ในทางคณิตศาสตร์เซตว่างหรือเซตสุญญากาศ คือ เซตเดียวที่ไม่มีสมาชิก ใด ๆ ขนาดหรือจำนวนสมาชิก (จำนวนสมาชิกในเซต) ของเซตนี้เป็นศูนย์^{[ 1 ]}ทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์บาง ทฤษฎี รับรองว่าเซตว่างมีอยู่จริงโดยการรวมสัจพจน์ของเซตว่าง ไว้ ในขณะที่ทฤษฎีอื่นๆ การมีอยู่ของ เซต ว่าง สามารถอนุมานได้ คุณสมบัติที่เป็นไปได้หลายอย่างของเซตเป็นจริงโดย ปริยาย สำหรับเซตว่าง

เซตใดๆ ที่ไม่ใช่เซตว่าง เรียกว่า เซตไม่ว่าง

ในตำราเรียนและหนังสืออ่านทั่วไปบางเล่ม เซตว่างจะถูกเรียกว่า "เซตศูนย์" ^{[ 1 ]} อย่างไรก็ตามเซตศูนย์เป็นแนวคิดที่แตกต่างกันในบริบทของทฤษฎีการวัดซึ่งอธิบายถึงเซตที่มีการวัดเป็นศูนย์ (ซึ่งไม่จำเป็นต้องว่างเปล่า)

สัญลักษณ์ที่ใช้กันทั่วไปสำหรับเซตว่าง ได้แก่ "{ }", " " และ "∅" สัญลักษณ์สองตัวหลังนี้ได้รับการแนะนำโดยกลุ่ม Bourbaki (โดยเฉพาะAndré Weil ) ในปี 1939 โดยได้รับแรงบันดาลใจจากตัวอักษรØ ( U+00D8 Ø LATIN CAPITAL LETTER O WITH STROKE ) ในอักษรเดนมาร์กและนอร์เวย์^{[ 2 ]}ในอดีต บางครั้งมีการใช้ "0" (ตัวเลขศูนย์ ) เป็นสัญลักษณ์สำหรับเซตว่าง แต่ปัจจุบันถือว่าเป็นการใช้สัญลักษณ์ที่ไม่ถูกต้อง^{[ 3 ]}${\displaystyle \emptyset }$

สัญลักษณ์ ∅ สามารถใช้งานได้ที่จุดUnicode U+2205 ∅ EMPTY SET [ ^{4 ] สามารถ}เขียนโค้ดในHTMLได้เป็นและ เป็นหรือ เป็นสามารถเขียนโค้ดในLaTeXได้เป็นสัญลักษณ์นี้ถูกเขียนโค้ดใน LaTeX เป็น ∅∅∅\varnothing${\displaystyle \emptyset }$\emptyset

เมื่อเขียนในภาษาต่างๆ เช่น ภาษาเดนมาร์กและนอร์เวย์ ซึ่งอักขระเซตว่างอาจสับสนกับตัวอักษร Ø (เช่น เมื่อใช้สัญลักษณ์ในทางภาษาศาสตร์) สามารถใช้ อักขระ Unicode U+29B0 ⦰ REVERSED EMPTY SET แทนได้ ^{[ 5 ]}

ในทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ มาตรฐาน ตามหลักการขยายความเซตสองเซตจะเท่ากันก็ต่อเมื่อมีสมาชิกเหมือนกัน (กล่าวคือ ไม่มีเซตใดที่มีสมาชิกที่ไม่พบในอีกเซตหนึ่ง) ดังนั้นจึงมีเซตเพียงเซตเดียวเท่านั้นที่ไม่มีสมาชิก ด้วยเหตุนี้จึงใช้คำว่า "เซตว่าง" (the empty set) แทนคำว่า "เซตว่างชุดหนึ่ง" (an empty set)

เซตย่อยเพียงเซตเดียวของเซตว่างคือเซตว่างนั่นเอง หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งเซตกำลังของเซตว่างคือเซตที่ประกอบด้วยเซตว่างเพียงเซตเดียว จำนวนสมาชิกของเซตว่าง (กล่าวคือความเป็นสมาชิก ของเซตว่าง ) คือศูนย์ เซตว่างเป็นเซตเพียงเซตเดียวที่มีคุณสมบัติอย่างใดอย่างหนึ่งเหล่านี้

สำหรับชุดA ใดๆ :

• เซตว่างเป็นเซตย่อยของA
• การรวมกันของAกับเซตว่างคือA
• จุดตัดของAกับเซตว่างคือเซตว่าง
• ผลคูณคาร์ทีเซียนของAและเซตว่าง คือ เซตว่าง

สำหรับทรัพย์สิน ใดๆ P :

• สำหรับทุกองค์ประกอบของคุณสมบัติPจะเป็นจริง ( ความจริงที่ว่างเปล่า )${\displaystyle \varnothing }$
• ไม่มีองค์ประกอบใดที่สมบัติPเป็นจริง${\displaystyle \varnothing }$

ในทางกลับกัน ถ้าสำหรับคุณสมบัติP บางอย่าง และเซตV บางอย่าง ข้อความสองข้อต่อไปนี้เป็นจริง:

• สำหรับทุกองค์ประกอบของVคุณสมบัติPเป็นจริง
• ไม่มีองค์ประกอบใดในV ที่ มีคุณสมบัติP เป็นจริง

แล้ว${\displaystyle V=\varnothing .}$

ตามนิยามของเซตย่อยเซตว่างเป็นเซตย่อยของเซตA ใดๆ นั่นคือ สมาชิก x ทุกตัวของ เซต ว่างเป็นสมาชิกของAอันที่จริง ถ้าหากไม่เป็นจริงที่ว่าสมาชิกทุกตัวของเซตว่างเป็นสมาชิกของAแล้ว ก็จะต้องมีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวของเซตว่างที่ไม่เป็นสมาชิกของAเนื่องจากไม่มีสมาชิกใดๆ ของเซตว่างเลย ดังนั้นจึงไม่มีสมาชิกใดๆ ของเซตว่างที่ไม่เป็นสมาชิกของAข้อความใดๆ ที่ขึ้นต้นด้วย "สำหรับสมาชิกทุกตัวของเซตว่าง" นั้นไม่ได้เป็นการกล่าวอ้างสาระสำคัญใดๆ มันเป็นเพียงความจริงที่ว่างเปล่าซึ่งมักจะกล่าวอีกนัยหนึ่งว่า "ทุกสิ่งเป็นจริงสำหรับสมาชิกของเซตว่าง" ${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle \varnothing }$

ในนิยามปกติของจำนวนธรรมชาติตามทฤษฎีเซต ศูนย์ถูกแทนด้วยเซตว่าง

เมื่อพูดถึงผลรวมขององค์ประกอบของเซตจำกัด มักจะนำไปสู่ข้อตกลงที่ว่าผลรวมขององค์ประกอบของเซตว่าง ( ผลรวมว่าง ) มีค่าเป็นศูนย์ เหตุผลก็คือศูนย์เป็นองค์ประกอบเอกลักษณ์ของการบวก ในทำนองเดียวกันผลคูณขององค์ประกอบของเซตว่าง ( ผลคูณว่าง ) ควรมีค่าเป็นหนึ่งเนื่องจากหนึ่งเป็นองค์ประกอบเอกลักษณ์ของการคูณ^{[ 6 ]}

การเรียงสับเปลี่ยนที่ ไม่ลงตัว (Derangement) คือการเรียงสับเปลี่ยนของเซตที่ไม่มีจุดตรึงเซตว่างสามารถถือได้ว่าเป็นการเรียงสับเปลี่ยนที่ไม่ลงตัวของตัวเอง เพราะมีเพียงการเรียงสับเปลี่ยนเดียว ( ) และเป็นความจริงโดยปริยายว่าไม่มีสมาชิกใด (ของเซตว่าง) ที่สามารถหาได้ซึ่งคงตำแหน่งเดิมไว้ ${\displaystyle 0!=1}$

เนื่องจากเซตว่างไม่มีสมาชิกเมื่อพิจารณาว่าเป็นเซตย่อยของเซตที่มีลำดับ ใดๆ สมาชิกทุกตัวของเซตนั้นจะเป็นขอบบนและขอบล่างสำหรับเซตว่าง ตัวอย่างเช่น เมื่อพิจารณาว่าเป็นเซตย่อยของจำนวนจริงที่มีลำดับปกติ ซึ่งแสดงโดยเส้นจำนวนจริงจำนวนจริงทุกตัวจะเป็นทั้งขอบบนและขอบล่างสำหรับเซตว่าง^{[ 7 ]}เมื่อพิจารณาว่าเป็นเซตย่อยของจำนวนจริงที่ขยายโดยการเพิ่ม "จำนวน" หรือ "จุด" สองจุดให้กับจำนวนจริง (กล่าวคือลบอนันต์ซึ่งกำหนดให้มีค่าน้อยกว่าจำนวนจริงที่ขยายอื่นๆ ทุกตัว และบวกอนันต์ซึ่งกำหนดให้มีค่ามากกว่าจำนวนจริงที่ขยายอื่นๆ ทุกตัว) เราจะได้ว่า: และ ${\displaystyle -\infty \!\,,}$${\displaystyle +\infty \!\,,}$$${\displaystyle \sup \varnothing =\min(\{-\infty ,+\infty \}\cup \mathbb {R} )=-\infty ,}$$$${\displaystyle \inf \varnothing =\max(\{-\infty ,+\infty \}\cup \mathbb {R} )=+\infty .}$$

กล่าวคือ ขอบเขตบนที่น้อยที่สุด (sup หรือsupremum ) ของเซตว่างคือลบอนันต์ ในขณะที่ขอบเขตล่างที่มากที่สุด (inf หรือinfimum ) คือบวกอนันต์ โดยเปรียบเทียบกับข้างต้น ในโดเมนของจำนวนจริงขยาย ลบอนันต์คือองค์ประกอบเอกลักษณ์สำหรับตัวดำเนินการค่าสูงสุดและค่า supremum ในขณะที่บวกอนันต์คือองค์ประกอบเอกลักษณ์สำหรับตัวดำเนินการค่าต่ำสุดและค่า infimum

ในปริภูมิเชิงทอพอโลยี ใดๆ เซตว่างเป็นเซตเปิดตามนิยาม เช่นเดียวกับเซตปิด เนื่องจากส่วนเติมเต็มของเซตเปิดเป็นเซตปิดและเซตว่างและเซตปิดเป็นส่วนเติมเต็มซึ่งกันและกัน ดังนั้นเซตว่างจึงเป็นเซตปิดด้วย ทำให้มันเป็นเซตปิด-เปิดยิ่งไปกว่านั้น เซตว่างยังเป็นเซตกระชับ (compact set ) เนื่องจากเซตจำกัด ทุกเซต เป็นเซตกระชับ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

กล่าวได้ว่า ปริภูมิ เชิงทอพอโลยี มี ทอพอโลยีแบบไม่ต่อเนื่องถ้าเซตเปิดเพียงอย่างเดียวคือและปริภูมิทั้งหมด ${\displaystyle X}$${\displaystyle \varnothing }$

การปิดของเซตว่างนั้นว่างเปล่า สิ่งนี้เรียกว่า "การรักษาสหภาพว่าง " ^{[ 8 ]}

ถ้าเป็นเซตแล้ว จะมีฟังก์ชันจากไปยังฟังก์ชันว่าง เพียงฟังก์ชันเดียวเท่านั้น ดังนั้น เซตว่างจึงเป็นวัตถุเริ่มต้น เพียงหนึ่งเดียว ของหมวดหมู่ของเซตและฟังก์ชัน ${\displaystyle A}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle A,}$

เซตว่างสามารถเปลี่ยนเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่เรียกว่าปริภูมิว่างได้เพียงวิธีเดียวเท่านั้น คือ โดยการกำหนดให้เซตว่างเป็นเซตเปิด ปริภูมิเชิงทอพอโลยีว่างนี้เป็นวัตถุเริ่มต้นเพียงหนึ่งเดียวในหมวดหมู่ของปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่มีฟังก์ชันต่อเนื่องอันที่จริง มันเป็นวัตถุเริ่มต้นที่เข้มงวด กล่าวคือ มีเพียงเซตว่างเท่านั้นที่มีฟังก์ชันไปยังเซตว่าง

ในการสร้างลำดับของฟอน นอยมันน์ 0 ถูกกำหนดให้เป็นเซตว่าง และตัวสืบทอดของลำดับถูกกำหนดให้เป็นดังนั้น เราจึงมี, , , และอื่นๆ การสร้างของฟอน นอยมันน์ ร่วมกับสัจพจน์ของอนันต์ซึ่งรับประกันการมีอยู่ของเซตอนันต์อย่างน้อยหนึ่งเซต สามารถนำมาใช้สร้างเซตของจำนวนธรรมชาติ ได้โดยที่สัจพจน์ของพีอาโนทางเลขคณิตเป็นไปตามเงื่อนไข ${\displaystyle S(\alpha )=\alpha \cup \{\alpha \}}$${\displaystyle 0=\varnothing }$${\displaystyle 1=0\cup \{0\}=\{\varnothing \}}$${\displaystyle 2=1\cup \{1\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}}$${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$

ในบริบทของเซตของจำนวนจริง แคนเตอร์เคยใช้สัญลักษณ์ " ไม่มีจุดใดจุดหนึ่ง" สัญลักษณ์นี้ถูกนำมาใช้ในคำจำกัดความ ตัวอย่างเช่น แคนเตอร์กำหนดเซตสองเซตว่าไม่ทับซ้อนกันหากจุดตัดของเซตทั้งสองไม่มีจุด อย่างไรก็ตาม เป็นที่ถกเถียงกันว่าแคนเตอร์มองว่าเซตนี้เป็นเซตที่มีอยู่จริงหรือไม่ หรือแคนเตอร์ใช้เป็นเพียงตัวบ่งชี้ความว่างเปล่าเท่านั้น เซอร์เมโลยอมรับว่าเป็นเซต แต่ถือว่าเป็น "เซตที่ไม่เหมาะสม" ^{[ 9 ]}${\displaystyle P\equiv O}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \equiv O}$${\displaystyle O}$${\displaystyle \equiv O}$${\displaystyle O}$

ในทฤษฎีเซตของ Zermeloการมีอยู่ของเซตว่างได้รับการรับรองโดยสัจพจน์ของเซตว่างและความเป็นเอกลักษณ์ของเซตว่างนั้นเป็นผลมาจากสัจพจน์ของการขยายตัวอย่างไรก็ตาม สามารถแสดงให้เห็นได้ว่าสัจพจน์ของเซตว่างนั้นซ้ำซ้อนอย่างน้อยสองวิธี:

• ตรรกศาสตร์ลำดับที่หนึ่งมาตรฐานบ่งชี้โดยอาศัยเพียงสัจพจน์ทางตรรกศาสตร์ว่าสิ่งใดสิ่งหนึ่งมีอยู่จริง และในภาษาของทฤษฎีเซต สิ่งนั้นจะต้องเป็นเซต การมีอยู่ของเซตว่างนั้นได้มาอย่างง่ายดายจากสัจพจน์ของการแยก
• แม้จะใช้ตรรกะอิสระ (ซึ่งไม่ได้บ่งชี้ทางตรรกะว่าสิ่งใดมีอยู่จริง) ก็ยังมีสัจพจน์ที่บ่งชี้ถึงการมีอยู่ของเซตอย่างน้อยหนึ่งเซตอยู่แล้ว นั่นคือสัจพจน์ของอนันต์

แม้ว่าเซตว่างจะเป็นแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่เป็นมาตรฐานและได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวาง แต่ก็ยังคงเป็น ปริศนา ทางด้านภววิทยาซึ่งความหมายและประโยชน์ของมันยังเป็นที่ถกเถียงกันในหมู่นักปรัชญาและนักตรรกศาสตร์

เซตว่างไม่ใช่สิ่งเดียวกับความว่างเปล่า แต่เป็นเซตที่ไม่มีอะไรอยู่ข้างในและเซตนั้นย่อมมีบางสิ่ง เสมอ ปัญหานี้สามารถเอาชนะได้โดยการมองเซตเป็นถุง—ถุงเปล่าย่อมมีอยู่จริงอย่างแน่นอน ดาร์ลิง (2004) อธิบายว่าเซตว่างไม่ใช่ความว่างเปล่า แต่เป็น "เซตของรูปสามเหลี่ยมทั้งหมดที่มีสี่ด้าน เซตของจำนวนทั้งหมดที่มากกว่าเก้าแต่เล็กกว่าแปด และเซตของการเดินหมากเปิด ทั้งหมด ในหมากรุกที่เกี่ยวข้องกับราชา " ^{[ 10 ]}

ตรรกบทที่เป็นที่นิยม

ไม่มีอะไรดีไปกว่าความสุขนิรันดร์ แซนด์วิชแฮมดีกว่าไม่มีอะไรเลย ดังนั้น แซนด์วิชแฮมจึงดีกว่าความสุขนิรันดร์

มักใช้เพื่อแสดงความสัมพันธ์เชิงปรัชญาระหว่างแนวคิดของความว่างเปล่าและเซตว่าง ดาร์ลิงเขียนว่าความแตกต่างสามารถมองเห็นได้โดยการเขียนประโยค "ไม่มีอะไรดีไปกว่าความสุขนิรันดร์" และ "[แซนด์วิชแฮม] ดีกว่าไม่มีอะไร" ในรูปแบบคณิตศาสตร์ ตามที่ดาร์ลิงกล่าว ประโยคแรกเทียบเท่ากับ "เซตของทุกสิ่งที่ดีกว่าความสุขนิรันดร์คือ" และประโยคหลังเทียบเท่ากับ "เซต {แซนด์วิชแฮม} ดีกว่าเซต" ประโยคแรกเปรียบเทียบองค์ประกอบของเซต ในขณะที่ประโยคที่สองเปรียบเทียบเซตเอง^{[ 10 ]}${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle \varnothing }$

โจนาธาน โลว์โต้แย้งว่าในขณะที่เซตว่าง

นับเป็นจุดสำคัญในประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์อย่างไม่ต้องสงสัย ... แต่เราไม่ควรคิดว่าประโยชน์ในการคำนวณของมันขึ้นอยู่กับการที่มันใช้แทนวัตถุใดวัตถุหนึ่งจริงๆ

นอกจากนี้ยังเป็นความจริงอีกประการหนึ่งว่า:

"สิ่งที่เราได้รับแจ้งเกี่ยวกับเซตว่างมีเพียงว่า (1) มันเป็นเซต (2) ไม่มีสมาชิก และ (3) เป็นเอกลักษณ์ในบรรดาเซตที่ไม่มีสมาชิก อย่างไรก็ตาม มีหลายสิ่งหลายอย่างที่ 'ไม่มีสมาชิก' ในความหมายเชิงทฤษฎีเซต กล่าวคือ สิ่งที่ไม่ใช่เซตทั้งหมด เป็นที่ชัดเจนอย่างยิ่งว่าทำไมสิ่งเหล่านี้จึงไม่มีสมาชิก เพราะพวกมันไม่ใช่เซต สิ่งที่ไม่ชัดเจนคือจะมีเซตที่ไม่มีสมาชิกได้อย่างไร ในบรรดาเซตทั้งหมด เราไม่สามารถสร้างสิ่งที่มีอยู่ขึ้นมาได้ด้วยการกำหนดเงื่อนไขเพียงอย่างเดียว" ^{[ 11 ]}

จอร์จ บูลอสโต้แย้งว่าสิ่งต่างๆ มากมายที่ได้รับมาก่อนหน้านี้โดยทฤษฎีเซต สามารถได้รับมาได้ง่ายๆ โดยการกำหนดปริมาณพหูพจน์เหนือแต่ละบุคคล โดยไม่ต้อง ทำให้เซต กลายเป็นหน่วยเอกพจน์ที่มีหน่วยอื่นๆ เป็นสมาชิก^{[ 12 ]}

• 0  – หมายเลขPages displaying short descriptions with no spaces
• เซตที่มีสมาชิก  – คุณสมบัติของเซตที่ใช้ในคณิตศาสตร์เชิงสร้างสรรค์
• ไม่มีอะไรเลย  – การไม่มีสิ่งใดโดยสมบูรณ์; ตรงข้ามกับทุกสิ่ง
• เซตกำลัง  – เซตทางคณิตศาสตร์ที่ประกอบด้วยเซตย่อยทั้งหมดของเซตหนึ่ง
• ศูนย์ (ภาษาศาสตร์)  – การไม่มีอยู่ในภาษาศาสตร์

• Halmos, Paul , ทฤษฎีเซตแบบง่าย . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. พิมพ์ซ้ำโดย Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6(ฉบับ Springer-Verlag) พิมพ์ซ้ำโดย Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4(ฉบับปกอ่อน)
• เจค, โทมัส (2002). ทฤษฎีเซต . สปริงเกอร์ โมโนกราฟส์ อิน แมทธิวแมติกส์ (ฉบับสหัสวรรษที่ 3). สปริงเกอร์. ISBN 3-540-44085-2.
• เกรแฮม, มัลคอล์ม (1975). คณิตศาสตร์พื้นฐานสมัยใหม่ (ฉบับที่ 2). สำนักพิมพ์ฮาร์คอร์ต เบรซ โจวาโนวิช . ISBN 0155610392.

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "เซตว่าง" . แมธเวิลด์ .