทฤษฎีสร้างขึ้นจากข้อสังเกตใหม่ ๆ โดยเริ่มต้นจากความเข้าใจง่าย ๆ และค่อย ๆ พัฒนาให้ถูกต้องและซับซ้อนมากขึ้น การอธิบายพฤติกรรมของ "วงโคจร" ของอิเล็กตรอนเหล่านี้เป็นหนึ่งในแรงผลักดันสำคัญเบื้องหลังการพัฒนากลศาสตร์ควอนตัม^{[ 14 ]}

จากการค้นพบอิเล็กตรอนของJJ Thomson ในปี 1897 ^{[ 15 ]}ทำให้เห็นได้อย่างชัดเจนว่าอะตอมไม่ใช่หน่วยสร้างที่เล็กที่สุดของธรรมชาติแต่เป็นอนุภาคประกอบ โครงสร้างที่เพิ่งค้นพบภายในอะตอมทำให้หลายคนจินตนาการถึงวิธีที่ส่วนประกอบของอะตอมอาจมีปฏิสัมพันธ์กัน Thomson ตั้งทฤษฎีว่าอิเล็กตรอนหลายตัวโคจรเป็นวงแหวนคล้ายวงโคจรภายในสารคล้ายเจลที่มีประจุบวก^{[ 16 ]}และระหว่างการค้นพบอิเล็กตรอนจนถึงปี 1909 " แบบจำลองพุดดิ้งลูกพลัม " นี้เป็นคำอธิบายโครงสร้างอะตอมที่ได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางที่สุด

ไม่นานหลังจากที่ทอมสันค้นพบฮันทาโร นากาโอกะได้ทำนายแบบจำลองโครงสร้างอิเล็กตรอนที่แตกต่างออกไป^{[ 13 ]}แตกต่างจากแบบจำลองพุดดิ้งลูกพลัม ประจุบวกใน "แบบจำลองดาวเสาร์" ของนากาโอกะจะกระจุกตัวอยู่ที่แกนกลาง ดึงอิเล็กตรอนเข้าสู่วงโคจรวงกลมที่ชวนให้นึกถึงวงแหวนของดาวเสาร์ มีคนไม่กี่คนที่สังเกตเห็นงานของนากาโอกะในเวลานั้น^{[ 17 ]}และนากาโอกะเองก็ตระหนักถึงข้อบกพร่องพื้นฐานในทฤษฎีนี้ตั้งแต่เริ่มแรก นั่นคือวัตถุที่มีประจุแบบคลาสสิกไม่สามารถรักษาการเคลื่อนที่ในวงโคจรได้เพราะมันกำลังเร่งความเร็วและสูญเสียพลังงานเนื่องจากรังสีแม่เหล็กไฟฟ้า^{[ 13 ]}อย่างไรก็ตามแบบจำลองดาวเสาร์กลับมีลักษณะที่เหมือนกับทฤษฎีสมัยใหม่มากกว่าแบบจำลองอื่นๆ ในยุคเดียวกัน

ในปี ค.ศ. 1909 เออร์เนสต์ รัทเทอร์ฟอร์ด ค้นพบว่า มวลอะตอมส่วนใหญ่ถูกอัดแน่นอยู่ในนิวเคลียส ซึ่งพบว่ามีประจุบวกด้วย จากการวิเคราะห์ของเขาในปี ค.ศ. 1911 ทำให้เห็นได้ชัดว่าแบบจำลองพุดดิ้งลูกพลัมไม่สามารถอธิบายโครงสร้างอะตอมได้ ในปี ค.ศ. 1913 นีลส์ โบร์ นักศึกษาหลังปริญญาเอกของรัทเทอร์ฟอร์ด ได้เสนอแบบจำลองอะตอมใหม่ โดยที่อิเล็กตรอนโคจรรอบนิวเคลียสด้วยคาบแบบคลาสสิก แต่ได้รับอนุญาตให้มีโมเมนตัมเชิงมุมได้เฉพาะค่าที่ไม่ต่อเนื่องเท่านั้น ซึ่งถูกควอนตัมในหน่วยħ [ ^{12 ]}ข้อจำกัดนี้ทำให้มีพลังงานอิเล็กตรอนได้เพียงบางค่าเท่านั้น^แบบจำลองอะตอมของโบร์แก้ไขปัญหาการสูญเสียพลังงานจากการแผ่รังสีจากสถานะพื้นฐาน (โดยประกาศว่าไม่มีสถานะใดต่ำกว่านี้) และที่สำคัญกว่านั้นคืออธิบายที่มาของเส้นสเปกตรัม

หลังจากที่บอร์ใช้คำอธิบายของไอน์สไตน์ เกี่ยวกับ ปรากฏการณ์โฟโตอิเล็กทริกเพื่อเชื่อมโยงระดับพลังงานในอะตอมกับความยาวคลื่นของแสงที่ปล่อยออกมา ความสัมพันธ์ระหว่างโครงสร้างของอิเล็กตรอนในอะตอมกับ สเปกตรัม การปล่อยและการดูดกลืนของอะตอมจึงกลายเป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์มากขึ้นในการทำความเข้าใจอิเล็กตรอนในอะตอม คุณลักษณะที่โดดเด่นที่สุดของสเปกตรัมการปล่อยและการดูดกลืน (ซึ่งเป็นที่รู้จักจากการทดลองตั้งแต่กลางศตวรรษที่ 19) คือ สเปกตรัมอะตอมเหล่านี้มีเส้นที่ไม่ต่อเนื่อง ความสำคัญของแบบจำลองของบอร์คือการเชื่อมโยงเส้นในสเปกตรัมการปล่อยและการดูดกลืนกับความแตกต่างของพลังงานระหว่างวงโคจรที่อิเล็กตรอนสามารถเคลื่อนที่รอบอะตอมได้ อย่างไรก็ตาม บอร์ ไม่ได้บรรลุเป้าหมายนี้โดยการให้คุณสมบัติคล้ายคลื่นแก่อิเล็กตรอน เนื่องจากแนวคิดที่ว่าอิเล็กตรอนสามารถประพฤติตัวเป็นคลื่นสสารได้ นั้น เพิ่งถูกเสนอขึ้นในอีกสิบเอ็ดปีต่อมา ถึงกระนั้น การที่แบบจำลองของบอร์ใช้โมเมนตัมเชิงมุมแบบควอนตัมและระดับพลังงานแบบควอนตัม ถือเป็นก้าวสำคัญในการทำความเข้าใจอิเล็กตรอนในอะตอม และยังเป็นก้าวสำคัญในการพัฒนาควอนตัมกลศาสตร์โดยชี้ให้เห็นว่าข้อจำกัดแบบควอนตัมจะต้องสามารถอธิบายระดับพลังงานและสเปกตรัมที่ไม่ต่อเนื่องทั้งหมดในอะตอมได้

ด้วย ข้อเสนอแนะของ เดอ บรอยล์เกี่ยวกับการมีอยู่ของคลื่นสสารอิเล็กตรอนในปี 1924 และในช่วงเวลาสั้นๆ ก่อนการอธิบายอะตอมคล้ายไฮโดรเจน อย่างสมบูรณ์ ด้วยสมการชโรดิงเกอร์ ในปี 1926 ความยาวคลื่นของอิเล็กตรอนของบอร์สามารถมองได้ว่าเป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมของมัน ดังนั้นอิเล็กตรอนที่โคจรรอบบอร์จึงโคจรเป็นวงกลมด้วยความยาวคลื่นที่เป็นจำนวนเต็มเท่าของความยาวคลื่น ในช่วงเวลาสั้นๆ แบบจำลองของบอร์สามารถมองได้ว่าเป็นแบบจำลองคลาสสิกที่มีข้อจำกัดเพิ่มเติมที่ได้มาจากข้อโต้แย้งเรื่อง 'ความยาวคลื่น' อย่างไรก็ตาม ช่วงเวลานี้ถูกแทนที่ทันทีด้วยกลศาสตร์คลื่นสามมิติอย่างสมบูรณ์ในปี 1926 ในความเข้าใจทางฟิสิกส์ในปัจจุบันของเรา แบบจำลองของบอร์ถูกเรียกว่าแบบจำลองกึ่งคลาสสิกเนื่องจากการควอนตัมของโมเมนตัมเชิงมุม ไม่ใช่เพราะความสัมพันธ์กับความยาวคลื่นของอิเล็กตรอนเป็นหลัก ซึ่งปรากฏขึ้นในภายหลังสิบสองปีหลังจากที่แบบจำลองของบอร์ได้รับการเสนอ

แบบจำลองของบอร์สามารถอธิบายสเปกตรัมการปล่อยและการดูดกลืนของไฮโดรเจนได้ พลังงานของอิเล็กตรอนในสถานะn  = 1, 2, 3 ฯลฯ ในแบบจำลองของบอร์ตรงกับพลังงานในฟิสิกส์ปัจจุบัน อย่างไรก็ตาม แบบจำลองนี้ไม่ได้อธิบายความคล้ายคลึงกันระหว่างอะตอมต่างๆ ดังที่แสดงในตารางธาตุ เช่น ข้อเท็จจริงที่ว่าฮีเลียม (สองอิเล็กตรอน) นีออน (10 อิเล็กตรอน) และอาร์กอน (18 อิเล็กตรอน) แสดงความเฉื่อยทางเคมีที่คล้ายคลึงกันกลศาสตร์ควอนตัม สมัยใหม่ ได้อธิบายเรื่องนี้ในแง่ของเปลือกและวงโคจรย่อยของอิเล็กตรอน ซึ่งแต่ละวงโคจรสามารถบรรจุอิเล็กตรอนได้จำนวนหนึ่งตามที่กำหนดโดยหลักการกีดกันของเปาลีดังนั้น สถานะ n  = 1 สามารถบรรจุอิเล็กตรอนได้หนึ่งหรือสองตัว ในขณะที่ สถานะ n = 2 สามารถบรรจุอิเล็กตรอนได้มากถึงแปดตัวในวงโคจรย่อย 2s และ 2p ในฮีเลียม สถานะ n  = 1 ทั้งหมดถูกครอบครองอย่างสมบูรณ์ เช่นเดียวกับสถานะn  = 1 และn  = 2 ในนีออน ในอาร์กอน วงโคจรย่อย 3s และ 3p ก็มีอิเล็กตรอนบรรจุอยู่เต็มแปดตัวเช่นกัน กลศาสตร์ควอนตัมยังอนุญาตให้มีวงโคจรย่อย 3d ด้วย แต่จะมีพลังงานสูงกว่า 3s และ 3p ในอาร์กอน (ซึ่งตรงกันข้ามกับสถานการณ์ในไฮโดรเจน) และยังคงว่างเปล่า

ทันทีหลังจากที่ไฮเซนเบิร์กค้นพบหลักการความไม่แน่นอน^{ของเขา [} 18 ^{] บอ}ร์ตั้งข้อสังเกตว่าการมีอยู่ของกลุ่มคลื่น ใดๆ ก็ตาม บ่งบอกถึงความไม่แน่นอนในความถี่และความยาวคลื่น เนื่องจากจำเป็นต้องมีการกระจายความถี่เพื่อสร้างกลุ่มคลื่นนั้นเอง^{[ 19 ]}ในกลศาสตร์ควอนตัม ซึ่งโมเมนตัมของอนุภาคทั้งหมดเกี่ยวข้องกับคลื่น การก่อตัวของกลุ่มคลื่นดังกล่าวทำให้คลื่นและอนุภาคถูกจำกัดอยู่ในพื้นที่ ในสถานะที่อนุภาคกลศาสตร์ควอนตัมถูกผูกมัด มันจะต้องถูกจำกัดอยู่ในรูปของกลุ่มคลื่น และการมีอยู่ของกลุ่มคลื่นและขนาดขั้นต่ำของมันบ่งบอกถึงการกระจายและค่าขั้นต่ำในความยาวคลื่นของอนุภาค และด้วยเหตุนี้จึงรวมถึงโมเมนตัมและพลังงานด้วย ในกลศาสตร์ควอนตัม เมื่ออนุภาคถูกจำกัดอยู่ในบริเวณที่เล็กลงในอวกาศ กลุ่มคลื่นที่ถูกบีบอัดที่เกี่ยวข้องจะต้องการช่วงของโมเมนตัมที่ใหญ่ขึ้นเรื่อยๆ และด้วยเหตุนี้จึงต้องการพลังงานจลน์ที่ มากขึ้น ดังนั้น พลังงานยึดเหนี่ยวในการกักขังหรือดักจับอนุภาคในบริเวณที่เล็กลงจะเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขีดจำกัดเมื่อบริเวณนั้นเล็กลง อนุภาคไม่สามารถถูกจำกัดให้อยู่ที่จุดทางเรขาคณิตจุดใดจุดหนึ่งในอวกาศได้ เพราะนั่นจะทำให้อนุภาคมีโมเมนตัมเป็นอนันต์

ในวิชาเคมีเออร์วิน ชโรดิงเกอร์ , ไลนัส พอลลิง , มัลลิเคน และคนอื่นๆ สังเกตว่าผลที่ตามมาของความสัมพันธ์ของไฮเซนเบิร์กคือ อิเล็กตรอนในฐานะกลุ่มคลื่นนั้น ไม่สามารถถือได้ว่ามีตำแหน่งที่แน่นอนในวงโคจรของมันแม็กซ์ บอร์นเสนอว่าตำแหน่งของอิเล็กตรอนจำเป็นต้องอธิบายด้วยการกระจายความน่าจะเป็นซึ่งเชื่อมโยงกับการค้นหาอิเล็กตรอน ณ จุดใดจุดหนึ่งในฟังก์ชันคลื่นที่อธิบายกลุ่มคลื่นที่เกี่ยวข้อง กลศาสตร์ควอนตัมใหม่ไม่ได้ให้ผลลัพธ์ที่แน่นอน แต่ให้เพียงความน่าจะเป็นสำหรับการเกิดผลลัพธ์ที่เป็นไปได้หลากหลายรูปแบบ ไฮเซนเบิร์กเชื่อว่าเส้นทางของอนุภาคที่เคลื่อนที่นั้นไม่มีความหมายหากเราไม่สามารถสังเกตได้ เช่นเดียวกับอิเล็กตรอนในอะตอม

ออร์บิทัลได้รับการตั้งชื่อ ซึ่งโดยปกติจะระบุในรูปแบบดังนี้:

${\displaystyle X\,\mathrm {type} \ }$

โดยที่Xคือระดับพลังงานที่สอดคล้องกับ เลขควอนตั ม หลักnและtypeคือตัวอักษรพิมพ์เล็กที่แสดงรูปร่างหรือซับเชลล์ของออร์บิทัล ซึ่งสอดคล้องกับเลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมุม ℓ

ตัวอย่างเช่น ออร์บิทัล 1s (อ่านออกเสียงตามตัวเลขและตัวอักษรแต่ละตัวว่า "หนึ่ง" หรือ "เอส") เป็นระดับพลังงานต่ำสุด ( n = 1 ) และมีเลขควอนตัมเชิงมุมℓ = 0ซึ่งใช้สัญลักษณ์ s แทน ออร์บิทัลที่มีℓ = 1, 2 และ 3จะใช้สัญลักษณ์ p, d และ f ตามลำดับ

เซตของออร์บิทัลสำหรับค่า n และℓที่กำหนดให้ เรียกว่าซับเชลล์ซึ่งใช้สัญลักษณ์ แทน

${\displaystyle X\,\mathrm {type} ^{y}\ }$.

ตัวยก y แสดงจำนวนอิเล็กตรอนในซับเชลล์ ตัวอย่างเช่น สัญลักษณ์ 2p⁴ ^แสดงว่าซับเชลล์ 2p ของอะตอมมีอิเล็กตรอน 4 ตัว ซับเชลล์นี้มี 3 ออร์บิทัล แต่ละออร์บิทัลมี n = 2 และℓ = 1

นอกจากนี้ยังมีระบบอีกระบบหนึ่งที่ใช้กันไม่บ่อยนักในวิทยาศาสตร์รังสีเอกซ์ เรียกว่าสัญกรณ์รังสีเอกซ์ซึ่งเป็นการต่อยอดจากสัญกรณ์ที่ใช้ก่อนที่ทฤษฎีวงโคจรจะได้รับการเข้าใจอย่างถ่องแท้ ในระบบนี้ เลขควอนตัมหลักจะถูกกำหนดด้วยตัวอักษร สำหรับn = 1, 2, 3, 4, 5, ...ตัวอักษรที่เกี่ยวข้องกับตัวเลขเหล่านั้นคือ K, L, M, N, O, ... ตามลำดับ

ออร์บิทัลอะตอมที่ง่ายที่สุดคือออร์บิทัลที่คำนวณได้สำหรับระบบที่มีอิเล็กตรอนตัวเดียว เช่นอะตอมไฮโดรเจนอะตอมของธาตุอื่น ๆที่แตกตัวเป็นไอออนจนเหลืออิเล็กตรอนตัวเดียว (He⁺ ^, Li²⁺ ^{เป็นต้น} ) จะคล้ายกับไฮโดรเจนมาก และออร์บิทัลจะมีรูปแบบเดียวกัน ในสมการชโรดิงเจอร์สำหรับระบบที่มีอนุภาคประจุลบหนึ่งตัวและประจุบวกหนึ่งตัว ออร์บิทัลอะตอมคือสถานะเฉพาะของตัวดำเนินการแฮมิลโทเนียนสำหรับพลังงาน สามารถหาได้โดยวิธีวิเคราะห์ ซึ่งหมายความว่าออร์บิทัลที่ได้เป็นผลคูณของอนุกรม พหุ นาม ฟังก์ชันเลขชี้กำลังและฟังก์ชันตรีโกณมิติ ( ดูอะตอมไฮโดรเจน )

สำหรับอะตอมที่มีอิเล็กตรอนตั้งแต่สองตัวขึ้นไป สมการควบคุมสามารถแก้ได้โดยใช้วิธีการประมาณค่าแบบวนซ้ำเท่านั้น ออร์บิทัลของอะตอมที่มีอิเล็กตรอนหลายตัวมีลักษณะคล้ายคลึงกับออร์บิทัลของไฮโดรเจน และในแบบจำลองที่ง่ายที่สุด จะถือว่ามีรูปแบบเดียวกัน สำหรับการวิเคราะห์ที่เข้มงวดและแม่นยำยิ่งขึ้น ต้องใช้การประมาณค่าเชิงตัวเลข

ออร์บิทัลอะตอมที่กำหนด (คล้ายไฮโดรเจน) จะถูกระบุด้วยค่าเฉพาะของเลขควอนตัมสามค่า ได้แก่_{n, ℓ และ mℓ}กฎที่จำกัดค่าของเลขควอนตัมและพลังงานของพวกมัน (ดูด้านล่าง) อธิบายการจัดเรียงอิเล็กตรอนของอะตอมและตารางธาตุ

สถานะคงที่ ( สถานะควอนตัม ) ของอะตอมที่คล้ายไฮโดรเจนคือออร์บิทัลอะตอม อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้ว พฤติกรรมของอิเล็กตรอนไม่สามารถอธิบายได้อย่างสมบูรณ์ด้วยออร์บิทัลเพียงตัวเดียว สถานะของอิเล็กตรอนจึงแสดงได้ดีที่สุดด้วย "ส่วนผสม" ( การรวมเชิงเส้น ) ที่ขึ้นอยู่กับเวลาของออร์บิทัลหลายตัว ดูการรวมเชิงเส้นของออร์บิทัลอะตอม วิธีออร์บิทัลโมเลกุล

เลขควอนตัมnปรากฏขึ้นครั้งแรกในแบบจำลองของบอร์ซึ่งเป็นตัวกำหนดรัศมีของวงโคจรอิเล็กตรอนแต่ละวง ในกลศาสตร์ควอนตัมสมัยใหม่ อย่างไรก็ตาม ระยะห่างเฉลี่ยของอิเล็กตรอนจากนิวเคลียสขึ้นอยู่กับn เป็น หลัก ด้วยเหตุนี้ วงโคจรที่มีค่าn เท่ากัน จึงเรียกว่าประกอบกันเป็น " เชลล์ " วงโคจรที่มีค่าn เท่ากัน และค่า  ℓ เท่ากัน จะมีระยะห่างเฉลี่ยจากนิวเคลียสเท่ากัน และเรียกว่าประกอบกันเป็น " ซับเชลล์ "

เนื่องจากลักษณะทางกลศาสตร์ควอนตัมของอิเล็กตรอนรอบนิวเคลียส วงโคจรอะตอมจึงสามารถกำหนดได้อย่างเฉพาะเจาะจงด้วยชุดจำนวนเต็มที่เรียกว่าเลขควอนตัม เลขควอนตัมเหล่านี้ปรากฏขึ้นเฉพาะในบางชุดค่าเท่านั้น และการตีความทางกายภาพของเลขควอนตัมจะเปลี่ยนแปลงไปขึ้นอยู่กับว่า ใช้รูปแบบ จำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนของวงโคจรอะตอม

ในวิชาฟิสิกส์ คำอธิบายเกี่ยวกับออร์บิทัลที่พบได้บ่อยที่สุดนั้นอิงตามคำตอบของอะตอมไฮโดรเจน ซึ่งออร์บิทัลได้มาจากผลคูณระหว่างฟังก์ชันเชิงรัศมีและฮาร์มอนิกทรงกลม บริสุทธิ์ เลขควอนตัมพร้อมกับกฎที่ควบคุมค่าที่เป็นไปได้ของเลขควอนตัมเหล่านั้นมีดังต่อไปนี้:

เลขควอนตัมหลักnอธิบายถึงพลังงานของอิเล็กตรอนและเป็นจำนวนเต็มบวก เสมอ อันที่จริงแล้ว มันสามารถเป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ ก็ได้ แต่ด้วยเหตุผลที่จะกล่าวถึงต่อไป ตัวเลขขนาดใหญ่จึงพบได้น้อย โดยทั่วไปแล้ว อะตอมแต่ละอะตอมจะมีออร์บิทัลจำนวนมากที่เกี่ยวข้องกับค่าn แต่ละค่า ออร์บิทัลเหล่านี้รวมกันบางครั้งเรียกว่าเปลือกอิเล็กตรอน

เลขควอนตัมอะซิมาทัล ℓอธิบายถึงโมเมนตัมเชิงมุมของวงโคจรของอิเล็กตรอนแต่ละตัว และเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ภายในเชลล์ที่nเป็นจำนวนเต็มn₀ _ใดๆℓจะมีค่าครอบคลุมค่า (จำนวนเต็ม) ทั้งหมดที่สอดคล้องกับความสัมพันธ์ตัวอย่างเช่น เชลล์ n = 1  จะมีเฉพาะวงโคจรที่มีและ เชลล์ n = 2  จะมีเฉพาะวงโคจรที่มีและเซตของวงโคจรที่เกี่ยวข้องกับค่า  ℓ เฉพาะค่าหนึ่งๆ บางครั้งเรียกรวมกันว่าซับ เชลล์${\displaystyle 0\leq \ell \leq n_{0}-1}$${\displaystyle \ell =0}$${\displaystyle \ell =0}$${\displaystyle \ell =1}$

เลขควอนตัมแม่เหล็ก , , อธิบายการฉายภาพของโมเมนตัมเชิงมุมวงโคจรตามแกนที่เลือก มันกำหนดขนาดของกระแสที่ไหลเวียนรอบแกนนั้นและการมีส่วนร่วมของวงโคจรต่อโมเมนต์แม่เหล็กของอิเล็กตรอนผ่านแบบจำลองวงแอมแปร์เรียน^{[ 20 ]}ภายในซับเชลล์, จะได้รับค่าจำนวนเต็ม ใน ช่วง${\displaystyle m_{\ell }}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle m_{\ell }}$${\displaystyle -\ell \leq m_{\ell }\leq \ell }$

ผลลัพธ์ข้างต้นสามารถสรุปได้ในตารางต่อไปนี้ แต่ละช่องแสดงถึงซับเชลล์ และแสดงค่าที่มีอยู่ในซับเชลล์นั้น ช่องว่างแสดงถึงซับเชลล์ที่ไม่มีอยู่จริง ${\displaystyle m_{\ell }}$

	ℓ = 0 (วินาที)	ℓ = 1 (p)	ℓ = 2 (ง)	ℓ = 3 (f)	ℓ = 4 (กรัม)	...
n = 1	${\displaystyle m_{\ell }=0}$					...
n = 2	0	−1, 0, 1				...
n = 3	0	−1, 0, 1	−2, −1, 0, 1, 2			...
n = 4	0	−1, 0, 1	−2, −1, 0, 1, 2	−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3		...
n = 5	0	−1, 0, 1	−2, −1, 0, 1, 2	−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3	−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4	...
...	...	...	...	...	...	...

โดยทั่วไปแล้ว ซับเชลล์จะถูกระบุด้วย ค่า - และ- ของ มัน จะแสดงด้วยค่าตัวเลข แต่จะแสดงด้วยตัวอักษรดังนี้: 0 แทนด้วย 's', 1 แทนด้วย 'p', 2 แทนด้วย 'd', 3 แทนด้วย 'f' และ 4 แทนด้วย 'g' ตัวอย่างเช่น เราอาจพูดถึงซับเชลล์ที่มีและว่า 'ซับเชลล์ 2s' ${\displaystyle n}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle \ell =0}$

อิเล็กตรอนแต่ละตัวยังมีโมเมนตัมเชิงมุมในรูปของสปินทางกลศาสตร์ควอนตัมซึ่งกำหนดโดยสปินs = ⁠1/2การ ฉายภาพตามแกนที่กำหนดจะแสดงด้วย เลขควอนตั มแม่เหล็กสปิน m _sซึ่งสามารถเป็น + ⁠1/2หรือ −​1/2ค่าเหล่านี้เรียกอีกอย่างว่า "การหมุนขึ้น" หรือ "การหมุนลง" ตาม ลำดับ

หลักการกีดกันของเปาลีระบุว่า อิเล็กตรอนสองตัวในอะตอมเดียวกันไม่สามารถมีค่าควอนตัมทั้งสี่ตัวเหมือนกันได้ หากมีอิเล็กตรอนสองตัวในออร์บิทัลที่มีค่าควอนตัมสามตัว ( n , ℓ , m ) ที่กำหนดให้ อิเล็กตรอนทั้งสองตัวนี้จะต้องมีค่าการฉายภาพสปิน m _{s ที่}แตก ต่างกัน

ข้อตกลงข้างต้นบ่งบอกถึงแกนที่ต้องการ (เช่น ทิศทาง zในพิกัดคาร์ทีเซียน) และยังบ่งบอกถึงทิศทางที่ต้องการตามแกนที่ต้องการนี้ด้วย มิฉะนั้นจะไม่มีเหตุผลที่จะแยกแยะm = +1ออกจากm = −1ดังนั้นแบบจำลองนี้จึงมีประโยชน์มากที่สุดเมื่อนำไปใช้กับระบบทางกายภาพที่มีสมมาตรเหล่านี้การทดลองของ Stern–Gerlachซึ่งอะตอมถูกสนามแม่เหล็กให้สัมผัส เป็นตัวอย่างหนึ่ง^{[ 21 ]}

แทนที่จะใช้ออร์บิทัลเชิงซ้อนที่อธิบายไว้ข้างต้น เป็นเรื่องปกติ โดยเฉพาะในเอกสารทางเคมี ที่จะใช้ ออร์บิทัลอะตอม จริงออร์บิทัลจริงเหล่านี้เกิดขึ้นจากการรวมเชิงเส้นอย่างง่ายของออร์บิทัลเชิงซ้อน โดยใช้แบบแผนเฟสของ Condon–Shortleyออร์บิทัลจริงมีความสัมพันธ์กับออร์บิทัลเชิงซ้อนในลักษณะเดียวกับที่ฮาร์มอนิกทรงกลมจริงมีความสัมพันธ์กับฮาร์มอนิกทรงกลมเชิงซ้อนให้ แทนออร์บิทัลเชิงซ้อนที่มีเลขควอนตัมn , ℓและmออร์บิทัลจริงอาจถูกกำหนดโดย^{[ 22 ]}${\displaystyle \psi _{n,\ell ,m}}$${\displaystyle \psi _{n,\ell ,m}^{\text{real}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{n,\ell ,m}^{\text{real}}&={\begin{cases}{\sqrt {2}}(-1)^{m}{\text{Im}}\left\{\psi _{n,\ell ,|m|}\right\}&{\text{ สำหรับ }}m<0\\[2pt]\psi _{n,\ell ,|m|}&{\text{ สำหรับ }}m=0\\[2pt]{\sqrt {2}}(-1)^{m}{\text{Re}}\left\{\psi _{n,\ell ,|m|}\right\}&{\text{ สำหรับ }}m>0\end{cases}}\\[4pt]&={\begin{cases}{\frac {i}{\sqrt {2}}}\left(\psi _{n,\ell ,-|m|}-(-1)^{m}\psi _{n,\ell ,|m|}\right)&{\text{ สำหรับ }}m<0\\[2pt]\psi _{n,\ell ,|m|}&{\text{ สำหรับ }}m=0\\[4pt]{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\psi _{n,\ell ,-|m|}+(-1)^{m}\psi _{n,\ell ,|m|}\right)&{\text{ สำหรับ }}m>0\end{cases}}\end{aligned}}}$$

ถ้าใช้ส่วนรัศมีของวงโคจร นิยามนี้จะเทียบเท่ากับ โดยที่คือฮาร์มอนิกทรงกลมจริงที่เกี่ยวข้องกับส่วนจริงหรือส่วนจินตนาการของฮาร์มอนิกทรงกลมเชิงซ้อน ${\displaystyle \psi _{n,\ell ,m}(r,\theta ,\phi )=R_{nl}(r)Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )}$${\displaystyle R_{nl}(r)}$${\displaystyle \psi _{n,\ell ,m}^{\text{real}}(r,\theta ,\phi )=R_{nl}(r)Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}$${\displaystyle Y_{\ell m}}$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$

ฮาร์มอนิกทรงกลมจริงมีความเกี่ยวข้องทางกายภาพเมื่ออะตอมฝังอยู่ในของแข็งผลึก ซึ่งในกรณีนี้จะมีแกนสมมาตรที่ต้องการหลายแกน แต่ไม่มีทิศทางที่ต้องการเพียงทิศทางเดียว ออร์บิทัลอะตอมจริงยังพบได้บ่อยขึ้นในตำราเคมีเบื้องต้นและแสดงในการแสดงภาพออร์บิทัลทั่วไป^{[ 23 ]}ในออร์บิทัลที่คล้ายไฮโดรเจนจริง เลขควอนตัมnและℓมีการตีความและความสำคัญเช่นเดียวกับคู่เชิงซ้อน แต่mไม่ใช่เลขควอนตัมที่ดีอีกต่อไป (แต่ค่าสัมบูรณ์ของมันเป็นเช่นนั้น)

ออร์บิทัลจริงบางชนิดมีชื่อเฉพาะนอกเหนือจากการกำหนดแบบง่ายๆ ออร์บิทัลที่มีเลขควอนตัมℓ = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...เรียกว่า ออร์บิทัล s, p, d, f, g, h, i, ...ด้วยวิธีนี้ เราสามารถกำหนดชื่อให้กับออร์บิทัลเชิงซ้อนได้แล้ว เช่น โดยที่สัญลักษณ์แรกคือ เลขควอนตัม nตัวอักษรตัวที่สองคือสัญลักษณ์ของ เลขควอนตัม ℓ นั้นๆ และตัวห้อยคือเลขควอนตัม m${\displaystyle \psi _{n,\ell ,m}}$${\displaystyle 2{\text{p}}_{\pm 1}=\psi _{2,1,\pm 1}}$

เพื่อเป็นตัวอย่างของการสร้างชื่อออร์บิทัลแบบเต็มสำหรับออร์บิทัลจริง เราอาจคำนวณได้จาก ตารางฮาร์มอนิ กทรงกลมโดยที่ แล้ว ${\displaystyle \psi _{n,1,\pm 1}^{\text{real}}}$${\textstyle \psi _{n,1,\pm 1}=R_{n,1}Y_{1}^{\pm 1}=\mp R_{n,1}{\sqrt {3/8\pi }}\cdot (x\pm iy)/r}$${\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{n,1,+1}^{\text{real}}&=R_{n,1}{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\cdot {\frac {x}{r}}\\\psi _{n,1,-1}^{\text{real}}&=R_{n,1}{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\cdot {\frac {y}{r}}\end{aligned}}}$$

ใน ทำนองเดียวกันตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่านี้: ${\textstyle \psi _{n,1,0}=R_{n,1}{\sqrt {3/4\pi }}\cdot z/r}$

$${\displaystyle \psi _{n,3,+1}^{\text{real}}=R_{n,3}{\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {21}{2\pi }}}\cdot {\frac {x\cdot (5z^{2}-r^{2})}{r^{3}}}}$$

ในทุกกรณีเหล่านี้ เราสร้างป้ายกำกับคาร์ทีเซียนสำหรับออร์บิทัลโดยการตรวจสอบและย่อพหุนามในx , y , zที่ปรากฏในตัวเศษ เราละเว้นพจน์ใด ๆ ใน พหุนาม z , rยกเว้นพจน์ที่มีเลขชี้กำลังสูงสุดในzจากนั้นเราใช้พหุนามที่ย่อแล้วเป็นป้ายกำกับตัวห้อยสำหรับสถานะอะตอม โดยใช้ระบบการตั้งชื่อเดียวกันกับข้างต้นเพื่อระบุเลขควอนตัม y และ z${\displaystyle n}$${\displaystyle \ell }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{n,1,-1}^{\text{real}}&=n{\text{p}}_{y}={\frac {i}{\sqrt {2}}}\left(n{\text{p}}_{-1}+n{\text{p}}_{+1}\right)\\\psi _{n,1,0}^{\text{real}}&=n{\text{p}}_{z}=2{\text{p}}_{0}\\\psi _{n,1,+1}^{\text{real}}&=n{\text{p}}_{x}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(n{\text{p}}_{-1}-n{\text{p}}_{+1}\right)\\\psi _{n,3,+1}^{\text{real}}&=nf_{xz^{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(nf_{-1}-nf_{+1}\right)\end{aligned}}}$$

นิพจน์ข้างต้นทั้งหมดใช้แบบแผนเฟส Condon–Shortleyซึ่งเป็นที่นิยมในหมู่นักฟิสิกส์ควอนตัม^{[ 24 ] [ 25 ]}มีแบบแผนอื่น ๆ สำหรับเฟสของฮาร์มอนิกทรงกลม^{[ 26 ] [ 27 ]}ภายใต้แบบแผนที่แตกต่างกันเหล่านี้ ออร์บิทัล และอาจปรากฏ เช่น ผลรวมและผลต่างของและซึ่งขัดแย้งกับสิ่งที่แสดงไว้ข้างต้น ${\displaystyle {\text{p}}_{x}}$${\displaystyle {\text{p}}_{y}}$${\displaystyle {\text{p}}_{+1}}$${\displaystyle {\text{p}}_{-1}}$

ด้านล่างนี้คือรายชื่อชื่อพหุนามคาร์ทีเซียนสำหรับออร์บิทัลอะตอม^{[ 28 ] [ 29 ]}ดูเหมือนว่าจะไม่มีการอ้างอิงในวรรณกรรมเกี่ยวกับวิธีการย่อพหุนามฮาร์มอนิกทรงกลมคาร์ทีเซียนแบบยาวดังนั้นจึงดูเหมือนว่าจะไม่มีฉันทามติเกี่ยวกับการตั้งชื่อออร์บิทัลหรือสูงกว่าตามระบบการตั้งชื่อนี้ ${\displaystyle \ell >3}$${\displaystyle g}$

	${\displaystyle \psi _{m=-3}+\psi _{m=+3}}$	${\displaystyle \psi _{m=-2}+\psi _{m=+2}}$	${\displaystyle \psi _{m=-1}+\psi _{m=+1}}$	${\displaystyle \psi _{m=0}}$	${\displaystyle \psi _{m=-1}-\psi _{m=+1}}$	${\displaystyle \psi _{m=-2}-\psi _{m=+2}}$	${\displaystyle \psi _{m=-3}-\psi _{m=+3}}$
${\displaystyle \ell =0}$				${\displaystyle {\text{s}}}$
${\displaystyle \ell =1}$			${\displaystyle {\text{p}}_{y}}$	${\displaystyle {\text{p}}_{z}}$	${\displaystyle {\text{p}}_{x}}$
${\displaystyle \ell =2}$		${\displaystyle {\text{d}}_{x^{2}-y^{2}}}$	${\displaystyle {\text{d}}_{yz}}$	${\displaystyle {\text{d}}_{z^{2}}}$	${\displaystyle {\text{d}}_{xz}}$	${\displaystyle {\text{d}}_{xy}}$
${\displaystyle \ell =3}$	${\displaystyle {\text{f}}_{y(3x^{2}-y^{2})}}$	${\displaystyle {\text{f}}_{z(x^{2}-y^{2})}}$	${\displaystyle {\text{f}}_{yz^{2}}}$	${\displaystyle {\text{f}}_{z^{3}}}$	${\displaystyle {\text{f}}_{xz^{2}}}$	${\displaystyle {\text{f}}_{xyz}}$	${\displaystyle {\text{f}}_{x(x^{2}-3y^{2})}}$

ภาพอย่างง่ายที่แสดงรูปร่างวงโคจรมีจุดประสงค์เพื่ออธิบายรูปทรงเชิงมุมของบริเวณในอวกาศที่อิเล็กตรอนซึ่งอยู่ในวงโคจรนั้นมีแนวโน้มที่จะพบได้ แผนภาพเหล่านี้ไม่สามารถแสดงบริเวณทั้งหมดที่สามารถพบอิเล็กตรอนได้ เนื่องจากตามกลศาสตร์ควอนตัมแล้ว มีความน่าจะเป็นที่ไม่เป็นศูนย์ที่จะพบอิเล็กตรอน (เกือบ) ทุกที่ในอวกาศ ดังนั้น แผนภาพเหล่านี้จึงเป็นการแสดงภาพโดยประมาณของพื้นผิวขอบเขตหรือเส้นโค้งที่ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น| ψ( r , θ , φ ) | ²มีค่าคงที่ ซึ่งเลือกไว้เพื่อให้มีความน่าจะเป็นที่แน่นอน (เช่น 90%) ที่จะพบอิเล็กตรอนภายในเส้นโค้งนั้น แม้ว่า| ψ | ²ซึ่งเป็นกำลังสองของค่าสัมบูรณ์จะ มีค่า ไม่เป็นลบทุกที่ แต่เครื่องหมายของฟังก์ชันคลื่นψ( r , θ , φ )มักจะระบุไว้ในแต่ละบริเวณย่อยของภาพวงโคจร

บางครั้งกราฟของ ฟังก์ชัน ψจะถูกแสดงเพื่อแสดงเฟสของมัน แทนที่จะแสดง| ψ( r , θ , φ ) | ²ซึ่งแสดงความหนาแน่นของความน่าจะเป็นแต่ไม่มีเฟส (ซึ่งจะหายไปเมื่อหาค่าสัมบูรณ์ เนื่องจากψ( r , θ , φ )เป็นจำนวนเชิงซ้อน ) กราฟวงโคจร | ψ( r , θ , φ ) | ²มักจะมีส่วนโค้งที่บางกว่าและเป็นทรงกลมน้อยกว่า กราฟ ψ( r , θ , φ ) แต่มีจำนวนส่วนโค้งเท่ากันและอยู่ในตำแหน่งเดียวกัน และสามารถจดจำได้ บทความนี้จึงแสดง กราฟ ψ( r , θ , φ )เป็นส่วนใหญ่เพื่อแสดงเฟสของฟังก์ชันคลื่น

สามารถมองเห็นกลีบได้ว่าเป็น ลวดลาย การแทรกสอดของคลื่นนิ่ง ระหว่าง โหมดคลื่นเดินทางแบบหมุนสวนทางกันสอง โหมด คือ mและ− mโดยการฉายภาพของวงโคจรลงบนระนาบ xy จะมี คลื่นความยาว m ที่สั่น พ้องรอบเส้นรอบวง แม้ว่าจะไม่ค่อยได้แสดงให้เห็น แต่สามารถมองเห็นคำตอบของคลื่นเดินทางได้ว่าเป็นทอรัสแบบแถบหมุน โดยแถบเหล่านี้แสดงถึงข้อมูลเฟส สำหรับแต่ละmจะมีคำตอบของคลื่นนิ่งสองคำตอบ คือ⟨ m ⟩ + ⟨− m ⟩และ⟨ m ⟩ − ⟨− m ⟩ถ้าm = 0วงโคจรจะเป็นแนวตั้ง ข้อมูลการหมุนสวนทางกันจะไม่เป็นที่รู้จัก และวงโคจรจะ สมมาตรตามแกน zถ้าℓ = 0จะไม่มีโหมดการหมุนสวนทางกัน มีเพียงโหมดรัศมีเท่านั้น และรูปร่างจะสมมาตรทรงกลม

ระนาบกรวยและทรงกลมโนดัลคือพื้นผิวที่ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นเป็นศูนย์ ชนิดของพื้นผิวโนดัลถูกควบคุมโดยเลขควอนตัม ออร์บิทัลคลื่นนิ่งที่มีเลขควอนตัมเชิงมุม ℓจะมีกรวยหรือระนาบโนดัล ℓ อันที่ผ่านจุดกำเนิด ตัวอย่างเช่น ออร์บิทัล s ( ℓ = 0 ) มีสมมาตรทรงกลมและไม่มีระนาบหรือกรวยโนดัล ในขณะที่ออร์บิทัล p ( ℓ = 1 ) มีระนาบโนดัลเดียวระหว่างกลีบ และ ออร์บิทัล d ( m = 0) มีกรวยโนดัลสมมาตร 2 อัน จำนวนทรงกลมโนดัลเท่ากับ n−ℓ−1ซึ่งสอดคล้องกับข้อจำกัด ℓ ≤ n−1บนเลขควอนตัม เลขควอนตัมหลักควบคุมจำนวนพื้นผิวโนดัลทั้งหมดซึ่งเท่ากับ n− 1 ^{[ 30 ]}โดยคร่าวๆ ในกรณีของวงโคจรคลื่นนิ่ง nคือพลังงาน ℓเทียบได้กับความเยื้องศูนย์และ mคือการวางแนว

โดยทั่วไปnเป็นตัวกำหนดขนาดและพลังงานของออร์บิทัลสำหรับนิวเคลียสที่กำหนด ยิ่งnเพิ่มขึ้น ขนาดของออร์บิทัลก็จะยิ่งมากขึ้น ประจุของนิวเคลียสZ ที่สูงกว่า ของธาตุหนักจะทำให้ออร์บิทัลของธาตุเหล่านั้นหดตัวลงเมื่อเทียบกับธาตุเบา ดังนั้นขนาดของอะตอมจึงยังคงค่อนข้างคงที่ แม้ว่าจำนวนอิเล็กตรอนจะเพิ่มขึ้นก็ตาม

โดยทั่วไปแล้วℓจะกำหนดรูปร่างของออร์บิทัล และmℓ จะกำหนดทิศทางของออร์บิทั _ลอย่างไรก็ตาม เนื่องจากออร์บิทัลบางชนิดถูกอธิบายด้วยสมการในจำนวนเชิงซ้อนรูปร่างจึงขึ้นอยู่กับmℓด้วยเช่นกัน โดยรวมแล้ว ออร์บิทัลทั้งหมดสำหรับℓและn ที่กำหนด จะเติมเต็มพื้นที่อย่างสมมาตรที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ แม้ว่าจะมีชุดของกลีบและจุดตัดที่ซับซ้อนมากขึ้นเรื่อยๆ _{ก็ตาม}

ออร์บิทัล s เดี่ยว ( ) มีรูปร่างคล้ายทรงกลม สำหรับn = 1จะมี ลักษณะคล้าย ลูกบอลตัน (มีความหนาแน่นสูงสุดที่ศูนย์กลางและค่อยๆ จางลงแบบเอกซ์โปเนนเชียล) แต่สำหรับn ≥ 2ออร์บิทัล s เดี่ยวแต่ละอันจะประกอบด้วยพื้นผิวสมมาตรทรงกลมซึ่งเป็นชั้นซ้อนกัน (กล่าวคือ "โครงสร้างคลื่น" เป็นแบบรัศมี โดยมีส่วนประกอบรัศมีแบบไซน์ด้วย) ดูภาพประกอบของภาคตัดขวางของชั้นซ้อนกันเหล่านี้ทางด้านขวา ออร์บิทัล s สำหรับ เลข n ทุก ค่าเป็นออร์บิทัลเดียวที่มีแอนติโนด (บริเวณที่มีความหนาแน่นของฟังก์ชันคลื่นสูง) ที่ศูนย์กลางของนิวเคลียส ออร์บิทัลอื่นๆ ทั้งหมด (p, d, f เป็นต้น) มีโมเมนตัมเชิงมุม ดังนั้นจึงหลีกเลี่ยงนิวเคลียส (โดยมีโหนดคลื่นที่นิวเคลียส) เมื่อเร็วๆ นี้ มีความพยายามที่จะสร้างภาพเชิงทดลองของออร์บิทัล 1s และ 2p ในผลึก SrTiO ₃โดยใช้กล้องจุลทรรศน์อิเล็กตรอนแบบสแกนส่งผ่าน พร้อม สเปกโทรสโกปีรังสีเอกซ์แบบกระจายพลังงาน^{[ 31 ]}เนื่องจากการสร้างภาพดำเนินการโดยใช้ลำแสงอิเล็กตรอน ปฏิสัมพันธ์ระหว่างลำแสงกับออร์บิทัลแบบคูลอมบ์ ซึ่งมักเรียกว่าผลกระทบพารามิเตอร์การกระทบ จะรวมอยู่ในผลลัพธ์ (ดูรูปทางด้านขวา) ${\displaystyle \ell =0}$

รูปร่างของออร์บิทัล p, d และ f ได้รับการอธิบายด้วยคำพูดในที่นี้และแสดงให้เห็นเป็นภาพในตารางออร์บิทัลด้านล่าง ออร์บิทัล p ทั้งสามสำหรับn = 2มีรูปร่างเป็นทรงรี สองอัน ที่มีจุดสัมผัสอยู่ที่นิวเคลียส (รูปร่างสองแฉกนี้บางครั้งเรียกว่า " ดัมเบล " – มีสองแฉกชี้ไปในทิศทางตรงกันข้ามกัน) ออร์บิทัล p ทั้งสามในแต่ละเชลล์จะวางตัวตั้งฉากกัน โดยกำหนดจากผลรวมเชิงเส้นของค่า  m _ℓ ที่เกี่ยวข้อง ผลลัพธ์โดยรวมคือแฉกที่ชี้ไปตามทิศทางของแกนหลักแต่ละทิศทาง

ออร์บิทัล d ทั้งห้าสำหรับn = 3 สี่ในห้า มีลักษณะคล้ายกัน โดยแต่ละออร์บิทัลมีกลีบรูปทรงลูกแพร์สี่กลีบ แต่ละกลีบสัมผัสกันในมุมฉากกับอีกสองกลีบ และจุดศูนย์กลางของทั้งสี่กลีบอยู่ในระนาบเดียวกัน สามในระนาบเหล่านี้คือระนาบ xy, xz และ yz ซึ่งกลีบอยู่ระหว่างแกนหลักแต่ละคู่ และระนาบที่สี่มีจุดศูนย์กลางอยู่ตามแนวแกน x และ y ออร์บิทัล d ที่ห้าและสุดท้ายประกอบด้วยสามบริเวณที่มีความหนาแน่นของความน่าจะเป็นสูง: วงแหวนที่อยู่ระหว่างบริเวณรูปทรงลูกแพร์สองบริเวณที่วางสมมาตรกันบนแกน z กลีบทิศทางทั้งหมด 18 กลีบชี้ไปในทุกทิศทางของแกนหลักและระหว่างแกนหลักแต่ละคู่

มีออร์บิทัล f อยู่เจ็ดแบบ แต่ละแบบมีรูปร่างซับซ้อนกว่าออร์บิทัล d

นอกจากนี้ เช่นเดียวกับออร์บิทัล s ออร์บิทัล p, d, f และ g แต่ละตัวที่มี ค่า nสูงกว่าค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ จะแสดงโครงสร้างโหนดรัศมีเพิ่มเติม ซึ่งชวนให้นึกถึงคลื่นฮาร์มอนิกประเภทเดียวกัน เมื่อเปรียบเทียบกับโหมดต่ำสุด (หรือโหมดพื้นฐาน) ของคลื่น เช่นเดียวกับออร์บิทัล s ปรากฏการณ์นี้ทำให้ออร์บิทัล p, d, f และ g ที่มีค่าn สูงขึ้นถัดไป (ตัวอย่างเช่น ออร์บิทัล 3p เทียบกับ 2p พื้นฐาน) มีโหนดเพิ่มเติมในแต่ละกลีบ ค่าn ที่สูงขึ้นไปอีก จะเพิ่มจำนวนโหนดรัศมีสำหรับออร์บิทัลแต่ละประเภทมากขึ้นไปอีก

รูปร่างของออร์บิทัลอะตอมในอะตอมอิเล็กตรอนตัวเดียวมีความสัมพันธ์กับฮาร์มอนิกทรงกลม สามมิติ รูปร่างเหล่านี้ไม่ซ้ำกัน และการรวมเชิงเส้นใดๆ ก็ใช้ได้ เช่น การแปลงเป็นฮาร์มอนิกลูกบาศก์ในความเป็นจริง สามารถสร้างเซตที่ d ทั้งหมดมีรูปร่างเหมือนกันได้ เช่นเดียวกับp _x , p _yและp _zที่มีรูปร่างเหมือนกัน^{[ 32 ] [ 33 ]}

แม้ว่าโดยทั่วไปแล้ววงโคจรแต่ละวงจะแสดงให้เห็นว่าแยกจากกัน แต่ในความเป็นจริงแล้ววงโคจรเหล่านี้อยู่ร่วมกันรอบนิวเคลียสในเวลาเดียวกัน นอกจากนี้ ในปี ค.ศ. 1927 อัลเบรชต์ อุนส์โอลด์ได้พิสูจน์ว่า หากเราบวกความหนาแน่นของอิเล็กตรอนของวงโคจรทั้งหมดที่มีเลขควอนตัมเชิงมุมℓ เฉพาะเจาะจงของเปลือก nเดียวกัน(เช่น วงโคจร 2p ทั้งสามวง หรือวงโคจร 3d ทั้งห้าวง) โดยที่แต่ละวงโคจรมีอิเล็กตรอนหนึ่งตัวหรืออิเล็กตรอนคู่หนึ่ง แล้วความขึ้นอยู่กับมุมทั้งหมดจะหายไป กล่าวคือ ความหนาแน่นรวมของวงโคจรอะตอมทั้งหมดในซับเชลล์นั้น (วงโคจรที่มีℓ เดียวกัน ) จะมีรูปร่างเป็นทรงกลม นี่คือสิ่งที่เรียกว่าทฤษฎีบทของอุนส์โอลด์

ตารางนี้แสดงฟังก์ชันคลื่นที่เหมือนไฮโดรเจนจริงสำหรับออร์บิทัลอะตอมทั้งหมดจนถึง 7s ดังนั้นจึงครอบคลุมออร์บิทัลที่ถูกครอบครองในสถานะพื้นฐานของธาตุทั้งหมดในตารางธาตุจนถึงเรเดียมกราฟ "ψ" แสดงด้วย เฟส ฟังก์ชันคลื่น−และ+ ที่แสดงด้วยสองสีที่แตกต่างกัน (สีแดงและสีน้ำเงินตามอำเภอใจ) ออร์บิทัล p _zเหมือนกับ ออร์บิทัล p ₀แต่p _xและp _yเกิดจากการรวมเชิงเส้นของ ออร์บิทัล p ₊₁และp ₋₁ (ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมจึงแสดงอยู่ภายใต้ ป้ายกำกับ m = ±1 ) นอกจากนี้p ₊₁และp ₋₁ไม่ได้มีรูปร่างเหมือนกับp ₀เนื่องจากเป็นฮาร์มอนิกทรงกลมบริสุทธิ์

	s ( ℓ = 0 )	p ( ℓ = 1 )			d ( ℓ = 2 )					f ( ℓ = 3 )
	ม = 0	ม = 0	ม = ±1		ม = 0	ม = ±1		ม = ±2		ม = 0	ม = ±1		ม = ±2		ม = ±3
	ส	พีซ	พีx	พีวาย	d z 2	d xz	ดีวาย	d xy	d x 2 − y 2	เอฟซ3	เอฟxz 2	เอฟวายซี2	เอฟเอ็กซ์วายซี	f z ( x 2 − y 2 )	f x ( x 2 −3 y 2 )	f y (3 x 2 − y 2 )
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
n = 5										...	...	...	...	...	...	...
n = 6					... ‡	... ‡	... ‡	... ‡	... ‡	. . . *	. . . *	. . . *	. . . *	. . . *	. . . *	. . . *
n = 7		... †	... †	... †	. . . *	. . . *	. . . *	. . . *	. . . *	. . . *	. . . *	. . . *	. . . *	. . . *	. . . *	. . . *

* ยังไม่พบธาตุใดที่มีอิเล็กตรอน 6f, 7d หรือ 7f

† มีการค้นพบธาตุที่มีอิเล็กตรอน 7p แล้วแต่การจัดเรียงอิเล็กตรอน ของธาตุเหล่านั้น ยังเป็นเพียงการทำนายเท่านั้น ยกเว้นธาตุLr ที่เป็นข้อยกเว้น ซึ่งมีอิเล็กตรอน 7p ¹แทนที่จะเป็น 6d ¹

‡ สำหรับธาตุที่มีออร์บิทัลที่มีอิเล็กตรอนอยู่สูงสุดเป็นออร์บิทัล 6d นั้น มีเพียงบางโครงสร้างอิเล็กตรอนเท่านั้นที่ได้รับการยืนยันแล้ว ( Mt , Ds , RgและCnยังไม่ได้รับการยืนยัน)

นี่คือออร์บิทัลค่าจริงที่ใช้กันทั่วไปในวิชาเคมี เฉพาะออร์บิทัลที่มีค่าเป็นไอเกนสเตตของตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงมุมของออร์บิทัล เท่านั้น คอลัมน์ที่มีค่าเป็นการรวมกันของไอเกนสเตตสองตัว ดูการเปรียบเทียบในภาพต่อไปนี้ :${\displaystyle m=0}$${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$${\displaystyle m=\pm 1,\pm 2,\cdots }$

รูปร่างของวงโคจรอะตอมสามารถเข้าใจได้ในเชิงคุณภาพโดยพิจารณากรณีที่คล้ายคลึงกันของคลื่นนิ่งบนกลองวงกลม [ ^{34 ] เพื่อ}ให้เห็นความคล้ายคลึงกัน ต้องพิจารณาการกระจัดของการสั่นสะเทือนเฉลี่ยของแต่ละส่วนของเยื่อกลองจากจุดสมดุลในช่วงหลายรอบ (ซึ่งเป็นการวัดความเร็วและโมเมนตัมเฉลี่ยของเยื่อกลอง ณ จุดนั้น) โดยสัมพันธ์กับระยะห่างของจุดนั้นจากศูนย์กลางของหัวกลอง หากถือว่าการกระจัดนี้คล้ายคลึงกับความน่าจะเป็นที่จะพบอิเล็กตรอนที่ระยะห่างที่กำหนดจากนิวเคลียส จะเห็นได้ว่าโหมดต่างๆ ของแผ่นดิสก์ที่สั่นสะเทือนก่อให้เกิดรูปแบบที่ติดตามรูปร่างต่างๆ ของวงโคจรอะตอม เหตุผลพื้นฐานสำหรับความสอดคล้องกันนี้อยู่ที่ข้อเท็จจริงที่ว่าการกระจายของพลังงานจลน์และโมเมนตัมในคลื่นสสารสามารถทำนายตำแหน่งของอนุภาคที่เกี่ยวข้องกับคลื่นได้ กล่าวคือ ความน่าจะเป็นที่จะพบอิเล็กตรอน ณ ตำแหน่งใดตำแหน่งหนึ่งนั้นขึ้นอยู่กับโมเมนตัมเฉลี่ยของอิเล็กตรอน ณ จุดนั้นด้วย เนื่องจากโมเมนตัมของอิเล็กตรอนที่สูง ณ ตำแหน่งใดตำแหน่งหนึ่งมีแนวโน้มที่จะ "จำกัด" อิเล็กตรอนให้อยู่ในตำแหน่งนั้น ผ่านคุณสมบัติของกลุ่มคลื่นอิเล็กตรอน (ดูรายละเอียดของกลไกได้จาก หลักการความไม่แน่นอนของไฮเซนเบิร์ก )

ความสัมพันธ์นี้หมายความว่าสามารถสังเกตคุณลักษณะสำคัญบางอย่างได้ทั้งในโหมดเมมเบรนดรัมและออร์บิทัลอะตอม ตัวอย่างเช่น ในทุกโหมดที่คล้ายคลึงกับ ออร์บิทัล s  (แถวบนสุดในภาพประกอบเคลื่อนไหวด้านล่าง) จะเห็นได้ว่าจุดศูนย์กลางของเมมเบรนดรัมสั่นสะเทือนแรงที่สุด ซึ่งสอดคล้องกับแอนติโนด ในออร์บิทัล sทั้งหมด ในอะตอม แอนติโนดนี้หมายความว่าอิเล็กตรอนมีแนวโน้มที่จะอยู่ที่ตำแหน่งทางกายภาพของนิวเคลียสมากที่สุด (ซึ่งมันเคลื่อนที่ผ่านโดยไม่กระเจิงหรือชน) เนื่องจากมันเคลื่อนที่ (โดยเฉลี่ย) เร็วที่สุด ณ จุดนั้น ทำให้มันมีโมเมนตัมสูงสุด

ภาพ "วงโคจรของดาวเคราะห์" ในจินตนาการที่ใกล้เคียงที่สุดกับพฤติกรรมของอิเล็กตรอนใน วงโคจร s  ซึ่งทั้งหมดไม่มีโมเมนตัมเชิงมุม อาจเป็นวงโคจรแบบเคปเลอร์ที่มีความเยื้องศูนย์กลางของวงโคจรเท่ากับ 1 แต่มีแกนเอกที่จำกัด ซึ่งเป็นไปไม่ได้ในทางกายภาพ (เพราะอนุภาคจะชนกัน) แต่สามารถจินตนาการได้ว่าเป็นขีดจำกัดของวงโคจรที่มีแกนเอกเท่ากันแต่มีความเยื้องศูนย์กลางเพิ่มขึ้น

ด้านล่างนี้ แสดงโหมดการสั่นของเยื่อกลองจำนวนหนึ่งและฟังก์ชันคลื่นของอะตอมไฮโดรเจนที่เกี่ยวข้อง สามารถพิจารณาความสัมพันธ์ได้ว่า ฟังก์ชันคลื่นของหนังกลองที่สั่นนั้นเป็นระบบสองพิกัดψ( r , θ )และฟังก์ชันคลื่นของทรงกลมที่สั่นนั้นเป็นระบบสามพิกัดψ ( r , θ , φ )

• โหมดกลองแบบ S และฟังก์ชั่นคลื่น
• 
  โหมดกลอง${\displaystyle u_{01}}$
• 
  โหมดกลอง${\displaystyle u_{02}}$
• 
  โหมดกลอง${\displaystyle u_{03}}$
• 
  ฟังก์ชันคลื่นของออร์บิทัล 1s (ส่วนจริง, ตัดแบบ 2 มิติ)${\displaystyle r_{\mathrm {max} }=2a_{0}}$
• 
  ฟังก์ชันคลื่นของออร์บิทัล 2s (ส่วนจริง, ตัดแบบ 2 มิติ)${\displaystyle r_{\mathrm {max} }=10a_{0}}$
• 
  ฟังก์ชันคลื่นของออร์บิทัล 3s (ส่วนจริง, ตัดแบบ 2 มิติ)${\displaystyle r_{\mathrm {max} }=20a_{0}}$

โหมดอื่นๆ ในเมมเบรนดรัมไม่มีจุดแอนติโนดตรงกลาง และในทุกโหมดนั้น ศูนย์กลางของดรัมจะไม่เคลื่อนที่ โหมดเหล่านี้สอดคล้องกับจุดโนดที่นิวเคลียสสำหรับออร์บิทัลที่ไม่ใช่s ทั้งหมด ในอะตอม ออร์บิทัลเหล่านี้ทั้งหมดมีโมเมนตัมเชิงมุม และในแบบจำลองดาวเคราะห์ ออร์บิทัลเหล่านี้สอดคล้องกับอนุภาคที่โคจรโดยมีค่าความเยื้องศูนย์กลางน้อยกว่า 1.0 ดังนั้นพวกมันจึงไม่ผ่านศูนย์กลางของวัตถุหลักโดยตรง แต่จะอยู่ห่างออกไปเล็กน้อย

นอกจากนี้ โหมดดรัมที่คล้ายกับ โหมด pและdในอะตอมแสดงความไม่สม่ำเสมอเชิงพื้นที่ตามทิศทางรัศมีต่างๆ จากศูนย์กลางของดรัม ในขณะที่โหมดทั้งหมดที่คล้ายกับ โหมด s นั้น  สมมาตรอย่างสมบูรณ์ในทิศทางรัศมี คุณสมบัติที่ไม่สมมาตรในแนวรัศมีของออร์บิทัลที่ไม่ใช่sนั้นจำเป็นต่อการกำหนดตำแหน่งของอนุภาคที่มีโมเมนตัมเชิงมุมและลักษณะเป็นคลื่นในออร์บิทัล ซึ่งอนุภาคนั้นจะต้องพยายามอยู่ห่างจากแรงดึงดูดที่ศูนย์กลาง เนื่องจากอนุภาคใดๆ ที่อยู่ ณ จุดดึงดูดที่ศูนย์กลางจะไม่มีโมเมนตัมเชิงมุม สำหรับโหมดเหล่านี้ คลื่นในหัวดรัมมีแนวโน้มที่จะหลีกเลี่ยงจุดศูนย์กลาง คุณสมบัติดังกล่าวเน้นย้ำอีกครั้งว่ารูปร่างของออร์บิทัลอะตอมเป็นผลโดยตรงจากลักษณะเป็นคลื่นของอิเล็กตรอน

• โหมดกลองแบบ p และฟังก์ชั่นคลื่น
• 
  โหมดกลอง${\displaystyle u_{11}}$
• 
  โหมดกลอง${\displaystyle u_{12}}$
• 
  โหมดกลอง${\displaystyle u_{13}}$
• 
  ฟังก์ชันคลื่นของออร์บิทัล 2p (ส่วนจริง, ตัดแบบ 2 มิติ)${\displaystyle r_{\mathrm {max} }=10a_{0}}$
• 
  ฟังก์ชันคลื่นของออร์บิทัล 3p (ส่วนจริง, ตัดแบบ 2 มิติ)${\displaystyle r_{\mathrm {max} }=20a_{0}}$
• 
  ฟังก์ชันคลื่นของออร์บิทัล 4p (ส่วนจริง, ตัดแบบ 2 มิติ)${\displaystyle r_{\mathrm {max} }=25a_{0}}$

• โหมดกลองแบบ d
• 
  โหมดกลอง${\displaystyle u_{21}}$
• 
  โหมดกลอง${\displaystyle u_{22}}$
• 
  โหมดกลอง${\displaystyle u_{23}}$

ในอะตอมที่มีอิเล็กตรอนตัวเดียว ( เช่น อะตอมไฮโดรเจน ) พลังงานของออร์บิทัล (และด้วยเหตุนี้ อิเล็กตรอนใดๆ ในออร์บิทัล) จะถูกกำหนดโดยค่า เป็นหลัก ออ ร์บิทัล มีพลังงานต่ำที่สุดในอะตอม ค่า ที่สูงขึ้นเรื่อยๆจะมีพลังงานสูงขึ้น แต่ความแตกต่างจะลดลงเมื่อเพิ่มขึ้น สำหรับค่า สูงๆพลังงานจะสูงมากจนอิเล็กตรอนสามารถหลุดออกจากอะตอมได้ง่าย ในอะตอมที่มีอิเล็กตรอนตัวเดียว ระดับพลังงานทั้งหมดที่มีค่า ต่างกันภายในค่า ที่กำหนดจะเสื่อมสภาพในประมาณการของชโรดิงเกอร์ และมีพลังงานเท่ากัน ประมาณการนี้ถูกทำลายเล็กน้อยในคำตอบของสมการดิแรก (ซึ่งพลังงานขึ้นอยู่กับnและเลขควอนตัมj อีกตัวหนึ่ง ) และโดยผลของสนามแม่เหล็กของนิวเคลียสและ ผลของ ควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์ผลหลังนี้ทำให้เกิดความแตกต่างของพลังงานยึดเหนี่ยวเล็กน้อย โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับ อิเล็กตรอน s  ที่เข้าใกล้นิวเคลียสมากขึ้น เนื่องจากอิเล็กตรอนเหล่านี้รู้สึกถึงประจุของนิวเคลียสที่แตกต่างกันเล็กน้อย แม้ในอะตอมที่มีอิเล็กตรอนตัวเดียว ดูการเลื่อนของแลมบ์ ${\displaystyle n}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle n}$

ในอะตอมที่มีอิเล็กตรอนหลายตัว พลังงานของอิเล็กตรอนไม่ได้ขึ้นอยู่กับออร์บิทัลของมันเท่านั้น แต่ยังขึ้นอยู่กับปฏิสัมพันธ์กับอิเล็กตรอนอื่นๆ ด้วย ปฏิสัมพันธ์เหล่านี้ขึ้นอยู่กับรายละเอียดของการกระจายความน่าจะเป็นเชิงพื้นที่ ดังนั้นระดับพลังงานของออร์บิทัลจึงขึ้นอยู่กับค่าและ เท่านั้นค่า ที่สูงขึ้นจะสัมพันธ์กับค่าพลังงานที่สูงขึ้น ตัวอย่างเช่น สถานะ 2p มีพลังงานสูงกว่าสถานะ 2s เมื่อพลังงานของออร์บิทัลจะเพิ่มขึ้นมากจนทำให้พลังงานของออร์บิทัล สูงกว่าพลังงานของออร์บิทัล s ในเปลือกที่สูงกว่าถัดไป เมื่อพลังงานจะถูกผลักเข้าไปในเปลือกที่สูงขึ้นสองขั้น การเติมออร์บิทัล 3d จะไม่เกิดขึ้นจนกว่าออร์บิทัล 4s จะถูกเติมเต็ม และการเติมออร์บิทัล 4f จะไม่เกิดขึ้นจนกว่าออร์บิทัล 6s จะถูกเติมเต็ม (ดูการจัดเรียงอิเล็กตรอนของธาตุ (หน้าข้อมูล) ) ${\displaystyle n}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \ell =2}$${\displaystyle \ell =3}$

การเพิ่มขึ้นของพลังงานสำหรับซับเชลล์ที่มีโมเมนตัมเชิงมุมเพิ่มขึ้นในอะตอมขนาดใหญ่เกิดจากผลกระทบของการปฏิสัมพันธ์ระหว่างอิเล็กตรอน และโดยเฉพาะอย่างยิ่งเกี่ยวข้องกับความสามารถของอิเล็กตรอนที่มีโมเมนตัมเชิงมุมต่ำในการแทรกซึมเข้าสู่แกนกลางได้อย่างมีประสิทธิภาพมากขึ้น ซึ่งอิเล็กตรอนเหล่านั้นจะได้รับการบดบังจากประจุของอิเล็กตรอนที่อยู่ระหว่างกลางน้อยลง ดังนั้น ในอะตอมที่มีเลขอะตอมสูงขึ้น โมเมนตัมเชิงมุมของอิเล็กตรอนจึงกลายเป็นปัจจัยกำหนดพลังงานที่สำคัญมากขึ้นเรื่อยๆ และเลขควอนตัมหลักของอิเล็กตรอนจะมีความสำคัญน้อยลงเรื่อยๆ ในการกำหนดพลังงานของพวกมัน ${\displaystyle \ell }$${\displaystyle n}$

ลำดับพลังงานของซับเชลล์ 35 ตัวแรก (เช่น 1s, 2p, 3d เป็นต้น) แสดงอยู่ในตารางต่อไปนี้ แต่ละช่องแสดงถึงซับเชลล์ที่มีดัชนีแถวและคอลัมน์กำกับอยู่ ตัวเลขในช่องแสดงถึงตำแหน่งของซับเชลล์ในลำดับ สำหรับรายการซับเชลล์แบบเรียงตามลำดับพลังงานที่เพิ่มขึ้นในอะตอมที่มีอิเล็กตรอนหลายตัว โปรดดูในส่วนด้านล่าง ${\displaystyle n}$${\displaystyle \ell }$

หมายเหตุ: ช่องว่างแสดงถึงระดับย่อยที่ไม่มีอยู่จริง ในขณะที่ตัวเลขที่เป็นตัวเอียงแสดงถึงระดับย่อยที่อาจมีอยู่ (เป็นไปได้) แต่ไม่มีอิเล็กตรอนอยู่ในธาตุใด ๆ ที่รู้จักในปัจจุบัน

มีกฎหลายข้อที่ควบคุมการจัดวางอิเล็กตรอนในออร์บิทัล ( การจัดเรียงอิเล็กตรอน ) ข้อแรกกำหนดว่าอิเล็กตรอนสองตัวในอะตอมเดียวกันจะต้องมีค่าควอนตัมเลขชุดเดียวกันไม่ได้ (นี่คือหลักการกีดกันของเปาลี ) ควอนตัมเลขเหล่านี้รวมถึงสามตัวที่กำหนดออร์บิทัล รวมทั้งควอนตัมเลขแม่เหล็กสปินm _{_s} ด้วย ดังนั้น อิเล็กตรอนสองตัวอาจอยู่ในออร์บิทัลเดียวกันได้ ตราบใดที่พวกมันมีค่าm_{_s} ที่แตกต่างกัน เนื่องจากm _{_s}มีค่าได้เพียงสองค่าเท่านั้น1/2หรือ −​1/2โดยแต่ละออร์บิทั ลจะมีอิเล็กตรอนได้มากที่สุดสองตัว

นอกจากนี้ อิเล็กตรอนมักจะพยายามตกลงสู่สถานะพลังงานต่ำสุดที่เป็นไปได้เสมอ มันสามารถเข้าไปอยู่ในออร์บิทัลใดก็ได้ ตราบใดที่ไม่ขัดกับหลักการกีดกันของเปาลี แต่ถ้ามีออร์บิทัลที่มีพลังงานต่ำกว่าอยู่ สภาวะนี้จะไม่เสถียร อิเล็กตรอนจะสูญเสียพลังงานในที่สุด (โดยการปล่อยโฟตอน ) และตกลงสู่ออร์บิทัลที่ต่ำกว่า ดังนั้น อิเล็กตรอนจึงเข้าไปอยู่ในออร์บิทัลตามลำดับพลังงานที่ระบุไว้ข้างต้น

พฤติกรรมนี้เป็นสาเหตุให้เกิดโครงสร้างของตารางธาตุ ตารางธาตุสามารถแบ่งออกเป็นหลายแถว (เรียกว่า 'คาบ') โดยมีหมายเลขเริ่มต้นที่ 1 ที่ด้านบน ธาตุที่รู้จักในปัจจุบันครอบครองเจ็ดคาบ หากคาบใดมีหมายเลขi คาบ นั้นจะประกอบด้วยธาตุที่มีอิเล็กตรอนวงนอกสุดอยู่ในเปลือกที่i นีลส์ โบร์เป็นคนแรกที่เสนอ (1923) ว่าความเป็นคาบในคุณสมบัติของธาตุอาจอธิบายได้ด้วยการเติมระดับพลังงานอิเล็กตรอนเป็นคาบ ส่งผลให้เกิดโครงสร้างอิเล็กตรอนของอะตอม^{[ 35 ]}

ตารางธาตุอาจแบ่งออกเป็น " บล็อก " สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีหมายเลขกำกับได้หลายบล็อก ธาตุที่อยู่ในบล็อกเดียวกันจะมีลักษณะร่วมกันคือ อิเล็กตรอนที่มีพลังงานสูงสุดทั้งหมดอยู่ใน สถานะ ℓ เดียวกัน (แต่ค่าnที่เกี่ยวข้องกับ สถานะ ℓ นั้น ขึ้นอยู่กับคาบ) ตัวอย่างเช่น สองคอลัมน์ซ้ายสุดประกอบเป็น "บล็อก s" อิเล็กตรอนวงนอกสุดของLiและBeอยู่ในซับเชลล์ 2s ตามลำดับ และอิเล็กตรอนวงนอกสุดของNaและMgอยู่ในซับเชลล์ 3s

ต่อไปนี้คือลำดับการเติมออร์บิทัล "ซับเชลล์" ซึ่งเป็นลำดับเดียวกับลำดับของ "บล็อก" ในตารางธาตุ:

1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 4s, 3d, 4p, 5s, 4d, 5p, 6s, 4f, 5d, 6p, 7s, 5f, 6d, 7p

ลักษณะ "เป็นคาบ" ของการเติมออร์บิทัล รวมถึงการปรากฏของ "บล็อก" s , p , dและfจะเห็นได้ชัดเจนยิ่งขึ้นหากลำดับการเติมนี้แสดงในรูปแบบเมทริกซ์ โดยที่เลขควอนตัมหลักที่เพิ่มขึ้นจะเริ่มต้นแถวใหม่ ("คาบ") ในเมทริกซ์ จากนั้นแต่ละซับเชลล์ (ประกอบด้วยเลขควอนตัมสองตัวแรก) จะถูกทำซ้ำหลายครั้งตามจำนวนที่จำเป็นสำหรับอิเล็กตรอนแต่ละคู่ที่อาจมีอยู่ ผลลัพธ์ที่ได้คือตารางธาตุแบบย่อ โดยแต่ละรายการแสดงถึงธาตุสองชนิดที่ต่อเนื่องกัน:

แม้ว่านี่จะเป็นลำดับทั่วไปของการเติมวงโคจรตามกฎของมาเดลุง แต่ก็มีข้อยกเว้น และพลังงานอิเล็กตรอนที่แท้จริงของแต่ละธาตุยังขึ้นอยู่กับรายละเอียดเพิ่มเติมของอะตอมด้วย (ดูการจัดเรียงอิเล็กตรอน § อะตอม: หลักการเอาฟ์เบาและกฎของมาเดลุง )

จำนวนอิเล็กตรอนในอะตอมที่เป็นกลางทางไฟฟ้าจะเพิ่มขึ้นตามเลขอะตอมอิเล็กตรอนในวงโคจรชั้นนอกสุด หรืออิเล็กตรอนวาเลนซ์มักจะเป็นตัวกำหนดพฤติกรรมทางเคมีของธาตุ ธาตุที่มีจำนวนอิเล็กตรอนวาเลนซ์เท่ากันสามารถจัดกลุ่มเข้าด้วยกันและแสดงคุณสมบัติทางเคมีที่คล้ายคลึงกันได้

สำหรับธาตุที่มีเลขอะตอมZ สูง ผลกระทบของทฤษฎีสัมพัทธภาพจะเด่นชัดมากขึ้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับอิเล็กตรอน s ซึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร็วสัมพัทธภาพขณะที่พวกมันแทรกผ่านอิเล็กตรอนกำบังใกล้แกนกลางของ อะตอมที่มีเลขอะตอม Z สูง การเพิ่มขึ้นของโมเมนตัมแบบสัมพัทธภาพสำหรับอิเล็กตรอนความเร็วสูงนี้ทำให้ความยาวคลื่นลดลงและการหดตัวของออร์บิทัล 6s เมื่อเทียบกับออร์บิทัล 5d (เมื่อเปรียบเทียบกับอิเล็กตรอน s และ d ที่สอดคล้องกันในธาตุที่เบากว่าในคอลัมน์เดียวกันของตารางธาตุ) ส่งผลให้พลังงานของอิเล็กตรอนวาเลนซ์ 6s ลดลง

ตัวอย่างของผลลัพธ์ทางกายภาพที่สำคัญของปรากฏการณ์นี้ ได้แก่ อุณหภูมิหลอมเหลวที่ลดลงของปรอท (ซึ่งเป็นผลมาจากอิเล็กตรอน 6s ไม่สามารถใช้ในการสร้างพันธะโลหะ ได้) และสีทองของทองคำและซีเซียม^{[ 36 ]}

ในแบบจำลองของบอร์ อิเล็กตรอน n = 1  มีความเร็วที่กำหนดโดยv = Zαcโดยที่Zคือเลขอะตอมαคือ ค่า คงที่โครงสร้างละเอียดและc คือความเร็วแสง ดังนั้น ในกลศาสตร์ควอนตัมที่ไม่เกี่ยวข้องกับสั มพัทธภาพ อะตอมใดๆ ที่มีเลขอะตอมมากกว่า 137 จะต้องมีอิเล็กตรอน 1s เคลื่อนที่เร็วกว่าความเร็วแสง แม้แต่ในสมการของดิแรกซึ่งคำนึงถึงผลกระทบเชิงสัมพัทธภาพ ฟังก์ชันคลื่นของอิเล็กตรอนสำหรับอะตอมที่มีZ  > 137 ก็ยังเป็นแบบสั่นและไม่มี ขอบเขต ความสำคัญของธาตุ 137 หรือที่รู้จักกันในชื่อ อัน ทริเซปเทียมถูกชี้ให้เห็นเป็นครั้งแรกโดยนักฟิสิกส์ริชาร์ด ไฟน์แมนธาตุ 137 บางครั้งเรียกอย่างไม่เป็นทางการว่าไฟน์มาเนียม (สัญลักษณ์ Fy) ^{[ 37 ]}อย่างไรก็ตาม การประมาณของ Feynman ล้มเหลวในการทำนายค่าวิกฤตที่แน่นอนของ  Zเนื่องจากลักษณะที่ไม่ใช่ประจุจุดของนิวเคลียสและรัศมีวงโคจรที่เล็กมากของอิเล็กตรอนภายใน ส่งผลให้ศักยภาพที่อิเล็กตรอนภายในมองเห็นนั้นมีค่าน้อยกว่าZ อย่างมีประสิทธิภาพ ค่า วิกฤตZ  ซึ่งทำให้อะตอมไม่เสถียรเมื่อพิจารณาถึงการแตกตัวของสุญญากาศในสนามสูงและการผลิตคู่ของอิเล็กตรอน-โพซิตรอน จะไม่เกิดขึ้นจนกว่าZจะมีค่าประมาณ 173 เงื่อนไขเหล่านี้ไม่ปรากฏให้เห็นยกเว้นชั่วคราวในการชนกันของนิวเคลียสหนักมาก เช่น ตะกั่วหรือยูเรเนียมในเครื่องเร่งอนุภาค ซึ่งมีการอ้างว่าได้สังเกตเห็นการผลิตอิเล็กตรอน-โพซิตรอนจากผลกระทบเหล่านี้แล้ว

ไม่มีโหนดในความหนาแน่นวงโคจรสัมพัทธภาพ แม้ว่าส่วนประกอบแต่ละส่วนของฟังก์ชันคลื่นจะมีโหนดก็ตาม^{[ 38 ]}

ในธาตุช่วงปลายคาบที่ 8คาดว่าจะมีไฮบริดของ 8p 3/2 และ 9p 1/2 อยู่[ 39 ] _โดยที่_" ^{3/2 " และ} "1/2" หมายถึงเลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมุมรวมไฮบริด "pp" นี้อาจเป็นสาเหตุของบล็อก pของคาบเนื่องจากคุณสมบัติที่คล้ายกับซับเชลล์ p ในเปลือกวาเลนซ์ ทั่วไป ระดับพลังงานของ 8p _3/2และ 9p _1/2อยู่ใกล้กันเนื่องจากผลกระทบของสปิน-ออร์บิต เชิงสัมพัทธภาพ ซับเชลล์ 9s ก็ควรมีส่วนร่วมด้วย เนื่องจากคาดว่าธาตุเหล่านี้จะคล้ายคลึงกับธาตุ 5p ตามลำดับ ตั้งแต่ อินเดียม ถึงซีนอน

สถานะควอนตัมแบบผูกพันมีระดับพลังงานที่ไม่ต่อเนื่อง เมื่อนำไปใช้กับออร์บิทัลอะตอม นั่นหมายความว่าความแตกต่างของพลังงานระหว่างสถานะต่างๆ ก็ไม่ต่อเนื่องเช่นกัน ดังนั้น การเปลี่ยนผ่านระหว่างสถานะเหล่านี้ (เช่น อิเล็กตรอนดูดกลืนหรือปล่อยโฟตอน) จะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อโฟตอนมีพลังงานที่สอดคล้องกับความแตกต่างของพลังงานระหว่างสถานะดังกล่าวเท่านั้น

พิจารณาสองสถานะของอะตอมไฮโดรเจน:

1. สถานะn = 1 , ℓ = 0 , m _ℓ = 0และm _s = + ⁠1/2⁠
2. สถานะn = 2 , ℓ = 0 , m _ℓ = 0และm _s = − ⁠1/2⁠

ตามทฤษฎีควอนตัม สถานะที่ 1 มีพลังงานคงที่_E1 และสถานะที่ 2 มีพลังงานคงที่_E2 ทีนี้ถ้าอิเล็กตรอนในสถานะที่ 1 เคลื่อนที่ไปยังสถานะที่ 2 จะเกิดอะไรขึ้น? อิเล็กตรอนจะต้องได้รับพลังงานเท่ากับE2 − E1 หากอิเล็กตรอนได้รับพลังงานน้อยกว่าหรือมากกว่าค่านี้ มันจะไม่สามารถกระโดดจากสถานะที่ 1 ไปยังสถานะที่ 2 ได้ สมมติว่าเราฉายแสงที่มีสเปกตรัมกว้าง _{ไปยัง อะตอม โฟ ตอน}ที่ตกกระทบอะตอมที่มีพลังงานเท่ากับE2 − E1 จะถูกดูดซับโดยอิเล็กตรอนในสถานะที่ ₁และอิเล็กตรอนนั้นจะกระโดดไปยังสถานะที่ 2 อย่างไรก็ตาม โฟตอนที่มีพลังงานมากกว่าหรือน้อยกว่าจะไม่สามารถถูกดูดซับโดยอิเล็กตรอนได้ เพราะอิเล็กตรอนสามารถกระโดดไปยังออร์บิทัลได้เพียงหนึ่งในนั้นเท่านั้น มันไม่สามารถกระโดดไปยังสถานะระหว่างออร์บิทัลได้ ผลก็คือ มีเพียงโฟตอนที่มีความถี่เฉพาะเท่านั้นที่จะถูกดูดซับโดยอะตอม สิ่งนี้ทำให้เกิดเส้นในสเปกตรัม ซึ่งเรียกว่าเส้นดูดกลืน โดยเส้นนี้สอดคล้องกับความแตกต่างของพลังงานระหว่างสถานะที่ 1 และ 2

แบบจำลองวงโคจรอะตอมจึงทำนายสเปกตรัมเส้น ซึ่งสอดคล้องกับที่สังเกตได้จากการทดลอง นี่เป็นหนึ่งในข้อพิสูจน์หลักของแบบจำลองวงโคจรอะตอม

แบบจำลองวงโคจรอะตอมเป็นเพียงการประมาณค่าของทฤษฎีควอนตัมแบบสมบูรณ์ ซึ่งยอมรับเพียงสถานะอิเล็กตรอนจำนวนมากเท่านั้น การทำนายจากสเปกตรัมเส้นนั้นมีประโยชน์ในเชิงคุณภาพ แต่ไม่ถูกต้องในเชิงปริมาณสำหรับอะตอมและไอออนอื่น ๆ นอกเหนือจากอะตอมและไอออนที่มีอิเล็กตรอนเพียงตัวเดียว

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อ ที่เกี่ยวข้องกับวงโคจรอะตอม

• การแสดงภาพสามมิติของออร์บิทัลไฮโดรเจน
• ออร์บิทรอนคือโปรแกรมแสดงภาพอะตอมออร์บิทัลทั้งแบบทั่วไปและแบบพิเศษ ตั้งแต่ 1s ถึง 7g
• โต๊ะขนาดใหญ่ภาพนิ่งของวงโคจรจำนวนมาก